Kajian Teoritis terhadap Persamaan Gelombang Nonlinier
Hutahaean
Vol..14 No. 3 September 2007
urnal
TEKNIK SIPIL
Kajian Teoritis terhadap Persamaan Gelombang Nonlinier
Syawaluddin H.1)
Abstrak
Paper ini menyajikan hasil perumusan persamaan gelombang nonlinier dengan prosedur yang lain. Dimana
amplitudo gelombang, persamaan momentum dari Euler dan tekanan hidrodinamis dari Bernoulli sepenuhnya
digunakan, tanpa pemotongan atau linierisasi. Potensial kecepatan dan persamaan dispersi yang dihasilkan
menjadi persamaan gelombang linier bila digunakan amplitudo sangat kecil.
Pada persamaan potensial kecepatan terdapat fenomena breaking, dengan bentuk yang sama dengan kriteria
breaking dari Miche. Panjang gelombang yang dihasilkan dari persamaan dispersi adalah lebih kecil dari
panjang gelombang dari teori gelombang linier. Peranan amplitudo gelombang pada persamaan dispersi
adalah memperpendek panjang gelombang. Semakin besar amplitudo gelombang, semakin panjang gelombang.
Kata-kata Kunci :
Persamaan gelombang linier : Teori gelombang yang diturunkan untuk amplitudo gelombang sangat kecil.
Teori gelombang nonlinier : Teori gelombang yang diturunkan untuk amplitudo gelombang yang cukup besar.
Abstract
This paper presents derivation of a nonlinear wave equation with different procedure. In which, wave amplitude,
momentum Euler’s equation and hydrodynamic pressure of Bernoulli are fully used and no linearization. The
resulted potential and dispersion equation become equations of linier wave theory when small amplitude inserted to the equations.
Velocity potential equation gives breaking phenomena that the same as Miche’s breaking criteria. Wave length
resulted from the dispersion equation shorter than wave length resulted by linear wave theory. Existences of
wave amplitude in dispersion equation make wave length shorter. Larger wave amplitude shorter wave length.
Keywords :
Linear wave theory : Wave theory derived for very small wave amplitude.
Nonlinear wave theory : Wave theory derived for large wave amplitude.
1. Pendahuluan
Nonlinieritas suatu teori gelombang adalah ditinjau
dari perumusannya. Bila pada perumusannya
diperhitungkan peranan amplitudo gelombang maka
persamaan yang dihasilkan disebut dengan persamaan
gelombang atau teori gelombang nonlinier. Sedangkan
bila pada perumusannya digunakan amplitudo
gelombang yang sangat kecil sehingga dapat
diabaikan peranannya, maka persamaan yang
dihasilkan adalah persamaan gelombang linier.
Pada penelitian ini dikembangkan suatu persamaan
gelombang nonlinier. Dengan tujuan mendapatkan
suatu persamaan gelombang nonlinier yang lebih
sederhana dari persamaan gelombang nonlinier yang
ada tanpa mengurangi ketelitiannya.
2. Persamaan Potensial Kecepatan
Perumusan persamaan potensial kecepatan diawali
dengan penyelesaian persamaan Laplace
∂2 φ ∂2 φ
+
= 0,
∂ x2 ∂ z2
dengan metoda pemisahan variabel. Berdasarkan Dean
[3], hasil penyelesaian persamaan tersebut setelah
dimasukkan syarat batas lateral dan syarat batas
kinematik dasar perairan dengan dasar datar adalah
1. Anggota KK Teknik Kelautan, FTSL-ITB, Jl. Ganesha No.10 Bandung 40132.
Vol. 14 No. 3 September 2007 163
Kajian Teoritis terhadap Persamaan Gelombang Nonlinier
φ = G cosh (k (h + z)) cos kx sin σt
(2.1)
dimana :
φ = potensial kecepatan
k = bilangan gelombang
h = kedalaman perairan pada muka air diam
σ = frekuensi sudut = 2π / T
T = perioda gelombang
G = adalah suatu konstanta yang perlu ditentukan
harganya
Untuk mendapatkan G, digunakan persamaan
kontinuitas yang terintegrasi terhadap kedalaman, yaitu
∂η
∂
= −
∂t
∂x
η
∫ u dz
(2.2)
-h
Perumusan Persamaan (2.2) tersebut dapat dilihat
pada Lampiran I.A. Substitusi u = - ∂φ /∂x dan η = A
cos kx sin σt (Lampiran I.B), dimana A = amplitudo
gelombang, ke Persamaan (2.2) diperoleh
σA
G=
(2.3)
⎛ ⎛
⎛ ⎛
A ⎞⎞ k A ⎞
A ⎞⎞ ⎛
⎟
k cosh ⎜⎜ k ⎜ h + ⎟ ⎟⎟ ⎜⎜ tanh ⎜⎜ k ⎜ h + ⎟ ⎟⎟ 2 ⎠ ⎠ 2 ⎟⎠
2 ⎠⎠ ⎝
⎝ ⎝
⎝ ⎝
σ A cosh k (h + z) cos kx sin σt
(2.4)
φ =
⎛ ⎛
⎛ ⎛
A ⎞⎞ k A ⎞
A ⎞⎞ ⎛
⎟
k cosh ⎜⎜ k ⎜ h + ⎟ ⎟⎟ ⎜⎜ tanh ⎜⎜ k ⎜ h + ⎟ ⎟⎟ 2 ⎠ ⎠ 2 ⎟⎠
2 ⎠⎠ ⎝
⎝ ⎝
⎝ ⎝
3. Persamaan Dispersi
Untuk mendapatkan persamaan dispersi digunakan
persamaan momentum dari Euler dengan tekanan
hidrodinamis dari Bernoulli. Perumusan persamaan
dapat dilihat pada Lampiran I.C. Bentuk persamaan
momentum tersebut adalah
∂ ⎛ ∂ φη
1 ∂
⎜
uη2 + wη2 −
2∂x
∂ x ⎜⎝ ∂ t
(
)
⎞
∂η
⎟⎟ = - g
∂x
⎠
(3.1)
Substitusi η = A cos kx sin σt, u = - ∂φ /∂x, dengan φ
dari Persamaan (2.4) diperoleh persamaan dispersi
yaitu (Lampiran I.D)
⎛ σ 2 A k σ 2 A2 k
σ 2 A2 k tanh kH
⎜⎜
tanh kH +
+
4 F cosh kH
4F
⎝ 2F
−
σ 2 A2 tanh kH ⎞
4F
σ 2Ak3
4F
⎛ σ 2Ak
⎟ + ⎜⎜ tanh2 kH +
cosh kH ⎠
2
F
⎝
⎞ + ⎛
σ 2Ak2
tanh2 kH
tanh 3 kH ⎟⎟ ⎜⎜ σ 2 2
⎠ ⎝
164 Jurnal Teknik Sipil
+
σ 2Ak
2
⎞
tanh kH ⎟⎟ = g k F
⎠
⎛ ⎛
⎝ ⎝
dimana F = tanh ⎜⎜ k ⎜ h +
(3.2)
A
A ⎞⎞ A
⎟ ⎟⎟ - dan H =h +
2
2 ⎠⎠ 2
4. Analisis Persamaan
a. Persamaan dispersi
Pada amplitudo gelombang yang sangat kecil, maka
Persamaan (3.2) menjadi
σ2 = g k F
Dimana F = tanh k ( k ( k + A/2 ) ) - A/2. Untuk
amplitudo gelombang yang sangat kecil, maka F =
tanh kh. Persamaan dispersi menjadi σ2 = gk tanh kh
yang merupakan persamaan dispersi dari teori gelombang linier.
Jadi persamaan dispersi yang dihasilkan sama dengan
persamaan dispersi dari teori gelombang linier pada
amplitudo gelombang yang sangat kecil.
b. Panjang gelombang
Hasil perhitungan panjang gelombang dengan
menggunakan persamaan dispersi (Persamaan 3.2)
untuk perioda gelombang 6 detik, disajikan pada
Tabel 1. Pada amplitudo gelombang 0.0 m, dihasilkan
panjang gelombang yang sama dengan panjang
gelombang dari teori gelombang linier. Sedangkan
pada amplitudo yang besar, panjang gelombang yang
dihasilkan oleh Persamaan (3.2) lebih pendek dari
panjang gelombang dari teori gelombang linier.
