A. Rumus-rumus Dasar Turunan Fungsi Trigonometri Tipe 1: Tipe 3: 1.x - Halaman 1-20

INTEGRAL FUNGSI TRIGONOMETRI
A. Rumus-rumus Dasar Turunan Fungsi Trigonometri
Tipe 1:
Tipe 3:
1.

y  sin x  y'  cos x

1. y  sin n x  y'  n sin n1 x cos x

2.

y  cos x  y'   sin x

2. y  cosn x  y'  n cosn1 x sin x

3.

y  tan x  y'  sec2 x

3. y  tan n x  y'  n tan n1 x sec2 x

4.

y  cot x  y'   csc2 x

4. y  cot n x  y'  n cot n1 x csc2 x

5.

y  sec x  y'  sec x tan x

5. y  secn x  y'  n secn x tan x

6.

y  csc x  y'   csc x cot x

6. y  cscn x  y'  n cscn x cot x

Tipe 2:

Tipe 4:

1.

y  sin u  y'  cos u  u'

1. y  sin n u  y'  n sin n1 u cos u  u'

2.

y  cos u  y'   sin u  u'

2. y  cosn u  y'  n cosn1 u sin u  u'

3.

y  tan u  y'  sec2 u  u'

3. y  tan n u  y'  n tan n1 u sec2 u  u'

4.

y  cot x  y'   csc2 x

4. y  cot n u  y'  n cot n1 u csc2 u  u'

5.

y  secu  y'  sec u tan u  u'

5. y  secn u  y'  n secn u tan u  u'

6.

y  cscu  y'   cscu cot u  u

6. y  cscn u  y'  n cscn u cot u  u'

B. Rumus-rumus Fungsi Trigonometri

1. Rumus Kebalikan
1. sin x 

1
csc x

2. cos x 

1
sec x

2. cot x 

cos x
sin x

3. tan x 

1
cot x

2. Rumus Perbandingan
1. tan x 

sin x
cos x

3. Identitas Pythagoras
1. sin 2 x  cos 2 x  1

2. 1  tan 2 x  sec 2 x

3. 1  cot 2 x  csc 2 x

4. Rumus Trigonometri Sudut Rangkap
1
(1  cos 2 x)
2
1
4. cos2 x  (1  cos 2 x)

2

1. sin 2x  2 sin x cos x

3. sin 2 x 

2. cos 2 x  cos 2 x  sin 2 x  2 cos 2 x  1  1  2 sin 2 x

5. Rumus-rumus Sinus dan Kosinus
1.
2.

2 sin A cos B  sin( A  B)  sin( A  B)
2 cos A sin B  sin( A  B)  sin( A  B)

3. 2 cos A cos B  cos(A  B)  cos(A  B)
4. 2 sin A sin B   cos(A  B)  cos(A  B)

C. Rumus-rumus Dasar Integral Fungsi Trigonometri
Tipe 1:

1.  sin xdx   cos x  C
3.  tan xdx  ln sec x  C
2.

 cos xdx  sin x  C

4.

 cot xdx  ln sin x  C

 sec xdx  ln sec x  tan x  C
6.  csc xdx  ln csc x  cot x  C
5.

SOAL-SOAL DAN SOLUSINYA
1. Buktikan bahwa

 tan xdx  ln sec x  C

1 | Husein Tampomas, Pendalaman Materi: Integral Fungsi Trigonometri, MGMP, Bandung, Jabar, 5 Agustus 2007, 2014

Bukti:

sin x

 tan xdx   cos xdx

Misalnya t  cos x , maka dt   sin xdx , sehingga
sin x
1
1
 dt
tan xdx 
  ln t  C  ln  C  ln
 C  ln sec x  C
dx 
cos x
cos x
t
t







2. Buktikan bahwa

(qed)

 cot xdx  ln sin x  C

Bukti:
Alternatif 1:

cos x

 cot xdx   sin x dx

Misalnya t  sin x , maka dt  cos xdx , sehingga
cos x
dt
cot xdx 
 ln t  C  ln sin x  C
dx 
sin x
t
Alternatif 2:
π
Misalnya x   y , maka dx  dy , sehingga
2







(qed)

 tan xdx  ln sec x  C
π

π





 tan 2  y (dy)  ln sec 2  y   C



 cot ydy  ln csc y  C

 cot ydy   ln csc y  C
 cot ydy  ln csc y  C
 cot ydy  ln sin y  C atau  cot xdx  ln sin x  C
Buktikan bahwa  sec xdx  ln sec x  tan x  C
1

3.

Bukti:
Alternatif 1:



(qed)



sec x  tan x
sec 2 x  sec x tan x dx
dx 
sec x  tan x
sec x  tan x
Misalnya sec x  tan x  t , maka sec x tan x  sec2 x dx  dt , sehingga





sec xdx  sec x 





sec x  tan x

 sec xdx   sec x  sec x  tan x dx  
Alternatif 2:

sec



2



x  sec x tan x dx
dt

 ln t  C  ln sec x  tan x  C (qed)
sec x  tan x
t







sec x  tan x
sec2 x  sec x tan x dx
dx 
sec x  tan x
sec x  tan x
Misalnya sec x  tan x  t , maka sec x tan x  sec2 x dx  dt , sehingga



sec xdx  sec x 





sec xdx  sec x 





sec x  tan x
dx 
sec x  tan x




sec



2



x  sec x tan x dx
dt

 ln t  C  ln sec x  tan x  C (qed)
sec x  tan x
t



Alternatif 3:

1

cos xdx
2
x

 sec xdx   cos x dx   1  sin

2 | Husein Tampomas, Pendalaman Materi: Integral Fungsi Trigonometri, MGMP, Bandung, Jabar, 5 Agustus 2007, 2014

Misalnya sin x  t , maka cos xdx  dt , sehingga
dt
1
cos xdx
dx 
sec xdx 

2
cos x
1  sin x
1 t2
1
Uraikan bentuk
sebagai berikut.
1 t2
1
A
B


2
1 t 1 t
1 t
1  A(1  t )  B(1  t )
1  ( A  B)  ( A  B)t
A  B  1 .... (1)
A  B  0 .... (2)
1
Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh A  B 
2
1
1
dt
dt
1
dt
1
1
cos xdx
cos xdx
2
2



  ln(1  t )  ln(1  t )
sec xdx 
dx 

2
2
2
1 t
1 t
2
2
cos x
1 t
cos x
1  sin x
1 t
1
1  sin x 1  sin x
1  sin x
 C  ln
 ln
 ln 1  t  C  ln
C

