1 diferensial komplit rev 2

1

DIFERENSIAL (Derivatif)

A. Simbol Deferensial

Jika ada Persamaan y = 3x , maka simbol dari Turunan pertama y 1 atau �

� atau ditulis �

� Turunan kedua y 11 _atau �

� atau �2 � 2

B. Rumus Dasar Deferensial

Jika y = xn maka nxn1 dx

dy

Contoh : y = 10 x 2 _{maka harga} �

� = 20 x

C. Kaidah-kaidah Deferensial

1. Diferensiasi Penjumlahan/Pengurangan fungsi y = U + V dimana U = g(x), V = h(x), maka

contoh : y = 8x5 + 4x3 , maka 40x4 12x2 dx

dy

 

2. Diferensiasi Perkalian Fungsi

y = U . V dimana U = g(x), V = h(x), maka

contoh : y = ( 6x2 ) ( 5x3 )

(6x2)(15x2) (5x3)(12x)

dx

dy _{ }

= 90x4 _{+ 60x}4 _{= 150x}4 3. Diferensiasi Pembagian Fungsi

y = ;U g(x);V h(x)

V U



 maka harga

dx dv dx du dx

dy _{ }

dx du V dx dv U dx dy



2 contoh : y = ₂

5 3 5 x x 4 6 6 2 2 5 4 2 9 30 75 ) 3 ( ) 6 ( 5 ) 25 ( 3 x x x x x x x x dx dy    

= 2 5 2 9

45

x x 

4. Diferensiasi Fungsi Berpangkat y = Un ; u = g(x), n = konstanta

contoh :

y = ( x2 _{+ 3x )}2 2x3

dx du ) 9 3 6 2 ( 2 ) 3 2 )( 3 (

2 x2 x x x3 x2 x2 x

dx dy       

= 4x3 _{+ 18x}2 _{+ 18x}

5. Diferensiasi Fungsi Logaritmik y = a log x , maka

contoh :

y = 5 _{log 7 maka harga} �

� = ln � �

� � =

log

6. Diferensiasi Fungsi Komposit Logaritmik y = a log u ; u = g(x) maka

2 . . V dx dv U dx du V dx

dy _ 

dx du nU dx

dy  n1

x e atau a x dx

dy alog

ln 1 _ 

dx

du

u

e

dx

dy

a

.

log



3 y = ) 7 ( ) 5 ( ) 7 ( ) 5 ( log       x x U x x 2 2 ) 7 ( 2 ) 7 ( ) 1 )( 5 ( ) 1 )( 7 (        x x x x dx du ) 7 )( 5 ( log 2 ) 7 ( 2 . ) 7 /( ) 5 ( log

2   

     x x e x x x e dx dy

7. Diferensiasi Fungsi Komposit Logaritmik Berpangkat

y = (alogU)n;U g(x) dimana n = konstanta, maka harga

contoh :

y = ( log 6x2 )3 U = 6x2 ; jadi x dx du 12  ) 12 ( 6 log . ) (log

3 2 2 ₂ x

x e x dx dy _ = x e x x e x

x 6(log6 )log

6 log ) 6 (log 36 2 2 2 2 

8. Diferensiasi Fungsi Komposit Logaritmik Napier

Log. Napier logaritma yang bilangan pokoknya e Harga bilangan e = 2,71828

Bilangan

Jadi harga ln 10 bisa ditulis e _{log 10}

Turunan logaritma napier :

y = ln u; u = g(x)

e

_{log a ditulis dengan ln = a}

dx du U e U n dx

dy a n a

. log . ) log

( 1

 dx du u dx dy . 1 

4

contoh : y = ln ( 5x2 + 7 ) U = 5x2 + 7 harga x dx du

10



) 7 5 (

10 10

. ) 7 5 (

1

2

2  



x x x

x dx dy

9. Diferensiasi Fungsi Komposit logaritmik Napier Berpangkat Y = ( lnU )n ; U = g(x) ; n = konstanta

dx du U U n dx

dy n

. 1 . ) (ln 1



contoh :

y = ( ln 3x2 )4U = 3x2 x dx du

2



dx du U U dx du U V dx

dy _{v v}

ln

. 1 

 

contoh

y = 7xx5  7 7

dx du x U

V = x5 5x4 dx du



4 1

5

5 . 7 ln 7 7 . 7

. x 5 x 5 x x

x dx

dy _{x x}



 

