Matematika Teknik 2 – Bab 2 – Transformasi Laplace

BAB 2 TRANSFORMASI LAPLACE Pokok Pembahasan : Prinsip Dasar Linierit as Singularit as Perkalian dan Pembagian Dengan Wakt u Pergeseran Transf ormasi Fungsi-f ungsi Element er

MATEMATIKA LANJUT

1. PRINSIP DASAR

  

⊕ Transf ormasi Laplace adalah t ransf ormasi dari suat u f ungsi wakt u t ;

f (t ), dengan f rekuensi kompleks, menj adi f ungsi f rekuensi F(s).

  ⊕ Transf ormasi Laplace digunakan unt uk memecahkan f ungsi-f ungsi :

• Periodik dan aperi
• Kont inyu dan diskont inyu
• Eksponensial • Membent uk Persamaan Dif erensial
• Fungsi yang t ak dapat dit ulis dengan pernyat aan mat emat ik ⊕ Bila f (t ) komt imyu, maka F(s) j uga kont inyu.

  ⊕ Membuat f ungsi menj adi konvergen.

MATEMATIKA LANJUT

  ⊕

  Bila f (t ) ; t > 0 , maka t ransf ormasi Laplace f (t ) adalah F(s)

  ∞

• st

  f(t).e dt

  F(s) = f (t ) = ( 2-1 )

  L ∫

  dengan e = 2. 71828 s = Frekuensi kompleks s = σ + j ω

• -st Fakt or perkalian e membuat f ungsi F(s) konvergen.

MATEMATIKA LANJUT

2. LINIERITAS 2. 1. Penj umlahan

  Transf ormasi Laplace penj umlahan/ pengurangan dua at au lebih f ungsi t f (t ), sama dengan j umlah/ kurang t ransf ormasi Laplace dari masing- masing f ungsi t it u sendiri.

  ∞

• -st

  [ f (t ) + f (t ) ] = f (t) ± f (t) e dt

  { } L

  1

  2

  1

  2 ∫ ∞ ∞

− st − st

  [ f (t ) + f (t ) ] = f (t).e dt f (t).e dt

• [ f (t ) + f (t ) ] = f ( t ) + f ( t )

  L

  1

  2

  1

  2 ∫ ∫

  L L L

  1

  2

  1

  2

  [ f (t ) + f (t ) ] = F (s) + F (s) ( 2-2 )

  L

  1

  2

  1

  2

MATEMATIKA LANJUT

  2. 2. Perkalian Dengan Konstanta

  Transf ormasi Laplace dari perkalian suat u f (t ) dengan sembarang konst ant a sama dengan perkalian sembarang konst ant a dengan t ransf ormasi Laplace (f (t ) it u sendiri.

  ∞ ∞ − st − st k.f (t).e dt k f (t).e dt

  [ k f (t ) ] = =

  L ∫ ∫

  [ k f (t )] = k F(s) ( 2-3. A )

  L ∞ ∞ − s t − s t

  [ a. f (t )+ b. f (t )] = a f ( t ) e d t ± b f ( t ) e d t

  L

  1

  2

  1

  2 ∫ ∫

  [ a. f (t ) + b. f (t )] = a F (s) + b F (s) ( 2-3. B )

  L

  1

  2

  1

  2

MATEMATIKA LANJUT

3. SINGULARITAS 3. 1. Diferensiasi

  ∫ df (t) du dt dt ⎡ ⎤

  Transf ormasi Laplace dif erensiasi f (t ) dan t urunannya f ’ (t ) adalah sbb :

• st

  L

  f (t ) = F(s) = Misal : u = f (t ) ; dv = e

  − = −

  st e v s

  f(t).e dt

∞

• st
• st
• st

  = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦

  f(t).e dt ∞

  df (t) dt ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦

  d f ( t ) d t ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦

  1 s

  f(0) s

  dt ;

  = - = + L L

  ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

  ⎛ ⎞ − ⎜ ⎟

  ∞ −

  e f (t) s

  ∫ st

  ⎟ ⎜ ⎝ ⎠

⎝ ⎠

  ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜

  ⎜ ⎟ ⎟ ⎜

  = s F(s) – f (0) ( 2-4. A )

