PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR JARANG DENGAN CARA TERPARTISI MENURUT MARSHALL C PEASE
PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR JARANG DENGAN CARA TERPARTISI MENURUT MARSHALL C PEASE SKRIPSI Diajukan Untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Teknik Jurusan Teknik Informatika Disusun Oleh: M Edi Waskito 005314068 JURUSAN TEKNIK INFORMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
SOLVING THE SPARSE MATRIX OF EQUATION LINEAR SYSTEM WITH MARSHALL C PEASE PARTITIONING MATRIX METHOD A Thesis Presented as Partial Fulfillment of the Requirements to Obtain the Sarjana Teknik Degree in Informatic Engineering by
M Edi Waskito 005314068 DEPARTEMENT OF INFORMATIC ENGINEERING FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY SANATA DHARMA UNIVERSITY
PERNYATAAN
Dengan ini saya sebagai penulis tugas akhir menyatakan dengansesungguhnya bahwa skripsi yang saya tulis ini tidak memuat karya atau bagian
karya orang lain, kecuali pemikiran, metode atau hasil penelitian orang lain yang
diambil disebutkan dengan jelas sebagai acuan.Yogyakarta, September 2007 M Edi Waskito Penulis
HALAMAN PERSEMBAHAN
Karyaku ini kupersembahkan untuk : Yesus Kristus Tuhan dan juru selamatku yang selalu membimbingku dan memberikan apa yang aku butuhkan.
Keluargaku tercinta, khususnya Bapak dan Ibu yang telah memberikan
seluruh kasih dan sayangnya dalam membimbing untuk terus menghangatkan
saya. Kedua kakak saya widi dan papih terima kasih atas perhatian dan
dukungannya.
Seluruh sahabat dan teman-temanku yang kukasihi.
MOTTO
Ketakutan yang ditakuti adalah ketakutan diri sendiri (Albert Camus)Kesalahan terbesar yang bisa dibuat oleh seseorang adalah takut membuat kesalahan
(Elbert Hubbard) Kegagalan adalah kesempatan untuk memulai lebih cerdik (John C Maxwell) Kalau anda berpikir anda kalah, anda kalah. Kalau anda berpikir anda tidak berani, anda tidak berani. Kalau anda ingin menang tetapi berpikir anda tidak bisa, Hampir dapat dipastikan anda tidak bisa.Perjuangan hidup tidak selalu dimenangkan Oleh orang yang lebih kuat atau lebih cepat, Tetapi cepat atau lambat, orang yang menang Adalah orang yang berpikir dia bisa menang. (John C Maxwell) “Kamu adalah garam dunia… kamu adalah terang dunia…” (Matius:5)
ABSTRAKSI Banyak metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan
linear. Salah satu cara untuk menyelesaikan sistem persamaan linear yaitu dengan
partisi matriks yang digunakan Marshall C Pease. Cara yang digunakan Marshall C
Pease yaitu metode bordering, dari metode bordering dapat diterapkan metode
updating untuk menyelesaikan sistem persamaan linear.Dalam tugas akhir ini, penyelesaian sistem persamaan linear diutamakan pada
matriks jarang. Penyelesaian matriks jarang akan menimbulkan banyak permasalahan
tetapi permasalahan itu dapat diselesaikan menggunakan metode updating,
penggunaan metode updating perlu disertai penukaran baris atau penukaran kolom
agar dapat dicapai hasil yang sesuai.
ABSTRACT
Many methods are able to be used solve the equation linear system. One of theway of solving the equation linear system that is by partitioning matrix used by Marshall
C Pease. Way of partition used by Marshall C Pease is bordering method, from bordering
method earn in applied by updating method to finish the equation linear system.In final project, prefered solving with sparse matrix. Solving the sparse matrix
will generate many problem, but that problems can be solved to use the updating method,
usage of updating method require to be accompanied by the line conversation or column
conversation so that be reachable appropriate result.KATA PENGANTAR
Puji syukur penulis haturkan kepada Tuhan Yang Maha Esa atas segala
karunia yang diberikan, sehingga penulis dapat menyelesaikan tugas akhir yang
berjudul “Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Jarang dengan Cara
terpartisi Menurut Marshall C Pease” ini dengan baik. Penulisan ini
merupakan salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Teknik di
Universitas Sanata Dharma pada program studi Teknik Informatika.Selama penulisan skripsi ini penulis telah memperoleh bantuan dan
bimbingan dari berbagai pihak. Oleh karena itu penulis mengucapkan terima kasih
kepada:
1. Bapak, Ibu dan kedua kakak saya yang telah memberi dorongan baik moril
maupun spiritual.
