Statistika adalah ilmu yang berkaitan dengan

  

PENGANTAR

STATISTIKA INDUSTRI

  Statistika

  Statistika : Defnisi & Tujuan Statistika adalah ilmu yang berkaitan dengan

   pengumpulan,

   pengolahan,

   presentasi (deskritif), dan

   interpretasi (inferensi) data

  Secara ilmiah dalam kerangka proses  pengambilan keputusan yang berkaitan

  dengan adanya ketidakpastian (resiko) dan variasi .

  Statistika Deskriptif vs Inferensi

   Statistika deskriptif digunakan apabila peneliti hanya bertujuan mendapatkan ringkasan data yang dimilikinya. Ringkasan ini meliputi lokasi pemusatan data, variabilitas data, dan karakteristik umum distribusi data.

  

Statistika inferensi digunakan apabila peneliti

  ingin membuat suatu kesimpulan tertentu atas karakteristik/hubungan antar beberapa variabel dalam populasi, diberikan jika hanya memiliki data sampel.

  Statistika Deskriptif vs Inferensi

   

  Statistik Statistik Inferensi

• Memperkirakan dan

  Deskriptif 

  meramalkan nilai Collect

  

  Organize parameter populasi

  

  Summarize - Menguji hipotesis

  

  Display tentang nilai

  

  parameter populasi Analyze

  Tidak

• Membuat keputusan

  Tidak dilakukan dilakukan generalisasi generalisasi Inferensi Inferensi berdasarkan berdasarkan keterbatasan keterbatasan informasi sample informasi sample

Statistika Inferensi

• Statistika inferensi:
• – Menduga dan meramalkan

  Berdasarkan statistik sampel (estimasi) nilai parameter yang diambil dari sejumlah populasi... terbatas (tidak lengkap)

• – Menguji hipotesis nilai parameter populasi...

  informasi sampel

• – Mengambil keputusan...

  Observasi pada Observasi pada sebagian populasi sebagian populasi

  Melakukan Melakukan generalisasi terhadap generalisasi terhadap populasi... populasi...

  Populasi vs Sampel Oleh karenanya, lingkup ‘data’ dapat dikategorikan sebagai:  populasi merupakan kumpulan semua individu dari jenis objek yang menjadi perhatian penelitian, dan

   sampel adalah bagian dari populasi yang dapat dikumpulkan oleh peneliti (sebatas kemampuannya dalam melakukan pengumpulan data).

  Besaran populasi disebut parameter , sedangkan besaran sampel disebut statistik .

  Statistik sebagai estimator parameter  Estimator adalah statistik yang digunakan untuk mengestimasi parameter populasi.  Estimasi dari sebuah parameter adalah nilai numerik tertentu (dari statistik sampel) yang diperoleh melalui sampling.  Titik estimasi adalah sebuah nilai yang digunakan untuk mengestimasi sebuah parameter populasi. o

  Statistik adalah ukuran karakteristik sampel. o

  Parameter populasi

  adalah ukuran karakteristik populasi .

  Statistik vs Parameter

Distribusi dan rata-rata

  Rata-rata populasi () Distribusi frekuensi populasi

  X ^{X X X X X X} _{X X X X X X X} Perbedaan antara _{X X X X} rata-rata sampel dengan rata-rata populasi disebut bias

  Titik sampel _X Sample mean ( )

Proses Sampling & Inferensi

  Kaitan populasi dan sampel, serta proses sampling, proses inferensi & statistika deskriptif: Populasi

  Sampel Sampling Inferensi Statistika Deskriptif

Proses Sampling & Inferensi

  

  Dapat disimpulkan bahwa statistika berkaitan dengan proses pengambilan sampel ( sampling ) sehingga dapat dilakukan penyajian dan peringkasan data ( statistika deskriptif ) atau lebih jauh lagi dilakukan pendugaan dan pengujian nilai parameter populasi ( statistika

  inferensi ).

Sensus vs Sampling

  Sebuah metoda survey yang mencakup seluruh anggota populasi disebut sensus . Sementara teknik untuk mengumpulkan informasi dari sebagian populasi disebut sampling. Sampel Random Sederhana 

  Sampling dari populasi dilakukan secara

random, sedemikian sehingga setiap sampel

berukuran sama (n) memiliki kesempatan yang sama untuk diambil atau dipilih

   Sebuah sampel yang diambil dengan cara tersebut disebut sebuah sampel random sederhana atau sample random.

