Metode Numerik Integrasi Numerik

Metode Numerik

Integrasi Numerik
Umi Sa’adah
Politeknik Elektronika Negeri Surabaya
2012

PENS-ITS

1

Metode Numerik

Topik
•
•
•
•
•
•

Integral Reimann
Trapezoida
Simpson 1/3
Simpson 3/8
Kuadratur Gauss 2 titik
Kuadratur Gauss 3 titik

PENS-ITS

2

Metode Numerik

INTEGRASI NUMERIK
• Di dalam kalkulus, terdapat dua hal penting yaitu
integral dan turunan(derivative)
• Pengintegralan numerik merupakan alat atau cara
yang digunakan oleh ilmuwan untuk memperoleh
jawaban hampiran (aproksimasi) dari
pengintegralan yang tidak dapat diselesaikan

secara analitik.

PENS-ITS

3

Metode Numerik

INTEGRASI NUMERIK
•

•

Fungsi yang dapat dihitung integralnya :

Fungsi yang rumit misal :
2

2  cos(1  x 2 )


0

3

1  0.5 sin x

e 0.5 x dx

n 1
ax
n
ax
 dx  n 1  C
ax
e
ax
e
 dx  a  C
sin(ax  b)dx  1 a cos(ax  b)  C

cos(ax  b)dx  1 a sin(ax  b)  C
1
x dx ln | x | C

ln | x |dx x ln | x |  x  C
PENS-ITS

4

Metode Numerik

INTEGRASI NUMERIK
• Perhitungan integral adalah perhitungan dasar yang
digunakan dalam kalkulus, dalam banyak
keperluan.
• digunakan untuk menghitung luas daerah yang
dibatasi oleh fungsi y = f(x) dan sumbu x.
• Penerapan integral : menghitung luas dan volumevolume benda putar

PENS-ITS

5

Metode Numerik

Dasar Pengintegralan Numerik
 Penjumlahan berbobot dari nilai fungsi
n

b

f(x)

x0

 f ( x)dx  c f ( x )
i

a

i

i 0

c0 f ( x0 )  c1 f ( x1 )  ...  cn f ( xn )

x1

xn-1
PENS-ITS

xn

x
6

Metode Numerik

•

Dasar Pengintegralan
Numerik
Melakukan penginteralan pada bagian-bagian kecil, seperti saat
awal belajar integral – penjumlahan bagian-bagian.

• Metode Numerik hanya mencoba untuk lebih cepat dan lebih
mendekati jawaban eksak.
12

10

8

6

4

2

0

3

5

7

PENS-ITS9

7
11

13

15

Metode Numerik

Dasar Pengintegralan
Numerik
Formula Newton-Cotes

- Berdasarkan pada
b

b

a

a

I   f ( x )dx   f n ( x )dx
 Nilai hampiran f(x) dengan polinomial

f n ( x ) a0  a1 x    an 1 x n 1  an x n
PENS-ITS

8

Metode Numerik

 fn (x) bisa fungsi linear

 fn (x) bisa fungsi kuadrat

PENS-ITS

9

Metode Numerik

 fn (x) bisa juga fungsi kubik
atau polinomial yang lebih
tinggi

PENS-ITS

10

Metode Numerik

 Polinomial dapat didasarkan pada
data

PENS-ITS

11

Metode Numerik

INTEGRASI NUMERIK
• Luas daerah yang diarsir
L dapat dihitung dengan
:
b
• L = f  x  dx
a

PENS-ITS

12

Metode Numerik

Metode Integral Reimann
0.5
x*cos(3*x)*exp(-2*x)+0.35
x*cos(3*x)*exp(-2*x)+0.35
0.45

0.4

0.35

0.3

0.25

0.2
0

0.5

1

1.5

PENS-ITS

2

2.5

3

13

Metode Numerik

Metode Integral Reimann
• Luasan yang dibatasi y = f(x) dan sumbu x
• Luasan dibagi menjadi N bagian pada range x
= [a,b]
• Kemudian dihitung Li : luas setiap persegi
panjang dimana Li xi. f ( xi)

