MENYATAKAN MATRIKS DALAM BENTUK JORDAN.
MENYATAKAII MATR]KS DALAM BENTUK
JORDAN
TESTS
Oleh:
MI,IIIAMMAD CUNTUR
06 215 038
PROGRAM PASCASARJANA
UM!'ERSITAS ANDAIAS PADANG
2008
MENYATAKAN MATRI(S DAL{TI BINTUK JORDA]\I
Oleb: Mtrhammad Guitur
( I)ibawal binbiDgaD: Drl MadeA..rwr, M,Si dan Zulnkml. M.Si)
RINGI(-{SAN
Dia8onalisdi netup3lm sabl saru sub pokok bahaso dalan nEra kdi.n
aljabd
linid Diagonalis6i
schinega
r,1l
I
=D,
adalah salah satu
dinda D
adalah
cm nentarilm
nabjks A
fratjks diagonal Didaldn nmyarald
natriks dmgm cda diagonalisasi, te.dnpar $,arar peir dar symr culup ymg
harN dilenuni sqiaya fratsiks tersdbtrr bisa dinyarak dalm benruk diagonal
ditmulmya
yaitu
, bul
letaDi lidak sennia Datriks
Pada
nalrilc
nu
priNiDrya
saja
vckor cied yeg bebrs linier dari Datriks ,1.-
M
nenpuryai,
buah vettor
Dcrcllhr i benuiuan
ydE tdak bie didiagonalhn
untuk
l)
b,nd
drlm penel,tio ini
adalah snrdi
yang bebas
MclilDt arau nencari
ydg ridrl
2) Menbah mariks
bisa ddiaemaltan rdsebur *e dalan beiruk mariks
dieLnakan
eigen
lilemtu
Jodan
Merode
tdg dimbil ddi
yug
bqbagai
baik buku, jum.l, majdah atau nnnber laiD ymg nemadai arau curap
Lntul dipdgundnar sebagai bahu snb€r dalam Denyr$nm tesis
jug!berdaer*au h6il disktrsi
dengaD
doen pcDbimltnedan
6r
reind
Seltn itu
temanyans
Denpunyai nateri sebanding. Setehn semua bahs tercukui atau sudan
diangslpmemadai,dipclajariddd1pahd,n,tauntuknencapdxiuarpctua
dilarukan dengan
dd
linskah hnskh
murrDrisnas geomdd
'"(i).
Denctri nilal mnltipl,sns
r'ka kna pqoleh
aljabaol(r,)
."(.i) = ..(.{,). m.r,
rihr"eaeb', b'a
u,(4).
dj"drlan
mihr oiasorl
mata matdls rscbnt tida(
bis
rcmo
didiagonalhan
ddooaal. n,l.)
dd bna diubal
lie dalam
-
lmgkd:
Sed skm uftuk tujMn kedua dilahkar dengar ldEkh
mcncd natiks P ydA rcrdti ddi lcklor clecn ydg b€desuaid ddgh nilai
eigen dan gfleralized
a(4) -."(4)
eigfi voLor Gme.ilized
sdebr, didapar n,abik
p
eigen vector
dicai
d
gan caE
kdnudld d,cei inves dsi naniks p
teEebul Pada knglah t€€lhn dibual Denanraan P r AP = J, d nana J adalalr
Berdardkdr hasil
bdikur l) Unrut
dd
pcmbahasan. dapat
dapal nm8etaltui a!8lah
.!lop dhge men6i dlal
geonetsinla kenudim
dimbil ne!6pulm
rariks leaebut hNa dijorddkln
nuhlplisirB aljabtr
hdcd slfilnya
sebrgai
ds
nilai multitlkitd
2) Untuk nenjadiko $ntu nalrik
mfljadi malriks Jordm drlalurran dengad cara nencari matrik P yang bna
dibalik dan terdiri
dri rekor eigen dd
Dembmrdl peAamar P rAI =
J.
