Peluang terambil dua bola merah dan satu bola biru =
BAB 13 PELUANG KEJADIAN A. Aturan Perkalian/Pengisian Tempat Jika kejadian pertama dapat terjadi dalam a cara berbeda, kejadian kedua dapat terjadi dalam b cara
berbeda, kejadian ketiga dapat terjadi dalam c cara berbeda, kejadian keempat dapat terjadi dalam d cara berbeda, dan seterusnya, maka keseluruhan kejadian tersebut dapat terjadi bersama dalam: a b c d = a x b x c x d B.
Permutasi
Permutasi dari anggota-anggota suatu himpunan adalah susunan dari semua atau sebagian anggota himpunan itu dengan memperhatikan urutan (tidak boleh merangkap; dihitung dua kali jika pasangannya dibalik).
n ! n r P
( n r )! C.
Kombinasi
Kombinasi dari anggota-anggota suatu himpunan adalah susunan dari semua atau sebagian anggota himpunan dengan tidak memperhatikan susunan (jika pasangannya dibalik, hanya dihitung satu kali).
n ! n r C
( n r )! r ! D.
Peluang Suatu Kejadian
Peluang kejadian A dapat simbolkan sebagai: n(A) P(A) = n(S) P(A) adalah peluang muncul kejadian A n(A) adalah banyak kemungkinan muncul kejadian A n(S) adalah banyak semua kemungkinan yang dapat muncul (ruang sampel) E.
Peluang Komplemen Suatu Kejadian c c
Jika A adalah kejadian bukan A, maka P(A ) = 1 – P(A) F.
Peluang Majemuk 1.
Peluang Kejadian Saling Lepas Jika kejadian A dan kejadian B saling lepas, maka berlaku P(A B) = P(A) + P(B) Contoh: Pada pengambilan sebuah kartu pada satu set kartu bridge, tentukanlah peluang terambil kartu merah atau kartu King! Jawab:
26
4
2 P (kartu merah atau kartu King) =
52
52
52
28
=
52
7 P (kartu merah atau kartu King) =
13 2.
Peluang Kejadian Saling Bebas Kejadian A dan B dikatakan saling bebas, jika kejadian A tidak mempengaruhi kejadian B dan sebaliknya. Sehingga P(A B) = P(A) x P(B) Contoh: Dua dadu dilempar bersama satu kali. Tentukanlah peluang muncul mata dadu berjumlah 8 dan 5! Jawab: berjumlah 8 = {(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)} sehingga n(berjumlah 8) = 5 berjumlah 5 = {(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)} sehingga n(berjumlah 5) = 4 2
6
36 Ruang sampel 2 dadu = P(berjumlah 8 dan berjumlah 5) =
36
=
9
5 .
8
Peluang Kejadian Bersyarat (Tidak Saling Bebas) Kejadian A dan B dikatakan tidak saling bebas jika kejadian A dan B dapat terjadi bersama-sama dan terjadi atau tidak terjadinya kejadian A akan mempengaruhi terjadi atau tidak terjadinya kejadian B. Sehingga P(A B) = P(B) x P(A/B) Contoh: Sebuah kantong berisi 5 kelereng merah dan 4 kelereng biru. Dua kelereng akan diambil satu per satu tanpa pengembalian. Tentukanlah peluang terambil kelereng biru pada pengambilan pertama dan pada pengambilan kedua terambil kelereng merah! Jawab: n(merah) = 5 n(biru) = 4 diambil 2 kelereng satu per satu tanpa pengembalian P(1 biru kemudian 1 merah) =
5 3.
324
5
4 .
36
1 .
9
=
5
36
4
5 G.
18
Banyak susunan pengurus = 3 20 P =
= 20.19.18 = 6.840 3. Dari 10 orang siswa pemenang Olimpiade Sains Nasional (OSN) dibentuk satu tim yang terdiri atas 4 orang untuk mewakili Indonesia pada Olimpiade Sains Internasional. Banyak tim yang dapat dibentuk adalah ....
20
17 ! 17 . 18 . 19 .
!
=
20
17 !
!
=
20
3 20 ( !
)!
Frekuensi Harapan Suatu Kejadian
r n n P r n
)! ( !
Pembahasan: Pemilihan pejabat yang disebutkan jabatannya harus memperhatikan urutan karena setiap orang berhak menjabat di salah satu jabatan, berarti menggunakan permutasi.
Banyak susunan pengurus yang dapat dipilih adalah ....
3 Keterangan: Semua tempat boleh diisi angka 1, 2, 3, 4, 5, 6. Tetapi diminta angkanya harus berbeda. Jadi, banyak bilangan tersebut = 6 x 5 x 4 x 3 = 360 2. Dalam suatu organisasi yang terdiri atas 20 anggota akan dipilih ketua, sekretaris, dan bendahara.
4
5
6
=
Banyak bilangan yang terdiri atas 4 angka berbeda yang disusun dari angka-angka 1, 2, 3, 4, 5, dan 6 adalah ....
Pembahasan Soal-soal: 1.
Frekuensi harapan kejadian A dapat disimbolkan sebagai: Fh(A) = n x P(A)
Pembahasan:
Pembahasan: Pemilihan siswa tidak berdasarkan urutan, maka menggunakan kombinasi.
!
n n r C r !.( n r )!
Banyak tim yang dapat dibentuk = C 10 4 10 ! = 4 !.(
10 4 )!
10 !
= 4 !.
6 ! 10 . 9 . 8 . 7 . 6 !
= 4 .
3 . 2 . 1 !. 6 ! 10 . 9 .
7
= 3 .
1 !
= 210 4. Dua dadu dilempar undi bersama-sama. Peluang muncul jumlah kedua mata dadu 5 atau 8 adalah ....