2. Bapak Prof. Dr Ir Soesianto Ph. E Bs. C selaku pembimbing I yang telah
banyak membantu dan membimbing selama mengerjakan tugas akhir ini.
3. Ibu Merry, ST. selaku pembimbing II yang telah memberi banyak masukan
dan bimbingan serta perhatian demi terselesaikannya tugas akhir ini.
4. Ibu Agnes Maria Polina, S.Kom., M.Sc. dan Bapak JB. Budi Darmawan, S.T.,
M. Sc. selaku panitia penguji pada ujian pendadaran penulis
5. Seluruh staff dan dosen pengajar di Univeritas Sanata Dharma pada umumnya
dan Jurusan Teknik Informatika pada khususnya
6. Indra, Aang, Wisnu “Jongos”Ari, Toni terima kasih atas dukungannya dan
pemacu semangat.
7. Temen-temen kos : gogon, pram, gusur, sukur, rendi, aming, lukas, agung,
boy, Andi, citro, topan , adi, cemong + erni, arot, serta teman-teman yang tidak dapat saya sebut satu persatu terima kasih atas bantuan, dukungan,
8. Teman – teman Jurusan Teknik Informatika Angkatan 2000 (A dan B) dan
rekan - rekan Teknik Informatika USD lainnya
9. Temen-temen gua maria kerep : lehek, mas ari, mas eko, mas bambang, heru,
nono, pak moh yang selalu dukungan dan doanya10. temen-temen yang telah menyediakan pinjaman komputer : seti”kasut” &
yayuk , pinjaman laptop: toni+ponco, linda adikku yang ikut serta mendukung.
11. Semua pihak yang tidak dapat penulis sebutkan satu persatu, yang telah
memberikan dukungan serta bantuannya guna penyusunan karya tulis ini Penulis menyadari sepenuhnya bahwa Tugas Akhir ini masih jauh darikesempurnaan dan masih banyak kekurangan. Oleh karena itu penulis sangat
mengharapkan kritik dan saran yang bersifat membangun demi perbaikan lebih
lanjut. Penulis berharap semoga Tugas akhir ini dapat bermanfaat dan berguna
bagi pembaca.Yogyakarta, September 2007 Penulis
DAFTAR ISI
hal.HALAMAN JUDUL ................................................................................................. i
Halaman persetujuan.................................................................................................. ii
Halaman pengesahan ................................................................................................. iii
Halaman pernyataan................................................................................................... iv
Motto.......................................................................................................................... v
Halaman persembahan ............................................................................................... vi
Kata pengantar ........................................................................................................... vii
Abstraksi .................................................................................................................... ix
Abstract ...................................................................................................................... xDaftar Isi .................................................................................................................... xi
Daftar Gambar ........................................................................................................... xv
Daftar Tabel ............................................................................................................... xviii
BAB I PENDAHULUAN.........................................................................................1 1.1 Latar Belakang.............................................................................................
1 1.2 Perumusan Masalah .....................................................................................
2 1.3 Batasan Sistem.............................................................................................
2 1.4 Tujuan Skripsi..............................................................................................
3 1.5 Metode Penelitian ........................................................................................
3 1.6 Sistematika Penyusunan Skripsi ..................................................................
3 BAB II DASAR TEORI ...........................................................................................
5 2.1. Bentuk matriks dari suatu linear ..................................................................
7
2.2. Besaran skalar dan besaran vektor...............................................................
8
2.3. Matriks ......................................................................................................... 10
2.3.1. Pengertian matriks ............................................................................
10
2.3.2. Jenis-jenis matriks ............................................................................
11 2.4. Operasi-operasi atas matriks........................................................................
12 2.4.1. Operasi pertambahan .........................................................................
12 2.4.2. operasi pengurangan ..........................................................................
12 2.4.3. Operasi perkalian ...............................................................................
