3.1 Pengertian Turunan Fungsi - Kalkulus Bagian 3

TURUNAN FUNGSI

  3

3.1 Pengertian Turunan Fungsi

  Definisi

  Turunan fungsi f adalah fungsi f ’ yang nilainya di c adalah

• f ( c h ) − f ( c )

  f lim

  ’ (c) = _h

  → h asalkan limit ini ada.

  Contoh 1

2 Jika f(x) = 3x + 2x +4, maka turunan f di x = 2 adalah

  2 h ) − f ( + f ( 2 )

   f lim

  ’ (2) = _{h →}

  h ₂

₂

  3 ( 2 h ) 2 ( 2 h ) 4 ( 3 .

  2 2 .

  2 4 ) − + + + + + +

  = lim _{h → 2} h 3 (

  4 4 h h )

  4 2 h 4 (

  12

  4 4 )

• −

  = lim _{h → 2} h 12 h 3 h 2 h

• = lim _{h →}

  h h (

  12 3 h 2 )

• = lim _{h →}

  h _{h →}

  12 3 h + + = lim ( 2 ) =

  14 Jika f mempunyai turunan di setiap x anggota domain maka

• f ( x h ) − f ( x )

  f lim

  ’ (x) = _h

  → h dy

  Jika y = f(x) turunan y atau turunan f dinotasikan dengan y , atau f ’, atau ’ (x), atau

  dx df ( x ) dx

  Contoh 2

2 Jika f(x) = 3x + 2x +4, maka turunan f di sembarang x adalah

• f ( x h ) − f ( x )

   f lim

  ’ (x) = _h

  → h ₂

₂

  3 ( x h ) + + + + + + 2 ( x h ) 4 − ( 3 x 2 x 4 ) = lim _h

  → _{2 2} h ₂

  3 ( x 2 xh h ) 2 x 2 h 4 − ( 3 x + + + + + + + 2 x 4 ) = lim _h

  → ₂ h

  6 xh 3 h + + 2 h = lim _h

  → h

  6 x 3 h + + h ( 2 ) = lim _h

  → h

  = lim ( 6 x 3 h 2 ) _h + +

  →

  = 6x + 2

3.2 Turunan Fungsi Konstan dan Fungsi Pangkat

  1. Jika f(x) = k dengan k konstan untuk setiap x (f fungsi konstan), maka f ’(x) = 0.

• f ( x h ) f ( x )

  −

  Bukti: f lim

  ’(x) = _{h →}

  h k − k

  = lim _{h →0}

  h

  = 0

  2. Jika f(x) = x untuk setiap x (f fungsi identitas), maka f ’(x) = 1.

• f ( x h ) − f ( x )

  Bukti: f lim

  ’(x) = _h

  → h

• ( x h ) − x = lim _h

  → h h

  = lim _h

  → h = 1. n n –1 3. Jika f(x) = x dengan n bilangan bulat positif, untuk setiap x, maka f .

  ’(x) = nx

• f ( x h ) − f ( x )

  Bukti: f lim

  ’(x) = _h

  → h ^{n n}

• ( x h ) − x

  = lim _h

  → h

  _{n n − 1 n −}

  n ( n −

  1 ) _{2 2 n − 1 n n}

  x nx h x h ... nxh h x

• −

  2 = lim _h

  → _{n 1 n ( n −} h

  1 ) n ^{2 n 2 n 1} ⎛ − − − − ⎞

  h nx x h ... nxh h

• ⎜ ⎟

  2 ⎝ ⎠

  = lim _h

  → h n ( n

  1 ) ⎛ − ⎞

  − − − − ^{n 1 n 2 n 2 n 1}

• = lim nx x h ... nxh h
• _h

  ⎜ ⎟

  →

  2 ⎝ ⎠ _{n 1}

  −

  = lim nx _{h → n 1}

  −

  = nx

  Contoh 3

  5

  4 Jika f(x) = x , maka turunan f adalah f

  ’(x) = 5x

3.3 Sifat-sifat Turunan

  Jika k suatu konstanta, f dan g fungsi-fungsi yang terdiferensialkan, u dan v fungsi- fungsi dalam x sehingga u =f(x) dan v =g(x) maka berlaku:

  1. Jika y = ku maka y ’ = k(u’ )

  2. Jika y = u + v maka y ’ = u ’ + v ’

  3. Jika y = u – v maka y ’ = u ’ – v ’

  4. Jika y = u v maka y ’ = u ’ v + u v ’

  u u ' v − uv '

  5. Jika y = maka y ’ = ₂

  v v Contoh 4

  5

  4

  