= 49xx54+35xx54ln.7x

= 35xx54( 9/7 + ln 7x ) 10. Deferensial Fungsi Eksponensial

Jika y = a x dimana a = konstanta, maka harga

Contoh y = 6 x _{maka harga} �

� = ln

11. Deferensial Fungsi Komposit Eksponensial �

5

Jika y = a u dimana u = g(x) maka harga

Contoh :

y = 2− maka harga � � =

2−

ln x 12.Deferensial Fungsi kompleks

Jika y = u v dimana u = g (x) dan v = h (x) Maka harga

13.Diferensiasi Fungsi Balikan

Jika y = f(x)dan x = g(y) adalah fungsi-fungsi yang berbalikan, maka

contoh : x = 10y + 3y4

maka 10 12y3 dy

dx 

 sehingga ₃

12 10

1

y dx

dy

 

D. Deferensial Baku Fungsi Trigonometri

1. y = sin x maka dy/dx = cos x 2. y = cos x dy/dx = -sin x 3. y = lg x dy/dx = sec2_x 4. y = cotg x dy/dx = -cosec2 _x 5. y = sec x dy/dx = sec x tg x 6. y = cosec x dy/dx = -cosec x ctg x 7. y = sinh x dy/dx = cosh x

�

� = − �

� + ln

� � �

� = � ln � � �

dy dx dx dy

/ 1

6

8. y = cosh x dy/dx = sinh x

Bila U = f(x) dapat diturunkan, maka

 

dx du U dx

U d

cos sin

no.2 s/d 8 identik

contoh 1.

Hitunglah

dx dy

dari y = cos3 5x Penyelesaian :

dx x d x dx

dy cos5

) 5 (cos

3 2

 rumus no.2

= 3(cos2_5x)(-sin5x)

dx x d5 = -15 sin 5x cos2 5x

contoh 2.

Hitunglah

dx dy

dari y = ctg 2x cosec 2x Penyelesaian : ingat y = U.V maka

dx du V dx dv U dx dy

 

dx x dctg x ec dx

x ec d x ctg dx

dy 2

2 cos 2

cos

2 



= ctg 2x ( - cosec 2x.ctg 2x ) 2 + cosec 2x ( - cosec2 2x )2

= ctg2 2x ( - cosec 2x ).2 + cosec 2x ( - cosec2 2x )2 = -2 cosec 2x ( ctg2 2x + cosec2 2x )

Karena ctg2 _cos 2_1,

ec maka :

= -2 cosec 2x [( cosec2 2x – 1 ) + cosec2 2x] = -2 cosec 2x ( 2 cosec2 2x – 1 )

7

E. Deferensial Fungsi Implisit

y = x2– 4x + 2 fungsi eksplisit dari x x2– _4x – _{y = 2}  _{fungsi implisit dari x} contoh :

jka x2 _{+ y}2– _2x – _{6y + 5 = 0, tentukan}

dx dy

di titik x = 3, y = 2 Penyelsaian :

x2 + y2 – 2x – 6y + 5 = 0 2x + 2y 26 0

dx dy dx

dy

( 2y – 6 ) x dx

dy

2 2



3 1 6 2

2 2

     

y x y

x dx

dy

 di ( 3, 2 )  2

1 2 3 2

3

1 _

      dx dy

F. Diferensiasi Logaritmik Lebih Dari Dua Faktor

Jika y =

W V U.

