Matematika Teknik 2 – Bab 3 – Invers Laplace

MATEMATIKA LANJUT

INVERS LAPLACE

  1 BAB 3

  

Pokok Pembahasan :

  Prinsip Dasar Invers Laplce Fungsi-Fungsi Dasar

  Ekspansi Parsial Konvolusi

MATEMATIKA LANJUT

  1. PRINSIP DASAR

  Inverse Laplace adalah kebalikan dari t ransf ormasi Laplace, yait u t ransf ormasi F(s) menj adi f (t ).

• 1

  F(s) = f (t ) ( 3-1 )

  L

• -1

  ⊕ Pernyat aan invers Laplace dinyat akan dengan simbol “ “ L

  ⊕ Invers Laplace dapat dilakukan t erhadap semua f ungsi :

• Fungsi-f ungsi Element er
• Fungsi-f ungsi Non Element er

  2. INVERS LAPLACE FUNGSI-FUNGSI ELEMENTER Invers Laplace f ungsi-f ungsi dasar dapat dilihat dalam Ikht isar Transf orm.

  Laplace. Hasil invers merupakan kebalikan dari t ransf ormasinya.

  1

MATEMATIKA LANJUT

3. FRAKSI PARSIAL (PART IAL FRACT ION)

  Ekspansi Heaviside merupakan salah sat u cara penyelesaian invers Laplace unt uk f ungsi-f ungsi non element er.

  Bila bent uk Transf ormasi Laplace merupakan pembagian 2 buah persamaan polinomial yang dinyat akan dengan : A(s)

  ( 3-2 ) F(s) =

  B(s)

  ⊕ A(s) dan B(s) adalah polinomial dalam s ⊕

  Pangkat (orde) s pada A(s) < orde s pada B(s).

  m m-1 ⊕ A(s) = a s + a s + . . . . . . + a s + a m m-1

  1 n n-1 ⊕

  B(s) = b s + b s + . . . . . . . + b s + b

  n n-1

  1 ₁

MATEMATIKA LANJUT

  ⊕

  B(s) dapat diuraikan menj adi :

• B(s) = b (s-s )(s-s ) . . . . . . . . (s-s ) . . . . . . (s-s )

  n

  1 2 k n

• s , s , s , . . . . . s = akar-akar B(s).

  1

  2 3 n ⊕ Akar-akar B(s) dapat berupa :

• Bilangan nyat a (riel)
• Bilangan imaj iner (khayal) • Bilangan kompleks.
>Berharga t ak sama (berbe
• Berharga sama.
₁

MATEMATIKA LANJUT

  Cont oh pembagian f ungsi polinomial rasional (t erukur) :

  3

  3s + 2s + 1 F(s) =

  2

  s + s + 2

  3 s - 3

  2

  3

• ( s + s + 2 ) 3 s 2 s +

  1

  3

  

2

3 s + 3 s + 6 s

• 2

• 3 s 4 s

  1 −

  

2

• - 3 s 3 s

  6 − −

• s + 7
• s + 7

  F(s) = 3s - 3 +

  2 Sehingga F(s) menj adi : s + s + 2 ₁

MATEMATIKA LANJUT

  Bila akar-akar B(s) t ak ada yang sama dan m < n, maka : Besaran-besaran k

  1 2 k n A ( s ) F ( s ) = b ( s - s ) ( s - s ) . . . . ( s - s ) . . . . . ( s - s )

1 F ( s ) = . . . . . . .

  1 2 k n n 1 2 k n k k k k

• ⎢

  , k

  B(s)

  1

  ⎜⎝ ⎠

  ⎜ ⎟

  ⎜ ⎟

  ⎜ ⎟ −

  ⎛ ⎞⎟

  =

  A (s) k = b (s s ).

  3

  ⎦ k k n k S S

  ⎥ − − − − ⎣

  1 3. 1. Fraksi Parsial Dengan Akar-akar Tak Sama

  , k

  2

  dapat dit ent ukan dengan rumus :

  n

  . . . k

  b s s s s s s s s ⎡ ⎤ ⎢ ⎥

MATEMATIKA LANJUT

  3 s = -1

  ⎜ ⎟ + +

  ⎜ ⎟

  ⎜ ⎟

  ⎜⎝ ⎠

  { }

  1 s = 0

  1

  1 k = s = - 2 s ( s - 2 ) ( s + 1 )

  { }

  1

  k k k s ( s - 2 ) ( s + 1 )

  1

k = (s+1) =

3 s(s-2)(s+1)

  1 s ( s - 2 ) ( s - 1 )

  1

  1

  1

  6

  3

  2 s ( s - 2 ) ( s + 1 ) ⎛

  ⎞ − ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ + + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠

  ⎛ ⎞⎟

  2

  1

  3

  1 s ( s - 2 ) ( s + 1 )

• 1
• 1

  1

k = (s-2) =

6 s(s-2)(s+1)

  1

  2 s = 2

  { }

  =

  L

• 1
• 1

  u(t ) +

  1/ 3

  e

  1/ 6

  f (t ) = -½ u(t ) +

  L

  =

  L

• t

  e

  u(t )