Pembahasan: Berjumlah 5 = {(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)}
→ n(berjumlah 5) = 4 Berjumlah 8 = {(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)} 2 → n(berjumlah 8) = 5
Ruang sampel dua dadu adalah
6
36
5 4
P(berjumlah 5 atau berjumlah 8) =
36
36
9
=
36
1 P(berjumlah 5 atau berjumlah 8) =
4 5.
Dari sebuah kotak yang berisi delapan bola merah dan enam bola biru, diambil 3 bola sekaligus secara acak. Peluang terambil dua bola merah dan satu bola biru adalah ....
Pembahasan: n(merah) = 8 n(biru) = 6 Diambil 3 bola sekaligus secara acak. 8 C . C 2 6 1 Peluang terambil dua bola merah dan satu bola biru = 14 C 3
8 ! 6 ! . 2 !. 6 ! 1 !. 5 !
Peluang terambil dua bola merah dan satu bola biru = 14 ! 3 !. 11 ! 8 . 7 . 6 ! 6 . 5 ! .
2 . 1 !. 6 ! 1 !. 5 ! = 14 . 13 . 12 . 11 ! 3 !. 11 ! 28 .
6 = 14 . 13 .
12 3 . 2 . 1 !
168
=
364 168
=
364
6 Peluang terambil dua bola merah dan satu bola biru =
13
6. Sebuah kotak berisi 5 kelereng merah dan 3 kelereng kuning. Jika diambil dua kelereng secara acak satu per satu berturut-turut tanpa pengembalian, maka peluang terambil pertama kelereng merah dan pengambilan kedua terambil kelereng kuning adalah ....
Pembahasan: n(merah) = 5 n(kuning) = 3 n(jumlah kelereng semuanya) = 5 + 3 = 8
TANPA PENGEMBALIAN Jika diambil dua kelereng secara acak satu per satu berturut-turut .
Peluang terambil pertama kelereng merah dan pengambilan kedua terambil kelereng kuning =
5
3
15 . =
8
7
56 7.
Pada percobaan lempar undi 3 keping uang logam bersama-sama sebanyak 600 kali, frekuensi harapan muncul paling sedikit dua gambar adalah ....
Pembahasan: Lempar undi 3 keping uang logam. muncul paling sedikit dua gambar = {AGG, GAG, GGA,GGG} 3 → n = 4 banyak ruang sampel 3 keping uang logam =
2
8 frekuensi harapan muncul paling sedikit dua gambar = peluang x banyak pelemparan
4
= . 600
8 2400
=
8
= 300 LATIHAN UN: 1.
Seusai pertandingan, tim basket SMA yang terdiri atas 5 orang akan berfoto bersama pelatih. Banyak cara mereka berfoto bersama jika posisi pelatih berada di paling kiri atau paling kanan adalah .... cara.
A.
10 B.
20 C.
60 D.
120 E. 240 kunci 2. Banyak siswa suatu kelas di suatu SMA terdiri atas 30 orang. Pada kelas tersebut akan dipilih 3 orang sebagai pengurus kelas yang menjabat sebagai ketua kelas, wakil ketua, dan sekretaris. Banyak cara pemilihan yang mungkin terjadi adalah ....
A.
24.360 kunci B. 24.630 C. 42.360 D.
42.630 E. 36.230 3. Dari 10 calon pengurus OSIS akan dipilih ketua, sekretaris, dan bendahara. Banyak cara memilih pengurus OSIS adalah ....
A.
720 kunci B. 120 C.
70 D.
30 E.
10 4. Jika setiap dua zat kimia yang berbeda dicampurkan maka akan menghasilkan zat kimia baru. Dari lima zat kimia yang berbeda dapat menghasilkan zat baru sebanyak ....
A.
15 B. 10 kunci C.
8 D.
7 E.
6
5. Di pelatnas ada 12 atlet basket putra. Kedua belas atlet tersebut akan dibentuk tim inti yang terdiri atas 5 orang yang akan dimainkan pada pertandingan berikutnya. Banyak tim inti yang mungkin dapat dibentuk adalah ....
A.
5 B.
12 C.
60 D.
72 E. 792 kunci 6. Dari seperangkat kartu bridge akan diambil dua kartu sekaligus secara acak. Peluang terambil dua kartu King adalah ....
1 A. kunci 221
1 B.
13
4 C. 221
11 D. 221
8 E. 663 7.
Kotak A berisi 2 bola merah dan 3 bola putih. Kotak B berisi 5 bola merah dan 3 bola putih. Dari masing-masing kotak diambil satu bola. Peluang terambil bola merah dari kotak A dan bola putih dari kotak B adalah ....
1 A.
40
3 B. kunci
20
3 C.
8
2 D.
5
31 E.
40 8.
Sebuah kotak berisi 4 bola kuning dan 6 bola biru. Jika diambil 2 bola sekaligus secara acak, maka peluang terambil kedua bola berwarna sama adalah ....
2 A.
15
3 B.
15
5 C.
15
7 D. kunci
15
8 E.
15 9.
Sebuah kotak berisi 6 bola merah dan 4 bola kuning. Dari kotak tersebut diambil tiga bola sekaligus.
Peluang bahwa bola yang terambil dua bola merah dan satu bola kuning adalah ....
2 A.
3
1 B. (kunci)
2
1 C.
3
3 D.
10
1 E.
4 10.
Sebuah kotak berisi 4 bola putih dan 5 bola biru. Jika diambil 3 bola sekaligus, maka banyak cara pengambilan sedemikian hingga sedikitnya terdapat 2 bola biru adalah .... cara.
A.
10 B.
24 C. 50 kunci D.
55 E.
140