U = f(x) V = g(x) ; W = h(x)

Maka untuk mencari turunan pertamanya adalah dengan logaritma dengan bilangan dasar e

W V U y e

e .

log

log  ingat Sifat bil logaritma Persamaan tersebut dirubah menjadi

INGAT !

sin2  + cos2  1

1 + ctg2  2

cosec

 1 + tg2  2

sec 

ln a.b = ln a + ln b ln a/b = ln a – ln b atau

lg a.b = log a + log b log a/b = log a-log b

8 ln y = ln U + ln V – ln W

dx dw W dx dv V dx du U dx dy y . 1 1 . 1 . 1           _{ }  dx dw W dx dv V dx du U y dx dy . 1 . 1 . 1 jadi jika y = W V U. maka

Catatan :

Gunakanlah selalu cara diferensial logaritmik bila ada lebih dari dua fungsi dalam suatu perkalian atau pembagian maupun dua-duanya.

Contoh: Carilah harga

dx dy

dari persamaan y =

x x x 2 cos sin . 2 Penyelesaian :

ln y = ln (x2) + ln ( sin x ) – ln ( cos 2x )

1/y dy/dx = ( 2sin2 )

2 cos 1 cos . sin 1 2 . 1 2 x x x x x

x   

ingat : ctgx x

x 

sin cos

; tgx

x x  cos sin jadi x x x x x x dx dy

y cos2

2 sin 2 sin cos 2 . 1

2  

 x tg ctgx x dx dy

y 2 2

2 .

1 _{  }

(2/ 2 2 )

2 cos sin 2 x tg ctgx x x x x dx

dy _{  }

      _{ }  dx dw W dx dv V dx du U W V U dx dy . 1 . 1 . 1 .

9

G. Diferensiasi Parsial

Adalah turunan dari suatu fungsi yang terdiri dari beberapa variabel, dan penyelesaiannya dilakukan bagian demi bagian.

Contoh :

Z = 2x2– 3xy + 4y2 atau Z = y ( x, y )

Dalam fungsi tersebut ada dua variabel bebas, yaitu x dan y, maka berapakah dz/dx dan dz/dy ?

Cara penyelesaian :

Ada beberapa anggapan/kemungkinan, a.l :

1. variabel x berubah-ubah, y konstan. Maka Z = fungsi x Turunannya ke x atau dz/dx

Z = 2x2– 3xy + 4 y2

y x y

x dx dz

3 4 0 3

4    



2. Kemungkinan variabel y berubah-ubah, x konstan maka Z = fungsi y

Turunannya ke y atau dz/dy Z = 2x2– 3xy +4y2

y x y x dy

dz

8 3 8 3

0   



3. Atau untuk mencari ,

dy dz dan dx dz

fungsi tersebut dirubah menjadi fungsi implisit Z = 2x2 – 3xy + 4y2

Jika ditulis dalam bentuk implisit :

2x2_{- 3xy + 4y}2 _{- = 0} a. perlakukan y konstan dan cari

dx dz

0 ) ( ) 4 ( ) 3 ( ) 2

( 2 _{ } 2 _{ }

dx z d dx

y d dx

xy d dx

x d

10 4x – 3y + 0 - 0

dx dz

y x dx dz

3 4 

 

b. perlakukan x konstan dan cari

dy dz

2x2– 3xy + 4y2– z = 0

0 )

4 ( ) 3 ( ) 2

( 2 _{ } 2 _{ }

dy dz dy

y d dy

xy d dy

x d

0 – 3x + 8y - 0

dy dz

y x dy dz

8 3 

   contoh :

Z = ( 2x – y )4

Carilah dz/dx dan dz/dy Penyelesaian :

Z = ( 2x – y )4

a. perlakukan y konstan

dx y x d y x dx

dz (2 )

. ) 2 (

4  3 



b. perlakukan x konstan

dy y x d y x dy

dz (2 )

. ) 2 (

4  3 



= 4 ( 2x – y )3 ( -1 ) = -4 ( 2x – y )3

11

H. Harga Maksimum dan Minimum dari Suatu Fungsi

Y A (maks) C (titik belok) y = f(x)

B (min)

0 x1 x2 x3

Keterangan :

A = harga maksimum (pada x = x1), karena harga y dititik ini lebih besar daripada y di kanan kirinya.

B = harga minimum (pada x = x2), karena harga y di titik ini lebih kecil daripada harga y di kanan kirinya.

