Vektor di Bidang dan di Ruang

Vektor di bidang dan di ruang

 

 

Yudiari 
2010

 

Vektor di Bidang dan di Ruang
4.1. Pengertian, notasi ,dan operasi pada vektor
Vektor merupakan istilah untuk menyatakan besaran yang mempunyai arah. Secara
geometris, vektor dinyakan dengan segmen-segmen garis yang terarah atau panah
di dalam bidang atau di ruang. Vektor biasanya dinyatakan dengan huruf kecil
tebal atau hurus kecil bergaris di atasnya (overbars), misal v atau v atau
dinotasikan dengan  .
Dalam bidang koordinat, kita dapat menyatakan titik v = (a, b) dengan vektor
kolom v =

atau dalam bentuk v

. Dalam hal ini a dan b adalah

bilangan real adalah komponen- komponen dari vektor tersebut (elemen/entri dari
matriks). Himpunan semua vector dengan dua komponen ini dinamakan R2
(dibaca: ‘R-dua’).
y
z

(a,b,c)

(a,b)
v

v

y

x

z
Gambar 4.2. vektor di R3

Gambar 4.1. vektor di R2

Dua vektor dikatakan sama jika elemen-elemen yang bersesuaian sama, jadi
⎡1 ⎤ ⎡2⎤
⎢2⎥ ≠ ⎢1 ⎥ . 
⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Secara sama vektor di R3 dinyatakan dengan v =

 
 

1 

 
 

atau v = ai + bj + ck.

Vektor di bidang dan di ruang

 

Panjang vektor v =

adalah v

√

 

Yudiari 
2010

 

. Vektor dengan panjang atau

norm sama dengan satu disebut vektor satuan.
Operasi pada vektor
Operasi vektor meliputi:
1. Penjumlahan
2. Perkalian :
-

Perkalian vektor dengan skalar

-

Perkalian vektor dengan vektor lain: perkalian titik dan
perkalian silang.

Penjumlahan vektor
Misalkan u dan v adalah vektor-vektor di R2, maka jumlah kedua vektor tersebut
adalah u + v, yang komponen-komponennya merupakan jumlah dari komponenkomponen yang bersesuaian dari u dan v. Secara geometri vektor u + v ini
berkorespondensi dengan titik keempat suatu jajaran genjang yang tiga titik

lainnya adalah ketiga vektor u, v, dan 0.
berikut
v

u+v

u
Gambar 4.3. penjumlahan vektor
Contoh 4.1.: Misalkan u =

 
 

2
,v=
2

6
, maka u + v =
1

2 

 
 

4
.
3

Vektor di bidang dan di ruang

 

 

Yudiari 
2010

 

u+v
u
v
0
Gambar 4.4. Contoh penjumlahan vektor

Perkalian vektor dengan skalar ( perkalian skalar)
Misalkan v vektor dan k scalar ( bilangan real), maka hasil perkalian skalar dari
vektor v adalah vektor yang diperoleh dengan mengalikan setiap elemen dari v
dengan k.
Jika k > 0 , maka kv searah dengan v, dan jika k < 0 maka kv berlawanan arah
dengan v.
2v
v

-2v
Gambar 4.5. Perkalian vektor dengan skalar
Contoh 4.2: Misal v =

kv = 3

 
 

0.5
dan k = 3, maka
1

1.5
0.5
=
.
3
1

3 

 
 

Vektor di bidang dan di ruang

 

 

Yudiari 
2010

 

Sebagai catatan, kadang-kadang vektor kolom v ditulis dalam bentuk (a,b) dan
bukan (a

b). Ini adalah kesepakatan, untuk menghindari salah tafsir, seperti

misalnya
2
1

2

1 .

Secara analitis, kedua operasi vektor diatas dapat dijelaskan sebagai berikut:
Misal u =

,

-

,

dan v =
u +v=

-

u - v=

-

ku=

,

,

,

,

,

vektor di R3, dan k bilangan real, maka
,

,

,

Terkadang, vektor muncul dengan tidak dimulai di titik asal. Misalnya vektor P P
mempunyai titik permulaaan P1 =
PP

Contoh 4.3:

,

,

dan P2 =

,

,

,

.

,

, maka

Komponen-komponen dari vektor v = P P dengan titik permulaan P1 = 2, 2,1

dan titik akhir P2 = 7,5, 5 adalah
v= 7

2,5

2 , 5

1

5,7, 6 ,

Secara sama untuk vektor di R2 dapat ditentukan dengan menghilangkan
komponen ketiga.
Perkalian antara dua vektor
Ada dua macam, yaitu:

 
 

-

Hasil kali titik (dot product)

-

Hasil kali silang (cross product)

4 

 
 

Vektor di bidang dan di ruang

 

 

Yudiari 
2010

 

Dot Product
Dot product merupakan operasi antara dua buah vektor pada ruang yang sama
yang hasilnya berupa skalar. Sering disebut juga perkalian dalam, didefinisikan
sebagai berikut:
Misal, u dan v dua vektor pada ruang yang sama, maka hasil kali titik antara u dan
v adalah:
u.v =
dimana:

u

v  

,

u : panjang vektor u
v : panjang vektor v

: sudut antara u dan v

Contoh 4.4:
Misal u = (2,2) dan v = (2,0) maka tentukan u.v
Penyelesaian :
Pertama kita harus mengetahui besarnya sudut .
Perhatikan bahwa u dan v membentuk sudut  
u.v =

u . v cos ,

= 4√2 cos

Sering,

, sehingga

4.

tidak mudah untuk dapat mengetahui besar sudut antara dua vektor,

sehingga sulit menentukan perkalian titik dua vektor.