  ∞ ⎛ ⎞⎛

  e df(t)

• dt s dt

  ∫

  ⎞ ⎟ ⎜ ⎟

MATEMATIKA LANJUT

  2 ⎡ ⎤ d d f ( t ) ⎡ ⎤ d f ( t ) d f ( t )

  ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = = s . f ’ (0) L L

  L ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

• 2

  d t d t d t d t ⎢ ⎥ ⎣ ⎦

  ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

  = s F(s) – f (0) – f ’ (0) = s [ s f (s) – f (0) ] – f ’ (0)

  2 ⎡ ⎤ d f ( t )

  2

  = s f (s) – s. f (0) – f ’ (0) ( 2-4. B )

  L ⎢ ⎥

  2 d t ⎢ ⎥

  ⎣ ⎦ n

  ⎡ ⎤ d f ( t ) n n-1 n-2 n-2 n-1

  ⎢ ⎥

  = s f (s) – s . f (0) – s f ’ (0) - . . . . – s. f (0) + f (0)

  L n d t ⎢ ⎥

  ⎣ ⎦ n

  ⎡ ⎤ n n

  − − n j j 1

  [ D f (t ) ] = s . F(s) - ( 2-4. C )

  ⎢ ⎥ L s . f (0)

  ∑ ⎢ ⎥ j 1 =

  ⎣ ⎦ ⊕

  f (0) = f ungsi nilai awal ( init ial val ue f unct ion )

MATEMATIKA LANJUT

  3. 2. Integrasi

A. Integrasi Terbatas

• st
• s t

  L

  ∫ ∫

  ∫

  ∞ ⎛

⎞⎟

⎜

⎟

⎜

⎟

⎜

⎟⎟

⎜⎝

⎠

  ∫ t

  ∫ t f(t) dt

  1 f(t).e dt s

  ∫ t

  1 F ( s ) s t f(t) dt

  1 e s −

  ∫

  f ( t ) . e d t ∞

  ⎛ ⎞⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎟ ⎜⎝ ⎠

  f (t ) = F(s) =

  f(t) d t .e d t ∞

  t f(t) dt

• st
• st
• e f(t) dt s

  = ( 2-5. A )

  L

  = +

  L

  dt , v =

  st

  = Misal : u = , du = f (t ) dt ; dv = e-

  L

  ∫ t

• st

MATEMATIKA LANJUT

  ^{TRANSFORMASI LAPLACE} .

B. Integrasi Tanpa Batas Waktu Unt uk kasus sepert i ini diperlukan nilai awal yait u nilai pada t = 0.

  ∞

  1

  = ( 2-5. B )

  L f ( t ) d t F(s) + f(0) [ ]

  ∫ s

4. PERKALIAN DAN PEMBAGIAN DNG WAKTU t (TIME-FREQ. SCALING) 4. 1. Perkalian dengan waktu t

  ∞

• st

  ∞ d(e )

• st

  t f(t) dt t.f(t) e d t −

  [ t f (t ) ] = =

  L ∫

  ∫ ds

  ∞ dF(s) d

• st

  = f(t) e dt − ∫ ds ds

MATEMATIKA LANJUT

  ^{TRANSFORMASI LAPLACE} L

  [ t f (t ) ] = ( 2-6. A )

  L

  [ t

  2

  f (t ) ] = ( 2-6. B )

  L

  [ t

  n

  f (t ) ] = ( 2-6. C )

  dF(s) ds −

  2

  2

  2 d F(s) ( 1) ds − n

n

n d F(s) ( 1) ds −

MATEMATIKA LANJUT

  ⎛ ⎞⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠

  ⎛ ⎞⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠

  ∞ ∞ ∫ ∫ f(t) t

  ∞ ∞ ∫ ∫

  d(-st) f(t) dt . e

  ∫

  F (s) d s ∞

  ∞ ∞ ∫

s

  f(t) dt. e t _s

  ∞ ∫ f(t) t

  f(t) e dt t

• st

  ∫ ∫

  ∞ ∞ −

  f(t) dt e d(-st) t

  ( 2-7 )

  L =

  = = = = =

  4. 2. Pembagian Dengan Waktu t L

• st

• st s
• st
• t
• st s f(t) e dt ds .