C = titik belok/point of inflection yaitu dari lengkung kanan menjadi lengkung kiri (atau sebaliknya)

12 Perhatikan gambar di bawah ini :

Y A y = f(x) C

y B

0 x1 x2 x3 x

dx dy

y = f1(x)

0 x1 x2 x3 x

₂

2

dx y d

y = fII(x)

0 x1 x2 x3 x

Y1

Dari gambar di atas bahwa :

1. Harga maks, min dan titik belok tercapai bila dy/dx = 0 2. Untuk harga y maksimum (titik A), maka turunan ke-dua

d2y/dx2 = negatif

3. Untuk harga y minimum (titik B), maka turunan ke-dua d2y/dx2 = positif

4. Untuk titik belok (titik C), maka turunan ke-dua d2y/dx2 = 0 Untuk Aplikasi dalam memecahkan suatu persoalan hal yang perlu di INGAT BAHWA :

Harga maksimum atau minimum dari suatu fungsi akan tercapai bila turunan pertamanya = 0 atau ditulis 0

dx dy

13

Contoh :

1. Akan dibuat buah ruangan bersisian dengan memanfaatkan dinding yang sudah ada. Bahan pembuat ruang cukup dengan sekat, tersedia untuk 300 meter agar. Tentukan ukuran ruangan agar luas ruangan keduanya maksimum.

Jawab

Keliling = 3 Y + 4 X 300 = 3 Y + 4 X Y = 100 - X Luas (L) = 2 X . Y

= 2 X (100 - X ) = 200 X -

X 2

Luas akan maksimum akan dicapai bila

��

�

= 0

Harga ��

� = 200 - X , sehingga

200 - X = 0 maka harga X = 37,5 m

Harga Y = 100 - X, maka harga Y = 50 M Jadi agar luas ruangan tersebut di atas, maka ukuran X = 37, 5 m Y = 50 m

Y

Y Y

14

Bukti :

Harga X Harga Y Luas =

200 X - X 2

Keterangan Hasil

Perhitungan

37,5 50 Terbukti

Dicoba 40

Dicoba 30

2. Akan dibuat kemasan untuk kaleng cat yang berisi 5 liter dengan tutupnya. Berapakahbesarnya ukuran Jari-jari dan tinggi kaleng ( R dan T) agar bahan yang digunakan minimum ?

Jawab :

Gambar bukaan kaleng cat seperti di bawah ini

Luas ( L) = 2πR T + 2πR 2 Volume = πR 2 T

5000 = πR 2 T sehingga harga T

=

Luas (L) = 2πR

π R2 + 2 πR 2

= + 2 πR 2

2πR

T

15

Agar volume maksimum, maka luasnya juga harus maksimum agar luasnya maksimum, maka turunan pertama luas terhadap jari-jari harus sama dengan nol atau ditulis ��

�� = ��

�� = − .

�2

+ 4

πR

0 = − .

�2

+ 4

πR , semua dikalikan dengan R2

Maka R 3 = .

π

R = 9,27 cm dan T =

π R2

= 18,537 cm

Bukti :

Harga R

Harga T

Luas Bahan (L)=

2πR T + 2πR 2

Keteranga n

Hasil Perhitungan 9,27 18,537 Minimum

Dicoba 12

Dicoba 8

3. Sebuah batang AB yang beratnya 20 kg/m ditumpu dengan dua tumpuan seperti gambar. Batang tersebut dibebani muatan titik sebesar 100 kg yang terletak 2 meter dari B. Tentukan panjang bentang AB agar gaya reaksidi A sekecil-kecilnya serta berapa besar gaya reaksi di A dan di B ( RA dan RB ) ? Jawab :

B X

P = 100 kg

a = 2 m A

16

Misal gaya reaksi di A = Y kg , sehingga Y = R1 + R2

Dimana R1 = beban akibat gaya P dan R2 = beban merata R1 = � .�

� dan R2 = 0.5 . 20 . X = 10 X

Y = � .�

� + 10 X =

.