13 2.4.4. operasi transpose................................................................................
14 2.4.5. operasi invers .....................................................................................
14 2.4.6. operasi penukaran baris dan kolom....................................................
15 2.5. Partisi matriks ..............................................................................................
16
2.6. Penyelesaian sistem persamaan linear dengan cara terpartisi menurut
Marshall C Pease .........................................................................................
18 2.7. Contoh penyelesaian sistem persamaan linear dengan metode updating ....
20 2.7.1. Penyelesaian sistem persamaan linear pada matriks 5x5...................
20 2.7.2. Penyelesaian sistem persamaan linear jarang pada matriks 10x10....
26
2.7.3. Penyelesaian sistem persamaan linear jarang dengan operasi
penukaran baris pada matriks 10x10..................................................29
2.7.4. Penyelesaian sistem persamaan linear jarang dengan operasi
penukaran kolom pada matriks 10x10 ...............................................57 2.8. Handle grafik ...............................................................................................
87 2.9. Obyek yang digunakan dalam handle grafik ...............................................
87
2.9.1. Obyek yang digunakan dalam handle grafik .....................................
87
2.9.2. Obyek control antar muka pengguna .................................................
88 2.9.2.1. obyek uicontrol frame ...............................................................
88 2.9.2.2. obyek uicontol pushbutton........................................................
89 2.9.2.3. obyek uicontol axes dan text.....................................................
90 2.9.2.4. obyek uicontrol edit text ...........................................................
90 2.9.2.5. obyek open file..........................................................................
91
2.9.3. Perintah pada matlab..........................................................................
91 BAB III ANALISA dan PERANCANGAN............................................................
93 3.1. Analisa sistem ..............................................................................................
93 3.2. Masalah yang dihadapi ................................................................................
94 3.3. Pemecahan masalah .....................................................................................
95
3.4. Perancangan................................................................................................. 97
3.4.1 Algoritma dan diagram alir...................................................................
98 3.4.2.1. Algorima dan diagram alir tanpa penukaran baris atau kolom .
98
3.4.2.2. Algoritma dan diagram alir dengan penukaran baris................ 101
3.4.2.3. Algoritma dan diagram alir dengan penukaran kolom ............. 105
3.4.2 Desain antar muka................................................................................. 109
3.4.2.1. Desain antar muka star up......................................................... 109
3.4.2.2. Desain antar muka utama.......................................................... 110
3.4.2.3. Desain antar muka info ............................................................. 112
3.4.2.4. Desain antar muka otomatis masukan matriks.......................... 112
3.4.2.5. Desain antar muka masukan vektor .......................................... 113
3.4.3 Diagram alir antar muka ....................................................................... 114
BAB IV Implementasi .............................................................................................. 116
4.1. Implementasi program ................................................................................. 116
4.2. Implementasi antar muka............................................................................. 124
4.2.1 Implementasi tampilan pembuka .......................................................... 125
4.2.2 Implementasi tampilan utama ............................................................... 126
BAB V Analisa hasil................................................................................................ 140
5.1. Analisa bahasa pemrograman ...................................................................... 140
5.2. Hasil uji coba program................................................................................. 140
5.2.1 Matriks uji ........................................................................................ 141
5.2.2 Hasil uji ............................................................................................ 147
5.3. Analisis ........................................................................................................ 153
5.4. Kelebihan dan kekurangan program ............................................................ 154
5.4.1 Kelebihan.......................................................................................... 154
5.4.2 Kekurangan ...................................................................................... 154
BAB VI PENUTUP ................................................................................................... 156
6.1 Kesimpulan ................................................................................................ 156
