Aplikasi penggunaan integral dalam fisik

APLIKASI INTEGRAL
USAHA, DAYA FLUIDA DAN MOMEN PUSAT
MASSA
USAHA DAN ENERGI

Hampir semua ilmu mekanika ditemukan oleh Issac newton kecuali
konsep energi. Energi dapat muncul dalam berbagai wujud. Akan tetapi
pada dasarnya selalu berhubungan dengan ‘Usaha’. Semua orang sudah
tahu apa yang dimaksud dengan usaha. Akan tetapi, menurut fisika usaha
terjadi jika ada gaya (F) yang menggerakan benda dalam jarak tertentu
(s). Usaha (W- work) didefinisikan sebagai Gaya dikali Jarak.

W=Fxs
Menurut definisi ini, gaya yang dihitung hanyalah gaya yang bekerja
searah dengan gerak benda. Jika saya menarik sebuah gerobak serong
terhadap arah gerak, hanya bagian mendatar dari gayalah yang dianggap
kerja.
Usaha yang bekerja dengan jarak (s) adalah FH .
s
F
FH

Energi didefinisikan sebagai kemampuan melakukan usaha. Melepaskan
energi berarti melakukan usaha dan melakukan usaha pada sesuatu
berarti menambah energi sesuatu itu. Oleh karena itu energi dan usaha
sebenarnya aadalah konsep yang sama dan sebanding. Usaha termasuk
ke dalam besaran skalar dan merupakan perkalian titik (dot product)
antara gaya dan perpindahan. Maka dapat dirumuskan :

E=W=Fxs
Andaikan benda digerakan sepanjang sumbu x dari titik x = a ke titik x =
b dengan gaya F(x). Bila perubahan kontinue. Maka kerja yang dilakukan
untuk menggerakan benda dari a ke b adalah

b

∫ F ( x ) dx

W=

a

Sekarang kita tinjau total usaha, yaitu usaha yang dilakukan oleh semua
gaya yang bekerja pada benda lebih dari 1 dimensi, dan kita jumlahkan
menurut komponen-komponen produk skalarnya
b

b

´ ∫ ( Fx dx + Fy dy + Fz dz)
W =∫ F´ . ds=
a

a

Aplikasi pada pegas
Dengan menggunakan hukum hooke yang berlaku dalam fisika. Gaya F(x)
yang diperlukan untuk menarik pegas sejauh x adalah

F = - k ∆x
Besar gaya tarik atau gaya teka yang diberikan keada pegas berbanding
lurus dengan pertambahan panjang.

Usaha yang dilakukan oleh gaya pegas ketika benda berpindah dari posisi
(1) dengan simpangan x1 ke posisis (2) dengan simpangan x 2. Karena
gaya F berlawanan dengan perpindahan ∆x, maka

W1,2 = - F ∆x

↔ W1,2 = - kx ∆x

Dengan menggunakan integral maka

W1,2 =

x2

x2

∫−kx dx

∫ x dx

x1

1

=- 2

=-k

=-k

x1

[ ]
x2
2

k (X22 –X1 2)

Sehingga usaha oleh gaya Pegas
1

W =- 2

k (X22 –X12)

Usaha yang dilakukan oleh gaya pegas di antara du tempat (posisi) tentu
tidak bergantung pada lintasan yang ditempuh, tetapi hanya bergantung
pada posisi awal (simpangan x1 dari posisi keseimbangan) dan posisi
akhir (simpangan x2 dari posisi keseimbangan)
Soal :
Sebuah balok bermassa m diatas meja licin diikat pada ujung sebuah
pegas mendatar dengan tetapan gaya k. Pegas ditekan pada posisi x = -a.

Ketika dibebaskan balik, balok bergerak bolak-balik sepanjang meja licin.
Tentukan :
a. Usaha dan Kecepatan balok ketika melalui titik keseimbangan (x =
0).
b. Jika m = 0.5 kg , A = 4 cm, dan k = 200 N/m, tentukan kecepatan
balok ketika melalui titik keseimbangan.
Jawab :

a. Usaha yang dilakukan gaya pegas pada balok untuk berpindah dari
x1 = -A ke x2 = A adalah
x2

W1,2 =

A

∫−kx dx

=-k

x1

1

=- 2

∫ x dx

=-k

–A

1

k (A2 – (-A 2) = - 2
1

[ ]
A2
2

k (A2 + A2)

k . 2A2 = - k . A2

=- 2

Selain gaya pegas pada balok bekerja gaya berat w dan gaya normal N.