MATEMATIKA LANJUT

5. PERGESERAN 5. 1. Pergeseran Waktu ( T ime Shift ing )

  Bila f (t ) = F(s) , digeser sebesar t , maka

  L ∞

  ∞

• st -st

  f (t -t ). U(t -t ) = f(t-t ).U(t-t ) e dt = f(t-t ) e dt

  L o ∫

  ∫ s t

  ⊕ F(t -t ). U(t -t ) = 0 , berlaku unt uk t < t ⊕ f (t -t ) , berlaku unt uk t > t

  Jika dimisalkan τ = t - t ; t = τ + t ; d τ = dt

  ∞ ∞

• s ( τ + t )
• s τ

  

f( d

  maka f (t -t ). U(t -t ) = τ) e τ =

  f( L

  τ) e dτ ∫

  ∫

• -st o

  f (t -t ). U(t -t ) = e F(s) ( 2-8 )

  L

MATEMATIKA LANJUT

  Gat e Funct ion 5. 2. Fungsi Gerbang ( ) ⊕ Fungsi gerbang adalah super posisi dua buah Fungsi Sat uan Langkah ( Unit St ep Funct ion ).

  ⊕ Not asi f ungsi gerbang G (T) ; t < T to

  G (T) = U(t -t ) – U( t - t – T)

  t 0 f (t ) f (t )

  T

t T t t t

MATEMATIKA LANJUT

  E T E T E T E T E T

  Cont oh : 1. f (t ) = t . G (T) = t [ U(t ) – U(t -T) ]

  F(s) =

  L

  { t [ U(t ) – U(t -T) ] } =

  L

  { t . U(t ) - (t -T) . U(t -T) – E. U(t - T)} = - e

  E Ts

  E s

  T t t f (t ) f (t )

  E E

  1 E Ts

sT>e

  E Ts

• sT

  F(s) = [ 1- (1+T). e

  ] T

MATEMATIKA LANJUT

  2 T/ 2

  ⎪ ⎪ ⎩ ⎭

  ⎟ ⎜ ⎪ ⎪

  ⎧ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪

  2 π s T

  

2

1 e

  2

  2

  T

  2 E T π

  2 t T π

  1 f (t ) t

  π T

  1 T 2 t T

  2

  T

• ⎪ ⎪ ⎨ ⎬ ⎪ ⎪ ⎛ ⎞ ⎪ ⎪

  F(s) =

  f ; f = f (t ) = E sin . G ( ) f (t ) = E sin ( ). [ U(t – T/ 2)]

  π

  = 2

  ω

  t . G ( ) ;

  ω

  2. f (t ) = E sin

• s
• ⎟ ⎜ ⎪ ⎪ ⎟ ⎜⎝ ⎠

MATEMATIKA LANJUT

  5. 3. Pergeseran Frekuensi

  Pergeseran f rekuensi dalam domain s merupakan t ransf ormasi Laplace

• -bt

  perkalian f (t ), dengan f ungsi eksponensial e , yait u sama dengan t ransf ormasi Laplace f ungsi t ersebut yang mengalami pergeseran s sebesar b sehinga menj adi (s+b).

  Bila f (t ) = F(s)

  L ∞

• b t -s t
• bt

  e .f ( t) .e d t

  [ e . f (t )] =

  L ∫

  ∞

• (s+ b )t

  e f(t) d t

  =

  ∫

• bt

  [ e . f (t )] = F(s+b) ( 2-9 )

  L

MATEMATIKA LANJUT

  5. 4. Fungsi Periodik

  Transf ormasi Laplace f ungsi periodik dengan periode T sama dengan

• sT t ransf ormasi Laplace periode pert ama f ungsi t ersebut dibagi (1- e ).

  f (t )

  f (t) f (t) f (t) f (t)

