Penerapan Model Program Linier Primal-Dual Dalam Mengoptimalkan Produksi Minyak Goreng Pada Pt Pacific Palmindo Industri
BAB 2
LANDASAN TEORI
Dalam bab ini akan diuraikan mengenai metode-metode ilmiah dari teori-teori yang
digunakan dalam penyelesaian persoalan untuk menentukan model program linier
dalam produksi.
.
2.1 Teori Produksi
Secara umum, produksi dapat diartikan sebagai suatu kegiatan atau proses yang
mentransformasikan masukan (input) menjadi hasil keluaran (output) yang berupa
barang atau jasa yang lebih berguna. Masukan ini adalah berupa bahan mentah, tenaga
kerja, modal, energi dan informasi. Masukan-masukan ini diproses menjadi barang barang dan jasa - jasa oleh teknologi proses yang merupakan metode atau cara tertentu
yang kemudian digunakan untuk melakukan proses tranformasi (Handoko, 1997).
Adapun transformasi input – output sistem produksi dapat dilihat pada gambar :
INPUT
OUTPUT
Tenaga Kerja
Modal
Bahan Baku
Informasi
PROSES
TRANSFORMAS
BARANG
DAN
JASA
Informasi umpan balik untuk
pengawasan input, proses dan
teknologi proses
Gambar 2.1 Skema Sistem Produksi
(Sumber: Ginting, R 2007)
Universitas Sumatera Utara
8
Metode atau cara tertentu yang digunakan untuk melakukan proses tranformasi
terkait dalam pengertian produksi operasi. Kaitannya adalah penambahan atau
penciptaan kegunaan atau utilitas karena bentuk dan tempat membutuhkan faktor faktor produksi (Assauri, 2004). Kegiatan produksi yang dilakukan oleh perusahaan
harus memperhatikan setiap faktor produksi. Hal ini dilakukan agar perusahaan dapat
menentukan tingkat efisiensi dan produkfitas dari kegiatan produksi dari kegiatan
produksi dengan cara mengoptimalkan setiap penggunaan faktor produksi itu.
Faktor - faktor yang menentukan produksi suatu perusahaan antara lain adalah
sebagai berikut :
1. Tersedianya bahan dasar
2. Tersedianya kapasitas mesin yang dimiliki
3. Tersedianya tenaga kerja
4. Tersedianya faktor-faktor produksi yang lain
Faktor produksi juga tidak dapat terlepas dari fungsi produksi. Fungsi produksi
merupakan hubungan fisik antar jumlah input dengan jumlah output. Hubungan antara
input dan output ini dapat diformulasikan oleh sebuah fungsi produksi, yang dalam
bentuk matematis dapat ditulis :
Q = f(K, T, M, n)
Keterangan :
Q = output yang dihasilkan selama satu periode tertentu
K = Kapital
T = tenaga kerja
M = material
n = faktor-faktor produksi lainnya.
Dari input yang tersedia setiap perusahaan ingin memperoleh hasil maksimal
sesuai dengan tingkat teknologi tertinggi pada saat itu. Dengan tersedianya faktor
produksi maka suatu produksi dapat ditentukan dengan menggunakan pendekatan
program linier.
Universitas Sumatera Utara
9
2.1.1 Kombinasi Produksi Optimum
Pada dasarnya, tujuan utama suatu perusahaan didirikan adalah untuk melakukan
kegiatan produksi barang atau jasa guna memperoleh laba atau keuntungan
maksimum. Tujuan utama tersebut seringkali sulit dicapai oleh perusahaan karena
adanya keterbatasan dari ketersediaan faktor-faktor produksi (sumber daya) yang
dimiliki oleh perusahaan. Oleh karena itu pihak pengambil keputusan dalam suatu
perusahaan perlu mempertimbangkan kombinasi produksi optimum yang akan dicapai
dari penggunaan faktor-faktor produksi tersebut guna menghasilkan laba atau
keuntungan maksimum. Dalam rangka untuk menentukan kombinasi terbaik dari
setiap faktor produksi untuk menghasilkan output, produsen harus mengetahui jumlah
faktor produksi dan sumberdaya yang terbatas sehingga kombinasi output dapat
dilakukan
dan
menghasilkan
keuntungan.
yang
diharapkan
tetapi
harus
memperhatikan juga sumberdaya yang terbatas.
2.2 Optimalisasi
Optimalisasi
dapat
diartikan
sebagai
pencapaian
keluaran
tertentu
dengan
menggunakan masukan yang paling sedikit atau dengan kata lain proses yang secara
ekonomis paling efesien. Optimalisasi juga dapat diartikan sebagai pencapaian suatu
keadaan yang terbaik. Apabila dikaitkan dengan produksi, maka pengertian
optimalisasi produksi berarti pencapaian suatu keadaan terbaik dalam kegiatan
produksi.
Optimalisasi
produksi
diperlukan
perusahaan
dalam
rangka
mengoptimalkan sumber daya yang digunakan agar suatu produksi dapat
menghasilkan produk dalam kuantitas dan kualitas yang diharapkan, sehingga
perusahaan dapat mencapai tujuannya.
Secara umum persoalan optimalisasi meliputi optimalisasi tanpa kendala dan
optimalisasi dengan kendala. Dalam optimalisasi tanpa kendala, faktor-faktor yang
menjadi kendala terhadap fungsi tujuan diabaikan sehingga dalam menentukan nilai
maksimal dan minimal tidak terdapat batasan untuk berbagai pilihan yang tersedia.
Universitas Sumatera Utara
10
Pada optimalisasi dengan kendala, faktor-faktor yang menjadi kendala pada
fungsi tujuan diperhatikan dan turut menentukan titik maksimum dan minimum fungsi
tujuan. Menurut Supranto (1988), persoalan optimalisasi dengan kendala pada
dasarnya merupakan persoalan menentukan nilai variabel-variabel suatu fungsi
menjadi maksimum dan minimum dengan memperhatikan keterbatasan-keterbatasan
yang ada. Keterbatasan itu biasanya meliputi semua faktor-faktor produksi yang sudah
pasti memiliki kapasitas terbatas (tertentu) seperti tenaga kerja, modal, dan bahan
baku. Masalah optimalisasi dapat diselesaikan dengan menggunakan salah satu teknik
optimalisasi yaitu metode program linier. Metode program linier merupakan metode
yang digunakan untuk memecahkan masalah optimalisasi berkendala dimana semua
fungsi baik fungsi tujuan maupun fungsi kendala merupakan fungsi linier.
2.3 Program Linier
2.3.1 Pengertian Program Linier
Program linier yang diterjemahkan dari Linear Programming (LP) ditemukan dan
diperkenalkan pertamakali oleh George Dantzig yang berupa metode mencari solusi
masalah program linier dengan banyak variabel keputusan. Program linier adalah
salah satu teknik dari riset operasi untuk memecahkan persoalan optimisasi
(maksimisasi atau minimisasi) dengan menggunakan persamaan dan ketidaksamaan
linier dalam rangka untuk mencari pemecahan yang optimum dengan memperhatikan
pembatasan-pembatasan yang ada (Supranto, 1988).
Program linier merupakan salah satu teknik riset yang penggunaannya sangat
meluas dan dapat digunakan untuk beragam persoalan kegiatan produksi. Pada
kegiatan produksi, hal yang dihadapai adalah pengalokasian sumberdaya-sumberdaya
terbatas secara optimal. Masalah tersebut timbul apabila seseorang diharuskan untuk
memilih atau menentukan tingkat setiap kegiatan yang akan dilakukannya padahal
masing-masing kegiatan membutuhkan sumber yang sama sedangkan jumlahnya
terbatas diantara berbagai alternatif penggunaan sumberdaya-sumberdaya tersebut.
Universitas Sumatera Utara
11
Program linier digunakan sehingga berbagai tujuan yang telah ditetapkan yaitu
maksimasi laba atau minimisasi biaya dapat dicapai atau dioptimalkan.
Dalam memecahkan masalah program linier menggunakan model matematis.
Linier yang berarti bahwa semua fungsi-fungsi matematis yang disajikan dalam model
haruslah fungsi-fungsi linier. Disebut ”linier” dalam program linier berarti hubunganhubungan antara faktor adalah bersifat linier atau konstan, atau fungsi-fungsi
matematis yang disajikan dalam model haruslah fungsi-fungsi linier (Handoko,
Subagyo dan Asri, 2000). Hubungan-hubungan linier berarti bahwa apabila satu faktor
berubah maka suatu faktor lain juga berubah dan dengan jumlah yang konstan secara
proporsional.
Agar suatu persoalan dapat dipecahkan dengan teknik program linier harus memenuhi
syarat berikut:
1. Harus dapat dirumuskan secara matematis.
2. Memiliki kriteria tujuan (fungsi objektif) yang linier.
3. Sumber daya yang tersedia sifatnya terbatas.
4. Semua variabel dalam model memiliki hubungan matematis bersifat linier.
5. Koefisien model diketahui dengan pasti.
6. Bilangan yang digunakan dapat bernilai bulat atau pecahan.
7. Semua variabel keputusan harus bernilai non-negatif.
2.3.2 Kelebihan dan Kekurangan Program Linier
Sebagai alat kuantitatif untuk melakukan pemrograman, program linier mempunyai
beberapa kelebihan dan kekurangan. Kelebihan-kelebihan program linier yaitu :
1. Mudah dilaksanakan terutama jika menggunakan alat bantu komputer.
2. Dapat menggunakan banyak variabel sehingga berbagai kemungkinan untuk
memperoleh pemanfaatan sumberdaya yang optimal dapat dicapai.
3. Fungsi tujuan dapat difleksibelkan sesuai dengan tujuan penelitian atau
berdasarkan data yang tersedia.
Universitas Sumatera Utara
12
Kekurangan - kekurangan dari program linier yaitu :
1. Apabila alat bantu komputer tidak tersedia, maka program linier dengan
menggunakan banyak variabel akan menyulitkan analisisnya bahkan mungkin
tidak dapat dikerjakan secara manual. Metode ini tidak dapat digunakan secara
bebas dalam setiap kondisi, tetapi dibatasi oleh asumsi-asumsi.
2. Metode ini hanya dapat digunakan untuk satu tujuan misalnya hanya untuk
maksimisasi keuntungan atau minimisasi biaya.
2.3.3 Asumsi dalam Model Program Linier
Agar program linier dapat diterapkan, asumsi-asumsi dasar berikut ini harus ditepati :
1. Fungsi tujuan dan persamaan setiap batasan harus linier. Hal ini mencakup
pengertian bahwa perubahan nilai-nilai dan penggunaan sumberdaya terjadi
secara proporsional dengan perubahan tingkat kegiatan.
