MINGGU KE V VI

MINGGU KE- V:
UKURAN PENYEBARAN
Tujuan Instruksional Umum :
1. Mahasiswa mampu memahami apa yang dimaksud dengan ukuran penyebaran
2. Mahasiswa mampu memahami berbagai pengukuran untuk mencari nilai ukuran
penyebaran
3. Mahasiswa mampu memahami kegunaan atau fungsi dari nilai penyebaran
4. Mahasiswa mampu membedakan menghitung ukuran penyebaran untuk data yang
dikelompokkan dengan data yang tidak dikelompokkan

Tujuan Instruksional Umum :
1. Mahasiswa mampu menghitung range untuk data yang dikelompokkan dan untuk data
yang tidak dikelompokkan
2. Mahasiswa mampu untuk menghitung nilai deviasi kuartil untuk data yang
dikelompokkan dan untuk data yang tidak dikelompokkan
3. Mahasiswa mampu untuk menghitung nilai dari deviasi rata-rata untuk data yang
dikelompokkan dengan data yang tidak dikelompokkan
4. Mahasiswa mampu untuk menghitung nilai deviasi standar untuk data yang
dikelompokkan dengan data yang tidak dikelompokkan
5. Mahasiswa mampu menghitung kemencengan dan keruncingan untuk data yang
dikelompokkan dan data yang tidak dikelompokkan

6. Mahasiswa mampu untuk menghitung nilai koefisien range, koefisien standar deviasi dan
koefisien variasi.
7. mahasiswa mampu untuk menginterpretasikan arti nilai ukuran penyebaran
8. Mahasiswa mampu menggunakan aplikasi computer untuk mnghitung ukuran
penyebaran.

PENGERTIAN
Yang dimaksud dengan ukuran penyebaran adalah persebaran data terhadap rata-ratanya.
Semakin kecil nilai penyebarannya maka akan semakin dekat nilai datanya dengan rata-ratanya.
Atau dikatakan datanya semakin homogen.

JENIS UKURAN PENYEBARAN
A. Range
Range adalah selisih dari nilai tertinggi dengan nilai terendah.
a. Untuk Data tidak berkelompok
Range = L – S
L : Nilai tertinggi
S : Nilai terendah
b. Untuk Data berkelompok
1. Batas Kelas tertinggi – Batas kelas terendah

2. Nilai tengah tertinggi – Nilai tengah terendah
B. Deviasi Kuartil
Deviasi Kuartil dalam suatu rangkaian data adalah jarak antara kuartil I dengan
kuartil III. Rumus Deviasi Kuartil untuk data yang tidak dikelompokkan dan data
yang dikelompokkan adalah sama, selama nilai Kuartil I dan nilai kuartil III sudah
diketahui.

QD 

K 3  K1
2

C. Deviasi Rata-rata

Deviasi rta-rata adalah jumlah selisih mutlak setiap data terhadap rata-ratanya.
a. Untuk Data tidak berkelompok
AD 

X X
N

Dimana ;

X : Data
X : Rata-rata

N : Jumlah data

b. Untuk Data dikelompokkan
AD 

f

XX
N

Dimana :

f : Frekuensi kelas
X : Data

X : Rata-rata
N : Jumlah data

Contoh :
Gaji
Jumlah
Nilai
karyawan Karyawan Tengah
30 – 39
4
34,5

X X

f XX

30,6

122,4

40 – 49

6

44,5

20,6

123,6

50 – 59

8

54,5

10,6

84,8

60 – 69

12

64,5

0,6

7,2

70 – 79

9

74,5

9,4

84,6

80 – 89

7

84,5

19,4

135,8

90 – 99

4

94,5

29,4

117,6
676

Diketahui dari perhitungan sebelumnya;

X  65,1
Maka; AD 

676
 13,52
50

D. Deviasi Standard

Deviasi Standar adalah akar pangkat dua dari total selisih dengan nilai rataratanya.
a. Untuk data yang tidak dikelompokkan

SD   

(X  X )
N

Dimana;

