LAPORAN PRAKTIKUM 1 komstat Indonesia
LAPORAN PRAKTIKUM KE-I
KOMPUTASI STATISTIKA
“OPERASI MATRIKS”
Asisten 1 : Bima Anoraga
Asisten 2 : Agung Surya M.
(105090500111008)
(105090513111004)
Nama : Nur Pradina Kusumawardani
NIM
: 125090500111028
LABORATORIUM STATISTIKA
PROGRAM STUDI STATISTIKA
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS BRAWIJAYA
MALANG
2014
BAB I
SOURCE CODE
Permasalahan : Piere (1948) mechanically measured the frequency (the
number of wing vibration per second) of chirps(for pulses of sound) made
by a striped ground cricket, at various ground temperatures. Since crickets
are ectotherms (cold-blooded) the rate of their psycologycal processes and
their overall mertabolism are influenced by temperature. Consequently,
there is reason to believe that temperature would have profound effect on
aspects of their behavior, such as chirp frequency. In general, it was found
that crickets did not sing at temperatures colder than 60 0F, or warmer than
100 0F. (According to the text “The Song of Insect” by George Pierce )
1.
a)
Suhu/Temperatur (F)
Banyaknya suara
89
72
93
84
81
75
70
72
69
83
20
26
19
28
17
15
14
15
15
16
Source codenya adalah sebagai berikut :
b.
c)
d)
e)
f) > matc=mata%*%t(matx)
g)
2. Membentuk matriks :
Ada berbagai cara membentuk matriks pada R. Berikut ini adalah
beberapa metodenya :
a) Mendefinisikan matriks yang akan dibentuk
b)
Menggunakan rbind dan cbind
c) Menggunakan array
3. Berbagai Jenis Operasi Matriks
Berikut ini merupakan berbagai jenis operasi matriks dan
pengoperasiannya di R.
a) Penjumlahan
b) Pengurangan
c) Perkalian
d) Transpose
e) Invers
f) Akar 2 dari elemen matriks
g) Pangkat dari elemen-elemen matriks
h) Determinan matriks
i) Pembagian elemen matriks
j)
k) Perkalian elemen matriks
l) Cross product matriks
m) Menentukan diagonal matriks
n) Pembagian elemen matriks dengan skalar
o) Perkalian elemen matriks dengan skalar
BAB II
HASIL DAN PEMBAHASAN
1. Menduga Beta (Besarnya Pengaruh)
Terhadap Frekuensi Suara Jangkrik.
a.
Temperatur
Pada kodingan di atas, dilakukan pembentukan matriks x (matx)
yang elemennya merupakan angka-angka pada variabel bebas yang
telah ditetapkan, yaitu suhu/temperatur. Pada kodingan di atas
terlihat tulisan ncol=2, nrow=10. Hal ini menunjukkan bahwa
matriks yang akan dibuat merupakan matriks 10x2. 10 pada
kodingan tersebut menunjukkan banyaknya baris dan 2 merupakan
banyaknya kolom.
b.
Pada kodingan di atas, dilakukan pembentukan matriks y (maty)
yang elemennya merupakan angka-angka pada variabel tak bebas
yang telah ditetapkan, yaitu frekuensi suara jangkrik. Matriks
yang dibentuk tersebut, juga berdimensi 10x1.
c.
t(matx) merupakan perintah pada R untuk melakukan transpos
pada matriks (elemen baris berubah menjadi elemen kolom dan
sebaliknya).
d.
variabel matz disini digunakan untuk mendeklarasikan hasil dari
perkalian transpos matx dengan matx itu sendiri.
e.
Variabel mata digunakan untuk mendeklarasikan hasil solve(matz).
Perintah solve (matz) sendiri merupakan perintah untuk
menentukan invers matriks (matz).
f.
Variabel matc digunakan untuk menunjukkan hasil dari perkalian
matriks (mata) dengan transpose dari matriks (matx).
g)
Setelah melalui semua proses di atas, akan didapatkan penduga
bagi beta (besar pengaruh temperatur terhadap frekuensi suara
jangkrik) dengan melakukan langkah terakhir seperti pada gambar.
Yaitu dengan melakukan perkalian matriks (matc) dengan matriks
(maty). Maka diperoleh Beta0 = 9.3174953 dan Beta1 = 0.1038389.