Pengambilan Sampel

   Pada statistika inferensi, pengambilan sampel menentukan hasil inferensi.

  

Idealnya sampel diambil secara random .



  Pengambilan sampel yang tidak tepat

dapat menyebabkan bias systematic

 error

Pengambilan Sampel Setiap data sampel yang diambil dapat mencakup:

   Nilai sebenarnya (true value),

   Kesalahan sistematis, dan

   Kesalahan acak (random).

  Data sampel = true value

• kesalahan sistematis
• kesalahan acak

Pengambilan Sampel

  Data sampel = true value

• kesalahan sistematis
• kesalahan acak

   Statistika membantu peneliti untuk mengetahui komponen-komponen nilai data sampel tersebut.

Pengambilan Sampel

   Data sampel selalu mengandung kesalahan karena adanya “ketidak-pastian (error)”,

  2 Ekspektasi [error] = variansi + (bias) 

  Variansi (kesalahan acak) berkaitan dengan masalah kepresisian.

  

Bias (kesalahan sistematis) berkaitan dengan

masalah akurasi.

  Presisi  ukuran seberapa jauh suatu tools memberi hasil yang konsisten  variasi data coeficient standard error/koefsien kesalahan baku Akurasi: seberapa tepat suatu tools mengukur apa yang seharusnya diukur jarak yang diukur dari target ketepatan menentukan sample dalam menggambarkan karakteristik populasi Sample akurasi tinggi: kesimpulan dari sample menggambarkan karakteristik populasi.

Representative sample

  

  Sample yang sebesar mungkin mewakili karakteristik populasi dikatakan sebagai representative sample.

  

  Besarnya dugaan keterwakilan populasi dalam sampel dinyatakan dengan (1-α).

  Notasi α selanjutnya disebut:  tingkat keyakinan (confdence) dalam melakukan pendugaan atau estimasi, dan

   tingkat pembedaan (signifcance) dalam melakukan pengujian hipotesis nilai parameter populasi (juga dikenal sebagai kesalahan tipe pertama).

Statistika dan permasalahannya

   Kecil kemungkinan karakteristik sampel persis sama dengan karakteristik populasi.

  

Teori probabilitas membantu kita dalam

  melakukan penarikan kesimpulan atas dugaan atau hipotetis yang terkait dengan karakteristik populasi.

Statistika dan permasalahannya

   Peran statistika dan teori probabilitas dalam proses deduksi dan induksi:

  Hipotesis 1  Deduksi  Konsekuensi Modifkasi (hipotesis 2)  Induksi Fenomena

   Eksperimen  Data

Statistika dan permasalahannya

  

Secara alamiah seorang anak dapat memiliki dugaan

( hipotesis 1 ) bahwa warna merah umumnya panas

dan warna biru umumnya dingin. Kemudian dia mendapat pengalaman ( deduksi ) bahwa ternyata api berwarna biru dari kompor gas lebih panas dari api berwarna merah ( konsekuensi ). Hal ini merubah dugaan awalnya ( induksi ) sehingga dia memperoleh dugaan baru ( hipotesis 2 ).

  Dengan cara ini manusia belajar secara alamiah dari pengalaman yang dihadapi.

Statistika dan permasalahannya

  Proses deduksi & induksi ini dapat “diciptakan” melalui eksperimen dengan memanfaatkan statistika dan probabilitas sehingga dapat diperoleh data atau estimasi untuk mempercepat proses belajar (tidak perlu menunggu kejadian alamiah).

Statistika dan permasalahannya Kerangka pemikiran kesisteman dan statistika:

  Proses  Variasi  Data  Perbaikan

  Kerangka kerja ini dikenal sebagai Statistical Thinking (Statistical Division ASQ) yang digunakan sebagai acuan dalam implementasi statistika di dunia nyata.

