Setelah menyaksikan tayangan ini anda dapat Menentukan peta atau bayangan suatu kurva

  Komposisi Transformasi

  Setelah menyaksikan tayangan ini anda dapat Menentukan peta atau bayangan suatu kurva hasil dari suatu komposisi transformasi

Transformasi

  Untuk memindahkan suatu titik atau bangun pada sebuah bidang dapat dikerjakan dengan transformasi. Transformasi T pada suatu bidang ‘ tiap titik P pada

  memetakan ’

  Bidang menjadi P’ pada bidang itu pula.

  Titik P’ disebut bayangan atau peta titik P

  Transformasi Invers

  Untuk menentukan bayangan suatu kurva oleh transformasi yang ditulis dalam bentuk matriks, digunakan

  transformasi invers soal

  Peta dari garis x – 2y + 5 = 0 oleh transformasi yang dinyatakan dengan matriks adalah….

  3

  2

  1

  1   

    

  Pembahasan

  1

  1    

  2

  3  

  A(x,y) A’(x’ y’)

  x '

  1 1 x      

        

  y '

  2 3 y       _-1

  Ingat: A = BX maka X = B .A x

  3  1 x'      

  1 

       

  y 

  2 1 y' 3 

  2      

    

  y x

     

     y' x'

  1

  2

  1

  3

    

    

    

    

     

    

  2x' y' 3x' y'

  y x

   

    

    

  1

    

    

   

   

    

     y' x'

  2

    

  1

  3

  2

  3

  1

  y x

    

Diperoleh: x = 3x’ – y’ dan y = - 2x’ + y’

  x = 3x’ – y’ dan y = -2x’ + y’ disubstitusi ke x – 2y + 5 = 0

  3x’ – y’ – 2(-2x’ + y’) + 5 = 0 3x’ – y’ + 4x’ – 2y’ + 5 = 0 7x’ – 3y’ + 5 = 0 Jadi bayangannya: 7x – 3y + 5 = 0 Komposisi Transformasi Bila T adalah suatu transformasi ₁ dari titik A(x,y) ke titik A’(x’,y’) dilanjutkan dengan transformasi T ₂ adalah transformasi dari titik A’(x’,y’) ke titik A”(x”,y”) maka dua transformasi

tsb disebut

berturut-turut Komposisi dan ditulis T o T

  Transformasi _{2 1}

  

Komposisi Transformasi

Dengan matriks Bila T ₁ dinyatakan dengan matriks dan T ₂ dengan matriks maka dua Transformasi berturut-turut mula-mula T ₁ dilanjutkan dengan T ₂ ditulis T ₂ o T ₁ =

     

    d c b a

     

    s r q p

     

   

s r

q p

     

    d c b a

  

Soal 1

  Matriks yang bersesuaian dengan dilatasi dengan pusat (0,0) dan faktor skala 3 dilanjutkan dengan refleksi terhadap garis y = x adalah…

  Pembahasan

  M = Matrik dilatasi skala 3

  1

  3  

  adalah

   

  3  

  M = Matrik refleksi terhadap

  2

  1

  y = x adalah  

   

  1   Matriks yang bersesuaian dengan M

  1

    

  3

   

  3    

  

3

  3

  3

   

        

     

     

  3   

  dilanjutkan M

  3

    

  1   

  

1

  = = Jadi matriknya adalah

  1

  o M

  2

  ditulis M

  2

  3

  

Soal 2

  Bayangan segitiga ABC, dengan A (2,1), B (6,1), C (5,3) karena refleksi terhadap sumbu Y dilanjutkan rotasi (0,

  π) adalah…

  

Pembahasan

  Refleksi sb Y: (x,y)

  sb Y

  (-x, y) Rotasi

  π: (x,y) [O,

  π] (-x,-y)

  A(2,1) sb Y

  A’(-2,1) (O, π)

  A”(2,-1) B(6,1) sb Y

  B’(-6,1) (O,

  π) B”(6,-1)

  C(5,3) sb Y

  C’(-5,3) (O,

  π) Q”(5,-3)

  

