CARA MENENTUKAN HASIL AKAR PANGKAT TIGA
PENGETAHUAN MATEMATIKA
CARA MENENTUKAN HASIL
AKAR PANGKAT TIGA
Oleh : Paini, A.M a.Pd.
SD N 1 Kar angan Kabupaten Tr enggalek Jawa Tim ur
Dalam kehidupan sehari-hari m uncul berbagai m acam m asalah. Masalah-m asalah tersebut
dapat diselesaikan dengan m enggunakan berm acam -m acam cara. Begitu juga m asalah penarikan
akar pangkat tiga dari bilangan-bilangan kubik. Pada artikel ini akan dibahas beberapa cara untuk
m enentukan hasil penarikan akar pangkat tiga.
I. Menggunakan Tabel Bilangan Kubik
Langkah-langkah :
1. Membuat pola bilangan kubik
Pola pertam a m erupakan pangkat tiga dari bilangan 1-9, sedangkan pola kedua m erupakan
pangkat tiga dari bilangan kelipatan sepuluh.
Pola I:
13 = 1
23 = 8
3 3 = 27
4 3 = 64
53 = 125
6 3 = 216
73 = 343
8 3 = 512
9 3 = 729
Pola II:
10 3 = 1.0 0 0
20 3 = 8.0 0 0
30 3 = 27.0 0 0
40 3 = 64.0 0 0
50 3 = 125.0 0 0
60 3 = 216.0 0 0
70 3 = 343.0 0 0
80 3 = 512.0 0 0
90 3 = 729.0 0 0
10 0 3 = 1.0 0 0 .0 0 0
2. Dengan m em perhatikan hasil pangkat tiga pada langkah 1, tentukan perkiraan letak
bilangan yang ditarik akarnya.
3. Tentukan nilai yang belum diketahui, dengan m em perhatikan angka satuan dari bilangan
yang ditarik akarnya.
4. Tentukan hasil dari penarikan akar yang dim aksud.
Contoh: 3 1.728 = ?
Perhatikan pola bilangan kubik, 1.728 terletak diantara 1.0 0 0 dan 8.0 0 0 atau diantara
10 3 dan 20 3 , sehingga hasil dari
dituliskan m enjadi
Edisi 14, J uli 20 0 5
3
3
1.728 terletak antara 10 dan 20 dan dapat
1.728 = 10 + n
20 , dengan 0
n
10 , n
B.
25
PENGETAHUAN MATEMATIKA
Karena satuan dari bilangan yang ditarik akarnya adalah 8, 8 = 2 3 jadi nilai
n=
23 = 2 .
3
Didapat
3
1.728 = 10 + n = 10 + 2 =12
II. Menggunakan Faktorisasi Prim a
Langkah-langkah :
1. Tentukan faktor prim a dengan m enggunakan pohon faktor atau pem bagian bergaris.
2. Kelom pokkan tiap-tiap 3 faktor prim a yang sama, sehingga dapat diganti dengan
faktorisasi prim a berpangkat tiga.
3. Bilangan berpangkat tiga apabila ditarik akar pangkat tiganya, m aka hasilnya bilangan
tersebut.
(
3
x3 = x )
Contoh:
1728
1728
2
2
2
864
2
2
432
2
2
216
2
2
216
108
54
27
9
3
54
2
432
3
108
2
864
3
3
1
27
2
9
3
3
3
Faktor prim a dari 1728 adalah 2 dan 3.
1728 = (2 × 2 × 2) × (2 × 2 × 2) × (3 × 3 × 3)
=
23
×
23
×
33
J adi,
3
1728 = 3 2 3 2 3 33 = 2 2 3 = 12
Bersambung ke halaman 31
26
PENGETAHUAN MATEMATIKA
III. Menggunakan Kalandr a
Model kalandr a dipergunakan untuk penarikan akar pangkat tiga dari bilangan kubik yang
terdiri dari lebih dari tiga angka.
Langkah-langkahnya:
1. Hitung tiga angka dari belakang kem udian bubuhkan tanda titik (.). Perlu diperhatikan
bahwa “titik” bukan berarti “ribu” seperti dalam m em baca dan m enulis bilangan, m elainkan
berfungsi untuk m em beri batasan kelom pok bilangan. Banyak kelom pok bilangan
m enandakan bahwa hasil dari penarikan akar tersebut, banyak angkanya sam a dengan
banyaknya kelom pok bilangan
Contoh :
3
1.728
2. Menentukan perkalian kem bar tiga yang hasilnya sama atau kurang dari kelom pok bilangan
pertam a. H asil perkalian tersebut digunakan untuk m engurangi kelom pok bilangan
pertam a.
3
1.728
1×1×1= 1
0
3. Menurunkan hasil pengurangan (jika hasil pengurangan pada langkah 2 bernilai nol, m aka
yang diturunkan adalah bilangan kelom pok kedua).
3
1.728
1×1×1= 1
728
4. Bilangan kem bar tiga pada perkalian bilangan kem bar pertam a dijum lahkan untuk
m engawali perkalian kem bar tiga yang kedua.