 C  ln
1 t
1 t
1  sin x 1  sin x
1  sin x













 ln

1  sin x 2
1  sin x
2







 C  ln

1  sin x 2
2

cos x

Alternatif 4:



 C  ln





1  sin x
 C  ln sec x  tan x  C
cos x





(qed)



2dt
1
1
1
.
Misalnya t  tan 12 x , maka dt  sec2 12 xdx  1  tan 2 12 x dx  1  t 2 dx , akibatnya dx 
2
2
2
1 t2
sec2 12 x
1  tan 2 12 x
1
1
1
1 t2




sec x 

2
2 1
2 1
2
cos x 2 cos2 12 x  1
 1 2  sec 2 x 2  1  tan 2 x 1  t
2 1
sec 2 x
Dengan demikian,
1 t2
2dt
2dt
sec xdx 


2
2
1 t
1 t
1 t2
1
Uraikan bentuk
sebagai berikut.
1 t2
1
A
B


2
t
1
1

t
1 t
1  A(1  t )  B(1  t )
1  ( A  B)  ( A  B)t
A  B  1 .... (1)
A  B  0 …. (2)
1
Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh A  B 
2
1
1
dt
dt
1
dt
1
1
cos xdx
2
2



  ln(1  t )  ln(1  t )
sec xdx 
dx 
2
2
1 t
1 t
2
2
cos x
1 t
1  sin x
1  sin x
1  sin x 1  sin x
1
1 t
 C  ln

C
 ln
 ln 1  t  C  ln
 C  ln
1  sin x
1  sin x 1  sin x
1 t
1 t



















3 | Husein Tampomas, Pendalaman Materi: Integral Fungsi Trigonometri, MGMP, Bandung, Jabar, 5 Agustus 2007, 2014

 ln

1  sin x 2
1  sin x
2

4. Buktikan bahwa

1  sin x 2

 C  ln

2

cos x

 C  ln

1  sin x
 C  ln sec x  tan x  C (qed)
cos x

 csc xdx  ln csc x  cot x  C

Bukti:
Alternatif 1:





csc x  cot x
csc2 x  csc x cot x dx
dx 
csc x  cot x
csc x  cot x
Misalnya csc x  cot x  t , maka  csc x cot x  csc2 x dx  dt , akibatnya csc x cot x  csc2 x dx  dt ,
sehingga
csc x  cot x
csc2 x  csc x cot x dx
csc xdx  csc x 
dx 
csc x  cot x
csc x  cot x
 dt
1

  ln t  C  ln  C
t
t
1
1
sin x
 ln
 C  ln

C
csc x  cot x
csc x  cot x sin x
sin x
sin x
1  cos x
 ln
 C  ln

C
1  cos x
1  cos x 1  cos x
sin x(1  cos x)
sin x(1  cos x)
 ln
 C  ln
C
2
1  cos x
sin 2 x
1  cos x
 ln
 C  ln csc x  cot x  C (qed)
sin x
Alternatif 2:
csc x  cot x
csc2 x  csc x cot x dx
csc xdx  csc x 
dx 
csc x  cot x
csc x  cot x
Misalnya csc x  cot x  t , maka  csc x cot x  csc2 x dx  dt .







csc xdx  csc x 































csc x  cot x



 csc xdx   csc x  csc x  cot x dx  

csc



2



x  csc x cot x dx
dt

 ln t  C  ln csc x  cot x  C (qed)
csc x  cot x
t



Alternatif 3:

1

sin xdx
sin xdx

2
x
1  cos2 x
Misalnya cos x  t , maka  sin xdx  dt , akibatnya sin xdx  dt sehingga
1
sin xdx
dt

csc xdx 
dx 
2
sin x
1  cos x
1 t 2
1
sebagai berikut.
Uraikan bentuk
1 t2
1
A
B


2
1 t 1 t
1 t
1  A(1  t )  B(1  t )
1  ( A  B)  ( A  B)t
A  B  1 .... (1)
A  B  0 .... (2)
1
Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh A  B 
2

 csc xdx   sin x dx   sin










4 | Husein Tampomas, Pendalaman Materi: Integral Fungsi Trigonometri, MGMP, Bandung, Jabar, 5 Agustus 2007, 2014



1
1
dt
dt 1
1
dt
1
sin xdx
2
2





 ln 1  t  ln 1  t  C
dx 
2
2
1 t
1 t 2
2
sin x
1 t
1  cos x
1  sin x
1  sin x 1  sin x
1
1 t
 C  ln

C
 ln 1  t  ln
 C  ln
 C  ln
1  sin x
1  sin x 1  sin x
1 t
1 t

csc xdx 







1  sin x 2

 ln

1  sin x
2

 C  ln



1  sin x 2
2

cos x

Alternatif 4:

 C  ln





1  sin x
 C  ln sec x  tan x  C
cos x





(qed)



2dt
1
1
1
.
Misalnya t  tan 12 x , maka dt  sec2 12 xdx  1  tan 2 12 x dx  1  t 2 dx , akibatnya dx 
2
2
2
1 t2
sec2 12 x 1  t 2
1
1
1
csc x 




2 tan 12 x
2t
sin x 2 sin 12 x cos 12 x 2 sin 12 x
2 1
 cos 2 x
1
cos 2 x
Dengan demikian,



csc xdx 



sin 2 12 x
dt
1 t2
2dt
1
2 1

C
ln
t
C
x
C






ln
ln
tan

ln
tan
x

C
2
t
2t
2
cos2 12 x
1 t2









 ln

1  1  2 sin2 12 x
1  cos x 1  cos x
 C  ln

 C  ln
2 1
1  2 cos 2 x  1
1  cos x 1  cos x

 ln

1  cos x
(1  cos x) 2
 C  ln csc x  cot x  C
 C  ln
2
sin x
sin x

Alternatif 5:

(1  cos x) 2
C
1  cos 2 x

π
 y , maka dx  dy , sehingga
2

Misalnya x 

 sec xdx  ln sec x  tan x  C
 sec π y(dy)  ln sec π y  tan
  csc ydy  ln csc y  cot y  C
1
2

1
2

1
2

π y   C

1

sin y

1

 csc ydy   ln csc y  cot y  C  ln csc y  cot y  C  ln csc y  cot y  sin y  C
 ln

 ln

sin y(1  cos y)
sin y(1  cos y)
sin y
sin y
1  cos y
 C  ln
 C  ln
 C  ln

C
2
2
1  cos y
1  cos y 1  cos y
1  cos y
sin y

1  cos y
 C  ln csc y  cot y  C atau ln csc x  cot x  C (qed)
sin y

Tipe 2:
1

1.

 sin(ax  b)dx   a cos(ax  b)  C

2.

 cos(ax  b)dx  a sin(ax  b)  C

3.

 tan( ax  b)dx  a ln sec(ax  b)  C

1

1

1

4.

 cot(ax  b)dx  a ln sin(ax  b)  C

5.

 sec(ax  b)dx  a ln sec(ax  b)  tan( ax  b)  C

6.

 csc(ax  b)dx   a ln csc(ax  b)  cot(ax  b)  C

1

1

5 | Husein Tampomas, Pendalaman Materi: Integral Fungsi Trigonometri, MGMP, Bandung, Jabar, 5 Agustus 2007, 2014

SOAL-SOAL DAN SOLUSINYA
Tentukan setiap integral berikut ini.