  Falsafah kesisteman Analisis Tindakan & resiko

Skala pengukuran

  Ada empat type skala, yaitu: 

  Nominal 

  Ordinal 

  Interval 

  Ratio

Skala pengukuran

   Skala Nominal – group atau kelas

   Jenis kelamin

   Skala Ordinal – urutan

   Ranking

   Skala Interval – perbedaan, selisih, jarak

   Temperatur

   Skala Rasio – perbandingan

   Ongkos per unit

  Statistika Deskriptif distribusi frekuensi & ukuran statis tik

Presentasi Data

  Grafik/diagram  penyampaian informasi data

  berupa angka secara visual

   Line Chart/ Diagram Garis

   Histograms/Diagram Batang

   Frequency Polygon/Diagram Frekuensi

   Ogives/Distribusi Frekuensi Kumulatif

   Pie Chart/ Diagram Lingkaran

  _{si 20 30 DIAGRAM GARIS}

_si

_{30 20 25} Grafik Histogram _{re F} en _{ku 10}

_F

_en

_ku

_re

_{10 15 5}

  30.5 ^40.5 _{Grafilk Poligon Class Boundaries} ^{50.5 60.5 70.5 80.5} _{30.5 - 40.5 40.5 - 50.5 50.5 - 60.5 60.5 - 70.5 70.5 - 80.5 80.5 - 90.5 Class Boundaries si 30 25 20 20 25 30 si 20 25 30} Kurva Frekuensi _{re F ku} en ¹⁵ _{10 5} ¹⁵ _{10 5 re en F ku 15 10 5} 30.5 - 40.5 40.5 - 50.5 50.5 - 60.5 60.5 - 70.5 70.5 - 80.5 80.5 - 90.5 _{Class Boundaries 30.5 - 40.5 40.5 - 50.5 50.5- 60.5 60.5 - 70.5 70.5- 80.5 80.5 - 90. 5 Class Boundaries}

  _{40.5 30.5 80.5 70.5 60.5}

  50.5 Sifat Kelompok Data 

  Mutually exclusive tidak overlapping – sebuah observasi hanya ada dalam sebuah kelompok

   Exhaustive

setiap observasi ditempatkan dalam sebuah

kelompok

   Equal-width (if possible) kelompok pertama dan terakhir dapat berbeda

Distribusi Frekuensi

  

  Frekuensi dari setiap kelompok jumlah observasi dalam setiap kelompok

• Jumlah frekuensi adalah jumlah observasi,
• yaitu

   N untuk populasi n untuk sampel

   

  Kelompok midpoint adalah nilai tengah kelompok, kelas atau interval

  

  Frekuensi relatif adalah prosentase dari total observasi dalam setiap kelompok jumlah frekuensi relatif = 1

  Distribusi Frekuensi

  Waktu operasi perakitan kendaraan bermotor

  

  Contoh frekuensi relatif: 30/184 = 0.163

  

  Jumlah frekuensi relatif = 1

  x Waktu operasi (menit) f(x) Frekuensi (jumlah produk) f(x)/n Frekuensi relatif 0 to less than 100 100 to lesss than 200

  200 to less than 300 300 to less than 400 400 to less than 500 500 to lesssthan 600

  30

  38

  50

  31

  22

  13 184 0.163 0.207 0.272 0.168 0.120 0.070 1.000 Distribusi Frekuensi Kumulatif x f(x) f(x)/n

  

Waktu operasi Frekuensi (jumlah Frekuensi

(menit) produk) relatif

0 to less than 100 30 0.163 100 to less than 200

  68 0.370 200 to less than 300 118 0.641 300 to less than 400 149 0.810 400 to less than 500 171 0.929

  500 to lesssthan 600 184 1.000 Frekuensi kumulatif dari setiap kelompok adalah Frekuensi kumulatif dari setiap kelompok adalah jumlah frekuensi dari kelompok sebelumnya . jumlah frekuensi dari kelompok sebelumnya .

Distribusi frekuensi Tahapan penyusunan:

  

Menghitung jumlah kelas interval (k), dengan rumus

(Sturges) : k = 1 + 3,3 Log n dimana : k = Jumlah kelas interval n = Jumlah data

    Menghitung Rentang Data (R)   R = Nilai data maksimum – Nilai data minimum

    Menghitung Panjang Kelas Interval (p), dengan rumus :

    p = R/k 

   Tabel Distribusi Frekuensi : ^Interva _{l Kelas (Limit)} ^{Batas Kelas} _{(Boundaries )} ^Mid _{Point (x i ) Frek. (f i )} ^Frek. _{Kumulatif (f kum ) f i .x i (x i ) 2 f i (x i ) 2} Jumlah