4

  1. Jika f(x) = 3x , maka f = 15x ’(x) = 3.5x

  5

  4

  2. Jika f(x) = 3x + 2x, maka f + 2 ’(x) = 15x

  5

  4

  3. Jika f(x) = 3x – 2x, maka f – 2 ’(x) = 15x

  5

  4

  5

  4. Jika f(x) = (3x + 2x)(4x + 7), maka f + 2) (4x + 7) + (3x + 2x)4 ₅ ’(x) = (15x _{4 5} 3 x 2 x ( 15 x + + + + 2 )( 4 x 7 ) − ( 3 x 2 x )

  4

  5. Jika f(x) = , maka f ’(x) = ₂ 4 x

• 7 (

  4 x 7 )

• –n

  ’(x) = ₂ ¹ ) ( . 1 . _n ^{n n}

  nx

  − ⁿ

  − = ^{− 1 −}

  x nx ^{2 1} − −

  − = ^{n n}

  x nx ₂ ^{1 −}

  − = _n ⁿ

  x nx x −

  f

  px

  diperoleh

  v u

  1 . Dengan menggunakan turunan y =

  x

  dengan – n = p, sehingga f(x) = _n

  dengan p bilangan bulat negatif maka f(x) = x

  p

  6. Jika f(x) = x

  = ^{1 − p}

3.4 Aturan Rantai (untuk Turunan Fungsi Komposisi)

  Untuk menentukan turunan y = (3x

• 7x – 8)
• 7x – 8) kemudian mencari turunan polinom berderajat 36 tentulah sangat melelahkan. Cara yang mudah untuk menentukan turunan y = (3x
• 7x – 8)

  g) ’ (x)

  dx dv dv du du dy dx dy =

  h)(x) maka

  o

  g

  o

  yakni y = (f

  v = h(x)

  = g(v)

  u

  Jika y = f(u)

  Fungsí komposisi dapat diperluas menjadi komposisi 3 fungsi, 4 fungsi dan seterusnya.

  = f ’(g(x)) g’(x) atau

  

o

  4

  ’ = (f

  y

  g)(x) terdiferensialkan di x dan

  u = g(x) maka y = (f o

  g)(x). Jika g terdiferensialkan di x dan f terdiferensialkan di

  o

  Misalkan y = f(u) dan u = g(x) menentukan fungsi komposisi yang dirumuskan dengan y = f(g(x)) = (f

  Aturan Rantai

  9 adalah dengan menggunakan aturan rantai. dx du

du

dy

dx dy =

  4

  dengan cara mengalikan bersama kesembilan faktor (3x

  9

  4

  Contoh 5

  4

9 Tentukan turunan y = (3x + 7x – 8)

  Penyelesaian : du

  4

  3 Misalkan = 3x + 7x – 8 =12x + 7 u → dx dy

  9

  8 y = u → = 9u . du dy du

  8

  3 dy = = 9u (12x + 7) dx du dx

  4

  8

  3

• 7x – 8) (12x + 7) = 9(3x

  3.5 Turunan Fungsi Invers

• –1 –1

  Misalkan y = f(x) dan f mempunyai invers f sehingga x = f (y). Dengan

• –1

  menggunakan aturan rantai pada x = f (y) diperoleh

  − ¹ dx df ( y ) dy

  = dx dy dx dx dy

  1 = ⇔

  dy dx dx

  1

  = ⇔

  dy dy dx

  3.6 Turunan Fungsi Implisit

  Fungsí implisit secara umum dapat ditulis sebagai f(x, y) = 0 dengan y sebagai fungsí dalam x.

3 Contoh fungsi implisit: 1) y – 2x – 8 = 0

  3

  2

  2) 2x y – 7y – x + 1 = 0

  Contoh 6 dy

  3

  1. Tentukan dari fungsí yang dirumuskan dengan y – 2x – 8 = 0

  dx Penyelesaian :

3 Apabila kedua ruas y – 2x – 8 = 0 diturunkan terhadap x, maka diperoleh:

  dy dy

  2

  2

• – 6x = 0 ⇔ = 6x

  dx dx dy

  3

  2

  2. Tentukan dari fungsí yang dirumuskan dengan 2x y – 7y – x + 1 = 0

  dx Penyelesaian :

