materi matematika 12 trigonometri
MODUL E-LEARNING
E-LEARNING MATEMATIKA
Oleh :
NURYADIN EKO RAHARJO, M.PD.
NIP. 19721015 200212 1 002
Penulisan Modul e Learning ini dibiayai oleh dana DIPA BLU UNY TA 2010
Sesuai dengan Surat Perjanjian Pelaksanaan e Learning
Nomor 1993a.9/H34.15/PL/2010
Tanggal 1 Juli 2010
JURUSAN PENDIDIKAN TEKNIK SIPIL DAN PERENCANAAN
FAKULTAS TEKNIK
UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA
TAHUN 2010
BAB VII
TRIGONOMETRI
A. Pengertian
Trigonometri merupakan pengetahuan yang mengkaji tentang sudut dan
fungsinya.
Dapat diartikan juga sebagai pengukuran segitiga atau
ilmu ukur segitiga.
Hubungan antara sudut dengan fungsi-fungsi trigonometri
dari sudut.
Suatu sudut didefinifikan sebagai hasil pemutaran garis yang berbentuk anak
panah terhadap titik pangkalnya.
- Sudut positif: pemutaran berlawanan dengan arah
jarum jam
- Sudut negatif: searah jarum jam
B. Satuan Sudut
1. Derajat
Yaitu sudut pada lingkaran yang besarnya
1
360
dari keliling lingkarannya.
Catatan:
1 derajat = 60 menit atau 10 = 60’
1 menit = 60 detik atau 1’ = 60”
Jadi 1 = 60’ = 3600”
2. Radian
Yaitu besar sudut dalam lingkaran yang mempunyai busur = panjang jari-jari
lingkaran.
65
Misal:
r
1rad = r
Jari-jari = r
Keliling lingkaran= K
r
Maka:
K=2 .r
Jadi satu keliling lingkaran akan mempunyai
k
r
radian =
2 .r
r
radian = 2
radian
Dimana:
2
rad = 3600
rad = 1800
jadi 1 rad =
180
=
180
= 57,2960
3 ,14
3. Grade
1
Yaitu sudut pada lingkaran yang besarnya
Jadi:
dari keliling lingkarannya
400
3600 = 400 grade
400
10
=
10
= 1,111grade
360
grade
C. Fungsi-Fungsi Trigonometri
Y
sin
r
cos
y
tan
X
x
=
y
x
=
=
; cot
syarat:
y
r
; cosec
=
r
y
x
r
; sec
=
=
r
x
x
y
= sudut lancip
< 900
66
Identitas Trigonometri
1
y
r
r
y
atau
sin
atau
cos
atau
tan
1
cos ec
1
x
r
r
x
1
cos ec
1
y
x
x
y
1
cos ec
y
r
x
y
atau
x
sin
tan
cos
r
sehingga:
cosec
sec
cot
1
sin
1
cos
1
tan
dan
sin
. cosec
=1
dan
cos
. sec
=1
dan
tan
. cot
=1
serta:
cot
=
cos
sin
67
Aturan sine dan cosine
Aturan sine
a
b
a
b
c
sin
sin
sin
c
a2 = b2 + c2 – 2.b.c cos
Aturan cosine:
sudut
b2 = a2 + c2 – 2.a.c cos
diambil
c2 = a2 + b2 – 2.a.b cos
depan sisi
Luas segitiga diatas dapat dicari dengan rumus:
L=
L=
L=
1
.a .b sin
2
1
.a .c sin
sudut diambil yang diapit
.b .c sin
oleh dua sisi yang diketahui.
2
1
2
Jika yang diketahui hanya panjang sisi-sisinya (belum diketahui besar sudut):
L=
s(s
a )( s
b )( s
c)
dimana s = ½(a+b+c)
Contoh 1
Tentukan luas segitiga dan besar sudut yang ada jika panjang sisi - sisi segitiga
tersebut adalah 11, 13 dan 15
Jawab:
S
=½(a+b+c)
= ½ (15+13+11) = 19,5
L
= 19 ,5 ( s a )( s b )( s c )
68
= 19 ,5 . 4 ,5 . 6 . 5 ,8 . 5
= 69,63
Jadi luas segitiga tersebut adalah 69,63
Selanjutnya dengan aturan cosine didapat:
cos
cos
=b2 + c2 – a2
= 132 + 112 – 152
2.bc
2.13.11
= 0,2272720
=760 51’ 48,39”
= a2 + c2 – b2
= 152 + 112 – 132
2.ac
0
’
=57 33 48,83
2.15.11
”
cos = a2 + b2 – c2
= 152 + 132 – 112
2.ab
0
’
=45 34 22,79
= 0,5363630
= 0,70
2.15.13
”
Contoh 2
Dlm segitiga ABC diketahui sudut
= 470 21’ dan sudut
=700 15’ serta
panjang sisi C=5,3m
Tentukan sisi-sisi segitiga dan sudut yang belum diketahui?