Setelah didapatkan penduga bagi beta, maka dapat dilakukan
pembentukan model. Yaitu :
Y = 9.3174953 + 0.1038389 X
Langkah-langkah yang dilakukan di atas telah sesuai dengan rumus
pendugaan bagi beta dengan metode matriks :
(X’X)-1
X’Y
2. Membentuk matriks :
a) Mendefinisikan matriks yang akan dibentuk
Matriks di atas dibentuk dengan mendeskripsikan secara lengkap
elemen-elemen dan juga banyaknya baris serta kolom pada matriks. Seperti
contoh pada matriks (a) dituliskan dengan kata matrix yang berarti akan
dibentuk sebuah matriks, kemudian diikuti dengan c beserta deretan angkaangka. (c) disini berarti combine, dimana combine dilakukan untuk
mengumpilkan elemen-elemen matriks (berupa deretan angka) untuk
membentuk suatu matriks dengan kolom sebanyak 3 (ncol=3) dan baris
sebanyak 3 (nrow=3).
b)
Menggunakan rbind dan cbind
Pada
rbind,
pembentukan
matriks
dilakukan
dengan
menggabungkan kolom pada matriks ai dan kolom pada matriks bi (kolom 1
dari matriks a dengan kolom 1 dari matriks b, dan seterusnya) sehingga
berbaris-baris membentuk kolom baru.
Pada
cbind,
pembentukan matriks
dilakukan dengan
menggabungkan baris pada matriks a i dan baris pada matriks b i (baris 1 dari
matriks a dengan baris 1 dari matriks b, dan seterusnya) sehingga saling
berdampingan membentuk baris baru.
c) Menggunakan array
Pada penggunaan perintah array gambar di atas, dinyatakan
array(10:20, dim=c(3,3)) artinya, akaan dibuat matriks berdimensi 3x3
dengan elemen-elemennya merupakan bilangan dari 10 hingga 20
berurutan.
3. Berbagai Jenis Operasi Matriks
Sebelumnya telah didefinisikan bahwa
a) Penjumlahan
Pada operasi penjumlahan di atas, dilakukan penjumlahan elemen
matriks aij dengan bij. Contoh : Elemen matriks a kolom dan baris pertama
dijumlahkan dengan elemen matriks b kolom dan baris pertama.
b) Pengurangan
Pada operasi pengurangan di atas, dilakukan pengurangan elemen
matriks aij dengan bij. Contoh : Elemen matriks a kolom dan baris pertama
dikurangi dengan elemen matriks b kolom dan baris pertama.
c) Perkalian
Pada operasi perkalian matriks dilakukan dengan mengalikan baris
dengan kolom. Contoh : Mengalikan baris pertama matriks a dengan kolom
pertama matriks b.
d) Transpose
Operasi transpose merupakan operasi matriks dengan mengganti
susunan elemen di dalam matriks dari baris menjadi kolom dan begitu
seterusnya. Contoh : Baris pertama pada kolom a akan menjadi kolom
pertama pada matriks a yang sudah ditranspose.
e) Invers
Invers merupakan kebalikan dari matriks. Untuk operasi invers
dikhususkan untuk matriks yang non singular saja (determinannya
bukan 0). Karena ketika matriks tersebut singular, maka matriks tersebut
tidak memiliki inverse.
f) Akar 2 dari elemen matriks
Pada operasi matriks sqrt, setiap elemen matriks akan diakar
pangkat 2-kan. Seperti pada sqrt(b) maka semua elemen matriks b akan
diakar pangkat 2 kan dan didapat hasil seperti gambar di atas.
g) Pangkat dari elemen-elemen matriks
Seperti pada operasi sqrt, operasi pangkat juga akan memangkatkan
setiap elemen matriks dengan angka yang telah ditentukan. Pada kasus di
atas, elemennya dipangkatkan 2.
h) Determinan matriks
Pada perintah determinan, akan dicari determinan suatu matriks.
Determinan sendiri dalam perhitungan manual dapat dilakukan salah
satunya dengan metode Ad-joint.
i) Pembagian elemen matriks
Pada dasarnya tidak ada operasi pembagian dalam matriks. Namun
pada software R, dapat dilakukan pembagian pada elemen-elemen
matriksnya saja. Perbedaan hasil operasi pada kedua gambar di atas terletak
pada output yang dihasilkan. Dimana pada gambar yang atas, output
dihasilkan dengan bilangan desimal secara lengkap dari hasil pembagian
elemen dengan baris dan kolom yang sama pada kedua matriks. Sedangkan
gambar bawahnya merujuk pada operasi aij div bij .
j) Perkalian elemen matriks
Pada perkalian biasa (tidak ada tanda %), operasi dilakukan dengan
mengalikan elemen-elemen dengan baris dan kolom yang sama pada kedua
matriks.
k) Cross product matriks
Pada crossprod (a,b) akan dilakukan operasi sama dengan t(a)%*
%b.
l) Bentuk perkalian matriks yang lain
Operasi perkalian kali ini merupakan hasil dari mengalikan
masing-masing elemen matriks a dengan salah satu elemen matriks b.