Tetapi satu-satunya gaya yang melakukan usaha pada balok adalah gaya
pegas yaitu W pegas. Sesuai teorema usaha-energi maka:

Wres = ∆Ek =EK2-EK1
Wres = Wpegas dan V1 = 0
1

Wpegas = - 2
V22 =

2 W pegas
m

V2 = √

mv22 – 0
=

2 .(−k . A 2)
m

2 .(−k . A 2)
m

b. Sama seperti poin a, maka
Usaha yang dilakukan gaya pegas pada balok untuk berpindah dari
x1 = -4 ke x2 = 4 adalah
x2

W1,2 =

4

∫−kx dx
x1

1

=- 2

= - 200 N/m

∫ x dx

= - 200 N/m

–4

k ( ( 4 x 102 m )2 – (- ( 4 x 102 m )2 )

[ ]
x2
2

1

=- 2

200N/m ( ( 32 x 104 m2 )

❑

= - 32 x 106 J
Selain gaya pegas pada balok bekerja gaya berat w dan gaya normal N.
Tetapi satu-satunya gaya yang melakukan usaha pada balok adalah gaya
pegas yaitu W pegas. Sesuai teorema usaha-energi maka:
Wres = ∆EK =EK2-EK1
Wres = Wpegas dan V1 = 0
Wpegas = -

V2 =
2

1
2

2 W pegas
m

mv22 – 0

=

2 . (−32 x 10 6 ) J
1 kg

V2 = √ 64 X 106 m/s
V2 = 0.8 m/s

GAYA CAIRAN ( FLUIDA)/HUKUM ARCHIMEDES

Fluida adalah zat alir yaitu zat yang mempunyai sifat mengalir dan dapat
mengambil bentuk wadah yang diisi. Contoh zat cair dan gas.
Hukum archimedes
“Bila benda dicelupkan ke dalam zat cair, maka benda akan mendapat
gaya ke atas seberat zat cair yang dipindahkan oleh benda tersebut.”
Jika sebuah wadah berbentuk persegi panjang diisi dengan fluida dengan
kepadatan δ setinggi h. Maka gaya pada sebuah persegi panjang datar
dengan luas A yang terletak pada dasar tangki, sama dengan berat kolam
cairan yang terletak tepat di atas persegi panjang, yaitu

F = δ hA
Tekanan (gaya pada tiap satuan luas) dari cairan sama besarnya dari arah
manapun. Jadi, tekanan pada semua titik sebuah permukaan sama
besarnya, dengan syarat titik-titik itu berada pada kedalaman yang sama.
Soal

Tunjukan bahwa bila suatu bendungan vertikal yang bentuknya empat
persegi panjang dibagi dua bagian yang sama oleh sebuah diagonal, gaya
total pada salah satu bagian akan dua kali dari bagian lainnya. Misalkan
tepi puncak bendungan persis pada permukaan air.
Jawaban :
b

(a,b)

x
a
Persamaan diagonal : y =

b
a

Setengah yang atas ∆F ≈

¿
δ¿

a
b

a
b

y

y ∆y)

a
( by - y2 ) ∆y
b

(b-y)=

b

δa
b

F=
=

x atau x =

∫ (by – y 2)dy
0

[

a b y 2 y3
−
b 2
3

=

a b3 b3
−
b 2 3

=

δa b2
6

a−¿
δ¿

Setengah yang dibawah = ∆F ≈

(b-y)=
F=

]
[

]

a
b

y) ∆y

δa
( b - y )2 ∆y
b
δa
b

b

∫ (b2 – 2 by+ y 2) dy
0

=

δa
b

y
(b2 y – by 2 + )
3

=

δa b2
3

Maka (gaya pada bagian bawah) = 2 (gaya bagian atas)
\

MOMEN DAN PUSAT MASSA

Titik pusat massa adalah titik yang mewakili posisi benda bila dianggap
sebagai suatu materi. Titik berat bukan titik pusat massa walaupun pada
umumnya titik berat berimpit dengan pusat massanya.
Sebuah kawat diletakkan pada garis bilangan real sehingga menutupi
selang [a,b]. Misalkan diketahui rapat massa kawat tersebut di titik x
adalah ρ(x). Maka, massa potongan kawat yang lebarnya ∆x ± akan sama
dengan ∆m ≈ ρ(x) ∆x.