  1

  2 3 n

  T

  2T

  3T nT t f (t ) = f (t ) + f (t ) + f (t ) + . . . . . . . . . . . . . . f n(t )

  1

  2

  3

  f = f (0) U(t ) ; f = f (U-T) U(t -T)

  1

  2

  f = f (U-2T) U(t -2T) ; f n = f (U-nT) U(t -nT)

  3

  f (t ) = F (s)

  L

  1

  1

MATEMATIKA LANJUT

• sT
• 2sT
• (n-1)sT
• F
• . . . + F

  1

  1

  

F (s )

1 - e

  1

  

( )

  ( 2-10 )

  ] F(s) =

  (s) [ 1 + e

  (s) e

  F(s) = F

  F(s) = F

  (s) e

  1

  (s)e

  1

  (s)+ F

  1

• sT

• -2sT

• (n-1)sT
• e
• . . . + e
• s T

MATEMATIKA LANJUT

6. TRANSFORMASI FUNGSI-FUNGSI ELEMENTER 6. 1. Fungsi Eksponensial Waktu.

  at

  f (t ) = e dengan a adalah konst ant a yang dapat merupakan bilangan : Nyat a, Imaj iner at au Kompleks

  ∞

• -st

  Bila f (t ) = F(s) =

  f(t).e dt L

  ∫ ∞

  ∞ ∞ at -st

  1

• (s-a)t − -(s-a)t

  e .e dt

  f (t ) = = = . e

  e dt L

  ∫ ∫

  ( s - a )

  

1

at

  e = ( 2-11 )

  L

( s - a )

MATEMATIKA LANJUT

  Unit St ep Funct ion 6. 2. Fungsi Satuan Langkah ( ) f (t )

  f (t ) = U(t )

  U(t )

1 U(t ) = 1 ; t > 0

  U(t ) = 0 ; t < 0

  t at

  Bila U(t ) = e unt uk a = 0, U(t ) = 1

  1

  1 U(t ) = unt uk a = 0 U(t ) = L

  L ( s - a ) s

  ∞ ∞

  1

• st -s t

  U(t ) = =

  L ∫ s

  e dt . e −

  1 U(t ) =

  ( 2-12

  L s

  )

MATEMATIKA LANJUT

  jat e cos at + j sin at =

• jat
• 1 2j
• j at

  e cos at - j sin at =

  6. 3. Fungsi Sinus

  e

  j at

• – e

  j at

• j at
• – e

  2 a s a

  1 2j s-ja s+ja ⎧ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ − ⎨ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭

  1

  1

  ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ ( ) ( )

  ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ − ⎨ ⎬

  1 [e e ] 2j ⎧ ⎫

  =

  2

  ]

  = 2j sin at sin at = [ e

  sin at = ( 2-13 )

  L

  L

  sin at =

  L

• ^{jat -jat}

MATEMATIKA LANJUT

• j at
• j at

  e

  j at

  j at

  6. 4. Fungsi Cosinus

• e
• e
• j at
• e

  L

  at

  2 a s - a

  2

  2 s s - a

  2

  2 s s + a

  2

  cosh at = ( 2-16 )

  L

  sinh at = ( 2-15 )

  L

  ]

  at

  ] ; cosh at = [ e

  = 2 cos at ; cos at = ½ (e

  sinh at = [ e

  6. 5. Fungsi Hiperbolik

  cos at = ( 2-14 )

  ) ]

  

j at

  [ ½ (e

  L

  cos at =

  L

  )

• at
• – e
• e

• at

MATEMATIKA LANJUT

7. IKHTISAR TRANSFORMASI LAPLACE 7. 1. Sifat-Sifat Utama Transformasi Laplace

  Fungsi t Fungsi s Linierit as

  [ f (t ) + f (t ) ] F (s) + F (s)

  1

  2

  1

  2 Perkalian dng konst ant a k f (t ) ; k > 0 k F(s)

  [ a. f (t ) + b. f (t )] ; a, b >0 a F (s) + b F (s)

  1

  2

  1

  2 d f ( t ) ⎡ ⎤

  Dif erensiasi s F(s) – f (0)