 
 

5 

 
 

Vektor di bidang dan di ruang

 

Selanjutnya mengingat aturan cosinus:
c
a
b
Gambar 4.6. Aturan cosinus pada segitiga
Pada segitiga seperti gambar 4.6 di atas dipunyai
2

Sekarang perhatikan vektor berikut
u

cos .

v ‐ u

v

Gambar 4.7. Aturan cosinus pada vektor
v ‐ u

v

u

2 u

v  cos    

u

v ‐ u

Dengan demikian dipunyai,
u

v  cos   

Misal u =
u

v – u

 
 

,

   

,

v

dan v =
,

v

,

,

  

vektor di R3, maka

   

, dan

6 

 
 

 

Yudiari 
2010

 

Vektor di bidang dan di ruang

 

2

=

   

Sehingga diperoleh
u

v  cos 

 

2

   
2

2

   

2

   
   
2

2

.

2
   

   

 

 

Yudiari 
2010

   

2

   

Dengan demikian hasil kali titik dapat dituliskan sebagai:
.

u.v
Dari formula ini diperoleh,
cos   

u

Contoh 4.5:

v

.

Tentukan kembali hasil kali titik dari dua vektor pada contoh 4.4, kemudian
tentukan besar sudut yang dibentuk oleh kedua vektor tersebut!
Penyelesaian:
u.v
= 2 (2) + 2 (0)
= 4.
cos   

u

v

 

4

√8   2

1
√2.
2

Jadi besar sudut yang dibentuk oleh vektor u dan v adalah
 
 
 

1
arc cos   √2 
.
2
4
7 

 
 

 

Vektor di bidang dan di ruang

 

 

Yudiari 
2010

 

Contoh 4.6:
Tentukan besar sudut yang dibentuk oleh vektor u = ( 4 ,0,3) dan v = (1,2, – 2).
Penyelesaian:
cos   
Jadi

besar

sudut

u

yang

 

v

dibentuk

Sifat-sifat perkalian titik:

 

4 1

oleh

arc cos  

0 2
5   3

vektor

3
u

2
dan

2
.
15

v

adalah

2
.
15

Jika u,v, dan w vektor-vektor di R2 atau R3 dan k skalar, maka:
(i)

u.v = v.u

(ii)

u.(v + w) = u.v + u.w

(iii)

k(u.v) = (ku).v = u. kv

Sekarang perhatikan gambar berikut:
u
O
v
Gambar 4.8. Dua vektor saling tegak lurus
Pada gambar 4.8, vektor u dan v saling tegak lurus, besar sudut antara keduanya
adalah . jadi u.v =

u . v cos

0.

Dengan demikian, dua buah vektor u dan v yang berada pada ruang yang sama,
dikatakan saling tegak lurus (orthogonal atau perpendicular) jika u.v = 0. Dalam

 
 

8 

 
 

Vektor di bidang dan di ruang

 

hal ini dapat dikatakan u

 

Yudiari 
2010

 

ortogonal terhadap v dan sebaliknya, v ortogonal

terhadap u, sering ditulis u ┴ v.
Contoh 4.7:
Vektor u = ( 2, – 3) dan v = (3,2) saling ortogonal, karena
u.v = 2(3) + (-3)(2) = 0.
Proyeksi orthogonal
Perhatikan bahwa sebarang vektor u selalu dapat dinyatakan sebagai jumlah dua
vektor lainnya, seperti pada gambar 4.9, u = w1 + w2

w1

u

v

w2

Gambar 4.9. vektor u sebagai jumlah dua vektor
Pada gambar 4.9, vektor w1 adalah komponen vektor u yang orthogonal terhadap
v, sedangkan vektor w2 adalah proyeksi orthogonal u pada v.
Pada gambar 4.9, terlihat bahwa
w2 = k v.
di lain pihak dipunyai,
u = w1 +w2
sehingga
u . v = (w1 +w2).v
= w1 .v + w2 . v

 
 

9 

 
 

Vektor di bidang dan di ruang

 

 

Yudiari 
2010

 

= w1 . v + k v . v
= kv . v
=k v .