2. Parameter-parameter harus diketahui atau dapat diperkirakan dengan pasti.
3. Variabel-variabel keputusan harus dapat dibagi. Hal ini berarti bahwa suatu
penyelesaian feasible dapat berupa bilangan pecahan.
Dalam menggunakan model program linier diperlukan beberapa asumsi, untuk
memudahkan perumusan model tanpa mengurangi kedekatannya dengan keadaan
nyata atau sebenarnya. Asumsi-asumsi yang digunakan sebagai berikut (Handoko,
Subagyo dan Asri, 2000) :
1. Asumsi Kesebandingan (Proportionality)
Asumsi ini berarti bahwa naik turunnya nilai
(Nilai Tujuan) dan penggunaan
sumber atau fasilitas yang tersedia akan berubah secara sebanding
(proportional) dengan perubahan tingkat kegiatan.
a.
Setiap penambahan 1 unit
penambahan 1 unit
akan menaikkan Z dengan
akan menaikkan nilai Z dengan
. Setiap
, dan seterusnya.
b.
Setiap pertambahan 1 unit
fasilitas 1 dengan
akan menaikkan penggunaan sumber atau
. Setiap pertambahan 1 unit
akan menaikkan
Universitas Sumatera Utara
13
penggunaan sumber atau fasilitas 1 dengan
, dan seterusnya. Dengan kata
lain, setiap ada kenaikan kapasitas rill tidak perlu ada biaya persiapan (set up
cost).
2. Asumsi Penambahan (Additivity)
Asumsi ini berarti bahwa nilai tujuan tiap kegiatan tidak saling mempengaruhi,
atau dalam program linier dianggap bahwa kenaikan dari nilai tujuan ( ) yang
diakibatkan oleh kenaikan suatu kegiatan dapat ditambahkan tanpa
mempengaruhi bagian nilai Z yang diperoleh dari kegiatan lain.
3. Asumsi Pembagian (Divisibility)
Asumsi ini menyatakan bahwa peubah - peubah pengambilan keputusan ( )
jika diperlukan dapat dibagi ke dalam nilai - nilai
tidak perlu integer (hanya
0 dan 1 atau bilangan bulat), tetapi boleh non integer (pecahan – pecahan).
Asumsi ini menyatakan bahwa keluaran (output) yang dihasilkan oleh setiap
kegiatan dapat berupa bilangan pecahan. Demikian pula dengan nilai
yang
dihasilkan.
4. Asumsi Kepastian (Deterministic / Certainty)
Asumsi ini menyatakan bahwa semua parameter yang terdapat dalam model
program linier (
,
,
) tetap, dapat diketahui, dan dapat diperkirakan
secara pasti, meskipun jarang dengan tepat.
Persoalan dalam program linier berusaha untuk mencari pemecahan optimal di
dalam batasan sumberdaya yang ada pada suatu perusahaan. Sebuah perusahaan yang
cukup besar akan berhadapan dengan batasan, baik berupa batasan dari input tertentu,
batasan kapasitas, batasan berupa modal, jam kerja mesin, tenaga kerja, dan lain
sebagainya.
Universitas Sumatera Utara
14
2.3.4 Fungsi dalam Program Linier
Pada program linier terdapat dua macam fungsi, antara lain :
1. Fungsi Tujuan (Objective Function)
Fungsi tujuan dalah fungsi yang menggambarkan tujuan atau sasaran di dalam
permasalahan program linier yang berkaitan dengan pengaturan secara optimal
sumberdaya-sumberdaya untuk memperoleh keuntungan maksimal atau biaya
minimal.
2. Fungsi Pembatas (Constraint Function)
Fungsi batasan merupakan bentuk penyajian secara matematis batasan-batasan
kapasitas yang tersedia yang akan dialokasikan secara optimal ke berbagai
kegiatan.
2.3.5 Formulasi Matematika Program Linier
Secara matematika, persoalan program linier ini dapat diformulasikan sebagai berikut:
1. Memaksimumkan / meminimumkan fungsi tujuan :
∑
2. Dengan fungsi-fungsi pembatas linier :
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Dapat disederhanakan menjadi :
∑
Universitas Sumatera Utara
15
Keterangan :
Z
= Fungsi tujuan.
= variabel keputusan atau kegiatan ke-j.
= Nilai kontribusi dari variabel keputusan j.
= koefisien teknis dalam kendala ke-m pada aktivitas ke-i.
= sumberdaya yang terbatas / konstanta dari kendala ke-i.
3. Dengan pembatas non-negatif
, untuk j = 1, 2, 3, …, n
untuk i = 1, 2, 3, …, m
4.
,
,
adalah konstanta yang diketahui harganya.
Dapat pula persamaan atau ketidaksamaan linier ini dinyatakan sebagai
perkalian matriks A ( m x r ) dengan matriks kolom X ( r x l ) yang hasilnya adalah
suatu kolom B ( m x l ).
[
]
[
]
[
]
Sebelum model program linier ini digunakan, maka satu hal yang perlu diperhatikan
adalah masalah kelinieran fungsi-fungsi tujuan dan fungsi pembatas yang digunakan.
Secara umum, kelinieran dapat digolongkan ke dalam dua sifat, yaitu :
1. Sifat menambahkan
Contohnya adalah bila untuk membuat produk 1 pada mesin A diperlukan
waktu
jam dan untuk membuat produk 2 pada mesin A diperlukan waktu
jam, maka untuk membuat produk 1 dan 2 pada mesin A diperlukan waktu (
+
) jam.
2. Sifat Mengalikan
Contohnya adalah bila untuk membuat 1 buah produk pada mesin A diperlukan
waktu 1 jam, maka untuk membuat 10 buah produk diperlukan waktu 10 jam.
Universitas Sumatera Utara
16
Karena model program linier disajikan dalam berbagai variasi, yaitu fungsi
tujuan yang dapat berupa maksimisasi atau minimimasi, dan fungsi-fungsi pembatas
yang dapat berbentuk
dan / atau
, maka perlu diadakan pengenalan terhadap
sifat-sifat dari setiap bentuk-bentuk model program linier. Dengan mengenali sifat
dari bentuk tersebut untuk memudahkan dalam penyelesaian selanjutnya. Untuk
tujuan ini akan dikemukakan 2 bentuk :
1. Bentuk Standard
Bentuk ini biasanya digunakan untuk menyelesaikan masalah program linier
secara langsung. Karakteristik bentuk ini adalah :
a. Semua fungsi pembatas berbentuk persamaan, kecuali pembatas non
negatif bertanda ≥ 0.
b. Ruas kanan setiap fungsi pembatas adalah non-negatif.
c. Semua variabel adalah non-negatif.
d. Fungsi tujuan dapat berupa maksimisasi atau minimisasi.
Untuk melakukan perubahan ke dalam bentuk standard, ada beberapa transformasi
dasar yang harus dilakukan dan akan diuraikan sebagai berikut :
a. Minimasi suatu fungsi
secara sistematis adalah ekivalen dengan
maksimisasi daripada negatif fungsi tersebut Contoh : Minimasi
.
adalah ekivalen dengan
Maksimasi
b. Suatu bentuk ketidaksamaan ≤ atau ≥ dapat diubah kedalam bentuk
ketidaksamaan dengan arah berlawanan dengan mengalikan -1.
Contoh :
, ekivalen dengan
c. Suatu bentuk persamaan dapat diubah menjadi 2 buah ketidaksamaan dengan
arah berlawanan.
Contoh :
ekivalen dengan
0
d. Suatu bentuk ketidaksamaan dengan ruas kiri adalah absolute, dapat diubah
menjadi 2 buah ketidaksamaan.
Universitas Sumatera Utara
17
|
Contoh :|
|
|
e. Suatu variabel yang tidak diketahui tandanya (bisa positif, nol atau negatif)
adalah ekivalen dengan selisih antara 2 variabel non – negatif.
Contoh :
tidak diketahui tandanya, maka
sebagai
dapat dinyatakan
adalah
Bentuk standard ini sangat berkaitan dengan penyelesaian persoalan program
linier dengan menggunakan metode simpleks. Karena setiap persoalan program
linier yang akan dipecahkan dengan menggunakan metode simpleks harus terlebih
dahulu ke dalam bentuk standard.
Di samping kelima bentuk transformasi dasar yang telah diuraikan di atas
diperlukan pula pengertian variabel Slack, Surplus, dan Artificial. Variabelvariabel ini berfungsi untuk merubah ketidaksamaan dengan fungsi pembatas
menjadi bentuk persamaan (bentuk standard) tanpa mempengaruhi fungsi
tujuannya.
2. Bentuk Kanonik
Secara umum model program linier dalam bentuk kanonik dapat dinyatakan
sebagai berikut :
Maksimasi :
∑
Fungsi Pembatas / Kendala :
∑
untuk j = 1, 2, 3, …, n
Universitas Sumatera Utara
18
Karakteristik dari bentuk ini adalah :
a. Semua variabel adalah non-negatif.
b. Semua fungsi pembatas bertanda ≤.
c. Fungsi tujuan adalah maksimasi.
Bentuk ini khususnya digunakan untuk menyelesaikan masalah program linier
dengan teori dualitas.
2.3.6 Variabel Slack dan Surplus
Fungsi Pembatas dalam bentuk
dapat dirubah ke dalam persamaan dengan
menambahkan variabel baru non-negatif di ruas kiri pertidaksamaan sedemikian
hingga variabel baru tersebut secara numerik sama dengan selisih diantara ruas kanan
dan ruas kiri pertidaksamaan. Misalnya diketahui pada persoalan program linier
bahwa salah satu fungsi pembatas ke h adalah ∑
ditentukan suatu variabel
∑
.
. Selanjutnya akan
dimana memenuhi hubungan
ini disebut variabel slack karena
dapat dianggap sebagai
batas maksimum daripada sumber yang tersedia, sedangkan ∑
adalah
pemakaian yang sebenarnya daripada sumber tersebut. Perbedaan antara sumber yang
tersedia dan yang dipakai ini adalah slack. Persamaan tersebut dapat ditulis
:∑
. Jadi dengan menambahkan variabel slack
, maka
bentuk ketidaksamaan pada fungsi pembatas ke h dapat dirubah menjadi bentuk
persamaan.
Selanjutnya akan dilihat suatu bentuk ketidaksamaan dengan tanda
.
Misalnya diketahui pada suatu persoalan program linier, bahwa salah satu fungsi
pembatas ke k adalah ∑
. Kemudian tentukan suatu variabel tertentu
, dimana memenuhi hubungan
variabel surplus karena
yang harus dibuat dan ∑
∑
ini disebut
dapat dianggap sebagai salah satu jumlah minimum produk
adalah jumlah produk yang sebenarnya dibuat.
