Modul Pembelajaran Matematika Kelas XI

Induksi
Matematika

Apersepsi
Kalian mungkin pernah melihat sederetan kartu domino atau remi yang diletakkan
tegak berdiri. Jika kartu itu disentuh oleh jari atau benda, maka kartu itu akan jatuh
secara berurutan dan bersamaan menimpa kartu yang di depannya. Hal ini berarti,
kejadian selanjutnya bergantung pada kejadian sebelumnya. Kejadian ini mengingatkan
pada topik induksi matematika yang akan dipelajari. Dengan mempelajari materi ini,
diharapkan siswa mempunyai karakter teratur, teliti, disiplin, taat aturan, dan kreatif
memainkan manipulasi aljabar ketika melakukan pembuktian induksi matematika untuk
menguji pernyataan matematis berupa barisan, ketidaksamaan dan keterbagian.

Modul Matematika | PPL IAIN TULUNGAGUNG

1

KI 1 Menghargai dan menghayati ajaran agama yang dianutnya.
KI 2 Menghargai dan menghayati perilaku jujur, disiplin, tanggung jawab, peduli (toleransi, gotong royong),
santun, percaya diri, dalam berinteraksi secara efektif dengan lingkungan sosial dan alam dalam
jangkauan pergaulan dan keberadaannya.

KI 3 Memahami, menerapkan dan menganalisis pengetahuan faktual, konseptual, prosedural, dan metakognitif
berdasarkan rasa ingin tahunya tentang ilmu pengetahuan, teknologi, seni, budaya dan humaniora
dengan wawasan kemanusiaan, kebangsaan, kenegaraan, dan peradaban terkait penyebab fenomena dan
kejadian, serta menerapkan pengetahuan prosedural pada bidang kajian yang spesifik sesuai dengan
bakat dan minatnya untuk memecahkan masalah.
KI 4 Mengolah, menalar, dan menyaji dalam ranah konkret dan ranah abstrak terkait dengan pengembangan
dari yang dipelajarinya di sekolah secara mandiri, bertindak secara efektif dan kreatif, serta mampu
menggunakan metode sesuai kaidah keilmuan.

3.1 Menjelaskan metode pembuktian pernyataan
matematis berupa barisan, ketidaksamaan,
keterbagian dengan induksi matematika.

4.1 Menggunakan metode pembuktian induksi
matematika untuk menguji pernyataan
matematis berupa barisan, ketidaksamaan,
keterbagian.

3.1.1 Merancang rumus untuk suatu pola barisan
bilangan.

3.1.2 Menjelaskan prinsip induksi matematika.
3.1.3 Membuktikan rumus suatu barisan bilangan
dengan prinsip induksi matematika.
3.1.4

Membuktikan rumus ketidaksamaan
bilangan
dengan
prinsip
induksi
matematika.

4.1.1 Mencontohkan prinsip induksi matematika.
4.1.2 Menyajikan dan menyelesaikan masalah
yang berkaitan dengan induksi matematika
dalam pembuktian rumus untuk suatu pola
barisan bilangan.

3.1.5 Membuktikan rumus bentuk keterbagian
bilangan

dengan
prinsip
induksi
matematika.

\1.

Siswa dapat menjelaskan metode pembuktian pernyataan
ketidaksamaan, keterbagian dengan induksi matematika.

matematis

berupa

barisan,

2. Siswa dapat Menggunakan metode pembuktian induksi matematika untuk menguji pernyataan
matematis berupa barisan, ketidaksamaan, keterbagian.

Modul Matematika | PPL IAIN TULUNGAGUNG

2

Pembuktian
Induksi
Matematika

Prinsip Induksi
Matematika

Penggunaan
Induksi
Matematika

Pembuktian
Barisan

Pembuktian
Ketidaksamaan

KATA
KUNCI

Pembuktian
Keterbagian

 Induksi Matematika
 Langkah-langkah Pembuktian Induksi
Matematika
 Pembuktian berupa Barisan
 Pembuktian berupa Ketidaksamaan
 Pembuktian berupa Keterbagian
Modul Matematika | PPL IAIN TULUNGAGUNG

3

Prinsip Dasar Pembuktian Induksi Matematika
Perhatikan ilustrasi berikut.



Dari ilustrasi gambar di atas, papan manakah yang jatuh jika papan S1
dijatuhkan ke arah S2?



Jika terdapat 100 susunan papan mengikuti pola seperti pada ilustrasi di
atas, apakah papan ke S100 juga akan jatuh?

Dari ilustrasi di atas dapat dibayangkan bahwa menjatuhkan papan S1 ke arah
S2 pasti papan yang paling ujung (sebut saja papan Sn, untuk setiap n bilangan asli) juga
jatuh. Dengan kata lain dapat dinyatakan bahwa jika papan S1 jatuh maka papan S15 juga
jatuh bahkan papan Sn juga jatuh. Sehingga mekanisme inilah yang dikenal sebagai
tahapan induksi matematika.
Pembuktian Induksi Matematika digunakan untuk membuktikan kebenaran
suatu pernyataan matematis berupa barisan, ketidaksamaan, dan keterbagian dari
bilangan bulat positif. Pernyataan tersebut merupakan sebuah pernyataan

dalam

variabel yang mewakili bilangan n, di mana n harus bersandarkan pada bilangan bulat
positif. Berikut ini beberapa contoh pernyataan matematis yang akan dibuktikan dengan
induksi matematika.

Modul Matematika | PPL IAIN TULUNGAGUNG

4

Contoh :
𝑛
𝑖=1

i.
ii.
iii.

2𝑖 − 1 = 𝑛2

2𝑛 > 𝑛

72𝑛 −1 + 32𝑛 habis dibagi 8
Prinsip Induksi Matematika

Kata Kunci
Pembuktian Induksi
Matematika

Anggap untuk setiap bilangan asli n, kita
mempunyai pernyataan Pn yang memenuhi dua

1. Untuk n = 1

kondisi berikut.

2. Andaikan benar untuk

1. P1 adalah benar (dibuktikan).

n=k
3. Akan dibuktikan benar

untuk n = k + 1

2. Jika Pk dianggap benar untuk setiap bilangan asli k,
maka Pk+1 harus dibuktikan juga benar.
Kesimpulan (1) dan (2) menunjukkan Pn
benar untuk setiap bilangan asli n.

Modul Matematika | PPL IAIN TULUNGAGUNG

5

Penggunaan Prinsip Pembuktian Induksi Matematika
Penentuan rumus jumlah dari n suku pertama bilangan 1 + 3 + 5 + ⋯ + (2𝑛 −

1) dapat dimulai dengan menghitung suku demi suku seperti terlihat pada tabel di
bawah ini.
𝟏 + 𝟑 + 𝟓 + ⋯ + (𝟐𝒏 − 𝟏)

n
1

2
3

𝟏+𝟑

𝟏+𝟑+𝟓

= 𝟏

= 𝟏𝟐

=𝟗

= 𝟑𝟐

=𝟒

𝟏+𝟑+𝟓+𝟕

= 𝟏𝟔

= 𝟐𝟐

= 𝟒𝟐

...

4

𝟏

n

𝟏 + 𝟑 + 𝟓 + ⋯ + 𝟐𝒏 − 𝟏

= 𝒏𝟐

Berdasarkan tabel tersebut, dapat dibuat kesimpulan umum, yaitu :
𝟏 + 𝟑 + 𝟓 + ⋯ + 𝟐𝒏 − 𝟏 = 𝒏𝟐 , untuk setiap bilangan asli n.

Pernyataan matematis yang dapat dibuktikan dengan induksi matematika yakni

berupa barisan atau deret, ketidaksamaan dan keterbagian.

Modul Matematika | PPL IAIN TULUNGAGUNG

6

Pembuktian Pernyataan Matematis
berupa Barisan atau Deret dengan
Induksi Matematika
Rumus sebuah deret bilangan bulat positif secara tidak langsung dapat
dilakukan dengan pembuktian induksi matematika asalkan bentuk suku ke-n nya
diketahui.

Contoh Soal dan Pembahasan
1. Gunakan

induksi

matematika

untuk

membuktikan

bahwa

1 + 3 + 5 + ⋯ + 2𝑛 − 1 = 𝑛2 , untuk setiap bilangan asli n.
Pembahasan :
i.

Langkah Pertama
Dibuktikan benar untuk 𝑛 = 1

2𝑛 − 1 = 𝑛2

2 1 − 1 = 12
2−1=1

1 = 1 (benar)

ii.

