Slide TSP202 AnalisisStruktur TSP 202 P1

a home base to excellence
Mata Kuliah
Kode
SKS

: Analisis Struktur
: TSP – 202
: 3 SKS

Prinsip Dasar Metode Energi
Pertemuan - 1

a home base to excellence
• TIU :
•

Mahasiswa dapat menghitung perpindahan/deformasi struktur

• TIK :
•

Mahasiswa dapat menjelaskan prinsip kerja dan Energi dalam perhitungan deformasi
struktur

a home base to excellence
• Sub Pokok Bahasan :
• Lendutan
• Kerja dan Energi
• Prinsip Konservasi Energi
• Text Book :
•
•

Hibbeler, R.C. (2010). Structural Analysis. 8th
edition. Prentice Hall. ISBN : 978-0-13-257053-4
West, H.H., (2002). Fundamentals of Structural
Analysis. John Wiley & Sons, Inc. ISBN : 9780471355564

a home base to excellence
Deflections
• Deflections of structures can occur from

various sources, such as loads, temperature,
fabrication errors, or settlement.
• In design, deflections must be limited in order
to provide integrity and stability of roofs, and
prevent cracking of attached brittle materials
such as concrete, plaster or glass.

a home base to excellence
• Before the slope or displacement of a point
on a beam or frame is determined, it is often
helpful to sketch the deflected shape of the
structure when it is loaded in order to
partially check the results.
• This deflection diagram represents the elastic
curve of points which defines the displaced
position of the centroid of the cross section
along the members.

a home base to excellence

a home base to excellence

a home base to excellence
• Kerja
Prinsip Konservasi Energi (conservation of energy principle) :
Kerja akibat seluruh gaya luar yang bekerja pada sebuah struktur
(external forces) Ue, menyebabkan terjadinya gaya-gaya dalam pada
struktur (internal work or strain energy) Ui seiring dengan deformasi
yang terjadi pada struktur.
(1)

Apabila tegangan yang terjadi tidak melebihi batas elastis material
struktur tersebut, elastic strain energy akan mengembalikan bentuk
struktur ke tahap awal sebelum terjadinya pembebanan, jika gayagaya luar yang bekerja dihilangkan.

a home base to excellence
Gaya Axial luar yang bekerja pada struktur (external workforce)
Ketika sebuah gaya F mengakibatkan perpindahan sebesar dx ke arah
yang sama dengan arah gaya F tersebut, maka kerja yang dilakukan
adalah dUe = F dx.

Jika total perpindahan adalah x, maka persamaan berubah menjadi :
�� =

�

0

��

(2)

a home base to excellence
Perhatikan gambar 1.1 berikut

Gambar 1.1

Gaya axial F bekerja pada ujung dari sebuah bar. Besar magnitude gaya F
meningkat secara perlahan dari 0 hingga P, yang mengakibatkan bar mengalami
perpanjangan sebesar ∆. Subsitusikan persamaan gaya tersebut kedalam
persamaan 2 , dan intergrasikan mulai dari 0 hingga ∆ maka akan kita dapatkan :

�� =

�∆

(3)

a home base to excellence
Gaya Momen luar yang bekerja pada struktur (external work-Moment)
Gaya momen didefinisikan sebagai produk dari besaran Momen M dan sudut
dq sesuai arah putarannya, sehingga dUe = M d�
Gambar 1.3

jika total besar sudut putaran adalah sebesar � radian, maka persamaan
kerja menjadi
(5)

dan seperti halnya dengan gaya axial, apabila magnitude momen diperbesar
mulai nol hingga M, maka dengan mengintegralkan persamaan 5 tersebut
akan didapat:
(6)

a home base to excellence
Energi Regangan akibat axial force (strain Energy – Axial force)

Gaya N yang bekerja pada sebuah Bar seperti yang terlihat pada
Gambar 1.4, dikonversikan menjadi strain energy yang
menyebabkan pertambahan panjang pada bar sebesar ∆ dan
timbulnya tegangan �. Jika diasumsikan bahwa material bar
adalah linearly elastic, maka berlaku Hooke’s Law : � = �.
Apabila Bar mempunyai luas area yang sama sepanjang bar
sebesar A dan panjang L, maka persamaan defleksi dapat
dituliskan menjadi:
Gambar 1.4

(7)

Subsitusikan persamaan 7 ke dalam persamaan 3 dengan mengganti
P = N, maka didapat :
(8)

a home base to excellence
Energi Regangan akibat Bending(strain Energy – Bending)

Gambar 1.5

Seperti sudah dipelajari dalam mata kuliah Mekanika Bahan, bahwa
persamaan rotasi pada balok adalah �� =
/ � ��. Berdasarkan
konsekuensi prinsip energi, maka dengan menggunakan persamaan 6,
dapat dihasilkan:
(9)

Total strain energy pada balok bisa didapat dengan mengintegrasikan
persamaan ini terhadap seluruh panjang Balok L, sehingga didapat
(10)

a home base to excellence

External Work, Ue
Axial Force

Bending Moment

�∆

�

Internal Work, Ui
2

�

2 ��

�

a home base to excellence
Castigliano Theorem
• Italian engineer Alberto Castigliano (1847 –
1884)
developed

a
method
of
determining deflection of structures by
strain energy method.
• His Theorem of the Derivatives of Internal Work
of Deformation extended its application to the
calculation
of
relative
rotations
and
displacements between points in the structure
and to the study of beams in flexure.

a home base to excellence
Castiglia o’s Theore for Bea Deflectio
• For linearly elastic structures, the partial
derivative of the strain energy with respect to
an applied force (or couple) is equal to the

displacement (or rotation) of the force (or
couple) along its line of action.
U i
U i
or q i 
i 
M i
Pi

(11)

a home base to excellence
• Subtitusi persamaan 10 ke persamaan 11 :


P


L



M 2 dx
 M
 M
2 EI
 P
0
L

 dx

 EI

(12)

• Jika sudut rotasi q, yang hendak dicari :



0

 M  dx


M


 EI

q  M
L

0

(13)

a home base to excellence
Example 1
• Determine the displacement of point B of the
beam shown in the Figure.
• Take E = 200 GPa, I = 500(106) mm4.

a home base to excellence
Example 2
• Determine the slope at point B of the beam
shown in Figure.
• Take E = 200 GPa, I = 60(106) mm4.

a home base to excellence
Example 3
• Determine the vertical displacement of point
C of the beam.
• Take E = 200 GPa, I = 150(106) mm4.

a home base to excellence
Example 4
• Determine the slope at
point C of the two
member frame shown
in figure.
• The support at A is
fixed.
• Take E = 200 GPa, I =
250(106) mm4.