Alat peraga Matematika Alat peraga Matematika
ALAT PERAGA MATEMATIKA1
Rahmah Johar
Dosen Program Studi Pendidikan Matematika FKIP Universitas Syiah Kuala
A. PENDAHULUAN
Matematika memiliki objek kajian yang abstrak, sehingga kebenarannya tidak
dapat hanya ditentukan melalui pengamatan tetapi dibuktikan secara deduktif.
Dikarenakan objek kajian matematika yang abstrak ini, banyak siswa yang kesulitan
mempelajari matematika. Oleh karena itu, dalam proses pembelajaran, terutama pada
pendidikan dasar dan menengah, hendaknya guru membantu siswa memahami objek
matematika yang abstrak melalui pengamatan dan bantuan alat peraga.
Banyak sumber yang menjelaskan bahwa alat peraga berperan sebagai jembatan
dari konkret ke abstrak (Heddens dalam Marshall, 2008 dan Kelly, 2006). Dalam hal ini
bahasa memainkan peranan penting dalam membantu siswa untuk membuat jembatan
dari konkret ke abstrak tersebut (Kelly, 2006). Melalui alat peraga dapat dikembangkan
interaksi di kelas, sehingga pembelajaran matematika menjadi menyenangkan dan
pemahaman siswa menjadi lebih meningkat.
Alat peraga sebagai bagian dari sumber belajar hendaknya disediakan oleh guru
untuk mengembangkan sikap, keterampilan, dan
pengetahuan siswa dalam
mempelajaran matematika, sesuai dengan amanat kurikulum 2013 (Kementerian
Pendidikan dan Kebudayaan, 2012). The National Council of Teachers of Mathematics
(NCTM) juga memberikan penekanana tentang pentingnya penggunaan alat peraga dan
representasi visual dalam pembelajaran matematika (NCTM, 2000), di samping
teknologi lainnya.
Dalam penggunaan alat peraga, guru perlu mengetahui kapan, mengapa, dan
bagaimana menggunakannya. Jika tidak, siswa akan menganggap alat peraga sebagai
“mainan” pada saat pembelajaran matematika. Bahkan jika penggunaan alat peraga tidak
dirancang dengan baik dan tidak diiringi dengan pemahaman guru yang baik terhadap
materi yang terkait dengan alat peraga, akan berakibat pada kesalahan konsep. Penelitian
Marshall (2008) terhadap guru SD dan SMP di New South Wales, Australia, menemukan
1
Makalah disampaikan pada Seminar Alat Peraga di STAIN Malikussaleh, tanggal 23 September 2013
1
bahwa ada guru yang memberikan respon bahwa “sometimes kids will pick up a ‘wrong’
concept from a manipulative so their use needs guidance and supervision and follow-up,
then builds better understanding and concepts”; selain itu “the students sometimes
misunderstand the point of the lesson if it is always explained using the same
manipulatives”.
Kurangnya kemampuan guru dalam pemahaman materi juga akan terlihat ketika
guru hanya menggunakan alat perga untuk membuka pelajaran namun tidak sampai pada
konsep ataupun rumus matematika yang sedang dipelajari. Sebagai contoh, berdasarkan
pengamatan penulis terhadap guru mengajar dan diskusi dengan guru dalam beberapa
kali pelatihan, untuk mengenalkan konsep gradien guru menunjukkan alat peraga kayu
yang disandarkan pada dinding, atau pegangan pada tangga. Namun, setelah itu guru
‘melupakan alat peraga’ langsung menuliskan rumus bahwa gradien garis melalui titik
A(x1, y1) dan B (x2,y2) adalah
. Kondisi ini menunjukkan kurangnya
pemahaman guru dalam merancang aktivitas secara bertahap mulai dari alat peraga yang
konkret lalu gambar atau model dari gradient sehingga siswa menemukan sendiri rumus
gradien.
Berdasarkan
kurikulum
2013,
pelaksanaan
pembelajaran
hendaknya
menggunakan pendekatan saintifik, yang terdiri atas kegiatan observing (mengamati),
questioning (menanya), associating (mengaitkan/menalar), experimenting (mencoba),
dan networking (menjalin kerja sama/jejaring). Dengan demikian, penggunaan alat
peraga hendaknya diawali dengan aktivitas yang meminta siswa mengamati
masalah/kasus ataupun contoh dalam kehidupan sehari-hari, yang selanjutnya
dikembangkan dan diselidiki dengan bantuan alat peraga.
Berdasarkan uraian di atas, penggunaan alat peraga perlu dirancang,
dilaksanakan, dan dievaluasi keefektifannya dalam meningkatkan pemahaman siswa
terhadap matematika. Makalah ini membahas tentang peranan dan tujuan alat peraga,
hal-hal yang perlu diperhatikan dalam membuat dan menggunakan alat peraga
matematika, dan contoh alat peraga dalam pembelajaran matematika.
B. PEMBAHASAN
1. Peranan dan Tujuan Alat Peraga dalam Pembelajaran Matematika
2
Kelly (2006) mendefinisikan alat peraga sebagai tangible object, tool, or model
that may be used to clearly demonstrate a depth of understanding about a specified
mathematical topic. Alat peraga merupakan media yang berkaitan langsung dengan
penanaman konsep (Johar 2006) dan meletakkan ide-ide dasar yang melandasi suatu
konsep (Suherman dan Winataputra, 1992). Sebagai contoh model kubus digunakan
sebagai alat peraga untuk menanamkan konsep titik sudut pada kubus, rusuk kubus, dan
sisi kubus. Setelah siswa mendapat kesempatan terlibat dalam proses pengamatan dengan
bantuan alat peraga, diharapkan akan tumbuh minat belajar matematika dan
meningkatkan pemahaman matematika.
Secara umum, menurut Ahmadi (1991: 123) tujuan penggunaan alat peraga
dalam proses belajar mengajar adalah sebagi berikut:
a. Pengajaran akam menarik perhatian siswa sehingga dapat menumbuhkan motivasi
belajar;
b. Bahan pengajaran akan lebih jelas maknanya sehingga dapat lebih dipahami oleh
siswa, dan memungkinkan siswa menguasai tujuan pengajaran dengan baik;
c. Metode belajar akan lebih bervariasi, tidak semata-mata komunikasi verbal melalui
penuturan kata-kata oleh guru, sehingga siswa tidak bosan dan guru tidak kehabisan
tenaga;
d. Siswa lebih banyak melakukan kegiatan belajar, sebab tidak hanya mendengarkan
uraian guru, tetapi juga timbul aktivitas lain seperti mengamati, melakukan,
mendemontrasikan dan sebagainya
Sadirman 1(998: 145) menyatakan tujuan dari penggunaan alat peraga dalam
pembelajaran adalah:
a. Mengatasi keterbatasan ruang, waktu, dan daya indra
b. Dapat menimbulkan kegiatan belajar bagi siswa
c. Memungkinkan interaksi yang lebih panjang, antara siswa dengan lingkungan nyata
d. Memungkinkan siswa belajar sendiri menurut minat dan kemampuannya
e. Dapat memberi perangsang yang sama dan menimbulkan persepsi yang sama pula.