Pada amplitudo 0.5 m dan 0.80 m, pada kedalaman 22
m sampai dengan 40 m, terlihat terjadi pengurangan
panjang gelombang dengan bertambahnya kedalaman.
Fenomena ini mencerminkan peristiwa wave setdown,
yaitu berkurangnya kedalaman rata-rata akibat adanya
gelombang. Pada hasil perhitungan tersebut juga
terlihat perbedaan panjang gelombang dengan panjang
gelombang dari teori gelombang linier mengecil,
seiring dengan semakin dangkalnya perairan.
Peristiwa ini mencerminkan fenomena wave setup.
Kemampuan persamaan memodelkan fenomena wave
setup dan wave setdown tersebut memang masih
memerlukan
penelitian
lebih
lanjut,
tetapi
fenomenanya sudah terlihat.
Pada hasil perhitungan tersebut juga terlihat pengaruh
amplitudo gelombang yaitu bahwa semakin besar
amplitudo semakin pendek panjang gelombang.
Hutahaean
Tabel 1. Perbandingan panjang gelombang, antara
teori gelombang linier dengan teori
gelombang nonlinier, perioda gelombang 6
detik
h
(m)
L-linier
(m)
40.00
38.00
36.00
34.00
32.00
30.00
28.00
26.00
24.00
22.00
20.00
18.00
16.00
14.00
12.00
10.00
8.00
6.00
4.00
2.00
56.19
56.18
56.17
56.15
56.12
56.07
56.00
55.88
55.71
55.44
55.05
54.47
53.62
52.42
50.73
48.41
45.22
40.87
34.77
25.58
L-0.0
(m)
L-0.5
(m)
L-0.8
(m)
56.19
56.18
56.17
56.15
56.12
56.07
56.00
55.88
55.71
55.44
55.05
54.47
53.62
52.42
50.73
48.41
45.22
40.87
34.77
25.58
52.78
52.78
52.79
52.80
52.81
52.81
52.80
52.77
52.71
52.58
52.35
51.96
51.33
50.36
48.90
46.78
43.75
39.47
33.31
23.75
50.21
50.23
50.26
50.30
50.35
50.40
50.46
50.52
50.58
50.60
50.56
50.41
50.05
49.36
48.18
46.30
43.43
39.20
32.91
22.89
Catatan:
L-linier : panjang gelombang dari teori gelombang
linier
L-0.0 : panjang gelombang dari teori gelombang
nonlier dengan amplitudo 0.0
L-0.5 : panjang gelombang dari teori gelombang
nonlier dengan amplitudo 0.5 m
L-0.8 : panjang gelombang dari teori gelombang
nonlier dengan amplitudo 0.8 m
c. Persamaan potensial aliran
Persamaan potensial aliran (Persamaan (2.2)),
φ =
σ A cosh (k (h + z)) cos kx sin σt
⎛ ⎛
A ⎞⎞ ⎛
k cosh ⎜⎜ k ⎜ h + ⎟ ⎟⎟ ⎜⎜ tanh
2 ⎠⎠ ⎝
⎝ ⎝
⎛ ⎛
A ⎞⎞ k A ⎞
⎟
⎜⎜ k ⎜ h + ⎟ ⎟⎟ 2 ⎠ ⎠ 2 ⎟⎠
⎝ ⎝
Pada amplitudo gelombang yang sangat kecil persamaan potensial aliran menjadi
φ =
σ A cosh (k (h + z))
k cosh kh tanh (kh)
cos kx sin σt
Pada amplitudo yang kecil, persamaan dispersi menjadi σ2 = g k tanh (kh) atau k = σ2 / g tanh (kh). Substitusi k pada persamaan potensial aliran, diperoleh
φ =
g A cosh (k (h + z)) cos kx sin σt
σ
cosh (kh)
yang merupakan persamaan potensial aliran dari teori
gelombang linier.
d. Breaking
Pada persamaan potensial aliran terdapat factor pembagi tanh ( k (h + A/2) ) - kA/2. Bila tanh
⎛ ⎛
A ⎞⎞
kA
⎜⎜ k ⎜ h + ⎟ ⎟⎟ −
= 0 , maka
2 ⎠⎠
2
⎝ ⎝
⎛ ⎛
A ⎞⎞
⎜⎜ k ⎜ h + ⎟ ⎟⎟
2 ⎠⎠
⎝ ⎝
2π A
⎛ ⎛
A ⎞⎞
= tanh ⎜⎜ k ⎜ h + ⎟ ⎟⎟
2L
2 ⎠⎠
⎝ ⎝
2A
2
⎛ ⎛
A ⎞⎞
tanh ⎜⎜ k ⎜ h + ⎟ ⎟⎟
=
L
π
2 ⎠⎠
⎝ ⎝
kA
= tanh
2
(4.1)
Kriteria breaking dari Miche,
2A
= 0.142 tanh kh
L
(4.2)
Terlihat bahwa Persamaan (4.1) mempunyai bentuk
yang sama dengan Persamaan (4.2).
Pada tanh ( k (h + A/2)) = 0, maka φ menjadi ~, dapat
dikatakan bahwa kondisi ini adalah kondisi breaking.
Jadi persamaan potensial aliran yang dihasilkan
mempunyai karakteristik breaking dengan bentuk
yang sama dengan kriteria breaking dari Miche.
5. Kesimpulan
Potensial kecepatan dan persamaan dispersi yang
dihasilkan
pada
penelitian
ini
mempunyai
karakteristik linier pada amplitudo kecil. Bagi
sejumlah peneliti [1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 14,
15] kandungan karakteristik linier pada suatu
persamaan gelombang nonlinier merupakan petunjuk
untuk validitas suatu teori gelombang nonlinier.
Persamaan potensial aliran yang dihasilkan
mempunyai kondisi breaking yang sama dengan
kriteria breaking dari Miche.
Dari hal-hal tersebut, maka dapat disimpulkan bahwa
persamaan gelombang yang dihasilkan pada penelitian
ini cukup valid.
Pada proses perumusan terdapat hal-hal yang
diabaikan, karena itu persamaan masih perlu
disempurnakan untuk mendapatkan persamaan yang
lebih baik.
yang merupakan persamaan potensial aliran dari teori
gelombang linier.
Vol. 14 No. 3 September 2007 165
Kajian Teoritis terhadap Persamaan Gelombang Nonlinier
Daftar Pustaka
Sarpkaya T. and Iseacson, Micheal, 1981, “Mechanics
of Wave Forces on Offshore Structures”, Van
Nostrand Reinhold Company. [12]
Bredmese, H., Schaffer, H.A., and Madsen, P.A.,
2004, Boussinesq Evolution Equations :
“Numerical
Efficiency,
Breaking
and
Amplitude Dispersion”, Coastal Engineering.
[1]
Schäffer, H. A., Madsen, P.A., 1995, ”Further Enhancements of Boussinesq Type Equations”.
Coastal Engineering (26). [13]
Chen, Y., and Liu, P.L.-F., 1995, “Modified Boussinesq Equations and Associated Parabolic
Models for Water Wave Propagation”, J. Fluid
Mech., 288. [2]
Sørensen, O.R., Schäffer, H.A., and Sørensen, L.A.,
2004, “Boussinesq Modelling Using Unstructural Finite Element Technique”. Coastal Engineering. [14]
Dean, Robert G., and Dalrymple, “Water Wave
Mechanics for Engineers and Scientists”,
Prentice-Hall, Englewood Cliffs, New Jersey.
[3]
Wei, G., Kirby, J.T., Grilli, S.T., and Subramanya, R.,
1995, “A Fully Nonlinear Boussinesq Model
For Surface Waves”, Part 1, Highly Nonlinear
Unsteady Waves. J. Fluid Mech. 294. [15]
Gobbi, M.F., and Kirby, J.T., 1998, “A New Boussinesq Type Model for Surface Water Wave”,
Ph.D. Dissertation of the First Author. University of Delaware. [4]
Kirby, J.T., and Wei, G., 1994, “Derivation and Properties of A Fully Nonlinear, Extended Boussinesq Model”. In Proc. IAHR Symposium:
Waves – Phys. and Num. Model, Vancouver.