  3

2 Apabila kedua ruas 2x – 7y – x + 1 = 0 diturunkan terhadap x, maka diperoleh:

  y dy dy

  2

  3

  6x y + 2x – 7 – 2x = 0

  dx dx dy

  3

  2

  ⇔ (2x – 7) = 2x – 6x y

  dx ₂ dy

  2 x − 6 x y ⇔ = ₃

  dx

  2 x −

  7

3.7 Turunan Tingkat Tinggi

  Jika fungsi diturunkan maka turunannya, yaitu f ’ juga berupa fungsi sehingga boleh jadi f

  ’ mempunyai turunan tersendiri yang dinyatakan oleh (f ’)’ = f ’’. Fungsi yang f ’’ baru ini disebut turunan kedua dari f karena dia merupakan turunan dari turunan f . Dengan notasi Leibniz kita tuliskan turunan kedua dari y = f(x) sebagai ₂

  

d dy d y

⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ₂ dx dx dx

  ⎝ ⎠

2 Notasi lain adalah f f (x)

  ’’(x) = D

  Contoh 7

4 Jika f(x) = 3x + 7x – 8, tentukan f ’’(x).

  Penyelesaian :

  3

• 7

  f

  ’(x) = 12x untuk mencari f ’’(x) kita turunkan f ’(x):

  d

  12 7 )

  f x ³

• (

  ’’(x) =

  dx

  2

  = 36x

  Contoh 8

5 Jika f(x) = (3x + 2x)(4x + 7), tentukan f ’’(x).

• )
• 2x)
• )
• 2) (4x + 7) + (3x
• 2x)4

• 2) (4x + 7) + (3x
• 2x)4] =

• 2) (4x + 7)] +
• 2x)4] =
• )
• ⎟ ⎠ ⎞
• ⎟ ⎠ ⎞
• 4 )
• ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝
• 2) 4 + (15x
• 2) 4 + (3x
• 2x).0 = 60x
• 2) 4 + (15x
• 2) 4

  4

  7 ) 4 (

  2 15 ( ^{4 4}

  x dx d x x x dx d

  ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

  ⎝ ⎛

  ⎛

  2 3 ( 4 )

  2 3 ( ⁵

⁵

dx d x x x x dx d

  = 60x

  3

  (4x + 7) + (15x

  4

  5

  Fungsi Irrasional adalah akar dari fungsi-fungsi rasional

  2 ) 15 (

  (4x + 7) + (15x

  4

  4

  ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧

  ⎩ ⎨ ⎧

  

Hiperbolik Fungsi

Eksponensi al Fungsi

Logaritma Fungsi

Siklometri Fungsi

  Trigonomet ri Fungsi Transenden Fungsi

Irrasional Fungsi

Rasional Fungsi

  Aljabar Fungsi Fungsi

  3.8.1 Turunan Fungsi Rasional

  Contoh-contoh tentang turunan yang diuraikan sebelumnya (contoh 3) adalah contoh-contoh turunan fungsi rasional. Jadi turunan fungsi rasional ini tidak perlu dibahas kembali.

  3.8.2 Turunan Fungsi Irrasional

  3

  ⎜ ⎝ ⎛

  7 ) 4 (

  4

  Penyelesaian : f

  ’(x) = ⎟ ⎠ ⎞

  ⎜ ⎝ ⎛

  2 3 ( ⁵

  x x dx d

  (4x + 7) + (3x

  5

  ⎟ ⎠ ⎞

  ⎜ ⎝ ⎛

  7 4 ( x

  dx d

  = (15x

  5

  ⎜ ⎝ ⎛

  f

  ’’(x) =

  dx d

  [(15x

  4

  5

  dx d

  [(15x

  4

  dx d

  [(3x

  5

3.8 Turunan Fungsi Aljabar dan Fungsi Transenden

• =
• Dengan aturan rantai diperoleh: y

  =

  →

  cos sin sin cos cos lim − −

  h x h x h x _h

  =

  →

  ) cos cos( lim − +

  h x h x _h

  =

  →

  ) ( ) ( lim − +

  h x f h x f _h

  ’(x) =

  f

  Ingat: cos (a + b) = cos a cos b – sin a sin b. Jika f(x) = cos x, maka

  3 ₃ ²

  4

  h h x h x _h

  − −

  ) sin sin 1 (cos cos lim

  ) 1 (cos lim

  = cos x . 0 – sin x . 1 = – sin x

  →

  sin lim

  → h h _h

  sin lim

  →

  −

  → h h _h

  →

  = x _h cos lim

  →

  sin sin lim

  →

  −

  ) 1 (cos cos lim

  h h x _h

  =

  2

  x x x

  4

  dy dx

  ( ) ^{n n} x n

  1 =

  y n − ¹

  = ⁿ

  − ⁿ ny

  1

  1 = ₁

  =

  1 =

  n –1 dx dy

  = ny

  dy dx

  sehingga

  x dengan n bilangan bulat positif Penyelesaian : y = ⁿ x ⇔ x = y n

  Tentukan turunan y = ⁿ

  Contoh 9

  − ¹

  ( ) ^{n n} x n

  =

  x x

  − x x x

  1 _{2 3 2} ¹

  2

  4

  3

  4

  ’ = ( ) ( )