Perbedaan antara jumlah produk yang sebenarnya dibuat dengan yang seharusnya
dibuat adalah surplus, persamaan tersebut dapat ditulis : ∑
.
Universitas Sumatera Utara
19
2.3.7 Variabel Artificial
Untuk dapat memecahkan persoalan program linier dengan menggunakan metode
simpleks harus ada 1 variabel - variabel basis dalam fungsi-fungsi pembatas untuk
memperoleh solusi basis awal yang feasible. Untuk fungsi-fungsi pembatas dengan
tanda
, maka variabel basis dapat diperoleh dengan menambah variabel slack. Tetapi
bila fungsi pembatas mempunyai bentuk ketidaksamaan dengan tanda
, maka
variabel slack yang bersangkutan bertanda “ negatif ”.
Misalnya :
diubah menjadi bentuk persamaan :
Demikian pula bila fungsi pembatas berbentuk persamaan, maka tidak selalu dapat
diperoleh variabel basis.
Untuk mengatasi kesulitan memperoleh variabel basis tersebut, dapat
ditambahkan suatu variabel khayal, yang disebut variabel artifical. Variabel artificial
ini mempunyai suatu koefisien fungsi tujuan yang sangat besar. Harga koefisien ini
dapat positif maupun negatif, tergantung pada sifat fungsi tujuannya maksimisasi atau
minimisasi. Bila dinyatakan dengan notasi, maka koefisien variabel artifical pada
fungsi tujuan adalah :
untuk maksimisasi.
untuk minimisasi.
M adalah bilangan positif sangat besar, dan
variabel artifical
adalah koefisien fungsi tujuan untuk
.
2.3.8 Metode Simpleks
Persoalan program linier yang dipecahkan dengan menggunakan metode simpleks
haruslah persoalan yang telah diubah kedalam bentuk standard dan mempunyai
variabel basis, baik sebagai variabel slack ataupun variabel artificial .
Universitas Sumatera Utara
20
Dalam bentuk matematis, persolan program linier ini dapat dinyatakan sebagai
berikut:
1. Fungsi Tujuan
Maksimisasi / minimisasi
:
∑
2. Fungsi Pembatas
Untuk lebih jelasnya, maka fungsi pembatas akan diuraikan/dijelaskan dalam
bentuk perkalian matriks. Fungsi pembatas dalam bentuk perkalian matriks
adalah :
Keterangan :
[
]
[
]
[
]
= Koefisien fungsi tujuan untuk variabel ke-j
= Koefisien fungsi tujuan pembatas ke-i untuk variabel ke-j
m
= Jumlah fungsi pembatas
r
= Jumlah variabel asli
= Harga ruas kanan fungsi pembatas ke-i dan
[
]
Matriks Satuan
Selanjutnya akan dijelaskan prosedur iterasi metode simpleks untuk memperoleh
solusi optimal yang feasible. Untuk memudahkan dalam penjelasan ini, maka
digunakan tabel iterasi simpleks.
Universitas Sumatera Utara
21
Tabel 2.1 Iterasi Simpleks
.
.
.
.
.
.
Keterangan :
= Variabel basis untuk fungsi pembatas ke-i
= Koefisien fungsi tujuan variabel ke
= Variabel-variabel asli
= Variabel-variabel basis awal
∑
Untuk melakukan iterasi metode simpleks ini, ada 3 langkah yang perlu dilakukan,
yaitu :
1. Mencari variabel
yang akan menjadi variabel basis yang baru.
2. Mencari variabel basis yang lama
yang akan diganti.
3. Menyusun tabel baru dengan menghitung harga
dan
yang baru.
Universitas Sumatera Utara
22
Ketiga langkah tersebut akan dijelaskan sebagai berikut :
1. Mencari variabel
yang akan menjadi variabel basis yang baru, dengan cara :
a. Menghitung harga
untuk j = 1, 2 , … , r + m
b. Jika ada satu atau lebih harga
, maka variabel dengan harga
negatif terbesar adalah sebagai variabel basis yang terbaru.
c. Bila semua harga
, maka iterasi telah mencapai kondisi optimal
dan perhitungan dihentikan sampai disini.
d. Bila
untuk setiap i = 1, … ,m
adalah negatif terbesar, dan
maka solusi yang diperoleh adalah unbounded. Apabila
untuk
paling sedikit harga 1, maka iterasi dilanjutkan dengan terlebih dahulu
mencari variabel basis lama yang akan digantikan oleh variabel basis baru
(
).
2. Mencari variabel basis lama yang akan digantikan oleh variabel basis baru (
a. Hitung harga
).
, i = 1, 2,...,m
b. Varibel basis lama yang akan digantikan adalah variabel basis dengan
harga
positif terkecil (misalkan
= 1).
3. Menyusun tabel simpleks yang baru dengan
menggantikan
adalah variabel basis baru yang
. Transformasi yang akan dilakukan adalah :
a.
b.
c.
Ketiga langkah ini diulang terus untuk setiap iterasi sampai diperoleh harga
semuanya positif untuk j = 1,2, … , r + m yang berarti bahwa solusi yang diperoleh
telah optimum yaitu fungsi tujuan adalah maksimum.
Contoh penggunaan metode simpleks:
Maksimum
Kendala :
Universitas Sumatera Utara
23
Penyelesaian:
Ubah kedalam bentuk Standar :
Maksimum
Kendala :
Iterasi 0
Basis / C
3
5
4
0
0
0
B
0
1
2
3
1
0
0
10
0
2
3
1
0
1
0
16
0
3
2
1
0
0
1
20
-3
-5
-4
0
0
01
0
Keterangan :
: -5 adalah yang paling minimum, maka
Pada baris
masuk dalam
basis.
{
}
Baris pivot adalah baris
Baris
yang baru adalah baris
Baris
yang baru adalah baris
dikalikan .
Universitas Sumatera Utara
24
Iterasi 1
Basis / C
3
5
4
0
0
0
B
5
0,5
1
1,5
0,5
0
0
5
0
0,5
0
-3,5
-1,5
1
0
1
0
2
0
-2
-1
0
1
10
-0,5
0
3,5
2,5
0
0
25
Keterangan :
: -0,5 adalah yang paling minimum, maka
Pada baris
masuk dalam
basis.
}
{
Baris pivot adalah baris
Baris
yang baru adalah baris
Baris
yang baru adalah baris
dikalikan .
Iterasi 2
Basis / C
3
5
4
0
0
0
B
Karena baris
5
0
1
5
2
-1
0
4
3
1
0
-7
-3
2
0
2
0
0
0
12
5
-4
1
6
0
0
4
1
1
0
26
, maka perosoalan telah optimal dengan :
Untuk
Universitas Sumatera Utara
25
2.4 Teori Dualitas
Teori Dualitas merupakan salah satu konsep program linier yang penting dan menarik
ditinjau dari segi teori dan praktisnya. Ide dasar yang melatarbelakangi teori ini adalah
bahwa setiap persoalan program linier mempunyai suatu program linier lain yang
saling berkaitan yang disebut dual, sedemikian sehingga solusi pada persoalan semula
(yang disebut primal) juga member solusi pada dualnya.
2.4.1 Analisis Primal
Dalam program linier, masalah yang dikemukakan mula-mula disebut sebagai
masalah primal. Solusi optimal masalah primal ini menunjukkan nilai dari variabelvariabel keputusan yang memaksimumkan atau meminimumkan nilai dari fungsi
tujuan. Analisis primal digunakan untuk mengetahui dan menentukan kombinasi
produksi terbaik yang dapat menghasilkan tujuan dengan keterbatasan sumberdaya
yang ada. Maka dari itu, akan diperoleh diperoleh berapa jumlah setiap variabel
keputusan (
) yang akan diproduksi dan dapat memaksimumkan nilai fungsi tujuan
( ) dengan dihadapkan pada sumberdaya yang ada. Hasil analisis primal akan
dibandingkan dengan tingkat kombinasi produk aktual perusahaan, sehingga dapat
diketahui apakah perusahaan sudah melakukan kombinasi produk pada tingkat yang
optimal (Taha, 1996).
2.4.2 Analisis Dual
Analisis dual dilakukan unuk mengetahui penilaian terhadap sumberdaya dengan
melihat kekurangan (slack) atau kelebihan (surplus) dan nilai dualnya. Slack atau
surplus digunakan untuk menandai sisa atau kelebihan kapasitas yang akan terjadi
pada variabel optimal. Variabel slack ( ) akan berkaitan dengan batasan dan
mewakili jumlah kelebihan ruas kanan dari batasan tersebut dibandingkan ruas kiri.
Variabel surplus diidentifikasikan dengan batasan ( ) dan mewakili kelebihan ruas
kiri dibandingkan ruas kanan. Nilai dual price menunjukkan perubahan yang akan
Universitas Sumatera Utara
26
terjadi pada fungsi tujuan apabila sumberdaya berubah sebesar satu satuan. Jika
sumberdaya yang digunakan memiliki nilai slack atau surplus yang sama dengan nol
dan nilai dual nya lebih besar dari nol menunjukkan bahwa seluruh kapasitas pada
kendala dipergunakan semua atau sumberdaya tersebut merupakan sumberdaya
langka atau kendala aktif yang membatasi nilai tujuan. Sedangkan jika sumberdaya
yang digunakan memiliki nilai slack atau surplus lebih besar nol dan nilai dualnya
sama dengan nol, berarti sumberdaya tersebut merupakan sumberdaya yang lebih.
Kendala tersebut termasuk ke dalam kendala tidak aktif, yaitu kendala yang tidak
habis terpakai dalam proses produksi dan tidak akan mempengaruhi fungsi tujuan jika
terjadi penambahan sebesar satu satuan. Nilai dual juga dapat dilihat berdasarkan
harga bayangan (shadow price) yaitu batas harga tertinggi suatu sumberdaya yang
membuat perusahaan masih dapat melakukan pembelian (Taha, 1996).
2.4.3 Model Umum Persoalan Primal dan Dual
Bentuk Primal :
Maksimukan
Kendala:
:
∑
∑
Bentuk Dual :
Minimumkan
Kendala:
:
∑
∑
Universitas Sumatera Utara
27
∑
Dinyatakan bahwa
∑
adalah sama dengan
Contoh:
Bentuk Primal
Maksimumkan
:
Kendala
:
Bentuk Dual
Minimumkan
:
Kendala
:
2.4.4 Hubungan Antara Primal Dual
Setiap permasalahan dalam program linier terdiri atas dua bentuk. Bentuk pertama
atau asli dinamakan primal, sementara bentuk kedua yang berhubungan dinamakan
dual, sehingga suatu solusi terhadap program linier yang asli juga memberikan solusi
pada bentuk dualnya.
Hubungan antara model program linier primal dan dual bersifat konversi.
