TUGAS PRIBADI STATISTIK II UJI NORMALITA
TUGAS PRIBADI
STATISTIK II
UJI NORMALITAS
Di susun Oleh:
Kelompok 2
AHMAD AMIN
PENDIDIKAN OLAHRAGA S2
FAKULTAS ILMU KEOLAHRAGAAN
UNIVERSITAS NEGERI PADANG
2016
UJI NORMALITAS MENGGUNAKAN UJI CHI KUADRAT, UJI KOLMOGOROF SMIRNOV
(KS) DAN UJI LILIEFORS
UJI NORMALITAS MENGGUNAKAN
UJI CHI KUADRAT, UJI KOLMOGOROF SMIRNOV (KS) DAN UJI LILIEFORS]
A. Uji Normalitas – Chi Kuadrat ( X2)
Uji normalitas dengan menggunakan uji Chi Kuadrat disebut juga Uji Goodness of Fit.
Menggunakan pendekatan penjumlahan penyimpangan data observasi tiap kelas dengan
nilai yang diharapkan. Uji normalitas datanya disajikan secara berkelompok. Data berbentuk
nominal atau ordinal.
Ciri-Ciri Distribusi Chi Kuadrat, antara lain:
Selalu positif
df = k – 1, dimana k adalah jumlah kategori (variabel). Jadi bentuk distribusi chikuadrat tidak ditentukan banyaknya sampel, melainkan banyaknya derajat bebas.
Bentuk distribusi chi-kuadrat menjulur positif. Semakin besar derajat bebas, semakin
mendekati distribusi normal. Rumus umum :
Keterangan:
Oi
=frekuensi hasil pengamatan pada klasifikasi ke-i
Ei
= frekuensi yang diharapkan pada klasifikasi ke-i
X2
= Nilai Chi-Kuadrat
Uji normalitas dengan menggunakan Chi-Kuadrat dapat dilakukan dengan langkah-langkah
sebagai berikut :
1. Mencari nilai terbesar dan terkecil:
Mencari nilai rentang
Mencari banyak kelas
Mencari panjang kelas interval (i)
Membuat tabel distribusi frekuensi
Mencari rata-rata (mean)
Mencari simpangan baku (standar deviasi)
Membuat daftar frekuensi yang diharapkan dengan cara sebagai berikut :
Menentukan batas kelas, yaitu ujung bawah kelas interval dikurangi 0.5 dan
kemudian ujung atas kelas interval ditambah 0.5
Mencari nilai Z menggunakan batas bawah dan batas atas kelas interval dengan
rumus:
Mencari luas 0-Z dari Tabel Kurva Normal dari 0-Z dengan menggunakan Z hitung.
Mencari selisih luas tiap kelas interval dengan cara mengurangkan nilai-nilai 0-Z tepi
bawah dengan tepi atas.
Mencari frekuensi yang diharapkan dengan cara mengalikan luas tiap interval
dengan jumlah responden.
Mencari Chi-Kuadrat hitung
1.
Membandingkan nilai X2 hitung dengan X2 tabel
Kriteria:
Jika X2 hitung < X2 tabel maka H0 diterima dan untuk hal lainnya H0 ditolak.
Contoh :
Akan diuji normalitas untuk data Kemampuan Pemecahan Masalah Matematika Siswa Kelas
VIII G SMP Negeri 407 Jepara pada Materi Bangun Ruang. Apakah data tersebut
berdistribusi normal? Datanya adalah sebagai berikut :
No. X
No.
X.
No.
X
No.
X
No.
X
1.
58
16.
51
31.
57
46.
72
61.
78
2.
57
17.
65
32.
51
47.
78
62.
71
3.
57
18.
85
33.
52
48.
66
63.
45
4.
51
19.
72
34.
51
49.
48
64.
50
5.
51
20.
78
35.
65
50.
71
6.
52
21.
58
36.
78
51.
78
7.
71
22.
59
37.
71
52.
70
8.
79
23.
58
38.
71
53.
65
9.
72
24.
64
39.
64
54.
37
10.
75
25.
64
40.
58
55.
58
11.
58
26.
58
41.
50
56.
50
12.
62
27.
71
42.
44
57.
50
13.