PENS-ITS

14

Metode Numerik

Metode Integral Reimann
• Luas keseluruhan adalah jumlah Li dan dituliskan :
L  L0  L1  L2  ..  Ln
 f  x0  x0  f  x1  x1  f  x 2  x 2  ...  f  x n  x3
n

 f  xi xi
i 0

• Dimana
• Didapat

x0 x1 x2 ... xn h
b

n

a

i 0

f  x dx h f  xi 
PENS-ITS

15

Metode Numerik

Contoh

1

L = x 2 dx
0

• Hitung luas yang dibatasi y = x2 dan sumbu x
untuk range x = [0,1]
1
x**2

0.8

0.6

0.4

0.2

0
0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

PENS-ITS

0.6

0.7

0.8

0.9

1

16

Metode Numerik

Contoh
• Dengan mengambil h=0.1 maka diperoleh tabel :

10

L h. f ( xi )
i 0

0.1 0  0.01  0.04  0.09  0.16  0.25  0.36  0.49  0.64  0.81  1.00
 0.1 3,85 0,385
1
1 3 1
2
L  x dx  x |0 0,3333.....
• Secara kalkulus :
3
0
• Terdapat kesalahan e = 0,385-0,333
•
= 0,052
PENS-ITS

17

Metode Numerik

Algoritma Metode Integral
Reimann
•
•
•
•
•

Definisikan fungsi f(x)
Tentukan batas bawah dan batas ata integrasi
Tentukan jumlah pembagi area N
Hitung h=(b-a)/N
Hitung
N

L h. f ( xi )
i 0

PENS-ITS

18

Metode Numerik

Metode Integrasi Trapezoida
• Aproksimasi garis lurus (linier)
b

1

 f ( x )dx  c
a

i

f ( x i )  c 0 f ( x0 )  c 1 f ( x 1 )

i 0

h
  f ( x0 )  f ( x 1 ) 
2
f(x)
L(x)

x0

PENS-ITS

x1 19 x

b

Aturan Komposisi
Trapesium
x1

x2

xn

x0

x1

xn 1

 f ( x )dx   f ( x )dx   f ( x )dx    
a

Metode Numerik

f ( x )dx

h
 f ( x 0 )  f ( x 1 )   h  f ( x 1 )  f ( x 2 )     h  f ( x n 1 )  f ( x n ) 
2
2
2
h
  f ( x0 )  2 f ( x 1 )    2f ( x i )    2 f ( x n 1 )  f ( x n )
2


f(x)

b a
h
n
x0

h

x1

h
PENS-ITS

x2

h

x3

h

x420 x

Metode Numerik

Metode Integrasi
Trapezoida
1

Li 

2

 f  xi   f  xi 1  .xi

 1

atau

L   Li

1
Li   f i  f i 1 .xi
2

i 0

n 1

1
h
L  h f i  f i 1    f 0  2 f1  2 f 2  ...  2 f n 1  f n 
2
i 0 2
n 1

h
L   f 0  2 f i  f n 
2
i 1


PENS-ITS

21

Metode Numerik

Algoritma Metode
Integrasi Trapezoida
• Definisikan y=f(x)
• Tentukan batas bawah (a) dan batas atas
integrasi (b)
• Tentukan jumlah pembagi n
• Hitung h=(b-a)/n
• Hitung
n 1

h

L   f 0  2 f i  f n 
2
i 1

PENS-ITS

22

Metode Numerik

Aturan Simpson 1/3

• Aproksimasi dengan fungsi parabola
2
b
a f ( x)dx  ci f ( xi ) c0 f ( x0 )  c1 f ( x1 )  c2 f ( x2 )
i 0

h
  f ( x0 )  4 f ( x1 )  f ( x2 )
3

L(x)

f(x)

x0

h

PENS-ITS

x1

h

x2 23 x

Metode Numerik

Aturan Komposisi
Simpson
b a
h
n

f(x)

