Logika matematika Filsafat Matematika (1) Filsafat Matematika (1) Filsafat Matematika (1)

Transparansi Kuliah Pertama
Matematika Diskrit
Transparansi ini diadopsi dari bahan kuliah Matematika Diskrit
di Jurusan Teknik Elektro ITB

Textbook:
Kenneth H. Rosen, Discrete Mathematics and
its Applications, Mc.Graw Hill, 5th Ed.
Isi :
1. Penalaran Matematika: logika, metoda dan
pembuktian.
2. Analisis Kombinatorial: counting, analisis cmb
3. Struktur Diskrit: representasi dan keterkatian
objek diskrit
4. Algoritma: spesifikasi, verifikasi, kompleksitas
5. Aplikasi M. Diskrit: dalam Ilmu Komputer,
jaringan, kimia, botany, linguistik, geografi,
bisnis, internet.
Matematika Diskrit Kuliah-1
2

Rencana Penilaian
• Kegiatan Akademik Terstruktur (KAT)

…%

• Ujian Tengah Semester (UTS)

…%

• Ujian Akhir Semester (UAS)

…%

Matematika Diskrit Kuliah-1

3

Silabus Kuliah (1)
1. Logika, himpunan dan fungsi
2. Algoritma, Teori Bilangan dan

matriks
3. Penalaran Matematika, Induksi
dan Rekursi
4. Dasar-dasar Counting
 UTS (?)
Matematika Diskrit Kuliah-1

4

Silabus Kuliah (2)
7. Teori Peluang Diskrit
8. Advanced Counting
9. Relasi
10. Graph
11. Tree dan aplikasinya
12. Aljabar Boole
 UAS
Matematika Diskrit Kuliah-1

5

Tentang Handout
Handout ini adalah terjemahan dan modifikasi dari
CS320-Discrete Mathematics oleh Marc Pomplun
(http://www.cs.umb.edu/~marc/). Publikasi di
internet telah dilakukan seijin Pof. Marc.
This Lecture Notes is Indonesian translation and
modification of Marc Pomplun’s CS320-Discrete
Mathematics (http://www.cs.umb.edu /~marc/).
Publication in my website has been permitted by
Prof. Marc.

Matematika Diskrit Kuliah-1

6

Mengapa matematika diskrit ?
• Komputer (dijital) beroperasi secara diskrit
dengan unit terkecil yg disebut bit.
• Dengan demikian, baik

– Struktur (rangkaian) dan juga
– Operasi (eksekusi algoritma)
Dapat dijelaskan dengan matematika diskrit

Matematika Diskrit Kuliah-1

7

Perangkat Matematika
Perangkat yang berguna dalam matematika diskrit:
• Logika Matematika (Logic)
• Teori Himpunan (Set Theory)
• Fungsi (Functions)
• Deretan (Sequences)

Matematika Diskrit Kuliah-1

8

Logika

• Berguna untuk melakukan penalaran matematika
• Digunakan dalam mendesain rangkaian elektronik.
• Logika adalah suatu sistem yang didasarkan pada
proposisi.
• Suatu proposisi adalah sebuah pernyataan yang bisa
bernilai benar (true/T) atau salah (false/F) tetapi tidak
sekaligus keduanya.
• Kita katakan bahwa nilai kebenaran (truth value) dari
sebuah proposisi adalah benar atau salah.
• Dalam rangkaian dijital, nilai ini dinyatakan sebagai 1 dan
0

Matematika Diskrit Kuliah-1

9

Proposisi atau Pernyataan
“Gajah lebih besar daripada tikus.”
Apakah ini sebuah pernyataan?

YA

Apakah ini sebuah proposisi?

YA

Apakah nilai kebenaran
dari proposisi ini?
Matematika Diskrit Kuliah-1

BENAR

10

Proposisi atau Pernyataan
“520 < 111”
Apakah ini sebuah pernyataan?

YA

Apakah ini sebuah proposisi?

YA

Apakah nilai kebenaran
dari proposisi ini?
Matematika Diskrit Kuliah-1

SALAH

11

Proposisi atau Pernyataan
“y > 5”
Apakah ini sebuah pernyataan?

YA

Apakah ini sebuah proposisi?

TIDAK

Nilai kebenaran dari pernyataan tersebut
bergantung pada y, tapi nilainya belum
ditentukan.
Pernyataan jenis ini kita sebut sebagai
fungsi proposisi atau kalimat terbuka.
Matematika Diskrit Kuliah-1

12

Proposisi atau Pernyataan
“Sekarang tahun 2004 dan 99 < 5.”
Apakah ini sebuah pernyataan?

YA

Apakah ini sebuah proposisi?

