Differensial Fungsi Sederhana matematika e
MATEMATIKA EKONOMI
Oleh
Wahyu Nofiansyah
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN EKONOMI
STKIP KUMALA LAMPUNG METRO
Differensial Fungsi Sederhana
Berikut ini disajikan kaidah yang dapat digunakan untuk menurunkan berbagai bentuk fungsi
tertentu,
1. Diferensiasi konstanta
Jika y = k, di mana k adalah konstanta, maka
Contoh: y = 4,
2. Diferensiasi fungsi pangkat
Jika
, di mana n adalah konstanta, maka
Contoh:
,
Differensial Fungsi Sederhana
3. Diferensiasi perkalian konstanta dengan fungsi
Jika y = kv, di mana v = h(x), maka
Contoh:
Latihan 1: Tentukan
,
dari fungsi-fungsi di bawah ini.
Penerapan Differensial Fungsi Sederhana
dalam Ekonomi
ELASTISITAS
Elastisitas Permintaan
Elastisitas Penawaran
Elastisitas Produksi
Penerapan Differensial Fungsi Sederhana
dalam Ekonomi
ELASTISITAS
Elastisitas dari suatu fungsi y = f(x) berkenaan dengan x dapat didefinisikan:
�
.
�=
�
Elastisitas y terhadap x dapat dikatakan sebagai rasio antara persentase
perubahan y terhadap persentase perubahan x
Penerapan Differensial Fungsi Sederhana
dalam Ekonomi
Elastisitas Permintaan
Suatu
koefisien
yang menjelaskan besarnya perubahan jumlah barang yang
Elastisitas
Permintaan
diminta akibat adanya perubahan harga.
Jika fungsi permintaan dinyatakan dengan Qd = f(P), maka elastisitas
permintaannya:
Penerapan Differensial Fungsi Sederhana
dalam Ekonomi
Dalam mengukur koefisien elastisitas harga biasanya diambil nilai mutlaknya
sehingga nilai koefisien elastisitas harga paling kecil adalah nol dan paling besar
adalah tak terhingga (0 ≤ Ed ≤ ∞)
1. Jika |Ed| < 1, permintaan di titik itu adalah inelastis terhadap harga
2. Jika |Ed| = 1, permintaan di titik itu adalah unitary terhadap harga
3. Jika |Ed| > 1, permintaan di titik itu adalah elastis terhadap harga
4. Jika |Ed| = 0, permintaan di titik itu adalah inelastis sempurna terhadap harga
5. Jika |Ed| = ∞, permintaan di titik itu adalah elastis sempurna terhadap harga
Contoh 1:
Jika fungsi permintaan suatu barang ditunjukkan oleh Q =150 - 3P. Tentukan
elastisitasnya jika tingkat harga P = 10, P = 25, dan P = 40?
Jawab: Jika P = 10, maka Q = 120 dan
Untuk P = 25 dan P = 40, dikerjakan
Penerapan Differensial Fungsi Sederhana
dalam Ekonomi
Elastisitas Penawaran
Suatu koefisien yang menjelaskan besarnya perubahan jumlah barang yang
Elastisitas Permintaan
ditawarkan berkenaan adanya perubahan harga.
