Metode Bagi Dua ( Biseksi )

DISUSUN OLEH:
KELOMPOK
NAMA

: 1 ( SATU )
: TYAS NANDIA UTAMI ( 2010 121 184 )
NOVITA SARI

( 2010 121 197 )

DEWI LITA

( 2010 121 209 )

KELAS

: 6E

PRODI

: PENDIDIKAN MATEMATIKA

DOSEN

: Malalina , S.Si, M.Pd

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS PGRI PALEMBANG
TAHUN AJARAN 2012/2013

1

Metode Bagi Dua ( Biseksi )
Metode Bagi-Dua adalah algoritma pencarian akar pada sebuah interval. Interval
tersebut membagi dua bagian, lalu memilih dari dua bagian ini dipilih bagian mana yang
mengandung akar dan bagian yang tidak mengandung akar dibuang. Hal ini dilakukan
berulang-ulang hingga diperoleh akar persamaan atau mendekati akar persamaan. Untuk
menggunakan metode Bagi Dua, terlebih dahulu ditentukan batas bawah (a) dan batas (b)
kemudian nilai tengahnya :
+
2

=

Dari nilai x ini perlu dilakukan pengecekan keberadaan akar .Secara sistematik suatu
range terdapat akar persamaan bila f (a) dan f (b) berlawanan tanda atau dituliskan :
.

0 , maka

=

,

=

c) Jika

.

= 0 , maka diperoleh akar sama dengan

, hentikan perhitungan.

Proses lelaran berhenti apabila tidak diketahui epsilon , maka lelaran akan berhenti pada

galat eror yang nilai akarnya terkecil, sedangkan apabila diketahui epsilon maka f (n) < .

2

Metode ini berlaku ketika ingin memecahkan persamaan f(x) = 0 dengan f merupakan
fungsi kontinyu.
,

Misalkan kita telah menentukan selang
lelaran. Selang

,

kita bagi dua di

berukuran sama, yaitu selang

,

< 0. Pada setiap kali

sehingga

= , sehingga terdapat dua buah upaselang yang
,

dan

sehingga yang diambil untuk lelaran

berikutnya adalah upaselang yang memuat akar, bergantung pada apakah

< 0 atau

< 0.

[a, b]
Bagi dua di x = c

[a, c]

[c, b]

f(a)f(c) < 0

ya

tidak

selang baru: [a, c]

selang baru: [a, b]

[c, b]

Selang yang baru dibagi dua lagi dengan cara yang sama. Begitu seterusnya sampai ukuran

selang yang baru sudah sangat kecil. Kondisi kondisi berhenti lelaran dapat dipilih salah satu
dari tiga kriteria berikut:
1. Lebar selang baru |a-b| < .,yang dalam hal ini . adalah nilai toleransi lebar selang yang
mengurung akar.
2. Nilai fungsih di hampiran akar: f( c ) = 0.Beberapa bahasa pemrograman membolehkan
perbandingan dua buah bilangan riil,sehingga perbandingan f(c ) =0 dibenarkan.Namun
kalau kita kembali ke konsep awal bahwa dua buah bilangan riil tidak dapat
dibangdingkan kesamaannya karena representasinya di dalam mesin tidak tepat,maka
kita dapat menggunakan bilangan yang sangat kecil ( misalnya epsilon mesin ) sebagai
3

pengganti nilai 0.Dengan demikian menguji kesamaan f( c )= 0 dapat kita hampiri dengan
f(c ) < epsilon_mesin.
3. Galat relative hampiran akar:| (cbaru - clama)/cbaru | < ,yang dalam hal ini

adalah galat

relatif hampiran yang diinginkan

y = f(x)

a

c0

c1
c2

b

Gambar 3.4 Proses pembagian selang [a, b] dengan metode bagidua

Kasus yang mungkin terjadi pada penggunaan metode bagi dua
1. Jumlah akar lebih dari Satu
Bila dalam buah akar [a,b] terdapat lebih dari satu akar (banyaknya akar ganjil ), hanya
satu buah akar yang dapat ditemukan dan memuat hanya satu buah akar.
2. Akar ganda
Metode bagidua tidak berhasil menemukanakar ganda.Hal ini disebabkan karena tidak
terdapat perbedaan tanda di ujung-ujung selang yang baru (Gambar 3.5)
Contoh:

=

−3

=

−3

− 3 . Mempunyai dua akar yang sama, yaitu

=3
y = f(x)

Akar ganda

Gambar 3.4 Akar ganda

4

3. Singularitasi
Pada titik singular,nilai fungsihnya tidak terdefinisi. Bila selang [a ,b ] mengandung titik
singular,lelaran metode bagidua tidak pernah berhenti. Penyebabnya , metode bagidua
menganggap titik singular sebagai akar karena

lelaran cenderung konvergen.Yang

sebenarnya,titik singular bukanlah akar,melainkan akar semu ( Gambar 3.6 )
y

Titik singular

b
a

x

Gamar 3.6 Fungsi singular
–

Cara mengatasinya: periksa nilai |f( b )-f( a ) |. Jika
! -

yang dicari pasti akar sejati,tetapi jika

konvergen ke nol,akar
! divergen,akar yang dicari

merupakan titik singular ( akar semu ). Pada setiap lelaran pada metode bagidua,kita
mencatat bahwa selisih antara akar sejati dengan akar hampiran tidak pernah melebihi
setengah panjang selang saat itu.Pernyataan ini dinyatakan dengan teorema berikut.
Teorema 3.1. jika
s∈

,

sehingga

ketidaksamaan
(i) &# −

$&

≤

& (&

menerus didalam selang
# = 0 dan

=

$

$

+

$

/2,

,

dengan
maka

selalu

< 0 dan
berlaku

dua

berikut:
dan (ii) &# −

$&

≤

& ) &
(*+

, , = 0,1,2..

Bukti :
Misalkan pada lelaran ke-r kita mendapatkan selang
panjang selang sebelumnya,

$)

,

$, $

. Jadi,

$)

Jelaslah bahwa
&

−

&=&

.

. &/2

−
5

= & − &/2

yang panjangnya setengah

&

&

&

/

$

−

Pada lelaran ke-r, posisi

&=&

−

$

/&

−
$&

=&

=&

$)

−

&/2 = & − &/2

−

&/2 = & − &/2/

−

$)

&/2 = & − &/2$

( akar hampiran ) dan s ( akar sejati ) adalah seperti diagram

berikut:

ar

s

cr

br

Berdasarkan diagram di atas jelaslah bahwa
&# −

$&

≤

&

$

−
2

$&

Selanjutnya,
&# −

$&

≤

&

$&

−
2

$

=

1& − & & − &
= $
2
2 2$

Jadi, selisih antara akar sejati dengan akar hampiran tidak pernah lebih dari
setengah epsilon.Dengan mengingat kriteria berhenti adalah&

$

−

$&

< , maka dari itu

(i) terlihat bahwa:
&# −

$&

< /2

Sehingga,
⬄

& ) &
(*+

<

1

⬄2$ > & − &/
⬄, ln 2 > & − & − ln
⬄, >

45 & ) & )45 1
45

Yang dalam hal ini R adalah jumlah lelaran (jumlah pembagian selang) yang dibutuhkan
untuk menjamin bahwa c adalah hampiran akar yang memiliki galat kurang dari .
Jadi, hampiran akarnya adalah x=0.605263
Jumlah lelaran yang dibutuhkan
R >

6

& ).& )6

......

6

6

>16.60964
Jadi, dibutuhkan minimal 17 kali lelaran (r=0 sampai dengan r=16), sesuai dengan
jumlah lelaran pada tabel, agar galat akar hampiran kurang dari .
Contoh :
=

