Textbook INF206 Text Book Limit Fungsi

LIMIT FUNGSI
Definisi Intuitif
Misalkan y=f(x) merupakan sebuah fungsi, a dan L bilangan riil
sedemikian hingga:
Bila x mendekati a tetapi xa, maka f(x) mendekati L

•

Misalkan f(x) dapat kita buat sedekat mungkin ke L dengan membuat x cukup dekat a
tetapi tidak sama dengan a
• Maka dapat dikatakan bahwa limit f(x) bila x mendekati a adalah L,
lim f ( x )=L
x →a

Contoh :
lim

x 2

x2  4
4


2
x x 6 5

, jika dihitung secara numerik maka hasilnya dapat dilihat pada tabel

dan grafik berikut :
2

f ( x )=

x

f ( x)

x

f ( x)

1

0.75

3

0.83333

1.5

0.7778

2.5

0.81818

1.9

0.7959

2.1

0.80392

1.999

0.79996

2.001

0.80004


2


0.8


2

x −4
x + x−6
2


0.8

Definisi Limit Secara Teoritis

Limit dari f(x) bila x menuju a adalah L R, ditulis

x

lim f ( x )=L
x →a

jika dan hanya jika, untuk e > 0, terdapat d > 0 sedemikian sehingga jika
0 < |x - a| < d maka |f(x) - L| < e

31

Sifat-sifat Limit Fungsi
Bila

lim f ( x )=L

dan

x →a

lim g ( x )=M
x →a

, dengan a sebarang bilangan riil, boleh -  dan

+
Maka berlaku sifat-sifat berikut ini :
1.
2.
3.

4.

lim kf ( x )=k lim f ( x )=kL
x →a

, k adalah sebarang bilangan

x →a

lim ( f ( x )±g( x ))=lim f ( x )±lim g( x )=L±M
x →a

x→a

x→a

lim ( f ( x ). g( x ))=lim f ( x ). lim g( x )=L . M
x →a

x →a

x →a

(sifat perkalian)

x →a

lim ( f ( x ))n =( lim f ( x ))n=L n
x →a

1
1
1
=
=
M
x →a g( x ) lim g (x )

(sifat penjumlahan)

, n bilangan asli (1,2,3…..) (sifat perpangkatan)

lim
5.

6.
7.
8.

lim f ( x )
f ( x)
L
x →a
lim
=
=
M
x →a g( x ) lim g (x )

, bila M  0 (sifat pembagian)

x→a
n

lim n√ f ( x )=n lim f ( x )= √ L
x →a

√

x→a

, asalkan

lim ln f ( x )=ln lim f ( x )=ln L
x →a

x→a

lim f ( x )

9.

, jika M≠0

x→a

lim p f ( x )= p x→a
x →a

= pL

n

√L

bilangan riil (sifat akar)

(sifat logaritma natural)

, asalkan PL bil.riil, P sebarang bil. Riil (sifat

eksponensial)
10 .Misalkan lim g ( x )=L dan
x→ a

lim f ( x )=f ( L) maka
x →L

lim f ( g( x ) )=f ( lim g ( x ))=f ( L) . ( Hk . Substitusi/ Limit Komposisi )
x→a

x →a

Teorema Limit
1. Teorema Limit trigonometri :

sin x
=1
x →0 x

lim

2. Hukum Apit : Misalkan f(x)  g(x)  h(x) untuk semua x disekitar a namun x a, dan

32

lim f ( x )=L=lim h (x )
x →a

x→a

maka

lim g ( x )=L
x →a

Contoh :

1
lim x 2 sin =0.
x
x→ 0

Tunjukkan
Bukti :

Untuk x 0,

 1 sin

1
−x 2 ≤x 2 sin ≤x 2
x

karena

dan

x2  0

lim(  x 2 ) 0 dan lim x 2 0
x 0

x 0

lim x 2 sin

maka

1
1
x

x 0

1
0 (menggunak an Prinsip Apit).
x
lim f ( x )=L

•

Limit kiri (limit f(x) bila x menuju a dari kiri) :

•

Limit kanan (limit f(x) bila x menuju a dari kanan) :

Teorema :

lim f ( x )=L

jika dan hanya jika :

x →a

Contoh :

x → a−

lim f (x )=L
x → a+

lim f ( x )=L= lim f ( x )
x → a−

x→a

+

{

f (x )= 1, x≥0 .
−2, x 0, lim f (x )= lim 1=1.
x →0+

limit kanan .

x →0+

Untuk x