Penelitian Marshall (2008) terhadap 155 guru SD dan SMP di New South Wales,
Australia, menemukan bahwa pada umumnya guru mengemukakan manfaat alat peraga
dalam pembelajaran matematika adalah, membantu dalam menvisualisasikan konsep
matematika dengan lebih konkret, memberikan kesempatan kepada siswa untuk ‘handson learning’ atau terlibat dalam mengerjakan matematika, dan memberikan kesempatan
3
kepada siswa untuk merasakan belajar matematika dengan cara yang menyenangkan, dan
meningkatkan motivasi belajar siswa.
Menurut Tim MKPBM (2001) dengan menggunaan alat peraga dalam
pembelajaran matematika maka 1) proses belajar mengajar matematika menjadi lebih
menarik dan 2) hubungan antara konsep matematika yang abstrak dengan benda-benda di
sekitar siswa akan lebih dapat dipahami. Selanjutnya Suherman dan Winataputra (1992)
menjelaskan bahwa dengan bantuan alat peraga siswa dapat menarik generalisasi atau
kesimpulan dalam matematika. Shaw (2002) mengemukakan bahwa alat peraga dapat
digunakan untuk 1) membangun pemahaman dan konsep, dan 2) memberikan
pengalaman kepada siswa untuk terlibat, berkomuniksai, dan mengalami langsung.
Selain manfaat alat peraga di atas, menurut Tim MKPBM (2001) alat peraga
dapat digunakan dalam beberapa manfaat, yaitu sebagai berikut.
a. Pembentukan konsep
b. Pemahaman konsep
c. Latihan dan penguatan
d. Pelayanan terhadap individual, termasuk pelayanan terhadap anak lemah dan anak
berbakat
e. Pengukuran, alat peraga digunakan sebagai alat ukur
f. Pengamatan dan penemuan sendiri ide-ide dan relasi-relsi baru serta penarikan
kesimpulannya
g. Pemecahan masalah
h. Pendorong untuk berfikir, berdiskusi, dan berpartisipasi aktif
Manfaaat alat peraga juga
2. Hal-Hal yang Perlu Diperhatikan dalam Membuat dan Menggunakan Alat
Peraga Matematika
Mengajar matematika yang efektif memerlukan pemahaman tentang apa yang
siswa ketahui dan perlukan untuk belajar dan kemudian memberikan tantangan dan
dukungan agar mereka dapat mempelajari matematika dengan baik (NCTM, 2000). Alat
peraga merupakan salah satu yang dibutuhkan oleh siswa dalam belajar matematika. Alat
peraga dapat berupa benda riil (konkret), gambar, atau diagram. Oleh karena itu guru
4
perlu mempersiapkan alata peraga dengan cara mencari bahkan membuat alat peraga dan
merancang penggunaannya dalam proses belajar.
Tim MKPBM (2001) menjelaskan beberapa hal yang perlu diperhatikan dalam
pembuatan alat peraga, yaitu sebagai berikut.
a.
Tahan lama (dibuat dari bahan-bahan yang cukup kuat)
b.
Bentuk dan warnanya menarik
c.
Sederhana dan mudah dikelola (tidak rumit)
d.
Ukurannya sesuai (seimbang) dengan ukuran fisik siswa
e.
Dapat menyajikan (dalam bentuk riil, gambar, atau diagram) konsep matematika
f.
Sesuai dengan konsep matematika
g.
Merupakan dasar untuk tumbuhnya konsep yang abstrak
Penggunaan alat peraga dalam pembelajaran matematika menurut Kelly (2006)
hendaknya memperhatikan empat hal, yaitu sebagai berikut.
a. Alat peraga bertujuan untuk membantu siswa belajar lebih efisien dan efektif, bukan
sebagai ‘mainan’.
b. Alat perga hendaknya disesuaikan dengan tujuan pembelajaran matematika
c. Alat peraga perlu disertai dengan penjelasan oleh guru tentang cara penggunaannya
agar bermanfaat dalam menyelesaikan masalah dan komunikasi matematis
d. Alat peraga digunakan sebagai bagian dari kegiatan eksplorasi matematika.
Berdasarkan uraian di atas, guru perlu mengetahui kapan, mengapa, dan
bagaimana menggunakan alat peraga agar tujuan pembelajaran matematika dapat
tercapai. Guru sebaiknya merancang aktivitas yang dimulai dengan konteks dalam
kehidupan sehari-hari, lalu bantuan alat peraga, model dari alat peraga, sampai pada
penemuan konsep matematika yang bersifat formal abstrak. Aktivitas ini dalam
Pendidikan Matematika Realistik (PMR) dikenal dengan Learning Trajectory (lintasan
Belajar). Lintasan belajar ini digambarkan seperti gunung es (ice-berg) di bawah.
5
PENJUMLAHAN < 100
Dari gambar gunung es di atas, untuk menemukan prosedur menjumlahkan
bilangan dua angka, pembelajaran diawali dengan berbagai aktivitas yang terkait
langsung dengan kehidupan sehari-hari, seperti menjumlahkan penumpang dari gerbonggerbong kereta api. Selanjutnya melalui sajian visual atau tiruan benda nyata yang
mengikuti struktur tertentu. Berikutnya penjumlahan bilangan yang dituliskan pada kartu
bilangan yang menggunakan struktur sepuluh atau struktur lima, dan satuan. Terakhir
siswa menemukan cara menjumlahkan dengan bantuan garis bilangan (number line)
dengan lompat sepuluh atau teknik puluhan dengan puluhan, satuan dengan satuan, dan
sebagainya. Sehingga, untuk menyelesaikan 47 + 28, dalam pembelajaran diharapkan
muncul beberapa strategi siswa, seperti 47+20+8, atau 40+20+7+8, atau 47+10+10+3+5,
dan sebagainya (Johar, 2008).