6.2 Saran ........................................................................................................... 156
DAFTAR GAMBAR
1. Gambar 2.1 Kemungkinan dari kedua garis dibidang. (a) kedua garis
berpotongan,(b) kedua garis sejajar, dan (c) kedua garis berhimpit.......... 7
2. Gambar 3.1 Diagram alir tanpa penukaran baris atau kolom .......... 101
3. Gambar 3.2 Diagram alir dengan penukaran baris ........................... 104
4. Gambar 3.3 Diagram alir dengan penukaran baris(lanjutan) ........... 105
5. Gambar 3.4 Diagram alir dengan penukaran kolom. ....................... 108
6. Gambar 3.5 Diagram alir dengan penukaran kolom(lanjutan) ......... 109
7. Gambar 3.6 Desain antar muka star up ............................................ 111
8. Gambar 3.7 Desain antar muka utama ............................................. 111
9. Gambar 3.8 Desain antar muka info................................................. 113
10. Gambar 3.9 Desain antar muka otomatis masukan matriks ............. 113
11. Gambar 3.10 Desain antar muka masukan vektor............................ 114
12. Gambar 3.11 Diagram alir desain antar muka.................................. 115
13. Gambar 4.1 Path browse................................................................... 124
14. Gambar 4.2 Browse .......................................................................... 125
15. Gambar 4.3 Tampilan awal .............................................................. 125
16. Gambar 4.4 Tampilan utama ............................................................ 126
17. Gambar 4.5 Tampilan masukan matriks secara file ......................... 127
18. Gambar 4.6a Tampilan masukan matriks secara pengguna ............. 128
19. Gambar 4.6b Tampilan masukan matriks secara pengguna ............. 128
20. Gambar 4.7Tampilan masukan matriks secara otomatis .................. 129
22. Gambar 4.9 Tampilan pesanpilihan vektor ...................................... 130
23. Gambar 4.10aTampilan masukan vektor secara pengguna .............. 131
24. Gambar 4.10b Tampilan masukan vektor secara pengguna ............. 131
25. Gambar 4.11 Tampilan masukan vektor secara file ......................... 132
26. Gambar 4.12 Tampilan penyelesaian persamaan linear ................... 133
27. Gambar 4.13a Tampilan cek slide 1 ................................................. 134
28. Gambar 4.13b Tampilan cek slide 2................................................. 134
29. Gambar 4.13c Tampilan cek slide 3 ................................................. 135
30. Gambar 4.13d Tampilan cek slide 4................................................. 135
31. Gambar 4.13e Tampilan cek slide 5 ................................................. 136
32. Gambar 4.13f Tampilan cek slide 6 ................................................. 136
33. Gambar 4.14 Tampilan pilihan lihat matriks.................................... 137
34. Gambar 4.15 Tampilan lihat matriks................................................ 137
35. Gambar 4.16 Tampilan simpan matriks ........................................... 138
36. Gambar 4.17 Tampilan info ............................................................. 138
37. Gambar 4.18 Tampilan info tentang program .................................. 139
38. Gambar 5.1 Matriks 64x64 dengan unsur-unsur 10% tak nol......... 144
39. Gambar 5.2 Matriks 64x64 dengan unsur-unsur 20% tak nol......... 144
40. Gambar 5.3 Matriks 64x64 dengan unsur-unsur 30% tak nol......... 145
41. Gambar 5.4 Matriks 64x64 dengan unsur-unsur 40% tak nol......... 145
42. Gambar 5.5 Matriks 64x64 dengan unsur-unsur 50% tak nol......... 145
43. Gambar 5.6 Matriks 128x128 dengan unsur-unsur 10% tak nol..... 146
45. Gambar 5.8 Matriks 128x128 dengan unsur-unsur 30% tak nol..... 146
46. Gambar 5.9 Matriks 128x128 dengan unsur-unsur 40% tak nol..... 146
47. Gambar 5.10 Matriks 128x128 dengan unsur-unsur50% tak nol.... 147
DAFTAR TABEL
1. Tabel 5.1 keluaran matriks 2x2 ................................................................. 148
2. Tabel 5.2 keluaran matriks 4x4 ................................................................. 148
3. Tabel 5.3 keluaran matriks 8x8 ................................................................. 148
4. Tabel 5.4 keluaran matriks 16x16 ............................................................. 149
5. Tabel 5.5 keluaran matriks 32x32 ............................................................. 149
6. Tabel 5.6 keluaran matriks 64x64 ............................................................. 150
7. Tabel 5.7 keluaran matriks 128x128 ......................................................... 151
8. Tabel 5.8 keluaran matriks 256x256 ......................................................... 151
9. Tabel 5.9 keluaran matriks 512x512 ......................................................... 152
10. Tabel 5.10 keluaran matriks 1024x1024 ................................................... 152
BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Sering kali invers matriks sangat dibutuhkan, seperti halnya pada
penyelesaian sistem persamaan linear. Dalam kenyataannya invers matriks digunakan sebagai pengganti operasi pembagian, karena pada operasi matriks tidak dikenal adanya operasi pembagian. Dengan adanya operasi invers matriks, suatu persamaan linear Ax=b jika matriks A dan vektor b diketahui maka x dapat dicari penyeleasaiannya dengan mengalikan invers matriks
- 1 -1 -1
A(A ) dengan matriks A dan matriks B. A Ax=A b menjadi Ix=b karena pada dasarnya perkalian suatu matriks dengan matriks I tidak akan mempengaruhi matriks tersebut.