dim.a I
generallT€d eigen vedor, keNtrdidr
adalah matiks Jordai
ts,\B I
PF,]\'DAIII
TI ,I
]AN
lvlatemtika nenDakm suatu ilhu yog
(eilnN
yan8
koko\
selxnsga lidatl?h be ebihan
lredika( \ebaga ratlnya ilnru
dalam
t
mnilili shrktu
kar
oM
ratortika
dan sistematila
jila naremtita
diberi
banlEk nonrbenkar srnbangan
kemboeN,imn pengerahun da. reknologi Dalan keh'duDu ehrn
han pun bukan hanya
telrologi ela yang ndggdrlngka. din
pada rnaremanko,
Flapi jLr8a ilmu-ilinu lain F0edi nsik!, mehanika biolosi balrkan ilnu
pcnEdalnLdr sosial dalaD menpelajari'rra sennskali menbunrlrkan koNep
Dalefars
Hal nri
sc
al lralickar maremalika sebagai
luara kulial Aljabd
Lricr
ilnn
baDtu rqhadap ilDn
nicrupakan salah salu mara
kllr.li \ajib
di
Jdusa Marematka Pogran Pas6el]ara UniveNnas ,Andalrs Mrtr kul,lh
re*bul smgdr nehbdlu
kehirluDan sehari
sokali karda apl*aslrya sdgar
han Dcnrd rnentpclajdnya dihaopkan mahasisw
memiliki polapiljryang sistematis sehingga ne€k
yae dilmdapibaik
salah
adabn
bdral
a
dalo
dapat
dalat nemecah kan maslah
rnisalah akademnmauru non aradcmis.
sar matei ltaoa ying
&mdginatr*s Jila
drlan Duh kuliah aljdir linier
bicam Danrks, maka ingatan alan lanesune Denuju
ke ordo. n,ves. olcmsi pada
nalik
\\ala!N. dcmihd. nalriks il| tidik
scturqkall matriks jlu
lerdapar
dan
nenledcrl
hanya reryall'
at
sclruah
nratits
pa& masalol iturlu
diflmlGn nadr pokok bahaen Lain
saja.
au Daren lanr baik di
dakm linelup iLDU Datenatila
manpLm
ditE
linBlap ilnu nalematjka ntuk
tdseblt
mcntmtuaiaumenDcflnudalpen_velesajan.Dsalal
Diagonalsasi neruparan salah saru sub pokok bahasan dalam
aljabar
linier Diasonalisasi
sehingga
P
L,4P
=
adalah salah Mtu cara menyalalan
D, dimanr D
adaldn matriks
nariks dengd
da
hard dilenuhi
suFaya rnatriks terscbut bisa
yaitu d
sy
al
cukD ydrg
btral re*tor eigen ]ang beh6linier ddi Datiks
,
budr rekor
l-
.
eisen yds
hrier. sehin*a nutiks reEebut ridak bna didiaeona[
belakdg tadi r.lah discbu&d bahra tidak senla matik
Pada latar
di'irarakaD dilam beniuk
padn
tertue mabls A
dinyatalar drlan bmrul diag.nal
Tehpi idak EDua malils ru, yang Dmpunyai
Irebas
a kuiian
diagonal Didalam meuyataka
dia8onalisasi lerdapal sydal perlu dan
cndmF ,
m
nariks
D,
marriks yans iidak
di ag.n al
Sehingga
bis
kdcia I
dak di
rcnukdnla n burh vekror€iger
tinbul nedanym bagaimuakah
didiagonalkan Gdebur
bis
dalm
ca@ menyatakm
bentul< lain.