X : nilai data
X : Rata-rata
N : Jumlah Data

b. Untuk data yang dikelompokkan
SD   

 fX
N

2

  fX

 N








2

Dimana ;

f : frekuensi

X : Nilai Tengah
N : Jumlah data

Contoh ;
Gaji
Jumlah
Nilai
karyawan Karyawan Tengah
30 – 39
4

34,5

fX

X2

fX 2

138

1190,25

4761

40 – 49

6

44,5

267

1980,25

11881,5

50 – 59

8

54,5

436

2970,25

23762

60 – 69

12

64,5

774

4160,25

49923

70 – 79

9

74,5

670,5

5550,25

49952

80 – 89

7

84,5

591,5

7140,25

49981,75

90 – 99

4

94,5

378

8930,25

35721

 fX  3255
2



22598,5  3255 

  16,78
50
 50 

 fX

2

 225982,5

UKURAN PENYEBARAN RELATIF

A. Koefisien Range

KR 

LS
LS

L : Nilai tertinggi
S : Nilai Terendah

B. Koefisien Deviasi Kuartil
QD 

K 3  K1
K 3  K1

K3: Kuartil 3
K1: Kuartil 1

C. Koefisien Deviasi Rata-rata

QR 

AD
X

AD : Deviasi rata-rata

X : Rata-rata

D. Koefisien Deviasi Variasi
Koefisien Deviasi Standar disebut juga Koefisien Variasi, yang mempunyai
peranan sangat penting guna membandingkan variasi dari sekelompok data
dengan sekelompok data yang lain. Semakin kecil koefisien variasinya, maka
datanya semakin homogen, semakin beesar koefisien variasinya maka data
semakin heterogen.

V 


X

 100%

Dimana;

 : Deviasi Standar

X : Nilai rata-rata
Sedangkan koefisien variasi untuk sampel adalah :

kv 

S
 100%
X

Dimana;
S : Deviasi stándar sampel

X : rata-rata sampel

E. Ukuran Kemencengan (Skewness) dan keruncingan (Kurtosis)

1. Skewness
Skewness menandakan kurva yang tidak simetris. Apabila kurva menceng ke kiri
X  Med  Mod ,

maka

apabila

kurva

menceng

ke

kanan

maka

Mod  Med  X .
Ukuran tingkat Kemencengan atau Skew adalah :

Tk 

X  Mod
S

Atau

TK 

3( X  Med )
S

Dimana ;

X : rata-rata hitung
Mod : modus
S : Simpangan Baku

Med : median atau nilai tengah

2. Kurtosis
Dilihat dari tingkat keruncingannya, kurva distribusi normal di bagi menjadi tiga
bagian yaitu :
a. leptokurtic (kurva sangat runcing)
b. Platycurtic (kurva agak datar)

c. Mezokurtic (puncak tidak begitu runcing)
Untuk menghitung tingkat keruncingan suatu kurva dihitung :
Untuk data yang tidak dikelompokkan:
1 n
( X i  X )4
M4 n 
 4  4  i 1 4
S
S
Untuk data yang dikelompokkan :
1 k
fi (M i  X )4
M4 n 
 4  4  i 1
S
S4
Dimana;

X i : nilai pada data ke-i
X : Rata-rata
f i : frekuensi
M i : nilai tengah

QUIZ I
1. Berikut ini adalah hasil nilai ujian 50 mahasiswa UIEU untuk mata kuliah statistika :
68
84
75
82
68
90
75
80
76
82
73
79
88
73
60
93
66
54
90
96
61
65
75
87
74
62
63
88
72
56
66
78
82
75
94
77
80
76
65
82
96
78
89
61
75
95
90
82
79
80
a. Susunlah distribusi frekuensi dari data tersebut
b. Gambarkan grafik polygon dan histogramnya
c. Gambarkan kurva ogive nya
2. Tabel di bawah ini adalah data yang menggambarkan harga sewa kos per bulan di daerah
tanjung duren, dari 65 tempat kos yang ada
Harga Sewa
Jumlah Tempat Kos
80 – 99
100 – 119
120 – 139
140 – 159
160 – 179
180 - 199

a.
b.
c.
d.

14
20
15
10
5
3

Hitunglah rata-rata dari harga sewa kos
Hitunglah median dari harga sewa kos
Hitunglah modus dari harga sewa kos
Berapa persentase dari rumah kos yang memiliki sewa kos lebih Rp. 119.500 per
bulan

3. Data berikut ini adalah data gaji per minggu karyawan di PT Senang Selalu :
Gaji
Jumlah Karyawan
2
40 – 59
6
60 – 79
22
80 – 99
27
100 – 119
23
120 – 139
15
140 – 159
5
160 – 179

a. Hitunglah gaji tertinggi dari 25% yang memiliki gaji terendah
b. Hitunglah gaji terendah dari 20% karyawan yang memiliki gaji tertinggi

c. Hitunglah nilai dari Desil 7 dan Desil 3
4. Dengan data yang sama dengan data di no. 3, hitunglah :
a. Skewness, dan aapa artinya
b. Kurtosis, dan apa artinya