Langkah Kedua
Andaikan benar untuk 𝑛 = 𝑘

1 + 3 + 5 + ⋯ + 2𝑛 − 1 = 𝑛2

1 + 3 + 5 + ⋯ + 2𝑘 − 1 = 𝑘 2

iii.

Langkah Ketiga
Akan dibuktikan benar untuk 𝑛 = 𝑘 + 1

1 + 3 + 5 + ⋯ + 2𝑛 − 1 = 𝑛2

Modul Matematika | PPL IAIN TULUNGAGUNG

7

1 + 3 + 5 + ⋯ + 2𝑘 − 1 + 2 𝑘 + 1 − 1 = (𝑘 + 1)2

1 + 3 + 5 + ⋯ + 2𝑘 − 1 + 2 𝑘 + 1 − 1 = (𝑘 + 1)2

𝑘 2 + 2𝑘 + 2 − 1 = 𝑘 2 + 2𝑘 + 1

𝑘 2 + 2𝑘 + 1 = 𝑘 2 + 2𝑘 + 1

Jadi terbukti bahwa 1 + 3 + 5 + ⋯ + 2𝑛 − 1 = 𝑛2 .
2. Buktikan bahwa :

Pembahasan :
i.

𝑃𝑛 ≡

1
1
1
𝑛
+
+ ⋯+
=
1×2 2×3
𝑛(𝑛 + 1) 𝑛 + 1

Langkah Pertama
Dibuktikan benar untuk 𝑛 = 1

1
𝑛(𝑛+1)
1

1(1+1)

=
=

1

=
1(2)
1
2

ii.

1

1+1
1
2
1

=

2

(benar)

Langkah Kedua
Andaikan benar untuk 𝑛 = 𝑘
1

1×2
1

1×2

iii.

𝑛

𝑛+1

+

+

1

2×3
1

2×3

+ ⋯+

+⋯+

1

𝑛(𝑛+1)
1

𝑘(𝑘+1)

=
=

𝑛

𝑛+1
𝑘

𝑘+1

Langkah Ketiga
Akan dibuktikan benar untuk 𝑛 = 𝑘 + 1
1

1×2

1

+
1×2

1
2×3

+ ⋯+

+

1
𝑘(𝑘+1)

1

2×3

+

+⋯+
1

𝑘+1

1

𝑛 𝑛 +1

𝑘+1 +1

=
=

𝑛

𝑛+1

𝑘+1

(𝑘+1)+1

Modul Matematika | PPL IAIN TULUNGAGUNG

8

1
1×2

1

+

2×3

+ ⋯+

1

1

+

𝑘 𝑘+1

𝑘

𝑘+1

𝑘 𝑘+2
𝑘+1

𝑘+1

+

+

𝑘+1 +1
1

𝑘+1 𝑘+2
1

𝑘+1 𝑘+2

=
=

𝑘+1

=

𝑘+1

𝑘 2 +2𝑘+1

=

𝑘+1

𝑘+1 𝑘+1

=

𝑘+1

1×2

+

2×3

𝑘+2

𝑘+1

𝑘+1 𝑘+2

Jadi terbukti bahwa

𝒌+𝟐

=

𝑘+1 𝑘+2

1

𝑘+1 +1

𝑘 𝑘+2 +1

𝑘+1 𝑘+2

1

𝑘+1

+ ⋯+

=
𝑘+2
1

𝑛(𝑛 +1)

=

𝑘+2
𝑘+2
𝑘+1
𝑘+2

𝑘+1
𝑘+2
𝑛

𝑛+1

.

3. Buktikan bahwa
1 + 2 + ⋯ + 𝑛 + 𝑛 − 1 + 𝑛 − 2 + ⋯ + 2 + 1 = 𝑛2

Pembahasan :
i.

Langkah Pertama
Dibuktikan benar untuk 𝑛 = 1

1 + 2 + ⋯ + 𝑛 + 𝑛 − 1 + 𝑛 − 2 + ⋯ + 2 + 1 = 𝑛2

1 + 2 + ⋯ + 𝑛 − 1 + 𝑛 + 𝑛 − 1 + ⋯ + 2 + 1 = 𝑛2
𝑛 = 𝑛2

1 = 12
1 = 1 (benar)
ii.

Langkah Kedua
Andaikan benar untuk 𝑛 = 𝑘

1 + 2 + ⋯ + 𝑛 + 𝑛 − 1 + 𝑛 − 2 + ⋯ + 2 + 1 = 𝑛2

1 + 2 + ⋯ + 𝑘 − 1 + 𝑘 + 𝑘 − 1 + ⋯ + 2 + 1 = 𝑘2

Modul Matematika | PPL IAIN TULUNGAGUNG

9

iii.

Langkah Ketiga
Akan dibuktikan benar untuk 𝑛 = 𝑘 + 1

1 + 2 + ⋯ + 𝑛 + 𝑛 − 1 + 𝑛 − 2 + ⋯ + 2 + 1 = 𝑛2

1 + ⋯+

𝑘+1 −1 + 𝑘+1 +

𝑘 + 1 − 1 + ⋯+ 1 = 𝑘 + 1

2

1 + ⋯ + 𝑛 + 𝑛 − 1 + 𝑛 − 2 + ⋯ + 1 + 𝑘 + 1 + 𝑘 = (𝑘 + 1)2

𝑘 2 + 2𝑘 + 1 = (𝑘 + 1)2

𝑘 2 + 2𝑘 + 1 = (𝑘 + 1)2

(𝑘 + 1)2 = (𝑘 + 1)2

Jadi terbukti bahwa 1 + 2 + ⋯ + 𝑛 + 𝑛 − 1 + 𝑛 − 2 + ⋯ + 2 + 1 =

𝑛2 .

LATIHAN SOAL
Pergunakan prinsip induksi matematika untuk membuktikan setiap pernyataan berikut.
1. 2 + 4 + 6 + ⋯ + 2𝑛 = 𝑛 𝑛 + 1

2. 22 + 42 + 62 + ⋯ + 2𝑛

2

=

3. 1 + 3 + 5 + ⋯ + 2𝑛 − 1
3

4. 𝑃𝑛 ≡

5. 𝑃𝑛 ≡
6. 𝑃𝑛 ≡

3

1

1×3
1

2×4

3

+
+

1

+
1×3

1

3×5
1
4×6
1
2×4

1

+ ⋯+
1

3×5

3

1

2𝑛 (2𝑛 +2)

+ ⋯+

3

= 2𝑛4 − 𝑛2

2𝑛 −1 (2𝑛+1)

+ ⋯+
+

2𝑛 𝑛+1 2𝑛 +1

=

1
𝑛(𝑛 +2)

=

𝑛

2𝑛 +1
𝑛

4(𝑛+1)

=

𝑛 (3𝑛+5)

4 𝑛+1 (𝑛+2)

7. 1 + 3 + 5 + ⋯ + 2𝑛 − 1 + 2𝑛 − 3 + ⋯ + 3 + 1 = 2𝑛2 − 2𝑛 + 1

8. 2 + 4 + 6 + ⋯ + 2𝑛 + 2𝑛 − 2 + ⋯ + 4 + 2 = 2𝑛2

9. 𝑃𝑛 ≡

𝑛
𝑟=2

1

𝑟 − 1 𝑟 = 𝑛 𝑛2 − 1 untuk 𝑛 > 2
3

10. Tunjukkan bahwa untuk semua bilangan bulat positif n selalu berlaku :
1 + 2𝑥 + 3𝑥 2 + ⋯ + 𝑛𝑥 𝑛 −1 =

𝑛𝑥 𝑛
1 − 𝑥𝑛
−
1−𝑥 2 1−𝑥

Modul Matematika | PPL IAIN TULUNGAGUNG

10

Pembuktian Pernyataan Matematis
berupa Ketidaksamaan dengan
Induksi Matematika
Ekspresi ketidaksamaan eksponen untuk pangkat positif dapat dibuktikan
dengan cara tidak langsung menggunakan prinsip induksi matematika. Dalam
matematika tanda ketidaksamaan berupa tanda dan ≥.
Contoh Soal dan Pembahasan
1. Untuk setiap bilangan asli n, buktikan bahwa 2𝑛 > 𝑛 !
Pembahasan :
i.

Langkah Pertama
Dibuktikan benar untuk 𝑛 = 1
2𝑛 > 𝑛
21 > 1

2 > 1 (benar)
ii.