Untuk penemuan luas persegipanjang, lintasan belajar untuk siswa SD dimulai
dari satuan tidak baku (Johar, 2008), sedangkan untuk siswa SMP aktivitas
menggunakan satuan tidak baku bukan bukan menjadi aktivitas utama (nurazmi, 2013,
seperti gambar berikut.
6
Lintasan belajar untuk siswa SD (Johar, 2008)
Luas = p x l
Formal
Building Stones
Model material
Real world
situation
Lintasan belajar untuk siswa SMP (Nurazmi, 2013)
3. Contoh Alat Peraga dalam Pembelajaran Matematika
Pada bagian ini dijelaskan alat peraga untuk pembelajaran matematika di SD atau
SMP. Beberapa contoh disertai dengan Lembar kegiatan Siswa. Hal ini diperlukan
karena pelaksanaan pembelajaran menurut kurikulum 2013 hendaknya menggunakan
pendekatan saintifik, yang terdiri atas kegiatan observing (mengamati), questioning
(menanya),
associating
(mengaitkan/menalar),
experimenting
(mencoba),
dan
networking (menjalin kerja sama/jejaring). Dengan demikian, penggunaan alat peraga
hendaknya diawali dengan aktivitas yang meminta siswa mengamati masalah/kasus
7
ataupun contoh dalam kehidupan sehari-hari, yang selanjutnya dikembangkan dan
diselidiki dengan bantuan alat peraga.
a. Alat peraga operasi bilangan bulat
1) Alat Peraga: Boneka
Petunjuk:
- Menjumlah berarti “maju”
- Mengurang berarti “mundur”
- Jika bilangan positif maka boneka dalam posisi standar
(menghadap ke bilangan positif)
- Jika bilangan negatif maka boneka balik kanan
Contoh:
Soal
3+2
3 + (-2)
3–2
Proses
- Tempatkan Boneka pada titik 3, dengan
posisi standar
(-1)+(-4)
3+2 = 5
-Maju 2 langkah
-4 -3 -2 -1
- Tempatkan Boneka pada bilangan 3,
dengan posisi standar
3+(-2) = 1
- Boneka balik kanan, lalu maju 2
langkah
-4 -3 -2 -1
- Tempatkan Boneka pada titik 3, dengan
posisi standar
3-2 = 1
- Mundur2 langkah
3–(-2)
Hasil
-4 -3 -2 -1
- Tempatkan Boneka pada bilangan 3,
dengan posisi standar
3-(-2) = 5
- Balik kanan, lalu mundur2 langkah
-4 -3 -2 -1
0 1
2
3
4
5
6
0 1
2
3
4
5
6
0 1
2
3
4
5
6
0 1
2
3
4
5
6
- Tempatkan Boneka pada bilangan -1,
dengan posisi standar
(-1) + (-4) = -5
- Balik kanan, lalu maju 4 langkah
-6 -5 -4 -3 -2 -1
0
1
3
2
Bandingkan hasil pengurangan dengan hasil penjumlahan, adakah hasilnya yang sama?
Apa yang dapat disimpulkan?
8
4
5
6
2) Alat Peraga: Kancing Baju
Petunjuk:
Kancing Putih (KP) mewakili +1
Kancing Hitam (KH) mewakili -1
“Menjumlah” berarti memasukkan kancing
“Mengurang” berarti mengambil kancing
A. Penjumlahan dan Pengurangan
Soal
3+2
Proses
Hasil
Masukkan 3 KP
Masukkan lagi 2 KP
5 + (-3)
Masukkan 5 KP
Masukkan 3 KH
5–3
Masukkan 5 KP
Ambil 3 KP
ambil
(-4) – 3
Masukkan 4 KH
Ambil 3 KP
ambil
B. Perkalian
Petunjuk:
n x r artinya:
- Berapa kali memasukkan sebanyak r kancing (jika n positif)
- Berapa kali mengambil sebanyak r kancing (jika n negatif)
9
Soal
2x3
Proses
Hasil
Dua kali memasukkan 3 KP
Masuk I
Masuk II
Hasil = 6
2 x (-3)
Dua kali memasukkan 3 KH
Masuk I
Masuk II
Hasil = -6
(-2) x 3
Dua kali mengambil 3 KP
Ambil I
Ambil II
Karena kancing belum ada, buat
6 pasang KP dan KH
Hasil = -6
-2 x (-3)
Dua kali mengambil 3 KH
Karena kancing belum ada, buat
6 pasang KP dan KH
Ambil I
Ambil II
Hasil = 6
b. Alat perga operasi pada bilangan pecahan
Alat peraga yang dijelaskan pada bagian ini adalah alat perga untuk perkalian
dan pembagian pecahan, sedangkan penjumlahan dan pengurangan pecahan
dianggap sudah dikuasai.
1) Perkalian Pecahan
Sebelum menggunakan alat peraga, sebaiknya diberikan masalah kontekstual,
seperti “Ani memiliki
bagian bolu. Lalu,
dari
bagian tersebut diberikan
kepada temannya. Berapa bagian bolu yang diterima temannya?”
Dalam matematika masalah di atas dapat disimbolkan dengan
= …...
10
Alat peraga yang dapat digunakan adalah dua lembar plastik transparan.
Plastik transparan pertama menunjukkan bolu yang dimiliki Ani, yaitu , yang
diarsir secara horizontal, seperti gambar di bawah.
}
Plastik transparan kedua menunjukkan bolu yang akan diberikan kepada
temannya bagian, yang diarsir secara vertikal, seperti gambar di bawah
Lalu impitkan kedua plastik transparan, sehingga diperoleh gambar seperti di bawah
{
Berikan contoh pecahan lain kepada siswa, seperti
,
, minta siswa menentukan
hasilnya dengan menggunakan alat peraga.
Terakhir, minta siswa mengamati pola, sehingga siswa memperoleh kesimpulan
2) Pembagian Pecahan
Konteks yang sesuai dengan pembagian pecahan misalnya “Rina memiliki 3 m pita.
Untuk membuat bunga, dibutuhkan pita berukuran
meter. Berapa potong pita yang
diperoleh Rina?”
Masalah di atas dapat juga dinyatakan sebagai “berapa
an di dalam 3?” atau
3: = ….
Alat peraga yang digunakan adalah model pita, sebagai pecahan, seperti di bawah.
1m
1m
1m
11
Karena ada 6 potong an di dalam 3 meter pita, maka 3: = 6
Berikan pecahan lain yang bervariasi, seperti
: = ......
: 2 = …… (Gunakan konteks membagi kue untuk menentukan hasilya)
: = ......