…...
x0 h x1 h x2 h x3 h
PENS-ITS

x4

xn-2 xn-1

xn
24

x

Metode Numerik

Cara II
(Buku Rinaldi Munir)

• Polinom interpolasi Newton-Gregory derajat 2
yang melalui ketiga titik tsb
x
x ( x  h) 2
x
x ( x  h) 2
p2 x  f ( x0 )  f ( x0 ) 

f
(
x
)

f


f

 f0
0
0
0
2
2
h
2!h
h
2!h

PENS-ITS

25

Polinom Interpolasi
Newton Gregory

PENS-ITS

Metode Numerik

26

Polinom Interpolasi
Newton Gregory

Metode Numerik

Bentuk Umum

PENS-ITS

27

Metode Numerik

Cara II

•

(Buku Rinaldi Munir hlm
285)
Integrasikan p2(x) pd selang [0,2h]
2h

2h

L  f ( x)dx p2 xdx
0

0

2h

x
x ( x  h) 2 

L   f 0  f 0 
 f 0 dx
2
h
2
!
h

0
 x3
x2
x2
L  f 0 x  f 0   2 
2h
4h
 6h

 2 x 2 h
  f 0 | x 0

 8h 3 4h 2  2
4h 2
  f 0
L 2hf 0 
f 0   2 
2h
4h 
 6h
 4h

L 2hf 0  2hf 0    h  2 f 0
 3

h
L 2hf 0  2hf 0  2 f 0
3
PENS-ITS

28

Cara II
• Mengingat

Metode Numerik

(Buku Rinaldi Munir hlm
286)

f 0  f 1  f 0
2 f 0 f 1  f 0 ( f 2  f1 )  ( f 1  f 0 )  f 2  2 f 1  f 0

• Maka selanjutnya

h 2
 f0
3
h
L 2hf 0  2h( f1  f 0 )  ( f 2  2 f1  f 0 )
3
h
2h
h
L 2hf 0  2hf1  2hf 0  f 2 
f1  f 0
3
3
3
h
4h
h
L  f0 
f1  f 2
3
3
3
h
L  ( f 0  4 f1  f 2 )
3
L 2hf 0  2hf 0 

PENS-ITS

29

Metode Numerik

Kaidah Simpson 1/3 (total)
Ltotal =

b

x2

x4

xn

 f ( x)dx  f ( x)dx  f ( x)dx  ...  f ( x)dx
a

x0

xn  2

x2

h
h
h
 ( f 0  4 f 1  f 2)  ( f 2  4 f 3  f 4)  ...  ( fn  2  4 fn  1  fn)
3
3
3
n 1
n 2
h
 ( f 0  4  fi  2  f i  fn )
3
i 1, 3, 5
i 2 , 4 , 6

• Disyaratkan jumlah pias (n) harus genap

PENS-ITS

30

Metode Integrasi
Simpson 1/3

Metode Numerik

• Dengan menggunakan aturan simpson, luas dari daerah yang
dibatasi fungsi y=f(x) dan sumbu X dapat dihitung sebagai
berikut:
N=0–n

L = L1 + L2 + L3 + . . . + Ln

h
h
h
h
L   f 0  4 f1  f 2    f 2  4 f3  f 4    f 4  4 f5  f 6   ...   f n 2  4 f n 1  f n 
3
3
3
3

• atau dapat dituliskan dengan:

h 
L   f 0  4  f i  2  f i  f n 
3
i ganjil
i genap


• Disyaratkan jml pias (n) genap
PENS-ITS

31

Metode Numerik

Contoh
• Hitung integral

1

3

2 x dx
0

Ltotal
Ltotal = 0.1/3*( f(0) + 4*f(1) + 2*f(2) + …+ 4*f(9) + f(10))
= 0.1/3*(0+0.008+0.032+0.216+0.256+1+0.864
+2.744+2.048+5.832+2)
= 0.0333333 * 15
= 0.5
Nilai eksak =