1.
2.

 sin(2x  5)dx
  8cos(6  4x)dx

3. 12 tan(3x  8)dx

5.  4sec(2  6x)dx

4.  5 cot(10x  7)dx

6.

3

 4 csc(12x  8)dx

Solusi:
1

1.

 sin(2x  5)dx   2 cos(2x  5)  C

2.

  8cos(6  4x)dx  8  4  sin(6  4x)  C  2sin(6  4x)  C

3.

12 tan(3x  8)dx  3 ln sec(3x  8  C

4.

 5cot(10x  7)dx  5  10 ln (10x  7)  C  2 ln (10x  7)  C

5.

 48sec(2  6x)dx  48  6  ln sec(2  6x)  tansec(2  6x)  C  8ln sec(2  6x)  tansec(2  6x)  C

6.

 4 csc(12x  8)dx  4   12  ln csc(12x  8)  cot(12x  8)  C   16 ln csc(12x  8)  cot(12x  8)  C

 1

1

1

1

 1

3

3

1

1

Tipe 3:
1.

 sin ax cosbxdx  2  sin(a  b) x  sin(a  b) xdx

3. cos ax cosbxdx 

2.

 cosaxsin bxdx  2  sin(a  b) x  sin(a  b) xdx

4. sin ax sin bxdx 

1

1





1
cos(a  b) x  cos(a  b) xdx
2



1
 cos(a  b) x  cos(a  b) xdx
2



SOAL-SOAL DAN SOLUSINYA
Tentukan setiap integral berikut ini.
1.

 8sin 5x cos2xdx



2. cos 4x sin 2 xdx



3. 3cos7 x cos5xdx

4.

2

 5 sin 6x sin 4 xdx

Solusi:
1.

 8sin 5x cos2xdx  2  8sin5x  2x  sin5x  2xdx  4 sin 7x  sin 3xdx   7 cos7 x  3 cos3x  C

2.

 cos 4x sin 2xdx  2  sin4x  2x  sin4x  2xdx  2  sin 6 x  sin 2 xdx   12 cos6x  4 cos2x  C

3.

 3cos7 x cos3xdx  2  3cos7 x  3x  cos7 x  3xdx  2  cos10x  cos4 xdx  20 sin10x  8 sin 4x  C

4.

 5 sin 6x sin 4xdx  2  5  cos6x  4x  cos6x  4xdx  5   cos10x  cos2xdx

1

1



3

1 2

2

1

1

1

1

4

4

3

3

1

1
1
sin 7 x  sin 2 x  C
10
50

Tipe 4:
1
sin n1 x  C
n 1
1
cosn x sin xdx  
cosn 1 x  C
n 1

1.

 sin

2.



n

x cos xdx 



4. cotn x csc2 xdx  

1
cotn 1 x  C
n 1

1
5. secn x tan xdx  secn x  C
n



6 | Husein Tampomas, Pendalaman Materi: Integral Fungsi Trigonometri, MGMP, Bandung, Jabar, 5 Agustus 2007, 2014

 tan

3.

n

x sec2 xdx 

1
tan n1 x  C
n 1

6.

 csc

n

x cot xdx  

1
cscn1 x  C
n

SOAL-SOAL DAN SOLUSINYA
Tentukan hasil dari setiap integral berikut ini.

1.
2.

 sin xcos xdx
12cos xsin xdx

3.  tan4 x sec2 xdx

2

3

4.

 cot

2

5. 12sec5 x tan xdx
6.  csc7 xcot xdx

x csc2 xdx

Solusi:

1
1
sin 2 1 x  C  sin3 x  C
2 1
3
1
3
3
cos31 x  C  3 cos4 x  C
12cos x sin xdx  12 cos xd cos x  12 
3 1
1
1
tan 41 x  C  tan 5 x  C
tan4 x sec2 xdx  tan4 xd tan x 
4 1
5
1
1
cot21 x  C   cot3 x  C
cot2 x csc2 xdx   cot2 xd cot x  
2 1
3
1
sec41 x  C  24sec5 x  C
120sec5 x tan xdx  120sec4 xd sec x  120 
4 1
1
1
csc61 x  C   csc7 x  C
csc7 x cot xdx   csc6 xd csc x  
6 1
7

1.

 sin

2.



3.



4.



5.



6.



2



x cos xdx  sin 2 xd sin x 











Tipe 5:
1.  sin n xdx
2.

 cos

n

 tan xdx
4.  cot xdx


6.  csc

n

3.

5. secn xdx

n

xdx

n

xdx

SOAL-SOAL DAN SOLUSINYA
1
n 1
1. Jika I n  sin n xdx , buktikan bahwa I n  sin n xdx   sin n1 x cos x 
I n2C .
n
n
Bukti:




  sin





I n  sin n xdx dan I n2  sin n2 xdx

In

n1

x sin xdx

Misalnya u  sin n 1 x  du  (n  1) sin n2 x cos xdx dan dv  sin xdx  v   cos x , sehingga:





I n  sin n1 x sin xdx  sin n1 x( cos x)  ( cos x)(n  1) sin n2 x cos xdx  C


x cos x  (n  1) sin
x cos x  (n  1) sin

  sin n1 x cos x  (n  1) sin n2 x cos2 xdx  C

  sin n1
  sin n1
  sin
I n  (n  1)I n   sin

n1

n1

n2

x(1  sin 2 x)dx  C

n 2

xdx  (n  1) sin n xdx  C



x cos x  (n  1)I n2  (n  1)I n  C

x cos x  (n  1)I n2  C

7 | Husein Tampomas, Pendalaman Materi: Integral Fungsi Trigonometri, MGMP, Bandung, Jabar, 5 Agustus 2007, 2014

nI n   sin n1 x cos x  (n  1)I n2  C
1
n 1
I n  sin n xdx   sin n1 x cos x 
I n2C
n
n
2. Selesaikanlah
a. sin 2 xdx
c. sin 6 xdx



b.


