X — dimensi 3 jarak titik garis bidang

  Dimensi Tiga (Jarak)

Setelah menyaksikan tayangan ini anda dapat

  Menentukan jarak antara unsur-unsur dalam ruang dimensi tiga Kita akan membahas jarak antara: titik ke titik titik ke garis titik ke bidang garis ke garis garis ke bidang bidang ke bidang

  Jarak titik ke titik

  Peragaan ini, menunjukan jarak titik A ke B, adalah panjang ruas garis yang menghubungkan titik A ke B

  A B Ja ra k du a tit ik

Contoh

  Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk a cm.

  Tentukan jarak titik A ke C, titik A ke G, dan jarak titik A ke tengah-tengah bidang EFGH

  A B C D H E F G a cm a cm a cm P

  Pembahasan

  Perhatikan segitiga ABC yang siku-siku di B, maka

  H G _{2 2} BC E AB 

  AC =

  F _{2 2} a cm a a 

  = ₂

  2 a

  =

  D C a cm A a

  2

  =

  B a cm a

  2 Jadi diagonal sisi AC = cm Jarak AG = ?

  Perhatikan segitiga ACG yang siku-siku di C, maka

  H G _{2 2} CG E AC 

  AG =

  F _{2 2} ( a 2 ) a a cm

  

  = _{2 2}

  2 a a 

  =

  D C ₂ a cm a

  3 A 3 a

  = =

  B a cm a

  3 Jadi diagonal ruang AG = cm

  

Jarak AP = ?

  Perhatikan segitiga AEP yang

  H P G

  siku-siku di E, maka

  E _{2 2} F EP AE 

  AP = _{2 1 2}

  a

  2 a  ₂  

  = _{2 2} D ₁ C

  a a  ₂

  =

  A a cm B _{3 2 1} a _{2 2} a

  6

  = = ₁

  a

  6 Jadi jarak A ke P = cm ² Jarak titik ke Garis

  Peragaan ini,

  A

  menunjukan

  is

  jarak titik A ke

  ar g

  garis g adalah

  an d

  panjang ruas garis

  ik tit k yang ditarik dari ra

  titik A dan tegak

  Ja lurus garis g g

  Contoh 1 H G E F _{5 cm} Diketahui kubus

  ABCD.EFGH dengan panjang

  D _{5 cm} C rusuk 5 cm.

  A B

  Jarak titik A ke rusuk HG adalah….

  Pembahasan H G E F _{5 cm} Jarak titik A ke rusuk HG adalah

  panjang ruas garis

  D _{5 cm} C AH , ( )

  A B a

  2 AH = (AH diagonal sisi)

  5

  2 AH =

  Jadi jarak A ke HG = 5√2 cm

  Contoh 2 H G E F _{6 cm} Diketahui kubus

  ABCD.EFGH dengan panjang

  D C A _{6 cm} rusuk 6 cm.

  B

  Jarak titik B ke diagonal AG adalah….

  H G Pembahasan

  E _{6√ 3 cm} F cm P _{6√ 2} Jarak B ke AG =

  D C

  jarak B ke P ( )

  A _{6 cm} B

  Diagonal sisi BG =

  G

  6√2 cm _{6√ 3 6√2} Diagonal ruang AG = 6√3 cm

  P ?

  Lihat segitiga ABG ₆ B A

  G

  Lihat segitiga ABG _{BG BP 6√ 3 6√2} Sin A = = _{AG AB}

  P _{6 2 BP} ?

  = _{6 3}

  6 ₆ B A ₍

₆

_{2 )( 6 ) x 3 }

  2 _{6 6} BP = _{6 3 3 3} BP = 2√6

  Jadi jarak B ke AG = 2√6 cm

  Contoh 3

  Diketahui T.ABCD

  T _m limas beraturan. _{√2 c} Panjang rusuk alas ₁₂

  12 cm, dan panjang rusuk tegak

  D C _{12 cm} 12√2 cm. Jarak A A B ke TC adalah….

  Pembahasan

  Jarak A ke TC = AP AC = diagonal persegi

  T

  = 12√2 _{2 2}

  6√ PC AC  _{c m}

  _{2 2} P (

  12 2 ) (

  6 2 )  _√2 = ₁₂ 6√

  2 2 ( 144 36 ) 2 . 108

   

  =

  D C 2 .

  3 .

  36

  6

  6 

  =

  12√2 _{12 cm} Jadi jarak A ke TC A B

  = 6√6 cm

  Contoh 4 H G P E F

  Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang

  D _{6 cm} C

  rusuk 6 cm dan

  A _{6 cm} B

  Titik P pada pertengahan FG.

  Jarak titik A dan garis DP adalah….

  Pembahasan _{3 cm} P H G P G F E F _{m c}

   Q _{6 √2}

  D _{6 cm} C A _{6 cm 6 cm} B D A _{2 2} R GP DG 

  DP = _{2 2}

  (

  6 2 )

  3 

  =

  72

  9

  9  

  =

  

  Pembahasan

  72

  9

  9 _{3 cm}  

  P

  DP =

  G F

  Luas segitiga ADP _{m c}

  Q

  ½DP.AQ = ½DA.PR _{6 √2}

  4

  9.AQ = 6.6√2 _{6 cm}

  D A R

  AQ = 4√2 Jadi jarak A ke DP = 4√2 cm

  Garis tegak lurus Bidang

  Garis tegak lurus

  g

  sebuah bidang jika garis tersebut

  a 

  tegak lurus dua

  V b

  buah garis berpo-

  g  a, g  b,

  tongan yang ter-

  Jadi g  V

  dapat pada bidang Jarak titik ke bidang

  Peragaan ini menunjukan jarak

  A

  antara titik A ke bidang V adalah panjang ruas garis yang

  

  menghubungkan

  V

  tegak lurus titik A ke bidang V

  Contoh 1 H G E

  Diketahui kubus

  F

  ABCD.EFGH dengan panjang

  D P C

  rusuk 10 cm

  A _{10 cm} B

  Jarak titik A ke bidang BDHF adalah….