[5]
Li, Y.S., Liu, S.-X., Yu, Y.-X., and Lai, G.-Z. 1999,
“Numerical Modeling of Boussinesq Equations
By Finite Element Method”, J. Coastal Engineering, Elsevier. [6]
Madsen, P. A., Murray, R., and Sørensen, O.R., 1991,
“A New Form of Boussinesq Equation with
Improved Linear Dispersion Characteristics”,
Coastal Engineering 15. [7]
Madsen, P. A., and Sørensen, O.R., 1992, “A New
Form Of Boussinesq Equation With Improved
Linear Dispersion Characteristics”, Part 2. A
Slowly-Varying Bathymetry, Coastal Engineering 18. [8]
McCowan, A.D., 1987, “The Range of Application of
Boussinesq Type Numerical Short Wave Models”, In Proc. 22nd IAHR Congr. [9]
Meftah, Sorgent, P., and Gami P., 2004, “Linear
Analysis of A New Type of Extended Boussinesq Model”. Coastal Engineering. [10]
Nwogu, O., 1993, “An Alternative Form of The Boussinesq Equations for Nearshore Wave Propagation”. J. Waterway, Port, Coast.. Ocean
Engng. 119. [11]
166 Jurnal Teknik Sipil
Hutahaean
Lampiran I
I.B Potensial kecepatan
Perumusan Persamaan
Dengan φ = G cosh (k (h + z)) cos kx sin σt, maka
I.A Persamaan kontinuitas
terhadap kedalaman
yang
terintegrasi
Persamaan kontinuitas pada aliran fluida dalam bentuk
2 dimensi yaitu arah x – z adalah
dimana u adalah kecepatan arus pada arah horizontal x
sedangkan w adalah kecepatan arus pada arah vertikal
z, persamaan dikalikan dz dan diintegrasikan terhadap
kedalaman,
∫
-h
η
∂u
dz + ∫ dw = 0 ; wη – w-h = ∂x
-h
η
∫
-h
∂u
dz
∂x
Dengan mengerjakan aturan Leibniz pada integral ruas
kanan persamaan, diperoleh
⎛ ∂
wη – w-h = - ⎜
⎜∂ x
⎝
η
∫ u dz - uη
-h
∂η
∂ h ⎞⎟
- u- h
∂x
∂ x ⎟⎠
Syarat batas kinematik permukaan adalah [3]
wη =
∂η
∂η
+ u
∂t
∂x
∂η
∂x
Dengan menggunakan kedua syarat batas tersebut,
persamaan kontinuitas yang terintegrasi terhadap kedalaman menjadi
∂η
∂
=∂t
∂x
∫ u dz = G sinh (k (h + η)) sin kx sin σt
η
∂
∂x
∫ u dz = G k sinh (k (h + η)) cos kx sin σt
-h
+ G k cosh (k (h + η)) sin kx sin σt
η = A cos kx cos σt ;
η
∂η
= - k A sin kx cos σt
∂x
η
∂
∂x
∫ u dz = G k sinh (k (h + η)) cos kx sin σt
-h
- G k2 cosh (k (h + η)) sin kx sin kx sin σt cos σt
Dengan mengambil cos kx = sin kx= cos σt = sin σt =
1
2 maka
2
∂
Gk
Gk2A
u
dz
η
))
cos k (h + η)
sinh
(k
(h
+
=
∂ x -∫h
2
4
η
∂
∂x
∫ u dz =
-h
Gk
k A⎞
⎛
cosh (k (h + η)) ⎜tanh k (h +η ) - ⎟
2
2 ⎠
⎝
Substitusi persamaan terakhir ke Persamaan (1),
diperoleh
∂η
Gk
k A⎞
⎛
⎟
cosh (k (h + η)) ⎜tanh k (h +η ) =2 ⎠
∂t
2
⎝
∫ u dz
-h
dimana η adalah fluktuasi muka air terhadap muka air
diam (Gambar A.1).
∂η
= - σ A cos kx sin σt
∂t
Dengan cos kx = sin σt
z
Muka air diam
x
∂η
∂x
η
dan syarat batas kinematik dasar perairan adalah [3]
w-h = - u-h
η
-h
∂u ∂w
+
=0
∂x ∂z
η
∂φ
= G k cosh( k (h + z)) sin kx sin σt
∂x
u=-
η
-
σ A
2
h
G=
Gambar A.1. Fluktuasi muka air akibat gelombang
=-
σA
2
∂η
, maka
=2
2
∂t
Gk
k A⎞
⎛
cosh (k (h + η)) ⎜tanh (k (h+η ))- ⎟
2⎠
2
⎝
σA
k A⎞
⎛
k cosh (k (h + η )) ⎜ tanh (k (h + η )) ⎟
2 ⎠
⎝
Vol. 14 No. 3 September 2007 167
Kajian Teoritis terhadap Persamaan Gelombang Nonlinier
Dengan cos kx = cos σt =
G=
∂u 1 ∂ 2
1 ∂ 2
1 ∂ 2
+
(
(
(u + w2 )
u + w2 ) = uη + wη2 ) +
∂t 2 ∂ x
2 ∂x
2 ∂x
1
2 , η = A/2
2
σA
⎛ ⎛
⎛ ⎛
A ⎞⎞ k A ⎞
A ⎞⎞ ⎛
⎟
k cosh ⎜⎜ k ⎜ h + ⎟ ⎟⎟ ⎜⎜ tanh ⎜⎜ k ⎜ h + ⎟ ⎟⎟ 2 ⎠ ⎠ 2 ⎟⎠
2 ⎠⎠ ⎝
⎝ ⎝
⎝ ⎝
(B.1)
Dengan demikian potensial aliran menjadi
φ =
C.3 Persamaan momentum yang digunakan
σ A cosh k (h + z) cos kx sin σt
⎛ ⎛
A ⎞⎞ ⎛
k cosh ⎜⎜ k ⎜ h + ⎟ ⎟⎟ ⎜⎜ tanh
2 ⎠⎠ ⎝
⎝ ⎝
⎛ ⎛
A ⎞⎞ k A ⎞
⎟
⎜⎜ k ⎜ h + ⎟ ⎟⎟ 2 ⎠ ⎠ 2 ⎟⎠
⎝ ⎝
(B.2)
C.1 Persamaan Bernoulli
ρ
+
u 2 + w2
∂φ
= c (t)
+g z2
∂t
(C.1)
Bernoulli (z = z) = Bernoulli (z = η)
p
ρ
∂ φη
∂ φ pη uη + wη
u 2 + w2
+g z=
+
+ gη ρ
∂t
∂t
2
2
2
+
u=-
∂φ
∂x
∂u
∂ ⎛∂φ ⎞
⎟
⎜
=∂t
∂t ⎝∂ x⎠
I.C Persamaan momentum
p
∂ ∂ φη ∂ ∂ φ
∂η
-g
∂ x ∂t ∂ x ∂t
∂x
∂ ∂ φη ∂ ∂ φ
∂η
∂u 1 ∂ 2
=- g
+
uη + wη2 ) +
(
∂ x ∂t ∂ x ∂t
∂x
∂t 2 ∂ x
+
Dari teori kalkulus