Contoh : pada (1,1) akan mengalikan seluruh elemen matriks a dengan
elemen matriks b1,1.
m) Menentukan diagonal matriks
Untuk mengetahui diagonal utama matriks dapat dilakukan
pengkodingan seperti pada gambar di atas.
n) Pembagian elemen matriks dengan skalar
Pada pembagian dengan skalar, maka seluruh elemen matriks akan
dibagi dengan skalar yang ditentukan. Dalam persoalan di atas, seluruh
elemen matriks b dibagi dengan 4.
o) Perkalian elemen matriks dengan skalar
Pada perkalian dengan skalar, maka seluruh elemen matriks akan
dikalikan dengan skalar yang ditentukan. Dalam persoalan di atas, seluruh
elemen matriks a dikalikan dengan 2.
BAB III
PENUTUP
3.1 Kesimpulan
Menghitung β duga dapat dilakukan dengan operasi matriks dan
pada kasus yang dibahas dalam laporan ini didapatkan persamaan
Y = 9.3174953 + 0.1038389 X yang berarti bahwa apabila suhu
dibuat menjadi 0 oF akan diperoleh frekuensi suara jangkrik sebesar
9.3174953. Dengan bertambahnya 1 oF suhu/temperatur, akan
mengakibatkan bertambahnya frekuensi sebesar 0.1038389
Dalam pembuatan matriks dengan R, dapat dilakukan
menggunakan tiga cara yaitu pendefisian matriks secara lengkap,
menggunakan rbind dan cbind, atau menggunakan array.
Ada 15 operasi matriks yang perlu diingat untuk dijadikan
pedoman dalam melakukan pengoperasian suatu matriks di R.
3.2 Saran
Perlu diingat dalam perkalian matriks yang sesungguhnya, harus
diberikan tanda % sesudah matriks pengali dan % di akhir matriks
yang terkali. contoh : a%*%b
Ketelitian dan ketrampilan menggunakan software sangat perlu
untuk diperhatikan, karena salah pengkodingan berarti salah operasi
dan akan berakibat fatal pada hasil yang diperoleh.
KOMPUTASI STATISTIKA
“OPERASI MATRIKS”
Asisten 1 : Bima Anoraga
Asisten 2 : Agung Surya M.
(105090500111008)
(105090513111004)
Nama : Nur Pradina Kusumawardani
NIM
: 125090500111028
LABORATORIUM STATISTIKA
PROGRAM STUDI STATISTIKA
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS BRAWIJAYA
MALANG
2014
BAB I
SOURCE CODE
Permasalahan : Piere (1948) mechanically measured the frequency (the
number of wing vibration per second) of chirps(for pulses of sound) made
by a striped ground cricket, at various ground temperatures. Since crickets
are ectotherms (cold-blooded) the rate of their psycologycal processes and
their overall mertabolism are influenced by temperature. Consequently,
there is reason to believe that temperature would have profound effect on
aspects of their behavior, such as chirp frequency. In general, it was found
that crickets did not sing at temperatures colder than 60 0F, or warmer than
100 0F. (According to the text “The Song of Insect” by George Pierce )
1.
a)
Suhu/Temperatur (F)
Banyaknya suara
89
72
93
84
81
75
70
72
69
83
20
26
19
28
17
15
14
15
15
16
Source codenya adalah sebagai berikut :
b.
c)
d)
e)
f) > matc=mata%*%t(matx)
g)
2. Membentuk matriks :
Ada berbagai cara membentuk matriks pada R. Berikut ini adalah
beberapa metodenya :
a) Mendefinisikan matriks yang akan dibentuk
b)
Menggunakan rbind dan cbind
c) Menggunakan array
3. Berbagai Jenis Operasi Matriks
Berikut ini merupakan berbagai jenis operasi matriks dan
pengoperasiannya di R.
a) Penjumlahan
b) Pengurangan
c) Perkalian
d) Transpose
e) Invers
f) Akar 2 dari elemen matriks
g) Pangkat dari elemen-elemen matriks
h) Determinan matriks
i) Pembagian elemen matriks
j)
k) Perkalian elemen matriks
l) Cross product matriks
m) Menentukan diagonal matriks
n) Pembagian elemen matriks dengan skalar
o) Perkalian elemen matriks dengan skalar
BAB II
HASIL DAN PEMBAHASAN
1. Menduga Beta (Besarnya Pengaruh)
Terhadap Frekuensi Suara Jangkrik.
a.