YA

Apakah nilai kebenaran
dari proposisi ini?
Matematika Diskrit Kuliah-1

SALAH

13

Proposisi atau Pernyataan
“Tolong untuk tidak tidur selama kuliah”
Apakah ini sebuah pernyataan?

TIDAK

Ini adalah sebuah permintaan.
Apakah ini sebuah proposisi?

TIDAK

Hanya pernyataanlah yang bisa menjadi
proposisi.
Matematika Diskrit Kuliah-1

14

Proposisi atau Pernyataan
“x < y jika dan hanya jika y > x.”
Apakah ini pernyataan ?
Apakah ini proposisi ?
… karena nilai kebenarannya
tidak bergantung harga
spesifik x maupun y.

YA
YA

Apakah nilai kebenaran
dari proposisi ini ?
Matematika Diskrit Kuliah-1

BENAR
15

Penggabung Proposisi
Beberapa contoh terdahulu menunjukkan
bahwa beberapa proposisi dapat digabung
menjadi sebuah proposisi gabungan.
Hal ini kita formal-kan dengan
melambangkan proposisi sebagai hurufhuruf; seperti p, q, r, s; dan memperkenalkan
operator-operator logika.
Matematika Diskrit Kuliah-1

16

Operator logika
Kita akan membahas operator-operator berikut:
• Negasi (NOT)
• Konjungsi (AND)
• Disjungsi (OR)
• Eksklusif OR (XOR)
• Implikasi (jika – maka)
• Bikondisional (jika dan hanya jika)
Tabel logika (tabel kebenaran/ truth table) dapat

dipakai untuk menunjukkan bagaimana operatoroperator tsb diatas menggabungkan beberapa proposisi
menjadi satu proposisi gabungan.
Matematika Diskrit Kuliah-1

17

Negasi (NOT)
Operator Uner, Lambang: 
P

P

Benar

Salah

Salah

Benar

Matematika Diskrit Kuliah-1

18

Konjungsi (AND)
Operator Biner, Lambang: 
P

Q

PQ

Benar

Benar

Benar

Benar

Salah

Salah

Salah

Benar

Salah

Salah

Salah

Salah

Matematika Diskrit Kuliah-1

19

Disjungsi (OR)
Operator Biner, Lambang: 
P

Q

P Q

Benar

Benar

Benar

Benar

Salah

Benar

Salah

Benar

Benar

Salah

Salah

Salah

Matematika Diskrit Kuliah-1

20

Eksklusif Or (XOR)
Operator Biner, Lambang: 
P

Q

P Q

Benar

Benar

Salah

Benar

Salah

Benar

Salah

Benar

Benar

Salah

Salah

Salah

Matematika Diskrit Kuliah-1

21

Implikasi (jika - maka)
Operator Biner, Lambang: 
P

Q

P Q

Benar

Benar

Benar

Benar

Salah

Salah

Salah

Benar

Benar

Salah

Salah

Benar

Matematika Diskrit Kuliah-1

22

Bikondisional (jika dan hanya jika)

Operator Biner, Lambang: 
P

Q

P Q

Benar

Benar

Benar

Benar

Salah

Salah

Salah

Benar

Salah

Salah

Salah

Benar

Matematika Diskrit Kuliah-1

23

Pernyataan dan Operasi
Pernyataan-pernyataan dan operator-operator dapat
digabungkan menjadi suatu pernyataan baru.

P

Q

P

Q

(P)(Q)

Benar Benar Salah Salah

Salah

Benar Salah Salah Benar

Benar

Salah Benar Benar Salah

Benar

Salah Salah Benar Benar

Benar

Matematika Diskrit Kuliah-1

24

Pernyataan dan Operasi
Pernyataan-pernyataan dan operator-operator dapat
digabungkan menjadi suatu pernyataan baru.

 (PQ)

(P)(Q)

Benar Benar Benar

Salah

Salah

Benar Salah Salah

Benar

Benar

Salah Benar Salah

Benar

Benar

Salah Salah Salah

Benar

Benar

P

Q

PQ

Matematika Diskrit Kuliah-1

25

Pernyataan-pernyataan yang ekivalen
P

(PQ) (P)(Q)

Q

(PQ) (P)(Q)

Benar Benar

Salah

Salah

Benar

Benar

Salah

Benar

Benar

Benar

Salah

Benar

Benar

Benar

Benar

Salah

Salah

Benar

Benar

Benar

Pernyatan (PQ) dan (P)(Q) adalah ekivalen secara
logis, karena (PQ) (P)(Q) selalu benar.
Matematika Diskrit Kuliah-1

26

Tautologi dan Kontradiksi
Suatu tautologi adalah pernyataan yang selalu
bernilai benar
Contoh:
• R(R)
 (PQ) (P)(Q)
Jika S T sebuah tautologi, kita tulis S  T.
JIka S T sebuah tautologi, kita tulis S  T.
Matematika Diskrit Kuliah-1