Langkah Kedua
Andaikan benar untuk 𝑛 = 𝑘
2𝑛 > 𝑛

2𝑘 > 𝑘
iii.

Langkah Ketiga
Akan dibuktikan benar untuk 𝑛 = 𝑘 + 1
2𝑘+1 > 𝑘 + 1

2𝑘 × 2 > 𝑘 + 1

𝑘×2>𝑘+1

Modul Matematika | PPL IAIN TULUNGAGUNG

11

𝑘 + 𝑘 > 𝑘 + 1 karena 𝑘 > 1, maka terbukti benar

Jadi terbukti bahwa 2𝑛 > 𝑛.

2. Untuk setiap bilangan asli n, buktikan bahwa 𝑛3 + 20 > 𝑛2 + 15𝑛, kecuali untuk
𝑛 = 2 atau 𝑛 = 3.
Pembahasan :
i.

Langkah Pertama
Dibuktikan benar untuk 𝑛 = 1

𝑛3 + 20 > 𝑛2 + 15𝑛

13 + 20 > 12 + 15(1)
21 > 16 (benar)

ii.

Langkah Kedua
Andaikan benar untuk 𝑛 = 𝑘

𝑛3 + 20 > 𝑛2 + 15𝑛
𝑘 3 + 20 > 𝑘 2 + 15𝑘

iii.

Langkah Ketiga
Akan dibuktikan benar untuk 𝑛 = 𝑘 + 1

𝑛3 + 20 > 𝑛2 + 15𝑛

𝑘+1

3

+ 20 > 𝑘 + 1

2

𝑘 3 + 3𝑘 2 + 3𝑘 + 1 + 20 > 𝑘 + 1

2

𝒌𝟐 + 𝟏𝟓𝒌 + 3𝑘 2 + 3𝑘 + 1 > 𝑘 + 1

2

𝑘 2 + 2𝑘 + 1 + 15 𝑘 + 1 + 3𝑘 2 + 𝑘 − 15 > 𝑘 + 1

2

𝒌𝟑 + 𝟐𝟎 + 3𝑘 2 + 3𝑘 + 1 > 𝑘 + 1

𝑘+1

2

2

4𝑘 2 + 18𝑘 + 1 > 𝑘 + 1

2

+ 15 𝑘 + 1 + 3𝑘 2 + 𝑘 − 15 > 𝑘 + 1

2

+ 15 𝑘 + 1

+ 15 𝑘 + 1

+ 15 𝑘 + 1

+ 15 𝑘 + 1

+ 15 𝑘 + 1

+ 15 𝑘 + 1

+ 15 𝑘 + 1

Jadi terbukti bahwa 𝑛3 + 20 > 𝑛2 + 15𝑛, kecuali untuk 𝑛 = 2 atau

𝑛 = 3.

Modul Matematika | PPL IAIN TULUNGAGUNG

12

3. Untuk bilangan asli n manakah 3𝑛 > 𝑛4 merupakan pernyataan yang benar?
Pembahasan :
i.

Langkah Pertama
Dibuktikan benar untuk 𝑛 = 1
3𝑛 > 𝑛4
31 > 14

3 > 1 (benar)
Akan tetapi untuk 𝑛 = 2
3𝑛 > 𝑛4
32 > 24

9 > 16 (salah)
dan untuk 𝑛 = 3

3𝑛 > 𝑛4
33 > 34

27 > 81 (salah)
ii.

Langkah Kedua
Anggap benar untuk 3𝑛 > 𝑛4

iii.

Langkah Ketiga
Akan dibuktikan benar untuk 3𝑛 +1 > 𝑛 + 1
Hal ini berarti bahwa 𝑛 >

𝑛 ≥ 4.

3𝑛 × 3 > 𝑛 + 1
1

1
34 −1

4
4

≈ 3,16 , sehingga mengakibatkan

Jadi 3𝑛 > 𝑛4 benar untuk 𝑛 ≥ 4.

Modul Matematika | PPL IAIN TULUNGAGUNG

13

LATIHAN SOAL
Pergunakan prinsip induksi matematika untuk membuktikan setiap pernyataan berikut.
1. 2𝑛 ≥ 2𝑛

2. 𝑛 ≤ 2𝑛−1

3. 5𝑛 + 5 < 5𝑛 +1

4. 𝑃𝑛 ≡ 2𝑛 + 1 ≤ 3𝑛

5. 𝑃𝑛 ≡ 𝑛 ≤ 2𝑛−1 , untuk 𝑛 ≥ 1

6. 𝑃𝑛 ≡ 𝑛 + 1

2

1

1

2

3

< 2𝑛 , untuk 𝑛 ≥ 6
1

2𝑛

𝑛

𝑛+1

7. 𝑃𝑛 ≡ 1 + + + ⋯ + >
8. 𝑃𝑛 ≡

1

12

+

1

22

+

1

32

+⋯+

1

𝑛2

, untuk 𝑛 > 1

≤2−

1

𝑛

9. Barisan bilangan ditentukan oleh 𝑎𝑛+1 =
𝑎𝑛 > 2 untuk semua bilangan bulat positif.

2 + 𝑎𝑛 dan 𝑎1 = 3. Buktikan bahwa

10. Diberikan pernyataan bahwa 𝑓 𝑛 = 𝑛 − 4
𝑓(𝑛 − 1) untuk n anggota bilangan asli.

2

+ 2, buktikan bahwa 𝑓(𝑛) >

Modul Matematika | PPL IAIN TULUNGAGUNG

14

Pembuktian Pernyataan
Matematis berupa Keterbagian
dengan Induksi Matematika
Prinsip induksi matematika dapat juga digunakan untuk membuktikan
kebenaran suatu pernyataan matematis berupa keterbagian.

Contoh Soal dan Pembahasan
1. Buktikan bahwa untuk setiap bilangan asli n, nilai 52𝑛 − 1 habis dibagi 3.
Pembahasan :
i.

Langkah Pertama
Dibuktikan benar untuk 𝑛 = 1
52𝑛 − 1

52(1) − 1

52 − 1

25 − 1

24 habis dibagi 3 (benar)

ii.

Langkah Kedua
Dianggap benar untuk 𝑛 = 𝑘

52𝒏 − 1 habis dibagi 3
52𝒌 − 1 habis dibagi 3

iii.

Langkah Ketiga
Akan dibuktikan benar untuk 𝑛 = 𝑘 + 1
52𝑛 − 1 = 52(𝑘+1) − 1
= 52𝒌+𝟐 − 1

= 52𝑘 × 52 − 1

Modul Matematika | PPL IAIN TULUNGAGUNG

15

= 52𝑘 × 25 − 1

= 52𝑘 × 25 − 25 − 24

=

52𝑘 × 25 − 25 + 24

= 25 52𝑘 − 1 + 24
Oleh karena 52𝑘 − 1
dibagi 3.

dan 24 habis dibagi 3, maka 52𝑛 − 1 habis

Jadi terbukti bahwa 52𝑛 − 1 habis dibagi 3.
2. Buktikan bahwa untuk setiap bilangan asli n, maka nilai 32𝑛 − 1 habis dibagi
8.

Pembahasan :
i.

Langkah Pertama
Dibuktikan benar untuk 𝑛 = 1
32𝑛 − 1

32(1) − 1

32 − 1
9−1

8 habis dibagi 8 (benar)

ii.

Langkah Kedua
Dianggap benar untuk 𝑛 = 𝑘

32𝑛 − 1 habis dibagi 8
32𝒌 − 1 habis dibagi 8

iii.

Langkah Ketiga
Akan dibuktikan benar untuk 𝑛 = 𝑘 + 1
32𝑛 − 1 = 32(𝑘+1) − 1

Modul Matematika | PPL IAIN TULUNGAGUNG

16

= 32𝑘+2 − 1

= 32𝑘 × 32 − 1

= 32𝑘 × 9 − 1

= 32𝑘 × 9 − 9 − 8

=

32𝑘 × 9 − 9 + 8

= 9 32𝑘 − 1 + 8

Oleh karena 32𝑘 − 1 dan 8 habis dibagi 8, maka 32𝑛 − 1 habis dibagi
8.

Jadi terbukti bahwa 32𝑛 − 1 habis dibagi 8.
3. Buktikan bahwa untuk semua bilangan bulat positif n, selalu berlaku 72𝑛 −1 + 32𝑛
habis dibagi 8.

Pembahasan :
i.