Temperatur
Pada kodingan di atas, dilakukan pembentukan matriks x (matx)
yang elemennya merupakan angka-angka pada variabel bebas yang
telah ditetapkan, yaitu suhu/temperatur. Pada kodingan di atas
terlihat tulisan ncol=2, nrow=10. Hal ini menunjukkan bahwa
matriks yang akan dibuat merupakan matriks 10x2. 10 pada
kodingan tersebut menunjukkan banyaknya baris dan 2 merupakan
banyaknya kolom.
b.
Pada kodingan di atas, dilakukan pembentukan matriks y (maty)
yang elemennya merupakan angka-angka pada variabel tak bebas
yang telah ditetapkan, yaitu frekuensi suara jangkrik. Matriks
yang dibentuk tersebut, juga berdimensi 10x1.
c.
t(matx) merupakan perintah pada R untuk melakukan transpos
pada matriks (elemen baris berubah menjadi elemen kolom dan
sebaliknya).
d.
variabel matz disini digunakan untuk mendeklarasikan hasil dari
perkalian transpos matx dengan matx itu sendiri.
e.
Variabel mata digunakan untuk mendeklarasikan hasil solve(matz).
Perintah solve (matz) sendiri merupakan perintah untuk
menentukan invers matriks (matz).
f.
Variabel matc digunakan untuk menunjukkan hasil dari perkalian
matriks (mata) dengan transpose dari matriks (matx).
g)
Setelah melalui semua proses di atas, akan didapatkan penduga
bagi beta (besar pengaruh temperatur terhadap frekuensi suara
jangkrik) dengan melakukan langkah terakhir seperti pada gambar.
Yaitu dengan melakukan perkalian matriks (matc) dengan matriks
(maty). Maka diperoleh Beta0 = 9.3174953 dan Beta1 = 0.1038389.
Setelah didapatkan penduga bagi beta, maka dapat dilakukan
pembentukan model. Yaitu :
Y = 9.3174953 + 0.1038389 X
Langkah-langkah yang dilakukan di atas telah sesuai dengan rumus
pendugaan bagi beta dengan metode matriks :
(X’X)-1
X’Y
2. Membentuk matriks :
a) Mendefinisikan matriks yang akan dibentuk
Matriks di atas dibentuk dengan mendeskripsikan secara lengkap
elemen-elemen dan juga banyaknya baris serta kolom pada matriks. Seperti
contoh pada matriks (a) dituliskan dengan kata matrix yang berarti akan
dibentuk sebuah matriks, kemudian diikuti dengan c beserta deretan angkaangka. (c) disini berarti combine, dimana combine dilakukan untuk
mengumpilkan elemen-elemen matriks (berupa deretan angka) untuk
membentuk suatu matriks dengan kolom sebanyak 3 (ncol=3) dan baris
sebanyak 3 (nrow=3).
b)
Menggunakan rbind dan cbind
Pada
rbind,
pembentukan
matriks
dilakukan
dengan
menggabungkan kolom pada matriks ai dan kolom pada matriks bi (kolom 1
dari matriks a dengan kolom 1 dari matriks b, dan seterusnya) sehingga
berbaris-baris membentuk kolom baru.
Pada
cbind,
pembentukan matriks
dilakukan dengan
menggabungkan baris pada matriks a i dan baris pada matriks b i (baris 1 dari
matriks a dengan baris 1 dari matriks b, dan seterusnya) sehingga saling
berdampingan membentuk baris baru.
c) Menggunakan array
Pada penggunaan perintah array gambar di atas, dinyatakan
array(10:20, dim=c(3,3)) artinya, akaan dibuat matriks berdimensi 3x3
dengan elemen-elemennya merupakan bilangan dari 10 hingga 20
berurutan.
3. Berbagai Jenis Operasi Matriks
Sebelumnya telah didefinisikan bahwa
a) Penjumlahan
Pada operasi penjumlahan di atas, dilakukan penjumlahan elemen
matriks aij dengan bij. Contoh : Elemen matriks a kolom dan baris pertama
dijumlahkan dengan elemen matriks b kolom dan baris pertama.
b) Pengurangan
Pada operasi pengurangan di atas, dilakukan pengurangan elemen
matriks aij dengan bij. Contoh : Elemen matriks a kolom dan baris pertama
dikurangi dengan elemen matriks b kolom dan baris pertama.