  4 ³

  − ^{1 1}

  ( ) ^{2 1}

  4 ³

  4 ³ + Penyelesaian : y = x x

  Tentukan turunan y = x x

  Contoh 10

  − _n x n

  1

  1 = ^{1 1}

3.8.3 Turunan Fungsi Trigonometri Akan dicari turunan fungsi kosinus sebagai berikut.

• – h h x _h
• – x _h

jika f(x) = cos x, maka f ’(x) = – sin x

  Jadi, Analog: jika f(x) = sin x, maka f

  ’(x) = cos x jika f(x) = tg x, maka f ’(x) = sec

  2

  x jika f(x) = ctg x, maka f ’(x) = – cosec

  2

  x jika f(x) = sec x, maka f ’(x) = sec x tg x jika f(x) = cosec x, maka f

  ’(x) = – cosec x ctg x

3.8.4 Turunan Fungsi Siklometri Fungsi siklometri adalah invers fungsi trigonometri.

  y = arc sin x → x = sin y → 1

  = ₂

  Jadi,

  1 − x

  1

  jika y = arc sin x, maka y ’ = ₂

  1 − x

  1

  1 x −

  x y ₂

  1 cos y = ²

  y cos

  =

  Akan dicari turunan invers fungsi sinus (arcus sinus) berikut.

  = cos y

  1 x − dy dx

  dx dy Analog:

  1

  jika y = arc cos x, maka y ’ = – ₂

  1 − x

  1 jika y = arc tg x, maka y ’ =

• 1 x
²

  1 jika y = arc ctg x, maka y ’ = – ²

• 1 x

  1

  jika y = arc sec x, maka y ’ = ₂

  x x −

  1

  1

  jika y = arc cosec x, maka y ’ = – ₂

  x x −

  1

3.8.5 Turunan Fungsi Logaritma Akan dicari turunan f(x) = ln x berikut.

• f ( x h ) − f ( x )

  f lim

  ’(x) = _h

  → h

• ln( x h ) ln x

  − = lim _h

  → h x h

  ⎛ + ⎞ ln ⎜ ⎟

  x

  ⎝ ⎠ = lim _{h →}

  h h

  ⎞ ln ⎛ +

  1 ⎜ ⎟

  x

  ⎝ ⎠ = lim _{h →}

  h h

  ⎞ ⎛ + ln

  1 ⎜ ⎟ x

  ⎝ ⎠

  = lim _h

  → h

  . x x x h

  ⎞ ⎛ + ln

  1 ⎜ ⎟

  h x

  ⎝ ⎠ = lim _h

  → x

  _h x h

  ⎞ ln ⎛ + 1 ⎜ ⎟ x

  ⎝ ⎠

  = lim _h

  → x _{h x} h

  ⎞ lim ln ⎛ + 1 _{h →} ⎜ ⎟

  x

  ⎝ ⎠ = lim x _{h → h x}

  h ⎞ ⎛ +

  Mengingat (1) lim ln f ( x ) = ln lim f ( x ) dan (2) lim

  1 = e _{h h h} ⎜ ⎟ → → → x

  ⎝ ⎠

  Sehingga diperoleh: _{h x}

  h

  ⎞ lim ln ⎛ + 1 _h ⎜ ⎟

  → x

  ⎝ ⎠

  f

  ’(x) = lim _h x

  → _{h x} h

  ⎞ ⎛ + ln lim

  1 _h ⎜ ⎟

  → x

  ⎝ ⎠ = _h lim x

  →

  ln e =

  x

  1 =

  x

  Jadi, 1 jika f(x) = ln x, maka f

  ’(x) =

  x a Selanjutnya jika y = log x maka turunannya dapat dicari sebagai berikut.

  ln x

  a y = log x

  ⇔ y = ln a

  1 = ln x ln a

  1

  1 Sehingga y ’ = ln a x

  1 =

  x ln a Jadi,

  1

  a

  jika y = log x , maka y ’ =

  x ln a

3.8.6 Turunan Fungsi Eksponensial

  x Akan dicari turunan y = a sebagai berikut. x x y = a ⇔ ln y = ln a

  ⇔ ln y = x ln a ln y ⇔ x = ln a

  1 ⇔ x = ln y ln a

  dx

  1

  1 Sehingga =

  dy ln a y dy

  Diperoleh = y ln a.