MINGGU KE- VI & VII:
DASAR – DASAR
PROBABILITA
Tujuan Instruksional Umum :

1. Mahasiswa mampu memahami apa yang dimaksud dengan probabilita
2. Mahasiswa mampu memahami apa yang dimaksud dengan sample space, event dan
peristiwa
3. Mahasiswa mampu memahami mengenai azas-azas probabilita
4. Mahasiswa mampu memahami apa yang dimaksud dengan theorema bayes

Tujuan Instruksional Khusus :

1. Mahasiswa mampu menghitung probabilita dari suatu kejadian
2. Mahasiswa mampu menghitung Joint Probabilita, conditional Probabita dan Maginal
Prbabilita
3. Mahasiswa mampu untuk menghitung menggunakan teorema bayes
4. Mahasiswa mampu untuk mengaplikasikan probabilita dengan bebbagai contoh kasus
yang ada

PENGERTIAN

Probabilita adalah rasio dari kejadian yang menguntungkan dengan seluruh kejadian atau
persitwa apabila setiap kejadian memiliki kesempatan yang sama.
Contoh:
a. Peristiwa dari pelemparan mata uang logam
Mata uang memiliki dua sisi, yaitu gambar dan angka. Apabila mata uang
dilemparkan, maka probabilita keluar sisi gambar adalah :
P (sisi gambar) atau P (G) = ½ = 0,5 = 50%
Selain sisi gambar, probabilita keluar sisi angka adalah :
P (sisi angka) atau P (A) = ½ = 0,5 = 50%

b. Peristiwa dari pelemparan dadu yang memiliki 6 sisi
Setiap dadu yang berbentuk kubus memiliki enam sisi, yang masing-masing sisi
memiliki nilai yang berbeda, yaitu 1, 2, 3, 4, 5 dan 6. Apabila dadu tersebut
dilempar, maka probabilita keluar sisi dadu bernilai 2 adalah:
P (sisi 2) = 1/6
Sedangkan probabilita keluar mata dadu bernilai genap :
P (sisi 2, sisi 4 dan sisi 6) = 3/6 = ½

c. Perstiwa dari pengambilan kartu bridge
Kartu bridge terdiri dari 52 kartu yang terdiri dari 4 jenis gambar yaitu Jantung,
Diamond, Sekop, Cengkeh. Setiap satu jenis terdiri dari 13 kartu yang bernomor
As, 2 – 9, Jack, Queen, dan King. Apabila kartu bridge dikocok, maka probabilita
terpilihnya kartu As adalah ;
P (As) = 4/52 = 1/13
Probabilita terpilihnya kartu Jantung (Heart) adalah :
P (Jantung) = 13/52 = ¼
Probabilita terpilihnya kartu berwarna merah ;
P (merah) = 26/52 = 1/2

RUANG SAMPEL/SAMPLE SPACE

Ruang sample adalah himpunan yang mempunyai unsur seluruh peristiwa atau kejadian.
Contoh :
a. Pelemparan mata uang
i. Pelemparan satu mata uang
Apabila satu mata uang dilempar, maka ada dua kemungkinan hasilnya,
apakah akan keluar sisi gambar atau akan keluar sisi angka. Sehingga yang
masuk sebagai ruang sample ada dua, yaitu sisi gambar dan sisi angka
ii. Pelemparan dua mata uang secara bersama-sama
Apabila dua mata uang dilempar secara bersamaan, maka ada beberapa
kemungkinan hasil yang akan keluar, yaitu ;


(Angka, Angka)



(Angka, Gambar)



(gambar, Angka)



(Gamba, Gambar)

Dengan demikian keempat kemungkinan tersebut adalah bagian dari ruang
sample.

b. Pelemparan dadu
Seluruh sisi yang mungkin keluar dalam pelemparan dadu akan masuk kedalam
ruang sample. Namun dapat dilakukan sub ruang sample, apabila ingin dibedakan
antara dadu bersisi ganjil dengan dadu yang bersisi genap.