(Ada berapa
an di dalam ? Jawabnya adalah )
Minta siswa mengamati pola hubungan antara pecahan yang dibagi dengan hasil
bagi. Minta siswa mendiskusikan kaitan proses memperoleh hasil pembagian
pecahan dengan perkalian pecahan.
Diharapkan siswa sendiri yang menyimpulkan bahwa membagi pecahan dapat
dicari dengan mengalikan pecahan, asalkan pecahan yang kedua dibalik, sehingga
dapat disimbolkan sebagai
c. Alat peraga Luas Bangun Datar
a) Luas jajargenjang
Salah satu cara menemukan luas jajargenjang adalah dengan menggunakan
pendekatan luas persegipanjang. Salah satu ujung jajargenjang dipotong dan ditempelkan
pada ujung lainnya sehingga membentuk persegipanjang seperti gambar berikut.
D
C
C
t
t
A
D
D’
B
a
D’
B
C’
a
Luas jajargenjag ABCD = Luas persegipanjang D’C’CD = a x t
b) Luas lingkaran
Salah satu usaha untuk menemukan rumus luas lingkaran adalah dengan
menggunakan alat perga berupa lingkaran yang terbuat dari keras yang dipotong menjadi
beberapa juring. Misalnya 16 buah juring, 32 buah, dan seterusnya. Semakin banyak
juring yang dibuat semakin mendekati kebenaran rumus untuk luasnya. Juring lingkaran
12
tersebut dapat disusun secara kreatif oleh siswa misalnya berbentuk persegi panjang,
segitiga, dan trapesium seperti terlihat pada gambar berikut ini.
Dalam pembelajaran, bagian penting yang perlu dibimbing oleh guru adalah
mengaitkan jari-jari dan keliling lingkaran dengan luas bangun yang terbentuk.
d. Alat perga volume bangun ruang
1) Volume Balok
Dasar penemuan rumus volume bangun ruang adalah melalui rumus volum balok.
Siapkan kubus satuan yang akan diisi untuk memenuhi balok, seperti gambar di bawah.
Minta siswa mendiskusikan LKS berikut.
No
Balok
Cara menghitung banyaknya
kubus satuan
Volume Balok
a.
b.
13
3 Satuan
c.
2 Satuan
5 Satuan
t
d.
l
p
2) Volume limas
Kubus mula-mula
Limas pertama
Limas kedua
Limas ketiga
Karena ukuran ketiga limas sama, maka volume ketiga limas tersebut juga sama.
Hubungan volume limas tersebut dengan volume kubus yaitu:
Volume kubus = 3 x volume limas
Volume limas = 1 volume kubus
3
= 1 x s3
(ingat volume kubus = s3)
3
= 1 x (s2) x s
(ingat s2 merupakan luas alas kubus dan s merupakan
3
tinggi kubus)
= 1 x luas alas x tinggi
3
e. Alat peraga pembuktian teorema Phytagoras.
Siapkan potongan papan atau kertas. Dengan cara coba-coba, minta siswa
memindahkan potongan papan dari persegi yang ada pada sisi siku-siku ke persegi yang
ada pada sisi miring. Tampak bahwa semua potongan yang ada pada persegi di sisi sikusiku memenuhi persegi pada sisi miring, seperti gambar berikut.
14
Cara 1
f. Alat Peraga Bilangan Akar
Cara 2
Cara 3
Alat peraga yang di atas hanya sebagaian dari alat peraga matematika. Pada
lampiran dapat dilihat daftar alat peraga yang tersedai pada Labor P4TK matematika di
Yogyakarta.
C. PENUTUP
Penggunaan alat peraga matematika dalam proses pembelajaran dapat membantu
siswa memahami konsep dasar dalam matematika, menemukan rumus, menemukan sifat,
menemukan generalisasi dari pola, dan sebagainya. Guru harus dapat menentukan alat
perga yang sesuai dengan topik yang daiajarkan dan menggunakannya secara efektif
dalam proses belajar matematika. Sesuai dengan kemajuan teknologi, sumber belajar
yang dapat digunakan oleh guru dalam proses belajar matematika tidak hanya alat
peraga, tapi dapat berupa animasi yang disajikan pada power point, software matematika
(seperti Cabri, Geometer sketchpad, autograph), lingkungan, media cetak maupun
elektronik.
DAFTAR PUSTAKA
Ahmadi, A. (1991). Teknik Belajar Mengajar. Jakarta: Rineka Cipta.
Johar, Rahmah. (2008) The Development of PMRI in Aceh. Makalh disajikan pada
Disajikan pada Seminar Internasional 4th ICMSA di Banda Aceh Tanggal 9 – 11
Juni 2008
15
Johar, Rahmah (2008). Pendekatan Matematika Realistik Indonesia (PMRI) dan
Relevansinya dengan KTSP. Makalah disampaikan pada workshop guru SD/MI
di STAIN Malikussaleh pada tanggal 27 November 2008.
Kelly, C. A. (2006) Using Manipulatives in Mathematical Problem Solving: A
Performance-Based Analysis. In The Montana Mathematics Enthusiast, ISSN
1551-3440, Vol. 3, no.2, pp. 184-193
Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan. (2012). Peraturan Menteri Pendidikan dan
Kebudayaan Republik Indonesia Nomor 81a tahun 2013 tentang Implementasi
Kurikulum. Jakarta.
Marshal, L. (2008) Exploring the Use of Mathematics Manipulative Materialsin : Is It
What We Think It Is? in the Proceedings of the EDU-COM 2008 International
Conference. Edith Cowan University, Perth Western Australia, 19-21 November
2008.
NCTM. (2000). Principle and Standards for School Mathematics: USA.
Nurazmi. (2013). Penerapan Pendekatan
Pembelajaran Matematika Realistik untuk
Meningkatkan Kemampuan Pemecahan Masalah Matematis dan Sikap Siswa SMP.
Tesis. Universitas Syiah Kuala.
Sadirman. (1998). Media Pendidikan dan Kontek Pembelajaran. Jakarta: Rajawali.
Shaw, J. M. (2002) Manipulatives Enhance the Learning of Mathematics. In
https://www.google.com/#psj=1&q=manipulative+for+mathematics+teaching.
Retrieved on 19 September 2013.
Suherman, E. dan Winataputra, U. (1992). Strategi Belajar Mengajar Matematika.
Modul UT. Departemen Pendidikan dan Kebudayaan. Jakarta
Tim MKPBM (2001) Strategi Pembelajaran Matematika Kontemporer. Modul JICA.
UPI Bandung
van de Walle. J. (2007) Matematika Sekolah Dasar dan Menengah: Pengembangan
Pengajaran. Alih Bahasa Suyono. Jakarta: Erlangga.