  Ukuran Statistik Ukuran Pemusatan

  1. Rata-rata (Mean)

  2. Nilai Tengah (Median)

  3. Modus

  Ukuran Penyebaran

  1. Jangkauan (Range)

  2. Variasi (Variance)

  3. Simpangan Baku (Standard deviation)

  Ukuran Letak

  1. Kuartil

  2. Desil

  3. Persentil

  Ukuran Lain

  1. Skewness

  2. Kurtosis

• – Rata-rata

Ukuran Pemusatan

  

  Untuk data tunggal _n dimana : x = Nilai dari data _i n = Jumlah data atau

  x _i 

  banyaknya data didalam _{i  1}

  x i 1 , 3 2 , ,..., n  

  sample

  n

   

  

  Untuk data berkelompok (data yang disusun dalam daftar distribusi frekuensi) :

  f x _{i i} 

  dimana :

  x  f _i

   f = Frekuensi untuk kelas interval ke-i _i atau

  x = Nilai tengah _i

   f c  _{i i}

  x = Nilai tengah yang akan diberi coding

     x x p

      f _i

   c = Variabel coding untuk kelas interval ke-i   _i

  p = Panjang kelas interval

• – Median

Ukuran Pemusatan

  

  Untuk data tunggal dimana: x _i = Nilai tengah dari data n = Jumlah data atau banyaknya data didalam sample

  

  Untuk data berkelompok (data yang disusun dalam daftar distribusi frekuensi) : dimana : Li = Batas bawah kelas median, yaitu kelas dimana median akan terletak. p = Panjang kelas interval n = Jumlah data F = Frekuensi kumulatif sebelum kelas median f = Frekuensi kelas berisi median  

         _ ^ genap n bila

  2 ganjil n bila ~ _{1 ) ( 2 / 2 /} ^{) 2 / 1 (} _{n n} ⁿ x x x x p f

  F n L Me _{Median i}

       

       

   

  2

• – Modus

Ukuran Pemusatan

   Untuk data berkelompok (data yang disusun dalam daftar distribusi frekuensi) : b

    ₁ Mo L p      _i   b b ₁  ₂   dimana : Li = Batas bawah kelas modus, yaitu kelas interval dengan frekuensi terbanyak p = Panjang kelas interval b = Selisih frekuensi kelas modus dengan frekuensi ₁ kelas sebelumnya b = Selisih frekuensi kelas modus dengan frekuensi ₂ kelas sesudahnya

• – Kuartil

Ukuran Letak

  ukuran letak yang membagi suatu distribusi menjadi 4 bagian yang sama, sesudah disusun menurut urutan nilainya.

  

  Untuk data tunggal:

  i n

  1   

  LetakK datake dengan i 1 , 2 ,

  3 _i   

  4 

   Untuk data berkelompok (data yang disusun dalam daftar distribusi frekuensi) :

  in  

  F  

  4  K L p dengan i

1 ,

2 ,

  3 _{i i}       f

     

  dimana : Li = Batas bawah kelas Ki, yaitu kelas interval dimana Ki akan terletak n = Jumlah data p = Panjang kelas interval F = Frekuensi kumulatif sebelum kelas Ki f = Frekuensi kelas Ki

• – Desil

Ukuran Letak

  ukuran letak yang membagi suatu distribusi menjadi 10 bagian yang sama besarnya.

  

  Untuk data tunggal:

  i n

  1   

  LetakD datake dengan i 1 , 2 ,...,

  9 _i   

  10

   

  

  Untuk data berkelompok (data yang disusun dalam daftar distribusi frekuensi) : _{ } in _{  10 } F _{1 2 9} D L p dengan i , ,..., _{i i          } f dimana : Li = Batas bawah kelas Di, yaitu kelas interval dimana Di akan terletak n = Jumlah data p = Panjang kelas interval F = Frekuensi kumulatif sebelum kelas Di f = Frekuensi kelas Di

• – Persentil

Ukuran Letak

  ukuran letak yang membagi suatu distribusi menjadi 100 bagian yang sama.