1) Selesaikanlah persamaan

/

−

− 1 yang ada pada interval 1,2 , dengan

menggunakan iterasi sampai ke empat.
Penyelesaian :
Iterasi 1 →

=1→

1 = 1/ − 1 − 1 = −1
2 = 2/ − 2 − 1 = 3

=2→
=

1+2
= 1,5 →
2

Iterasi 2 →

=1→

1,5 = 1,5/ − 1,5 − 1 = 0,875

1 = 1/ − 1 − 1 = −1
1,5 = 1,5/ − 1,5 − 1 = 0,875

= 1,5 →
=

1 + 1,5
= 1,25 →
2

Iterasi 3 →

1,25 = 1,25/ − 1,25 − 1 = −0,296875

= 1,25 →

1,5 = 1,5/ − 1,5 − 1 = 0,875

= 1,5 →
=

1,25 = 1,25/ − 1,25 − 1 = −0,296875

1,25 + 1,5
= 1,375 →
2

Iterasi 4 →

1,25 = 1,25/ − 1,25 − 1 = −0,296875

= 1,25 →
= 1,375 →

=

1,375 = 1,375/ − 1,375 − 1 = 0,224609375

1,375 = 1,375/ − 1,375 − 1 = 0,224609375

1,25 + 1,375
= 1,3125 →
2

1,3125 = 1,3125/ − 1,3125 − 1

= −0,05151367188
>
1

1

2

1,5

0,875

2

1

1,5

1,25

-0,296875

3

1,25

1,5

1,375

0,224609375

4

1,25

1,375

1,3125

-0,05151367188

7

/

=

Jadi, akar persamaan dari

−

− 1 ? @ ℎ 1,3125

2) Carilah akar dari x3 + 4x2 – 10 = 0 pada interval [1, 2], dengan menggunakan iterasi
sampai ke Sembilan.
Penyelesaian :
Iterasi 1 →