Penelnld ini dihaEpkan bemarlaar dalam meDbantu mmjadikm $utu
matnkske dalm
b6ldl lan j ika nmiiks
Unh( nembanru cm
tenebnt
ndyarald
lidal bnadidiagonalkd
seburli nainks ke
dalel benlul
iika ha[iks rorcb0r lidat dapal dinyalalin dalam bertuk diagonal
lain
BAB V
KESIMPI]LAN
Berdasarkd
I
U!tuk menut
dapat dilakukan
nuhinlisnd
hail dd
arau mencan
ddsa. caB
d,(4).,.(4),
2
kc
frabks nma eja yang tid.l bisa didngonalkd
nmdi
nilal nnhipl$its alabd
g@nft .,(.i,) r,ra lila
MIr_iks enebur bisa kna
nbah
pembaimm pada bab iv diperoleh ksinpukn
jadikd malJ*s
-ala'ahks
dalaD beDtuk matnks
jika kita
pdoleh
didiasonalkan dan
bis Hta
dia8otral. lerapi
teHcbur tidak
bia
Jordd
lvcrubah natrlks tanrj lidak hisa didiaeoialkdi ldsebut ke
maiiks Jordd dapai dilalakan dengnn
vector ei8en
y
ao frfr.an
d.lm
bemul
haniks P lang tddjn dari
e beEe$aim dengan nilai eigen dan genmlized eigdn ftkror
coeralized eieen ve*ror dicri dmsm
natik P kdudid
kita
pemch
dtur
'.(,,\)
,4(r,) = ,.(r,). nata
cm ,"(4) ' ,,(4),
kila cari iDve6 ddi natiks
buat pe6@ad P
' ,4P
= J.
dtuoa
P
redebui
Pada
J adalah natnks Jordm.
serclah didapar
ldskan
€ddn
DAFTAR PUSTAI(A
Aman,H
.(t9s), A,abot Lin.ar Ela,?,/er
Apostol
J
5, Erldgga: Jakna
M (r 997), tt?a/,4?s? htd, A Fn! cavse vith
Di|lete
Barrer,
Edis' ke
dot Equdtiah,
.Jlitw\tey &so
,
AC &H LPodeus0990). bnear Alsehrd
Adi""n"". j"
c:NewYork
and Difetehtidl
Depanenenlof MadrenaticsshefdeldCiqPolttechnic
cmru( M
( 2O0r ).
Jacob, B(1990),
Mdchd
Semesi.
rt
P.,tdrt4a'za" Mahk
sd.,1rserd,W.H
G F.R. (1977).
E (1991),
t
Denaan
Feme
titatia
s
Shemeld
Atu J.tddninsi, UPt
and CoDpmy
:
Neq york
?lt. fudo,r, O/D,tr,.er Ans chelsea
s'r,4rsebrd, A ae."'eti. APF)a., chapmar
tC
JORDAN
TESTS
Oleh:
MI,IIIAMMAD CUNTUR
06 215 038
PROGRAM PASCASARJANA
UM!'ERSITAS ANDAIAS PADANG
2008
MENYATAKAN MATRI(S DAL{TI BINTUK JORDA]\I
Oleb: Mtrhammad Guitur
( I)ibawal binbiDgaD: Drl MadeA..rwr, M,Si dan Zulnkml. M.Si)
RINGI(-{SAN
Dia8onalisdi netup3lm sabl saru sub pokok bahaso dalan nEra kdi.n
aljabd
linid Diagonalis6i
schinega
r,1l
I
=D,
adalah salah satu
dinda D
adalah
cm nentarilm
nabjks A
fratjks diagonal Didaldn nmyarald
natriks dmgm cda diagonalisasi, te.dnpar $,arar peir dar symr culup ymg
harN dilenuni sqiaya fratsiks tersdbtrr bisa dinyarak dalm benruk diagonal
ditmulmya
yaitu
, bul
letaDi lidak sennia Datriks
Pada
nalrilc
nu
priNiDrya
saja
vckor cied yeg bebrs linier dari Datriks ,1.-
M
nenpuryai,
buah vettor
Dcrcllhr i benuiuan
ydE tdak bie didiagonalhn
untuk
l)
b,nd
drlm penel,tio ini
adalah snrdi
yang bebas
MclilDt arau nencari
ydg ridrl
2) Menbah mariks
bisa ddiaemaltan rdsebur *e dalan beiruk mariks
dieLnakan
eigen
lilemtu
Jodan
Merode
tdg dimbil ddi
yug
bqbagai
baik buku, jum.l, majdah atau nnnber laiD ymg nemadai arau curap
Lntul dipdgundnar sebagai bahu snb€r dalam Denyr$nm tesis
jug!berdaer*au h6il disktrsi
dengaD
doen pcDbimltnedan
6r
reind
Seltn itu
temanyans
Denpunyai nateri sebanding. Setehn semua bahs tercukui atau sudan
diangslpmemadai,dipclajariddd1pahd,n,tauntuknencapdxiuarpctua
dilarukan dengan
dd
linskah hnskh
murrDrisnas geomdd
'"(i).