EVENT ATAU PERISTIWA

Peristiwa atau event adalah kemungkinan terjadinya suatu kejadian dari suatu percobaan.
Misal:
Probabilita terjadi A atau disebut sebagai probabilita kejadian A, dituliskan :
P (A) =

n
, dimana ;
m

A : Peristiwa A
n : banyaknya peristiwa A
m : Jumlah seluruh peristiwa

Kemudian probabilita kejadian bukan A, dirumuskan sebagai berikut :

P( A )  1 

n
m

ASAS-ASAS MENGHITUNG PROBABILITA

1. Range Nilai Probabilita
0



P

( A

)



1

2. Complements - Probability of not A – Probabilita kejadian bukan A

P ( A )  1 P ( A)

3. Intersection - Probability Kejadian A dan B ( Persitiwa saling meniadakan)

P (A  B )  n(A  B )
n(S )
4. Union - Probability kejadian A atau B (Peristiwa mutually exlusive, tidak saling
meniadakan)

P ( A  B )  n( A  B )  P ( A)  P (B )  P ( A  B )
n(S )
Contoh Kasus :
a. Dari 52 kartu bridge, berapa probabilita terpilihnya kartu As atau Heart ?
Persitiwa terambilnya kartu As = P(A) = 4/52
Persitiwa terambilnya kartu Heart = P (H) = 13/52
Peristiwa terambilnya kartu As yang juga Heart = P (A dan H) = 1/52
Maka; P (A Atau H) = 4/52 + 13/52 -1/52 = 16/52 = 4/13

b. Berikut ini data sekelompok mahasiswa Jurusan Manajemen UIEU
Kelompok

Jenis Kelamin

Usia

I

Laki – laki

25 tahun

II

Laki – laki

19 tahun

III

Laki – laki

20 tahun

IV

Wanita

21 tahun

V

Wanita

18 tahun

Berapa probabilita terpilihnya mahasiswa yang memiliki usia lebih dari 20 tahun :
Probabilita terpilihnya karyawan wanita = P (W) = 2/5
Probabilita terpilihnya karyawan yang berusia lebih dari 20 tahun =
P( U) = 2/5
Probabilita terpilihnya karyawan wanita yang berusia lebih dari 20 tahun = 1/5
P (A atau B ) = 2/5 + 2/5 – 1/5 = 3/5

5. Marginal Probability

Marginal probability adalah persitiwa tanpa syarat, dimana peristiwa yang lain tidak ada
hubungannya dengan persitwa yang lainnya.
Probabilita terjadinya peristiwa A = P(A)
Probabilita terjadinya peristiwa B = P (B)

6. Joint Event

Joint event adalah terjadinya dua peristiwa secara bersama-sama atau secara berurutan.
Dimana P (AB) = P (BA) = P (A) P(B) tetapi aturan ini hanya dapat diterapkan apabila
peristiwa tersebut independen
Selain itu, apabila joint event mengikuti aturan yang diterapkan di Conditional
Probability maka akan menjadi atau apabila peristiwa tersebut tidak independent, maka:
P ( XY )  P( X )  P( X Y )

2. Conditional Probability

Conditional Probability adalah dimana suatu peristiwa terjadinya didahului oleh peristiwa
lainnya sebagai syarat .
Aturan dari Conditional Probability : P (Y X ) 

P ( XY )
P( X )

Contoh kasus :
Dalam satu kotak terdapat 10 buah bola, dimana 2 bola merah bergaris, 3 bola merah
kotak, 4 bola biru bergaris dan 1 bola biru kotak-kotak.
Pertanyaan:
a. Berapa probabilita terambilnya bola bergaris dengan syarat merah?
2
2
P(GM )
 10   0,4
P (G M ) 
5
5
P( M )
10
b. Berapa proabilita terambilnya bola kotak-kotak dengan syarat merah?
3
P( KM )
 10  0,6
P( K M ) 
5
P( M )
10
c. Berapa probabilita terambilnya bola bergaris dengan syarat biru?

P (G B) 

4
P(GB)
 10  0,8
5
P( B)
10

d. Berapa probabilita terambilnya bola kotak-kotak dengan syarat biru?

P( K B) 

1
P( KB )
 10  0,2
5
P( B)
10

BAYES’ THEOREM
Theorema Bayes pada dasarnya hamper sama dengan Conditional Probability, dan aturan pada
Bayes juga diturunkan dari aturan yang ada pada Conditional Probability.
Pada aturan Conditional Probability : P (Y X ) 

P(YX )
P( X )

Diketahui bahwa P(YX )  P(Y )  P(Y X )
Sehingga aturan bayes menjadi ; P (Y X ) 

P(Y )  P (Y X )
P( X )