Langkah Pertama
Dibuktikan benar untuk 𝑛 = 1
72𝑛 −1 + 32𝑛

72(1)−1 + 32(1)
72−1 + 32
71 + 32
7+9
16 habis dibagi 8 (benar)
ii.

Langkah Kedua
Dianggap benar untuk 𝑛 = 𝑘

72𝑛 −1 + 32𝑛 habis dibagi 8
72𝑘−1 + 32𝑘 habis dibagi 8

Modul Matematika | PPL IAIN TULUNGAGUNG

17

iii.

Langkah Ketiga
Akan dibuktikan benar untuk 𝑛 = 𝑘 + 1

72𝑛 −1 + 32𝑛 = 72(𝑘+1)−1 + 32(𝑘+1)
= 72𝑘+2−1 + 32𝑘+2

= 72𝑘−1+2 + 32𝑘+2
= 72𝑘−1 × 72 + 32𝑛 × 32
= 72𝑘−1 + 32𝑘 + 48 × 72𝑘−1 + 8 × 32𝑘
= 72𝑘−1 + 32𝑘 + 8 6 × 72𝑘−1 + 32𝑘

Oleh karena

72𝑘−1 + 32𝑘

dan 8 habis dibagi 8, maka

72𝑛−1 +

32𝑛 habis dibagi 8.
Jadi terbukti bahwa 72𝑛−1 + 32𝑛

habis dibagi 8.

LATIHAN SOAL
Pergunakan prinsip induksi matematika untuk membuktikan setiap pernyataan berikut.
1. 𝑛(𝑛2 + 2) habis dibagi 3

2. 22𝑛 +1 + 32𝑛 +1 habis dibagi 5

3. 𝑛3 + 3𝑛2 + 2𝑛 habis dibagi 6

4. 𝑛 𝑛 + 1 (𝑛 + 2) habis dibagi 6
5. 52𝑛 − 1 dibagi 3 bersisa nol

6. 13𝑛 + 6𝑛 −1 habis dibagi 7

7. 52𝑛 +2 − 24𝑛 − 25 habis dibagi 576

8. Buktikan bahwa 5 merupakan faktor dari 𝑛 𝑛4 − 1 untuk semua bilangan asli
𝑛 ≥ 2.

9. Buktikan bahwa 𝑥 𝑛 − 𝑦 𝑛 habis dibagi 𝑥 − 𝑦, 𝑥 − 𝑦 ≠ 0.

10. Diberikan sebuah barisan ditentukan oleh 𝑈𝑛 = 5𝑛 + 12𝑛 − 1 dan 𝑈𝑛+1 = 5𝑈𝑛.
Buktikan bahwa 𝑈𝑛 habis dibagi 16.

Modul Matematika | PPL IAIN TULUNGAGUNG

18

PROGRAM
LINEAR

Apersepsi
Dalam kehidupan sehari-hari (masalah kontekstual) sering dijumpai masalah
program linear, seperti pembangunan perumahan, apartemen, ruko, pembuatan obat dan
masalah pemakaian obat untuk penyembuhan pasien, pemakaian tanah untuk lahan
parkir, masalah transportasi dan lainnya.
Pada aplikasi program linear sering dijumpai istilah “terbesar” ataupun “terkecil”
dari sejumlah batasan yang berupa pertidaksamaan linear. Penyelesaian sistem
pertidaksamaan linear secara grafik dapat berupa daerah tertutup yang merupakan syarat
memaksimumkan fungsi objektif dan daerah terbuka yang merupakan syarat
meminimumkan fungsi objektif.

Modul Matematika | PPL IAIN TULUNGAGUNG

19

Selama perang dunia II para ilmuwan serta militer Inggris dan Amerika bahu-membahu
mengupayakan optimum dari alokasi bahan-bahan logistic yang jumlahnya terbatas untuk perang
sehingga dapat memenuhi kebutuhan pasukan sekutu di daratan Eropa. Mereka yang terdiri dari
ahli berbagai ilmu (teknik, matematika, sosiologi, psikologi, dan ahli perilaku (behavioral scientist))
merupakan pioneer yang memprakarsai penggunaan Riset Operasi (RO) sebagai alat bantu dalam
proses pengambilan keputusan yang berkaitan dengan perang dunia II. Prinsipnya, dengan RO
bagaimana mengalokasikan sumber daya yang terbatas (limited logistic resource) untuk disalurkan
ke tempat kedudukan pasukan sekutu yang sedang bertempur dengan pasukan Jerman, agar
hasilnya optimum, yakni kemenangan dalam peperangan. Keputusan mengalokasikan sumber daya
logistic yang terbatas tersebut ditentukan melalui proses perhitungan yang disepakati oleh para
ahli yang bertugas.
Memang tidak semua RO dicetuskan pada saat perang dunia II, beberapa hal dicetuskan
setelah setelah itu misalnya Program Evaluation and Review Technique (PERT) dan Critical Path
Methode (CPM) dicetuskan pada tahun 1954, pada saat Angkatan Laut Amerika Serikat
merencanakan membuat peluru kendali antar benua atau Intercontinental Balistic Missile (ICBM)
untuk pertahanan blok barat, selama perang dingin. Setelah periode 1960-an, RO digunakan tidak
hanya untuk kepentingan operasi militer, tetapi juga digunakan di berbagai bidang non-militer
termasuk dunia bisnis.
Program Linear (PL) adalah
alat
analisis
masalah
yang
mempunyai
variabel-variabel
bersifat deterministic (terukur) dan
masing-masing
mempunyai
hubungan linear satu sama lain. PL
ditemukan oleh GEORGE DANTZIG.
Teknik analisis ini berkembang
secara menakjubkan dan mampu
memecahkan berbagai masalah yang
terdapat dalam kehidupan nyata.
George Dantzig adalah orang
pertama yang memformulasikan
General
Linear
Programming
kemudian
mengembangkannya
dalam bentuk metode simpleks.
PL merupakan alat analisis yang menunjang keberhasilan RO dalam memecahkan berbagai
masalah sehingga dapat diambil suatu keputusan yang tepat. Sejak 1940-an, PL yang semula
digunakan untuk kalangan militer, kemudian digunakan secara luas di berbagai sector kehidupan,
misalnya transportasi, ekonomi, industry, dan pertanian, bahkan dalam ilmu sosial yang
menyangkut perilaku manusia (human behavior). Lebih-lebih setelah periode 1960-an dengan
digunakannya computer sebagai alat pemercepat analisis suatu masalah. PL tersebut dapat
diformulasikan dalam software komputer menjadikan PL sebagai alat canggih dalam RO untuk
memperoleh keputusan-keputusan yang optimum dengan cepat dan tepat. Hanya yang harus
diketahui bahwa PL hanya dapat digunakan bila parameter yang berada dalam masalah (yang
harus dipecahkan) mempunyai sifat deterministic (terukur) dan diketahui secara pasti.

Modul Matematika | PPL IAIN TULUNGAGUNG

20

KI 1 Menghargai dan menghayati ajaran agama yang dianutnya.
KI 2 Menghargai dan menghayati perilaku jujur, disiplin, tanggung jawab, peduli (toleransi, gotong royong),
santun, percaya diri, dalam berinteraksi secara efektif dengan lingkungan sosial dan alam dalam
jangkauan pergaulan dan keberadaannya.
KI 3 Memahami, menerapkan dan menganalisis pengetahuan faktual, konseptual, prosedural, dan metakognitif
berdasarkan rasa ingin tahunya tentang ilmu pengetahuan, teknologi, seni, budaya dan humaniora
dengan wawasan kemanusiaan, kebangsaan, kenegaraan, dan peradaban terkait penyebab fenomena dan
kejadian, serta menerapkan pengetahuan prosedural pada bidang kajian yang spesifik sesuai dengan
bakat dan minatnya untuk memecahkan masalah.
KI 4 Mengolah, menalar, dan menyaji dalam ranah konkret dan ranah abstrak terkait dengan pengembangan
dari yang dipelajarinya di sekolah secara mandiri, bertindak secara efektif dan kreatif, serta mampu
menggunakan metode sesuai kaidah keilmuan.