  dx x

  = a ln a

  x x

  Jadi, jika y = a , maka y ln a ’ = a

  x x

  Khususnya untuk a = e, jika y = e , maka y ln e ’ = e

  x

  = e

  x x

  Jadi, jika y = e , maka y ’ = e

3.8.7 Turunan Fungsi Hiperbolik

  Definisi −

  − ^{x x x x} + e − e

  1 e e sinh x = coth x = = _{x x}

  −

  2 tanh x e − e

  − ^{x x} + e e

  1

  2 cosh x = sech x = =

  − ^{x x} +

  2 cosh x e e _{x x}

  −

  sinh x e − e

  1

  2 tanh x = = csch = =

  x − − ^{x x x x} +

  cosh x e e sinh x e − e Jika f(x) = sinh x, maka dengan menggunakan turunan fungsi eksponensial diperoleh _{x x}

  − ⎛ ⎞ d e − e f ' x ( ) =

  ⎜⎜ ⎟⎟ dx

  2 _{x x} ⎝ ⎠ − e − ( − e )

  =

  2

  − ^{x x} + e e

  =

  2 = cosh x.

  Jadi, jika f(x) = sinh x, maka f ’(x) = cosh x

3.9 Turunan Fungsi Parameter

  Apabila disajikan persamaan berbentuk:

  x = f(t) y = g(t)

  maka persamaan ini disebut persamaan parameter dari x dan y, dan t disebut

  dy

  parameter. Dari bentuk parameter ini dapat dicari dengan cara sebagai

  dx

  berikut. Dari x = f(t) dibentuk t = h(x) dengan h fungsi invers dari f. Nampak bahwa y = g(t) merupakan bentuk fungsi komposisi = g(t)

  y

  = g(h(x))

  dy dy dt dy dy

  1 Diperoleh = atau = dx dx dt dx dx dt dt

  sehingga

  dy dt dy

  =

  dx dx dt SOAL dy

  Carilah untuk yang berikut

  dx

  1

  4

  2

  2

  1. + 2x + x)(x + 7) 5. y = y = (3x ² + 4 x − x

  3

  9

  x −

  1

  3

  2

  2

  2. + 3x )(4x + 2) 6. y = y = (x

• x

  1 ² +

  1 2 x − 3 x

  1 3. 7. y = y = ₂ 3 x

  1

  1 2 x + +

  2 4. y = ₂ 5 x −

  1

  dy

  Dengan aturan rantai tentukan untuk yang berikut

  dx

  15 8.

  y = (2 – 9x) 3 x −

  1

  2 5 ⎛ ⎞

  9. + 2x – 8) 15. y = sin y = (5x ⎜ ⎟

• 2 x

  5 ⎝ ⎠ ₂

  ⎛ ⎞

  1 x −

  1 10.

  16. y = cos y = _{2 9}

  ⎜⎜ ⎟⎟

  ( 4 x − x

  3 + + 9 ) x

  4 ⎝ ⎠

  2

  4

  11. + 11x) 17. y = arcsin (3x – 11x) y = sin (3x

  4

  4

  8

  12. – 11x) 18. = arctg (3x – 11x)

  y

  y = cos (3x

  3

  2

  13. x 19. y = ln (5x + 2x – 8) y = sin ₄

  x −

  ⎛ ⎞ (2 – 9x) 14. y = 1⎟ 20. y = e

  ⎜

• x

  1 ⎝ ⎠

  Tentukan turunan fungsí implisit berikut

  2

  2

  3

  2

  3

  21. x + y =

  9 26. 4x + 11xy – 2y = 0

  2

  2

  22. 4x + 9y =

  36 27. xy + 3y = 10x

  2

  23. x y = 4 28. xy + sin y = x

  2

  2

  24. xy – x + 16 = 0 29. cos (xy) = y + 2x

  3

  2

  3

  2

  25. x – 3x y + 19xy = 0 30. 6x –

  2 xy + xy = y Tentukan

  dx dy

  untuk fungís parameter berikut 31. y = 2 – 9t 34. x = ln (2t – 9) x = sin t y = (t

  2

  3

• 7)

  32. y = 2 – 9t

  2

  35. x = e

  (2t – 9)

  x = arc sin (t – 1) y = cosec t 33. x = ln (2 – 9t) 36. y = sec (t – 1) y = sin t x = tg (t – 1)