Soal 3

  Luas bayangan persegi panjang PQRS dengan P(-1,2), Q(3,2), R(3,-1),

  S(-1,-1) karena dilatasi [O,3] dilanjutkan rotasi pusat 0 bersudut ½

  π adalah…

Pembahasan

  [O,3] Q’(9,-3)

  S”(3,-3)

  (O,½ π)

  S’(-3,-3)

  [0,3]

  Q”(3,9) S(-1,-1)

  (O,½ π)

  Dilatasi: (x,y) [O,k]

  (kx, ky) Rotasi ½

  (O,½ π)

  [O,3] Q’(9,6)

  P”(-6,-3) Q(3,2)

  P’(-3,6) (O,½ π)

  P(-1,2) [O,3]

  π] (-y,x)

  π: (x,y) [O,½

  Q”(-6,9) R(3,-1) P”(-6,-3), Q”(-6,9), R”(3,9), dan S”(3,-3) membentuk persegi panjang P”Q”R”S”

  Q”P” = 9 – (-3) = 12 Q”R” = 3 – (-6) = 9

  Luas = 12.9 = 108 P”(-6,-3) Q”(-6,9)

  R”(3,9) S”(3,-3) ^{X Y O}

  Soal 4

  T adalah transformasi yang

  1 

  1

  1  

  bersesuaian dengan matrik

    

  1

  2  

  dan T adalah transformasi yang

  2

  bersesuaian dengan

  3

  2  

  matrik

   

  2

  1   Bayangan titik A( m,n ) oleh transformasi T

  1

  dilanjutkan T

  2 adalah A’(-9,7).

  Nilai

  m

• 2n sama dengan….

  Pembahasan

       

    

   

  2

  1

  1

  1   

    

     

    

  1

  2

  1

  1

  2

  2

  1

  2

  4

  3

  2

  3   

  2

  T

    

  1

  = dan T

  2

  = T

  2

  o T

  1

  = =

    

  1

  1

  2

  2

  3   

    

   

  2

  1

  1

  1   

    

  3

  1

  1  

  T o T = _{2 1}

   

  1  

  A( m , n ) A’(-9,7)

  x '

  1 1 x      

        

  y '

  1 y      

  9

  1 1 m      

        

  7 1 n       9 m n

       

      7 m    

  9 m n     

       7 m     diperoleh: -9 = m + n dan 7 = m Nilai m = 7 disubstitusi ke m + n = -9  7 + n = -9 n = -16 Jadi nilai m – 2n = 7 + 32 = 39

  

Soal 5

  Jika titik (a,b) dicerminkan terhadap sumbu Y, dilanjutkan dengan transformasi sesuai matriks menghasilkan titik (1,- 8) maka nilai a + b =….

     

   

  2

  1

  1

  2 Pembahasan

  Matriks pencerminan terhadap sumby Y: T

  1

  1

  1

  2

  1 1 -

  2

  1

  1

  2

   

       

     

     

     

  2

  1

  1

  2

    

    

  1

  1

  



     

  =

  1

  o T

  2

  = T

  2

  = T

  2

    



     

  1

  

2

  1

  1

  2 ) 1 (

  4

  1 b a

     

     

     

       

   

       

   

  3

  2

  16

  1

  8

  2

  5

  1 b a

b

a

  8

        

  





 

  1

     

       

   

  2

  1

  1

  2

  1 1 -

  2

  1

  2    

       

     

     

       

    

  8

  

1

b a

  2

  1

  1

  2    

     

  Jadi : a + b = 2 + (-3) = -1

Soal 6

  Persamaan peta garis x

• – 2y + 4 = 0 yang dirotasikan dengan pusat (0,0) sejauh +90 , dilanjutkan dengan pencerminan terhadap garis y = - x adalah….

