Panduan Praktikum Metode Numerik dengan

Panduan Praktikum Metode Numerik dengan Matlab

BAB I
PENDAHULUAN
Pengenalan Program Matlab 1
Matlab merupakan bahasa pemrograman komputer berbasis windows dengan
orientasi dasarnya adalah matrik, namun pada program ini tidak menutup kemungkinan
untuk pengerjaan permasalahan non matrik. Selain itu matlab juga merupakan bahasa
pemrograman yang berbasis pada objek (OOP), namun disisi lain karena matlab bukalah
type compiler, maka program yang dihasilkan pada matlab tidak dapat berdiri sendiri, agar
hasil program dapat berdiri sendiri maka harus dilakukan transfer pada bahasa
pemrograman yang lain, misal C++. Pada matlab terdapat tiga windows yang digunakan
dalam operasinya yaitu Command Windows (layar perintah) dan figure windows (layar
Gambar), serta NotePad (sebagai tempat editor program).
Windows Pada Matlab
Menu Command windows
Command windows (layar perintah) digunakan untuk menjalankan perintah/program
yang dibuat pada layar editor matlab. Pada windows / layar ini anda dapat mengakses
perintah maupun komponen pendukung ( Help file dll ) yang ada pada matlab secara
langsung. Salah satu ciri dari Command windows ditandai dengan tanda prompt (>>). Layar
Menu Command windows terlihat dalam gambar dibawah ini.

Menu pull
down

Klik untuk
kecilkan window

Tittle

Klik untuk
besarkan window

Layar perintah

Menggeser
layar window
Untuk menggeser layar arah
horisontal
1. File
Menu file merupakan item untuk menangani set-up statement yang berhubungan dengan
file.

1

Panduan Praktikum Metode Numerik dengan Matlab

new
Menu New merupakan sub menu:

M-File
Membuka editor dengan laya kosong sehingga anda siap untuk membuat M-File baru (lihat
menu yang ada pada editor yang dipakai).
Figure
Figure membuat sebuah figur window (layar gambar baru).
Model
Membuat layar mode simulink (jika program matlab menyediakan fasilitas simulink).
Open M-File
Menampilkan dialog box untuk membuka sebuah M-file yang dipilih sesuai dengan pilihan pada
dialog box ke dalam editor.
Menutup window
Kotak dialog

Directory yang aktif

Klik jika
pilihan
sesuai

Nama file
yang dibuka

Type ekstensi
file

2

Batalkan
perintah

Panduan Praktikum Metode Numerik dengan Matlab

Save workspace As
Menampilkan dialog box penyimpanan data dalam format ASCII
Kotak dialog

Directory yang
aktif
Menutup

window

Klik jika
sudah sesuai

Type ekstensi
file

Nama file
yang akan di

Batalkan

perintah

save
Pada menu ini anda diperintahkan untuk memilih letak drive, directory dan masukkan nama
file dengan extensi mat (*.mat) untuk menyimpan workspace (lembar kerja pada matlab).




Set path
Pada bagian ini digunakan untuk melakukan setting path / lintasan yang akan dikenali
oleh program pada saat ekskusi file yang telah dibuat.
Print
Mencetak semua text yang berada pada command window. Jika yang dicetak tidak
ingin semuanya maka cetak bagian (variabel) yang ingin dicetak.
Exit matlab
Perintah untuk keluar dari pelayanan matlab.

2. Edit
Menu edit adalah bagian dari matlab yang memangani fasilitas editing.

Menu edit terlihat seperti gambar








Cut
Menghilangkan text yang diblok dari command window dan text tersebut disimpan pada
cliboard.
Copy
Meng Copy (duplikat) text yang diblok dari command window ke cliboard.
Paste
Menulis text yang ada pada clipboard ke command window.
Clear Command windows
Membersihkan lembar kerja.