16
Rahmah Johar
Dosen Program Studi Pendidikan Matematika FKIP Universitas Syiah Kuala
A. PENDAHULUAN
Matematika memiliki objek kajian yang abstrak, sehingga kebenarannya tidak
dapat hanya ditentukan melalui pengamatan tetapi dibuktikan secara deduktif.
Dikarenakan objek kajian matematika yang abstrak ini, banyak siswa yang kesulitan
mempelajari matematika. Oleh karena itu, dalam proses pembelajaran, terutama pada
pendidikan dasar dan menengah, hendaknya guru membantu siswa memahami objek
matematika yang abstrak melalui pengamatan dan bantuan alat peraga.
Banyak sumber yang menjelaskan bahwa alat peraga berperan sebagai jembatan
dari konkret ke abstrak (Heddens dalam Marshall, 2008 dan Kelly, 2006). Dalam hal ini
bahasa memainkan peranan penting dalam membantu siswa untuk membuat jembatan
dari konkret ke abstrak tersebut (Kelly, 2006). Melalui alat peraga dapat dikembangkan
interaksi di kelas, sehingga pembelajaran matematika menjadi menyenangkan dan
pemahaman siswa menjadi lebih meningkat.
Alat peraga sebagai bagian dari sumber belajar hendaknya disediakan oleh guru
untuk mengembangkan sikap, keterampilan, dan
pengetahuan siswa dalam
mempelajaran matematika, sesuai dengan amanat kurikulum 2013 (Kementerian
Pendidikan dan Kebudayaan, 2012). The National Council of Teachers of Mathematics
(NCTM) juga memberikan penekanana tentang pentingnya penggunaan alat peraga dan
representasi visual dalam pembelajaran matematika (NCTM, 2000), di samping
teknologi lainnya.
Dalam penggunaan alat peraga, guru perlu mengetahui kapan, mengapa, dan
bagaimana menggunakannya. Jika tidak, siswa akan menganggap alat peraga sebagai
“mainan” pada saat pembelajaran matematika. Bahkan jika penggunaan alat peraga tidak
dirancang dengan baik dan tidak diiringi dengan pemahaman guru yang baik terhadap
materi yang terkait dengan alat peraga, akan berakibat pada kesalahan konsep. Penelitian
Marshall (2008) terhadap guru SD dan SMP di New South Wales, Australia, menemukan
1
Makalah disampaikan pada Seminar Alat Peraga di STAIN Malikussaleh, tanggal 23 September 2013
1
bahwa ada guru yang memberikan respon bahwa “sometimes kids will pick up a ‘wrong’
concept from a manipulative so their use needs guidance and supervision and follow-up,
then builds better understanding and concepts”; selain itu “the students sometimes
misunderstand the point of the lesson if it is always explained using the same
manipulatives”.
Kurangnya kemampuan guru dalam pemahaman materi juga akan terlihat ketika
guru hanya menggunakan alat perga untuk membuka pelajaran namun tidak sampai pada
konsep ataupun rumus matematika yang sedang dipelajari. Sebagai contoh, berdasarkan
pengamatan penulis terhadap guru mengajar dan diskusi dengan guru dalam beberapa
kali pelatihan, untuk mengenalkan konsep gradien guru menunjukkan alat peraga kayu
yang disandarkan pada dinding, atau pegangan pada tangga. Namun, setelah itu guru
‘melupakan alat peraga’ langsung menuliskan rumus bahwa gradien garis melalui titik
A(x1, y1) dan B (x2,y2) adalah
. Kondisi ini menunjukkan kurangnya
pemahaman guru dalam merancang aktivitas secara bertahap mulai dari alat peraga yang
konkret lalu gambar atau model dari gradient sehingga siswa menemukan sendiri rumus
gradien.
Berdasarkan
kurikulum
2013,
pelaksanaan
pembelajaran
hendaknya
menggunakan pendekatan saintifik, yang terdiri atas kegiatan observing (mengamati),
questioning (menanya), associating (mengaitkan/menalar), experimenting (mencoba),
dan networking (menjalin kerja sama/jejaring). Dengan demikian, penggunaan alat
peraga hendaknya diawali dengan aktivitas yang meminta siswa mengamati
masalah/kasus ataupun contoh dalam kehidupan sehari-hari, yang selanjutnya
dikembangkan dan diselidiki dengan bantuan alat peraga.
Berdasarkan uraian di atas, penggunaan alat peraga perlu dirancang,
dilaksanakan, dan dievaluasi keefektifannya dalam meningkatkan pemahaman siswa
terhadap matematika. Makalah ini membahas tentang peranan dan tujuan alat peraga,
hal-hal yang perlu diperhatikan dalam membuat dan menggunakan alat peraga
matematika, dan contoh alat peraga dalam pembelajaran matematika.
B. PEMBAHASAN
1. Peranan dan Tujuan Alat Peraga dalam Pembelajaran Matematika
2
Kelly (2006) mendefinisikan alat peraga sebagai tangible object, tool, or model
that may be used to clearly demonstrate a depth of understanding about a specified
mathematical topic. Alat peraga merupakan media yang berkaitan langsung dengan
penanaman konsep (Johar 2006) dan meletakkan ide-ide dasar yang melandasi suatu
konsep (Suherman dan Winataputra, 1992). Sebagai contoh model kubus digunakan
sebagai alat peraga untuk menanamkan konsep titik sudut pada kubus, rusuk kubus, dan
sisi kubus. Setelah siswa mendapat kesempatan terlibat dalam proses pengamatan dengan
bantuan alat peraga, diharapkan akan tumbuh minat belajar matematika dan
meningkatkan pemahaman matematika.
Secara umum, menurut Ahmadi (1991: 123) tujuan penggunaan alat peraga
dalam proses belajar mengajar adalah sebagi berikut:
a. Pengajaran akam menarik perhatian siswa sehingga dapat menumbuhkan motivasi
belajar;
b. Bahan pengajaran akan lebih jelas maknanya sehingga dapat lebih dipahami oleh
siswa, dan memungkinkan siswa menguasai tujuan pengajaran dengan baik;
c. Metode belajar akan lebih bervariasi, tidak semata-mata komunikasi verbal melalui
penuturan kata-kata oleh guru, sehingga siswa tidak bosan dan guru tidak kehabisan
tenaga;
d. Siswa lebih banyak melakukan kegiatan belajar, sebab tidak hanya mendengarkan
uraian guru, tetapi juga timbul aktivitas lain seperti mengamati, melakukan,
mendemontrasikan dan sebagainya
Sadirman 1(998: 145) menyatakan tujuan dari penggunaan alat peraga dalam
pembelajaran adalah:
a. Mengatasi keterbatasan ruang, waktu, dan daya indra
b. Dapat menimbulkan kegiatan belajar bagi siswa
c. Memungkinkan interaksi yang lebih panjang, antara siswa dengan lingkungan nyata
d. Memungkinkan siswa belajar sendiri menurut minat dan kemampuannya
e. Dapat memberi perangsang yang sama dan menimbulkan persepsi yang sama pula.