Jika fungsi penawaran dinyatakan dengan Qs = f(P), maka elastisitas penawarannya:
Penerapan Differensial Fungsi Sederhana
dalam Ekonomi
Nilai koefisien dari elastisitas ini mempunyai nilai positif karena kurva
penawaran umumnya mempunyai kemiringan positif. Jadi, nilai koefisien
elastisitas ini berkisar antara nol sampai tak hingga (0 ≤ Es ≤ ∞)
1. Jika Es = 0, maka penawaran inelastis sempurna terhadap harga
2. Jika Es < 1, maka penawaran inelastis terhadap harga
3. Jika Es = 1, maka penawaran unitary terhadap harga
4. Jika Es > 1, maka penawaran elastis terhadap harga
5. Jika Es = ∞, maka penawaran elastis sempurna terhadap harga
Contoh 2:
Jika fungsi penawaran suatu barang ditunjukkan oleh Q = -200 + 7P². Tentukan
elastisitas penawarannya pada tingkat harga P = 10, P = 15, P =
Jawab: Jika P = 10, maka Q = 500 dan
(elastis)
Untuk P = 15, dikerjakan
Penerapan Differensial Fungsi Sederhana
dalam Ekonomi
Elastisitas Produksi
Suatu koefisien yang menjelaskan besarnya perubahan jumlah keluaran yang
dihasilkan akibat adanya perubahan jumlah masukan yang digunakan
Penerapan Differensial Fungsi Sederhana
dalam Ekonomi
Jika P melambangkan jumlah produk yang dihasilkan sedangkan X
melambangkan jumlah faktor produksi yang digunakan, dan fungsi
produksi dinyatakan dengan P = f(X), maka elastisitas produksinya:
Contoh 3:
Fungsi produksi suatu barang ditunjukkan oleh persamaan P= 6x² - x³. Hitunglah
elastisitas produksinya pada tingkat penggunaan faktor produksi sebanyak 3 unit dan 7 unit.
Jawab: Jika P = 6x² - x³, maka
Untuk X = 7, dikerjakan
Penerapan Differensial Fungsi Sederhana
dalam Ekonomi
BIAYA TOTAL
Semua biaya yang dikeluarkan oleh produsen untuk menghasilkan sesuatu
barang dan jasa.
Dengan kata lain biaya total (TC) merupakan fungsi dari jumlah produk yang dihasilkan
(Q) atau dapat ditulis menjadi:
TC = f(Q)
Penerapan Differensial Fungsi Sederhana
dalam Ekonomi
BIAYA TETAP TOTAL DAN BIAYA VARIABEL TOTAL
Biaya tetap total (total fixed cost =TFC) adalah biaya yang tidak berubahubah nilainya, walaupun berapapun jumlah barang yang diproduksi.
Biaya variabel total (total variable cost = TVC) adalah biaya yang berubahubah jika jumlah yang diproduksi berubah.
TC = TFC + TVC
Penerapan Differensial Fungsi Sederhana
dalam Ekonomi
BIAYA RATA-RATA
Atau Average cost = AC adalah biaya untuk memproduksi satu unit barang
Biaya rata-rata diperoleh dari biaya total(TC) dibagi dengan jumlah unit barang
yang diproduksi(Q)
Penerapan Differensial Fungsi Sederhana
dalam Ekonomi
BIAYA TETAP RATA-RATA DAN BIAYA VARIABEL RATA-RATA
Biaya tetap rata-rata (average fixed cost =AFC) diperoleh dari biaya tetap
total (TFC) dibagi dengan jumlah unit barang yang diproduksi(Q)
Biaya variabel rata-rata (average variable cost = AVC) diperoleh dari
biaya variabel total (TVC) dibagi dengan jumlah unit barang yang diproduksi
dan
Penerapan Differensial Fungsi Sederhana
dalam Ekonomi
BIAYA RATA-RATA
Atau Average cost = AC adalah biaya untuk memproduksi satu unit barang
Biaya rata-rata dapat diperoleh juga dari biaya tetap rata-rata(AFC) dijumlah
dengan biaya variabel rata-rata(AVC)
AC = AFC + AVC
Penerapan Differensial Fungsi Sederhana
dalam Ekonomi
Contoh 4:
Jika diketahui fungsi biaya total dari suatu perusahaan adalah
TC=0,2Q² + 500Q + 8000.
(a) Tentukan fungsi biaya rata-ratanya dan berapa nilai biaya rata-ratanya
apabila diketahui jumlah produk yang diproduksi sebanyak 100 unit.
(b) Berapakah jumlah produk yang dihasilkan agar biaya rata-rata minimum?
(c) Berapa nilai biaya rata-rata minimum tersebut?
Penerapan Differensial Fungsi Sederhana
dalam Ekonomi
TC= 0,2Q² + 500Q + 8000.
(a) Tentukan fungsi biaya rata-ratanya dan berapa nilai biaya rata-ratanya
apabila diketahui jumlah produk yang diproduksi sebanyak 100 unit.
Penyelesaian: Ditanya fungsi AC = …?