Sehingga massa kawat tersebut adalah
b

M=

∫ ρ(x )dx
a

Momen pada ttitik 0 dapat dihitung (Momen = jarak x massa). Pertama
momen tiap potongan kawat dengan lebar ∆x terhadap 0 adalah ∆M ≈
xρ(x)∆x. Dengan menjumlahkan dan mengambil limitnya, maka diperoleh
momen kawat tersebut terhadap 0 :
b

M=

∫ ρ(x )dx
a

Dengan mengetahui massa kawat dan momennya terhadap 0, momen
pusaat massa dapat ditentukan dengan
b

x

=

M
=
m

∫ x . ρ( x )dx
a

b

∫ ρ(x)dx
a

Misalkan suatu keping homogen (rapat masanya ρ konstan ) yang
menempati daerah D terletak diantara dua kurva. y = f (x) dan y = g (x),
seperti pada gambar. Jika daerah D diiris secara vertikal. Maka, massa,
momen terhadap sumbu y-nya dan momen terhadap sumbu x-nya dari
tiap irisannya adalah

∆m ≈ ρ[f(x)- g(x)]∆x
∆My ≈ x ρ[f(x)- g(x)]∆x
∆Mx ≈ ½ρ[f(x)2- g(x)2]∆x
Apabila dijumlahkan dan diambil limitnya, diperoleh massa keping dan
momennya terhadap kedua sumbu koordinat, yaitu :
b

m=

ρ∫ [f ( x )−g( x )] dx
a

b

My =

ρ∫ x [f ( x )−g (x)]dx
a

Mx =

¿
¿

b

½ ρ∫ ¿

f(x)2- g(x)2]dx

a

Koordinat pudat massa keping tersebut adalah
x

=

My
m

;

=

y

Mx
m

;

Soal 1:
Diketahui keping homogen dengan rapat massa l yang menempati daerah
yang dibatasi oleh kurva y = √ x dan y = x2 . tentukan massa dan pusat
massa keping tersebut ?
Jawab :

√x
Massa keping tersebut adalah m =

¿

1

∫¿

– x2 ) dx = (ʃ x1/2 - ʃ x2 )10 dx

0

2

=( 3
2

= 3

1

X3/2 – 3
1

.1– 3

X3)10
. 13

1

= 3
Momen terhadap kedua sumbu koordinat adalah

√x
My =

x¿
1

∫¿

– x2 ) dx = (ʃ x3/2 - ʃ x3 )10 dx

0

2

x5/2 -

1
4

x4 )10

x2 √ x

-

1
4

=( 5
2

= 5

2

= 5

x4

1
.1
4

.1-

3

= 20

x
¿

1

Mx = 1 1
– x4 ) dx = 2
∫¿
2

1

1

x2 – 5

( 2

x5 )10 dx

0

1
4

=(

1

x2 - 10
1

x5 )10

=

1
4

x2 - 10

=

1
4

. 1 - 10 . 1

x5

1

3

= 20
Dengan demikian pusat massanya adalah
x

=

3 / 20
=¿
1 /3

9
10

;

9
10

,

y

=

9
.
10
3 /20 9
=
1 /3 10

;

Pusat massanya terletak pada garis y = x, yang merupakan sumbu simetri
keping tersebut.

Soal 2:
Sepotong kawat lurus panjangnya 9 satuan dan dengan kepadatan ρ(x) =
√ x pada sebuah titik yang jauhnya x satuan dari salah satu ujungnya.
Tentukan jarak dari ujung ke pusat massa dawai?
Jawab :
Denagan menggunakan persamaan :
b

x

=

M
=
m

∫ x . ρ( x )dx
a

b

∫ ρ( x)dx
a

Sangat jelas bahwa pusat massa letaknya dekat
0, sebab kawat berat dibagian ujung.
9

∫ x . √ x .dx
x

=

0

=(

9

∫ √ x dx
0

=

2 5 /2
x
5
2 3 /2
x
3

=

2 2
9 √9
5
2
9. √ 9
3

=

18 /5
2 /3

2 5 /2
x
5
¿
2 3 /2
x
3

=

27
5

9
0

2
= 55

x

= 9 dari pada

x

=

DAFTAR PUSTAKA

Gonick, Larry dan Art Huffman. 2001. Kartun Fisika. Jakarta : KPG
(Kepustakaan Populer Gramedia.
Gunawan, Hendra, Ph.D. Catatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I.
Bandung : Departemen Matematika ITB.
Kanginan, Marthen. 2007. Fisika SMA kelas XI. Jakarta : Erlangga.
Ketut, Ni Lasmi.2008. Seri Pendalaman Materi Fisika SMA dan MA. Jakarta :
Esis.
Purcell, Edwin dan Dale Varberg. 2001. Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid
1. Jakarta : Erlangga.
Rachmat, U. 1986. Ringkasan Teori dan Penjelasan Fisika SMA. Jakarta :
Yudhistira.
http://www.google.com/