  Pembahasan H

  Jarak titik A ke

  G E F

  bidang BDHF diwakili oleh panjang AP

  .(APBD) D P C

  AP = ½ AC

  (ACBD) A _{10 cm} B

  = ½.10√2 = 5√2

  Jadi jarak A ke BDHF = 5√2 cm

  Contoh 2

  Diketahui limas

  T

  segi-4 beraturan _m T.ABCD. _{12 c} Panjang AB = 8 cm dan TA = 12 cm.

  D C _{8 cm} Jarak titik T ke bidang ABCD A B adalah….

  Pembahasan

  Jarak T ke ABCD

  T

  = Jarak T ke _m perpotongan AC _{12 c} dan BD = TP

  D C P _{8 cm} AC diagonal persegi

  AC = 8√2

  A B

  AP = ½ AC = 4√2

  AP = ½ AC = 4√2

  T _{2 2} AP AT 

  TP = _{2 2}

  (

  4 2 ) 12  _{c m} = 32 144  ₁₂

  =

  112

  =

  D C P _{8 cm} = 4√7 A B

  Jadi jarak T ke ABCD = 4√7 cm

  Contoh 3 H G E F

  Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang

  D C rusuk 9 cm. A _{9 cm} B

  Jarak titik C ke bidang BDG adalah….

  Pembahasan H

  Jarak titik C ke

  G E F

  bidang BDG = CP yaitu ruas garis

  P

  yang dibuat melalui

  D C T

  titik C dan tegak

  A _{9 cm} B

  lurus GT CP = ⅓CE = ⅓.9√3 = 3√3 Jadi jarak C ke BDG = 3√3 cm Jarak garis ke garis

  Peragaan

  g

  menunjukan jarak

  P

  antara garis g ke garis h adalah panjang ruas garis yang menghubungkan

  Q h tegak lurus kedua

  garis tersebut

  Contoh H

  Diketahui kubus

  G E F

  ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 4 cm.

  D C

  Tentukan jarak:

  A _{4 cm} B

  a.Garis AB ke garis HG b.Garis AD ke garis HF c.Garis BD ke garis EG

  Penyelesaian

  Jarak garis:

  H G a.

  AB ke garis HG

  E F

  = AH ( AH AB,

  

   D C

  (diagonal sisi)

  = 4√2

  A _{4 cm} B

  b.AD ke garis HF = DH ( DH AD,

  

  

  = 4 cm

  Penyelesaian H G Q E F

  Jarak garis: b.BD ke garis EG

  = PQ (

  D 

  C P A _{4 cm} PQ EG B

  

  = AE = 4 cm

  

Jarak garis ke bidang

  Peragaan

  g

  menunjukan Jarak antara garis g ke bidang V adalah panjang ruas garis yang

  V

  menghubungkan

  tegak lurus garis

  dan bidang Contoh 1 H G E

  Diketahui kubus

  F

  ABCD.EFGH dengan panjang

  D P C

  rusuk 8 cm

  A _{8 cm} B

  Jarak garis AE ke bidang BDHF adalah….

  Pembahasan H

  Jarak garis AE ke

  G E F

  bidang BDHF diwakili oleh panjang AP

  .(AP AE D P C

  A _{8 cm} B

  AP = ½ AC )

  (ACBDHF

  = ½.8√2 = 4√2

  Jadi jarak A ke BDHF = 4√2 cm

  Jarak Bidang dan Bidang

  peragaan, _{W W} menunjukan jarak antara bidang W

  Ja ra dengan bidang V k D adalah panjang ua B _id ruas garis yang an _g tegak lurus _V bidang W dan tegak lurus bidang V Contoh 1 H G E F _{6 cm} Diketahui kubus

  ABCD.EFGH dengan panjang

  D C rusuk 6 cm. A _{6 cm} B

  Jarak bidang AFH ke bidang BDG adalah….

  Pembahasan H

  Jarak bidang AFH

  G E F

  ke bidang BDG

  Q _{6 cm}

  diwakili oleh PQ PQ = ⅓ CE

  P D C

  (CE diagonal ruang)

  A _{6 cm} B

  PQ = ⅓. 9√3 = 3√3

  Jadi jarak AFH ke BDG = 4√2 cm

  H G Contoh 2

  E F Diketahui kubus

  ABCD.EFGH

  M

  dengan panjang

  L D C

  rusuk 12 cm.

  K A _{12 cm} B

  Titik K, L dan M berturut-turut merupakan titik tengah BC, CD dan CG. Jarak antara bidang AFH dan KLM adalah….

  A B C D H E F G 12 cm

  Pembahasan

• Diagonal EC = 12√3
• Jarak E ke AFH =jarak AFH ke BDG =jarak BDG ke C

  Sehingga jarak E ke AFH = ⅓EC =⅓.12√3 = 4√3 Berarti jarak BDG ke C juga 4√3

  L

  H G E

  BDG ke C juga 4√3

  F

  Jarak BDG ke KLM

  M

  = jarak KLM ke C

  L D C

  = ½.4√3

  K A _{12 cm} B

  = 2√3

  Jadi jarak AFH ke KLM = jarak AFH ke BDG + jarak BDG ke KLM = 4√3 + 2√3 = 6√3 cm