  

  Untuk data tunggal:

  i n

  1   

  LetakP datake dengan i 1 , 2 ,...,

  9

  9 _i    100 

  Untuk data berkelompok (data yang disusun dalam daftar

  in  

  F   100 

  distribusi frekuensi) :

  P L p dengan i 1 , 2 ,...,

  9

  9 _{i i}       f

     

  dimana : Li = Batas bawah kelas Pi, yaitu kelas interval dimana Pi akan terletak n = Jumlah data p = Panjang kelas interval F = Frekuensi kumulatif sebelum kelas Pi

  Ukuran Penyebaran – Variansi & Simpangan Baku  

• Untuk data tunggal:
• Untuk data berkelompok (data yang disusun dalam daftar distribusi frekuensi) :

  1

  1 ^{2 1 1 2 1 2 2}     

     

    

     ^ _{ } n n x x n x x s ^{n i i n i i n i i}

   

  1

  1

²

^{1 1 2 1 2 2 2}  

       

     

     ^ _{ } n n x f x f n x x f s ^{n i i i n i i i n i i i}

  Dimana: xi = Nilai tengah f = Frekuensi yang sesuai dengan nilai tengah n = Jumlah frekuensi

  2 s s

  Sehingga Standar Deviasi (Simpangan Baku) adalah :

  Ukuran Lain Skewness  Ukuran kesimetrisan distribusi data

   Kemiringan atau kecenderungan distribusi data Kurva Simetris Kurva Miring ke Kiri Kurva Miring ke Kanan (0) (-) (+)

  Kurtosis  Ukuran kedataran atau keruncingan distribusi data (A) Leptokurtik (B) Platikurtik (C) Mesokurtik

   Sampling & distribusi sampling

Teknik Penarikan Sampel

  Proses mendapatkan sampel dari populasi 

  (Sampling)

  mencerminkan populasi  kesimpulan dari sampel= kesimpulan dari populasi Masalah dalam bagaimana proses pengambilan sampel Satuan sampling: segala sesuatu yang dijadikan satuan (unit) yang nantinya akan menjadi objek penelitian.

  Daftar yang berisi satuan-satuan sampling yang ada dalam sebuah populasi, yang berfungsi sebagai dasar untuk penarikan sample.

Metode Penarikan Sample 1.Berdasarkan proses pemilihannya

  a. Sampling with replacements

  b. Sampling without replacements 2. Berdasarkan peluang pemilihannya.

  a. Probability sampling

  b. Non-probability sampling

Non-Probability Sampling

  1. Convenience/accidental sampling: sample diambil secara spontanitas  mudah dan murah

  2. Judgement/purposive sampling: sample diambil berdasarkan karakteristik yang ditentukan oleh tujuan penelitian

  3. Quota sampling: = (2), kuota (jatah) dan jumlah sample tertentu  mirip stratifed tapi tidak acak

  4. Snow ball sampling: =(2), populasi kecil dan spesifk  teknik berantai (sample berikut ditentukan sample sebelumnya)  biaya relatif kecil tapi bias/penyimpangan besar.

Probability Sampling

  Random sampling: sampel Random sampling : sampel

  (n ) diambil secara random _i

  (n ) diambil secara random _i dari populasi (N ). _i dari populasi (N ). _i

  Systematic sampling: sampel Systematic sampling : sampel diambil secara random untuk

  diambil secara random untuk

  pertama kali, dan selanjutnya

  pertama kali, dan selanjutnya diambil secara sistematis. diambil secara sistematis.

  Random dari 5 titik _{sampel pertama}

_{Sistematis setiap 5 titik sampel} Stratified sampling: sampel random (n _i ) dipilih dari setiap kelompok populasi (N _i ).

  Stratified sampling: sampel

  random (n _i ) dipilih dari setiap kelompok populasi (N _i ). ^{7 6 5 4 3 2 1 Group Population Distribution Sample Distribution}

  Cluster sampling: observasi dilakukan pada m cluster dari M cluster populasi.

  Cluster sampling : observasi

  dilakukan pada m cluster dari M cluster populasi. Prosedur Sampling 1.