 sin

4


d.  sin

xdx

8

(qed)

 sin
f.  sin

e.

xdx

10

xdx

12

xdx

Solusi:
a. Alternatif 1:
1 1
sin 2 x   cos 2 x
2 2
Kita dapat menjabarkan rumus itu sebagai berikut.
2 C1
C
1 1
sin 2 x  a  b cos 2 x  221  2 210 cos x   cos 2 x
2 2
2
2
1
1  cos 2 xdx  1 dx  1 cos 2 xdx  1 x  1 sin 2 x  C
sin 2 xdx 
2
2
2
2
4
Alternatif 2:
1
n 1
I n  sin n xdx   sin n1 x cos x 
I n2C
n
n
1
2 1
I 2  sin 2 xdx   sin 21 x cos x 
I 2 2  C
2
2
1
1
  sin x cos x  I 0  C
2
2
1
1
  sin x cos x 
sin 0 xdx  C
2
2
1
1
  sin x cos x 
dx  C
2
2
1
1
  sin x cos x  x  C
2
2
b. Alternatif 1:
2
1
1 1
1 1
11 1

1 1

4
2
2
sin x  (sin x)    cos 2 x    cos 2 x  cos2 2 x   cos 2 x    cos 4 x 
4
4 2
4 2
4 2 2

2 2

1 1
1 1
3 1
1
  cos 2 x   cos 4 x   cos 2 x  cos 4 x
8 2
8
4 2
8 8

















Kita dapat menjabarkan rumus itu sebagai berikut.
4 C2

2  4 C1 cos 2 x  4 C0 cos 4 x  3  1 cos 2 x  1 cos 4 x
8 2
8
2
2 41
2 41
1
3
1
1

3 1
sin 4 xdx    cos 2 x  cos 4 x dx 
cos 2 xdx 
dx 
cos 4 xdx
8
2
8
8

8 2
3
1
1
 x  sin 2 x  sin 4 x  C
8
4
32
Alternatif 2:
sin 4 x  a  b cos 2 x  c cos 4 x 





41







8 | Husein Tampomas, Pendalaman Materi: Integral Fungsi Trigonometri, MGMP, Bandung, Jabar, 5 Agustus 2007, 2014

1
n 1
I n  sin n xdx   sin n1 x cos x 
I n2C
n
n
1
4 1
I 4  sin 4 xdx   sin 41 x cos x 
I 4 2  C
4
4
1
3
  sin 3 x cos x  I 2  C
4
4
1 3
3
  sin x cos x 
sin 2 xdx  C
4
4
1 3
3 1
1 
  sin x cos x    sin x cos x  x   C
4
4 2
2 
1
3
3
  sin 3 x cos x  sin x cos x  x  C
4
8
8
c. Alternatif 1:
3
1
3
 1 3
1 1
sin 6 x  (sin 2 x) 3    cos 2 x    cos 2 x  cos2 2 x  cos3 2 x
8
8
 8 8
2 2







1 3
31 1

 11 1
  cos 2 x    cos 4 x     cos 4 x  cos 2 x
8 8
82 2

 82 2
1 3
3
3
1
1
  cos 2 x   cos 4 x  cos 2 x  cos 4 x cos 2 x
8 8
16 16
16
16
5
7
3
1 1
  cos 2 x  cos 4 x    2 cos 4 x cos 2 x
16 16
16
16 2
5
7
3
1
  cos 2 x  cos 4 x  (cos 6 x  cos 2 x)
16 16
16
32
5
7
3
1
1
  cos 2 x  cos 4 x  cos 6 x  cos 2 x
16 16
16
32
32
5 15
3
1
  cos 2 x  cos 4 x  cos 6 x
16 32
16
32
Kita dapat menjabarkan rumus itu sebagai berikut.
sin 6 x  a  b cos 2 x  c cos 4 x  d cos 6 x
6 C3
C
C
C
 621  6 612 cos 2 x  6 611 cos 4 x  6 610 cos6x
2
2
2
2
5 15
3
1
  cos 2 x  cos 4 x  cos6x
16 32
16
32
3
1
5
15
3
1

 5 15
cos 2 xdx 
cos 4 xdx 
dx 
cos 6 xdx
  cos 2 x  cos 4 x  cos 6 x dx 
16
32
16
32
16
32

 16 32
5
15
3
1
 x  sin 2 x  sin 4 x 
sin 6 x  C
16
64
64
192
Alternatif 2:
n 1
1
I n  sin n xdx   sin n1 x cos x 
I n2C
n
n
1
6 1
I 6  sin 6 xdx   sin 61 x cos x 
I 62C
6
6
1
5
  sin 5 x cos x  I 4C
6
6















9 | Husein Tampomas, Pendalaman Materi: Integral Fungsi Trigonometri, MGMP, Bandung, Jabar, 5 Agustus 2007, 2014

1
5
  sin 5 x cos x 
sin 4 xdx  C
6
6
1
5 1
3
3 
  sin 5 x cos x    sin 3 x cos x  sin x cos x  x   C
6
6 4
8
8 
1
5
15
5
  sin 5 x cos x  sin 3 x cos x  sin x cos x  x  C
6
24
48
16



d. Alternatif 1:
4


1 1
sin 8 x  (sin 2 x) 4    cos 2 x 

2 2
1 1
3
1
1
  cos 2 x  cos2 2 x  cos3 2 x  cos4 2 x
16 4
8
4
16
2
1 1 1
1 1
31 1


 11 1
  cos 2 x    cos 4 x     cos 4 x  cos 2 x    cos 4 x 
16  2 2
16 4
82 2


 42 2
1
1
1
1
1 1
3
3
1
1


  cos 2 x   cos 4 x  cos 2 x  cos 4 x cos 2 x    cos 4 x  cos2 4 x 
16 4
16 16
8
8
16  4 2
4