1 = 1/ + 4 1

=1→

2 = 2/ + 4 2

=2→
=

Iterasi 2 →

1+2
= 1,5 →
2

= 1,5 →
=

Iterasi 3 →

= 1,5 →
=

Iterasi 4 →

= 1,25 →

1,25 = 1,25/ + 4 1,25

1,5 = 1,5/ + 4 1,5

− 10 = −1,79687

− 10 = −1,79687

− 10 = 2,375

1,375 = 1,375/ + 4 1,375

1,25 = 1,25/ + 4 1,25

= 1,375 →
=

− 10 = 2,375

1,25 = 1,25/ + 4 1,25

1,25 + 1,5
= 1,375 →
2

− 10 = 2,375

− 10 = −5

1,5 = 1,5/ + 4 1,5

1 + 1,5
= 1,25 →
2
= 1,25 →

− 10 = 14

1,5 = 1,5/ + 4 1,5

1 = 1/ + 4 1

=1→

− 10 = −5

− 10 = −1,79687

1,375 = 1,375/ + 4 1,375

1,25 + 1,375
= 1,3125 →
2

− 10 = 0,16210

− 10 = 0,16210

1,3125 = 1,3125/ + 4 1,3125

− 10

= −0,84838
Iterasi 5 →

= 1,3125 →

1,3125 = 1,3125

/

+ 4 1,3125

− 10

= −0,84838
= 1,375 →
=

1,375 = 1,375/ + 4 1,375

1,3125 + 1,375
= 1,34375 →
2

− 10 = 0,16210

1,34375 = 1,34375/ + 4 1,34375
= −0,35098

Iterasi 6 →

= 1,34275 →

1,34375 = 1,34375/ + 4 1,34375
= −0,35098
8

− 10

− 10

= 1,375 →

=

1,375 = 1,375/ + 4 1,375

1,34375 + 1,375
= 1,35938 →
2

1,35938

= 1,35938/ + 4 1,35938
Iterasi 7 →

= 1,35938 →

− 10 = 0,16210

− 10 = −0,09632

1,35938 = 1,35938/ + 4 1,35938

− 10

= −0,09632
= 1,375 →
=

1,375 = 1,375/ + 4 1,375

1,35938 + 1,375
= 1,36719 →
2
= 1,36719/ + 4 1,36719

Iterasi 8 →

= 1,36719 →

− 10 = 0,16210

1,36719

− 10 = −0,03239

1,36719 = 1,36719/ + 4 1,36719

− 10

= −0,03239
= 1,375 →
=

1,375 = 1,375/ + 4 1,375

1,36719 + 1,375
= 1,371095 →
2

1,371095

= 1,371095/ + 4 1,371095
Iterasi 9 →

= 1,36719 →

− 10 = 0,16210

− 10 = 0,097129

1,36719 = 1,36719/ + 4 1,36719

− 10

= −0,03239
= 1,371095 →
=

1,371095 = 1,371095/ + 4 1,371095

1,36719 + 1,371095
= 1,3691425 →
2
= 1,3691425/ + 4 1,3691425

− 10 = 0,097129

1,3691425
− 10 = 0,064732

n

1

1

2

1,5

2,375

2

1

1,5

1,25

-1,79687

3

1,25

1,5

1,375

0,16210

4

1,25

1,375

1,3125

-0,84838

5

1,3125

1,375

1,34375

-0,35098

9

6

1,34375

1,375

1,35938

-0,09632

7

1,35938

1,375

1,36719

-0,03239

8

1,36719

1,375

1,371095

0,097129

9

1,36719

1,371095

1,3691425

0,064732

= x3 + 4x2 – 10 = 0 adalah : 1,3691425

Jadi akar persamaan dari

=

3) Carilah akar persamaan dari

+ 2 − 5, pada interval 1,3 dengan = 0,01

Penyelesaian :
Iterasi 1 →

1 = 1 + 2 1 − 5 = −2

=1→

3 = 3 + 2 3 − 5 = 10

=3→

=

Iterasi 2→

=2→

Iterasi 3→

2 =2 +2 2 −5=3
1+2
= 1.5 →
2

=1→

Iterasi 4→

1.5 = 1.5 + 2 1.5 − 5 = 0.25

1 + 1.5
= 1.25 →
2

= 1.25 →

1.5 = 1.5 + 2 1.5 − 5 = 0.25

1.25 + 1.5
= 1.375 →
2

Iterasi 5→

= 1.375 →

1.375 = 1.375 + 2 1.375 − 5 = −0.359375

1.375 = 1.375 + 2 1.375 − 5 = −0.359375
1.5 = 1.5 + 2 1.5 − 5 = 0.25

= 1.5 →
=

1.25 = 1.25 + 2 1.25 − 5 = −0,9375

1.25 = 1.25 + 2 1.25 − 5 = −0,9375

= 1.5 →
=

1.5 = 1.5 + 2 1.5 − 5 = 0.25

1 = 1 + 2 1 − 5 = −2

= 1.5 →
=

2 =2 +2 2 −5=3

1 = 1 + 2 1 − 5 = −2

=1→

=

1+3
=2 →
2

1.375 + 1.5
= 1.4375 →
2

1.4375 = 1.4375 + 2 1.4375 − 5

= −0.055859
Iterasi 6→

= 1.4375 →
= 1.5 →

1.4375 = 1.4375 + 2 1.4375 − 5 = −0.055859
1.5 = 1.5 + 2 1.5 − 5 = 0.25
10

=

1.4375 + 1.5
= 1.46875 →
2

1.46875 = 1.46875 + 2 1.46875 − 5

= 0.094726
Iterasi 7→

1.4375 = 1.4375 + 2 1.4375 − 5 = −0.055859

= 1.4375 →
= 1.46875 →

1.46875 = 1.46875 + 2 1.46875 − 5
= 0.094726

=

1.4375 + 1.46875
= 1.453125 →
2

1.453125

= 1.453125 + 2 1.453125 − 5 = 0.01782
Iterasi 8→

= 1.4375 →

1.4375 = 1.4375 + 2 1.4375 − 5 = −0.055859

= 1.453125 →

1.453125 = 1.453125 + 2 1.453125 − 5
= 0.01782

=

1.4375 + 1.453125
= 1.445312 →
2

1.445312

= 1.445312 + 2 1.445312 − 5 = −0.020449