  Menentukan populasi target

  2. Menentukan area populasi

  3. Menentukan ukuran populasi 4.

  Membuat kerangka sampling

  5. Menentukan ukuran sample

  

6. Menentukan teknik dan rencana pengambilan

  sample

  7. Melakukan pengambilan sample

Distribusi Sampling

  Distribusi sampling : distribusi peluang suatu statistik  tergantung ukuran populasi, ukuran sample dan metode penarikan sample

  Distribusi peluang disebut distribusi sampling

  X dari rataan

  1. Distribusi sampling dari rataan

  2. Distribusi Chi Square

  3. Distribusi Student-t

  4. Distribusi F

  Estimasi Parameter Pendahuluan

• x = 550
• Sebuah nilai estimasi yang memberikan sedikit informasi tentang rata-rata populasi.
• Peneliti 99% yakin bahwa ada dalam

   interval [449,551]

• Sebuah estimasi interval yang sempit

  dengan tingkat keyakinan yang besar.

• Peneliti 90% yakin bahwa μ ada dalam interval[400,700]

• Sebuah estimasi interval yang sempit

  dengan tingkat keyakinan yang kecil.

Tipe Estimasi Estimasi Titik

  

 Estimasi nilai tunggal dari distribusi sampling

 Memberikan informasi tentang parameter populasi.

  Estimasi interval 

   Sebuah interval atau rentang yang diyakini mencakup nilai parameter populasi yang tidak diketahui. confience

   Mengukur tingkat keyakinan ( ) bahwa interval tersebut sesungguhnya mengandung nilai parameter yang dicari. Estimator yang baik 

  Unbiased 

  Efsien 

  Konsisten 

  (Sufsien)

Unbiased

  Sebuah estimator dikatakan unbiased jika nilai ekspektasinya sama dengan nilai parameter populasi.

  Jika E(X)=  maka rata-rata sampel adalah estimator unbiased untuk rata-rata populasi. Rata-rata dari sebuah sampel mungkin tidak sama dengan rata-rata populasi, tetapi jika dilakukan pengulangan sampel secara independen akan diperoleh nilai yang sama dengan parameter populasi.

  Setiap penyimpangan (deviation) oleh estimator dari parameter populasi disebut bias.

  Unbiased Misalkan, dari sekumpulan variabel random

  1

  X adalah estimator tidak bias (unbiased) dari

  X E Dalam hal ini

  X E

  

X E n

     n i n i

  1      

    ) ( / ) (

  X ~

  , maka ekspektasi dari nilai rata-rata data adalah :  

  1 

  2

  X X X , , ,

  2   f diambil data-data n

  ) , (

   . Estimator unbiased ada tepat pada target Estimator biased tidak berada tepat pada target.

  { Bias

  Estimator Bias & Unbiased

  Efsien

  Sebuah estimator dikatakan efisien jika memiliki variansi yang relatif kecil.

  Estimator efisien berada pada Estimator tidak efisien mungkin pada target dengan sebaran yang target dengan sebaran yang besar. kecil. Konsisten

  Sebuah estimator dikatakan konsisten jika kemungkinan untuk mendekati parameter populasi semakin besar seiring dengan meningkatnya ukuran sampel.

  Consistency n = 100 n = 10

Sufsien

  Sebuah estimator dikatakan sufisien jika mencakup semua informasi tentang parameter populasi dalam data sampelnya. Estimasi Titik Ada tiga metoda estimasi titik (point estimation): 

  Metoda Unbiased 

  Metoda Momen 

  Metoda Maximum Likelihood Estimasi Interval

Estimasi interval adalah rentang yang diyakini

akan mencakup nilai parameter populasi yang tidak diketahui. Rentang ini juga memberikan besarnya keyakinan bahwa rentang tersebut mencakup nilai parameter yang diamati.

   Estimasi interval memiliki 2 komponen, yaitu:

  Sebuah rentang nilai

  

  Terkait dengan tingkat keyakinan ( level of

   confdence ) Estimasi Interval

Sebuah estimator akan berada pada suatu rentang atau interval

tertentu jika diterapkan tingkat kepercayaan tertentu. Jika L dan

U adalah batas-batas interval dimana estimator akan berada

  1   dengan tingkat kepercayaan , maka dapat didefnisikan :

  P ( L U )

  1       , untuk estimasi dua sisi atau

  P (L )

  1      , untuk estimasi satu sisi

  L   dimana =k dikenal sebagai akurasi (ketelitian) estimasi.