Pembahasan

  Rotasi +90

  o

  : (x,y) [O,+90 ^o ]

  (-y, x) Refleksi y = -x: (-y,x) y = -x

  (-x,y) Sehingga x” = -x → x = -x” dan y” = y → y = y” disubstitusi ke x

• – 2y + 4 = 0 diperoleh (- x”) – 2y” + 4 = 0

  Jadi petanya: x + 2y

• – 4 = 0

Soal 7

  2

  Persamaan peta kurva y = x

• 3x + 2 karena pencerminan terhadap sumbu x dilanjutkan dilatasi dengan pusat 0 dan faktor skala

  ⅓ adalah…

• Pembahasan

  Refleksi terhadap sumbu x x’ = x y’ = -y

  Dilanjutkan dengan dilatasi: [O, ⅓]

  x” = ⅓x’ = ⅓x y” = ⅓y’ = -⅓y dari x” = ⅓x dan y” = -⅓y diperoleh x = 3x” dan y = -3y” kemudian disubstitusi ke

  2

  y = x

• – 3x + 2

  2

  3y” = (3x”) – 3(3x”) + 2 -

  2

• 2

  3y” = 9(x”) – 9x” + 2

  Jadi petanya: y = -3x + 3x - ⅔

Soal 8

  Persamaan peta suatu kurva oleh refleksi terhadap sumbu X, dilanjutkan translasi adalah y = x

  2

     

   

  3

  2

• – 2. Persamaan kurva semula adalah….

Pembahasan

  Refleksi terhadap sumbu x x’ = x y’ = -y

  Dilanjutkan dengan translasi: x” = x’ + 2 = x + 2 y” = y’ + 3 = -y + 3

    

    

  3

  2 x” = x + 2 dan y” = -y + 3

  2

  disubtitusikan ke: y” = (x”) – 2

  2

• y + 3 = (x + 2) – 2

  2

• y = x + 4x + 4 – 2 – 3

  2

• y = x + 4x – 1 Jadi persamaan kurva

  2

  semula: y = -x – 4x +1

Soal 9

  Persamaan peta garis 3x

• – 4y = 12 karena refleksi terhadap garis y
• – x = 0, dilanjutkan oleh transformasi yang bersesuaian dengan matriks adalah….

     

     

  1

  1

  5

  3 Pembahasan y = x 3x – 4y = 12 3y – 4x = 12

  

  3

  5   Dilanjutkan transformasi:

    

  1

  1    x  x  y x'

  3 5 x'

  3

  5           

  

  →

             y  x  y y'

  1 1 y'          

  x 1

  x’ = -3x + 5y x’ = -3x + 5y y’ = -x + y x 3 3y’ =-3x + 3y x’ = -3x + 5y 3y’ = -3x + 3y

  x’ -3y’ = 2y diperoleh:

  x y x y '  3 ' ' 

  5 y

   dan x 

  2

  2 Disubstitusi ke 3y

• – 4x = 12

Disubstitusi ke: 3y – 4x = 12 diperoleh:

  x y x y ' 3 ' ' 5 '      

   

  3

  4

  12    

  2

  2    

  ruas kiri dan kanan dikali 2 3x’ – 9y’ – 4x’ + 20y’ = 24

• x’ + 11y = 24 Jadi petanya adalah 11y – x = 24

Soal 10

  Parabola dengan titik puncak (1,2) dan fokus (1,4) dicerminkan terhadap garis x = 5, kemudian dilanjutkan dengan transformasi putaran dengan pusat O(0,0) sejauh 90

  o

  berlawanan arah jarum jam. Persamaan peta kurva tersebut adalah…. Pembahasan _o M _{x = m +90} R

  

(x,y) (2m – x,y) (-y, 2m –x)

Pusat (1,2) _o M _{x = 5 +90} R

  (1,2) P’(9 ,2) P”(-2,9) Fokus (1,4) _o M _{x = 5 +90} R

  (1,4) F’(9,4) F”(-4,9)

  Kurva tersebut puncaknya di P”(-2,9) dan fokusnya di F”(-4,9)

  Kurva yang puncaknya di P”(-2,9) dan fokusnya di F”(-4,9) adalah parabola yang terbuka ke kiri dan p = jarak puncak ke fokus =

  2 , sehingga

  persamaanya

  2

  (y – b) = -4p(x – a)

  2

  (y – 9) = -4.2(x – (-2))

  2

  (y – 9) = -8(x + 2) ₂ Jadi persamaanya: y

• – 18y + 8x + 97 = 0