Iterasi9 →

= 1.445312 →

1.445312 = 1.445312 + 2 1.445312 − 5
= −0.020449

= 1.453125 →

1.453125 = 1.453125 + 2 1.453125 − 5
= 0.01782

=

1.445312 + 1.453125
= 1.449218 →
2

1.449218

= 1.449218 + 2 1.449218 − 5 = −0.001331
n

1

1

3

2

3

2

1

2

1.5

0.25

3

1

1.5

1.25

-0.9375

4

1.25

1.5

1.375

-0.359375

5

1.375

1.5

1.4375

-0.055859

6

1.4325

1.5

1.46875

0.094726

11

7

1.4375

1.46875

1.453125

0.017822

8

1.4375

1.453125

1.445312

-0.020449

9

1.445312

1.453125

1.449218

-0.001331

Jadi, akar persamaan dari

=

+ 2 − 5 adalah 1,449218

− 3 = 0 pada interval 1,2 dengan

4). Selesaikan persamaan

= 0,01

Penyelesaian :
Iterasai 1 →

= 1 → 1 − 3 = −2
=2→2 −3=1
=

Iterasi 2 →

1+2
= 1,5 →
2

1,5 = 1,5 − 3 = −0,75

= 1,5 → 1,5 − 3 = −0,75
=2→2 −3=1
=

Iterasi 3 →

1,5 + 2
= 1,75 →
2

1,75 = 1,75 − 3 = 0,0625

= 1,5 → 1,5 − 3 = −0,75
= 1,75 → 1,75 − 3 = 0,0625
=

Iterasi 4 →

1,5 + 1,75
= 1,625 →
2

1,625 = 1,625 − 3 = −0,35937

= 1,625 → 1,625 − 3 = −0,35937
= 1,75 → 1,75 − 3 = 1,625

=

Iterasi 5 →

1,625 + 1,75
= 1,6875 →
2

1,6875 = 1,6875 − 3 = −0,15234

= 1,6875 → 1,6875 − 3 = −0,15234
= 1,75 → 1,75 − 3 = 1,625

=

1,6875 + 1,75
= 1,71875 →
2

Iterasi 6 →

1,71875 = 1,71875 − 3 = 0,045898

= 1,71875 → 1,71875 − 3 = 0,045898
12

= 1,75 → 1,75 − 3 = 1,625
=

1,71875 + 1,75
= 1,734375 →
2

1,734375 = 1,734375 − 3 = 0,008056

n

1

1

2

1,5

-0,75

2

1,5

2

1,75

0,0625

3

1,5

1,75

1,625

-0,35937

4

1,625

1,75

1,6875

-0,15234

5

1,6875

1,75

1,71875

-0,045898

6

1,71875

1,75

1,734375

0,008056

Jadi, akar persamaan dari

=

− 3 = 0 ? @ ℎ 1,734375

13

KESIMPULAN
Metode numerik merupakan salah satu alternatif pennyelesaian yang berupa hampiran
yang penting dalam terapan praktis dimana para ilmuan sering kali menghadapi masalahmasalah yang aktual dan tidak dapat diselesaikan secara analitis. Masalah tersebut direduksi
menjadi masalah pencarian akar persamaan. Dengan menggunakan metode belah dua.
Metode Bagi-Dua adalah algoritma pencarian akar pada sebuah interval. Interval
tersebut membagi dua bagian, lalu memilih dari dua bagian ini dipilih bagian mana yang
mengandung akar dan bagian yang tidak mengandung akar dibuang. Hal ini dilakukan
berulang-ulang hingga diperoleh akar persamaan atau mendekati akar persamaan. Metode ini
berlaku ketika ingin memecahkan persamaan f(x) = 0 dengan f merupakan fungsi
kontinyu.Yang mempunyai langkah – langkah perhitungan sebagai berikut :
1). Pilih a sebagai batas bawah x sebagai batas atas untuk taksiran akar sehingga terjadi
perubah tanda fungsi dalam selang interval tersebut.Atau periksa apakah benar bahwa
.

< 0.

2). Taksiran nilai akar baru x diperoleh :

=

3). Lakukan evaluasi berikut untuk menentukan dalam selang interval mana akar berada,

a) Jika

.

< 0 , maka

=

,

=

b) Jika

.

> 0 , maka

=

,

=

c) Jika

.

= 0 , maka diperoleh akar sama dengan

14

, hentikan perhitungan.

Daftar Pustaka

Aimprof.2012.Metodebagidua.Online.TersediaPada:http://aimprof08.wordpress.com/2012/
08/30/metode-bagi-dua-bisection-method/.Diakses tanggal : 23 Febuari 2013

Insani,Nur.

2012.Aplikasi

Metode

Bagi

Dua

Bisection.Online.Tersedia

Pada

:

http://staff.uny.ac.id/sites/default/files/penelitian/NurInsani,.Sc/AplikasiMetodeBag
iDuaBisectiondalamAnalisisPulangPokokNurInsani.pdf. Diakses pada tanggal : 23
Febuari 2013.

Munir, Rinaldi.2010.Metode Numerik Revisi Ketiga.Bandung : Informatika

15