  ⎢ ⎥ d t ⎣ ⎦ n n ⎡ ⎤

  ⎡ ⎤ d f ( t ) − − n j j 1

  ⎢ ⎥ s . f (0) ⎢ ⎥

  Dif erensiasi ke n

  n ∑

  ⎢ ⎥ d t ⎢ ⎥

  ⎣ ⎦ j 1 = ⎣ ⎦

MATEMATIKA LANJUT

  Fungsi t Fungsi s

  t

  1 F ( s ) f(t) dt

  Int egrasi (t erbat as)

  ∫ s

  ∞

  1 f(t) dt F(s) + f(0)

  Int egrasi (t ak t erbat as)

  [ ] ∫ s

• st o

  Pergeseran Wakt u f (t -t ). U(t -t ) ; t > 0 e F(s)

• bt

  Pergeseran Frekuensi [ e . f (t )] F(s+b)

  ⎡ 1 s ⎤ ⎛ ⎞ F

  Skala Frekuensi-Wakt u f (at ) ; a > 0

  ⎢ ⎥ ⎜ ⎟ a a ⎝ ⎠

  ⎣ ⎦

MATEMATIKA LANJUT

  Fungsi t Fungsi s Perkalian dng Wakt u t . f (t ) t

  n

  f (t ) Pembagian dng Wakt u

  dF(s) ds − n n n d F(s) ( 1) ds − s

  F (s) d s ∞

  ∫

f(t)

t

  ⎛ ⎞⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎜⎝ ⎠

MATEMATIKA LANJUT

  7. 2. Transformasi Laplace Fungsi-fungsi Elementer 7. 2. 1. Fungsi Singularitas

  Fungsi t Fungsi s

  t

  Unit Impuls

  δ (t )

  1

  1 Unit St ep t u(t ) s

  1 t

  Unit Ramp r(t ) = t u(t )

  2 s

MATEMATIKA LANJUT

  Fungsi t Fungsi s

  2

  1 t

  Unit Parabola p(t )= ½ t u(t )

  3 s

  1 (-n)

  Int egral ke n impuls δ (t ) n

  s δ

  Unit Doublet ’ (t ) s

  (n) n

  Turunan ke n impuls δ (t ) s

MATEMATIKA LANJUT

  7. 2. 2. Fungsi Elementer Biasa

  Fungsi t Fungsi s

  k

  Konst ant a k

  s

  1

  t t

  2 s

  (n 1) − t

  1 Pangkat dari t

(n 1)! −

  n

  s

  1 at

  Eksponensial e

  (s − a )

  1

• at

  Perkalian t dng Eksponensial t . e

  (s a )

• 2

MATEMATIKA LANJUT

  Fungsi t Fungsi s

  

1

− − n 1 at

  1 Perkalian t dng Eksp. - t e

  n

( n 1) !

• +

  +

  Berulang

  (s a ) ω ω

  Sinus sin t

  2

  2

• ω s s

  Cosinus cos ω t

  2

  2

• ω s ω

  ω

  Sinushyperbolicus sinh t

  2

  2 s − ω s

  Cosinushyperbolicus cosh ω t

  2

  2 − ω (s b ⎛ ⎞

  2 2 −

  1

• ω as b
• Sinusoid

  a b cos ω − t tan ⎜ ⎟

  2

  2 a ⎝ ⎠ s + ω

MATEMATIKA LANJUT

  Fungsi t Fungsi s

  ω

• at

  ω

  Sinus Teredam e sin t

  2

• 2
• ω (s a )
• s a
• at

  ω

  Cosinus Teredam e cos t

  2 (s a ) + ω

• 2
• a (s p ) + ω b a ⎛ ⎞

  2

  1 Sinusoid Teredam a p .e cos ω − t tan ⎜ ⎟

• 2 − pt −

  2

  2

• b (s p ) + ω ⎝ ⎠ ω 2 s

  ω

  Perkalian t dng sinus t sin t

  2 2 2

• ω (s )

  2

  2 − ω s

  ω

  Perkalian t dng cosinus t cos t

  2 2 2

• ω (s )