3.2 Menjelaskan Program Linear dua variabel dan metode
penyelesaiannya
dengan
menggunakan
masalah
kontekstual.

3.2.1 Menjelaskan konsep pertidaksamaan linear dua
variabel.
3.2.2 Menjelaskan konsep sistem pertidaksamaan
linear
dua variabel.
3.2.3 Membedakan pertidaksamaan linear dua variabel
dengan sistem pertidaksamaan linear dua variabel.
3.2.4 Mengidentifikasi
variabel
dari
permasalahan
berkaitan dengan pertidaksamaan linear dua variabel
dari permasalahan.
3.2.5 Mengidentifikasi fungsi kendala dari masalah program
linear.
3.2.6 Mengidentifikasi fungsi tujuan dari masalah program
linear.
3.2.7 Menjelaskan strategi/tahapan membuat model
matematika
program
linear
dua
variabel
menggunakan masalah kontekstual.
3.2.8 Menjelaskan
strategi/tahapan
penentuan
nilai
optimum dari masalah program linear dengan metode
uji titik pojok.
3.2.9 Menjelaskan
strategi/tahapan
penentuan
nilai
optimum dari masalah program linear dengan garis
selidik.

4.2 Menyelesaikan masalah kontekstual
yang berkaitan dengan program linear
dua variabel.

4.2.1 Membuat
model
matematika
program linear dua variabel dari
masalah kontekstual.
4.2.2 Membuat sketsa grafik daerah
himpunan
penyelesaian
pertidaksamaan linear dua variabel.
4.2.3 Menentukan nilai optimum sistem
pertidaksamaan linear dua variabel
dengan menggunakan uji titik pojok.
4.2.4 Menentukan nilai optimum dari
permasalahan kontekstual program
linier
dua
variabel
dengan
menggunakan garis selidik.
4.2.5 Membuat contoh permasalahan
kontekstual program linear dan
penyelesaiannya berkaitan dengan
pertidaksamaan linear dua variabel.

1. Siswa dapat menjelaskan program linear dua variabel dan metode penyelesaiannya dengan menggunakan
masalah kontekstual.
2. Siswa dapat menyelesaikan masalah kontekstual yang berkaitan dengan program linear.

Modul Matematika | PPL IAIN TULUNGAGUNG

21

Sistem Pertidaksamaan
Linear Dua Variabel
(SPtLDV)

Prasyarat

Menggambar Grafik
SPtLDV

Pengertian Program
Linear

Menentukan Daerah
Himpunan
Penyelesaian

PROGRAM LINEAR
Model Matematika
Metode Uji Titik Pojok
Menentukan nilai
optimum
Metode Garis Selidik

KATA
KUNCI








Program Linear
SPtLDV
Daerah Himpunan Penyelesaian (DHP)
Model Matematika
Metode Uji Titik Pojok
Metode Garis Selidik

Modul Matematika | PPL IAIN TULUNGAGUNG

22

Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel (SPtLDV)
Pertidaksamaan linear dua variabel
adalah kalimat terbuka matematika yang

Bentuk Umum Pertidaksamaan

memuat dua variabel, dengan masing-masing

Linear Dua Variabel (PtLDV)

variabel berderajat satu dan dihubungkan
dengan

tanda

ketidaksamaan

ketidaksamaan.
yang

dimaksud

Tanda
adalah

>, 𝑐

𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 < 𝑐
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 ≥ 𝑐
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 ≤ 𝑐

Sistem pertidaksamaan linear dua variabel adalah sistem pertidaksamaan yang
melibatkan dua atau lebih pertidaksamaan linear dua variabel. Daerah penyelesaian dari
sistem pertidaksamaan linear dua variabel merupakan daerah yang memenuhi semua
pertidaksamaan yang ada dalam sistem.
Untuk penyelesaian pertidaksamaan linear dapat berupa daerah arsir atau
sebaliknya daerah penyelesaian pertidaksamaan linear dua variabel berupa daerah
bersih.
Langkah-langkah untuk menentukan
daerah

himpunan

penyelesaian

(DHP)

Pertidaksamaan Linear Dua Variabel sebagai
berikut.
1. Gambar garis ax + by = c dengan
mengubah tanda ketidaksamaan menjadi

Ingat!
1. Gambar garis ax + by = c
2. Ambil sembarang titik
P(x1, y1) yang terletak di
luar garis ax + by = c
3. Arsir DHP

tanda sama dengan ( = )
2. Ambil sembarang titik P(x1, y1) yang terletak di luar garis ax + by = c.
3. Arsir daerah yang merupakan DHP Pertidaksamaan Linear Dua Variabel.

Modul Matematika | PPL IAIN TULUNGAGUNG

23

Hal-hal yang perlu diperhatikan dalam menentukan DHP PtLDV
1. Lihat koefisien y


Jika > 0, maka tanda ( + )



Jika < 0, maka tanda ( - )

2. Lihat tanda pertidaksamaan


Jika > atau ≥ , maka tanda ( + )



Jika < atau ≤ , maka tanda ( - )

3. Jika pertidaksamaan bertanda < atau >, maka garis di gambar putus-putus dan
berarti titik-titik yang terdapat pada garis bukan merupakan penyelesaian.
Jika pertidaksamaan bertanda ≤ atau ≥, maka garis di gambar utuh (tidak putusputus) dan berarti titik-titik yang terdapat pada garis bukan merupakan
penyelesaian.
4. Tanda arsiran


Apabila tanda negatif ( - ), DHP di bawah garis atau di kiri garis



Apabila tanda positif ( + ), DHP di atas garis atau di kanan garis

Ingat!
Pertidaksamaan

𝒂𝒙 + 𝒃𝒚 ≥ 𝒄

𝒂𝒙 + 𝒃𝒚 ≤ 𝒄

𝒃>𝟎

𝒃
9!

Pembahasan :
CARA 1
 Menggambar garis dengan menggunakan uji titik (0,0)
x

0

3

y

9

0

(0,9) (3,0)
 Menentukan DHP
3𝑥 + 𝑦 > 9 → + . + = + (DHP berada di atas garis atau kanan

garis).

 Lukisan gambar DHP

Modul Matematika | PPL IAIN TULUNGAGUNG

25

CARA 2
 Menggambar garis dengan menggunakan uji titik (0,0)
x

0

3

y

9

0

(0,9) (3,0)
 Menentukan DHP dengan mengambil sembarang titik
misal mengambil titik (0,0)
3𝑥 + 𝑦 > 9 → 3 0 + 0 > 9

0 > 9 (DHP berada di atas garis atau kanan

garis, karena 0 bukan merupakan hasil penyelesaian).
 Lukisan gambar DHP

2. Lukiskan DHP dari SPtLDV berikut :
2𝑥 + 𝑦 ≤ 4, 𝑥 + 2𝑦 ≤ 4, 𝑥 ≥ 0, dan 𝑦 ≥ 0.
Modul Matematika | PPL IAIN TULUNGAGUNG

26

Pembahasan :
CARA 1
 Menggambar garis dengan menggunakan uji titik (0,0)
2𝑥 + 𝑦 ≤ 4
x

0

2

y

4

0

(0,4) (2,0)
𝑥 + 2𝑦 ≤ 4
x

0

4

y

2

0

(0,2) (4,0)
 Menentukan DHP


2𝑥 + 𝑦 ≤ 4 → + . − = − (DHP berada di bawah garis
atau kiri garis).



𝑥 + 2𝑦 ≤ 4 → + . − = − (DHP berada di bawah garis
atau kiri garis).




𝑥 ≥ 0 → + . + = + (DHP berada di kanan sumbu 𝑦)

𝑦 ≥ 0 → + . + = + (DHP berada di atas sumbu 𝑥)

 Lukisan gambar DHP

Modul Matematika | PPL IAIN TULUNGAGUNG

27

CARA 2
 Menggambar garis dengan menggunakan uji titik (0,0)
2𝑥 + 𝑦 ≤ 4
x

0

2

y

4

0

(0,4) (2,0)
𝑥 + 2𝑦 ≤ 4
x

0

4

y

2

0

(0,2) (4,0)
 Menentukan DHP dengan mengambil sembarang titik
misal mengambil titik (0,0)
2𝑥 + 𝑦 ≤ 4 → 2 0 + 0 ≤ 4

0 ≤ 4 (DHP berada di bawah garis atau kiri

garis, karena 0 merupakan hasil penyelesaian).
𝑥 + 2𝑦 ≤ 4 → 0 + 2 0 ≤ 4

0 ≤ 4 (DHP berada di bawah garis atau kiri

garis, karena 0 merupakan hasil penyelesaian).
 Lukisan gambar DHP

Modul Matematika | PPL IAIN TULUNGAGUNG

28

Pertidaksamaan
𝒂𝒙 + 𝒃𝒚 ≥ 𝒄

𝒃>𝟎

𝒂>𝟎

𝒃𝟎

𝒂 −6 !