Denctri nilal mnltipl,sns
r'ka kna pqoleh
aljabaol(r,)
."(.i) = ..(.{,). m.r,
rihr"eaeb', b'a
u,(4).
dj"drlan
mihr oiasorl
mata matdls rscbnt tida(
bis
rcmo
didiagonalhan
ddooaal. n,l.)
dd bna diubal
lie dalam
-
lmgkd:
Sed skm uftuk tujMn kedua dilahkar dengar ldEkh
mcncd natiks P ydA rcrdti ddi lcklor clecn ydg b€desuaid ddgh nilai
eigen dan gfleralized
a(4) -."(4)
eigfi voLor Gme.ilized
sdebr, didapar n,abik
p
eigen vector
dicai
d
gan caE
kdnudld d,cei inves dsi naniks p
teEebul Pada knglah t€€lhn dibual Denanraan P r AP = J, d nana J adalalr
Berdardkdr hasil
bdikur l) Unrut
dd
pcmbahasan. dapat
dapal nm8etaltui a!8lah
.!lop dhge men6i dlal
geonetsinla kenudim
dimbil ne!6pulm
rariks leaebut hNa dijorddkln
nuhlplisirB aljabtr
hdcd slfilnya
sebrgai
ds
nilai multitlkitd
2) Untuk nenjadiko $ntu nalrik
mfljadi malriks Jordm drlalurran dengad cara nencari matrik P yang bna
dibalik dan terdiri
dri rekor eigen dd
Dembmrdl peAamar P rAI =
J.
dim.a I
generallT€d eigen vedor, keNtrdidr
adalah matiks Jordai
ts,\B I
PF,]\'DAIII
TI ,I
]AN
lvlatemtika nenDakm suatu ilhu yog
(eilnN
yan8
koko\
selxnsga lidatl?h be ebihan
lredika( \ebaga ratlnya ilnru
dalam
t
mnilili shrktu
kar
oM
ratortika
dan sistematila
jila naremtita
diberi
banlEk nonrbenkar srnbangan
kemboeN,imn pengerahun da. reknologi Dalan keh'duDu ehrn
han pun bukan hanya
telrologi ela yang ndggdrlngka. din
pada rnaremanko,
Flapi jLr8a ilmu-ilinu lain F0edi nsik!, mehanika biolosi balrkan ilnu
pcnEdalnLdr sosial dalaD menpelajari'rra sennskali menbunrlrkan koNep
Dalefars
Hal nri
sc
al lralickar maremalika sebagai
luara kulial Aljabd
Lricr
ilnn
baDtu rqhadap ilDn
nicrupakan salah salu mara
kllr.li \ajib
di
Jdusa Marematka Pogran Pas6el]ara UniveNnas ,Andalrs Mrtr kul,lh
re*bul smgdr nehbdlu
kehirluDan sehari
sokali karda apl*aslrya sdgar
han Dcnrd rnentpclajdnya dihaopkan mahasisw
memiliki polapiljryang sistematis sehingga ne€k
yae dilmdapibaik
salah
adabn
bdral
a
dalo
dapat
dalat nemecah kan maslah
rnisalah akademnmauru non aradcmis.
sar matei ltaoa ying
&mdginatr*s Jila
drlan Duh kuliah aljdir linier
bicam Danrks, maka ingatan alan lanesune Denuju
ke ordo. n,ves. olcmsi pada
nalik
\\ala!N. dcmihd. nalriks il| tidik
scturqkall matriks jlu
lerdapar
dan
nenledcrl
hanya reryall'
at
sclruah
nratits
pa& masalol iturlu
diflmlGn nadr pokok bahaen Lain
saja.