Dengan demikian
2
∂
∂t
∂ ⎛ ∂φ ⎞
⎛∂φ ⎞
⎜
⎟ =
⎜
⎟
∂ x ⎝ ∂t ⎠
⎝∂ x⎠
∂u
∂ ⎛∂φ ⎞
=⎜
⎟
∂t
∂ x ⎝ ∂t ⎠
Pada persamaan momentum terdapat suku,
Syarat batas dinamik permukaan pη = 0
∂ φη ∂ φ
uη2 + wη2 u 2 + w 2
+
+ g (η - z ) p=
ρ
∂t
∂t
2
2
1
1 ∂
1 ∂p 1 ∂
u 2 + w2 +
uη2 + wη2 =
ρ ∂x 2 ∂x
2 ∂x
(
g
)
∂ ∂φ
∂ η ∂ ∂ φη
+
∂ x ∂ x ∂t ∂ x ∂ z
(
)
∂u
∂ ⎛ ∂ φ ⎞ Dengan sifat fungsi tersebut maka
+
⎜
⎟
∂t
∂ x ⎝ ∂t ⎠
∂u
∂ ⎛∂φ ⎞
+
⎜
⎟ = 0,
∂t
∂ x ⎝ ∂t ⎠
sehingga persamaan momentum menjadi
(C.2)
C.2 Persamaan momentum fluida ideal
∂ ⎛ ∂ φη
1 ∂
⎜
uη2 + wη2 2 ∂x
∂ x ⎜⎝ ∂ t
(
)
⎞
∂η
⎟⎟ = - g
∂x
⎠
(C.4)
Persamaan momentum arah x dari Euler,
∂u
∂u
∂u
1 ∂p
+ u
+w
=∂t
∂x
∂z
ρ ∂x
Fluida ideal
∂u ∂w
=
∂z ∂x
∂ u 1 ∂ u 2 1 ∂ w2
1 ∂p
+
+
=∂t 2 ∂ x 2 ∂ x
ρ ∂x
Dengan menggunakan
1 ∂p
dari Persamaan (C.2)
ρ ∂x
1 ∂p
∂u 1 ∂ 2
(
u + w2 )= +
ρ ∂x
∂t 2 ∂ x
168 Jurnal Teknik Sipil
I.D Persamaan Dispersi
Untuk mempermudah penulisan didefinisikan H = h +
η ; P = h + z,
⎛ ⎛
A ⎞⎞ k A
F = tanh ⎜⎜ k ⎜ h + ⎟ ⎟⎟ 2 ⎠⎠ 2
⎝ ⎝
2
∂ uη
1 ∂ uη
D.1
= uη
2 ∂x
∂x
∂ φ σ A cosh k P
=
sin kx sin σ t
∂ x F cosh k H
∂
1
σA
sin kP cos kx cos σ t
∂ x cosh k H
Fk
u=-
Hutahaean
∂ u σ A k cosh k P
cos kx cos σ t
∂x
F cosh k H
∂
1
σA
cos kP sin kx cos σ t
+
∂ x cosh k H
F
+
σA
cos kP sin kx cos σ t
F
Pada persamaan
-
F
∂
1
∂ x cosh k H
∂u
∂ ∂
1
tersebut
∂x
∂ x ∂ x cosh k H
2
,
2
σ 2 A2 cosh2 k P
1
∂
2
4 F k cosh k H ∂ x cosh k H
w
∂w
σ 2 A2k sinh2 kP σ 2 A3k2 sinhk H
+
=sinh2 kP
∂x
4 F2 cosh2 kH 8 F2 cosh3 k H
Pada z = η,
∂ wη
2
cosh kP +
8 F2
σ 2 A3 sinh kH
8 F 2 cosh4 kH
uη
∂ uη
=
∂x
cosh4 kH
4 F2
8 F2
cosh kP -
w=-
∂ ⎛ ∂ φη
⎜
∂ x ⎜⎝ ∂ t
+
8 F2
cosh kH
-
F k cosh k H
σA
σ A sinh k P
8 F 2 cosh kH
F cosh k H
cos kx sin σ t
∂ w σ A k sinh k P
sin kx sin σ t
=
∂x
F cosh k H
cosh k P cos kx sin σt
Fk
σ 2A
∂
1
∂ t cosh k H
cos kP cos kx cos σt
Fk
-
σ 2 A3 tanh kH
∂x
cos kx sin σt
∂ φ σ 2 A cosh k P
cos kx cos σt +
=
∂t
F k cosh k H
tanh kH +
∂ wη
⎞
⎟⎟
⎠
σ A cosh k P
+
σ 2 A3 k
4 F2
sinh2
σ 2 A3 k 2 sinh3 k H
cosh2 kH 8 F 2 cosh3 k H
∂ ∂φ
σ 2 A cosh k P σ 2 A cosh k P
sin kx cos σt
=∂ x ∂t
F cosh k H F cosh k H
2
(D.1)
wη
D.3
cosh kP
σ 2 A2 k
σ 2 A2 k
(D.2)
2
σ 2 A3 k tanh kH
D.2
=-
∂x
φ=
1
⎞
⎛ ∂
Pada persamaan terakhir ⎜
⎟ diabaikan.
⎝ ∂ x cosh k H ⎠
∂u
σ 2 A2 k cosh2 k P
σ 2 A3 k sinh k H
u
+
=
2
2
4F
cosh k H
8 F 2 cosh3 k H
∂x
σ 2 A3 k sinh kH
2
2
∂ w σ A k sinhk P σ A2 k 2 sinh k H
sinh kP
=
∂x
4 F cosh2 k H
2 F coshk H
wη
∂
1
1
σ 2 A2 cosh2 k P ∂
+
2
∂ x cosh k H
cosh k H ∂ x cosh k H
4F
2
∂
1
∂ x cosh k H
maka
∂u
σ 2 A2 k cosh2 k P
σ 2 A2 cosh2 k P
u
+
=
∂x
4 F 2 cosh2 k H
4 F 2 cosh2 k H
−
sin kP sin kx sin σ t
Pada kondisi cos kx = sin kx = cos σt = sin σt =
diabaikan. Pada kondisi cos kx = sin kx = cos σt = sin
σt =
σA
σ A
Dalam hal ini
F
cos kP sin kx cos σt
∂
1
∂ x cosh k H
1
∂
∂ t cosh k H
∂ ∂
1
∂ x ∂ t cosh k H
dianggap sangat kecil dan dapat diabaikan.
∂ ∂φ
σ 2 A cosh k P σ 2 A2 k sinh k H
=+
cos kP
∂ x ∂t
2 F cosh k H
4 F cosh2 k H
-
σ 2 A 2 k sinh k H
4F
cosh 2 k H
cos kP
∂ ∂ φη
σ 2 A σ 2 A2 k σ 2 A σ 2 A2 k
tanh kH +
+
=2F
∂ x ∂t
4F 2F
4F
Vol. 14 No. 3 September 2007 169
Kajian Teoritis terhadap Persamaan Gelombang Nonlinier
σ 2 A2 k
(D.3)
tanh kH
4F
Substitusi persamaan (D.1), (D.2) dan (D.3) ke persamaan (C.4)
⎛ σ 2 A2 k σ 2 A3 k
σ 2 A3 k tanhkH
⎜⎜
tanh
kH
+
+
2
8 F2
8 F 2 coshkH
⎝ 4F
-
σ 2 A3 tanh kH ⎞
⎛ σ 2 A2 k
tanh2 kH +
2
⎝ 4F
⎟ + ⎜⎜ -
8 F 2 cosh kH ⎠
σ 2 A2 k 3
8F
2
⎞ ⎛ σ 2 A σ 2 A2 k 2
tanh 3 kH ⎟⎟ + ⎜⎜
tanh2 kH
4F
⎠ ⎝ 2F
⎞
⎞ σ 2 A2 k
A
tanh kH ⎟⎟ = g k
tanh kH ⎟⎟
+
4F
2
⎠
⎠ 4F
σ 2 A2 k
Persamaan dikalikan dengan
2F
A
⎛σ 2 A k
σ 2 A 2 k tanhkH
σ 2 A2 k
⎜⎜
tanh
kH
+
+
coshkH
4F
4F
⎝ 2F
σ 2 A2 tanh kH ⎞
4F
⎟
cosh kH ⎠
⎛ σ 2Ak
⎞
σ 2Ak3
2
tanh 3 kH ⎟⎟ +
tanh kH +
4F
⎝ 2F
⎠
+ ⎜⎜ -
⎞
σ 2Ak
⎛ 2 σ 2Ak2
tanh kH ⎟⎟
⎜⎜ σ tanh2 kH +
2
2
⎠
⎝
=gkF
(D.4)
Persamaan (D.4) tersebut adalah persamaan dispersi.