57
28.
64
43.
58
58.
58
14.
57
29.
78
44.
48
59.
48
15.
57
30.
78
45.
65
60.
67
Jawab :
Hipotesis :
H0 : data pada sampel berasal dari populasi yang berdistribusi normal
H1 : data pada sampel berasal dari populasi yang tidak berdistribusi normal
Langkah pengujiannya sebagai berikut :
1.
Mencari nilai terbesar terbesar dan terkecil
Nilai terbesar = 85
Nilai terkecil = 37
2.
Mencari nilai rentang (R)
R = skor terbesar – skor terkecil
R = 85 – 37
= 58
3.
Mencari banyak kelas (BK)
BK = 1 + 3,3 log n
BK = 1 + 3,3 log 64
BK = 1 + 3,3 (1,81)
BK = 1 + 3,3 (1,81)
BK = 1 + 5,973
BK = 6,973 dibulatkan menjadi 7
4.
Mencari nilai panjang kelas (i)
1.
Membuat tabel distribusi frekuensi
No
Kelas
Interval
F
Nilai Tengah
(xi)
1.
37 - 44
2
40,5
2.
45 - 52
15
48,5
3.
53 - 60
16
56,5
4.
61 - 68
11
64,5
5.
69 - 76
11
72,5
6.
77 - 84
8
80,5
7.
85 - 92
1
88,5
jumlah
64
2.
Mencari rata-rata (mean)
3.
Mencari simpangan baku (standar deviasi)
No
.
Kelas Interval
1.
37-44
2
40,5
-21,25
451,5625
903,125
2.
45-52
15
48,5
-13,25
175,5625
2633,4375
3.
53-60
16
56,5
-5,25
27,5625
441
4.
61-68
11
64,5
2,75
7,5625
83,1875
5.
69-76
11
72,5
10,75
115,5625
1271,1875
6.
77-84
8
80,5
18,75
351,5625
2812,5
7.
85-92
1
88,5
26,75
715,5625
715,5625
64
1.
8860
Membuat daftar frekuensi yang diharapkan dengan cara sebagai berikut :
Menentukan Tepi Bawah dan Tepi Atas Kelas Intervalt :
No
Kelas
Interval
Batas
bawah
kelas
Batas atas
kelas
1.
37 - 44
36,5
44,5
2.
45 - 52
44,5
52,5
3.
53 - 60
52,5
60,5
4.
61 - 68
60,5
68,5
5.
69 - 76
68,5
76,5
6.
77 - 84
76,5
84,5
7.
85 - 92
84,5
92,5
Mencari nilai Z menggunakan Tepi Bawah dan Tepi Atas Kelas Interval
Mencari selisih luas tiap kelas interval dengan cara mengurangkan nilai-nilai 0-Z tepi
bawah dengan tepi atas
1.
Mencari frekuensi yang diharapkan dengan cara mengalikan selisih luas tiap interval
dengan jumlah responden (n = 64)
Selisih Luas 0Z
Ei
0,0569
3,64
0,1442
9,23
0,2385
15,26
0,2595
16,61
0,1768
11,32
0,0801
5,13
0,0226
1,45
Frekuensi yang Diharapkan (Ei) dari Hasil Pengamatan (Oi) untuk Variabel Kemampuan
Pemecahan Masalah Matematika Siswa Kelas VIII G SMP Negeri 407 Jepara pada Materi
Bangun Ruang
1.
Mencari Chi-Kuadrat hitung
1.
Membandingkan X2 hitung dengan X2 tabel
Dengan membandingkan X2 hitung dengan nilai X2 tabel untuk alpha =0,05 dan derajad
kebebasan (dk) = k – 1 = 7 – 1 = 6, maka dicari pada tabel Chi-Kuadrat didapat X2tabel =
12,6 dengan kriteria pengujian sebagai berikut :
Jika X2 hitung X2 tabel, artinya distribusi data tidak normal
Jika X2 hitung < X2 , artinya data berdistribusi normal.
Ternyata X2 hitung < X2,atau 8,077 < 12,6 , maka H0 diterima. Jadi, data Kemampuan
Pemecahan Masalah Matematika Siswa Kelas VIII G SMP Negeri 407 Jepara pada Materi
Bangun Ruang adalah berdistribusi normal. Sehingga, analisis uji selanjutnya dapat
dilanjutkan.