3

Panduan Praktikum Metode Numerik dengan Matlab

3. Preference
Menu option adalah bagian dari preference yang menangani setting windows matlab. Salah
satu fungsi dari bagian ini adalah sebagia berikut :
Format numeric yang dipakai:
FORMAT
Short
Long
Hex
Bank
Plus
Rational







Contoh
35.83333
35.8333333333333334
4041eaaaaaaaaab
35.83
+
215/6

Keterangan
Fixpoint dengan format 5 digit
Fixpoint dengan format 16 digit
Hexadesimal
Format dalam dolar dan sen (2 desimal digit)
Pemberian simbol +,- atau nol
Fungsi point dituliskan dalam bilangan pecahan

Loose
Tampilan numeric dengan baris baru sebelum dan sesudah matrik.
Compact

Tampilan numeric tanpa baris baru sebelum dan sesudah matrik.
Turn Echo on
Turn Echo dapat diset dalam dua kondisi yaitu: Turn Echo on dan Turn Echo Off.
Turn Echo on pada saat M-File dieksekusi maka baris-baris yang dieksekusi tidak
ditampilkan pada layar (command window).
Enabel Bacground Process
Perintah ini merupakan togle yaitu dapat diset on atau off.
Font
Menampilkan dialog box yang dapat digunakan untuk men-set spesifikasi font (huruf)
dan warna bacground pada command window yang digunakan.

4. Help
Menu help menyediakan fasilitas untuk mengakses program help dari matlab, dimana pada
menu tersebut mempunyai sub menu sbb:

Table of Contents
Index
Help Selected
About







Table of Content
Menampilkan daftar area help dari matlab yang disediakan.
Index
Menampilkan daftar alpahabet dari fungsi-fungsi pada matlab yang disediakan.
Help Selected
Mencari topik dari help pada item yang disorot dan ditampilkan pada command window.
About
Manampilkan “About Box Matlab”

4

Panduan Praktikum Metode Numerik dengan Matlab

BAB II

PENGENALAN PEMROGRAMAN
Matlab adalah paket program pemrograman matematika berbasis matrik. Pada program
matlab ada dua cara palayanan program, yaitu:
1. Secara interatif (secara langsung ), jika anda pernah menggunakan program Q-basic,
terletak pada View Immediate.
2. Dengan pemprograman, yakni program dibuat pada tempat terpisah baru dilakukan tes
pada matlab.
Pelayanan secara interaktif dilakukan dengan cara mengetikkan perintah-perintah yang
diinginkan langsung pada “prompt” dari matlab yang berbentuk lambang ”>>”. Pelayanan
dengan pemprograman dilakukan dengan cara membuat / menyusun program dengan
editor dan disimpan dengan ektensi “m”(*.m)
Lakukan perintah dibawah ini sebagai latihan pada commnad windows sebagai pelayanan
interatif.
 Membentuk matriks
>> A = [4 3 2; 4 4 3; 3 2 2]
 Perintah mencari invers
>> B = inv (A)
>> C = det (A)
 Mengambil bagian matriks
>> a = A(1,:);
>> a
>> c = A(:,2);
>> c
>> D = A(1,2,:);
>> D
 Untuk menampilkan variabel yang aktif dalam memory komputer
>> who
 Menyimpan lembar kerja
>> save temp
 Menghapus lembar kerja
>> clc
 Menghapus semua variabel pada lembar kerja (buffer memory)
>> load temp
>> who
 Mencari ukuran dari matriks
>> [n, m] = size (A)
Untuk lebih mendalami, lakukan dan jawab pertanyaan dibawah ini:

2.3  0.5
0.6 1.5
8.2 0.5  0.1  2.0


G  5.7 8.2
9.0
1.5 


2.4
0.5 
0.5 0.5
1.2  2.3  4.5 0.5 
[m,n] =size [g]

5

Panduan Praktikum Metode Numerik dengan Matlab

A
B
C
D
E

=
=
=
=
=

det [G]
inv [G]
GT
(:,2)
G(1:3,2:4)

Matriks - matriks yang disediakan oleh matlab adalah:

Eye(n)
: membuat matriks identitas dengan ukuran n x n

Zeros(n) : membuat matriks nol dengan ukuran n x n

Ones(n)
: membuat matriks satuan dengan ukuran n x n

Trill(n) : membuat matriks segitiga bawah dari matriks x

Triu(n)
: membuat matriks segitiga atas dari matriks x
APLIKASI GRAFIK
LATIHAN 2A
Grafik 2D sebagai contoh sbb:
 Membuat grafik sinus dan cosinus
x=0:0.001:2*pi
y=sin(x)
z=cos(x)
plot (x,y,'r-',x,z,'g--');
grid;
title('grafik fungsi sinus (x) dan cosinus(x)');
xlabel('nilai x');
ylabel('cos (x)atau sin (x)');
shg
LATIHAN 2B
 Grafik 3 Dimensi
x=-8:0.05:8;
y=x;
[x,y]=meshgrid(x,y);
R=sqrt(x.^2+y.^2)+eps;
z=sin(R)./R;
mesh (z) ;
title('grafik sin (R)/R');
shg
TUGAS 1
1 Untuk dapat mendalami lebih materi kali ini selesaikan soal dibawah ini untuk mencari
grafik korelasi waktu dan tempatur pada data dibawah ini.
Suhu (oF)
54.2
58.5
63.8
64.2
67.3
71.5
88.3
90.1
90.6
89.5
90.4

Waktu (detik)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9

10

6

Panduan Praktikum Metode Numerik dengan Matlab

2. buatlah grafik 3 dimensi dari data matriks dibawah ini:

1
1
1
1
1 1 1
1
1
1
1
1 1 1
1  5  5  5  5 1 1

1 5
5 10  5 1 1
1  5  5  5  5 1 1

1
1
1
1
1 1 1

1
1

1
G
1
1

1

dengan perintah mesh(G)
mesh (G)
title (‘Grafik
xlabel (‘Harga
ylabel (‘Harga
zlabel (‘Harga
pause
pcolor (G)
axis off
shading flat

3 dimensi’);
X’)
Y’)
Z’)

Setelah menyelesaikan program diatas fahami dan buat diagram alir untuk lebih mamahami
logikanya.

Tipe garis, tanda, dan warna
Dalam penggambaran grafik pada matlab dapat digunakan karakter - karakter khusus
sebagai simol garis, tanda serta warna dari symbol yang digunakan.
Symbol serta wana yang digunakan antara lain adalah :
Symbol
Y
M
C
R
G
B
W
K

Perintah:
plot
mesh
xlabel
ylabel
zlabel
title

Warna

Symbol

O
X
+
*
─
:
─
──

Kuning
Magenta
Cyan
Merah
Hijau
Biru
Putih
Hitam

: membuat grafik 2 dimensi
: membuat grafik 3 dimensi
: memberi nama sumbu X
: memberi nama sumbu Y
: memberi nama sumbu Z
: memberi judul grafik

7

Tipe Garis
Titik ()
Lingkaran (o)
Tanda (x)
Tanda (+)
Tanda (*)
Garis penuh (─)
Tanda (:)
Garis titik (─ )
Garis putus-putus (─ ─)

Panduan Praktikum Metode Numerik dengan Matlab

OPERASI MATEMATIK

Operator Matematik :
Symbol
+
*
/
^

Keterangan
jumlah (plus)
kurang (minus)
Perkalian
Pembagian
Pangkat

Contoh
C=A+B
D=A-B
E=A*B
F=A/B
K=A^2

Operator ini dapat digunakan pada skalar, vector maupun matrik ( pada operasi tertentu
saja ). Jika dikenakan pada skalar maka berlaku seperti aljabar biasa.
Coba lakukan perintah dibawah ini dan perhatikan hasil operasi – operasi :
a = [ 1 2 3 4 5 ];
b = [ 6 7 2 5 3 ];
c = 2;
A = a + b
B = a + c
C = a^c
D = a.*b
E = b – a
F = a./b
G = a.\b
H = b.^a
Sedangkan untuk operasi dibawah ini tidak dapat dilakukan.
Coba terangkan:
a*b
a/b
a\b
b^a

TUGAS 2
1.
1.
2.
3.
4.

A = [2 -1 5 0]
A – B
B + A – 3
2 * A + A.^b
B./A

1.
2.
3.
4.

C * D
C + D
C/D
C\D

2.

5 7 

C

 4 3

B = [3 2
5.
6.
7.
8.

2 3

D

 4 6

5.
6.
7.
8.