Hubungan antara program linier primal dan dual dapat dilihat pada tabel berikut:
Tabel 2.2 Hubungan antara Program Linier Primal dan Dual
No.
Item
1
Fungsi tujuan
Model
Primal
Dual
Memaksimalkan
Meminimalkan
Meminimalkan
Memaksimalkan
Universitas Sumatera Utara
28
2
Jumlah variabel
Jumlah variabel keputusan ( )
3
Jumlah kendala
Jumlah kendala model
Jumlah kendala model
Jumlah variabel
4
5
6
7
Koefisien fungsi
tujuan
Sumber daya
tersedia
Koefisien Matrik
Nilai kontribusi fungsi tujuan
Nilai ruas kanan kendala
Koefisien teknologi
keputusan ( )
Nilai ruas kanan kendala
Nilai kontribusi fungsi
tujuan
Koefisien teknologi yang
diubah
Tanda
ketidaksamaan
Hubungan antara primal dengan dual sebagai berikut :
1. Koefisien fungsi tujuan primal menjadi konstanta ruas kanan bagi dual,
sedangkan konstanta ruas kanan primal menjadi koefisien fungsi tujuan dual.
2. Untuk setiap pembatas primal ada satu variabel dual, dan untuk setiap variabel
primal ada satu pembatas dual.
3. Tanda ketidaksamaan pada pembatas akan bergantung pada fungsi tujuannya.
4. Fungsi tujuan berubah bentuk (maksimasi menjadi minimasi dan sebaliknya).
5. Setiap kolom pada primal berkorespondensi dengan baris (pembatas) pada
dual.
6. Setiap baris (pembatas) pada primal berkorespondensi dengan kolom pada
dual.
7. Dual dari dual adalah primal.
Universitas Sumatera Utara
29
2.5 Analisis Sensitivitas
Analisis sensitivitas terdiri atas dua tipe, yaitu analisis perubahan nilai koefisien dari
fungsi tujuan dan analisis ruas kanan dari fungsi tujuan (Right Hand Side). Analisis
perubahan koefisien fungsi tujuan dilakukan untuk mengetahui efek perubahan tanpa
mengubah solusi optimal dengan parameter lain dipertahankan konstan. Tujuan dari
analisis Right Hand Side (RHS) adalah untuk menentukan berapa banyak nilai ruas
kanan dari fungsi kendala ( ) dapat ditingkatkan atau diturunkan tanpa mengubah
nilai shadow price-nya dengan parameter lain dipertahankan konstan.
Analisis sensitivitas berguna untuk mengetahui seberapa jauh solusi optimal
awal tidak akan berubah jika terjadi perubahan pada harga jual setiap produk, biaya
per satuan produk, dan ketersediaan sumberdaya yang dimiliki. Apabila perubahanperubahan yang terjadi masih dalam selang yang diperbolehkan, maka solusi optimal
awal tidak akan berubah. Selang dalam program linier terdiri atas batas penurunan
(allowable decrease) dan batas peningkatan (allowable increase). Batas penurunan
memperlihatkan besarnya nilai penurunan parameter fungsi tujuan atau nilai
penurunan ketersediaan sumberdaya yang tidak mengubah solusi optimal awal. Batas
atas memperlihatkan nilai peningkatan yang tidak akan mengubah solusi optimal
awal. Solusi awal akan berubah apabila perubahan yang terjadi di luar selang
perubahan yang diperbolehkan (Taha, 1996).
2.6 LINDO (Linear Interactive Discrete Optimizer)
Seperti yang telah dibahas sebelumnya, apabila alat bantu komputer tidak tersedia,
maka program linier dengan menggunakan banyak variabel akan menyulitkan
analisisnya bahkan mungkin tidak dapat dikerjakan secara manual. LINDO (Linear
Interaktive Discrete Optimizer) adalah software yang dapat digunakan untuk mencari
penyelesaian dari masalah pemrograman linier. Dengan menggunakan software ini
memungkinkan perhitungan masalah pemrograman linier dengan n variabel.
Universitas Sumatera Utara
30
Prinsip kerja utama LINDO adalah memasukkan data, menyelesaikan, serta
menaksirkan kebenaran dan kelayakan data berdasarkan penyelesaiannya. Menurut
Linus Scharge (1991), Perhitungan yang digunakan pada LINDO pada dasarnya
menggunakan metode simpleks.
Untuk menentukan nilai optimal dengan menggunakan LINDO diperlukan
beberapa tahapan yaitu:
1. Menentukan model matematika (program linier).
2. Menentukan formulasi program untuk LINDO.
3. Membaca hasil report yang dihasilkan oleh LINDO.
Perintah yang biasa digunakan untuk menjalankan program LINDO adalah:
1.
MAX :digunakan untuk memulai data dalam masalah maksimasi.
2.
MIN : digunakan untuk memulai data dalam masalah minimasi.
3.
END : digunakan untuk mengakhiri data.
4.
GO
5.
LOOK: digunakan untuk mencetak bagian yang dipilih dari data yang ada.
6.
GIN
7.
INTE : digunakan untuk menentukan solusi dari masalah biner.
8.
INT
9.
SUB : digunakan untuk membatasi nilai maksimumnya.
: digunakan untuk pemecahan dan penyelesaian masalah.
: digunakan untuk variabel keputusan agar bernilai bulat.
: sama dengan INTE.
10. SLB : digunakan untuk membatasi nilai minimumnya.
11. FREE : digunakan agar solusinya berupa bilangan real.
Kegunaan utama dari LINDO adalah untuk mencari penyelesaian dari masalah
linier dengan cepat dengan memasukkan data yang berupa rumusan dalam bentuk
linier. LINDO memberikan banyak manfaat dan kemudahan dalam memecahkan
masalah optimasi.
Universitas Sumatera Utara
31
Berikut ini cara memulai menggunakan program LINDO adalah dengan
membuka file LINDO kemudian klik dua kali pada LINDO, tunggu sampai muncul
dialog lalu klik OK, LINDO siap untuk dioperasikan.
Pada layar akan muncul untitled baru yang siap untuk tempat mengetikkan formulasi.
Gambar 2.2 Tampilan LINDO
Model LINDO minimal memiliki tiga syarat:
1. Memerlukan fungsi objektif
2. Variabel
3. Batasan (fungsi kendala)
Cara menggunakan LINDO dijabarkan sebagai berikut:
1. Untuk syarat pertama adalah fungsi objektif, bisa juga dikatakan fungsi tujuan.
Tujuan disini memiliki dua jenis tujuan yaitu maksimasi (MAX) dan minimasi
(MIN). Kata pertama untuk mengawali pengetikan formula pada LINDO
adalah MAX atau MIN. Formula yang diketikan ke dalam untitled (papan
editor pada LINDO) setelah MAX atau MIN disebut fungsi tujuan.
Misalkan Fungsi tujuan model matematika,
Min / Maks
Maka diketikkan ke dalam untitled menjadi:
MIN
, atau MAX
2. Untuk syarat kedua adalah variabel. Variabel ini sangat penting, LINDO tidak
dapat dijalankan tanpa memasukkan variabel dalam formula.
3. Untuk syarat ketiga setelah fungsi objektif dan variabel selanjutnya adalah
batasan.
Universitas Sumatera Utara
32
Dalam kenyataannya variabel tersebut pasti memiliki batasan, batasan itu
misalnya keterbatasan bahan, waktu, jumlah pekerja, biaya operasional.
Setelah fungsi objektif diketikkan selanjutnya diketikkan Subject to atau ST
untuk mengawali pengetikan batasan dan pada baris berikutnya baru
diketikkan batasan yang ada di akhir batasan akhiri dengan kata END. Secara
umum dapat dituliskan sebagai berikut:
untuk pengetikkan fungsi kendala ke dalam untitled adalah sebagai berikut.
SUBJECT TO
END
4. Setelah formula diketikkan siap dicari solusinya dengan memilih perintah
solve atau mengklik tombol solve pada toolbar. LINDO akan mengkompil
(mengoreksi kesalahan) pada formula terlebih dahulu. Jika terjadi kesalahan
dalam pengetikan (tidak dapat dibaca oleh komputer) akan muncul kotak
dialog dan kursor akan menunjukkan pada baris yang salah.
Universitas Sumatera Utara
33
Gambar 2.3 Menu Solve
Menu solve digunakan untuk menampilkan hasil secara lengkap dengan
beberapa pilihan berikut:
a. Solve-Solve, digunakan untuk menampilkan hasil optimasi dari data
pada papan editor dan secara lengkap. Pada tampilan hasil
mencangkup nilai variabel keputusan serta nilai dual price-nya.
b. Solve-Compile Model, digunakan untuk mengecek apakah struktur
penyusunan data pada papan editor data sudah benar. Jika penulisannya
tidak benar, maka akan ditampilkan pada baris ke-berapa kesalahan
tersebut terdapat. Jika tidak ada kesalahan, maka proses dapat
dilanjutkan untuk mencari jawaban yang optimal.
c. Solve Privot, digunakan untuk menampilkan nilai slack.
d. Solve Debug, digunakan untuk mempersempit permasalahan serta
mencari pada bagian mana yang mengakibatkan solusi tidak optimal,
selanjudnya ada pertanyaan untuk menentukan tingkat kesensitifitasan
solusi.
5. Report juga tersedia pada LINDO.
Universitas Sumatera Utara
34
Gambar 2.4 Tampilan perintah Report LINDO
Dalam menu report terdapat beberapa pilihan sebagai berikut:
a. Report Solution, digunakan untuk mendapatkan solusi optimal dari
permasalahan program linier yang tersaji pada papan editor data.
b. Report Range, digunakan untuk menayangkan hasil penyelesaian
analisis sensivitas. Pada analisis sensivitas yang ditayangkan mencakup
aspek Allowable Increase dan Allowable Decrease.
c. Report Parametrics, digunakan untuk mengubah dan menampilkan
hasil hanya pada baris kendala tertentu saja.
d. Report Statistics, digunakan untuk mendapatkan laporan kecil pada
papan editor report.
e. Report Peruse, digunakan untuk menampilkan sebagian dari model
atau jawaban.
f. Report Picture, digunakan untuk menampilkan (display) model dalam
bentuk matriks.
g. Report Basis Picture, digunakan untuk menampilkan text format dari
nilai basis, dan disajikan sesuai urutan baris dan kolom.
h. Report Table, digunakan untuk menampilkan tabel simplek dari model
yang ada.
i. Report Formulation, digunakan untuk menampilkan model pada papan
editor data ke papan editor report.
Universitas Sumatera Utara
35
j. Report Show Coloum, digunakan untuk menampilkan koefisien
peubah.
6. Untuk menyimpan file, arahkan kursor pada papan editor yang diaktifkan.
Menu menyimpan file ada dua macam yakni File Save, dan File Save.