  1 Cont oh : L

  2t

MATEMATIKA LANJUT

• ....+ + ......... + (s-s ) (s-s ) (s-s ) ⎤ ⎥ ⎥⎥⎦

  1 3. 2. Fraksi Parsial Dengan Akar-akar Sama

  Bila akar-akar B(s) ada yang sama dan m < n, pada : Bila t erdapat p buah akar yang sama, maka :

  1 2 k n A ( s ) F ( s ) = b ( s - s ) ( s - s ) . . . . ( s - s ) . . . . . ( s - s )

  1 p 1 p -1 1 1 p p -1 n

  1

  1

  1 k k A ( s ) k

  1 = + + ...+ + .... B ( s ) b ( s -s ) ( s -s ) ( s -s ) ⎡

  ⎢ ⎢⎣ p+1 p+2 n p+1 p+2 n k k k

MATEMATIKA LANJUT

  dengan :

  A ( s ) p k = b ( s - s )

  1 p n

  1

  ( 3-4a )

  B ( s )

s = s

₁ d A ( s ) p k = b ( s - s )

  1 p - 1 n

  1

  ( 3-4b )

  d s B ( s ) s = s ₁ p - k b d A ( s ) p n k = ( s - s )

  ( 3-4c )

  1 k 1 p - k

  ( p - k ) ! d s B ( s ) s = s ₁

  1

MATEMATIKA LANJUT

3 F(s)

  3

  (s 1) (s 2) =

  2

  k k k F(s)

  2

  1

• 1

  f (t ) = 3t e

  = −

  = − = −

  2

s

  2

  3 k (s 2)

  3 (s 1) (s 2)

  = + =

  1 d

  2

  2

  3

  3

  3

  3 =

  −

  

3

k = (s + 1 ) 3 d s (s + 1 ) (s 2 )

  2 s

  = 3 [ (t -1)e

  

= + = + =

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ + +

• 3

• 1

• e

  ] ^{2 2 1 2 s 1 s 1}

  3 k (s 1) F(s) (s 1) 3 (s 1) (s 2) ⁼

  − _{= −} ⎛ ⎞⎟ ⎜ ⎟

• t
• t
• 2t
• t
• 2t
• – 3e

• 3e

  1 Cont oh : L

  ⎝ ⎠

  L

  2

  2

  (s 1) s 1 s

  2

  2 = + +

MATEMATIKA LANJUT

  Cara lain unt uk mencari nilai k :

  2 ⊕ Subst it usikan harga k yang t elah di dapat .

  1 ⊕ Pindahkan ke ruas kiri.

  ⊕ Hit ung k dengan met ode f raksi parsial dengan akar berbeda.

  2

⎛

_{2 2}

  3 ₁ ⎟ _{s = − 1 ⎟}

⎜

₂

⎜

  3 ⎞⎟

⎜

k = (s 1) F(s) = (s 1) =

  ⎟ ⎜ + (s 1) (s 2) _{s = − 1} ⎝ ⎠

• 3

  3 k k

  2

  3

• =

  2

  2

• 2) (s 1) (s 1) (s 2) + (s 1) (s

  3 3 k k

  2

  3

  = −

• 2

  2

• (s 1) (s 2) (s 1) (s 1) + + + (s 2) 3 k k

  −

  2

  3

  = +

  3 k = (s + 1 ) = 3 −

  2

• + (s + 1 ) (s 2 )

  s =

  1 − ₁

MATEMATIKA LANJUT

  Ekspansi Parsial Dengan Akar-akar Kompleks

  Akar-akar kompleks t erj adi dalam pasangan konj ugasinya Bila

  ( 3-5 )

  F ( s ) = j

α ± β

  k k

  1

  2

• F ( s ) =

  ( 3-6 )

  s - - j s - + j

α β α β

k = ( s - - j ) F ( s ) | α β

  1 s = α + j β

  ( 3-7a )

  2 s = -j α β

  k = ( s - + j ) F ( s )| α β

  1

MATEMATIKA LANJUT

  −

  −

  − = +

  − −

  d d (s p) F(s) [A 2(s p)A ....] ds ds

  r r 1 r 2

  = + + + + − − − −

  D (s)(s p) (s p) (s p) (s p)

  F(s) = ... F (s)

• ^{r r-1}
^{1 1 r r r 1 1} A A A N(s)

  −

  − − − = +

  r 2 r r 1 r 2 d d (s p) F(s) [A (s p)A (s p) A ....) ds ds

  ( 3-8 ) ( 3-9 )

• −

  1 Bila

MATEMATIKA LANJUT

  Cont oh : s F(s) = 1.