� + 10 X =

200

� + 10 X

Y = 200_� + 10 X Sehingga harga �

� = −

�2 + 10 Agar harga Y sekecil-kecilnya, maka harga �

� = , sehingga −

�2 + 10 = 0 , harga X = √ = 4,472 m

Untuk harga X = 4,472, maka besarnya gaya reaksi di titik A atau Y adalah sebagai berikut

Y = 200_� + 10 X =

� + 10 . 4,472 = 89,44 kg

Besarnya gaya reaksi di titik B = jumlah total beban - gaya reaksi di titik A atau (Y)

Gaya Reaksi di titik B = 100 + ( 20 . 4,472) – Y

= 100 + (20. 4,472) – 89,44 = 99,99 kg

Latihan Soal

1. Penampang suatu saluran terbuka berbentuk trapesium dengan alas (sisi bawah) panjangnya 60 cm dan sisi miring panjangngnya 100 cm. Tentukan panjang sisi atas agar saluran tersebut dapat menampung air sebanyak-banyaknya.

17

2. Akan dibuat bak penampung bahan berbentuk bujur sangkar dengan sisi 120 cm. Untuk ini dilakukan pemotongan tiap-tiap ujung plat dengan bentuk bujur sangkar kecil dan kemudian dilipat ke atas. Berapa luas bujur sangkar kecil harus dipotong dari tiap-tiap ujung agar volume tersebut maksimum ?

3. Akan dibuat bak sampah dari plat baja berbentuk silnder yang dapat memuat air sebanyak 1 m 3 _{(tanpa tutup). Tentukan ukuran diameter dan} tingginya agar plat yang dgunakan minimal.

4. Akan dibuat talang dari seng berbentuk U . Tentukan lebar dan tinggi talang agar dapat menampung air yang sebanyak-banyaknya dengan bahan talang yang terbatas, yaitu lebar seng 90 cm.

5. Kawat sepajang 100cm dipotong menjadi dua, dan akan dibentuk benda yang berbentuk lingkaran dan benda lain berbentuk bujur sangkar. Tentukan ukuran masing-masing benda tersebut agar ke-dua luas benda tersebut maksium.

12 Perhatikan gambar di bawah ini :

Y A y = f(x) C

y B

0 x1 x2 x3 x

dx dy

y = f1(x)

0 x1 x2 x3 x

₂ 2 dx y d

y = fII(x)

0 x1 x2 x3 x

Y1

Dari gambar di atas bahwa :

1. Harga maks, min dan titik belok tercapai bila dy/dx = 0 2. Untuk harga y maksimum (titik A), maka turunan ke-dua

d2y/dx2 = negatif

3. Untuk harga y minimum (titik B), maka turunan ke-dua d2y/dx2 = positif

4. Untuk titik belok (titik C), maka turunan ke-dua d2y/dx2 = 0 Untuk Aplikasi dalam memecahkan suatu persoalan hal yang perlu di INGAT BAHWA :

Harga maksimum atau minimum dari suatu fungsi akan tercapai bila turunan pertamanya = 0 atau ditulis 0

dx dy

13 Contoh :

1. Akan dibuat buah ruangan bersisian dengan memanfaatkan dinding yang sudah ada. Bahan pembuat ruang cukup dengan sekat, tersedia untuk 300 meter agar. Tentukan ukuran ruangan agar luas ruangan keduanya maksimum.

Jawab

Keliling = 3 Y + 4 X 300 = 3 Y + 4 X Y = 100 - X Luas (L) = 2 X . Y

= 2 X (100 - X ) = 200 X -

X 2

Luas akan maksimum akan dicapai bila

��

�

= 0

Harga ��

� = 200 - X , sehingga

200 - X = 0 maka harga X = 37,5 m

Harga Y = 100 - X, maka harga Y = 50 M Jadi agar luas ruangan tersebut di atas, maka ukuran X = 37, 5 m Y = 50 m

Y

Y Y

14 Bukti :

Harga X Harga Y Luas = 200 X - X 2

Keterangan Hasil

Perhitungan

37,5 50 Terbukti

Dicoba 40

Dicoba 30

2. Akan dibuat kemasan untuk kaleng cat yang berisi 5 liter dengan tutupnya. Berapakahbesarnya ukuran Jari-jari dan tinggi kaleng ( R dan T) agar bahan yang digunakan minimum ?