Universitas Sumatera Utara
LANDASAN TEORI
Dalam bab ini akan diuraikan mengenai metode-metode ilmiah dari teori-teori yang
digunakan dalam penyelesaian persoalan untuk menentukan model program linier
dalam produksi.
.
2.1 Teori Produksi
Secara umum, produksi dapat diartikan sebagai suatu kegiatan atau proses yang
mentransformasikan masukan (input) menjadi hasil keluaran (output) yang berupa
barang atau jasa yang lebih berguna. Masukan ini adalah berupa bahan mentah, tenaga
kerja, modal, energi dan informasi. Masukan-masukan ini diproses menjadi barang barang dan jasa - jasa oleh teknologi proses yang merupakan metode atau cara tertentu
yang kemudian digunakan untuk melakukan proses tranformasi (Handoko, 1997).
Adapun transformasi input – output sistem produksi dapat dilihat pada gambar :
INPUT
OUTPUT
Tenaga Kerja
Modal
Bahan Baku
Informasi
PROSES
TRANSFORMAS
BARANG
DAN
JASA
Informasi umpan balik untuk
pengawasan input, proses dan
teknologi proses
Gambar 2.1 Skema Sistem Produksi
(Sumber: Ginting, R 2007)
Universitas Sumatera Utara
8
Metode atau cara tertentu yang digunakan untuk melakukan proses tranformasi
terkait dalam pengertian produksi operasi. Kaitannya adalah penambahan atau
penciptaan kegunaan atau utilitas karena bentuk dan tempat membutuhkan faktor faktor produksi (Assauri, 2004). Kegiatan produksi yang dilakukan oleh perusahaan
harus memperhatikan setiap faktor produksi. Hal ini dilakukan agar perusahaan dapat
menentukan tingkat efisiensi dan produkfitas dari kegiatan produksi dari kegiatan
produksi dengan cara mengoptimalkan setiap penggunaan faktor produksi itu.
Faktor - faktor yang menentukan produksi suatu perusahaan antara lain adalah
sebagai berikut :
1. Tersedianya bahan dasar
2. Tersedianya kapasitas mesin yang dimiliki
3. Tersedianya tenaga kerja
4. Tersedianya faktor-faktor produksi yang lain
Faktor produksi juga tidak dapat terlepas dari fungsi produksi. Fungsi produksi
merupakan hubungan fisik antar jumlah input dengan jumlah output. Hubungan antara
input dan output ini dapat diformulasikan oleh sebuah fungsi produksi, yang dalam
bentuk matematis dapat ditulis :
Q = f(K, T, M, n)
Keterangan :
Q = output yang dihasilkan selama satu periode tertentu
K = Kapital
T = tenaga kerja
M = material
n = faktor-faktor produksi lainnya.
Dari input yang tersedia setiap perusahaan ingin memperoleh hasil maksimal
sesuai dengan tingkat teknologi tertinggi pada saat itu. Dengan tersedianya faktor
produksi maka suatu produksi dapat ditentukan dengan menggunakan pendekatan
program linier.
Universitas Sumatera Utara
9
2.1.1 Kombinasi Produksi Optimum
Pada dasarnya, tujuan utama suatu perusahaan didirikan adalah untuk melakukan
kegiatan produksi barang atau jasa guna memperoleh laba atau keuntungan
maksimum. Tujuan utama tersebut seringkali sulit dicapai oleh perusahaan karena
adanya keterbatasan dari ketersediaan faktor-faktor produksi (sumber daya) yang
dimiliki oleh perusahaan. Oleh karena itu pihak pengambil keputusan dalam suatu
perusahaan perlu mempertimbangkan kombinasi produksi optimum yang akan dicapai
dari penggunaan faktor-faktor produksi tersebut guna menghasilkan laba atau
keuntungan maksimum. Dalam rangka untuk menentukan kombinasi terbaik dari
setiap faktor produksi untuk menghasilkan output, produsen harus mengetahui jumlah
faktor produksi dan sumberdaya yang terbatas sehingga kombinasi output dapat
dilakukan
dan
menghasilkan
keuntungan.
yang
diharapkan
tetapi
harus
memperhatikan juga sumberdaya yang terbatas.
2.2 Optimalisasi
Optimalisasi
dapat
diartikan
sebagai
pencapaian
keluaran
tertentu
dengan
menggunakan masukan yang paling sedikit atau dengan kata lain proses yang secara
ekonomis paling efesien. Optimalisasi juga dapat diartikan sebagai pencapaian suatu
keadaan yang terbaik. Apabila dikaitkan dengan produksi, maka pengertian
optimalisasi produksi berarti pencapaian suatu keadaan terbaik dalam kegiatan
produksi.
Optimalisasi
produksi
diperlukan
perusahaan
dalam
rangka
mengoptimalkan sumber daya yang digunakan agar suatu produksi dapat
menghasilkan produk dalam kuantitas dan kualitas yang diharapkan, sehingga
perusahaan dapat mencapai tujuannya.
Secara umum persoalan optimalisasi meliputi optimalisasi tanpa kendala dan
optimalisasi dengan kendala. Dalam optimalisasi tanpa kendala, faktor-faktor yang
menjadi kendala terhadap fungsi tujuan diabaikan sehingga dalam menentukan nilai
maksimal dan minimal tidak terdapat batasan untuk berbagai pilihan yang tersedia.
Universitas Sumatera Utara
10
Pada optimalisasi dengan kendala, faktor-faktor yang menjadi kendala pada
fungsi tujuan diperhatikan dan turut menentukan titik maksimum dan minimum fungsi
tujuan. Menurut Supranto (1988), persoalan optimalisasi dengan kendala pada
dasarnya merupakan persoalan menentukan nilai variabel-variabel suatu fungsi
menjadi maksimum dan minimum dengan memperhatikan keterbatasan-keterbatasan
yang ada. Keterbatasan itu biasanya meliputi semua faktor-faktor produksi yang sudah
pasti memiliki kapasitas terbatas (tertentu) seperti tenaga kerja, modal, dan bahan
baku. Masalah optimalisasi dapat diselesaikan dengan menggunakan salah satu teknik
optimalisasi yaitu metode program linier. Metode program linier merupakan metode
yang digunakan untuk memecahkan masalah optimalisasi berkendala dimana semua
fungsi baik fungsi tujuan maupun fungsi kendala merupakan fungsi linier.
2.3 Program Linier
2.3.1 Pengertian Program Linier
Program linier yang diterjemahkan dari Linear Programming (LP) ditemukan dan
diperkenalkan pertamakali oleh George Dantzig yang berupa metode mencari solusi
masalah program linier dengan banyak variabel keputusan. Program linier adalah
salah satu teknik dari riset operasi untuk memecahkan persoalan optimisasi
(maksimisasi atau minimisasi) dengan menggunakan persamaan dan ketidaksamaan
linier dalam rangka untuk mencari pemecahan yang optimum dengan memperhatikan
pembatasan-pembatasan yang ada (Supranto, 1988).
Program linier merupakan salah satu teknik riset yang penggunaannya sangat
meluas dan dapat digunakan untuk beragam persoalan kegiatan produksi. Pada
kegiatan produksi, hal yang dihadapai adalah pengalokasian sumberdaya-sumberdaya
terbatas secara optimal. Masalah tersebut timbul apabila seseorang diharuskan untuk
memilih atau menentukan tingkat setiap kegiatan yang akan dilakukannya padahal
masing-masing kegiatan membutuhkan sumber yang sama sedangkan jumlahnya
terbatas diantara berbagai alternatif penggunaan sumberdaya-sumberdaya tersebut.
Universitas Sumatera Utara
11
Program linier digunakan sehingga berbagai tujuan yang telah ditetapkan yaitu
maksimasi laba atau minimisasi biaya dapat dicapai atau dioptimalkan.
Dalam memecahkan masalah program linier menggunakan model matematis.
Linier yang berarti bahwa semua fungsi-fungsi matematis yang disajikan dalam model
haruslah fungsi-fungsi linier. Disebut ”linier” dalam program linier berarti hubunganhubungan antara faktor adalah bersifat linier atau konstan, atau fungsi-fungsi
matematis yang disajikan dalam model haruslah fungsi-fungsi linier (Handoko,
Subagyo dan Asri, 2000). Hubungan-hubungan linier berarti bahwa apabila satu faktor
berubah maka suatu faktor lain juga berubah dan dengan jumlah yang konstan secara
proporsional.
Agar suatu persoalan dapat dipecahkan dengan teknik program linier harus memenuhi
syarat berikut:
1. Harus dapat dirumuskan secara matematis.
2. Memiliki kriteria tujuan (fungsi objektif) yang linier.
3. Sumber daya yang tersedia sifatnya terbatas.
4. Semua variabel dalam model memiliki hubungan matematis bersifat linier.
5. Koefisien model diketahui dengan pasti.
6. Bilangan yang digunakan dapat bernilai bulat atau pecahan.
7. Semua variabel keputusan harus bernilai non-negatif.
2.3.2 Kelebihan dan Kekurangan Program Linier
Sebagai alat kuantitatif untuk melakukan pemrograman, program linier mempunyai
beberapa kelebihan dan kekurangan. Kelebihan-kelebihan program linier yaitu :
1. Mudah dilaksanakan terutama jika menggunakan alat bantu komputer.
2. Dapat menggunakan banyak variabel sehingga berbagai kemungkinan untuk
memperoleh pemanfaatan sumberdaya yang optimal dapat dicapai.
3. Fungsi tujuan dapat difleksibelkan sesuai dengan tujuan penelitian atau
berdasarkan data yang tersedia.
Universitas Sumatera Utara
12
Kekurangan - kekurangan dari program linier yaitu :
1. Apabila alat bantu komputer tidak tersedia, maka program linier dengan
menggunakan banyak variabel akan menyulitkan analisisnya bahkan mungkin
tidak dapat dikerjakan secara manual. Metode ini tidak dapat digunakan secara
bebas dalam setiap kondisi, tetapi dibatasi oleh asumsi-asumsi.
2. Metode ini hanya dapat digunakan untuk satu tujuan misalnya hanya untuk
maksimisasi keuntungan atau minimisasi biaya.
2.3.3 Asumsi dalam Model Program Linier
Agar program linier dapat diterapkan, asumsi-asumsi dasar berikut ini harus ditepati :
1. Fungsi tujuan dan persamaan setiap batasan harus linier. Hal ini mencakup
pengertian bahwa perubahan nilai-nilai dan penggunaan sumberdaya terjadi
secara proporsional dengan perubahan tingkat kegiatan.
2. Parameter-parameter harus diketahui atau dapat diperkirakan dengan pasti.
3. Variabel-variabel keputusan harus dapat dibagi. Hal ini berarti bahwa suatu
penyelesaian feasible dapat berupa bilangan pecahan.