au Daren lanr baik di
dakm linelup iLDU Datenatila
manpLm
ditE
linBlap ilnu nalematjka ntuk
tdseblt
mcntmtuaiaumenDcflnudalpen_velesajan.Dsalal
Diagonalsasi neruparan salah saru sub pokok bahasan dalam
aljabar
linier Diasonalisasi
sehingga
P
L,4P
=
adalah salah Mtu cara menyalalan
D, dimanr D
adaldn matriks
nariks dengd
da
hard dilenuhi
suFaya rnatriks terscbut bisa
yaitu d
sy
al
cukD ydrg
btral re*tor eigen ]ang beh6linier ddi Datiks
,
budr rekor
l-
.
eisen yds
hrier. sehin*a nutiks reEebut ridak bna didiaeona[
belakdg tadi r.lah discbu&d bahra tidak senla matik
Pada latar
di'irarakaD dilam beniuk
padn
tertue mabls A
dinyatalar drlan bmrul diag.nal
Tehpi idak EDua malils ru, yang Dmpunyai
Irebas
a kuiian
diagonal Didalam meuyataka
dia8onalisasi lerdapal sydal perlu dan
cndmF ,
m
nariks
D,
marriks yans iidak
di ag.n al
Sehingga
bis
kdcia I
dak di
rcnukdnla n burh vekror€iger
tinbul nedanym bagaimuakah
didiagonalkan Gdebur
bis
dalm
ca@ menyatakm
bentul< lain.
Penelnld ini dihaEpkan bemarlaar dalam meDbantu mmjadikm $utu
matnkske dalm
b6ldl lan j ika nmiiks
Unh( nembanru cm
tenebnt
ndyarald
lidal bnadidiagonalkd
seburli nainks ke
dalel benlul
iika ha[iks rorcb0r lidat dapal dinyalalin dalam bertuk diagonal
lain
BAB V
KESIMPI]LAN
Berdasarkd
I
U!tuk menut
dapat dilakukan
nuhinlisnd
hail dd
arau mencan
ddsa. caB
d,(4).,.(4),
2
kc
frabks nma eja yang tid.l bisa didngonalkd
nmdi
nilal nnhipl$its alabd
g@nft .,(.i,) r,ra lila
MIr_iks enebur bisa kna
nbah
pembaimm pada bab iv diperoleh ksinpukn
jadikd malJ*s
-ala'ahks
dalaD beDtuk matnks
jika kita
pdoleh
didiasonalkan dan
bis Hta
dia8otral. lerapi
teHcbur tidak
bia
Jordd
lvcrubah natrlks tanrj lidak hisa didiaeoialkdi ldsebut ke
maiiks Jordd dapai dilalakan dengnn
vector ei8en
y
ao frfr.an
d.lm
bemul
haniks P lang tddjn dari
e beEe$aim dengan nilai eigen dan genmlized eigdn ftkror
coeralized eieen ve*ror dicri dmsm
natik P kdudid
kita
pemch
dtur
'.(,,\)
,4(r,) = ,.(r,). nata
cm ,"(4) ' ,,(4),
kila cari iDve6 ddi natiks
buat pe6@ad P
' ,4P
= J.
dtuoa
P
redebui
Pada
J adalah natnks Jordm.
serclah didapar
ldskan
€ddn
DAFTAR PUSTAI(A
Aman,H
.(t9s), A,abot Lin.ar Ela,?,/er
Apostol
J
5, Erldgga: Jakna
M (r 997), tt?a/,4?s? htd, A Fn! cavse vith
Di|lete
Barrer,
Edis' ke
dot Equdtiah,
.Jlitw\tey &so
,
AC &H LPodeus0990). bnear Alsehrd
Adi""n"". j"
c:NewYork
and Difetehtidl
Depanenenlof MadrenaticsshefdeldCiqPolttechnic
cmru( M
( 2O0r ).
Jacob, B(1990),
Mdchd
Semesi.
rt
P.,tdrt4a'za" Mahk
sd.,1rserd,W.H
G F.R. (1977).
E (1991),
t
Denaan
Feme
titatia
s
Shemeld
Atu J.tddninsi, UPt
and CoDpmy
:
Neq york
?lt. fudo,r, O/D,tr,.er Ans chelsea
s'r,4rsebrd, A ae."'eti. APF)a., chapmar
tC