7. Tentukan Daerah Himpunan Penyelesaian dari sistem pertidaksamaan 3𝑥 −
2𝑦 ≤ −6, 5𝑥 + 7𝑦 ≥ 35, 𝑦 ≤ 6, 𝑥 ≥ 0 !

8. Tentukan Daerah Himpunan Penyelesaian dari sistem pertidaksamaan 4𝑥 + 𝑦 ≥
8, 3𝑥 + 4𝑦 ≤ 24, 𝑥 + 6𝑦 − 12 ≥ 0 !

9. Tentukan Daerah Himpunan Penyelesaian dari sistem pertidaksamaan

3𝑥 +

4𝑦 ≥ 12, 6𝑥 + 5𝑦 ≤ 30, 9𝑥 ≥ 5𝑦, dan 15 y ≥ 2𝑥 !

10. Tentukan Daerah Himpunan Penyelesaian dari sistem pertidaksamaan 𝑥 ≥
0, 𝑦 ≥ 0, dan (𝑥 − 𝑦 + 1)(3𝑥 + 2𝑦 − 12) ≤ 0 !

Modul Matematika | PPL IAIN TULUNGAGUNG

30

Pengertian Program Linear
Program Linear adalah metode untuk menyelesaikan permasalahan tentang
maksimum atau minimum yang menggunakan sistem persamaan atau pertidaksamaan
linear.
Dalam persoalan program linear terdapat tujuan persoalan yang akan dicapai,
dinyatakan dalam bentuk fungsi linear 𝑘 = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦. Fungsi linear tersebut disebut
fungsi tujuan atau fungsi sasaran.

Suatu permasalahan dikatakan permasalahan program linear, jika memenuhi
ketentuan-ketentuan berikut.
1. Tujuan (objektif) permasalahan yang akan dicapai harus dapat dinyatakan
dalam bentuk fungsi linear 𝑘 = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦. Fungsi linear tersebut disebut fungsi

tujuan atau fungsi sasaran.

2. Harus memiliki alternatif pemecahan yang membuat nilai fungsi tujuan
menjadi optimum, misalnya : keuntungan yang maksimum, pengeluaran biaya
yang minimum, dsb.
3. Sumber-sumber yang tersedia dalam jumlah yang terbatas, seperti modal
terbatas, bahan mentah terbatas, dsb. Pembatasan-pembatasan dari sumber yang
tersedia harus dinyatakan dalam bentuk pertidaksamaan linear. Fungsi linear ini
dikenal dengan fungsi kendala.

Model Matematika
Model

matematika

adalah

suatu

hasil

interpretasi

manusia

dalam

menerjemahkan atau merumuskan persoalan sehari-hari ke dalam bentuk matematika,
sehingga persoalan itu dapat diselesaikan secara matematis. Dalam menentukan model
matematika terdapat cara yang mudah yakni dengan menggunakan bantuan tabel dalam
menuliskan permasalahan tersebut.

Modul Matematika | PPL IAIN TULUNGAGUNG

31

Contoh Soal dan Pembahasan

1. Suatu tempat parkir luasnya 200 m2. Untuk memarkir sebuah mobil rata-rata
diperlukan tempat seluas 10 m2 dan untuk bus rata-rata 20 m2. Tempat parkir itu
tidak langsung dapat menampung lebih dari 12 mobil dan bus. Jika di tempat
parkir itu akan diparkir x mobil dan y bus, buatlah model matematikanya!
Pembahasan :
misal : x = mobil , y = bus
Data dari soal dapat dituliskan ke bentuk tabel berikut.
Lahan

Mobil (x)

Bus (y)

Tersedia

Luas

10

20

200

Daya Tampung

1

1

12

Penulisan model matematikanya
10𝑥 + 20𝑦 ≤ 200 → 𝑥 + 2𝑦 ≤ 20

𝑥 + 𝑦 ≤ 12

𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0

2. Sebuah pabrik roti memproduksi dua jenis roti isi cokelat dan roti isi keju.
Pembuatan roti isi cokelat memerlukan 12 gram terigu dan 4 gram mentega,
sedangkan untuk roti isi keju diperlukan 6 gram terigu dan 8 gram mentega.
Bahan yang tersedia 1,8 kg terigu dan 1,2 kg mentega dengan bahan yang lain
cukup. Keuntungan roti isi cokelat Rp. 150,- per buah dan roti isi keju Rp. 100,-.
Buatlah model matematikanya!
Pembahasan :
misal : x = roti isi cokelat , y = roti isi keju
Data dari soal dapat dituliskan ke bentuk tabel berikut.

Modul Matematika | PPL IAIN TULUNGAGUNG

32

Bahan

Roti isi Cokelat
(x)

Roti isi Keju (y)

Persediaan

Terigu

12

6

1800

Mentega

4

8

1200

150

100

Keuntungan

Penulisan model matematikanya
12𝑥 + 6𝑦 ≤ 1800 → 2𝑥 + 𝑦 ≤ 300

4𝑥 + 8𝑦 ≤ 1200 → 𝑥 + 2𝑦 ≤ 300
𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0

dengan fungsi tujuannya adalah 𝑓 𝑥, 𝑦 = 150𝑥 + 100𝑦
3. Pemilik perusahaan swasta mempunyai 3 jenis bahan mentah. Misalnya bahan
mentah I, II, dan III masing-masing tersedia 100 satuan, 160 satuan, dan 280
satuan. Dari ketiga bahan mentah itu akan dibuat 2 macam barang produksi,
yaitu barang A dan B. Satu satuan barang A memerlukan bahan mentah I, II, dan
III masing-masing sebesar 2, 2, dan 6 satuan. Satu satuan barang B memerlukan
bahan mentah I, II, III masing-masing sebesar 2, 4 dan 4 satuan. Jika barang A
dan B dijual dan masing-masing laku Rp. 8000,- dan Rp. 6000,- per satuan,
Buatlah model matematikanya!
Pembahasan :
misal : x = barang A , y = barang B
Data dari soal dapat dituliskan ke bentuk tabel berikut.
Bahan

barang A (x)

barang B (y)

Persediaan

Jenis I

2

2

100

Jenis II

2

4

160

Jenis III

6

4

280

8000

6000

Keuntungan

Modul Matematika | PPL IAIN TULUNGAGUNG

33

Penulisan model matematikanya
2𝑥 + 2𝑦 ≤ 100 → 𝑥 + 𝑦 ≤ 50

2𝑥 + 4𝑦 ≤ 160 → 𝑥 + 2𝑦 ≤ 80

6𝑥 + 4𝑦 ≤ 280 → 3𝑥 + 2𝑦 ≤ 140
𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0

dengan fungsi tujuannya adalah 𝑓 𝑥, 𝑦 = 8000𝑥 + 6000𝑦

LATIHAN SOAL
Ubahlah permasalahan kontekstual di bawah ini ke dalam model matematika.
1. Seorang pengusaha mebel akan memproduksi meja dan kursi yang menggunakan
bahan dari papan papan kayu dengan ukuran tertentu. Satu meja memerlukan
bahan 10 potong papan dan satu kursi memerlukan 5 potong papan. Papan yg
tersedia ada 500 potong. Biaya pembuatan satu meja adalah Rp. 100.000,- dan
biaya pembuatan satu kursi adalah Rp. 40.000,- sedangkan anggaran yg tersedia
Rp. 1.000.000,-. Buatlah model matematika dari persoalan tersebut!
2. Roti A yang harga belinya Rp. 10.000 dijual dengan harga Rp. 11.000 per
bungkus, sedangkan roti B yang harga belinya Rp. 15.000 dijual dengan harga
Rp. 17.000 per bungkus. Seorang pedagang roti yang mempunyai modal Rp.
3.000.000 dan kiosnya dapat menampung paling banyak 250 bungkus roti akan
mencari keuntungan yang sebesar-besarnya. Tuliskan model matematika dari
persoalan itu!
3. Pesawat penumpang sebuah perusahaan penerbangan domestik mempunyai
tempat duduk 48 kursi. Setiap penumpang kelas eksekutif boleh membawa
bagasi seberat 60 kg, sedangkan kelas ekonomi 20 kg. Pesawat hanya mampu
membawa bagasi seberat 1.440 kg. Jika harga tiket kelas eksekutif Rp 600.000
dan kelas ekonomi Rp 400.000, serta semua tiket habis terjual. Tuliskan model
matematika agar perusahaan itu memperoleh pendapatan maksimum!
4. Pedagang teh mempunyai lemari yang hanya cukup ditempati 40 boks teh. Teh
A dibeli dengan harga Rp. 60.000 setiap boks dan Teh B dibeli dengan harga Rp,
Modul Matematika | PPL IAIN TULUNGAGUNG

34

80.000 setiap boks. Jika pedagang itu mempunyai modal Rp. 3.000.000 untuk
membeli x boks teh A dan y boks teh B. Tuliskan model matematika dari
masalah itu.!
5. Seorang

peternak

menghadapi

suatu

masalah

sebagai

berikut.