Nilai AC , untuk Q = 100 = … ?
(b) Berapakah jumlah produk yang dihasilkan agar biaya rata-rata
minimum?
Penyelesaian:
Untuk memperoleh Biaya rata-rata minimum maka langkah pertama mengambil
derivatif pertama dari fungsi AC kemudian sama dengan nol.
(c) Berapa nilai biaya rata-rata minimum tersebut?
Penyelesaian: Untuk mendapatkan Biaya rata-rata minimun, maka
subtitusikan nilai Q = 200 ke dalam persamaan AC
Jadi biaya rata-rata minimum sebesar Rp 580 dapat diperoleh jika perusahaan menghasilkan
produk sebanyak 200 unit
Penerapan Differensial Fungsi Sederhana
dalam Ekonomi
Biaya Marginal(Marginal cost, MC)
Biaya tambahan yang dikeluarkan untuk menghasilkan satu unit
tambahan produk.
Jika fungsi biaya total dinyatakan dengan TC = f(Q) di mana TC adalah biaya total (total
cost) dan Q melambangkan jumlah produk, maka biaya marginalnya:
, dTC = Perubahan biaya total
Penerapan Differensial Fungsi Sederhana
dalam Ekonomi
Latihan 1:
Jika suatu perusahaan ingin menghasilkan suatu produk, dimana fungsi
biaya total telah diketahui adalah TC=0,1Q³ - 18Q² + 1700Q + 34000.
(a) Carilah fungsi biaya marginal?
(b) Berapakah jumlah produk yang dihasilkan agar biaya marginal
minimum?
(c) Berapa nilai biaya marginal minimum tersebut?
Penerapan Differensial Fungsi Sederhana
dalam Ekonomi
Latihan 2:
Jika diketahui fungsi biaya total dari suatu perusahaan adalah
TC=Q³ - 30Q² + 325Q + 65000.
(a) Carilah biaya tetap total dan biaya variabel total
(b) Carilah jumlah produk yang dihasilkan agar biaya variabel total
minimum?
(c) Berapa nilai biaya variabel total minimum tersebut?
Oleh
Wahyu Nofiansyah
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN EKONOMI
STKIP KUMALA LAMPUNG METRO
Differensial Fungsi Sederhana
Berikut ini disajikan kaidah yang dapat digunakan untuk menurunkan berbagai bentuk fungsi
tertentu,
1. Diferensiasi konstanta
Jika y = k, di mana k adalah konstanta, maka
Contoh: y = 4,
2. Diferensiasi fungsi pangkat
Jika
, di mana n adalah konstanta, maka
Contoh:
,
Differensial Fungsi Sederhana
3. Diferensiasi perkalian konstanta dengan fungsi
Jika y = kv, di mana v = h(x), maka
Contoh:
Latihan 1: Tentukan
,
dari fungsi-fungsi di bawah ini.
Penerapan Differensial Fungsi Sederhana
dalam Ekonomi
ELASTISITAS
Elastisitas Permintaan
Elastisitas Penawaran
Elastisitas Produksi
Penerapan Differensial Fungsi Sederhana
dalam Ekonomi
ELASTISITAS
Elastisitas dari suatu fungsi y = f(x) berkenaan dengan x dapat didefinisikan:
�
.
�=
�
Elastisitas y terhadap x dapat dikatakan sebagai rasio antara persentase
perubahan y terhadap persentase perubahan x
Penerapan Differensial Fungsi Sederhana
dalam Ekonomi
Elastisitas Permintaan
Suatu
koefisien
yang menjelaskan besarnya perubahan jumlah barang yang
Elastisitas
Permintaan
diminta akibat adanya perubahan harga.