  ˆ

Secara umum, distribusi memungkinkan menghitung k

sehingga diperoleh

  ˆ ˆ P ( k k ) 1 ,

  1

             . Estimasi Interval Interval yang dihitung dari suatu sampel tertentu disebut interval keyakinan (1-)100%. (1-) disebut

  ˆ

  k   koefsien keyakinan, dan titik batas pada dan

  ˆ

  k

  

   disebut batas-batas keyakinan.

  Estimasi Interval 

  

Rata-rata dengan variansi diketahui/tidak



  Selisih rata-rata dengan variansi sama/tidak dan diketahui/tidak 

  Variansi tungal dan rasio 

  Proporsi

  Contoh Rumus:

  Untuk sampel besar ( n > 30) _ Untuk populasinya tidak terbatas atau terbatas yang pengambilan sampel dengan pengembalian dan  diketahui, interval kepercayaan (1-  )100% untuk  adalah :

   

  X Z

  X Z      _{  / 2 / 2} n n

   N n N n

     

  Untuk populasinya terbatas tanpa pengembalian dan 

  X Z

  X Z

       _{ / 2  / 2} diketahui, interval kepercayaan (1-  )100% untuk 

  N

  1 N

  1 

  

  n n

  adalah

  Contoh Pembacan Tabel Luas di bawah kurva normal

  1- = 95% 

  =5% 

  /2 = 2.5% (uji dua arah) X = 1-0.025 = 0.975 Z =…… Z = 1,96

  z 0.0 ... 0.06 ...

  0.0

  9

  1.9 0.9750

  Contoh Interpolasi Data: z 0.00 ...

  0.05

  0.06

  1- = 96% 

  =4% (uji satu arah) 1.7 0.9599 0.960

  X = 0.9600

  8 Z = 1.75 X = 0.9599 _{1 1} Z = …… X = 0.9600 Z Z

  X X

    _{1 1} 

  Z = 1.76 X = 0.9608

  Z Z

  X X _{2 3 2}   _{1 2 1}

   

  Z 1 .

  75 . 9600 . 9599  

     1 . 76  1 . 75 . 9608  . 9599

  Z 1 .

  75 . 0001 

   . 01 . 0009 . 0009 Z . 001575 . 000001

    . 0009 Z . 001576

  

  Z

  1 . 751 

   Contoh :

Perusahaan XYZ memiliki karyawan 250 orang.

  Untuk keperluan tertentu, ingin diketahui rata-rata jam kerjanya per minggu. Untuk itu, diambil sampel sebanyak 35 orang dan diperoleh data bahwa rata-rata jam kerja karyawan tersebut adalah 39,76 jam per minggu. Jika simpangan baku rata-rata jam kerjanya 0,93 jam estimasilah dengan tingkat keyakinan 90%, rata-rata jam kerja karyawan tersebut! Penyelesaian :

  

     

  1 ( 76 , 39  

     

     

       

       

     

     

     

  35 250

   

  1

  1 ^{2 / 2 /}  

  

  

  

  N N n n Z

  X N N n n Z

  X  

  35 93 , ) 65 ,

  1 ( 76 , 39 1 250

  N = 250

  1- = 90%

  

  n = 35

  

  X = 39,76

  

   = 0,93

  

  

  35 93 , ) 65 ,

   = 10%

  

  Z _{ /2} = Z _0.05 = 1,65   Kesimpulan: Jadi rata-rata jam kerja karyawan perusahaan XYZ dengan tingkat keyakinan 90% berada antara 39,53 jam sampai

  39,99 jam perminggu.

  99 ,

  39 53 ,

  39 1 250 35 250

   _{ }

  Uji Hipotesis

Pengertian Hipotesis Statistik

  Hipotesis (Hypothesis)  Greece Hupo= Sementara, dan Thesis= Pernyataan/Dugaan Jenis Hipotesis:

  1. Hipotesis Penelitian (Research Hypothesis)  Proporsional (Verbal)  Tidak bisa diuji secara empiris

  2. Hipotesis Statistik (Statistical Hyphothesis)  Berdasarkan data  Dapat diuji secara empiris

   Suatu asumsi mengenai parameter fungsi frekuensi peubah acak Hipotesis Penelitian  Hipotesis Statistik  Dugaan Pengertian Hipotesis Statistik

  Hipotesis Penelitian  Hipotesis Statistik  Dugaan penelitian dalam H dan H ₁ H merupakan hipotesis nol (null hypothesis) dan merupakan hipotesis yang akan diuji dan yang nantinya akan diterima atau ditolak tergantung pada hasil eksperimen atau pemilihan sampelnya.