Agar sehat, setiap sapi harus diberikan makanan yang mengandung paling
sedikit 27, 21 dan 30 satuan unsur nutrisi jenis A, B dan C setiap harinya. Dua
jenis makanan N dan M diberikan kepada sapi tersebut. Sebanyak 1 kg jenis
makanan N, mengandung unsur nutrisi jenis A, B dan C masing-masing sebesar
3, 1 dan 1 satuan. Sebanyak 1 kg jenis makanan M, mengandung unsur nutrisi
jenis A, B dan C masing-masing sebesar 1, 1 dan 2 satuan. Perlu juga diketahui
bahwa harga satu kg makanan N dan M adalah Rp. 4.000 dan Rp. 2.000.
Peternak tersebut harus memutuskan apakah membeli satu jenis makanan saja
atau kedua-keduanya kemudian mencampurnya agar peternak itu mengeluarkan
uang seminimum mungkin. Buat model matematika dari persoalan tersebut!

Modul Matematika | PPL IAIN TULUNGAGUNG

35

Penyelesaian Program Linear dengan Metode Uji Titik Pojok
Dalam penyelesaian masalah program linear ini, nilai optimum dari bentuk
𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 dapat dilakukan dengan cara menghitung nilai 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦
untuk tiap titik pojok pada Daerah Himpunan Penyelesaian (DHP).
Nilai-nilai tersebut dibandingkan kemudian ditetapkan :
a. Nilai terbesarnya sebagai nilai maksimum dari 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦.

b. Nilai terkecilnya sebagai nilai minimum dari 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦.

Langkah-langkah yang harus ditempuh dalam menyelesaikan masalah program

linear sebagai berikut.
1. Menetapkan objek-objek yang dituju dengan pemisalan variabel x dan variabel
y.
2. Menuliskan permasalahan kontekstual menjadi model matematika.
3. Menggambar grafik penyelesaian untuk menentukan Daerah Himpunan
Penyelesaian (DHP).
4. Menyelesaikan model matematika dengan metode uji titik pojok pada Daerah
Himpunan Penyelesaian (DHP).

Contoh Soal dan Pembahasan

1. Ling ling membeli 240 ton beras untuk dijual lagi. Ia menyewa dua jenis truk
untuk mengangkut beras tersebut. Truk jenis A memiliki kapasitas 6 ton dan truk
jenis B memiliki kapasitas 4 ton. Sewa tiap truk jenis A adalah Rp 100.000,00
sekali jalan dan truk jenis B adalah Rp 50.000,00 sekali jalan. Maka Ling ling
menyewa truk itu sekurang-kurangnya 48 buah. Berapa banyak jenis truk A dan B
yang harus disewa agar biaya yang dikeluarkan minimum?
Pembahasan :

Modul Matematika | PPL IAIN TULUNGAGUNG

36

1. Langkah Pertama. Menetapkan objek-objek yang dituju dengan
pemisalan variabel x dan variabel y.
misal : x = truk A, y = truk B
2. Langkah Kedua. Menuliskan permasalahan kontekstual menjadi model
matematika.
Jenis Truk
Banyak Truk
Kapasitas
muatan truk
Biaya Sewa

truk A (x)

truk B (y)

Persediaan

1

1

48

6

4

240

100.000

50.000

Penulisan model matematikanya
𝑥 + 𝑦 ≤ 48

6𝑥 + 4𝑦 ≤ 240 → 3𝑥 + 2𝑦 ≤ 120

𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0

dengan fungsi 𝑓 𝑥, 𝑦 = 100.000𝑥 + 50.000𝑦

3. Langkah Ketiga. Menggambar grafik penyelesaian untuk menentukan
Daerah Himpunan Penyelesaian (DHP).

Menentukan titik-titik pojok pada Daerah Himpunan Penyelesaian.


Titik potong garis 6𝑥 + 4𝑦 = 240 dengan sumbu-y adalah
titik (0, 60).



Titik potong garis 𝑥 + 𝑦 = 48 dengan sumbu-x adalah titik

(48, 0).


Titik potong garis-garis 𝑥 + 𝑦 = 48 dan 6𝑥 + 4𝑦 = 240
dapat dicari dengan menggunakan cara eliminasi berikut ini.
Modul Matematika | PPL IAIN TULUNGAGUNG

37

Diperoleh, titik potong garis-garis 𝑥 + 𝑦 = 48 dan 6𝑥 + 4𝑦 = 240
adalah pada titik (24,24).

4. Langkah Keempat. Menyelesaikan model matematika dengan metode
uji titik pojok pada Daerah Himpunan Penyelesaian (DHP).
𝑓 𝑥, 𝑦 = 100.000𝑥 + 50.000𝑦

A (0,60) = 100.000 × 0 + 50.000 × 60

= 3.000.000

B (24,24) = 100.000 × 24 + 50.000 × 24 = 3.600.000
C (48,0) = 100.000 × 48 + 50.000 × 0

= 4.800.000

Jadi banyak jenis truk A dan B yang harus disewa agar biaya yang
dikeluarkan minimum adalah tidak menyewa truk A dan hanya
menyewa truk B sebanyak 60.
2. Akan di buat dua model tas yaitu model A dan model B. model A memerlukan
biaya Rp. 30.000,- dengan keuntungan Rp. 5000,- sedangkan model B
memerlukan biaya Rp. 40.000,- dengan keuntungan Rp. 8000,-. Modal yang
dimiliki adalah Rp. 840.000,- dan akan membuat tas sebanyak 25 buah. Berapa
besar keuntungan maksimum?
Pembahasan :
a. Menentukan objek-objek yang dituju dengan pemisalan variabel x dan
variabel y.
misal : x = tas model A, y = tas model B
b. Model matematika
30.0000𝑥 + 40.000𝑦 ≤ 840.000 → 3𝑥 + 4𝑦 ≤ 84
𝑥 + 𝑦 ≤ 25

Modul Matematika | PPL IAIN TULUNGAGUNG

38

𝑥≥0

𝑦≥0

c. Gambar daerah penyelesaian

b.

Eliminasi

Subtitusi
𝑥 + 𝑦 = 25

16 + 𝑦 = 25
𝑦 = 25 − 16

𝑦=9

Jika dilihat dari gambar daerah penyelesaian dan eliminasi, subtitusi
maka didapat titik A (25,0), B (16,9), C (0,21)
d. Fungsi objektif
𝑓 𝑥, 𝑦 = 5000𝑥 + 8000𝑦

𝐴 25,0 = 5000 25 + 8000 0 = 125.000

Modul Matematika | PPL IAIN TULUNGAGUNG

39

𝐵 16,9 = 5000 16 + 8000 9 = 152.000

𝐶 0,21 = 5000 0 + 8000 21 = 186.000

Jadi besar keuntungan maksimumnya adalah Rp 186.000

Penyelesaian Program Linear dengan Metode Garis Selidik

Garis selidik 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑘 memiliki

INGAT !




Jika garis selidik semakin
menjauhi titik asal O(0,0)
maka yang dicari adalah
nilai maksimumnya.
Jika garis selidik semakin
mendekati titik asal O(0,0)
maka yang dicari adalah
nilai minimumnya.

sifat-sifat berikut.

a. Jika 𝑘 = 0 maka garis 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑘

melalui titik O(0,0)

b. Jika k makin besar, maka garis 𝑎𝑥 +

𝑏𝑦 = 𝑘 makin menjauhi titik asal O(0,0). Jika
garis 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑘

makin menjauhi titik asal

O(0,0) maka nilai k semakin besar, akibatnya

nilai 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 juga makin besar.

Berdasarkan sifat-sifat di atas maka garis selidik dapat digunakan untuk
menentukan nilai optimum bentuk objektif 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑘.