Jika fungsi permintaan dinyatakan dengan Qd = f(P), maka elastisitas
permintaannya:
Penerapan Differensial Fungsi Sederhana
dalam Ekonomi
Dalam mengukur koefisien elastisitas harga biasanya diambil nilai mutlaknya
sehingga nilai koefisien elastisitas harga paling kecil adalah nol dan paling besar
adalah tak terhingga (0 ≤ Ed ≤ ∞)
1. Jika |Ed| < 1, permintaan di titik itu adalah inelastis terhadap harga
2. Jika |Ed| = 1, permintaan di titik itu adalah unitary terhadap harga
3. Jika |Ed| > 1, permintaan di titik itu adalah elastis terhadap harga
4. Jika |Ed| = 0, permintaan di titik itu adalah inelastis sempurna terhadap harga
5. Jika |Ed| = ∞, permintaan di titik itu adalah elastis sempurna terhadap harga
Contoh 1:
Jika fungsi permintaan suatu barang ditunjukkan oleh Q =150 - 3P. Tentukan
elastisitasnya jika tingkat harga P = 10, P = 25, dan P = 40?
Jawab: Jika P = 10, maka Q = 120 dan
Untuk P = 25 dan P = 40, dikerjakan
Penerapan Differensial Fungsi Sederhana
dalam Ekonomi
Elastisitas Penawaran
Suatu koefisien yang menjelaskan besarnya perubahan jumlah barang yang
Elastisitas Permintaan
ditawarkan berkenaan adanya perubahan harga.
Jika fungsi penawaran dinyatakan dengan Qs = f(P), maka elastisitas penawarannya:
Penerapan Differensial Fungsi Sederhana
dalam Ekonomi
Nilai koefisien dari elastisitas ini mempunyai nilai positif karena kurva
penawaran umumnya mempunyai kemiringan positif. Jadi, nilai koefisien
elastisitas ini berkisar antara nol sampai tak hingga (0 ≤ Es ≤ ∞)
1. Jika Es = 0, maka penawaran inelastis sempurna terhadap harga
2. Jika Es < 1, maka penawaran inelastis terhadap harga
3. Jika Es = 1, maka penawaran unitary terhadap harga
4. Jika Es > 1, maka penawaran elastis terhadap harga
5. Jika Es = ∞, maka penawaran elastis sempurna terhadap harga
Contoh 2:
Jika fungsi penawaran suatu barang ditunjukkan oleh Q = -200 + 7P². Tentukan
elastisitas penawarannya pada tingkat harga P = 10, P = 15, P =
Jawab: Jika P = 10, maka Q = 500 dan
(elastis)
Untuk P = 15, dikerjakan
Penerapan Differensial Fungsi Sederhana
dalam Ekonomi
Elastisitas Produksi
Suatu koefisien yang menjelaskan besarnya perubahan jumlah keluaran yang
dihasilkan akibat adanya perubahan jumlah masukan yang digunakan
Penerapan Differensial Fungsi Sederhana
dalam Ekonomi
Jika P melambangkan jumlah produk yang dihasilkan sedangkan X
melambangkan jumlah faktor produksi yang digunakan, dan fungsi
produksi dinyatakan dengan P = f(X), maka elastisitas produksinya:
Contoh 3:
Fungsi produksi suatu barang ditunjukkan oleh persamaan P= 6x² - x³. Hitunglah
elastisitas produksinya pada tingkat penggunaan faktor produksi sebanyak 3 unit dan 7 unit.
Jawab: Jika P = 6x² - x³, maka
Untuk X = 7, dikerjakan
Penerapan Differensial Fungsi Sederhana
dalam Ekonomi
BIAYA TOTAL
Semua biaya yang dikeluarkan oleh produsen untuk menghasilkan sesuatu
barang dan jasa.
Dengan kata lain biaya total (TC) merupakan fungsi dari jumlah produk yang dihasilkan
(Q) atau dapat ditulis menjadi:
TC = f(Q)
Penerapan Differensial Fungsi Sederhana
dalam Ekonomi
BIAYA TETAP TOTAL DAN BIAYA VARIABEL TOTAL
Biaya tetap total (total fixed cost =TFC) adalah biaya yang tidak berubahubah nilainya, walaupun berapapun jumlah barang yang diproduksi.
Biaya variabel total (total variable cost = TVC) adalah biaya yang berubahubah jika jumlah yang diproduksi berubah.