Jadi

u.v
v

Dengan demikian dipeoleh rumus proyeksi orthogonal vektor u terhadap v adalah
u.v
w2 Proyv  u 
v.
v
Sedangkan komponen u yang orthogonal terhadap v adalah
w1

u 

u.v
v.
v

 u 

w2

Contoh 4.8:

Tentukan proyeksi orthogonal vektor u = (1, 2,– 1) terhadap vektor v = ( 1, 3, 4),
dan tentukan komponen vektor u yang orthogonal terhadap v.
Penyelesaian:
Proyeksi orthogonal u pada v adalah
w2

1 1

u.v
v 
v

Proyv  u 

2 3
‐1 4
  1,3,4
26
3 9 12
, ,
.
26 26 26

Sedangkan komponen u yang orthogonal terhadap v adalah
w1
 
 

u 

23 43 38
, ,
26 26 26

w2

10 

 
 

Vektor di bidang dan di ruang

 

 

Yudiari 
2010

 

Cross Product
Cross Product atau hasil kali silang merupakan hasil kali antara dua vektor di R3
yang menghasilkan vektor yang tegak lurus ( orthogonal) terhadap kedua vektor
yang dikalikan tersebut.
Misalkan u =

,

,

dan v =

u dan v didefinisikan sebagai:

,

,

vektor di R3, maka hasil kali silang

u   v 

,

Contoh 4.9:

,

 

.

Tentukan vektor w yang orthogonal terhadap dua vektor u = 1,2, 1 dan

v=

2,3,1 .

Penyelesaian:
Vektor yang tegak lurus terhadap dua vektor lain adalah hasil kali silang dari kedua
vektor tersebut, jadi

w = u   v
1 2
2 3
2 1

5,1,7 .

1
1

1 3  ,

1

2

Perhatikan bahwa w ┴ u dan w ┴ v, yaitu:

 
 

11 

 
 

1 1 , 1 3

2

2

Vektor di bidang dan di ruang

 

w.u

5 1

w.v

5

dan

1 2
2

1 3

Beberapa sifat cross product:
(i)

u . (u x v) = 0

(ii)

v . (u x v) = 0
   

(iii)

7

1

0

7 1

0.

 .

 

.

Dari sifat (iii) diperoleh:
   

 .

  cos  

cos

 cos  

 sin   .

Dengan demikian dipunyai,

   

sin . 

Sekarang perhatikan vektor berikut
v
u

v sin
   

Gambar 4.10. Jajaran genjang mempunyai luas

 
 

12 

 
 

sin . 

Yudiari 
2010

 

Vektor di bidang dan di ruang

 

   

Luas jajaran genjang pada gambar 4.10. adalah

 

Yudiari 
2010

 

sin .  Jadi

luas segitiga yang dibentuk oleh kedua vektor u dan v adalah setengah luas jajaran
genjang, yaitu:
   

Luaas segitiga =
Contoh 4.10:

.

Diketahui titik-titik di R3, yaitu: A (1,2,3), B ( 0,1,4), dan C (2,– 1,1). Tentukan
luas segitiga ABC!
Penyelesaian:
Misalkan u = AB = ( – 1, – 1, 1) dan v = AC = (1, – 3, – 2).
Untuk menghitung luas segitiga ABC terlebih dahulu hitung hasil kali silang antara
u dan v, yaitu:
   

1

5, 1,4)

dan
   

2

√25

1

1

Maka luas segitiga ABC =

3 ,1 1

16

   

1

√42

2 ,

1

3

1 1    

√42 .

(Pembaca silakan mencoba dengan memisalkan u = BC dan v = BA atau u = CA
dan v = CB ).
Soal Latihan 4.1:
1. Misalkan u = 1,2, 1 , v =
komponen-komponen dari

 
 

2,3,1 , dan w = 3,4, 5 , maka carilah

(a) u + v

(c) 2u + 3w

(b) 3(v – w)

(d) 2u – (v + w)

13 

 
 

Vektor di bidang dan di ruang

 

 

Yudiari 
2010

 

2. Diketahui titk P1 = 1, 2, 1 .

(a) Carilah sebuah vektor dengan titik permulaan P1 yang searah dengan
vektor v = (6,4,- 1).

(b) Carilah sebuah vektor yang berlawanan arah dengan vektor v = ( -2, 4,
1), yang mempunyai titik terminal P1.
3. Carilah semua skalar
2,7,8

,

, dan

sehingga

1, 1,3

3,6,11

0,0,0 .

4. Tentukan sudut yang dibentuk oleh dua vektor u dan v berikut:
(a) u = (1, 2) dan v = (3, – 4)
(b) u = (1, 2, – 2) dan v = (8, – 2, 2)
5. Tentukan k sehingga vektor u dan v berikut orthogonal
(a) u = (k, 2) dan v = (3, – 6)
(b) u = (1, k, – 2) dan v = (8, – 2, k)
6. Tentukan proyeksi orthogonal vektor u pada v dan carilah komponen
vektor u yang orthogonal terhadap v, jika:
(a) u = (1, – 2) dan v = (– 3, 2)
(b) u = ( 2, –1, 3) dan v = (1, 2, 2)
7. Tentukan vektor w yang tegak lurus terhadap vektor u dan v, jika:
(c) u = (2, 1, – 2) dan v = (4, – 1, 2)
(d) u = (2, 0, 4) dan v = (– 7, 1, 3)
8. Tentukan luas segitiga yang ketiga titik sudutnya adalah A (2, 0, –3),
B (7, 2, 9) dan C ( 1, 4, 5).

 
 

14