c) Perkalian
Pada operasi perkalian matriks dilakukan dengan mengalikan baris
dengan kolom. Contoh : Mengalikan baris pertama matriks a dengan kolom
pertama matriks b.
d) Transpose
Operasi transpose merupakan operasi matriks dengan mengganti
susunan elemen di dalam matriks dari baris menjadi kolom dan begitu
seterusnya. Contoh : Baris pertama pada kolom a akan menjadi kolom
pertama pada matriks a yang sudah ditranspose.
e) Invers
Invers merupakan kebalikan dari matriks. Untuk operasi invers
dikhususkan untuk matriks yang non singular saja (determinannya
bukan 0). Karena ketika matriks tersebut singular, maka matriks tersebut
tidak memiliki inverse.
f) Akar 2 dari elemen matriks
Pada operasi matriks sqrt, setiap elemen matriks akan diakar
pangkat 2-kan. Seperti pada sqrt(b) maka semua elemen matriks b akan
diakar pangkat 2 kan dan didapat hasil seperti gambar di atas.
g) Pangkat dari elemen-elemen matriks
Seperti pada operasi sqrt, operasi pangkat juga akan memangkatkan
setiap elemen matriks dengan angka yang telah ditentukan. Pada kasus di
atas, elemennya dipangkatkan 2.
h) Determinan matriks
Pada perintah determinan, akan dicari determinan suatu matriks.
Determinan sendiri dalam perhitungan manual dapat dilakukan salah
satunya dengan metode Ad-joint.
i) Pembagian elemen matriks
Pada dasarnya tidak ada operasi pembagian dalam matriks. Namun
pada software R, dapat dilakukan pembagian pada elemen-elemen
matriksnya saja. Perbedaan hasil operasi pada kedua gambar di atas terletak
pada output yang dihasilkan. Dimana pada gambar yang atas, output
dihasilkan dengan bilangan desimal secara lengkap dari hasil pembagian
elemen dengan baris dan kolom yang sama pada kedua matriks. Sedangkan
gambar bawahnya merujuk pada operasi aij div bij .
j) Perkalian elemen matriks
Pada perkalian biasa (tidak ada tanda %), operasi dilakukan dengan
mengalikan elemen-elemen dengan baris dan kolom yang sama pada kedua
matriks.
k) Cross product matriks
Pada crossprod (a,b) akan dilakukan operasi sama dengan t(a)%*
%b.
l) Bentuk perkalian matriks yang lain
Operasi perkalian kali ini merupakan hasil dari mengalikan
masing-masing elemen matriks a dengan salah satu elemen matriks b.
Contoh : pada (1,1) akan mengalikan seluruh elemen matriks a dengan
elemen matriks b1,1.
m) Menentukan diagonal matriks
Untuk mengetahui diagonal utama matriks dapat dilakukan
pengkodingan seperti pada gambar di atas.
n) Pembagian elemen matriks dengan skalar
Pada pembagian dengan skalar, maka seluruh elemen matriks akan
dibagi dengan skalar yang ditentukan. Dalam persoalan di atas, seluruh
elemen matriks b dibagi dengan 4.
o) Perkalian elemen matriks dengan skalar
Pada perkalian dengan skalar, maka seluruh elemen matriks akan
dikalikan dengan skalar yang ditentukan. Dalam persoalan di atas, seluruh
elemen matriks a dikalikan dengan 2.
BAB III
PENUTUP
3.1 Kesimpulan
Menghitung β duga dapat dilakukan dengan operasi matriks dan
pada kasus yang dibahas dalam laporan ini didapatkan persamaan
Y = 9.3174953 + 0.1038389 X yang berarti bahwa apabila suhu
dibuat menjadi 0 oF akan diperoleh frekuensi suara jangkrik sebesar
9.3174953. Dengan bertambahnya 1 oF suhu/temperatur, akan
mengakibatkan bertambahnya frekuensi sebesar 0.1038389
Dalam pembuatan matriks dengan R, dapat dilakukan
menggunakan tiga cara yaitu pendefisian matriks secara lengkap,
menggunakan rbind dan cbind, atau menggunakan array.
Ada 15 operasi matriks yang perlu diingat untuk dijadikan
pedoman dalam melakukan pengoperasian suatu matriks di R.
3.2 Saran
Perlu diingat dalam perkalian matriks yang sesungguhnya, harus
diberikan tanda % sesudah matriks pengali dan % di akhir matriks
yang terkali. contoh : a%*%b
Ketelitian dan ketrampilan menggunakan software sangat perlu
untuk diperhatikan, karena salah pengkodingan berarti salah operasi
dan akan berakibat fatal pada hasil yang diperoleh.