DIMENSI TIGA dimensi gua potro

DIMENSI TIGA
Pendahul uan:

5. Tabung

Bab Dimensi Ti ga i ni merupakan kel anj ut an dari mat eri

Luas = 2  r ( r + t )

pel aj aran bangun ruang sewakt u di SMP dul u.

t

Saat di SMP, hal yang di bahas adal ah l uas per mukaan
dan

vol ume

bangun

r uang,

sedangkan

di

Vol =  r 2 t

r

SMA

dit ambahkan dengan empat mat eri yait u:

6. Kerucut

1. Menggambar bangun ruang

Luas =  r (r+s)

( s = pj g si si mi r i ng )

s

2. Irisan bangun r uang

Vol

= 1/ 3 . l uas al as . t inggi

r

3. Jar ak ant ar t i t ik-gari s-bidang
4. Sudut ant ar a gari s-bi dang dan bi dang-bidang
7. Bol a
Kar ena wakt u bel aj ar t inggal 2 minggu, maka yang akan

Luas = 4  r 2

dibahas hanya: a) Bent uk dasar bangun r uang

Vol = 4/ 3.  r 3

b) Iri san bangun r uang

A. BENTUK DASAR BANGUN RUANG
Lat i han 1

1. Kubus

1. Diket ahui kubus ABCD. EFGH dgn panj ang AB = 6 cm,

Luas = 6 s 2
Vol

= s3

t it ik M di t engah GH dan t i t ik N pada r usuk DH

( s = panj ang sisi )

sedemi ki an sehi ngga DN = 2 NH. Tent ukanl ah:



2. Bal ok
Luas = 2 x ( p. l + p. t + l . t )
Vol

= p. l . t

a. j ar ak AG

d. vol ume l imas N. ABCD

b. j ar ak BM

e. Perbandingan vol ume l imas

c. j ar ak BN

N. ABCD dan l imas M. BCD

2. Bal ok ABCD. EFGH, perbandingan p : l : t = 4 : 3 : 2.



Ji ka vol ume bal ok it u 81 cm 3, t ent ukan panj ang
diagonal ruangnya.

3. Prisma
3. Hit ungl ah t inggi & vol ume l imas segit iga ber at uran
Luas = 2 x l . al as + sel imut

T. ABC j ika AB = 8 cm dan TA = 6 cm

Vol = l uas al as x t i nggi

4. Hit ungl ah t inggi & vol ume l imas segiempat ber at ur an
T. ABCD j ika AB = 8 cm dan TA = 6 cm

4. Li mas
Luas = l . al as + sel imut
Vol

5. Diket l imas segi 6 ber at ur an T. ABCDEF, AB = 3 cm dan

= 1/ 3 l . al as x t inggi

rusuk TA = 5 cm. Hi t ung t i nggi & vol ume l imas it u

1

Dimensi Tiga, SM A Pahoa, Mei 2010

6. Sebuah t abung mempunyai vol ume 54 cm 3. Jika

B. KEDUDUKAN TITIK, GARIS, & BIDANG

t inggi t abung it u 2 kal i j ari -j ari nya, t ent ukanl ah l uas
Gari s, Bidang, dan Bangun Ruang

t abung i t u!

. Garis = benda berdi mensi sat u dan hanya mempunyai
panj ang t api t idak mempunyai l ebar.

7. Sebuah dr um ber bent uk t abung yang j ari -j ari dan

. Bidang (bi dang dat ar) = benda berdi mensi dua yg

t inggi nya 2 dm dan 3 dm, berisi ai r penuh.
Ke dal am dr um di masukkan l i ma buah bat u bat a

mempunyai ukur an panj ang dan l ebar. Nama bidang

berbent uk bal ok ukuran 12 x 6 x 5 cm.

bisa dit ul iskan di poj ok bi dang dgn huruf , , at au

Tent ukan ket i nggi an air di dal am drum i t u sekar ang!

dengan menul iskan t i t ik-t i t ik sudut bidang i t u.

. Bangun ruang adal ah benda berdi mensi t iga.
8. Diket ahui ker ucut dgn t i nggi 8 cm dan j ari-j ari 6 cm.
Tent ukan vol ume dan t ot al l uas permukaannya!
Aksioma/ t eori t it ik, garis, dan bidang:

. Mel al ui 2 t it ik sembar ang hanya dapat dibuat 1 garis.