1

4
x
|
2

0
1

= 0.5

Nilai error = 0.5 - 0.5 = 0
PENS-ITS

32

Metode Numerik

Aturan Simpson 3/8
 Aproksimasi dengan fungsi kubik
3

b

 f ( x )dx  c
a

i

f ( x i )  c 0 f ( x0 )  c 1 f ( x 1 )  c 2 f ( x 2 )  c 3 f ( x 3 )

i 0



3h
 f ( x0 )  3 f ( x 1 )  3 f ( x 2 )  f ( x 3 )
8

L(x)

x0

h

f(x)

x1

h
PENS-ITS

x2

h

x3
33

x

Metode Integrasi
Simpson 3/ 8

Metode Numerik

• Dengan menggunakan aturan simpson, luas dari
daerah yang dibatasi fungsi y=f(x) dan sumbu X
dapat dihitung sebagai berikut:
N=0–n
L = L1 + L2 + L3 + . . . + Ln

3
3
3
3
L  h f 0  3 f1  3 f 2  f 3   h f 3  3 f 4  3 f 5  f 6   h  ...  h f n 3  3 f n 2  3 f n 1  f n 
8
8
8
8

• atau dapat dituliskan dengan:

PENS-ITS

34

Metode Numerik

Latihan Soal
• Hitung Integral dengan menggunakan
1

1
dx
x

1 e
0

– Integral Reimann
– Integrasi Trapezoida
– Integrasi Simpson 1/3 dan 3/8

PENS-ITS

35

Metode Numerik

Metode Integrasi Gauss
• Metode Newton-Cotes (Trapezoida, Simpson)
 berdasarkan titik-titik data diskrit. Dengan
batasan :
– h sama
– Luas dihitung dari a sampai b

• Mengakibatkan error yang dihasilkan cukup
besar.

PENS-ITS

36

Metode Numerik

Metode Integrasi Gauss
•

Misal menghitung Luas dengan metode trapezoida dengan selang [-1,1]
1

h
I  f ( x)dx   f (1)  f ( 1)   f (1)  f ( 1)
2
1

h 1  ( 1) 2
•

Persamaan ini dapat ditulis (disebut pers Kuadratur Gauss)
1

I  f ( x)dx c1 f ( x1 )  c 2 f ( x 2 )
1

•

Misal x1=-1, x2=1 dan c1=c2=h/2=1  menjadi metode trapezoida

•

Karena x1, x2,,c1 dan c2 sembarang maka kita harus memilih nilai tersebut
sehingga error integrasinya minimum

PENS-ITS

37

Metode Numerik

Metode Integrasi Gauss
• Bagaimana mencari x1, x2,,c1 dan c2 ? Karena ada 4 perubah
yang tidak diketahui, maka harus ada 4 persamaan simultan
yang mengandung x1, x2,,c1 dan c2.
• Dapat dilihat bahwa nilai integrasi numerik dengan metode
trapesium akan tepat (error = 0) untuk fungsi tetap dan fungsi
linier.
• Misalnya persamaan-persamaan di bawah ini dijadikan fungsi
integral pada interval integrasi [-1, 1]
• f(x) = 1 ; f(x) = x ; f(x) = x2 ; f(x) = x3

PENS-ITS

38

Metode Numerik

Metode Integrasi Gauss
1

I  f ( x)dx c1 f ( x1 )  c 2 f ( x 2 )
1

1

f ( x) 1  1dx  x | xx 1 1 1  ( 1) 2 c1  c 2
1

1

f ( x)  x 

1 x 2 | xx 1 1  1 (1) 2  1 ( 1) 2 0 c1 x1  c 2 x 2
x
dx


2
2
2

1

1

2

f ( x)  x 

2
1 x 3 | x 1  1 (1) 3  1 ( 1) 3  2 c x 2  c x 2
x
dx

x  1
1 1
2 2

3
3
3
3

1
1

3

f ( x)  x 

3
1 x 4 | xx 1 1  1 (1) 4  1 ( 1) 4 0 c1 x13  c 2 x 23
x
dx


4
4
4

1

PENS-ITS

39

Metode Numerik

Sekarang sudah
didapatkan 4 persamaan
simultan sbb :

c1  c 2 2

apabila
dipecahkan
menghasilkan

c1 x1  c 2 x 2 0
c1 x1  c 2 x 2  2
2

3

2

c1 c 2 1
x1 
x2 

3

3

1
3
1
3

0.577350269
 0.577350269

c1 x1  c 2 x 2 0
Sehingga :