Jika dalam penyelesaian suatu sistem persamaan linear pada suatu matriks jarang, pasti akan membuat kita merasa sulit karena ukurannya relatif sangat besar. Dalam penyelesaian inversnya pun akan menemui banyak permasalahan karena mengandung unsur nolnya tersebut.
Dari sekeliling masalah terdapat banyak metode yang digunakan dalam penyelesaian sistem persamaan linear disamping itu terdapat komputer yang sangat membantu dalam perhitungan tanpa ada kesalahan, mengurangi kesalahan pembulatan dan keefesienan waktu dalam menyelesaikannya (menyelesaikan sistem dengan kecepatan maksimum). matriks tersebut menjadi matriks dari ukuran terkecil hingga matriks yang akan dicari invers matriksnya.
Dari uraian tersebut, maka dalam penulisan tugas akhir ini penulis akan mengambil topik “ Penyelesaian sistem persamaan linear jarang dengan cara terpartisi menurut Marshall C Pease ”.
1.2. Rumusan Masalah Dari topik di atas, maka rumusan permasalahan dalam penulisan tugas akhir ini adalah sebagai berikut :
“ Bagaimana membangun sebuah aplikasi sistem bantu dalam penyelesaian sistem persamaan linear pada matriks jarang dengan cara terpartisi menurut Marshall C Pease ?“.
1.3. Batasan Masalah Dalam penyelesaian persamaan sistem linear invers matriks jarang dengan cara terpartisi menurut Marshall C. Pease, penulis membatasi penyelesaian tersebut untuk matriks yang ada invers matriksnya (matriks tak singular) dan hanya penyelesaian pada sistem persamaan linear dengan cara terpartisi menurut Marshall C. Pease.
1. Metode yang dipakai untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dari resep Marshall C Pease
2. Yang dibahas dari masalah yang timbul dari sistem persamaan linear
3. Dari pemecahan masalah yang dipakai dengan hasil keluaran adalah waktu komputasi dan beban komputasi.
n n
4. Ukuran matriks yang diteliti adalah 2 x2 dimana n adalah bilangan bulat dari 1 sampai 10. ukuran prosentase besarnya elemen tak nol adalah 10%, 20%, 30%, 40%, dan 50%.
1.4. Tujuan Skripsi
Tujuan dari skripsi ini adalah: Membangun sebuah aplikasi perangkat lunak yang berfungsi sebagai sebuah sistem bantu yang mampu menyelesaikan sistem persamaan linear jarang yang mempunyai invers matriks dengan menggunakan metode dari Marshall C Pease 1.5.
Metode Penelitian Metodologi yang digunakan adalah studi literatur, yaitu antara lain:
1 Mempelajari materi
2 Mempelajari dan memilih teknik yang digunakan
1.6. Sistematika Penyusunan Laporan
Sistematika penulisan laporan ini terbagi atas enam bab dengan garis besar sebagai berikut :
BAB I. Pendahuluan
manfaat, dan sistematika penulisan laporan.
BAB II. Dasar teori Bab ini berisi landasan teori yang dipakai untuk pembahasan penulisan tugas akhir. BAB III. Analisa dan perancangan sistem Bab ini merupakan bab yang membahas tentang gambaran perancangan sistem aplikasi yang dibuat Berisi analisis dan perancangan secara umum, dan perancangan tampilan pembuatan program aplikasi.