Jawab :

Gambar bukaan kaleng cat seperti di bawah ini

Luas ( L) = 2πR T + 2πR 2 Volume = πR 2 T

5000 = πR 2 T sehingga harga T

=

Luas (L) = 2πR

π R2 + 2 πR 2

= + 2 πR 2

2πR

T

15

Agar volume maksimum, maka luasnya juga harus maksimum agar luasnya maksimum, maka turunan pertama luas terhadap jari-jari harus sama dengan nol atau ditulis ��

�� =

��

�� = − .

�2

+ 4

πR 0 = − .

�2

+ 4

πR , semua dikalikan dengan R2 Maka R 3 = .

π

R = 9,27 cm dan T =

π R2

= 18,537 cm Bukti :

Harga R

Harga T

Luas Bahan (L)=

2πR T + 2πR 2

Keteranga n

Hasil Perhitungan 9,27 18,537 Minimum

Dicoba 12

Dicoba 8

3. Sebuah batang AB yang beratnya 20 kg/m ditumpu dengan dua tumpuan seperti gambar. Batang tersebut dibebani muatan titik sebesar 100 kg yang terletak 2 meter dari B. Tentukan panjang bentang AB agar gaya reaksidi A sekecil-kecilnya serta berapa besar gaya reaksi di A dan di B ( RA dan RB ) ?

Jawab :

B X

P = 100 kg

a = 2 m A

16

Misal gaya reaksi di A = Y kg , sehingga Y = R1 + R2

Dimana R1 = beban akibat gaya P dan R2 = beban merata

R1 = � .�

� dan R2 = 0.5 . 20 . X = 10 X

Y = � .�

� + 10 X = .

� + 10 X =

200

� + 10 X Y = 200_� + 10 X

Sehingga harga �

� =

−

�2 + 10 Agar harga Y sekecil-kecilnya, maka harga �

� = , sehingga

−

�2 + 10 = 0 , harga X = √ = 4,472 m

Untuk harga X = 4,472, maka besarnya gaya reaksi di titik A atau Y adalah sebagai berikut

Y = 200_� + 10 X =

� + 10 . 4,472 = 89,44 kg

Besarnya gaya reaksi di titik B = jumlah total beban - gaya reaksi di titik A atau (Y)

Gaya Reaksi di titik B = 100 + ( 20 . 4,472) – Y

= 100 + (20. 4,472) – 89,44 = 99,99 kg

Latihan Soal

1. Penampang suatu saluran terbuka berbentuk trapesium dengan alas (sisi bawah) panjangnya 60 cm dan sisi miring panjangngnya 100 cm. Tentukan panjang sisi atas agar saluran tersebut dapat menampung air sebanyak-banyaknya.

17

2. Akan dibuat bak penampung bahan berbentuk bujur sangkar dengan sisi 120 cm. Untuk ini dilakukan pemotongan tiap-tiap ujung plat dengan bentuk bujur sangkar kecil dan kemudian dilipat ke atas. Berapa luas bujur sangkar kecil harus dipotong dari tiap-tiap ujung agar volume tersebut maksimum ?

3. Akan dibuat bak sampah dari plat baja berbentuk silnder yang dapat memuat air sebanyak 1 m 3 _{(tanpa tutup). Tentukan ukuran diameter dan}

tingginya agar plat yang dgunakan minimal.

4. Akan dibuat talang dari seng berbentuk U . Tentukan lebar dan tinggi talang agar dapat menampung air yang sebanyak-banyaknya dengan bahan talang yang terbatas, yaitu lebar seng 90 cm.

5. Kawat sepajang 100cm dipotong menjadi dua, dan akan dibentuk benda yang berbentuk lingkaran dan benda lain berbentuk bujur sangkar. Tentukan ukuran masing-masing benda tersebut agar ke-dua luas benda tersebut maksium.