Kurva daerah penerimaan H0
B. UJI KOLMOGOROV SMIRNOV
Metode Kolmogorov-Smirnov tidak jauh beda dengan metode Lilliefors. Uji Kolmogorov
Smirnov digunakan untuk menguji apakah data itu berdistribusi normal atau tidak.Langkah-
langkah penyelesaian dan penggunaan rumus sama, namun pada signifikansi yang
berbeda. Signifikansi metode Kolmogorov-Smirnov menggunakan tabel pembanding
Kolmogorov-Smirnov, sedangkan metode Lilliefors menggunakan tabel pembanding metode
Lilliefors.
PERSYARATAN
a. Data berskala interval atau ratio (kuantitatif)
b. Data tunggal / belum dikelompokkan pada tabel distribusi frekuensi
c. Dapat untuk n besar maupun n kecil.
HIPOTESIS UJI :
H0
: Data populasi berdistribusi normal
H1
: Data populasi berdstribusi tidak normal.
SIGNIFIKANSI UJI :
nilai terbesar | ft - Fs | dibandingkan dengan nilai tabel Lilliefors.
Jika Lhitung < Ltabel, maka :
Ho diterima
H1 ditolak.
Jika Lhitung > Ltabel , maka :
Ho ditolak
H1 diterima
FT = Probabilitas komulatif normal
FS = Probabilitas komulatif empiris
Dhitung = | ft - Fs |
Dtabel
smirnov
= D(α,n) dilihat pada tabel kolmogorof
TABEL NILAI KRITIS L UNTUK UJI KOLMOGOROV SMIRNOV :
LANGKAH-LANGKAH PENGUJIAN :
Suatu penelitian tentang jumlah hasil panen kedelai di 15 kecamatan di Kabupaten
Gresik tercatat dalam kwintal 10, 13, 15, 11, 8, 16, 10, 11, 12, 9 ,11, 14, 9, 18 dan 12
kwintal. Selidikilah dengan α =5% , apakah data tersebut diambil dari populasi yang
berdistribusi normal ? Gunakan Uji Kormogorov Smirnov.
Hipotesis Uji :
H0 = Sampel berasal dari populasi yang berdistribusi normal.
H1 = Sampel berasal dari populasi yang berdistribusi tidak normal.
1.
Urutkan data dari yang terkecil ke yang terbesar lalu cari rata-rata, simpangan baku
(standar deviasi) dari sampel data.
Keterangan :
Xi
fi
= Data ke-i
= Frekuensi ke-i
1.
Mencari (Ztabel ) pada tabel distribusi normal
1.
Menentukan Dhitung
Keterangan :
Xi = Angka pada data
Z = Transformasi dari angka ke notasi pada distribusi normal
FT = Probabilitas komulatif normal
FS = Probabilitas komulatif empiris
Mencari nilai D(α,n) dan Dmax dengan α = 0,05 dan n = 15 maka diperoleh :
D(0,05,15) / Dtabel= 0,338
Dhitung = 0,161
Daerah kritis : Dhitung Ltabel liliefors , maka :
Ho ditolak
H1 diterima
F(Zi)
= P(Zi ≤ Ztabel (peluang)
S(Zi)
= proporsi Z1 , Z2 , Z3 , Z4 , ... Zn yang ≤ Zi .
Lhitung
Ltabel liliefors
= | F(zi) - S(zi) |
= dilihat pada tabel liliefors
TABEL NILAI KRITIS L UNTUK UJI LILIEFORS :
LANGKAH-LANGKAH PENGUJIAN :
Contoh : misalkan sampel dengan data : 23, 27, 33, 40, 48, 48, 57, 59, 62, 68, 69, 70
telah diambil dari sebuah opulasi.
Hipotesis Uji :
H0 = Sampel berasal dari populasi yang berdistribusi normal.
H1 = Sampel berasal dari populasi yang berdistribusi tidak normal.
5. Urutkan data dari yang terkecil ke yang terbesar lalu cari rata-rata, simpangan baku
(standar deviasi) dari sampel data.
7.