BAB IV. implementasi Membahas tentang pengkonversian rancangan ke dalam bentuk program dan menganalisa program tersebut
BAB V. Analisa hasil perangkat lunak Membahas tentang program yang telah dibuat dan menganalisa program tersebut. BAB VI. PENUTUP Berisi tentang kesimpulan dari pembahasan dan implementasi yang telah dilakukan dalam penulisan tugas akhir ini serta saran-saran untuk pengembangan program selanjutnya
BAB II LANDASAN TEORI Sistem persamaan linear dalam beberapa variabel adalah persamaan dalam
bentuk polinom yang variabelnya berderajat satu atau nol dan tidak terjadi
perkalian antara varibelnya. Contoh persamaan linear dengan tiga variabel x, y, z
5 2 − = + adalah 2 x 3 y 10 z 5 . Sedangkan persamaan x − y 2 = 5 dan− + = xy 2 x 3 y 7 bukan merupakan persamaan linear. Yang pertama karena
2
terdapat suku x dan yang kedua karena perkalian dari variabelnya. Sedangkan
sistem persamaan linear adalah kumpulan dari berhingga banyaknya persamaan
linear.= + Sistem persamaan linear ax by c , dua varibel dengan dua persamaan mempunyai bentuk umum, berikut persamaan linear tersebut
- a x b y = c ⎧ 1 1 1 (2.1) ⎨ 2 + a x b y = c 2 2 ⎩
- Seperti yang diketahui persamaan linear = dapat digambarkan
Sistem persamaan linear disebut konsisten, jika sistem persamaan tersebut
mempunyai sedikitnya satu jawaban. Sedangkan sistem persamaan linear tak
konsisten, jika sistem tersebut tidak mempunyai jawaban.ax by c sebagai garis bidang. Jadi dari sistem persamaan (2.1) dapat digambarkan garis L 1
dan L di bidang. Ada tiga kemungkinan kedudukan garis tersebut, yaitu (lihat
21. Garis L dan L berpotongan, 1 2
2. Garis L dan L sejajar, dan 1 2 3. Garis L dan L merupakan satu garis(berimpit). 1 2 L = L 1 2 L L
1
1 L L 2 2 (a) (b) (c)
gambar 2.1 Kemungkinan dari kedudukan kedua garis di bidang. (a) kedua garis berpotongan, (b) kedua garis sejajar, dan (c) kedua garis berimpit.Pasangan bilangan (x,y) merupakan jawab dari sistem persamaan (2.1) jika dan hanya jika titik (x,y) terletak pada kedua baris. Dalam hal kemungkinan pertama, hanya ada satu titik yang terletak pada kedua baris. Oleh karena itu, jawab sistem persamaan(2.1) ini tepat satu. Sedangkan dalam hal kedua, tak ada titik yang terletak pada kedua baris. Ini mengatakan bahwa sistem persamaan tersebut tidak mempunyai jawab. Yang ketiga, ada banyak titik terletak pada kedua garis. Ini berarti bahwa sistem persamaan tersebut mempunyai jawab tak hingga banyaknya. Dengan demikian ada tiga kemungkinan jawab dari sistem dari sistem persamaan linear(2.1), yaitu : 1. mempunyai tepat satu jawab;
2. tak mempunyai jawab; atau 3. mempunyai jawab banyak.
Ketiga kemungkinan ini berlaku untuk sembarang sistem persamaan linear.
2.1 Bentuk matriks dari suatu linear
Perkalian matriks mempunyai suatu penerapan penting pada sistem persamaan linear. Sembarang sistem persamaan linear m dalam n 11 1 12 2 + + + a x a x L a x = b 1 n n 1 21 1 22 2 + + + a x a x L a x = b 2 n n 2 M M M M m 1 1 + + + a x amx L a x = b 2 mn n m Karena dua matriks sama jika dan hanya jika unsur-unsurnya yang
padanan sama, maka kita bisa menggantikan persamaan-persamaan m dalam n
pada sistem ini dengan persamaan matriks tunggal.L a x a x a x b + + +
⎡ 11 1 12 2 1 n n ⎤ ⎡
1 ⎤
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 21 1 + + + a x a x L a x b 22 2 2 n n2
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥M M M M ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ a x a x L a x b m 1 1 m 2 2 mn n m + + + ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Matriks m+1 pada ruas kiri pada persamaan ini bisa ditulis a a L a x b
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ 11 12 1 n 1 1 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ L a a a x b 21 22 2 n 2 2
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = ⎢ M M M ⎥ ⎢ M ⎥ ⎢ M ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ a a L a x b m 1 m 2 mn m m
⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
jika kita menandai matriks-matriks ini masing-masing dengan A,x, dan b, sistem
persamaan asli m dan n peubah telah digantikan oleh persamaan matriks
Ax=b
Matriks A dalam persamaan ini disebut matriks koefisien dari sistem tersebut.2.2 Besaran skalar dan besaran vektor
Dalam fisika, besaran-besaran yang hanya memiliki nilai tunggal (angka
real) disebut juga besaran skalar. Besaran yang memiliki nilai jamak disebut
vektor. Misalnya, kecepatan yang terdapat pada sebuah benda yang bergerak.