1 3
3
1
1
1 1
1
 cos 4 x  cos 2 4 x
  cos 2 x  cos 4 x    2 cos 4 x cos 2 x 
4 8
16
64 32
8 2
64
17 3
7
1
1 1 1


 cos 2 x  cos 4 x  cos 6 x  cos 2 x     cos 8x 
64 8
32
16
64  2 2

17 3
7
1
1
1
1

 cos 2 x  cos 4 x  cos 6 x  cos 2 x 

cos 8 x
64 8
32
16
16
128 128
35 7
7
1
1

 cos 2 x  cos 4 x  cos 6 x 
cos 8 x
128 16
32
16
128

Kita dapat menjabarkan rumus itu sebagai berikut.
sin 8 x  a  b cos 2 x  c cos 4 x  d cos 6 x  e cos 8 x
8 C4
C
C
C
C
 821  8 813 cos 2 x  8 812 cos 4 x  8 811 cos6x  8 810 cos8x
2
2
2
2
2
35 7
7
1
1

 cos 2 x  cos 4 x  cos6x 
cos8x
128 16
32
16
128
7
1
1

 35 7
sin 8 xdx  
cos 8x dx
 cos 2 x  cos 4 x  cos 6 x 
32
16
128

 128 16
35
7
7
1
1
cos 2 xdx 
cos 4 xdx 
cos 6 xdx 

dx 
cos 8 xdx
128
16
32
16
128
35
7
7
1
1
sin 4 x  sin 6 x 

x  sin 2 x 
sin 8x  C
128
32
128
96
1024
Alternatif 2:
1
n 1
I n  sin n xdx   sin n1 x cos x 
I n2C
n
n
1
8 1
I 8  sin 8 xdx   sin 81 x cos x 
I 82C
8
8
1
7
  sin 7 x cos x  I 6C
8
8



















10 | Husein Tampomas, Pendalaman Materi: Integral Fungsi Trigonometri, MGMP, Bandung, Jabar, 5 Agustus 2007, 2014

1
7
  sin 7 x cos x 
sin 6 xdx  C
8
8
1
7 1
5
15
5 
  sin 7 x cos x    sin 5 x cos x  sin 3 x cos x 
sin x cos x  x   C
8
8 6
24
48
16 
1
7
105
35
35
sin x cos x 
  sin 7 x cos x  sin 5 x cos x 
sin 3 x cos x 
xC
8
48
384
192
128
e. Alternatif 1:
5
5

1 1
sin10 x  sin 2 x    cos 2 x 

2 2
1
5
10
10
5
1

 cos 2 x  cos2 2 x  cos3 2 x  cos4 2 x  cos5 2 x
32 32
32
32
32
32
2
1
5
10  1 1
5 1 1


 10  1 1

 cos 2 x    cos 4 x     cos 4 x  cos 2 x    cos 4 x  
32 32
32  2 2
32  2 2


 32  2 2







2

1 1 1

  cos 4 x  cos 2 x
32  2 2

1
5
10 10
10
10
5 1 1
1

  cos 2 x   cos 4 x  cos 2 x  cos 4 x cos 2 x    cos 4 x  cos2 4 x  
32 32
64 64
64
64
32  4 2
4

1
1 1 1

  cos 4 x  cos2 4 x  cos 2 x
4
32  4 2

1
5
5
5
10
10
12 20

 cos 2 x  cos 4 x  cos 4 x cos 2 x 
 cos 4 x 
cos 2 x 
cos2 4 x 
128
128
128 64
64
64
64 64
1
1
cos 4 x cos 2 x 
cos2 4 x cos 2 x
64
128
29 41
15
11
5
1


cos 2 x  cos 4 x  cos 4 x cos 2 x 
cos2 4 x 
cos2 4 x cos 2 x
128 128
64
64
128
128
29 41
15
11
5 1 1

cos 2 x  cos 4 x 
(cos 6 x  cos 2 x) 


  cos 8x  
128 128
64
128
128  2 2

1 1 1

  cos 8x  cos 2 x
128  2 2

29 41
15
11
11
5
5
1
cos 2 x  cos 4 x 
cos6 x 
cos 2 x 
cos8x 



cos 2 x 
128 128
64
128
128
256 256
256
1
cos8x cos 2 x
256
1
5
11
15
63 105
cos10x  cos6 x 
cos8x 
cos6 x 
cos 2 x  cos 4 x 


512
256
128
64
256 256
1
1
5
11
15
63 105
cos6 x
cos10x 
cos8x 
cos6 x 
cos 2 x  cos 4 x 


512
512
256
128
64
256 256
63 105
15
45
5
1


cos 2 x  cos 4 x 
cos 6 x 
cos 8 x 
cos10x
256 256
64
512
256
512

Kita dapat menjabarkan rumus itu sebagai berikut.
sin 10 x  a  b cos 2x  c cos 4x  d cos 6x  e cos8x  f cos10x

11 | Husein Tampomas, Pendalaman Materi: Integral Fungsi Trigonometri, MGMP, Bandung, Jabar, 5 Agustus 2007, 2014

10 C 5

2







10 C 4
101

cos 2 x 

10 C3
101

cos 4 x 

10 C 2
101

cos6x 

10 C1
101

cos8x 

10 C 0
101

cos10x
2
2
2
2
2
2
126 210
120
45
10
1


cos 2 x 
cos 4 x 
cos6x 
cos8x 
cos10x
512 512
512
512
512
512
63 105
15
45
5
1


cos 2 x  cos 4 x 
cos 6 x 
cos 8 x 
cos10x
256 256
64
512
256
512
63
105
15
5
45
1
sin10 xdx 
cos 2 xdx 
cos 4 xdx 
cos 8 xdx 
dx 
cos 6 xdx 
cos10xdx
256
256
64
256
512
512
101















63
105
15
1
15
1
sin 2 x 
sin 4 x 
sin 8 x 
x
sin 6 x 
sin 10x  C
256
512
256
2048
1024
5120

Alternatif 2:

n 1
1
I n  sin n xdx   sin n1 x cos x 
I n2C
n
n
1
10  1
I 10  sin10 xdx   sin101 x cos x 
I 102C
10
10
1
9
  sin 9 x cos x  I 8C
10
10
1
9
9
  sin x cos x 
sin 8 xdx  C
10
10
9 1 7
7
1
5
  sin 9 x cos x 
  sin x cos x  sin x cos x 
10
10  8
48
35
105
35 
sin 3 x cos x 
sin x cos x 
x  C
192
384
128 
1
9
21
  sin 9 x cos x  sin 7 x cos x 
sin 5 x cos x 
10
80
160
21
63
63
sin 3 x cos x 
sin 2 x 
xC
128
256
256
f. Alternatif 1:
6
6