  H merupakan hipotesis alternative atau hipotesa ₁

  tandingan (alternative hypothesis) Pengujian Hipotesis

  b . H : H :

      _{x 1 x}

  a . H : H :  

    _{x 1 x} Jika H Benar

  Jika H Benar Daerah Penolakan Daerah Penerimaan

  Daerah Penerimaan (1-α

  ） (1-α ）

   

  

Titik kritis Titik kritis Pengujian Hipotesis

  : : ₁   _{x x} H H

   

  Daerah Penerimaan (1-α ）

  2 

  2

  

  Daerah Penolakan bagi μyang terlalu kecil Daerah Penolakan bagi μyang terlalu besar

  Jika H Benar

Kesalahan pada Pengujian Hipotesis

  HIPOTESIS Keputusan

  Pengujian Jika H Benar Jika H palsu (H Benar) ₁ Keputusan yang benar. Kesalahan jenis II.

  Terima H Probabilitas = 1 - α Probabilitas = β

  “Tingkat Keyakinan” Kesalahan jenis I. Keputusan yang benar.

  Tolak H Probabilitas = α Probabilitas =1 - β

  “Taraf Nyata” “Kuasa Pengujian”

  α= Level of Signifnace

  1 – α= Level of Confdence 1 – β= Power of the Test Tahapan Pengujian Hipotesis

  1. Nyatakan hipotesis ststistik (H0 dan H1) yang sesuai dengan hipotesis penelitian yang diajukan.

  2. Menentukan taraf nyata/ alpha (Level of signifcance) 3. Menentukan jumlah sampel.

  4. Mengumpulkan data melalui sampel probabilitas

  (probability sample/random sample)

  5. Gunakan statistik uji yang tepat (distribusi z, t, …)

  6. Menentukan titik kritis dan daerah kritis (daerah

  penolakan) H0

  7. Menghitung nilai statistik uji berdasarkan data yang

  dikumpulkan. Perhatikan apakah nilai hitung statistik uji jatuh di daerah penerimaan atau penolakan.

  8. Berikan kesimpulan statistik (statistical conclusion)

Contoh soal :

  Suatu perusahaan pembuat pesawat terbang komersial menyatakan, bahwa hasil produksinya setelah dipergunakan dalam waktu 1 tahun diperlukan pengecheckan kembali selama 11 jam dengan standar deviasi 3,5 jam. Setelah berselang 3 tahun teknisi pesawat meragukan hipotesis ini, sehingga perlu dilakukan pengamatan kembali dengan mengambil sampel sebanyak 49 buah pesawat, ternyata waktu rata-rata yang diperlukan untuk mengadakan pemeliharaan ini 12 jam. Teknisi masih percaya bahwa standar deviasinya tetap tidak berubah. Apakah ada alasan untuk meragukan bahwa waktu yang diperlukan untuk pemeliharaan pesawat terbang dalam 1 tahun diperlukan 11 jam, apabila dipergunakan taraf keberartian 10% ?

• Formulasi hipotesis :
• Kriteria pengujian
• Statistik uji, distribusi Z :

• Taraf keberartian (level of signifcance)  = 10%, dari tabel kurva normal diperoleh nilai  Z _{ /2}

  = 1.645.

  Digunakan pengujian dua sisi (two-tailed)

  H _o :  = 11 jam H ₁ :   11 jam

  Penyelesaian:

   

    . / . / n x z

  11

  12    

  3

  5

  49

  1

  5

  2

  Ho diterima jika : -1.645  Z  1.645 H1 ditolak jika : Z > 1.645 dan Z < -1.645 Kesimpulan :

• Karena nilai Z lebih besar dari nilai Z _hitung
_tabel (+2 > +1.645) maka Ho ditolak pada level signifcance 10%, dan dapat dinyatakan bahwa rata-rata pemeliharaan pesawat terbang tersebut lebih dari 11 jam. Agar lebih jelas dapat dilihat dalam gambar dibawah ini _{Penolakan Daerah Daerah} +2 _{Penolakan Daerah} penerimaan
• _{-1.645 +1.645} 