9. Sebuah pot bunga berbent uk kerucut t erbal ik yg

. Sebuah bi dang dapat dit ent ukan/ dibent uk ol eh:

berj ari -j ari 12 cm dan t i nggi 18 cm di isi pasir hingga

a. 3 t it ik sembar ang.

2/ 3 t inggi nya. Tent ukan vol ume pasi r it u!

b. 1 garis & 1 t it i k di l uar garis.
c. 2 garis berpot ongan.

10. Sebuah bol a mempunyai j ari -j ari 10 cm.

d. 2 garis sej aj ar.

Tent ukan l uas dan vol ume bol a it u!

Kedudukan t i t ik dan garis:

11. Ke dal am kubus (r = 10 cm) dimasukkan sebuah bol a.

A

Ada 2, yai t u:

Tent ukan vol ume maksimum bol a it u!



a. t it ik pada garis (t i t ik A)

B

b. t it ik di l uar garis (t i t ik B)

12. Ke dal am ker ucut (r= 6 cm, t =8 cm) dimasukkan
sebuah bol a. Vol ume maksi mum bol a?



Kedudukan t i t ik dan bidang:
Ada 2, yai t u:

13. Ke dal am bol a (r = 4 cm) di masukkan sebuah kubus.



Tent ukan perbandi ngan vol ume kubus maksimum

a. t it ik pada bidang (t it i k C)

dan vol ume bol a!

b. t it ik di l uar bidang (t i t ik D)

D

C

14. Dua buah ker ucut memi l iki vol ume yg sama.
Jika perbandi ngan t i nggi kedua ker ucut adal ah 4 : 9,

Kedudukan garis dan garis l ai n:

t ent ukan per bandi ngan j ari -j ari al asnya!

. Ada t iga: berpot ongan, sej aj ar, bersil angan.
. Garis g dan h berpot ongan, j i ka mer eka t erl et ak pada
1 bidang dan mempunyai hanya 1 t i t ik persekut uan.

15. Sebuah ker ucut punya t inggi yg sama dgn sebuah

. Garis g dan h sej aj ar, j ika kedua mereka t erl et ak pd

t abung. Jika j ari-j ari t abung 2 kal i j ari-j ari ker ucut
3

1 bidang dan t idak mempuyai t i t ik persekut uan.

dan vol ume t abung 18 dm , t ent ukan vol ume

. Garis g dan h bersi l angan, j ika mer eka it u t idak

ker ucut .

t erl et ak pd 1 bidang dan t i dak sej aj ar .

. Mel al ui 1 t it ik di l uar garis, hanya dapat dibuat 1
garis yg sej aj ar dgn gar is it u.

2

Dimensi Tiga, SM A Pahoa, Mei 2010

Kedudukan garis dan bi dang:

Cont oh 2

. Ada 3 kemungki nan:

Per hat ikan gambar kubus berikut i ni .

a. Garis t erl et ak pd bidang: j ika garis & bidang

Pada r usuk HG, AE, dan BF t erdapat t i t i k P, Q, dan R.

mempunyai mi nimal 2 t it ik persekut uan.

Akan dibuat bidang iri san yg mel al ui t i t i k P, Q, dan R.

b. Garis sej aj ar bidang: j ika gari s & bidang t i dak
H



mempunyai t i t ik persekut uan.
c. Garis menembus bi dang: j ika garis & bidang

P

G

F

E

hanya mempunyai 1 t it i k t embus.

. Jika garis g sej aj ar h & garis h t erl et ak pd bidang ,


maka gar is g sej aj ar dgn bi dang .

Q


D

R

 C

30O

Kedudukan bidang dan bidang l ai n

30O

A

B

. Ada 3 kemungki nan:
a. Beri mpi t : j ika set iap t i t ik pada sebuah bidang,
Jawab:

t erl et ak j uga pada bidang yg l ain.

Per hat ikan gambar di at as:

b. Sej aj ar : j ika keduanya t i dak mempunyai t i t i k

P t erl et ak pd bidang DCGH dan EFGH

persekut uan.