1 1
sin12 x  sin 2 x    cos 2 x 

2 2
1
1
6
15
20
15
6
cos2 2 x 
cos3 2 x 
cos4 2 x  cos5 2 x 

 cos 2 x 
cos6 2 x
64 64
64
64
64
64
64
2
15  1 1
15  1 1
1
6


 20  1 1

 cos 2 x    cos 4 x     cos 4 x  cos 2 x    cos 4 x  
64  2 2
64  2 2
64 64


 64  2 2











2

3

1 1 1
6 1 1


  cos 4 x  cos 2 x    cos 4 x 
64  2 2
64  2 2


1
6
15 15
20
20
15  1 1
1

cos 4 x 
cos 2 x 
cos 4 x cos 2 x    cos 4 x  cos2 4 x  

 cos 2 x 

64 64
128 128
128
128
64  4 2
4

6 1 1
1 2 
1 1 3
3 2
1 3 
  cos 4 x  cos 4 x  cos 2 x    cos 4 x  cos 4 x  cos 4 x 
64  4 2
4
64  8 8
8
8


6
15
15 15
20
15
17 32



cos 2 x 
cos2 4 x 
cos 4 x 
cos 4 x cos 2 x 
cos 4 x 
cos 2 x 
256
256
256 128
128
128
128 128
12 | Husein Tampomas, Pendalaman Materi: Integral Fungsi Trigonometri, MGMP, Bandung, Jabar, 5 Agustus 2007, 2014

6
6
1
3
3
1

cos 4 x cos 2 x 
cos2 4 x cos 2 x 
cos 4 x 
cos2 4 x 
cos3 4 x
128
256
512 512
512
512
99
70
123
26
33
6
cos 2 x 
cos 4 x 
cos 4 x cos 2 x 
cos2 4 x 


cos2 4 x cos 2 x 
512 256
512
128
512
256
1
cos3 4 x
512
99
70
123
26
cos6 x  cos 2 x  33  1  1 cos8x  
cos 2 x 
cos 4 x 


512 256
512
256
512  2 2

1 1 1
6 1 1


  cos8x  cos 2 x 
  cos8x  cos 4 x
512  2 2
256  2 2


6
33
33
26
26
123
99
70



cos 2 x 
cos8x 
cos 2 x 
cos6 x 
cos 4 x 
cos 2 x 
512
1024 1024
256
256
512
512 256
1
6
1
cos 4 x 
cos8 x cos 4 x
cos8x cos 2 x 
1024
1024
512
6
33
26
247
231 198


(cos10x  cos6 x) 
cos8x 
cos6 x 
cos 4 x 
cos 2 x 
1024
1024
256
1024
1024 512
1
(cos12x  cos 4 x)
2048
6
6
33
26
247
231 198


cos6 x 
cos10x 
cos8x 
cos6 x 
cos 4 x 
cos 2 x 
1024
1024
1024
256
1024
1024 512
1
1
cos12x 
cos 4 x
2048
2048
231 198
495
110
6
33
1
cos 2 x 
cos 4 x 
cos 6 x 
cos10x 


cos 8 x 
cos12x
1024 512
2048
1024
1024
1024
2048
231 99
495
55
3
33
1
cos 2 x 
cos 4 x 
cos 6 x 
cos10x 


cos 8 x 
cos12x
1024 256
2048
512
512
1024
2048

Kita dapat menjabarkan rumus itu sebagai berikut.
sin 12 x  a  b cos 2x  c cos 4x  d cos 6x  e cos8x  f cos10x  g cos12x
12 C 6
C
C
C
C
C
C
 1221  121215 cos 2 x  121214 cos 4 x  121213 cos6x  121212 cos8x  121211 cos10x  121201 cos12x
2
2
2
2
2
2
2
462
792
495
220
12
66
1


cos 2 x 
cos 4 x 
cos6x 
cos10x 
cos8x 
cos12x
2048 2048
2048
2048
2048
2048
2048
231 99
495
55
3
33
1
cos 2 x 
cos 4 x 
cos 6 x 
cos10x 


cos 8 x 
cos12x
1024 256
2048
512
512
1024
2048
33
55
495
231
99
dx 
cos8xdx 
cos6 xdx 
cos 4 xdx 
cos 2 xdx 
sin12 xdx 
1024
512
2048
1024
256
3
1
cos10xdx 
cos12xdx
512
2048
231
99
495
55
33
3
sin 2 x 
sin 4 x 
sin 6 x 
sin 8x 

x
sin10x 
1024
512
8192
3072
8192
5120
1
sin12x  C
24576
Alternatif 2:

















13 | Husein Tampomas, Pendalaman Materi: Integral Fungsi Trigonometri, MGMP, Bandung, Jabar, 5 Agustus 2007, 2014

1
n 1
I n  sin n xdx   sin n1 x cos x 
I n2C
n
n
1
12  1
I 12  sin12 xdx   sin121 x cos x 
I 122C
12
12
1
11
  sin11 x cos x  I 10C
12
12
1
11
11
  sin x cos x 
sin10 xdx  C
12
12
21 5
9
11  1
1 11
  sin x cos x    sin 9 x cos x  sin 7 x cos x 
sin x cos x 
160
80
12  10
12
21 3
63
63 
sin x cos x 
sin x cos x 
x  C
128
256
256 
1
11
33
77
77
sin9 x cos x 
sin7 x cos x 
sin5 x cos x 
  sin11 x cos x 
sin3 x cos x 
12
120
320
640
512
231
231
xC
sin 2 x 
1024
1024
3. Selesaikanlah







a.
b.

 sin xdx
 sin xdx

 sin
d.  sin

c.

3

5

xdx

7

xdx

 sin
f.  sin

e.

9
11

xdx
xdx

Solusi:
a.

 sin xdx   cos x  C
Alternatif 1:





1
xdx  sin 2 x sin xdx  1  cos2 x sin xdx  sin xdx  cos2 x sin xdx   cos x  cos3 x  C
3
Alternatif 2:
1
1
1
3
3
3
 sin xdx   1 cos x  3 cos x  C   cos x  3 cos x  C
Perhatikan hasil integralnya, tandanya berganti-ganti, penyebutnya merupakan bilangan ganjil yang
nilainya sama dengan pangkat dari cos, dan pembilangnya merupakan koefisien binomial.
Alternatif 3:
n 1
1
I n   sin n xdx   sin n1 x cos x 
I n2C
n
n
1
3 1
I 3   sin 3 xdx   sin 31 x cos x 
I 32C
3
3
1
2
  sin 2 x cos x  I 1C
3
3
1 2
2
  sin x cos x   sin x  C
3
3
1 2
2
  sin x cos x  cos x  C
3
3
b. Alternatif 1:

 sin

 sin

3

5












  sin x  2 cos x sin x  cos x sin xdx   sin xdx  2 cos x sin xdx   cos
2

xdx  sin 4 x sin xdx  1  cos2 x sin xdx  1  2 cos2 x  cos4 x sin xdx
2

4

2

4

x sin xdx

14 | Husein Tampomas, Pendalaman Materi: Integral Fungsi Trigonometri, MGMP, Bandung, Jabar, 5 Agustus 2007, 2014

  cos x 

2
1
cos3 x  cos5 x  C
3
5

Alternatif 2:

 sin

1
2
1
2
1
xdx   cos x  cos3 x  cos5 x  C   cos x  cos3 x  cos5 x  C
1
3
5
3
5
Perhatikan hasil integralnya, tandanya berganti-ganti, penyebutnya merupakan bilangan ganjil yang