Dalam menggunakan model program linier diperlukan beberapa asumsi, untuk
memudahkan perumusan model tanpa mengurangi kedekatannya dengan keadaan
nyata atau sebenarnya. Asumsi-asumsi yang digunakan sebagai berikut (Handoko,
Subagyo dan Asri, 2000) :
1. Asumsi Kesebandingan (Proportionality)
Asumsi ini berarti bahwa naik turunnya nilai
(Nilai Tujuan) dan penggunaan
sumber atau fasilitas yang tersedia akan berubah secara sebanding
(proportional) dengan perubahan tingkat kegiatan.
a.
Setiap penambahan 1 unit
penambahan 1 unit
akan menaikkan Z dengan
akan menaikkan nilai Z dengan
. Setiap
, dan seterusnya.
b.
Setiap pertambahan 1 unit
fasilitas 1 dengan
akan menaikkan penggunaan sumber atau
. Setiap pertambahan 1 unit
akan menaikkan
Universitas Sumatera Utara
13
penggunaan sumber atau fasilitas 1 dengan
, dan seterusnya. Dengan kata
lain, setiap ada kenaikan kapasitas rill tidak perlu ada biaya persiapan (set up
cost).
2. Asumsi Penambahan (Additivity)
Asumsi ini berarti bahwa nilai tujuan tiap kegiatan tidak saling mempengaruhi,
atau dalam program linier dianggap bahwa kenaikan dari nilai tujuan ( ) yang
diakibatkan oleh kenaikan suatu kegiatan dapat ditambahkan tanpa
mempengaruhi bagian nilai Z yang diperoleh dari kegiatan lain.
3. Asumsi Pembagian (Divisibility)
Asumsi ini menyatakan bahwa peubah - peubah pengambilan keputusan ( )
jika diperlukan dapat dibagi ke dalam nilai - nilai
tidak perlu integer (hanya
0 dan 1 atau bilangan bulat), tetapi boleh non integer (pecahan – pecahan).
Asumsi ini menyatakan bahwa keluaran (output) yang dihasilkan oleh setiap
kegiatan dapat berupa bilangan pecahan. Demikian pula dengan nilai
yang
dihasilkan.
4. Asumsi Kepastian (Deterministic / Certainty)
Asumsi ini menyatakan bahwa semua parameter yang terdapat dalam model
program linier (
,
,
) tetap, dapat diketahui, dan dapat diperkirakan
secara pasti, meskipun jarang dengan tepat.
Persoalan dalam program linier berusaha untuk mencari pemecahan optimal di
dalam batasan sumberdaya yang ada pada suatu perusahaan. Sebuah perusahaan yang
cukup besar akan berhadapan dengan batasan, baik berupa batasan dari input tertentu,
batasan kapasitas, batasan berupa modal, jam kerja mesin, tenaga kerja, dan lain
sebagainya.
Universitas Sumatera Utara
14
2.3.4 Fungsi dalam Program Linier
Pada program linier terdapat dua macam fungsi, antara lain :
1. Fungsi Tujuan (Objective Function)
Fungsi tujuan dalah fungsi yang menggambarkan tujuan atau sasaran di dalam
permasalahan program linier yang berkaitan dengan pengaturan secara optimal
sumberdaya-sumberdaya untuk memperoleh keuntungan maksimal atau biaya
minimal.
2. Fungsi Pembatas (Constraint Function)
Fungsi batasan merupakan bentuk penyajian secara matematis batasan-batasan
kapasitas yang tersedia yang akan dialokasikan secara optimal ke berbagai
kegiatan.
2.3.5 Formulasi Matematika Program Linier
Secara matematika, persoalan program linier ini dapat diformulasikan sebagai berikut:
1. Memaksimumkan / meminimumkan fungsi tujuan :
∑
2. Dengan fungsi-fungsi pembatas linier :
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Dapat disederhanakan menjadi :
∑
Universitas Sumatera Utara
15
Keterangan :
Z
= Fungsi tujuan.
= variabel keputusan atau kegiatan ke-j.
= Nilai kontribusi dari variabel keputusan j.
= koefisien teknis dalam kendala ke-m pada aktivitas ke-i.
= sumberdaya yang terbatas / konstanta dari kendala ke-i.
3. Dengan pembatas non-negatif
, untuk j = 1, 2, 3, …, n
untuk i = 1, 2, 3, …, m
4.
,
,
adalah konstanta yang diketahui harganya.
Dapat pula persamaan atau ketidaksamaan linier ini dinyatakan sebagai
perkalian matriks A ( m x r ) dengan matriks kolom X ( r x l ) yang hasilnya adalah
suatu kolom B ( m x l ).
[
]
[
]
[
]
Sebelum model program linier ini digunakan, maka satu hal yang perlu diperhatikan
adalah masalah kelinieran fungsi-fungsi tujuan dan fungsi pembatas yang digunakan.
Secara umum, kelinieran dapat digolongkan ke dalam dua sifat, yaitu :
1. Sifat menambahkan
Contohnya adalah bila untuk membuat produk 1 pada mesin A diperlukan
waktu
jam dan untuk membuat produk 2 pada mesin A diperlukan waktu
jam, maka untuk membuat produk 1 dan 2 pada mesin A diperlukan waktu (
+
) jam.
2. Sifat Mengalikan
Contohnya adalah bila untuk membuat 1 buah produk pada mesin A diperlukan
waktu 1 jam, maka untuk membuat 10 buah produk diperlukan waktu 10 jam.
Universitas Sumatera Utara
16
Karena model program linier disajikan dalam berbagai variasi, yaitu fungsi
tujuan yang dapat berupa maksimisasi atau minimimasi, dan fungsi-fungsi pembatas
yang dapat berbentuk
dan / atau
, maka perlu diadakan pengenalan terhadap
sifat-sifat dari setiap bentuk-bentuk model program linier. Dengan mengenali sifat
dari bentuk tersebut untuk memudahkan dalam penyelesaian selanjutnya. Untuk
tujuan ini akan dikemukakan 2 bentuk :
1. Bentuk Standard
Bentuk ini biasanya digunakan untuk menyelesaikan masalah program linier
secara langsung. Karakteristik bentuk ini adalah :
a. Semua fungsi pembatas berbentuk persamaan, kecuali pembatas non
negatif bertanda ≥ 0.
b. Ruas kanan setiap fungsi pembatas adalah non-negatif.
c. Semua variabel adalah non-negatif.
d. Fungsi tujuan dapat berupa maksimisasi atau minimisasi.
Untuk melakukan perubahan ke dalam bentuk standard, ada beberapa transformasi
dasar yang harus dilakukan dan akan diuraikan sebagai berikut :
a. Minimasi suatu fungsi
secara sistematis adalah ekivalen dengan
maksimisasi daripada negatif fungsi tersebut Contoh : Minimasi
.
adalah ekivalen dengan
Maksimasi
b. Suatu bentuk ketidaksamaan ≤ atau ≥ dapat diubah kedalam bentuk
ketidaksamaan dengan arah berlawanan dengan mengalikan -1.
Contoh :
, ekivalen dengan
c. Suatu bentuk persamaan dapat diubah menjadi 2 buah ketidaksamaan dengan
arah berlawanan.
Contoh :
ekivalen dengan
0
d. Suatu bentuk ketidaksamaan dengan ruas kiri adalah absolute, dapat diubah
menjadi 2 buah ketidaksamaan.
Universitas Sumatera Utara
17
|
Contoh :|
|
|
e. Suatu variabel yang tidak diketahui tandanya (bisa positif, nol atau negatif)
adalah ekivalen dengan selisih antara 2 variabel non – negatif.
Contoh :
tidak diketahui tandanya, maka
sebagai
dapat dinyatakan
adalah
Bentuk standard ini sangat berkaitan dengan penyelesaian persoalan program
linier dengan menggunakan metode simpleks. Karena setiap persoalan program
linier yang akan dipecahkan dengan menggunakan metode simpleks harus terlebih
dahulu ke dalam bentuk standard.
Di samping kelima bentuk transformasi dasar yang telah diuraikan di atas
diperlukan pula pengertian variabel Slack, Surplus, dan Artificial. Variabelvariabel ini berfungsi untuk merubah ketidaksamaan dengan fungsi pembatas
menjadi bentuk persamaan (bentuk standard) tanpa mempengaruhi fungsi
tujuannya.
2. Bentuk Kanonik
Secara umum model program linier dalam bentuk kanonik dapat dinyatakan
sebagai berikut :
Maksimasi :
∑
Fungsi Pembatas / Kendala :
∑
untuk j = 1, 2, 3, …, n
Universitas Sumatera Utara
18
Karakteristik dari bentuk ini adalah :
a. Semua variabel adalah non-negatif.
b. Semua fungsi pembatas bertanda ≤.
c. Fungsi tujuan adalah maksimasi.
Bentuk ini khususnya digunakan untuk menyelesaikan masalah program linier
dengan teori dualitas.
2.3.6 Variabel Slack dan Surplus
Fungsi Pembatas dalam bentuk
dapat dirubah ke dalam persamaan dengan
menambahkan variabel baru non-negatif di ruas kiri pertidaksamaan sedemikian
hingga variabel baru tersebut secara numerik sama dengan selisih diantara ruas kanan
dan ruas kiri pertidaksamaan. Misalnya diketahui pada persoalan program linier
bahwa salah satu fungsi pembatas ke h adalah ∑
ditentukan suatu variabel
∑
.
. Selanjutnya akan
dimana memenuhi hubungan
ini disebut variabel slack karena
dapat dianggap sebagai
batas maksimum daripada sumber yang tersedia, sedangkan ∑
adalah
pemakaian yang sebenarnya daripada sumber tersebut. Perbedaan antara sumber yang
tersedia dan yang dipakai ini adalah slack. Persamaan tersebut dapat ditulis
:∑
. Jadi dengan menambahkan variabel slack
, maka
bentuk ketidaksamaan pada fungsi pembatas ke h dapat dirubah menjadi bentuk
persamaan.
Selanjutnya akan dilihat suatu bentuk ketidaksamaan dengan tanda
.
Misalnya diketahui pada suatu persoalan program linier, bahwa salah satu fungsi
pembatas ke k adalah ∑
. Kemudian tentukan suatu variabel tertentu
, dimana memenuhi hubungan
variabel surplus karena
yang harus dibuat dan ∑
∑
ini disebut
dapat dianggap sebagai salah satu jumlah minimum produk
adalah jumlah produk yang sebenarnya dibuat.
Perbedaan antara jumlah produk yang sebenarnya dibuat dengan yang seharusnya
dibuat adalah surplus, persamaan tersebut dapat ditulis : ∑
.