Besaran ini memiliki sekurang-kurangnya dua nilai, yaitu besarnya kecepatan
(laju) dan arah geraknya. Maka dalam fisika kecepatan dimengerti sebagai
besaran vektor.Dalam hal ini besaran vektor diberi arti yang lebih luas. Vektor dapatlah
dipandang sebagai himpunan besaran-besaran dengan indeks yang jelas (untuk
menunjukkan lokasinya dalam himpunan itu). Masing-masing besaran disebut
elemen vektor tersebut.Dalam penulisan skripsi ini vektor lambang huruf alfabet kecil dengan
garis bawah. Misalnya, diberikan vektor a. Elemen (pada lokasi) ke-i dari vektor a
dilambangkan oleh a i.Vektor a dengan cacah elemen n buah ditulis lengkap sebagai deretan nilai dengan i = 1, 2,…n, membentuk satu kolom seperti dibawah ini: a i ,
a
⎡
1 ⎤⎢ ⎥
a
2
⎢ ⎥
⎢ ⎥
a = a 3
⎢ ⎥
M
⎢ ⎥
⎢ ⎥
a
n
⎣ ⎦
Vektor seperti itu disebut vektor-kolom. Jika elemen-elemen tersebut ditulis
berderet membentuk satu baris, maka vektor itu disebut vektor-baris. Kecuali Untuk menghemat ruangan penulisan, untuk vektor tersebut diatas ditulis pula ( ) i
≡ a a , dengan I = 1,2…n, dan simbol “ ≡” dapat dibaca sebagai “didefinisikan sebagai”. Jadi misalnya R a
i
∈ , yaitu bahwa a i bernilai real, maka secara ringkas dapat ditulis pula . ) ( R a a ∈ ≡ dalam kontek ini n i nR dapat dibaca sebagai “semesta angka real berdimensi n”.
Vektor nol dilambangkan oleh 0, adalah vektor dengan semua elemen
bernilai nol. Salah satu jenis vektor yang ternyata penting adalah vektor basis.
Vektor basis i e adalah vektor dengan semua elemen bernilai nol, kecuali elemen ke-I bernilai 1. misalnya, vektor basis T
R e ∈
3 adalah ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=1 3 e
Tentu saja dalam ruangan berdimensi n ada vektor basis n buah, yaitu
. , , , , 3 2 1 n K e e e e Secara singkat: ni
R e ∈ dengan dengan (Soesianto, 2004). 1 n i ≤ ≤
2.3 Matriks
2.3.1 Pengertian matriks
) ( a a A ij = ≡ 2 a 3 a
M
3 2 1= T T T T
a
a
a
a
a
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎡
Cara penulisan penulisan lain adalah berdasarkan baris: ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤
. , , 2 , 1 n j K =
] n , a K , dengan , n j R a ∈
Jika vektor membentuk larik berdimensi satu, maka matriks adalah larik
berdimensi dua. Karena memiliki dua indeks, yaitu indeks untuk baris dan indeks
untuk kolom. Matriks diberi lambang dengan huruf alfabet besar. Misalnya
diberikan matriks A. Elemen matriks A pada baris i dan kolom j diberi lambang
a ij. Indeks pertama i senantiasa menyatakan nomor baris, dan indeks kedua j
menyatakan nomor kolom. Jika matriks A itu terdiri atas m baris dan n kolom,
secara singkat akan ditulis m i a A ij , ,( 1 ), K = = dan n j , , 2 , 2 ,
M L K K K ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ mn n n n a a a a
M 3 33 23 13 m a a a a
A a M
2
32 22 12 m a a a a= ≡ 1 31 21 11 m ij a a a a
( ) ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡
× ∈
R a ij ∈ n m ij R a
1 K = . Jika maka . Ditulis secara lengkap:
M 3 2 1 Karena tiap kolom dari matriks membentuk vektor kolom, maka juga dapat ditulis, [ 1 T Superskrip (…) ditambahkan untuk menunjukkan bahwa lambang yang
bersangkutan membentuk vektor baris. Karena itu, agar masih menghemat
tempat, biasanya ditulis pula:T T T T
T a = a a a K , a 1 2 3
[ n ]
(Soesianto,2004)2.3.2 Jenis-jenis matriks
a Matriks nol (Mnol) Matriks dengan semua elemennya bernilai nol. Matriks nol diberi lambang 0 . b Matriks bujur sangkar (MBS) Matriks bujur sangkar adalah matriks yang mempunyai cacah baris sama dengan cacah kolom. c Matriks satuan Matriks satuan termasuk matriks diagonal, dilambangkan dengan I, didefinisikan sebagai matriks diagonal dengan semua elemen diagonal bernilai satu. Matriks satuan juga sering disebut sebagai matriks identitas d Matriks jarang Matriks jarang adalah matriks dengan cacah baris dan cacah kolom yang relatif besar dengan bagian terbesar dari elemen-elemennya
bernilai nol, dan hanya sebagian kecil saja yang bernilai tak nol. e Matriks permutasi Matriks ini adalah matriks identitas yang baris-baris atau kolomnya mengalami pertukaran. (Soesianto,2004)
2.4 Operasi-operasi atas matriks
2.4.1 Operasi pertambahan Matriks dan matriks hanya dapat dipertambahkan, jika m = A B ( mxn ) ( pxq ) p dan n = q. Artinya, pertambahan dua matriks A dan matriks B hanya dapat terlaksana jika cacah baris untuk A dan matriks B serta cacah kolom A dan matriks B sesuai (compatible). Hasilnya adalah ij ij + matriks C dengan sifat, bahwa: c ij : = a b . Operasi ini bersifat komutatif, artinya A + B = B + A.
2.4.2 Operasi pengurangan Matriks dan matriks hanya dapat diperkurangkan, jika A B ( mxn ) ( pxq ) m = p dan n = q. Artinya, pengurangan dua matriks A dan matriks B hanya dapat terlaksana jika cacah baris untuk A dan matriks B serta cacah kolom A dan matriks B sesuai (compatible). Hasilnya adalah matriks C dengan sifat, bahwa: c ij : = a − b . ij ij
2.4.3 Operasi perkalian a Perkalian sebuah nilai real dengan matriks ∈
Jika matriks A dikalikan dengan sebuah nilai real β R , maka β baik β A maupun A menghasilkan matriks C yang memiliki dimensi sama dengan A.
C ≡ ( c ) dengan c : = β a ij ij ij Artinya, matriks C diperoleh dengan mengalikan tiap elemen dari matriks A dengan nilai real β . b Perkalian vektor dengan matriks Perkalian matriks A dengan vektor x dapat memberikan ( mxn ) (n )
T hasil vektor. Hasil kali A x adalah vektor kolom sedangkan x A adalah vektor baris. c Perkalian matriks dengan matriks Operasi perkalian atas matriks A dan matriks B tersebut diatas n menghasilkan matriks C ≡ ( c ) , dengan c : = a b ij ij ij ij
∑ i = 1 Secara implisit telah diisyaratkan dalam rumus ini bahwa operasi perkalian tersebut hanya terlaksana jika cacah kolom n dari matriks A sama dengan cacah baris p dari matriks B adalah sama.
Sebagai akibatnya, matriks C memiliki cacah baris m dan cacah kolom q . Dalam hal itu matriks A dan matriks B dapat dikalikan, karena syarat kesesuaian (compatibility) terpenuhi.
Atas dasar dapatlah dimengerti bahwa pada umumnya operasi perkalian tidak komutatif. Artinya : ≠