5

nilainya sama dengan pangkat dari cos, dan pembilangnya merupakan koefisien binomial.
Alternatif 3:

n 1
1
I n  sin n xdx   sin n1 x cos x 
I n2C
n
n



1
5 1
I 5  sin 5 xdx   sin 51 x cos x 
I 52C
5
5



4
1
  sin 4 x cos x  I 3  C
5
5
4
1
  sin 4 x cos x 
sin 3 xdx  C
5
5



1
4 1
2

  sin 4 x cos x    sin 2 x cos x  cos x   C
5
5 3
3

1
4
8
  sin 4 x cos x  sin 2 x cos x  cos x  C
5
15
15
c. Alternatif 1:

 sin

7







3

xdx  sin 6 x sin xdx  1  cos2 x sin xdx


  sin x  3 cos



 1  3 cos2 x  3 cos4 x  cos6 x sin xdx





2



x sin x  3 cos4 x sin x  cos6 x sin x dx





 sin xdx  3 cos2 x sin xdx  3 cos4 x sin xdx  cos6 x sin xdx
3
3
1
  cos x  cos3 x  cos5 x  cos7 x  C
3
5
7

1
3
  cos x  cos3 x  cos5 x  cos7 x  C
7
5
Alternatif 2:

 sin

7

1
3
3
1
xdx   cos x  cos3 x  cos5 x  cos7 x  C
1
3
5
7
3
1
  cos x  cos3 x  cos5 x  cos7 x  C
5
7

15 | Husein Tampomas, Pendalaman Materi: Integral Fungsi Trigonometri, MGMP, Bandung, Jabar, 5 Agustus 2007, 2014

Perhatikan hasil integralnya, tandanya berganti-ganti, penyebutnya merupakan bilangan ganjil yang nilainya
sama dengan pangkat dari cos, dan pembilangnya merupakan koefisien binomial.
Alternatif 3:

n 1
1
I n2C
I n  sin n xdx   sin n1 x cos x 
n
n



7 1
1
I 7  sin 7 xdx   sin 71 x cos x 
I 72C
7
7



1
6
  sin 6 x cos x  I 5C
7
7
1
6
  sin 6 x cos x 
sin 5 xdx  C
7
7



1
6 1
4
8

  sin 6 x cos x    sin 4 x cos x  sin 2 x cos x  cos x   C
7
7 5
15
15

1
6
8
16
  sin 6 x cos x  sin 4 x cos x  sin 2 x cos x  cos x  C
7
35
35
35
d. Alternatif 1:

 sin

9







4

xdx  sin 8 x sin xdx  1  cos2 x sin xdx


  sin x  4 cos



 1  4 cos2 x  6 cos4 x  4 cos6 x  cos8 x sin xdx





2



x sin x  6 cos4 x sin x  4 cos6 x sin x  cos8 x sin x dx







 sin xdx  4 cos2 x sin xdx  6 cos4 x sin xdx  4 cos6 x sin xdx  cos8 x sin xdx
  cos x 

1
4
6
4
cos3 x  cos5 x  cos7 x  cos9 x  C
9
7
5
3

Alternatif 2:

 sin

9

1
4
6
4
1
xdx   cos x  cos3 x  cos5 x  cos7 x  cos9 x  C
1
3
5
7
9

  cos x 

1
4
6
4
cos3 x  cos5 x  cos7 x  cos9 x  C
9
7
5
3

Perhatikan hasil integralnya, tandanya berganti-ganti, penyebutnya merupakan bilangan ganjil yang
nilainya sama dengan pangkat dari cos, dan pembilangnya merupakan koefisien binomial.
Alternatif 3:

n 1
1
I n  sin n xdx   sin n1 x cos x 
I n2C
n
n



16 | Husein Tampomas, Pendalaman Materi: Integral Fungsi Trigonometri, MGMP, Bandung, Jabar, 5 Agustus 2007, 2014

9 1
1
I 9  sin 9 xdx   sin 91 x cos x 
I 92C
9
9



1
8
  sin 8 x cos x  I 7C
9
9
1
8
  sin 8 x cos x 
sin 7 xdx  C
9
9



1
8 1
6
8
16

  sin 8 x cos x    sin 6 x cos x  sin 4 x cos x  sin 2 x cos x  cos x   C
9
9 7
35
35
35

128
64
16
8
1
  sin8 x cos x  sin6 x cos x 
cos x  C
sin2 x cos x 
sin4 x cos x 
315
315
105
63
9
e. Alternatif 1:

 sin

11







5

xdx  sin10 x sin xdx  1  cos2 x sin xdx


  sin x  5cos



 1  5 cos2 x  10 cos4 x  10 cos6 x  5 cos8 x  cos10 x sin xdx
2





x sin x  10cos4 x sin x  10cos6 x sin x  5cos8 x sin x cos10 x sin x dx









 sin xdx  5 cos2 x sin xdx  10 cos4 x sin xdx  10 cos6 x sin xdx  5 cos8 x sin xdx 

 cos

10

xsin xdx

5
10
10
5
1
  cos x  cos3 x  cos5 x  cos7 x  cos9 x  cos10 x  C
3
5
7
9
11

1
5
10
5
  cos x  cos3 x  2 cos5 x  cos7 x  cos9 x  cos10 x  C
11
9
7
3
Alternatif 2:

 sin

11

1
5
10
10
5
1
xdx   cos x  cos3 x  cos5 x  cos7 x  cos9 x  cos10 x  C
1
3
5
7
9
11
5
10
5
1
  cos x  cos3 x  2 cos5 x  cos7 x  cos9 x  cos10 x  C
3
7
9
11

Perhatikan hasil integralnya, tandanya berganti-ganti, penyebutnya merupakan bilangan ganjil yang
nilainya sama dengan pangkat dari cos, dan pembilangnya merupakan koefisien binomial.
Alternatif 3:

n 1
1
I n  sin n xdx   sin n1 x cos x 
I n2C
n
n





I 11  sin11 xdx  

1
11  1
sin111 x cos x 
I 112C
11
11

17 | Husein Tampomas, Pendalaman Materi: Integral Fungsi Trigonometri, MGMP, Bandung, Jabar, 5 Agustus 2007, 2014