8

-1 4]
B.\A
A.^B
(2).^B + A
2*B/3.0*A

D – C
C.*D
C./D
C.\D

Panduan Praktikum Metode Numerik dengan Matlab

BAB III
OPERASI RELASI
Operator
<

>=
==
~=

Lebih kecil
Lebih kecil atau sama dengan
Lebih besar
Lebih besar atau sama dengan
Sama dengan
Tidak sama dengan

Operasi relasi ini sangat penting untuk aliran program yang menggunakan statement
WHILE dan IF.
Kontrol Aliran Program:
Dalam Matlab. Control aliran program itu terdiri dari FOR LOOPS, WHILE LOOPS, dan IFELSE-END.
 FOR LOOPS
format penulisan secara umum statement ini adalah sebagai berikut :
for Var = Nilai Awal : Pertambahan :Nilai Akhir
perintah / baris yang akan diulang
end
Contoh:
for n = 1 : 10
x(n) = sin (n/10);
end
x
(lihat hasil nilai x)
Selain itu juga dapat digunakan perintah FOR LOOPS dalam FOR LOOPS
Contoh:
for n = 1 : 5
for m = 5 : -1 :1
A(n,m) = n^2 + m^2
end;
end;
 WHILE LOOPS
Perintah pengulangan tetapi diketahui jumlah pengulangannya, sehingga diperlukan syarat
batas (syarat yang harus dipenuhi).
while Kondisi
perintah
end
Contoh:
>>

>>
>>

num = 0; eps = 1;
while (1+eps) > 1
num = num + 1
end
num
eps

9

Panduan Praktikum Metode Numerik dengan Matlab



IF – ELSE – END

Melakukan perintah dengan syarat batas :
a. If dengan satu alternatif
if ekspresi
perintah
end
Keterngan :
Baris perintah akan dikerjakan jika ekspresi bernilai benar, namun jika tidak maka
baris perintah akan dilewatkan.
b. IF dengan banyak pilihan
if ekspresi 1
perintah 1
elseif ekspresi 2
perintah 2
elseif ekspresi 2
perintah 2
end;
end;
end.
Keterangan
Baris perintah 1, akan dikerjakan jika ekspresi 1, bernilai benar, namun jika ekspresi
1, salah maka program akan melakukan pengecekan pada ekspresi berkutnya, hal
ini dilakukan sampai ditemukan salah satu ekspresi yang bernilai benar, atau tidak
sama sekali dan program akan keluar dari perputaran IF, yang telah dibuat
Cobalah contoh dibawah ini untuk IF dengan 1 alternatif pilihan :
>>
a = [2, 5, 6, 7, 8]
>>
n = max (size (a))
>>
if n > 0
rata = a / n
end.
Setelah anda selesai mencoba contoh tersebut, buatlah program Untuk IF dengan lebih dari
4 pilihan
LATIHAN 3A
Mencari akar:
Dalam kesempatan ini anda akan diperkenalkan :
- Penggunaan editor
- Membuka dan menutup Matlab
Program berikut ini adalah untuk menghitung akar kuadrat dari bilangan file akar m dengan
memasukkan program ini (program dibuat dalam editor).
x = a;
eror = 1;
k = 1;
while eror > 0.000001
y = 0.5 * (x + a/x);
sbx (k) = x;

10

Panduan Praktikum Metode Numerik dengan Matlab

sby (k) = y;
eror = abs (x – y);
x = y;
k = k + 1;
end
x
plot (sbx, sby);
Sesudah program diatas disimpan (dilakukan dalam editor), kemudian kembali ke Matlab
dan lakukan :
1. >> jalankan file program yang sudah dibuat, dengan menuliskan nama file yang
telah disimpan.
2. >>a = 10;
3. >>akar
Pelajarilah hasil dan makna dari tiap baris dalam program ini. Catatlah semua hasil yang
perlu dalam buku catatan praktikum anda.
LATIHAN 3B (METODE NEWTON RAPHSON)
Mencari akar polinominal menggunakan metode NEWTON, dimana pada metode ini harus
diberikan turunan dari polinominal tersebut. Untuk lebih memahami metode ini perhatikan
grafik berikut ini :

f(x)

f(xi)

f’(xi)

f(xi)-0

Xi – Xi+1

X

Dari grafik diatas, nilai Xi adalah nilai X pada perkiraan awal sedangkan Xi+1, merupakan
nilai pendekatan X berikutnya, dengan menggunakan konsep segitiga maka kita dapatkan
nilai dari Xi+1 dengan persamaan sebagai berikut :