Q t erl et ak pd bidang ABFE dan ADHE

c. Ber pot ongan: j i ka kedua bidang it u

R t erl et ak pd bidang ABFE dan BCGF

mempunyai 1 gar is persekut uan.

. Jika garis g menembus bi dang  dan bidang  sej aj ar
Tampak bahwa Q dan R t erl et ak sama-sama pd bidang

bi dang , maka gari s g j uga past i menembus bidang .

ABFE. Ol eh karena it u, t it ik Q dan R bisa l angsung
dihubungkan (garis QR mer upakan si si dar i bidang irisan
yg akan dibuat ).

IRISAN BANGUN RUANG
Bidang iri san (penampang) adal ah sebuah bi dang dat ar
yg memot ong suat u bangun r uang mel al ui 3 t it i k yg

Tet api t i dak demiki an dgn t i t ik P karena t i dak t erl et ak

t el ah dit ent ukan sebel umnya (i ngat aksi oma di at as! ).

1 bidang dgn t i t ik Q maupun R. Maka, mel al ui t i t ik P

Bidang i risan i ni mel al ui t epi sisi l uar dari bangun ruang

akan dibuat garis bant u PQ dan PR.

(t idak mest i semua sisi rusuk bangun ruang dil al ui ol eh
H

bidang i risan).



P

G
F

E

Cont oh 1
Pada kubus di bawah i ni , bi dang yg diarsir adal ah
Q

bidang i risan yg mel al ui t it ik A, C, dan H.

Q
D

Terl ihat bahwa bidang ir isan t idak mest i mel al ui semua

R

30 O

r usuk (t idak mel al ui rusuk BF, EF, dan FG).
H



A

G

 C

30 O
B

gar is bant u
gar is bant u

F

E

T
D



30 O
A

C

30 O
B

3

Dimensi Tiga, SM A Pahoa, Mei 2010

- Hubungkan gari s VR hi ngga memot ong rusuk CG di

Akan dit ent ukan sebuah bidang, di mana gari s PQ dan PR

t it ik W.

akan ber t emu di 1 bidang t ert ent u. Bidang t emu i t u

P

H

G

adal ah bidang al as (bidang ABCD).
Per hat ikan bahwa garis PQ dan PR j ika dit er uskan, akan

W

F

E

sama-sama menembus al as kubus.
Q

Car a menent ukan t it i k t embus garis PQ:



Q


D

R

- Proyeksikan t it ik P dan Q ke bidang al as.
30O

- Diperol eh t i t ik S dan t i t i k A.

30O

A

- Kar ena t i t ik S dan A t erl et ak pd 1 bidang yg sama,

 C

S
B

T

af init as

U

V

maka S dan A bi sa dihubungkan.
- Tit ik pot ong garis PQ dan garis SA disebut t i t ik
Lakukan hal yg sama unt uk mencari garis t epi dari

t embus (di t it i k T).

bidang iri san pd sisi ADHE.

- Begit u pul a garis PR, akan menembus al as di t it i k U.

Tarik/ perpanj ang gari s DA hi ngga memot ong sumbu
af i nit as di t i t ik X.
P

H

G

Hubungkan garis XQ hingga ke at as (di dapat t i t ik Y)

F

E

Y



P
W
F

Q

Q
D

R

 C

S

Q

30 O
A

T



30 O



Q


B

R



S



U

30O

30O

A
T



B




X

af init as



U

V

Kedua t it ik t embus ini akan dihubungkan ol eh sebuah
garis (disebut sumbu afinitas).

Kar ena t i t ik P t erl et ak sebidang dgn Y dan W, maka
dapat dit arik garis PY dan PW.

Sumbu af i nit as adal ah garis yg t erl et ak pada

Didapat bidang irisan yg mel al ui t i t ik P, Q, dan R (yai t u

al as/ at ap/ sisi t erl uar dari bangun r uang, yg di gunakan

bidang yg diarsir ), sel esai !

sbg pat okan unt uk menari k garis-garis bidang iri san

P

Y

l ai nnya di dal am bangun ruang i t u.

W
F

Pada cont oh ini:
- Proyeksikan t it i k R ke bidang al as (didapat t i t ik B).