10
1
sin10 x cos x  I 9C
11
11



1
10
sin10 x cos x 
sin 9 xdx  C
11
11



1 10
10  1
8
16
64
sin x cos x    sin 8 x cos x  sin 6 x cos x 
sin 4 x cos x 
sin 2 x cos x 
11
11  9
63
105
315



128

cos x   C
315



1 10
10
80
32
128 2
256
sin x cos x  sin8 x cos x 
sin6 x cos x 
sin4 x cos x 
sin x cos x 
cos x  C
11
99
693
231
693
693





4. Jika I n  cosn xdx , buktikan bahwa I n  cosn xdx 

1
n 1
cosn1 x sin x 
I n2C .
n
n

Bukti:





I n  cosn xdx dan I n2  cosn2 xdx



I n  cosn1 x cos xdx
Misalnya u  cosn 1 x  du  (n  1) cosn2 x( sin x)dx dan dv  cos xdx  v  sin x , sehingga:





I n  cosn1 x cos xdx  cosn1 x sin x  sin x(n  1) cosn2 x( sin x)dx  C



 cosn1 x sin x  (n  1) cosn2 x sin 2 xdx  C



 cosn1 x sin x  (n  1) cosn2 x(1  cos2 x)dx  C





 cosn1 x sin x  (n  1) cosn2 xdx  (n  1) cosn xdx  C

 cosn1 x sin x  (n  1) I n2  (n  1)I n  C
I n  (n  1)I n  cosn1 x sin x  (n  1)I n2  C
nI n  cosn1 x sin x  (n  1)I n2  C



I n  cosn xdx 

1
n 1
cosn1 x sin x 
I n2C
n
n

(qed)

5. Selesaikanlah
a.

 cos

b.

 cos

2

xdx

c.

 cos

4

xdx

d.

 cos

6

8

xdx

e.

 cos

10

xdx

xdx

f.

 cos

12

xdx

Solusi:
a. Alternatif 1:
18 | Husein Tampomas, Pendalaman Materi: Integral Fungsi Trigonometri, MGMP, Bandung, Jabar, 5 Agustus 2007, 2014

cos2 x 

1 1
 cos 2 x
2 2

Kita dapat menjabarkan rumus itu sebagai berikut.
2 C1

C
1 1
cos2 x  a  b cos 2 x  221  2 210 cos x   cos 2 x
2 2
2
2

 cos

xdx 

2

 2 1  cos 2xdx  2  dx  2  cos 2xdx  2 x  4 sin 2x  C
1

1

1

1

1

Alternatif 2:



I n  cosn xdx 

1
n 1
cosn1 x sin x 
I n2C
n
n

1
2 1
I 2  cos2 xdx  cos21 x sin x 
I 2 2  C
2
2



1
1
 cos x sin x  I 0  C
2
2

1
1
 cos x sin x 
cos0 xdx  C
2
2



1
1
 cos x sin x 
dx  C
2
2



1
1
 cos x sin x  x  C
2
2
b. Alternatif 1:
2

1 1
1
1 1

cos x  (cos x)    cos 2 x    cos 2 x  cos2 2 x
4 2
4
2 2

4

2

2



1 1
11 1
1 1
 1 1
 cos 2 x    cos 4 x    cos 2 x   cos 4 x
4 2
42 2
4
2
8 8




3 1
1
 cos 2 x  cos 4 x
8 2
8

Kita dapat menjabarkan rumus itu sebagai berikut.
4 C2

cos4 x  a  b cos 2 x  c cos 4 x 

 cos

4

2  4 C1 cos 2 x  4 C0 cos 4 x  3  1 cos 2 x  1 cos 4 x
8 2
8
2
2 41
2 41
41

3
1
1
1

3 1
cos 2 xdx 
dx 
cos 4 xdx
xdx    cos 2 x  cos 4 x dx 
8
2
8
8

8 2









1
3
1
 x  sin 2 x  sin 4 x  C
32
8
4
Alternatif 2:
19 | Husein Tampomas, Pendalaman Materi: Integral Fungsi Trigonometri, MGMP, Bandung, Jabar, 5 Agustus 2007, 2014



I n  cosn xdx 

1
n 1
cosn1 x sin x 
I n2C
n
n

1
4 1
I 4  cos4 xdx  cos41 x sin x 
I 4 2  C
4
4



1
3
 cos3 x sin x  I 2  C
4
4
1
3
 cos3 x sin x 
cos2 xdx  C
4
4



1
31
1 
 cos3 x sin x   cos x sin x  x   C
4
42
2 
1
3
3
 cos3 x sin x  cos x sin x  x  C
4
8
8
c. Alternatif 1:
3

1
3
 1 3
1 1
cos x  (cos x)    cos 2 x    cos 2 x  cos2 2 x  cos3 2 x
8
8
 8 8
2 2
6

2




3

1 3
31 1

 11 1
 cos 2 x    cos 4 x     cos 4 x  cos 2 x
8 8
82 2
8
2
2




1 3
3
3
1
1
 cos 2 x   cos 4 x  cos 2 x  cos 4 x cos 2 x
8 8
16 16
16
16



5
7
3
1 1
 cos 2 x  cos 4 x    2 cos 4 x cos 2 x
16 16
16
16 2



5
7
3
1
 cos 2 x  cos 4 x  (cos 6 x  cos 2 x)
16 16
16
32



1
1
3
5
7
 cos 2 x  cos 4 x  cos 6 x  cos 2 x
32
32
16
16 16



1
3
5 15
 cos 2 x  cos 4 x  cos 6 x
32
16
16 32

Kita dapat menjabarkan rumus itu sebagai berikut.
cos6 x  a  b cos 2 x  c cos 4 x  d cos 6 x
6 C3

C
C
C
1
3
5 15
 621  6 621 cos 2 x  6 6 11 cos 4 x  6 6 01 cos6x   cos 2 x  cos 4 x  cos6x
32
16
16 32
2
2
2
2

5

15

3

1



5

15

3

1

  16  32 cos 2x  16 cos 4x  32 cos 6x dx  16  dx  32  cos 2xdx  16  cos 4xdx  32  cos 6xdx


5
15
3
1
x  sin 2 x  sin 4 x 
sin 6 x  C
16
64
64
192

20 | Husein Tampomas, Pendalaman Materi: Integral Fungsi Trigonometri, MGMP, Bandung, Jabar, 5 Agustus 2007, 2014