1

I  f ( x)dx  f (
1

PENS-ITS

1
3

) f(

1
3

)

40

Metode Numerik

Metode Integrasi Gauss
• Persamaan dibawah ini dinamakan metode Gauss
Legendre 2 titik
1

1
1
f ( x)dx  g ( )  g ( )

3
3
1

• Dengan kaidah ini, menghitung integral f(x) di
dalam selang[-1, 1] cukup hanya dengan
mengevaluasi nilai fungsi g pada x 1 3 dan x  1 3

PENS-ITS

41

Metode Numerik

Transformasi
b

1

Li  f ( x)dx

Li  g (u )du

a

•
•
•
•

Range [a,b]
x
f(x)
dx

1





PENS-ITS

[-1,1]
u
g(u)
du
42

Metode Numerik

Transformasi
x  a u 1

b a
2
2 x  2a (u  1)(b  a )
2 x (u  1)(b  a)  2a
b  a  bu  au  2a
x
2
(b  a) (b  a)
x

u
2
2
(b  a)
dx 
du
2

a

x

b

-1

u

1

PENS-ITS

43

Metode Numerik

Transformasi
1

b

Li  f ( x)dx  g (u )du
a

1

 (b  a ) (b  a )  (b  a )
g (u )  f 

u
2
 2
 2
1

1

(b  a )
 (a  b) (b  a) 
g (u )du 
f

u du


2 1  2
2

1
PENS-ITS

44

Metode Numerik

Analisa
• Dibandingkan dengan metode Newton-Cotes (Trapezoida,
Simpson 1/3, 3/8) metode Gauss-Legendre 2 titik lebih
sederhana dan efisien dalam operasi aritmatika, karena
hanya membutuhkan dua buah evaluasi fungsi.
• Lebih teliti dibandingkan dengan metode Newton-Cotes.
• Namun kaidah ini harus mentransformasi terlebih dahulu
menjadi
1

g (u )du

1

PENS-ITS

45

Algoritma

Metode Numerik

Integrasi Kuadratur Gauss
dgn Pendekatan 2 titik
(1) Definisikan fungsi f(x)
(2) Tentukan batas bawah (a) dan batas atas (b)
(3) Hitung nilai konversi variabel :
x

(b  a) (b  a )

u
2
2

(4) Tentukan fungsi f(u) dengan:
g (u ) 

(5) Hitung:

(b  a )  (b  a) (b  a) 
f

u
2
2
 2

 1 
 1 
L g  
  g

3

 3
PENS-ITS

46

Metode Numerik

PENS-ITS

47

Metode Numerik

Metode Gauss Legendre 3 Titik
1

I  f ( x)dx c1 f ( x1 )  c 2 f ( x 2 )  c3 f ( x3 )
•

1

Parameter x1, x2 , x3 ,c1 ,c2 dan c3 dapat dicari dengan membuat penalaran
bahwa kuadratur Gauss bernilai tepat (error = 0) untuk 6 buah fungsi
berikut :
f ( x) 1; f ( x)  x; f ( x)  x 2

f ( x)  x 3 ; f ( x)  x 4 ; f ( x)  x 5
•

Dengan cara yang sama dengan 2 titik didapatkan
5
8
5
c1  ; c 2  ; c3 
9
9
9

x1  3 5  0.774596669
x 2 0
x3  3 5 0.774596669
PENS-ITS

48

Metode Numerik

Metode Gauss Legendre 3
Titik
Sehingga rumus luasannya
menjadi :
1

5 

g
(
u
)
du

g



9
1


3 8
5  3
  g  0  g 

5  9
9  5 

PENS-ITS

49

Metode Numerik

Algoritma Metode Integrasi Gauss
dengan Pendekatan 3 Titik
(1) Definisikan fungsi f(x)
(2) Tentukan batas bawah (a) dan batas atas (b)
(3) Hitung nilai konversi variabel :
x