170 Jurnal Teknik Sipil
Vol..14 No. 3 September 2007
urnal
TEKNIK SIPIL
Kajian Teoritis terhadap Persamaan Gelombang Nonlinier
Syawaluddin H.1)
Abstrak
Paper ini menyajikan hasil perumusan persamaan gelombang nonlinier dengan prosedur yang lain. Dimana
amplitudo gelombang, persamaan momentum dari Euler dan tekanan hidrodinamis dari Bernoulli sepenuhnya
digunakan, tanpa pemotongan atau linierisasi. Potensial kecepatan dan persamaan dispersi yang dihasilkan
menjadi persamaan gelombang linier bila digunakan amplitudo sangat kecil.
Pada persamaan potensial kecepatan terdapat fenomena breaking, dengan bentuk yang sama dengan kriteria
breaking dari Miche. Panjang gelombang yang dihasilkan dari persamaan dispersi adalah lebih kecil dari
panjang gelombang dari teori gelombang linier. Peranan amplitudo gelombang pada persamaan dispersi
adalah memperpendek panjang gelombang. Semakin besar amplitudo gelombang, semakin panjang gelombang.
Kata-kata Kunci :
Persamaan gelombang linier : Teori gelombang yang diturunkan untuk amplitudo gelombang sangat kecil.
Teori gelombang nonlinier : Teori gelombang yang diturunkan untuk amplitudo gelombang yang cukup besar.
Abstract
This paper presents derivation of a nonlinear wave equation with different procedure. In which, wave amplitude,
momentum Euler’s equation and hydrodynamic pressure of Bernoulli are fully used and no linearization. The
resulted potential and dispersion equation become equations of linier wave theory when small amplitude inserted to the equations.
Velocity potential equation gives breaking phenomena that the same as Miche’s breaking criteria. Wave length
resulted from the dispersion equation shorter than wave length resulted by linear wave theory. Existences of
wave amplitude in dispersion equation make wave length shorter. Larger wave amplitude shorter wave length.
Keywords :
Linear wave theory : Wave theory derived for very small wave amplitude.
Nonlinear wave theory : Wave theory derived for large wave amplitude.
1. Pendahuluan
Nonlinieritas suatu teori gelombang adalah ditinjau
dari perumusannya. Bila pada perumusannya
diperhitungkan peranan amplitudo gelombang maka
persamaan yang dihasilkan disebut dengan persamaan
gelombang atau teori gelombang nonlinier. Sedangkan
bila pada perumusannya digunakan amplitudo
gelombang yang sangat kecil sehingga dapat
diabaikan peranannya, maka persamaan yang
dihasilkan adalah persamaan gelombang linier.
Pada penelitian ini dikembangkan suatu persamaan
gelombang nonlinier. Dengan tujuan mendapatkan
suatu persamaan gelombang nonlinier yang lebih
sederhana dari persamaan gelombang nonlinier yang
ada tanpa mengurangi ketelitiannya.
2. Persamaan Potensial Kecepatan
Perumusan persamaan potensial kecepatan diawali
dengan penyelesaian persamaan Laplace
∂2 φ ∂2 φ
+
= 0,
∂ x2 ∂ z2
dengan metoda pemisahan variabel. Berdasarkan Dean
[3], hasil penyelesaian persamaan tersebut setelah
dimasukkan syarat batas lateral dan syarat batas
kinematik dasar perairan dengan dasar datar adalah
1. Anggota KK Teknik Kelautan, FTSL-ITB, Jl. Ganesha No.10 Bandung 40132.
Vol. 14 No. 3 September 2007 163
Kajian Teoritis terhadap Persamaan Gelombang Nonlinier
φ = G cosh (k (h + z)) cos kx sin σt
(2.1)
dimana :
φ = potensial kecepatan
k = bilangan gelombang
h = kedalaman perairan pada muka air diam
σ = frekuensi sudut = 2π / T
T = perioda gelombang
G = adalah suatu konstanta yang perlu ditentukan
harganya
Untuk mendapatkan G, digunakan persamaan
kontinuitas yang terintegrasi terhadap kedalaman, yaitu
∂η
∂
= −
∂t
∂x
η
∫ u dz
(2.2)
-h
Perumusan Persamaan (2.2) tersebut dapat dilihat
pada Lampiran I.A. Substitusi u = - ∂φ /∂x dan η = A
cos kx sin σt (Lampiran I.B), dimana A = amplitudo
gelombang, ke Persamaan (2.2) diperoleh
σA
G=
(2.3)
⎛ ⎛
⎛ ⎛
A ⎞⎞ k A ⎞
A ⎞⎞ ⎛
⎟
k cosh ⎜⎜ k ⎜ h + ⎟ ⎟⎟ ⎜⎜ tanh ⎜⎜ k ⎜ h + ⎟ ⎟⎟ 2 ⎠ ⎠ 2 ⎟⎠
2 ⎠⎠ ⎝
⎝ ⎝
⎝ ⎝
σ A cosh k (h + z) cos kx sin σt
(2.4)
φ =
⎛ ⎛
⎛ ⎛
A ⎞⎞ k A ⎞
A ⎞⎞ ⎛
⎟
k cosh ⎜⎜ k ⎜ h + ⎟ ⎟⎟ ⎜⎜ tanh ⎜⎜ k ⎜ h + ⎟ ⎟⎟ 2 ⎠ ⎠ 2 ⎟⎠
2 ⎠⎠ ⎝
⎝ ⎝
⎝ ⎝
3. Persamaan Dispersi
Untuk mendapatkan persamaan dispersi digunakan
persamaan momentum dari Euler dengan tekanan
hidrodinamis dari Bernoulli. Perumusan persamaan
dapat dilihat pada Lampiran I.C. Bentuk persamaan
momentum tersebut adalah
∂ ⎛ ∂ φη
1 ∂
⎜
uη2 + wη2 −
2∂x
∂ x ⎜⎝ ∂ t
(
)
⎞
∂η
⎟⎟ = - g
∂x
⎠
(3.1)
Substitusi η = A cos kx sin σt, u = - ∂φ /∂x, dengan φ
dari Persamaan (2.4) diperoleh persamaan dispersi
yaitu (Lampiran I.D)
⎛ σ 2 A k σ 2 A2 k
σ 2 A2 k tanh kH
⎜⎜
tanh kH +
+
4 F cosh kH
4F
⎝ 2F
−
σ 2 A2 tanh kH ⎞
4F
σ 2Ak3
4F
⎛ σ 2Ak
⎟ + ⎜⎜ tanh2 kH +
cosh kH ⎠
2
F
⎝
⎞ + ⎛
σ 2Ak2
tanh2 kH
tanh 3 kH ⎟⎟ ⎜⎜ σ 2 2
⎠ ⎝
164 Jurnal Teknik Sipil
+
σ 2Ak
2
⎞
tanh kH ⎟⎟ = g k F
⎠
⎛ ⎛
⎝ ⎝
dimana F = tanh ⎜⎜ k ⎜ h +
(3.2)
A
A ⎞⎞ A
⎟ ⎟⎟ - dan H =h +
2
2 ⎠⎠ 2
4. Analisis Persamaan
a. Persamaan dispersi
Pada amplitudo gelombang yang sangat kecil, maka
Persamaan (3.2) menjadi
σ2 = g k F
Dimana F = tanh k ( k ( k + A/2 ) ) - A/2. Untuk
amplitudo gelombang yang sangat kecil, maka F =
tanh kh. Persamaan dispersi menjadi σ2 = gk tanh kh
yang merupakan persamaan dispersi dari teori gelombang linier.
Jadi persamaan dispersi yang dihasilkan sama dengan
persamaan dispersi dari teori gelombang linier pada
amplitudo gelombang yang sangat kecil.
b. Panjang gelombang
Hasil perhitungan panjang gelombang dengan
menggunakan persamaan dispersi (Persamaan 3.2)
untuk perioda gelombang 6 detik, disajikan pada
Tabel 1. Pada amplitudo gelombang 0.0 m, dihasilkan
panjang gelombang yang sama dengan panjang
gelombang dari teori gelombang linier. Sedangkan
pada amplitudo yang besar, panjang gelombang yang
dihasilkan oleh Persamaan (3.2) lebih pendek dari
panjang gelombang dari teori gelombang linier.