27

Kontradiksi
Suatu kontradiksi adalah pernyataan yang selalu
bernilai salah.
Contoh:
• R(R)
 ((PQ) (P)(Q))
Negasi dari sebarang tautologi adalah sebuah
kontradiksi, sebaliknya, negasi dari sebuah
kontradiksi adalah sebuah tautologi.
Matematika Diskrit Kuliah-1

28

Latihan
Kita tahu tautologi berikut:
(PQ)  (P)(Q)
Latihan di kelas :
Tunjukkan bahwa (PQ)  (P)(Q).
Kedua tautologi ini disebut sebagai hukum De
Morgan
Matematika Diskrit Kuliah-1

29

Proposisi dan Fungsi
Fungsi proposisi (kalimat terbuka) :
Pernyataan yang mengandung satu buah variabel atau lebih.
Contoh : x - 3 > 5.
Misalkan kita sebut fungsi proposisi ini sebagai P( x), dimana P
adalah predikat dan x adalah variabel.

Apakah nilai kebenaran dari P(2) ?

Salah

Apakah nilai kebenaran dari P(8) ?

Salah

Apakah nilai kebenaran dari P(9) ?

Benar

Matematika Diskrit Kuliah-1

30

Fungsi Proposisi
Tinjau fungsi proposisi Q(x, y, z) yg didefinisikan:
x + y = z.
Disini, Q adalah predikat dan x, y, and z adalah
variabel.
Apakah nilai kebenaran dari Q(2, 3, 5) ?

Benar

Apakah nilai kebenaran dari Q(0, 1, 2) ?

Salah

Apakah nilai kebenaran dari Q(9, -9, 0) ?

Benar

Matematika Diskrit Kuliah-1

31

Kuantifikasi Universal
Mis. P(x) suatu fungsi proposisi.
Kalimat yg dikuantifikasi secara universal :
Untuk semua x dalam semesta pembicaraan, P(x)
adalah benar.
Dengan kuantifier universal :
x P(x) “untuk semua x P(x)” atau
“untuk setiap x P(x)”
(Catatan: x P(x) bisa benar atau salah, jadi merupakan sebuah
proposisi, bukan fungsi proposisi.)

Matematika Diskrit Kuliah-1

32

Kuantifikasi Universal
Contoh :
S(x): x adalah seorang mahasiswa IT.
G(x): x adalah seorang yang pandai.
Apakah arti dari x (S(x)  G(x)) ?
“Jika x adalah mahasiswa IT, maka x adalah
seorang yang pandai”
atau
“Semua mahasiswa IT pandai.”
Matematika Diskrit Kuliah-1

33

Kuantifikasi Eksistensial
Kalimat yang di-kuantifikasi secara eksistensial:
Ada x di dalam semesta pembicaraan dimana P(x)
benar.
Dengan peng-kuantifikasi eksistensial :
x P(x) “Ada sebuah x sedemikian hingga P(x).”
“Ada sedikitnya sebuah x sedemikian
hingga P(x).”
(Catatan: x P(x) bisa benar atau salah, jadi merupakan
sebuah proposisi, tapi bukan fungsi proposisi.)

Matematika Diskrit Kuliah-1

34

Kuantifikasi Eksistensial
Contoh :
P(x): x adalah seorang dosen IT.
G(x): x adalah seorang yang pandai.
Apakah arti x (P(x)  G(x)) ?
“Ada x sedemikian hingga x adalah seorang dosen IT
dan x adalah seorang yang pandai.”
atau
“Sedikitnya satu orang dosen IT adalah seorang
yang pandai.”
Matematika Diskrit Kuliah-1

35

Kuantifikasi
Contoh lain :
Misalkan semesta pembicaraan adalah bilangan riil.
Apakah arti dari  x y (x + y = 320) ?
“Untuk setiap x ada y sehingga x + y = 320.”
Apakah pernyataan ini benar ?

Ya

Apakah ini benar untuk bilangan cacah? Tidak
Matematika Diskrit Kuliah-1

36

Disproof dengan counterexample
Counterexample dari x P(x) adalah sebuah
objek c sehingga P(c) salah.
Pernyataan seperti x (P(x)  Q(x)) dapat didisproof secara sederhana dengan memberikan
counterexample-nya.
Pernyataan: “Semua burung bisa terbang.”
Disproved dengan counterexample: Penguin.

Matematika Diskrit Kuliah-1

37

Negasi
(x P(x)) ekivalen scr logis dengan x (P(x)).
(x P(x)) ekivalen scr logis dengan x (P(x)).
Lihat Table 3 dalam Section 1.3.
Latihan soal pada Exercises 5 dan 9, Section 1.3.

Matematika Diskrit Kuliah-1

38