Q

- Kar ena t it ik B t erl et ak di al as, maka hubungkan gari s
S

pd al as kubus yg mel al ui B (yai t u garis CB),
30

pot ongkan dgn sumbu af i ni t as (di dapat t i t ik V).
T

- Hal ini dimaksudkan unt uk mencar i gar is bidang irisan

X

O

30O
V

U

pd sisi BCGF.
4

Dimensi Tiga, SM A Pahoa, Mei 2010

Cont oh 3

Demi ki an j uga, cari t it ik t embus garis LM dgn bi dang

Per hat ikan gambar l imas di bawah ini. Tent ukan bidang

kiri l imas, dgn memperpanj ang garis DA, didapat t i t ik Q

i risan yg mel al ui t i t ik K, L, dan M.
T

Sekar ang, t ampak bahwa t i t ik K dan P t erl et ak pd 1
bidang, shg dapat di buat gari s sampai memot ong rusuk
K


T

TD di t it ik R.


R

K

D
C


M



A

P

D

B

L

C

Jawab:

M

Per hat ikan: t it ik L dan M t erl et ak pd 1 bi dang (yait u

A

al as). Ol eh kar ena i t u, l angsung hubungkan garis LM.

B

L

Q

T

Kar ena t i t ik R dan Q t erl et ak pd 1 bidang (bidang
samping kir i l i mas), maka hubungkan t i t i k R dan Q


K

hingga memot ong r usuk TA di t i t ik S.
T


D

R

C


S

M



A

K

.

B

L

P

D
C

Garis LM ini j ika di panj angkan, past i akan menembus

M

bidang samping kir i l i mas (bidang TAD) dan bidang

A

bel akang (TDC).

B

L

Q

Kar ena t i t i k K ada di rusuk bel akang l i mas, maka cari

Dengan menghubungkan t it ik-t it i k M-K-R-S-L-M akan

t it ik t embus garis LM di bidang bel akang, yait u dgn cara

didapat bidang irisan yg di t anyakan, sel esai!

memperpanj ang garis DC, didapat t i t ik P.

T

T


R




K

K

S
P
P

D
C

M



M
A
Q



L

L

B
5

Q

Dimensi Tiga, SM A Pahoa, Mei 2010

Cont oh 4

Kar ena t i t ik R dan A sebi dang (di bi dang bel akang),
maka dapat dihubungkan, di perpanj ang hingga
menembus bidang samping ki ri, didapat t i t ik S dan T.

Pada gambar bal ok berikut i ni, t ent ukan bidang i risan
yg mel al ui t i t ik A, B, dan C.
A



S
A

T

C



R

B
C
B
Q

P

Jawab:
Tit i k A, B, dan C t i dak ada yg sebidang, j adi perl u
dibuat kan garis bant u.
Ji ka dit ari k gari s bant u AC, maka garis AC i ni har us

Kar ena t i t ik S dan C t erl et ak sebidang (di bidang
samping kir i), maka hubungkan S dan C, di dapat t i t ik U

dit embuskan ke bidang dimana t it i k B berada.
Juga, j ika di t ari k garis bant u BA, maka har us
dit embuskan ke bidang dimana t it i k C ber ada.

S
A
U

Misal nya dit arik garis bant u AC.
“ Jika A dan C dihubungkan, maka proyeksi A dan

T

proyeksi C j uga dihubungkan ” , didapat t it ik P.

R
C

A

B
Q

P

C



B

P

Dengan menghubungkan garis T – A – U – C – Q – B – T
diper ol eh bidang irisan yg mel al ui t it ik A, B, dan C,
sel esai!

Kar ena P dan B sudah t erl et ak pd 1 bidang, maka dapat
dihubungkan, dan gari s PB diperpanj ang hi ngga:
- memot ong r usuk depan-bawah, didapat t it ik Q.
- menembus bidang bel akang t empat A ber ada,
didapat t i t ik R.

S
A
U

A

T

R
C
B
R
P

C

Q

B
P

Q

6

Dimensi Tiga, SM A Pahoa, Mei 2010

Lat i han 2
Tent ukan bidang iri san yg mel al ui t it i k A, B, dan C pada
gambar berikut i ni.

A

1

A

2




C 



B





B
30 O

30 O



C

4
3

A 

A


B





C

C



B

5



A



C

B

7

Dimensi Tiga, SM A Pahoa, Mei 2010