(b  a) (b  a )

u
2
2

(b  a )  (b  a) (b  a ) 
(4) Tentukan fungsi f(u) : g (u )  2 f  2  2 u 
1

(5) Hitung:

5 
g (u )du  g  

9 
1
PENS-ITS

3 8
5  3
  g  0  g 



5 9
9  5 
50

Metode Numerik

Metode Gauss n-Titik

PENS-ITS

51

Metode Numerik

Beberapa Penerapan Integrasi
Numerik
• Menghitung Luas Daerah Berdasarkan
Gambar
• Menghitung Luas dan Volume Benda Putar

PENS-ITS

52

Metode Numerik

Menghitung Luas Daerah
Berdasarkan Gambar
9

6

3

Skala 1:100000
0

•

•

5

10

15

Untuk menghitung luas integral di peta di atas, yang perlu dilakukan adalah menandai atau
membuat garis grid pada setiap step satuan h yang dinyatakan dalam satu kotak. Bila satu kotak
mewakili 1 mm, dengan skala yang tertera maka berarti panjangnya adalah 100.000 mm atau 100
m.
Pada gambar di atas, mulai sisi kiri dengan grid ke 0 dan sisi kanan grid ke n (dalam hal ini n=16).
Tinggi pada setiap grid adalah sebagai berikut:

PENS-ITS

53

Metode Numerik

Menghitung Luas Daerah
Berdasarkan Gambar
• Dari tabel di atas, luas area dapat dihitung dengan
menggunakan 3 macam metode:
•

Dengan menggunakan metode integrasi Reimann
16

L h y i 73.5
i 0

•

Dengan menggunakan metode integrasi trapezoida
15
h

L   y0  2 yi  y16  73.5
2
i 1


•

Dengan menggunakan metode integrasi Simpson

h

L   y0  4  yi  2  yi  y16  74
3
i ganjil
i genap

PENS-ITS

54

Metode Numerik

Menghitung Luas dan Volume

Benda Putar
• Luas benda putar:
b

L p 2 f ( x)dx
a

• Volume benda putar:
b

V p   f ( x) 2 dx
a

PENS-ITS

55

Metode Numerik

Contoh :
5
c
m
7
c
m

I

4
c
m

II

6
c
m

III

IV

12
c
m

7
c
m

satuan dalam
cm

• Ruang benda putar dapat dibedakan menjadi 4 bagian
– bagian I dan III merupakan bentuk silinder yang tidak perlu
dihitung dengan membagi-bagi kembali ruangnya,
– bagian II dan IV perlu diperhitungkan kembali.

• Bagian I: LI 2 (4)(7) 56

V I  (4)(7) 2 196

• Bagian III: LIII 2 12 (12) 288

VIII 2 1212 3456

PENS-ITS

2

56

Metode Numerik

Contoh :
•

Sedangkan untuk menghitung bagian II dan IV diperlukan pembagian area ,
misalkan dengan mengambil h=1 diperoleh:

•
•

Pada bagian II dan IV: LII  LIV dan VII VIV
Dengan menggunakan integrasi trapezoida dapat diperoleh:
4

h
LII ( LIV ) 2  y 0  y5  2 yi  108
2
i 1

4

h 2
2
VII  V IV    y 0  y5  2 y i2  1187 .5
2
i 1


PENS-ITS

57

Metode Numerik

Contoh :
•

Luas permukaan dari botol adalah: L

 LI  LII  LIII  LIV
56  108  288  108
560
1758.4

•
•

Luas = 1758.4 cm2
Volume botol adalah:

•

Volume = 18924.78 cm3

V V I  V II  VIII  V IV
196  1187 .5  3456  1187 .5
6024

PENS-ITS

58