  2

• (s 1)(s 2s 2) s

  F(s) = (s 1)(s 1 j1)(s 1)(s 1 + + + + + j1)

  − A B B*

  F(s) = + + (s 1) (s 1 j1) (s 1 + + + + j1)

  − s A

  1 = =

  −

  2

  s 2s

  2

  s = −

  1

  s 1 j1

  1 − o

  B

  45 = = =

  ∠−

  2

  2

• (s 1)(s 1 j1)

  s 1 j1 = + t t o − − f (t) = e 2 e cos (t 45 ) − + −

  1

MATEMATIKA LANJUT

1 F(s)

  2 A B A * B * C

  (s 1)(s 2s 2) =

  2

  = + + + + − − − −

  F(s) (s p) s p (s p*) s p * s 1

  2

• 2

  = = −

  = = = =

• 2
• −
• −
• −
• −
• − =
• −

  (p 1) (p p*) − −

  4

[(p p*) 2(p 1)(p p*)]

B

  2

  2

  − =

  d 1 [(s p*) 2(s 1)(S p*)] ds (s 1)(s p*) (S 1) (S p*) − −

  4

  2

  2

  =

  2 − − +

  4

  (s 1)(s p*) (p 1)(p p*) ( j)(2 j)

  1 A j

  1

  1 2.

  1

  2 s p

  2

  2

  Bila p – p*=2j dan p+1 = j , maka : [ 4 2 ( j) ( 2 j) ]

  1 B ( 1) (1 6 )

  1

MATEMATIKA LANJUT

  Selanj ut nya

  1 C = =

  1

  2

• s 2s

  2

  s = −

  1 pt pt p*t p*t -t

  f (t ) = At e + Be + A* t e + B*e + Ce

  o o

  ∠ ∠

  Bila A = (1/ 4) 90 dan B = ½

• t o -t -t

  f (t ) = t e cos( t + 90 ) + e cos t + e

  1

MATEMATIKA LANJUT

4. KONVOLUSI

  Bila f (t ) merupakan inverse F(S) dan g(t ) merupakan inverse G(S), maka h(t ) merupakan invers dari produk H(S) = F(S) G(S). h(t ) disebut konvolusi dan dit uliskan dengan :

  t

  ( 3-10 )

  = = τ − τ τ h(t) (f *g)(t) f ( )g(t )d ∫

  τ Unt uk > 0.

  Dengan def inisi G(S) dan t eori pergeseran, didapat kan :

  ∞ − τ s − st

  ( 3-11 )

  e G(S) = e g(t − τ ) dt ∫ ₁

MATEMATIKA LANJUT

  Sehingga :

  ∞ t − st

  ( 3-11 )

  H(S) = F(S) G(S) = e f ( )g(t τ − τ τ )d dt ∫ ∫

  Sif at -sif at dasar operasi arit mat ik konvolusi

  a. Komut at if f * g = g * f

  b. Dist ribut if f *( g + g ) = f * g + f * g

  1

  2

  1

  2

  c. Asosiat if ( f * g ) * v = f * ( g * v ) f * 0 = 0 * f = 0 Demikian pula halnya perkalian dengan bilangan lain kecuali 1, karena Khusus unt uk 1 * g ≠ g ₁

MATEMATIKA LANJUT

  ω ω −τ = = τ τ

  ;

  = − ω − ω

  1 h(t) (e 1) ω

  2

  ∫ t

  ω ω −ωτ = = τ τ

  ∫ t t t ) h(t) t *e e e d

  1 Cont oh Soal dan Penylesaian

  1. H(S) = 1/ [ (S

  ∫ t f (t) = t dan g(t) e

  ω

= = τ − τ τ

  = ω t t h(t) t *e f ( )g(t )d dt

  1 F(S) = dan G(S) S - S

  1

  2

  )(S- ω )] ; t ent ukan h(t ) ! Jawab :

  2

  ω = t

t (t )

h(t) t *e e d

MATEMATIKA LANJUT

  1 1 5.

  8. (s + ) (s - 3)(s +5) ω

  1 7.

  2 s

  2

  2

  10. s(s + 1) + 1 (s + 4s + 13)

  2s + 1 9.

  2 6s

  2

  2

  6. s (s - ) s (s +5) ω

  1 SOAL-SOAL LATIHAN

  Tent ukan f (t ) dari persamaan berikut dengan met ode konvolusi

  2

  2

  2

  ω

  4. s(s + ) (s + ) ω

  1 s 3.

  2 2 2 2

  2

  α ≠ β α β ω

  2. s(s- )(s- ) (s- )

  1 1 1.

  2

  2

MATEMATIKA LANJUT

INVERS LAPLACE

  Tent ukan f (t ) dari persamaan-persamaan berikut :

  s 1 1.

  2.

  2

  2 (s 1)(s 2) (s +3s+1) + + s s + 2 3.

  4.

  2

  2 (s + 5s 5) s (s - ω )

• 2

  Selesaikan t ransf ormasi Laplace persamaan-persamaan berikut :

  at 5. t cos( t+ ) 6. e sin( t+ ) ω θ

  ω θ

  3

  2 ω + α ω + α ω + β

7. ( 4t + t + 3 ) cos( t ) 8. sin( t ) cos( t )

  ∠ ω θ ∠ ω θ

  Bila diket ahui Z ( t + ) dan Z ( t - ) , maka hit ung :

  1

  2

  1

  1 at

• 9. 10. e ( z + z )

  1

  2 z z

  1

  2 ₁