Universitas Sumatera Utara
19
2.3.7 Variabel Artificial
Untuk dapat memecahkan persoalan program linier dengan menggunakan metode
simpleks harus ada 1 variabel - variabel basis dalam fungsi-fungsi pembatas untuk
memperoleh solusi basis awal yang feasible. Untuk fungsi-fungsi pembatas dengan
tanda
, maka variabel basis dapat diperoleh dengan menambah variabel slack. Tetapi
bila fungsi pembatas mempunyai bentuk ketidaksamaan dengan tanda
, maka
variabel slack yang bersangkutan bertanda “ negatif ”.
Misalnya :
diubah menjadi bentuk persamaan :
Demikian pula bila fungsi pembatas berbentuk persamaan, maka tidak selalu dapat
diperoleh variabel basis.
Untuk mengatasi kesulitan memperoleh variabel basis tersebut, dapat
ditambahkan suatu variabel khayal, yang disebut variabel artifical. Variabel artificial
ini mempunyai suatu koefisien fungsi tujuan yang sangat besar. Harga koefisien ini
dapat positif maupun negatif, tergantung pada sifat fungsi tujuannya maksimisasi atau
minimisasi. Bila dinyatakan dengan notasi, maka koefisien variabel artifical pada
fungsi tujuan adalah :
untuk maksimisasi.
untuk minimisasi.
M adalah bilangan positif sangat besar, dan
variabel artifical
adalah koefisien fungsi tujuan untuk
.
2.3.8 Metode Simpleks
Persoalan program linier yang dipecahkan dengan menggunakan metode simpleks
haruslah persoalan yang telah diubah kedalam bentuk standard dan mempunyai
variabel basis, baik sebagai variabel slack ataupun variabel artificial .
Universitas Sumatera Utara
20
Dalam bentuk matematis, persolan program linier ini dapat dinyatakan sebagai
berikut:
1. Fungsi Tujuan
Maksimisasi / minimisasi
:
∑
2. Fungsi Pembatas
Untuk lebih jelasnya, maka fungsi pembatas akan diuraikan/dijelaskan dalam
bentuk perkalian matriks. Fungsi pembatas dalam bentuk perkalian matriks
adalah :
Keterangan :
[
]
[
]
[
]
= Koefisien fungsi tujuan untuk variabel ke-j
= Koefisien fungsi tujuan pembatas ke-i untuk variabel ke-j
m
= Jumlah fungsi pembatas
r
= Jumlah variabel asli
= Harga ruas kanan fungsi pembatas ke-i dan
[
]
Matriks Satuan
Selanjutnya akan dijelaskan prosedur iterasi metode simpleks untuk memperoleh
solusi optimal yang feasible. Untuk memudahkan dalam penjelasan ini, maka
digunakan tabel iterasi simpleks.
Universitas Sumatera Utara
21
Tabel 2.1 Iterasi Simpleks
.
.
.
.
.
.
Keterangan :
= Variabel basis untuk fungsi pembatas ke-i
= Koefisien fungsi tujuan variabel ke
= Variabel-variabel asli
= Variabel-variabel basis awal
∑
Untuk melakukan iterasi metode simpleks ini, ada 3 langkah yang perlu dilakukan,
yaitu :
1. Mencari variabel
yang akan menjadi variabel basis yang baru.
2. Mencari variabel basis yang lama
yang akan diganti.
3. Menyusun tabel baru dengan menghitung harga
dan
yang baru.
Universitas Sumatera Utara
22
Ketiga langkah tersebut akan dijelaskan sebagai berikut :
1. Mencari variabel
yang akan menjadi variabel basis yang baru, dengan cara :
a. Menghitung harga
untuk j = 1, 2 , … , r + m
b. Jika ada satu atau lebih harga
, maka variabel dengan harga
negatif terbesar adalah sebagai variabel basis yang terbaru.
c. Bila semua harga
, maka iterasi telah mencapai kondisi optimal
dan perhitungan dihentikan sampai disini.
d. Bila
untuk setiap i = 1, … ,m
adalah negatif terbesar, dan
maka solusi yang diperoleh adalah unbounded. Apabila
untuk
paling sedikit harga 1, maka iterasi dilanjutkan dengan terlebih dahulu
mencari variabel basis lama yang akan digantikan oleh variabel basis baru
(
).
2. Mencari variabel basis lama yang akan digantikan oleh variabel basis baru (
a. Hitung harga
).
, i = 1, 2,...,m
b. Varibel basis lama yang akan digantikan adalah variabel basis dengan
harga
positif terkecil (misalkan
= 1).
3. Menyusun tabel simpleks yang baru dengan
menggantikan
adalah variabel basis baru yang
. Transformasi yang akan dilakukan adalah :
a.
b.
c.
Ketiga langkah ini diulang terus untuk setiap iterasi sampai diperoleh harga
semuanya positif untuk j = 1,2, … , r + m yang berarti bahwa solusi yang diperoleh
telah optimum yaitu fungsi tujuan adalah maksimum.
Contoh penggunaan metode simpleks:
Maksimum
Kendala :
Universitas Sumatera Utara
23
Penyelesaian:
Ubah kedalam bentuk Standar :
Maksimum
Kendala :
Iterasi 0
Basis / C
3
5
4
0
0
0
B
0
1
2
3
1
0
0
10
0
2
3
1
0
1
0
16
0
3
2
1
0
0
1
20
-3
-5
-4
0
0
01
0
Keterangan :
: -5 adalah yang paling minimum, maka
Pada baris
masuk dalam
basis.
{
}
Baris pivot adalah baris
Baris
yang baru adalah baris
Baris
yang baru adalah baris
dikalikan .
Universitas Sumatera Utara
24
Iterasi 1
Basis / C
3
5
4
0
0
0
B
5
0,5
1
1,5
0,5
0
0
5
0
0,5
0
-3,5
-1,5
1
0
1
0
2
0
-2
-1
0
1
10
-0,5
0
3,5
2,5
0
0
25
Keterangan :
: -0,5 adalah yang paling minimum, maka
Pada baris
masuk dalam
basis.
}
{
Baris pivot adalah baris
Baris
yang baru adalah baris
Baris
yang baru adalah baris
dikalikan .
Iterasi 2
Basis / C
3
5
4
0
0
0
B
Karena baris
5
0
1
5
2
-1
0
4
3
1
0
-7
-3
2
0
2
0
0
0
12
5
-4
1
6
0
0
4
1
1
0
26
, maka perosoalan telah optimal dengan :
Untuk
Universitas Sumatera Utara
25
2.4 Teori Dualitas
Teori Dualitas merupakan salah satu konsep program linier yang penting dan menarik
ditinjau dari segi teori dan praktisnya. Ide dasar yang melatarbelakangi teori ini adalah
bahwa setiap persoalan program linier mempunyai suatu program linier lain yang
saling berkaitan yang disebut dual, sedemikian sehingga solusi pada persoalan semula
(yang disebut primal) juga member solusi pada dualnya.
2.4.1 Analisis Primal
Dalam program linier, masalah yang dikemukakan mula-mula disebut sebagai
masalah primal. Solusi optimal masalah primal ini menunjukkan nilai dari variabelvariabel keputusan yang memaksimumkan atau meminimumkan nilai dari fungsi
tujuan. Analisis primal digunakan untuk mengetahui dan menentukan kombinasi
produksi terbaik yang dapat menghasilkan tujuan dengan keterbatasan sumberdaya
yang ada. Maka dari itu, akan diperoleh diperoleh berapa jumlah setiap variabel
keputusan (
) yang akan diproduksi dan dapat memaksimumkan nilai fungsi tujuan
( ) dengan dihadapkan pada sumberdaya yang ada. Hasil analisis primal akan
dibandingkan dengan tingkat kombinasi produk aktual perusahaan, sehingga dapat
diketahui apakah perusahaan sudah melakukan kombinasi produk pada tingkat yang
optimal (Taha, 1996).
2.4.2 Analisis Dual
Analisis dual dilakukan unuk mengetahui penilaian terhadap sumberdaya dengan
melihat kekurangan (slack) atau kelebihan (surplus) dan nilai dualnya. Slack atau
surplus digunakan untuk menandai sisa atau kelebihan kapasitas yang akan terjadi
pada variabel optimal. Variabel slack ( ) akan berkaitan dengan batasan dan
mewakili jumlah kelebihan ruas kanan dari batasan tersebut dibandingkan ruas kiri.
Variabel surplus diidentifikasikan dengan batasan ( ) dan mewakili kelebihan ruas
kiri dibandingkan ruas kanan. Nilai dual price menunjukkan perubahan yang akan
Universitas Sumatera Utara
26
terjadi pada fungsi tujuan apabila sumberdaya berubah sebesar satu satuan. Jika
sumberdaya yang digunakan memiliki nilai slack atau surplus yang sama dengan nol
dan nilai dual nya lebih besar dari nol menunjukkan bahwa seluruh kapasitas pada
kendala dipergunakan semua atau sumberdaya tersebut merupakan sumberdaya
langka atau kendala aktif yang membatasi nilai tujuan. Sedangkan jika sumberdaya
yang digunakan memiliki nilai slack atau surplus lebih besar nol dan nilai dualnya
sama dengan nol, berarti sumberdaya tersebut merupakan sumberdaya yang lebih.
Kendala tersebut termasuk ke dalam kendala tidak aktif, yaitu kendala yang tidak
habis terpakai dalam proses produksi dan tidak akan mempengaruhi fungsi tujuan jika
terjadi penambahan sebesar satu satuan. Nilai dual juga dapat dilihat berdasarkan
harga bayangan (shadow price) yaitu batas harga tertinggi suatu sumberdaya yang
membuat perusahaan masih dapat melakukan pembelian (Taha, 1996).
2.4.3 Model Umum Persoalan Primal dan Dual
Bentuk Primal :
Maksimukan
Kendala:
:
∑
∑
Bentuk Dual :
Minimumkan
Kendala:
:
∑
∑
Universitas Sumatera Utara
27
∑
Dinyatakan bahwa
∑
adalah sama dengan
Contoh:
Bentuk Primal
Maksimumkan
:
Kendala
:
Bentuk Dual
Minimumkan
:
Kendala
:
2.4.4 Hubungan Antara Primal Dual
Setiap permasalahan dalam program linier terdiri atas dua bentuk. Bentuk pertama
atau asli dinamakan primal, sementara bentuk kedua yang berhubungan dinamakan
dual, sehingga suatu solusi terhadap program linier yang asli juga memberikan solusi
pada bentuk dualnya.
Hubungan antara model program linier primal dan dual bersifat konversi.
Hubungan antara program linier primal dan dual dapat dilihat pada tabel berikut:
Tabel 2.2 Hubungan antara Program Linier Primal dan Dual
No.