Penelitian Marshall (2008) terhadap 155 guru SD dan SMP di New South Wales,
Australia, menemukan bahwa pada umumnya guru mengemukakan manfaat alat peraga
dalam pembelajaran matematika adalah, membantu dalam menvisualisasikan konsep
matematika dengan lebih konkret, memberikan kesempatan kepada siswa untuk ‘handson learning’ atau terlibat dalam mengerjakan matematika, dan memberikan kesempatan
3
kepada siswa untuk merasakan belajar matematika dengan cara yang menyenangkan, dan
meningkatkan motivasi belajar siswa.
Menurut Tim MKPBM (2001) dengan menggunaan alat peraga dalam
pembelajaran matematika maka 1) proses belajar mengajar matematika menjadi lebih
menarik dan 2) hubungan antara konsep matematika yang abstrak dengan benda-benda di
sekitar siswa akan lebih dapat dipahami. Selanjutnya Suherman dan Winataputra (1992)
menjelaskan bahwa dengan bantuan alat peraga siswa dapat menarik generalisasi atau
kesimpulan dalam matematika. Shaw (2002) mengemukakan bahwa alat peraga dapat
digunakan untuk 1) membangun pemahaman dan konsep, dan 2) memberikan
pengalaman kepada siswa untuk terlibat, berkomuniksai, dan mengalami langsung.
Selain manfaat alat peraga di atas, menurut Tim MKPBM (2001) alat peraga
dapat digunakan dalam beberapa manfaat, yaitu sebagai berikut.
a. Pembentukan konsep
b. Pemahaman konsep
c. Latihan dan penguatan
d. Pelayanan terhadap individual, termasuk pelayanan terhadap anak lemah dan anak
berbakat
e. Pengukuran, alat peraga digunakan sebagai alat ukur
f. Pengamatan dan penemuan sendiri ide-ide dan relasi-relsi baru serta penarikan
kesimpulannya
g. Pemecahan masalah
h. Pendorong untuk berfikir, berdiskusi, dan berpartisipasi aktif
Manfaaat alat peraga juga
2. Hal-Hal yang Perlu Diperhatikan dalam Membuat dan Menggunakan Alat
Peraga Matematika
Mengajar matematika yang efektif memerlukan pemahaman tentang apa yang
siswa ketahui dan perlukan untuk belajar dan kemudian memberikan tantangan dan
dukungan agar mereka dapat mempelajari matematika dengan baik (NCTM, 2000). Alat
peraga merupakan salah satu yang dibutuhkan oleh siswa dalam belajar matematika. Alat
peraga dapat berupa benda riil (konkret), gambar, atau diagram. Oleh karena itu guru
4
perlu mempersiapkan alata peraga dengan cara mencari bahkan membuat alat peraga dan
merancang penggunaannya dalam proses belajar.
Tim MKPBM (2001) menjelaskan beberapa hal yang perlu diperhatikan dalam
pembuatan alat peraga, yaitu sebagai berikut.
a.
Tahan lama (dibuat dari bahan-bahan yang cukup kuat)
b.
Bentuk dan warnanya menarik
c.
Sederhana dan mudah dikelola (tidak rumit)
d.
Ukurannya sesuai (seimbang) dengan ukuran fisik siswa
e.
Dapat menyajikan (dalam bentuk riil, gambar, atau diagram) konsep matematika
f.
Sesuai dengan konsep matematika
g.
Merupakan dasar untuk tumbuhnya konsep yang abstrak
Penggunaan alat peraga dalam pembelajaran matematika menurut Kelly (2006)
hendaknya memperhatikan empat hal, yaitu sebagai berikut.
a. Alat peraga bertujuan untuk membantu siswa belajar lebih efisien dan efektif, bukan
sebagai ‘mainan’.
b. Alat perga hendaknya disesuaikan dengan tujuan pembelajaran matematika
c. Alat peraga perlu disertai dengan penjelasan oleh guru tentang cara penggunaannya
agar bermanfaat dalam menyelesaikan masalah dan komunikasi matematis
d. Alat peraga digunakan sebagai bagian dari kegiatan eksplorasi matematika.
Berdasarkan uraian di atas, guru perlu mengetahui kapan, mengapa, dan
bagaimana menggunakan alat peraga agar tujuan pembelajaran matematika dapat
tercapai. Guru sebaiknya merancang aktivitas yang dimulai dengan konteks dalam
kehidupan sehari-hari, lalu bantuan alat peraga, model dari alat peraga, sampai pada
penemuan konsep matematika yang bersifat formal abstrak. Aktivitas ini dalam
Pendidikan Matematika Realistik (PMR) dikenal dengan Learning Trajectory (lintasan
Belajar). Lintasan belajar ini digambarkan seperti gunung es (ice-berg) di bawah.
5
PENJUMLAHAN < 100
Dari gambar gunung es di atas, untuk menemukan prosedur menjumlahkan
bilangan dua angka, pembelajaran diawali dengan berbagai aktivitas yang terkait
langsung dengan kehidupan sehari-hari, seperti menjumlahkan penumpang dari gerbonggerbong kereta api. Selanjutnya melalui sajian visual atau tiruan benda nyata yang
mengikuti struktur tertentu. Berikutnya penjumlahan bilangan yang dituliskan pada kartu
bilangan yang menggunakan struktur sepuluh atau struktur lima, dan satuan. Terakhir
siswa menemukan cara menjumlahkan dengan bantuan garis bilangan (number line)
dengan lompat sepuluh atau teknik puluhan dengan puluhan, satuan dengan satuan, dan
sebagainya. Sehingga, untuk menyelesaikan 47 + 28, dalam pembelajaran diharapkan
muncul beberapa strategi siswa, seperti 47+20+8, atau 40+20+7+8, atau 47+10+10+3+5,
dan sebagainya (Johar, 2008).
Untuk penemuan luas persegipanjang, lintasan belajar untuk siswa SD dimulai
dari satuan tidak baku (Johar, 2008), sedangkan untuk siswa SMP aktivitas
menggunakan satuan tidak baku bukan bukan menjadi aktivitas utama (nurazmi, 2013,
seperti gambar berikut.