Langkah-langkah yang harus ditempuh dalam menyelesaikan masalah program

linear sebagai berikut.
1. Menetapkan objek-objek yang dituju dengan pemisalan variabel x dan variabel
y.
2. Menuliskan permasalahan kontekstual menjadi model matematika.
3. Menggambar grafik penyelesaian untuk menentukan Daerah Himpunan
Penyelesaian (DHP).
4. Menyelesaikan model matematika dengan metode garis selidik pada Daerah
Himpunan Penyelesaian (DHP).

Modul Matematika | PPL IAIN TULUNGAGUNG

40

Contoh Soal dan Pembahasan

Suatu Perusahaan mempunyai 2 jenis produk roti jenis A dan jenis B. Roti jenis A
memerlukan 200 gram tepung dan 25 gram mentega, sedangkan roti jenis B
memerlukan 100 gram tepung dan 50 gram mentega. Tersedia 3 kg tepung dan
1,2 kg mentega. Bahan-bahan lainnya cukup. Diketahui laba untuk roti jenis A
sebesar Rp. 750,- per buah dan laba untuk roti jenis B sebesar Rp 1.000,- per
buah. Hitunglah banyaknya roti A dan B agar diperoleh laba maksimum!
Pembahasan :
1. Langkah Pertama. Menetapkan objek-objek yang dituju dengan pemisalan
variabel x dan variabel y.
misal : x = roti jenis A, y = roti jenis B
2. Langkah Kedua. Model Matematika
200𝑥 + 100𝑦 ≤ 3000
25𝑥 + 50𝑦 ≤ 1200

𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0

𝑓 𝑥, 𝑦 = 750𝑥 + 1000𝑦

3. Langkah Ketiga. Grafik himpunan penyelesaian

4. Langkah Keempat. Mencari nilai optimum dengan bantuan garis selidik.
Dengan bantuan garis selidik yang diatur sejajar dengan titik yang
merupakan daerah penyelesaian dapat disimpulkan bahwa titik terjauh
dari garis selidik adalah titik (4,22).
Modul Matematika | PPL IAIN TULUNGAGUNG

41

Jadi nilai maksimumnya adalah
𝑓 4,22 = 750 × 4 + 1000 × 22 = 3000 + 22.000 = 25.000

Jadi, agar diperoleh laba maksimum roti jenis A yang harus dibuat
sebanyak 4 buah dan roti jenis B sebanyak 22 buah. Adapun laba
maksimum yang diperoleh adalah Rp. 25.000,-

LATIHAN SOAL
1. Suatu perusahaan tas dan sepatu mempunyai bahan kulit dan plastik masingmasing 450 cm2. Sebuah sepatu memerlukan bahan kulit 30 cm2 dan bahan
plastik 15 cm2, sedangkan sebuah tas memerlukan bahan kulit 15 cm2 dan bahan
plastik 30 cm2. Apabila keuntungan sebuah sepatu Rp. 8.500,- dan keuntungan
tas Rp. 7.500,- kemudian hitung berapa keuntungan maksimum yang didapat
perusahaan tas dan sepatu!
2. Sebuah taman rekreasi memiliki area parkir seluas 176 m2. Luas rata-rata untuk
parkir mobil adalah 4 m2 dan bus adalah 20 m2. Daya muat tempat rekreasi
hanya 20 kendaraan, dengan biaya parkir mobil Rp. 5.000,- dan untuk bus Rp.
15.000,-. Kemudian hitung berapa jumlah mobil dan bus yang berada pada area
parkir dengan pendapatan maksimum tempat parkir!
3. Seorang ibu rumah tangga mempunyai 3 kg tepung terigu dan 6 kg telur. Dengan
bahan tersebut dia ingin membuat kue bolu dan tart sekaligus. Berdasarkan resep
adonan untuk kue bolu dan kue tart masing-masing memerlukan 0,3 kg dan 0,1
kg terigu. Sedangkan penggunaan telur untuk kue bolu dan kue tart masingmasing 0,4 kg dan 0,3 kg telur. Tentukan produksi maksimum dari kue bolu dan
kue tart tersebut!
4. Suatu perusahaan elektronik membuat dua model radio. Kapasitas produksi
harian radio jenis I adalah 60 buah, sedangkan kapasitas produksi harian radio
jenis II adalah 75 buah. Tiap radio jenis I menggunakan 10 buah komponen
Modul Matematika | PPL IAIN TULUNGAGUNG

42

elektronik, sedangkan radio jenis II membutuhkan 8 buah komponen yang sama.
Komponen yang dapat disediakan per hari adalah 800 buah. Keuntungan per unit
jenis I adalah Rp. 30.000,- dan jenis II adalah Rp. 20.000,-. Tentukan
keuntungan maksimum yang dapat dibuat radio model jenis I dan model jenis II!
5. Permen jenis A yang harganya Rp. 200,- per bungkus dijual dengan laba Rp. 40,per bungkus, sedangkan permen jenis B dijual dengan harga Rp. 100,- per
bungkus dijual dengan laba Rp. 30,- per bungkus. Seorang pedagang hanya
mempunyai modal sebesar Rp. 80.000,- dan kiosnya hanya mampu menampung
500 bungkus permen. Tentukan berapa permen jenis A dan permen jenis B yang
harus dibeli pedagang agar memperoleh keuntungan maksimum!
6. Dalam satu minggu tiap orang membutuhkan paling sedikit 16 unit protein, 24
unit karbohidrat, dan 18 unit lemak. Makanan A mengandung 4 unit protein, 12
unit karbohidrat dan 2 unit lemak untuk setiap kg. Makanan B mengandung 2
unit protein, 2 unit karbohidrat dan 6 unit lemak untuk setiap kg. Berapa jumlah
masing-masing makanan harus dibeli tiap minggu agar kebutuhan terpenuhi,
tetapi dengan biaya semurah-murahnya, jika diketahui 1 kg makanan A seharga
Rp. 1.700,- dan 1 kg makanan B seharga Rp. 800,-?
7. Sebuah pesawat terbang mempunyai tempat duduk tidak lebih dari 48
penumpang. Setiap penumpang kelas utama boleh membawa bagasi 60 kg,
sedangkan penumpang kelas ekonomi 20 kg. Pesawat hanya boleh membawa
bagasi 1440 kg. Harga tiket kelas utama Rp. 800.000,- dan kelas ekonomi Rp.
600.000,-. Tentukan hasil penjualan tiket maksimum yang dapat diperoleh!
8. Sebuah perusahaan mempunyai dua tempat pertambangan. Pertambangan I
menghasilkan 1 ton bijih kadar tinggi, 3 ton bijih kadar menengah, dan 5 ton
bijih kadar rendah setiap hari. Sedangkan pertambangan II menghasilkan 2 ton
kadar tinggi, 2 ton kadar menengah, dan 2 ton kadar rendah setiap hari.
Perusahaan memerlukan 80 ton bijih kadar tinggi, 160 ton bijih kadar menengah
dan 200 ton bijih kadar rendah. Jika biaya pengoperasian setiap pertambangan
per hari sama dengan Rp. 2.000.000,- Berapa lama masing-masing
pertambangan harus dioperasikan agar biaya pengoperasiaannya minimum?
Modul Matematika | PPL IAIN TULUNGAGUNG

43

9. Dengan persediaan kain polos 20 m dan kain bergaris 10 m, seorang penjahit
akan membuat 2 model pakaian jadi. Model I memerlukan 1 m kain polos dan
1,5 m kain bergaris. Model II memerlukan 2 m kain polos dan 0,5 m kain
bergaris. Bila pakaian tersebut dijual, setiap model I memperoleh untung Rp.
15.000,- dan model II memperoleh untung Rp. 10.000,-. Berapa laba maksimum
yang diperoleh?
10. Seorang pedagang beras mempunyai dua jenis beras I dan II. Kedua jenis beras
itu akan dicampur dengan perbandingan tertentu untuk mendapatkan dua macam
beras yang berbeda. Beras biasa mengandung 50% jenis I dan 50% jenis II.
Sedangkan beras super mengandung dua pertiga jenis I dan sepertiga jenis II.
Pedagang itu memiliki persediaan beras 300 kg jenis I dan 2000 kg jenis II.
Setiap kg beras biasa menghasilkan laba Rp. 200,- sedangkan setiap kg beras
super menghasilkan laba Rp. 300,-. Tentukan banyak tiap jenis beras harus
dibuat agar keuntungan maksimal!

Luruskan Niat Optimalkan Ikhtiar
(Motto MAN 2 TULUNGAGUNG)

Modul Matematika | PPL IAIN TULUNGAGUNG

44