Mencari (Ztabel ) pada tabel distribusi normal
STATISTIK II
UJI NORMALITAS
Di susun Oleh:
Kelompok 2
AHMAD AMIN
PENDIDIKAN OLAHRAGA S2
FAKULTAS ILMU KEOLAHRAGAAN
UNIVERSITAS NEGERI PADANG
2016
UJI NORMALITAS MENGGUNAKAN UJI CHI KUADRAT, UJI KOLMOGOROF SMIRNOV
(KS) DAN UJI LILIEFORS
UJI NORMALITAS MENGGUNAKAN
UJI CHI KUADRAT, UJI KOLMOGOROF SMIRNOV (KS) DAN UJI LILIEFORS]
A. Uji Normalitas – Chi Kuadrat ( X2)
Uji normalitas dengan menggunakan uji Chi Kuadrat disebut juga Uji Goodness of Fit.
Menggunakan pendekatan penjumlahan penyimpangan data observasi tiap kelas dengan
nilai yang diharapkan. Uji normalitas datanya disajikan secara berkelompok. Data berbentuk
nominal atau ordinal.
Ciri-Ciri Distribusi Chi Kuadrat, antara lain:
Selalu positif
df = k – 1, dimana k adalah jumlah kategori (variabel). Jadi bentuk distribusi chikuadrat tidak ditentukan banyaknya sampel, melainkan banyaknya derajat bebas.
Bentuk distribusi chi-kuadrat menjulur positif. Semakin besar derajat bebas, semakin
mendekati distribusi normal. Rumus umum :
Keterangan:
Oi
=frekuensi hasil pengamatan pada klasifikasi ke-i
Ei
= frekuensi yang diharapkan pada klasifikasi ke-i
X2
= Nilai Chi-Kuadrat
Uji normalitas dengan menggunakan Chi-Kuadrat dapat dilakukan dengan langkah-langkah
sebagai berikut :
1. Mencari nilai terbesar dan terkecil:
Mencari nilai rentang
Mencari banyak kelas
Mencari panjang kelas interval (i)
Membuat tabel distribusi frekuensi
Mencari rata-rata (mean)
Mencari simpangan baku (standar deviasi)
Membuat daftar frekuensi yang diharapkan dengan cara sebagai berikut :
Menentukan batas kelas, yaitu ujung bawah kelas interval dikurangi 0.5 dan
kemudian ujung atas kelas interval ditambah 0.5
Mencari nilai Z menggunakan batas bawah dan batas atas kelas interval dengan
rumus:
Mencari luas 0-Z dari Tabel Kurva Normal dari 0-Z dengan menggunakan Z hitung.
Mencari selisih luas tiap kelas interval dengan cara mengurangkan nilai-nilai 0-Z tepi
bawah dengan tepi atas.
Mencari frekuensi yang diharapkan dengan cara mengalikan luas tiap interval
dengan jumlah responden.
Mencari Chi-Kuadrat hitung
1.
Membandingkan nilai X2 hitung dengan X2 tabel
Kriteria:
Jika X2 hitung < X2 tabel maka H0 diterima dan untuk hal lainnya H0 ditolak.
Contoh :
Akan diuji normalitas untuk data Kemampuan Pemecahan Masalah Matematika Siswa Kelas
VIII G SMP Negeri 407 Jepara pada Materi Bangun Ruang. Apakah data tersebut
berdistribusi normal? Datanya adalah sebagai berikut :
No. X
No.
X.
No.
X
No.
X
No.
X
1.
58
16.
51
31.
57
46.
72
61.
78
2.
57
17.
65
32.
51
47.
78
62.
71
3.
57
18.
85
33.
52
48.
66
63.
45
4.
51
19.
72
34.
51
49.
48
64.
50
5.
51
20.
78
35.
65
50.
71
6.
52
21.
58
36.
78
51.
78
7.
71
22.
59
37.
71
52.
70
8.
79
23.
58
38.
71
53.
65
9.
72
24.
64
39.
64
54.
37
10.
75
25.
64
40.
58
55.
58
11.
58
26.
58
41.
50
56.
50
12.
62
27.
71
42.
44
57.
50
13.
57
28.
64
43.
58
58.
58
14.