3
1.728
1×1×1= 1
728
+
3_×_×_ =
Edisi 14, J uli 20 0 5
31
PENGETAHUAN MATEMATIKA
5. Menentukan bilangan kem bar tiga yang kedua (pada langkah ke-4 ditandai dengan tanda _ ),
dim ana hasil perkalian satuannya sam a dengan satuan dari bilangan yang ditarik akarnya.
Hasil perkalian tersebut akan m engurangi bilangan yang diturunkan pada langkah 4.
3 1.728
1×1×1= 1
728
128
600
32 × 2 × 2 =
Satuannya sama-sama 8
Sisa pengurangan
Bilangan kembar kedua
6. Hasil penarikan akar pangkat tiga adalah faktor dari perkalian pertam a (1) dan faktor dari
perkalian kedua (2)sehingga didapat 12, nam un angka 12 belum dapat disyahkan sebagai
hasil penarikan akar pangkat tiga tersebut. J ika sisa pengurangan terakhir (60 0 ) dikurangi
dengan 30 0 × faktor perkalian pertam a kuadrat × faktor perkalian kedua pangkat satu
bersisa nol, m aka hasil penarikan akar tersebut dapat dianggap syah (30 0 merupakan
bilangan kunci dan tak boleh diubah)
3
1.728 = 12
1×1×1=1
728
32 × 2 × 2 = 128
600
300 × 12 × 2 = 600
0
12 hasil penarikan akar
300 merupakan bilangan kunci/tidak boleh diubah
Contoh Lain :
3
42.875 = ?
Akan diselesaikan dengan 3 cara,
Car a 1 :
42.875 terletak di antara 27.0 0 0 dan 64.0 0 0 atau antara 30 3 dan 40 3 , sehingga perkiraan
42.875 = 30 + n . Satuan dari 42.875 adalah 5 dan bilangan kubik yang
m empunyai satuan 5 adalah 125, 125 = 5 3 , jadi n = 5
32
hasilnya
3
Sehingga
3
42.875 = 30 + 5 = 35
PENGETAHUAN MATEMATIKA
Car a 2 :
42875
42875
5
5
8575
5
1715
5
8575
1715
5
345
345
5
7
7
49
7
49
7
7
7
3
7
1
42.875 = 3 (5 5 5) (7 7 7)
= 3 53 7 3
=5 7
= 35
Car a 3 :
3
3×3×3
42.875 = 35
=
95 × 5 × 5 =
30 0 × 3 2 × 5
27
15875
2375
13500
13500
=
0
------
Edisi 14, J uli 20 0 5
33
CARA MENENTUKAN HASIL
AKAR PANGKAT TIGA
Oleh : Paini, A.M a.Pd.
SD N 1 Kar angan Kabupaten Tr enggalek Jawa Tim ur
Dalam kehidupan sehari-hari m uncul berbagai m acam m asalah. Masalah-m asalah tersebut
dapat diselesaikan dengan m enggunakan berm acam -m acam cara. Begitu juga m asalah penarikan
akar pangkat tiga dari bilangan-bilangan kubik. Pada artikel ini akan dibahas beberapa cara untuk
m enentukan hasil penarikan akar pangkat tiga.
I. Menggunakan Tabel Bilangan Kubik
Langkah-langkah :
1. Membuat pola bilangan kubik
Pola pertam a m erupakan pangkat tiga dari bilangan 1-9, sedangkan pola kedua m erupakan
pangkat tiga dari bilangan kelipatan sepuluh.
Pola I:
13 = 1
23 = 8
3 3 = 27
4 3 = 64
53 = 125
6 3 = 216
73 = 343
8 3 = 512
9 3 = 729
Pola II:
10 3 = 1.0 0 0
20 3 = 8.0 0 0
30 3 = 27.0 0 0
40 3 = 64.0 0 0
50 3 = 125.0 0 0
60 3 = 216.0 0 0
70 3 = 343.0 0 0
80 3 = 512.0 0 0
90 3 = 729.0 0 0
10 0 3 = 1.0 0 0 .0 0 0
2. Dengan m em perhatikan hasil pangkat tiga pada langkah 1, tentukan perkiraan letak
bilangan yang ditarik akarnya.
3. Tentukan nilai yang belum diketahui, dengan m em perhatikan angka satuan dari bilangan
yang ditarik akarnya.
4. Tentukan hasil dari penarikan akar yang dim aksud.
Contoh: 3 1.728 = ?
Perhatikan pola bilangan kubik, 1.728 terletak diantara 1.0 0 0 dan 8.0 0 0 atau diantara
10 3 dan 20 3 , sehingga hasil dari
dituliskan m enjadi
Edisi 14, J uli 20 0 5
3
3
1.728 terletak antara 10 dan 20 dan dapat
1.728 = 10 + n
20 , dengan 0
n
10 , n
B.
25
PENGETAHUAN MATEMATIKA
Karena satuan dari bilangan yang ditarik akarnya adalah 8, 8 = 2 3 jadi nilai
n=
23 = 2 .