X i 1  X i 

f ( xi )
f ' ( xi )

Dalam program dibawah ini diperkenalkan penggunaan Prosedur Function dalam Matlab
guna menyelesaikan metode NEWTON pada pembahasan diatas .
Buat program dibawah ini pada matlab editor atau notepad pada Microsoft windows:
% nama file zfungsi.m
% program untuk menghitung f(x) dan f’(x) dengan x diketahui
% program in disertakan prosedur function
function [f,ff] = zfungsi(x)

11

Panduan Praktikum Metode Numerik dengan Matlab

f = x^5 – 2*x^4 + 3*x*3 -4*x^2 + 5*x – 6
ff= 4*x^4 - 8*x*3 + 9*x^2 - 8*x – 5
Simpan program tersebut dengan nama file zfungsi.m.
Setelah itu siapkan file baru lagi dan simpan dengan nama file znewton.m dibawah ini:
%
%
%
%

nama file znewton.m
sebagai program induk untuk memanggil program zfungsi.m
untuk mencari akar dari f(x) dengan metode Newton
nilai tafsiran awal x dimasukkan dulu

k = l
[f,ff] = zfungsi(x)
while abs(f) > 0.0001
y = x – f/ff
sbx(k) = x;
sby(k) = y;
k = k + 1;
x = y;
[f,ff] = zfungsi(x);
end;
x;
plot(sbx,sby)
Pelajarilah hasil dan makna dari tiap baris dalam program ini. Catatlah semua logika yang
ada dan buat diagram alirnya. Untuk lebih memahami contoh diatas, kerjakan contoh soal
dibawah ini
TUGAS 3

y

W0

x
1. Sebuah batang Uniform diberi beban seperti gambar:
Persamaan lendutan yang terjadi pada batang

y

W0

120 EL

 x

5

 2 L2 x 3  L4 x



L = 180 inch, E = 2,9x107 I = 723 inch4 W 0 = 12 kips/ft
Dengan menggunakan metode Newton tentukan posisi x dimana y mencapai max
(tentukan x dimana dy/dx = 0)

a 

 p  2 v  b   RT
v 


2. Persamaan Gas Ideal dari persamaan Vander Wals sbb:

Dimana:

V
n

v

=

V

= molal volume

12

Panduan Praktikum Metode Numerik dengan Matlab

n = bilangan dari mol (bilangan Avogadro)
a & b adalah konstanta (diperoleh secara empiris)
R = 0.082054 (atm/molºK)
Untuk karbondioksida:
a = 3,592
b = 0,09267
Untuk oksigen:
a = 1,36
b = 0,031383
Jika tekanan yang digunakan 1, 10, 100 atm untuk kombinasi suhu 300, 500, dan 700ºK,
tentukan volume molal untuk gas oksigen dan gas karbondioksida.

LATIHAN 3C (Metode Bisection)
Mencari akar persamaan dengan metode BISECTION / BAGI DUA, pada metode ini
nilai yang akan dicari diapit oleh dua nilai X yang diambil dari perkiraan / aproksimasi
dimana nilai tersebut adalah Xl sebagai batas bawah, Xu sebagai batas atas dan Xr sebagai
nilai tengan dari X, secara sepintas metode ini dapat dijelaskan dengan langkah sebagai
berikut :
1. Buat Nilai perkiraan untuk nilai Xl dan Xu dengan asumsi X yang dicari berada
diantaranya
2. Cek nilai dari f(xl).f(xu) 0.001;
tr=(tl+tu)/2;
k=k+1
t=tr;
[F]=fungsi2(t);
eror=abs((tu-tl)/(tu+tl));
sbx(k)=t;
sby(k)=F;
test=F*Fu;
if test