Pada amplitudo 0.5 m dan 0.80 m, pada kedalaman 22
m sampai dengan 40 m, terlihat terjadi pengurangan
panjang gelombang dengan bertambahnya kedalaman.
Fenomena ini mencerminkan peristiwa wave setdown,
yaitu berkurangnya kedalaman rata-rata akibat adanya
gelombang. Pada hasil perhitungan tersebut juga
terlihat perbedaan panjang gelombang dengan panjang
gelombang dari teori gelombang linier mengecil,
seiring dengan semakin dangkalnya perairan.
Peristiwa ini mencerminkan fenomena wave setup.
Kemampuan persamaan memodelkan fenomena wave
setup dan wave setdown tersebut memang masih
memerlukan
penelitian
lebih
lanjut,
tetapi
fenomenanya sudah terlihat.
Pada hasil perhitungan tersebut juga terlihat pengaruh
amplitudo gelombang yaitu bahwa semakin besar
amplitudo semakin pendek panjang gelombang.
Hutahaean
Tabel 1. Perbandingan panjang gelombang, antara
teori gelombang linier dengan teori
gelombang nonlinier, perioda gelombang 6
detik
h
(m)
L-linier
(m)
40.00
38.00
36.00
34.00
32.00
30.00
28.00
26.00
24.00
22.00
20.00
18.00
16.00
14.00
12.00
10.00
8.00
6.00
4.00
2.00
56.19
56.18
56.17
56.15
56.12
56.07
56.00
55.88
55.71
55.44
55.05
54.47
53.62
52.42
50.73
48.41
45.22
40.87
34.77
25.58
L-0.0
(m)
L-0.5
(m)
L-0.8
(m)
56.19
56.18
56.17
56.15
56.12
56.07
56.00
55.88
55.71
55.44
55.05
54.47
53.62
52.42
50.73
48.41
45.22
40.87
34.77
25.58
52.78
52.78
52.79
52.80
52.81
52.81
52.80
52.77
52.71
52.58
52.35
51.96
51.33
50.36
48.90
46.78
43.75
39.47
33.31
23.75
50.21
50.23
50.26
50.30
50.35
50.40
50.46
50.52
50.58
50.60
50.56
50.41
50.05
49.36
48.18
46.30
43.43
39.20
32.91
22.89
Catatan:
L-linier : panjang gelombang dari teori gelombang
linier
L-0.0 : panjang gelombang dari teori gelombang
nonlier dengan amplitudo 0.0
L-0.5 : panjang gelombang dari teori gelombang
nonlier dengan amplitudo 0.5 m
L-0.8 : panjang gelombang dari teori gelombang
nonlier dengan amplitudo 0.8 m
c. Persamaan potensial aliran
Persamaan potensial aliran (Persamaan (2.2)),
φ =
σ A cosh (k (h + z)) cos kx sin σt
⎛ ⎛
A ⎞⎞ ⎛
k cosh ⎜⎜ k ⎜ h + ⎟ ⎟⎟ ⎜⎜ tanh
2 ⎠⎠ ⎝
⎝ ⎝
⎛ ⎛
A ⎞⎞ k A ⎞
⎟
⎜⎜ k ⎜ h + ⎟ ⎟⎟ 2 ⎠ ⎠ 2 ⎟⎠
⎝ ⎝
Pada amplitudo gelombang yang sangat kecil persamaan potensial aliran menjadi
φ =
σ A cosh (k (h + z))
k cosh kh tanh (kh)
cos kx sin σt
Pada amplitudo yang kecil, persamaan dispersi menjadi σ2 = g k tanh (kh) atau k = σ2 / g tanh (kh). Substitusi k pada persamaan potensial aliran, diperoleh
φ =
g A cosh (k (h + z)) cos kx sin σt
σ
cosh (kh)
yang merupakan persamaan potensial aliran dari teori
gelombang linier.
d. Breaking
Pada persamaan potensial aliran terdapat factor pembagi tanh ( k (h + A/2) ) - kA/2. Bila tanh
⎛ ⎛
A ⎞⎞
kA
⎜⎜ k ⎜ h + ⎟ ⎟⎟ −
= 0 , maka
2 ⎠⎠
2
⎝ ⎝
⎛ ⎛
A ⎞⎞
⎜⎜ k ⎜ h + ⎟ ⎟⎟
2 ⎠⎠
⎝ ⎝
2π A
⎛ ⎛
A ⎞⎞
= tanh ⎜⎜ k ⎜ h + ⎟ ⎟⎟
2L
2 ⎠⎠
⎝ ⎝
2A
2
⎛ ⎛
A ⎞⎞
tanh ⎜⎜ k ⎜ h + ⎟ ⎟⎟
=
L
π
2 ⎠⎠
⎝ ⎝
kA
= tanh
2
(4.1)
Kriteria breaking dari Miche,
2A
= 0.142 tanh kh
L
(4.2)
Terlihat bahwa Persamaan (4.1) mempunyai bentuk
yang sama dengan Persamaan (4.2).
Pada tanh ( k (h + A/2)) = 0, maka φ menjadi ~, dapat
dikatakan bahwa kondisi ini adalah kondisi breaking.
Jadi persamaan potensial aliran yang dihasilkan
mempunyai karakteristik breaking dengan bentuk
yang sama dengan kriteria breaking dari Miche.
5. Kesimpulan
Potensial kecepatan dan persamaan dispersi yang
dihasilkan
pada
penelitian
ini
mempunyai
karakteristik linier pada amplitudo kecil. Bagi
sejumlah peneliti [1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 14,
15] kandungan karakteristik linier pada suatu
persamaan gelombang nonlinier merupakan petunjuk
untuk validitas suatu teori gelombang nonlinier.
Persamaan potensial aliran yang dihasilkan
mempunyai kondisi breaking yang sama dengan
kriteria breaking dari Miche.
Dari hal-hal tersebut, maka dapat disimpulkan bahwa
persamaan gelombang yang dihasilkan pada penelitian
ini cukup valid.
Pada proses perumusan terdapat hal-hal yang
diabaikan, karena itu persamaan masih perlu
disempurnakan untuk mendapatkan persamaan yang
lebih baik.
yang merupakan persamaan potensial aliran dari teori
gelombang linier.
Vol. 14 No. 3 September 2007 165
Kajian Teoritis terhadap Persamaan Gelombang Nonlinier
Daftar Pustaka
Sarpkaya T. and Iseacson, Micheal, 1981, “Mechanics
of Wave Forces on Offshore Structures”, Van
Nostrand Reinhold Company. [12]
Bredmese, H., Schaffer, H.A., and Madsen, P.A.,
2004, Boussinesq Evolution Equations :
“Numerical
Efficiency,
Breaking
and
Amplitude Dispersion”, Coastal Engineering.
[1]
Schäffer, H. A., Madsen, P.A., 1995, ”Further Enhancements of Boussinesq Type Equations”.
Coastal Engineering (26). [13]
Chen, Y., and Liu, P.L.-F., 1995, “Modified Boussinesq Equations and Associated Parabolic
Models for Water Wave Propagation”, J. Fluid
Mech., 288. [2]
Sørensen, O.R., Schäffer, H.A., and Sørensen, L.A.,
2004, “Boussinesq Modelling Using Unstructural Finite Element Technique”. Coastal Engineering. [14]
Dean, Robert G., and Dalrymple, “Water Wave
Mechanics for Engineers and Scientists”,
Prentice-Hall, Englewood Cliffs, New Jersey.
[3]
Wei, G., Kirby, J.T., Grilli, S.T., and Subramanya, R.,
1995, “A Fully Nonlinear Boussinesq Model
For Surface Waves”, Part 1, Highly Nonlinear
Unsteady Waves. J. Fluid Mech. 294. [15]
Gobbi, M.F., and Kirby, J.T., 1998, “A New Boussinesq Type Model for Surface Water Wave”,
Ph.D. Dissertation of the First Author. University of Delaware. [4]
Kirby, J.T., and Wei, G., 1994, “Derivation and Properties of A Fully Nonlinear, Extended Boussinesq Model”. In Proc. IAHR Symposium:
Waves – Phys. and Num. Model, Vancouver.