3
Didapat
3
1.728 = 10 + n = 10 + 2 =12
II. Menggunakan Faktorisasi Prim a
Langkah-langkah :
1. Tentukan faktor prim a dengan m enggunakan pohon faktor atau pem bagian bergaris.
2. Kelom pokkan tiap-tiap 3 faktor prim a yang sama, sehingga dapat diganti dengan
faktorisasi prim a berpangkat tiga.
3. Bilangan berpangkat tiga apabila ditarik akar pangkat tiganya, m aka hasilnya bilangan
tersebut.
(
3
x3 = x )
Contoh:
1728
1728
2
2
2
864
2
2
432
2
2
216
2
2
216
108
54
27
9
3
54
2
432
3
108
2
864
3
3
1
27
2
9
3
3
3
Faktor prim a dari 1728 adalah 2 dan 3.
1728 = (2 × 2 × 2) × (2 × 2 × 2) × (3 × 3 × 3)
=
23
×
23
×
33
J adi,
3
1728 = 3 2 3 2 3 33 = 2 2 3 = 12
Bersambung ke halaman 31
26
PENGETAHUAN MATEMATIKA
III. Menggunakan Kalandr a
Model kalandr a dipergunakan untuk penarikan akar pangkat tiga dari bilangan kubik yang
terdiri dari lebih dari tiga angka.
Langkah-langkahnya:
1. Hitung tiga angka dari belakang kem udian bubuhkan tanda titik (.). Perlu diperhatikan
bahwa “titik” bukan berarti “ribu” seperti dalam m em baca dan m enulis bilangan, m elainkan
berfungsi untuk m em beri batasan kelom pok bilangan. Banyak kelom pok bilangan
m enandakan bahwa hasil dari penarikan akar tersebut, banyak angkanya sam a dengan
banyaknya kelom pok bilangan
Contoh :
3
1.728
2. Menentukan perkalian kem bar tiga yang hasilnya sama atau kurang dari kelom pok bilangan
pertam a. H asil perkalian tersebut digunakan untuk m engurangi kelom pok bilangan
pertam a.
3
1.728
1×1×1= 1
0
3. Menurunkan hasil pengurangan (jika hasil pengurangan pada langkah 2 bernilai nol, m aka
yang diturunkan adalah bilangan kelom pok kedua).
3
1.728
1×1×1= 1
728
4. Bilangan kem bar tiga pada perkalian bilangan kem bar pertam a dijum lahkan untuk
m engawali perkalian kem bar tiga yang kedua.
3
1.728
1×1×1= 1
728
+
3_×_×_ =
Edisi 14, J uli 20 0 5
31
PENGETAHUAN MATEMATIKA
5. Menentukan bilangan kem bar tiga yang kedua (pada langkah ke-4 ditandai dengan tanda _ ),
dim ana hasil perkalian satuannya sam a dengan satuan dari bilangan yang ditarik akarnya.
Hasil perkalian tersebut akan m engurangi bilangan yang diturunkan pada langkah 4.
3 1.728
1×1×1= 1
728
128
600
32 × 2 × 2 =
Satuannya sama-sama 8
Sisa pengurangan
Bilangan kembar kedua
6. Hasil penarikan akar pangkat tiga adalah faktor dari perkalian pertam a (1) dan faktor dari
perkalian kedua (2)sehingga didapat 12, nam un angka 12 belum dapat disyahkan sebagai
hasil penarikan akar pangkat tiga tersebut. J ika sisa pengurangan terakhir (60 0 ) dikurangi
dengan 30 0 × faktor perkalian pertam a kuadrat × faktor perkalian kedua pangkat satu
bersisa nol, m aka hasil penarikan akar tersebut dapat dianggap syah (30 0 merupakan
bilangan kunci dan tak boleh diubah)
3
1.728 = 12
1×1×1=1
728
32 × 2 × 2 = 128
600
300 × 12 × 2 = 600
0
12 hasil penarikan akar
300 merupakan bilangan kunci/tidak boleh diubah
Contoh Lain :
3
42.875 = ?
Akan diselesaikan dengan 3 cara,
Car a 1 :
42.875 terletak di antara 27.0 0 0 dan 64.0 0 0 atau antara 30 3 dan 40 3 , sehingga perkiraan
42.875 = 30 + n . Satuan dari 42.875 adalah 5 dan bilangan kubik yang
m empunyai satuan 5 adalah 125, 125 = 5 3 , jadi n = 5
32
hasilnya
3
Sehingga
3
42.875 = 30 + 5 = 35
PENGETAHUAN MATEMATIKA
Car a 2 :
42875
42875
5
5
8575
5
1715
5
8575
1715
5
345
345
5
7
7
49
7
49
7
7
7
3
7
1
42.875 = 3 (5 5 5) (7 7 7)
= 3 53 7 3
=5 7
= 35
Car a 3 :
3
3×3×3
42.875 = 35
=
95 × 5 × 5 =
30 0 × 3 2 × 5
27
15875
2375
13500
13500
=
0
------
Edisi 14, J uli 20 0 5
33