Item
1
Fungsi tujuan
Model
Primal
Dual
Memaksimalkan
Meminimalkan
Meminimalkan
Memaksimalkan
Universitas Sumatera Utara
28
2
Jumlah variabel
Jumlah variabel keputusan ( )
3
Jumlah kendala
Jumlah kendala model
Jumlah kendala model
Jumlah variabel
4
5
6
7
Koefisien fungsi
tujuan
Sumber daya
tersedia
Koefisien Matrik
Nilai kontribusi fungsi tujuan
Nilai ruas kanan kendala
Koefisien teknologi
keputusan ( )
Nilai ruas kanan kendala
Nilai kontribusi fungsi
tujuan
Koefisien teknologi yang
diubah
Tanda
ketidaksamaan
Hubungan antara primal dengan dual sebagai berikut :
1. Koefisien fungsi tujuan primal menjadi konstanta ruas kanan bagi dual,
sedangkan konstanta ruas kanan primal menjadi koefisien fungsi tujuan dual.
2. Untuk setiap pembatas primal ada satu variabel dual, dan untuk setiap variabel
primal ada satu pembatas dual.
3. Tanda ketidaksamaan pada pembatas akan bergantung pada fungsi tujuannya.
4. Fungsi tujuan berubah bentuk (maksimasi menjadi minimasi dan sebaliknya).
5. Setiap kolom pada primal berkorespondensi dengan baris (pembatas) pada
dual.
6. Setiap baris (pembatas) pada primal berkorespondensi dengan kolom pada
dual.
7. Dual dari dual adalah primal.
Universitas Sumatera Utara
29
2.5 Analisis Sensitivitas
Analisis sensitivitas terdiri atas dua tipe, yaitu analisis perubahan nilai koefisien dari
fungsi tujuan dan analisis ruas kanan dari fungsi tujuan (Right Hand Side). Analisis
perubahan koefisien fungsi tujuan dilakukan untuk mengetahui efek perubahan tanpa
mengubah solusi optimal dengan parameter lain dipertahankan konstan. Tujuan dari
analisis Right Hand Side (RHS) adalah untuk menentukan berapa banyak nilai ruas
kanan dari fungsi kendala ( ) dapat ditingkatkan atau diturunkan tanpa mengubah
nilai shadow price-nya dengan parameter lain dipertahankan konstan.
Analisis sensitivitas berguna untuk mengetahui seberapa jauh solusi optimal
awal tidak akan berubah jika terjadi perubahan pada harga jual setiap produk, biaya
per satuan produk, dan ketersediaan sumberdaya yang dimiliki. Apabila perubahanperubahan yang terjadi masih dalam selang yang diperbolehkan, maka solusi optimal
awal tidak akan berubah. Selang dalam program linier terdiri atas batas penurunan
(allowable decrease) dan batas peningkatan (allowable increase). Batas penurunan
memperlihatkan besarnya nilai penurunan parameter fungsi tujuan atau nilai
penurunan ketersediaan sumberdaya yang tidak mengubah solusi optimal awal. Batas
atas memperlihatkan nilai peningkatan yang tidak akan mengubah solusi optimal
awal. Solusi awal akan berubah apabila perubahan yang terjadi di luar selang
perubahan yang diperbolehkan (Taha, 1996).
2.6 LINDO (Linear Interactive Discrete Optimizer)
Seperti yang telah dibahas sebelumnya, apabila alat bantu komputer tidak tersedia,
maka program linier dengan menggunakan banyak variabel akan menyulitkan
analisisnya bahkan mungkin tidak dapat dikerjakan secara manual. LINDO (Linear
Interaktive Discrete Optimizer) adalah software yang dapat digunakan untuk mencari
penyelesaian dari masalah pemrograman linier. Dengan menggunakan software ini
memungkinkan perhitungan masalah pemrograman linier dengan n variabel.
Universitas Sumatera Utara
30
Prinsip kerja utama LINDO adalah memasukkan data, menyelesaikan, serta
menaksirkan kebenaran dan kelayakan data berdasarkan penyelesaiannya. Menurut
Linus Scharge (1991), Perhitungan yang digunakan pada LINDO pada dasarnya
menggunakan metode simpleks.
Untuk menentukan nilai optimal dengan menggunakan LINDO diperlukan
beberapa tahapan yaitu:
1. Menentukan model matematika (program linier).
2. Menentukan formulasi program untuk LINDO.
3. Membaca hasil report yang dihasilkan oleh LINDO.
Perintah yang biasa digunakan untuk menjalankan program LINDO adalah:
1.
MAX :digunakan untuk memulai data dalam masalah maksimasi.
2.
MIN : digunakan untuk memulai data dalam masalah minimasi.
3.
END : digunakan untuk mengakhiri data.
4.
GO
5.
LOOK: digunakan untuk mencetak bagian yang dipilih dari data yang ada.
6.
GIN
7.
INTE : digunakan untuk menentukan solusi dari masalah biner.
8.
INT
9.
SUB : digunakan untuk membatasi nilai maksimumnya.
: digunakan untuk pemecahan dan penyelesaian masalah.
: digunakan untuk variabel keputusan agar bernilai bulat.
: sama dengan INTE.
10. SLB : digunakan untuk membatasi nilai minimumnya.
11. FREE : digunakan agar solusinya berupa bilangan real.
Kegunaan utama dari LINDO adalah untuk mencari penyelesaian dari masalah
linier dengan cepat dengan memasukkan data yang berupa rumusan dalam bentuk
linier. LINDO memberikan banyak manfaat dan kemudahan dalam memecahkan
masalah optimasi.
Universitas Sumatera Utara
31
Berikut ini cara memulai menggunakan program LINDO adalah dengan
membuka file LINDO kemudian klik dua kali pada LINDO, tunggu sampai muncul
dialog lalu klik OK, LINDO siap untuk dioperasikan.
Pada layar akan muncul untitled baru yang siap untuk tempat mengetikkan formulasi.
Gambar 2.2 Tampilan LINDO
Model LINDO minimal memiliki tiga syarat:
1. Memerlukan fungsi objektif
2. Variabel
3. Batasan (fungsi kendala)
Cara menggunakan LINDO dijabarkan sebagai berikut:
1. Untuk syarat pertama adalah fungsi objektif, bisa juga dikatakan fungsi tujuan.
Tujuan disini memiliki dua jenis tujuan yaitu maksimasi (MAX) dan minimasi
(MIN). Kata pertama untuk mengawali pengetikan formula pada LINDO
adalah MAX atau MIN. Formula yang diketikan ke dalam untitled (papan
editor pada LINDO) setelah MAX atau MIN disebut fungsi tujuan.
Misalkan Fungsi tujuan model matematika,
Min / Maks
Maka diketikkan ke dalam untitled menjadi:
MIN
, atau MAX
2. Untuk syarat kedua adalah variabel. Variabel ini sangat penting, LINDO tidak
dapat dijalankan tanpa memasukkan variabel dalam formula.
3. Untuk syarat ketiga setelah fungsi objektif dan variabel selanjutnya adalah
batasan.
Universitas Sumatera Utara
32
Dalam kenyataannya variabel tersebut pasti memiliki batasan, batasan itu
misalnya keterbatasan bahan, waktu, jumlah pekerja, biaya operasional.
Setelah fungsi objektif diketikkan selanjutnya diketikkan Subject to atau ST
untuk mengawali pengetikan batasan dan pada baris berikutnya baru
diketikkan batasan yang ada di akhir batasan akhiri dengan kata END. Secara
umum dapat dituliskan sebagai berikut:
untuk pengetikkan fungsi kendala ke dalam untitled adalah sebagai berikut.
SUBJECT TO
END
4. Setelah formula diketikkan siap dicari solusinya dengan memilih perintah
solve atau mengklik tombol solve pada toolbar. LINDO akan mengkompil
(mengoreksi kesalahan) pada formula terlebih dahulu. Jika terjadi kesalahan
dalam pengetikan (tidak dapat dibaca oleh komputer) akan muncul kotak
dialog dan kursor akan menunjukkan pada baris yang salah.
Universitas Sumatera Utara
33
Gambar 2.3 Menu Solve
Menu solve digunakan untuk menampilkan hasil secara lengkap dengan
beberapa pilihan berikut:
a. Solve-Solve, digunakan untuk menampilkan hasil optimasi dari data
pada papan editor dan secara lengkap. Pada tampilan hasil
mencangkup nilai variabel keputusan serta nilai dual price-nya.
b. Solve-Compile Model, digunakan untuk mengecek apakah struktur
penyusunan data pada papan editor data sudah benar. Jika penulisannya
tidak benar, maka akan ditampilkan pada baris ke-berapa kesalahan
tersebut terdapat. Jika tidak ada kesalahan, maka proses dapat
dilanjutkan untuk mencari jawaban yang optimal.
c. Solve Privot, digunakan untuk menampilkan nilai slack.
d. Solve Debug, digunakan untuk mempersempit permasalahan serta
mencari pada bagian mana yang mengakibatkan solusi tidak optimal,
selanjudnya ada pertanyaan untuk menentukan tingkat kesensitifitasan
solusi.
5. Report juga tersedia pada LINDO.
Universitas Sumatera Utara
34
Gambar 2.4 Tampilan perintah Report LINDO
Dalam menu report terdapat beberapa pilihan sebagai berikut:
a. Report Solution, digunakan untuk mendapatkan solusi optimal dari
permasalahan program linier yang tersaji pada papan editor data.
b. Report Range, digunakan untuk menayangkan hasil penyelesaian
analisis sensivitas. Pada analisis sensivitas yang ditayangkan mencakup
aspek Allowable Increase dan Allowable Decrease.
c. Report Parametrics, digunakan untuk mengubah dan menampilkan
hasil hanya pada baris kendala tertentu saja.
d. Report Statistics, digunakan untuk mendapatkan laporan kecil pada
papan editor report.
e. Report Peruse, digunakan untuk menampilkan sebagian dari model
atau jawaban.
f. Report Picture, digunakan untuk menampilkan (display) model dalam
bentuk matriks.
g. Report Basis Picture, digunakan untuk menampilkan text format dari
nilai basis, dan disajikan sesuai urutan baris dan kolom.
h. Report Table, digunakan untuk menampilkan tabel simplek dari model
yang ada.
i. Report Formulation, digunakan untuk menampilkan model pada papan
editor data ke papan editor report.
Universitas Sumatera Utara
35
j. Report Show Coloum, digunakan untuk menampilkan koefisien
peubah.
6. Untuk menyimpan file, arahkan kursor pada papan editor yang diaktifkan.
Menu menyimpan file ada dua macam yakni File Save, dan File Save.
Universitas Sumatera Utara