69
E-LEARNING MATEMATIKA
Oleh :
NURYADIN EKO RAHARJO, M.PD.
NIP. 19721015 200212 1 002
Penulisan Modul e Learning ini dibiayai oleh dana DIPA BLU UNY TA 2010
Sesuai dengan Surat Perjanjian Pelaksanaan e Learning
Nomor 1993a.9/H34.15/PL/2010
Tanggal 1 Juli 2010
JURUSAN PENDIDIKAN TEKNIK SIPIL DAN PERENCANAAN
FAKULTAS TEKNIK
UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA
TAHUN 2010
BAB VII
TRIGONOMETRI
A. Pengertian
Trigonometri merupakan pengetahuan yang mengkaji tentang sudut dan
fungsinya.
Dapat diartikan juga sebagai pengukuran segitiga atau
ilmu ukur segitiga.
Hubungan antara sudut dengan fungsi-fungsi trigonometri
dari sudut.
Suatu sudut didefinifikan sebagai hasil pemutaran garis yang berbentuk anak
panah terhadap titik pangkalnya.
- Sudut positif: pemutaran berlawanan dengan arah
jarum jam
- Sudut negatif: searah jarum jam
B. Satuan Sudut
1. Derajat
Yaitu sudut pada lingkaran yang besarnya
1
360
dari keliling lingkarannya.
Catatan:
1 derajat = 60 menit atau 10 = 60’
1 menit = 60 detik atau 1’ = 60”
Jadi 1 = 60’ = 3600”
2. Radian
Yaitu besar sudut dalam lingkaran yang mempunyai busur = panjang jari-jari
lingkaran.
65
Misal:
r
1rad = r
Jari-jari = r
Keliling lingkaran= K
r
Maka:
K=2 .r
Jadi satu keliling lingkaran akan mempunyai
k
r
radian =
2 .r
r
radian = 2
radian
Dimana:
2
rad = 3600
rad = 1800
jadi 1 rad =
180
=
180
= 57,2960
3 ,14
3. Grade
1
Yaitu sudut pada lingkaran yang besarnya
Jadi:
dari keliling lingkarannya
400
3600 = 400 grade
400
10
=
10
= 1,111grade
360
grade
C. Fungsi-Fungsi Trigonometri
Y
sin
r
cos
y
tan
X
x
=
y
x
=
=
; cot
syarat:
y
r
; cosec
=
r
y
x
r
; sec
=
=
r
x
x
y
= sudut lancip
< 900
66
Identitas Trigonometri
1
y
r
r
y
atau
sin
atau
cos
atau
tan
1
cos ec
1
x
r
r
x
1
cos ec
1
y
x
x
y
1
cos ec
y
r
x
y
atau
x
sin
tan
cos
r
sehingga:
cosec
sec
cot
1
sin
1
cos
1
tan
dan
sin
. cosec
=1
dan
cos
. sec
=1
dan
tan
. cot
=1
serta:
cot
=
cos
sin
67
Aturan sine dan cosine
Aturan sine
a
b
a
b
c
sin
sin
sin
c
a2 = b2 + c2 – 2.b.c cos
Aturan cosine:
sudut
b2 = a2 + c2 – 2.a.c cos
diambil
c2 = a2 + b2 – 2.a.b cos
depan sisi
Luas segitiga diatas dapat dicari dengan rumus:
L=
L=
L=
1
.a .b sin
2
1
.a .c sin
sudut diambil yang diapit
.b .c sin
oleh dua sisi yang diketahui.
2
1
2
Jika yang diketahui hanya panjang sisi-sisinya (belum diketahui besar sudut):
L=
s(s
a )( s
b )( s
c)
dimana s = ½(a+b+c)
Contoh 1
Tentukan luas segitiga dan besar sudut yang ada jika panjang sisi - sisi segitiga
tersebut adalah 11, 13 dan 15
Jawab:
S
=½(a+b+c)
= ½ (15+13+11) = 19,5
L
= 19 ,5 ( s a )( s b )( s c )
68
= 19 ,5 . 4 ,5 . 6 . 5 ,8 . 5
= 69,63
Jadi luas segitiga tersebut adalah 69,63
Selanjutnya dengan aturan cosine didapat:
cos
cos
=b2 + c2 – a2
= 132 + 112 – 152
2.bc
2.13.11
= 0,2272720
=760 51’ 48,39”
= a2 + c2 – b2
= 152 + 112 – 132
2.ac
0
’
=57 33 48,83
2.15.11
”
cos = a2 + b2 – c2
= 152 + 132 – 112
2.ab
0
’
=45 34 22,79
= 0,5363630
= 0,70
2.15.13
”
Contoh 2
Dlm segitiga ABC diketahui sudut
= 470 21’ dan sudut
=700 15’ serta
panjang sisi C=5,3m
Tentukan sisi-sisi segitiga dan sudut yang belum diketahui?
69