57
29.
78
44.
48
59.
48
15.
57
30.
78
45.
65
60.
67
Jawab :
Hipotesis :
H0 : data pada sampel berasal dari populasi yang berdistribusi normal
H1 : data pada sampel berasal dari populasi yang tidak berdistribusi normal
Langkah pengujiannya sebagai berikut :
1.
Mencari nilai terbesar terbesar dan terkecil
Nilai terbesar = 85
Nilai terkecil = 37
2.
Mencari nilai rentang (R)
R = skor terbesar – skor terkecil
R = 85 – 37
= 58
3.
Mencari banyak kelas (BK)
BK = 1 + 3,3 log n
BK = 1 + 3,3 log 64
BK = 1 + 3,3 (1,81)
BK = 1 + 3,3 (1,81)
BK = 1 + 5,973
BK = 6,973 dibulatkan menjadi 7
4.
Mencari nilai panjang kelas (i)
1.
Membuat tabel distribusi frekuensi
No
Kelas
Interval
F
Nilai Tengah
(xi)
1.
37 - 44
2
40,5
2.
45 - 52
15
48,5
3.
53 - 60
16
56,5
4.
61 - 68
11
64,5
5.
69 - 76
11
72,5
6.
77 - 84
8
80,5
7.
85 - 92
1
88,5
jumlah
64
2.
Mencari rata-rata (mean)
3.
Mencari simpangan baku (standar deviasi)
No
.
Kelas Interval
1.
37-44
2
40,5
-21,25
451,5625
903,125
2.
45-52
15
48,5
-13,25
175,5625
2633,4375
3.
53-60
16
56,5
-5,25
27,5625
441
4.
61-68
11
64,5
2,75
7,5625
83,1875
5.
69-76
11
72,5
10,75
115,5625
1271,1875
6.
77-84
8
80,5
18,75
351,5625
2812,5
7.
85-92
1
88,5
26,75
715,5625
715,5625
64
1.
8860
Membuat daftar frekuensi yang diharapkan dengan cara sebagai berikut :
Menentukan Tepi Bawah dan Tepi Atas Kelas Intervalt :
No
Kelas
Interval
Batas
bawah
kelas
Batas atas
kelas
1.
37 - 44
36,5
44,5
2.
45 - 52
44,5
52,5
3.
53 - 60
52,5
60,5
4.
61 - 68
60,5
68,5
5.
69 - 76
68,5
76,5
6.
77 - 84
76,5
84,5
7.
85 - 92
84,5
92,5
Mencari nilai Z menggunakan Tepi Bawah dan Tepi Atas Kelas Interval
Mencari selisih luas tiap kelas interval dengan cara mengurangkan nilai-nilai 0-Z tepi
bawah dengan tepi atas
1.
Mencari frekuensi yang diharapkan dengan cara mengalikan selisih luas tiap interval
dengan jumlah responden (n = 64)
Selisih Luas 0Z
Ei
0,0569
3,64
0,1442
9,23
0,2385
15,26
0,2595
16,61
0,1768
11,32
0,0801
5,13
0,0226
1,45
Frekuensi yang Diharapkan (Ei) dari Hasil Pengamatan (Oi) untuk Variabel Kemampuan
Pemecahan Masalah Matematika Siswa Kelas VIII G SMP Negeri 407 Jepara pada Materi
Bangun Ruang
1.
Mencari Chi-Kuadrat hitung
1.
Membandingkan X2 hitung dengan X2 tabel
Dengan membandingkan X2 hitung dengan nilai X2 tabel untuk alpha =0,05 dan derajad
kebebasan (dk) = k – 1 = 7 – 1 = 6, maka dicari pada tabel Chi-Kuadrat didapat X2tabel =
12,6 dengan kriteria pengujian sebagai berikut :
Jika X2 hitung X2 tabel, artinya distribusi data tidak normal
Jika X2 hitung < X2 , artinya data berdistribusi normal.
Ternyata X2 hitung < X2,atau 8,077 < 12,6 , maka H0 diterima. Jadi, data Kemampuan
Pemecahan Masalah Matematika Siswa Kelas VIII G SMP Negeri 407 Jepara pada Materi
Bangun Ruang adalah berdistribusi normal. Sehingga, analisis uji selanjutnya dapat
dilanjutkan.