TC = TFC + TVC
Penerapan Differensial Fungsi Sederhana
dalam Ekonomi
BIAYA RATA-RATA
Atau Average cost = AC adalah biaya untuk memproduksi satu unit barang
Biaya rata-rata diperoleh dari biaya total(TC) dibagi dengan jumlah unit barang
yang diproduksi(Q)
Penerapan Differensial Fungsi Sederhana
dalam Ekonomi
BIAYA TETAP RATA-RATA DAN BIAYA VARIABEL RATA-RATA
Biaya tetap rata-rata (average fixed cost =AFC) diperoleh dari biaya tetap
total (TFC) dibagi dengan jumlah unit barang yang diproduksi(Q)
Biaya variabel rata-rata (average variable cost = AVC) diperoleh dari
biaya variabel total (TVC) dibagi dengan jumlah unit barang yang diproduksi
dan
Penerapan Differensial Fungsi Sederhana
dalam Ekonomi
BIAYA RATA-RATA
Atau Average cost = AC adalah biaya untuk memproduksi satu unit barang
Biaya rata-rata dapat diperoleh juga dari biaya tetap rata-rata(AFC) dijumlah
dengan biaya variabel rata-rata(AVC)
AC = AFC + AVC
Penerapan Differensial Fungsi Sederhana
dalam Ekonomi
Contoh 4:
Jika diketahui fungsi biaya total dari suatu perusahaan adalah
TC=0,2Q² + 500Q + 8000.
(a) Tentukan fungsi biaya rata-ratanya dan berapa nilai biaya rata-ratanya
apabila diketahui jumlah produk yang diproduksi sebanyak 100 unit.
(b) Berapakah jumlah produk yang dihasilkan agar biaya rata-rata minimum?
(c) Berapa nilai biaya rata-rata minimum tersebut?
Penerapan Differensial Fungsi Sederhana
dalam Ekonomi
TC= 0,2Q² + 500Q + 8000.
(a) Tentukan fungsi biaya rata-ratanya dan berapa nilai biaya rata-ratanya
apabila diketahui jumlah produk yang diproduksi sebanyak 100 unit.
Penyelesaian: Ditanya fungsi AC = …?
Nilai AC , untuk Q = 100 = … ?
(b) Berapakah jumlah produk yang dihasilkan agar biaya rata-rata
minimum?
Penyelesaian:
Untuk memperoleh Biaya rata-rata minimum maka langkah pertama mengambil
derivatif pertama dari fungsi AC kemudian sama dengan nol.
(c) Berapa nilai biaya rata-rata minimum tersebut?
Penyelesaian: Untuk mendapatkan Biaya rata-rata minimun, maka
subtitusikan nilai Q = 200 ke dalam persamaan AC
Jadi biaya rata-rata minimum sebesar Rp 580 dapat diperoleh jika perusahaan menghasilkan
produk sebanyak 200 unit
Penerapan Differensial Fungsi Sederhana
dalam Ekonomi
Biaya Marginal(Marginal cost, MC)
Biaya tambahan yang dikeluarkan untuk menghasilkan satu unit
tambahan produk.
Jika fungsi biaya total dinyatakan dengan TC = f(Q) di mana TC adalah biaya total (total
cost) dan Q melambangkan jumlah produk, maka biaya marginalnya:
, dTC = Perubahan biaya total
Penerapan Differensial Fungsi Sederhana
dalam Ekonomi
Latihan 1:
Jika suatu perusahaan ingin menghasilkan suatu produk, dimana fungsi
biaya total telah diketahui adalah TC=0,1Q³ - 18Q² + 1700Q + 34000.
(a) Carilah fungsi biaya marginal?
(b) Berapakah jumlah produk yang dihasilkan agar biaya marginal
minimum?
(c) Berapa nilai biaya marginal minimum tersebut?
Penerapan Differensial Fungsi Sederhana
dalam Ekonomi
Latihan 2:
Jika diketahui fungsi biaya total dari suatu perusahaan adalah
TC=Q³ - 30Q² + 325Q + 65000.
(a) Carilah biaya tetap total dan biaya variabel total
(b) Carilah jumlah produk yang dihasilkan agar biaya variabel total
minimum?
(c) Berapa nilai biaya variabel total minimum tersebut?