[5]
Li, Y.S., Liu, S.-X., Yu, Y.-X., and Lai, G.-Z. 1999,
“Numerical Modeling of Boussinesq Equations
By Finite Element Method”, J. Coastal Engineering, Elsevier. [6]
Madsen, P. A., Murray, R., and Sørensen, O.R., 1991,
“A New Form of Boussinesq Equation with
Improved Linear Dispersion Characteristics”,
Coastal Engineering 15. [7]
Madsen, P. A., and Sørensen, O.R., 1992, “A New
Form Of Boussinesq Equation With Improved
Linear Dispersion Characteristics”, Part 2. A
Slowly-Varying Bathymetry, Coastal Engineering 18. [8]
McCowan, A.D., 1987, “The Range of Application of
Boussinesq Type Numerical Short Wave Models”, In Proc. 22nd IAHR Congr. [9]
Meftah, Sorgent, P., and Gami P., 2004, “Linear
Analysis of A New Type of Extended Boussinesq Model”. Coastal Engineering. [10]
Nwogu, O., 1993, “An Alternative Form of The Boussinesq Equations for Nearshore Wave Propagation”. J. Waterway, Port, Coast.. Ocean
Engng. 119. [11]
166 Jurnal Teknik Sipil
Hutahaean
Lampiran I
I.B Potensial kecepatan
Perumusan Persamaan
Dengan φ = G cosh (k (h + z)) cos kx sin σt, maka
I.A Persamaan kontinuitas
terhadap kedalaman
yang
terintegrasi
Persamaan kontinuitas pada aliran fluida dalam bentuk
2 dimensi yaitu arah x – z adalah
dimana u adalah kecepatan arus pada arah horizontal x
sedangkan w adalah kecepatan arus pada arah vertikal
z, persamaan dikalikan dz dan diintegrasikan terhadap
kedalaman,
∫
-h
η
∂u
dz + ∫ dw = 0 ; wη – w-h = ∂x
-h
η
∫
-h
∂u
dz
∂x
Dengan mengerjakan aturan Leibniz pada integral ruas
kanan persamaan, diperoleh
⎛ ∂
wη – w-h = - ⎜
⎜∂ x
⎝
η
∫ u dz - uη
-h
∂η
∂ h ⎞⎟
- u- h
∂x
∂ x ⎟⎠
Syarat batas kinematik permukaan adalah [3]
wη =
∂η
∂η
+ u
∂t
∂x
∂η
∂x
Dengan menggunakan kedua syarat batas tersebut,
persamaan kontinuitas yang terintegrasi terhadap kedalaman menjadi
∂η
∂
=∂t
∂x
∫ u dz = G sinh (k (h + η)) sin kx sin σt
η
∂
∂x
∫ u dz = G k sinh (k (h + η)) cos kx sin σt
-h
+ G k cosh (k (h + η)) sin kx sin σt
η = A cos kx cos σt ;
η
∂η
= - k A sin kx cos σt
∂x
η
∂
∂x
∫ u dz = G k sinh (k (h + η)) cos kx sin σt
-h
- G k2 cosh (k (h + η)) sin kx sin kx sin σt cos σt
Dengan mengambil cos kx = sin kx= cos σt = sin σt =
1
2 maka
2
∂
Gk
Gk2A
u
dz
η
))
cos k (h + η)
sinh
(k
(h
+
=
∂ x -∫h
2
4
η
∂
∂x
∫ u dz =
-h
Gk
k A⎞
⎛
cosh (k (h + η)) ⎜tanh k (h +η ) - ⎟
2
2 ⎠
⎝
Substitusi persamaan terakhir ke Persamaan (1),
diperoleh
∂η
Gk
k A⎞
⎛
⎟
cosh (k (h + η)) ⎜tanh k (h +η ) =2 ⎠
∂t
2
⎝
∫ u dz
-h
dimana η adalah fluktuasi muka air terhadap muka air
diam (Gambar A.1).
∂η
= - σ A cos kx sin σt
∂t
Dengan cos kx = sin σt
z
Muka air diam
x
∂η
∂x
η
dan syarat batas kinematik dasar perairan adalah [3]
w-h = - u-h
η
-h
∂u ∂w
+
=0
∂x ∂z
η
∂φ
= G k cosh( k (h + z)) sin kx sin σt
∂x
u=-
η
-
σ A
2
h
G=
Gambar A.1. Fluktuasi muka air akibat gelombang
=-
σA
2
∂η
, maka
=2
2
∂t
Gk
k A⎞
⎛
cosh (k (h + η)) ⎜tanh (k (h+η ))- ⎟
2⎠
2
⎝
σA
k A⎞
⎛
k cosh (k (h + η )) ⎜ tanh (k (h + η )) ⎟
2 ⎠
⎝
Vol. 14 No. 3 September 2007 167
Kajian Teoritis terhadap Persamaan Gelombang Nonlinier
Dengan cos kx = cos σt =
G=
∂u 1 ∂ 2
1 ∂ 2
1 ∂ 2
+
(
(
(u + w2 )
u + w2 ) = uη + wη2 ) +
∂t 2 ∂ x
2 ∂x
2 ∂x
1
2 , η = A/2
2
σA
⎛ ⎛
⎛ ⎛
A ⎞⎞ k A ⎞
A ⎞⎞ ⎛
⎟
k cosh ⎜⎜ k ⎜ h + ⎟ ⎟⎟ ⎜⎜ tanh ⎜⎜ k ⎜ h + ⎟ ⎟⎟ 2 ⎠ ⎠ 2 ⎟⎠
2 ⎠⎠ ⎝
⎝ ⎝
⎝ ⎝
(B.1)
Dengan demikian potensial aliran menjadi
φ =
C.3 Persamaan momentum yang digunakan
σ A cosh k (h + z) cos kx sin σt
⎛ ⎛
A ⎞⎞ ⎛
k cosh ⎜⎜ k ⎜ h + ⎟ ⎟⎟ ⎜⎜ tanh
2 ⎠⎠ ⎝
⎝ ⎝
⎛ ⎛
A ⎞⎞ k A ⎞
⎟
⎜⎜ k ⎜ h + ⎟ ⎟⎟ 2 ⎠ ⎠ 2 ⎟⎠
⎝ ⎝
(B.2)
C.1 Persamaan Bernoulli
ρ
+
u 2 + w2
∂φ
= c (t)
+g z2
∂t
(C.1)
Bernoulli (z = z) = Bernoulli (z = η)
p
ρ
∂ φη
∂ φ pη uη + wη
u 2 + w2
+g z=
+
+ gη ρ
∂t
∂t
2
2
2
+
u=-
∂φ
∂x
∂u
∂ ⎛∂φ ⎞
⎟
⎜
=∂t
∂t ⎝∂ x⎠
I.C Persamaan momentum
p
∂ ∂ φη ∂ ∂ φ
∂η
-g
∂ x ∂t ∂ x ∂t
∂x
∂ ∂ φη ∂ ∂ φ
∂η
∂u 1 ∂ 2
=- g
+
uη + wη2 ) +
(
∂ x ∂t ∂ x ∂t
∂x
∂t 2 ∂ x
+
Dari teori kalkulus
Dengan demikian