6
Lintasan belajar untuk siswa SD (Johar, 2008)
Luas = p x l
Formal
Building Stones
Model material
Real world
situation
Lintasan belajar untuk siswa SMP (Nurazmi, 2013)
3. Contoh Alat Peraga dalam Pembelajaran Matematika
Pada bagian ini dijelaskan alat peraga untuk pembelajaran matematika di SD atau
SMP. Beberapa contoh disertai dengan Lembar kegiatan Siswa. Hal ini diperlukan
karena pelaksanaan pembelajaran menurut kurikulum 2013 hendaknya menggunakan
pendekatan saintifik, yang terdiri atas kegiatan observing (mengamati), questioning
(menanya),
associating
(mengaitkan/menalar),
experimenting
(mencoba),
dan
networking (menjalin kerja sama/jejaring). Dengan demikian, penggunaan alat peraga
hendaknya diawali dengan aktivitas yang meminta siswa mengamati masalah/kasus
7
ataupun contoh dalam kehidupan sehari-hari, yang selanjutnya dikembangkan dan
diselidiki dengan bantuan alat peraga.
a. Alat peraga operasi bilangan bulat
1) Alat Peraga: Boneka
Petunjuk:
- Menjumlah berarti “maju”
- Mengurang berarti “mundur”
- Jika bilangan positif maka boneka dalam posisi standar
(menghadap ke bilangan positif)
- Jika bilangan negatif maka boneka balik kanan
Contoh:
Soal
3+2
3 + (-2)
3–2
Proses
- Tempatkan Boneka pada titik 3, dengan
posisi standar
(-1)+(-4)
3+2 = 5
-Maju 2 langkah
-4 -3 -2 -1
- Tempatkan Boneka pada bilangan 3,
dengan posisi standar
3+(-2) = 1
- Boneka balik kanan, lalu maju 2
langkah
-4 -3 -2 -1
- Tempatkan Boneka pada titik 3, dengan
posisi standar
3-2 = 1
- Mundur2 langkah
3–(-2)
Hasil
-4 -3 -2 -1
- Tempatkan Boneka pada bilangan 3,
dengan posisi standar
3-(-2) = 5
- Balik kanan, lalu mundur2 langkah
-4 -3 -2 -1
0 1
2
3
4
5
6
0 1
2
3
4
5
6
0 1
2
3
4
5
6
0 1
2
3
4
5
6
- Tempatkan Boneka pada bilangan -1,
dengan posisi standar
(-1) + (-4) = -5
- Balik kanan, lalu maju 4 langkah
-6 -5 -4 -3 -2 -1
0
1
3
2
Bandingkan hasil pengurangan dengan hasil penjumlahan, adakah hasilnya yang sama?
Apa yang dapat disimpulkan?
8
4
5
6
2) Alat Peraga: Kancing Baju
Petunjuk:
Kancing Putih (KP) mewakili +1
Kancing Hitam (KH) mewakili -1
“Menjumlah” berarti memasukkan kancing
“Mengurang” berarti mengambil kancing
A. Penjumlahan dan Pengurangan
Soal
3+2
Proses
Hasil
Masukkan 3 KP
Masukkan lagi 2 KP
5 + (-3)
Masukkan 5 KP
Masukkan 3 KH
5–3
Masukkan 5 KP
Ambil 3 KP
ambil
(-4) – 3
Masukkan 4 KH
Ambil 3 KP
ambil
B. Perkalian
Petunjuk:
n x r artinya:
- Berapa kali memasukkan sebanyak r kancing (jika n positif)
- Berapa kali mengambil sebanyak r kancing (jika n negatif)
9
Soal
2x3
Proses
Hasil
Dua kali memasukkan 3 KP
Masuk I
Masuk II
Hasil = 6
2 x (-3)
Dua kali memasukkan 3 KH
Masuk I
Masuk II
Hasil = -6
(-2) x 3
Dua kali mengambil 3 KP
Ambil I
Ambil II
Karena kancing belum ada, buat
6 pasang KP dan KH
Hasil = -6
-2 x (-3)
Dua kali mengambil 3 KH
Karena kancing belum ada, buat
6 pasang KP dan KH
Ambil I
Ambil II
Hasil = 6
b. Alat perga operasi pada bilangan pecahan
Alat peraga yang dijelaskan pada bagian ini adalah alat perga untuk perkalian
dan pembagian pecahan, sedangkan penjumlahan dan pengurangan pecahan
dianggap sudah dikuasai.
1) Perkalian Pecahan
Sebelum menggunakan alat peraga, sebaiknya diberikan masalah kontekstual,
seperti “Ani memiliki
bagian bolu. Lalu,
dari
bagian tersebut diberikan
kepada temannya. Berapa bagian bolu yang diterima temannya?”
Dalam matematika masalah di atas dapat disimbolkan dengan
= …...
10
Alat peraga yang dapat digunakan adalah dua lembar plastik transparan.
Plastik transparan pertama menunjukkan bolu yang dimiliki Ani, yaitu , yang
diarsir secara horizontal, seperti gambar di bawah.
}
Plastik transparan kedua menunjukkan bolu yang akan diberikan kepada
temannya bagian, yang diarsir secara vertikal, seperti gambar di bawah
Lalu impitkan kedua plastik transparan, sehingga diperoleh gambar seperti di bawah
{
Berikan contoh pecahan lain kepada siswa, seperti
,
, minta siswa menentukan
hasilnya dengan menggunakan alat peraga.
Terakhir, minta siswa mengamati pola, sehingga siswa memperoleh kesimpulan
2) Pembagian Pecahan
Konteks yang sesuai dengan pembagian pecahan misalnya “Rina memiliki 3 m pita.
Untuk membuat bunga, dibutuhkan pita berukuran
meter. Berapa potong pita yang
diperoleh Rina?”
Masalah di atas dapat juga dinyatakan sebagai “berapa
an di dalam 3?” atau
3: = ….
Alat peraga yang digunakan adalah model pita, sebagai pecahan, seperti di bawah.
1m
1m
1m
11
Karena ada 6 potong an di dalam 3 meter pita, maka 3: = 6
Berikan pecahan lain yang bervariasi, seperti
: = ......
: 2 = …… (Gunakan konteks membagi kue untuk menentukan hasilya)
: = ......
(Ada berapa
an di dalam ? Jawabnya adalah )
Minta siswa mengamati pola hubungan antara pecahan yang dibagi dengan hasil
bagi. Minta siswa mendiskusikan kaitan proses memperoleh hasil pembagian
pecahan dengan perkalian pecahan.