Kurva daerah penerimaan H0
B. UJI KOLMOGOROV SMIRNOV
Metode Kolmogorov-Smirnov tidak jauh beda dengan metode Lilliefors. Uji Kolmogorov
Smirnov digunakan untuk menguji apakah data itu berdistribusi normal atau tidak.Langkah-
langkah penyelesaian dan penggunaan rumus sama, namun pada signifikansi yang
berbeda. Signifikansi metode Kolmogorov-Smirnov menggunakan tabel pembanding
Kolmogorov-Smirnov, sedangkan metode Lilliefors menggunakan tabel pembanding metode
Lilliefors.
PERSYARATAN
a. Data berskala interval atau ratio (kuantitatif)
b. Data tunggal / belum dikelompokkan pada tabel distribusi frekuensi
c. Dapat untuk n besar maupun n kecil.
HIPOTESIS UJI :
H0
: Data populasi berdistribusi normal
H1
: Data populasi berdstribusi tidak normal.
SIGNIFIKANSI UJI :
nilai terbesar | ft - Fs | dibandingkan dengan nilai tabel Lilliefors.
Jika Lhitung < Ltabel, maka :
Ho diterima
H1 ditolak.
Jika Lhitung > Ltabel , maka :
Ho ditolak
H1 diterima
FT = Probabilitas komulatif normal
FS = Probabilitas komulatif empiris
Dhitung = | ft - Fs |
Dtabel
smirnov
= D(α,n) dilihat pada tabel kolmogorof
TABEL NILAI KRITIS L UNTUK UJI KOLMOGOROV SMIRNOV :
LANGKAH-LANGKAH PENGUJIAN :
Suatu penelitian tentang jumlah hasil panen kedelai di 15 kecamatan di Kabupaten
Gresik tercatat dalam kwintal 10, 13, 15, 11, 8, 16, 10, 11, 12, 9 ,11, 14, 9, 18 dan 12
kwintal. Selidikilah dengan α =5% , apakah data tersebut diambil dari populasi yang
berdistribusi normal ? Gunakan Uji Kormogorov Smirnov.
Hipotesis Uji :
H0 = Sampel berasal dari populasi yang berdistribusi normal.
H1 = Sampel berasal dari populasi yang berdistribusi tidak normal.
1.
Urutkan data dari yang terkecil ke yang terbesar lalu cari rata-rata, simpangan baku
(standar deviasi) dari sampel data.
Keterangan :
Xi
fi
= Data ke-i
= Frekuensi ke-i
1.
Mencari (Ztabel ) pada tabel distribusi normal
1.
Menentukan Dhitung
Keterangan :
Xi = Angka pada data
Z = Transformasi dari angka ke notasi pada distribusi normal
FT = Probabilitas komulatif normal
FS = Probabilitas komulatif empiris
Mencari nilai D(α,n) dan Dmax dengan α = 0,05 dan n = 15 maka diperoleh :
D(0,05,15) / Dtabel= 0,338
Dhitung = 0,161
Daerah kritis : Dhitung Ltabel liliefors , maka :
Ho ditolak
H1 diterima
F(Zi)
= P(Zi ≤ Ztabel (peluang)
S(Zi)
= proporsi Z1 , Z2 , Z3 , Z4 , ... Zn yang ≤ Zi .
Lhitung
Ltabel liliefors
= | F(zi) - S(zi) |
= dilihat pada tabel liliefors
TABEL NILAI KRITIS L UNTUK UJI LILIEFORS :
LANGKAH-LANGKAH PENGUJIAN :
Contoh : misalkan sampel dengan data : 23, 27, 33, 40, 48, 48, 57, 59, 62, 68, 69, 70
telah diambil dari sebuah opulasi.
Hipotesis Uji :
H0 = Sampel berasal dari populasi yang berdistribusi normal.
H1 = Sampel berasal dari populasi yang berdistribusi tidak normal.
5. Urutkan data dari yang terkecil ke yang terbesar lalu cari rata-rata, simpangan baku
(standar deviasi) dari sampel data.
7.
Mencari (Ztabel ) pada tabel distribusi normal