2
∂
∂t
∂ ⎛ ∂φ ⎞
⎛∂φ ⎞
⎜
⎟ =
⎜
⎟
∂ x ⎝ ∂t ⎠
⎝∂ x⎠
∂u
∂ ⎛∂φ ⎞
=⎜
⎟
∂t
∂ x ⎝ ∂t ⎠
Pada persamaan momentum terdapat suku,
Syarat batas dinamik permukaan pη = 0
∂ φη ∂ φ
uη2 + wη2 u 2 + w 2
+
+ g (η - z ) p=
ρ
∂t
∂t
2
2
1
1 ∂
1 ∂p 1 ∂
u 2 + w2 +
uη2 + wη2 =
ρ ∂x 2 ∂x
2 ∂x
(
g
)
∂ ∂φ
∂ η ∂ ∂ φη
+
∂ x ∂ x ∂t ∂ x ∂ z
(
)
∂u
∂ ⎛ ∂ φ ⎞ Dengan sifat fungsi tersebut maka
+
⎜
⎟
∂t
∂ x ⎝ ∂t ⎠
∂u
∂ ⎛∂φ ⎞
+
⎜
⎟ = 0,
∂t
∂ x ⎝ ∂t ⎠
sehingga persamaan momentum menjadi
(C.2)
C.2 Persamaan momentum fluida ideal
∂ ⎛ ∂ φη
1 ∂
⎜
uη2 + wη2 2 ∂x
∂ x ⎜⎝ ∂ t
(
)
⎞
∂η
⎟⎟ = - g
∂x
⎠
(C.4)
Persamaan momentum arah x dari Euler,
∂u
∂u
∂u
1 ∂p
+ u
+w
=∂t
∂x
∂z
ρ ∂x
Fluida ideal
∂u ∂w
=
∂z ∂x
∂ u 1 ∂ u 2 1 ∂ w2
1 ∂p
+
+
=∂t 2 ∂ x 2 ∂ x
ρ ∂x
Dengan menggunakan
1 ∂p
dari Persamaan (C.2)
ρ ∂x
1 ∂p
∂u 1 ∂ 2
(
u + w2 )= +
ρ ∂x
∂t 2 ∂ x
168 Jurnal Teknik Sipil
I.D Persamaan Dispersi
Untuk mempermudah penulisan didefinisikan H = h +
η ; P = h + z,
⎛ ⎛
A ⎞⎞ k A
F = tanh ⎜⎜ k ⎜ h + ⎟ ⎟⎟ 2 ⎠⎠ 2
⎝ ⎝
2
∂ uη
1 ∂ uη
D.1
= uη
2 ∂x
∂x
∂ φ σ A cosh k P
=
sin kx sin σ t
∂ x F cosh k H
∂
1
σA
sin kP cos kx cos σ t
∂ x cosh k H
Fk
u=-
Hutahaean
∂ u σ A k cosh k P
cos kx cos σ t
∂x
F cosh k H
∂
1
σA
cos kP sin kx cos σ t
+
∂ x cosh k H
F
+
σA
cos kP sin kx cos σ t
F
Pada persamaan
-
F
∂
1
∂ x cosh k H
∂u
∂ ∂
1
tersebut
∂x
∂ x ∂ x cosh k H
2
,
2
σ 2 A2 cosh2 k P
1
∂
2
4 F k cosh k H ∂ x cosh k H
w
∂w
σ 2 A2k sinh2 kP σ 2 A3k2 sinhk H
+
=sinh2 kP
∂x
4 F2 cosh2 kH 8 F2 cosh3 k H
Pada z = η,
∂ wη
2
cosh kP +
8 F2
σ 2 A3 sinh kH
8 F 2 cosh4 kH
uη
∂ uη
=
∂x
cosh4 kH
4 F2
8 F2
cosh kP -
w=-
∂ ⎛ ∂ φη
⎜
∂ x ⎜⎝ ∂ t
+
8 F2
cosh kH
-
F k cosh k H
σA
σ A sinh k P
8 F 2 cosh kH
F cosh k H
cos kx sin σ t
∂ w σ A k sinh k P
sin kx sin σ t
=
∂x
F cosh k H
cosh k P cos kx sin σt
Fk
σ 2A
∂
1
∂ t cosh k H
cos kP cos kx cos σt
Fk
-
σ 2 A3 tanh kH
∂x
cos kx sin σt
∂ φ σ 2 A cosh k P
cos kx cos σt +
=
∂t
F k cosh k H
tanh kH +
∂ wη
⎞
⎟⎟
⎠
σ A cosh k P
+
σ 2 A3 k
4 F2
sinh2
σ 2 A3 k 2 sinh3 k H
cosh2 kH 8 F 2 cosh3 k H
∂ ∂φ
σ 2 A cosh k P σ 2 A cosh k P
sin kx cos σt
=∂ x ∂t
F cosh k H F cosh k H
2
(D.1)
wη
D.3
cosh kP
σ 2 A2 k
σ 2 A2 k
(D.2)
2
σ 2 A3 k tanh kH
D.2
=-
∂x
φ=
1
⎞
⎛ ∂
Pada persamaan terakhir ⎜
⎟ diabaikan.
⎝ ∂ x cosh k H ⎠
∂u
σ 2 A2 k cosh2 k P
σ 2 A3 k sinh k H
u
+
=
2
2
4F
cosh k H
8 F 2 cosh3 k H
∂x
σ 2 A3 k sinh kH
2
2
∂ w σ A k sinhk P σ A2 k 2 sinh k H
sinh kP
=
∂x
4 F cosh2 k H
2 F coshk H
wη
∂
1
1
σ 2 A2 cosh2 k P ∂
+
2
∂ x cosh k H
cosh k H ∂ x cosh k H
4F
2
∂
1
∂ x cosh k H
maka
∂u
σ 2 A2 k cosh2 k P
σ 2 A2 cosh2 k P
u
+
=
∂x
4 F 2 cosh2 k H
4 F 2 cosh2 k H
−
sin kP sin kx sin σ t
Pada kondisi cos kx = sin kx = cos σt = sin σt =
diabaikan. Pada kondisi cos kx = sin kx = cos σt = sin
σt =
σA
σ A
Dalam hal ini
F
cos kP sin kx cos σt
∂
1
∂ x cosh k H
1
∂
∂ t cosh k H
∂ ∂
1
∂ x ∂ t cosh k H
dianggap sangat kecil dan dapat diabaikan.
∂ ∂φ
σ 2 A cosh k P σ 2 A2 k sinh k H
=+
cos kP
∂ x ∂t
2 F cosh k H
4 F cosh2 k H
-
σ 2 A 2 k sinh k H
4F
cosh 2 k H
cos kP
∂ ∂ φη
σ 2 A σ 2 A2 k σ 2 A σ 2 A2 k
tanh kH +
+
=2F
∂ x ∂t
4F 2F
4F
Vol. 14 No. 3 September 2007 169
Kajian Teoritis terhadap Persamaan Gelombang Nonlinier
σ 2 A2 k
(D.3)
tanh kH
4F
Substitusi persamaan (D.1), (D.2) dan (D.3) ke persamaan (C.4)
⎛ σ 2 A2 k σ 2 A3 k
σ 2 A3 k tanhkH
⎜⎜
tanh
kH
+
+
2
8 F2
8 F 2 coshkH
⎝ 4F
-
σ 2 A3 tanh kH ⎞
⎛ σ 2 A2 k
tanh2 kH +
2
⎝ 4F
⎟ + ⎜⎜ -
8 F 2 cosh kH ⎠
σ 2 A2 k 3
8F
2
⎞ ⎛ σ 2 A σ 2 A2 k 2
tanh 3 kH ⎟⎟ + ⎜⎜
tanh2 kH
4F
⎠ ⎝ 2F
⎞
⎞ σ 2 A2 k
A
tanh kH ⎟⎟ = g k
tanh kH ⎟⎟
+
4F
2
⎠
⎠ 4F
σ 2 A2 k
Persamaan dikalikan dengan
2F
A
⎛σ 2 A k
σ 2 A 2 k tanhkH
σ 2 A2 k
⎜⎜
tanh
kH
+
+
coshkH
4F
4F
⎝ 2F
σ 2 A2 tanh kH ⎞
4F
⎟
cosh kH ⎠
⎛ σ 2Ak
⎞
σ 2Ak3
2
tanh 3 kH ⎟⎟ +
tanh kH +
4F
⎝ 2F
⎠
+ ⎜⎜ -
⎞
σ 2Ak
⎛ 2 σ 2Ak2
tanh kH ⎟⎟
⎜⎜ σ tanh2 kH +
2
2
⎠
⎝
=gkF
(D.4)
Persamaan (D.4) tersebut adalah persamaan dispersi.
170 Jurnal Teknik Sipil