Diharapkan siswa sendiri yang menyimpulkan bahwa membagi pecahan dapat
dicari dengan mengalikan pecahan, asalkan pecahan yang kedua dibalik, sehingga
dapat disimbolkan sebagai
c. Alat peraga Luas Bangun Datar
a) Luas jajargenjang
Salah satu cara menemukan luas jajargenjang adalah dengan menggunakan
pendekatan luas persegipanjang. Salah satu ujung jajargenjang dipotong dan ditempelkan
pada ujung lainnya sehingga membentuk persegipanjang seperti gambar berikut.
D
C
C
t
t
A
D
D’
B
a
D’
B
C’
a
Luas jajargenjag ABCD = Luas persegipanjang D’C’CD = a x t
b) Luas lingkaran
Salah satu usaha untuk menemukan rumus luas lingkaran adalah dengan
menggunakan alat perga berupa lingkaran yang terbuat dari keras yang dipotong menjadi
beberapa juring. Misalnya 16 buah juring, 32 buah, dan seterusnya. Semakin banyak
juring yang dibuat semakin mendekati kebenaran rumus untuk luasnya. Juring lingkaran
12
tersebut dapat disusun secara kreatif oleh siswa misalnya berbentuk persegi panjang,
segitiga, dan trapesium seperti terlihat pada gambar berikut ini.
Dalam pembelajaran, bagian penting yang perlu dibimbing oleh guru adalah
mengaitkan jari-jari dan keliling lingkaran dengan luas bangun yang terbentuk.
d. Alat perga volume bangun ruang
1) Volume Balok
Dasar penemuan rumus volume bangun ruang adalah melalui rumus volum balok.
Siapkan kubus satuan yang akan diisi untuk memenuhi balok, seperti gambar di bawah.
Minta siswa mendiskusikan LKS berikut.
No
Balok
Cara menghitung banyaknya
kubus satuan
Volume Balok
a.
b.
13
3 Satuan
c.
2 Satuan
5 Satuan
t
d.
l
p
2) Volume limas
Kubus mula-mula
Limas pertama
Limas kedua
Limas ketiga
Karena ukuran ketiga limas sama, maka volume ketiga limas tersebut juga sama.
Hubungan volume limas tersebut dengan volume kubus yaitu:
Volume kubus = 3 x volume limas
Volume limas = 1 volume kubus
3
= 1 x s3
(ingat volume kubus = s3)
3
= 1 x (s2) x s
(ingat s2 merupakan luas alas kubus dan s merupakan
3
tinggi kubus)
= 1 x luas alas x tinggi
3
e. Alat peraga pembuktian teorema Phytagoras.
Siapkan potongan papan atau kertas. Dengan cara coba-coba, minta siswa
memindahkan potongan papan dari persegi yang ada pada sisi siku-siku ke persegi yang
ada pada sisi miring. Tampak bahwa semua potongan yang ada pada persegi di sisi sikusiku memenuhi persegi pada sisi miring, seperti gambar berikut.
14
Cara 1
f. Alat Peraga Bilangan Akar
Cara 2
Cara 3
Alat peraga yang di atas hanya sebagaian dari alat peraga matematika. Pada
lampiran dapat dilihat daftar alat peraga yang tersedai pada Labor P4TK matematika di
Yogyakarta.
C. PENUTUP
Penggunaan alat peraga matematika dalam proses pembelajaran dapat membantu
siswa memahami konsep dasar dalam matematika, menemukan rumus, menemukan sifat,
menemukan generalisasi dari pola, dan sebagainya. Guru harus dapat menentukan alat
perga yang sesuai dengan topik yang daiajarkan dan menggunakannya secara efektif
dalam proses belajar matematika. Sesuai dengan kemajuan teknologi, sumber belajar
yang dapat digunakan oleh guru dalam proses belajar matematika tidak hanya alat
peraga, tapi dapat berupa animasi yang disajikan pada power point, software matematika
(seperti Cabri, Geometer sketchpad, autograph), lingkungan, media cetak maupun
elektronik.
DAFTAR PUSTAKA
Ahmadi, A. (1991). Teknik Belajar Mengajar. Jakarta: Rineka Cipta.
Johar, Rahmah. (2008) The Development of PMRI in Aceh. Makalh disajikan pada
Disajikan pada Seminar Internasional 4th ICMSA di Banda Aceh Tanggal 9 – 11
Juni 2008
15
Johar, Rahmah (2008). Pendekatan Matematika Realistik Indonesia (PMRI) dan
Relevansinya dengan KTSP. Makalah disampaikan pada workshop guru SD/MI
di STAIN Malikussaleh pada tanggal 27 November 2008.
Kelly, C. A. (2006) Using Manipulatives in Mathematical Problem Solving: A
Performance-Based Analysis. In The Montana Mathematics Enthusiast, ISSN
1551-3440, Vol. 3, no.2, pp. 184-193
Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan. (2012). Peraturan Menteri Pendidikan dan
Kebudayaan Republik Indonesia Nomor 81a tahun 2013 tentang Implementasi
Kurikulum. Jakarta.
Marshal, L. (2008) Exploring the Use of Mathematics Manipulative Materialsin : Is It
What We Think It Is? in the Proceedings of the EDU-COM 2008 International
Conference. Edith Cowan University, Perth Western Australia, 19-21 November
2008.
NCTM. (2000). Principle and Standards for School Mathematics: USA.
Nurazmi. (2013). Penerapan Pendekatan
Pembelajaran Matematika Realistik untuk
Meningkatkan Kemampuan Pemecahan Masalah Matematis dan Sikap Siswa SMP.
Tesis. Universitas Syiah Kuala.
Sadirman. (1998). Media Pendidikan dan Kontek Pembelajaran. Jakarta: Rajawali.
Shaw, J. M. (2002) Manipulatives Enhance the Learning of Mathematics. In
https://www.google.com/#psj=1&q=manipulative+for+mathematics+teaching.
Retrieved on 19 September 2013.
Suherman, E. dan Winataputra, U. (1992). Strategi Belajar Mengajar Matematika.
Modul UT. Departemen Pendidikan dan Kebudayaan. Jakarta
Tim MKPBM (2001) Strategi Pembelajaran Matematika Kontemporer. Modul JICA.
UPI Bandung
van de Walle. J. (2007) Matematika Sekolah Dasar dan Menengah: Pengembangan
Pengajaran. Alih Bahasa Suyono. Jakarta: Erlangga.
16