Zona Fisika | Blogger Lampung Tengah
Klaksifikasi Hadron dan Meson sebagai
Representasi Uniter pada Sistem Partikel
Elementer
Mulyadi
NPM : 0399020527
Departemen Fisika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Indonesia
Depok 2004
Halaman Persetujuan
Skripsi : Klaksifikasi Hadron dan Meson sebagai Representasi Uniter pada
Sistem Partikel Elementer
Nama : Mulyadi
NPM : 0399020527
Skripsi ini telah diperiksa dan disetujui
Pembimbing
Dr.Terry Mart
Penguji I
Penguji II
Dr. Anto Sulaksono
Dr. L.T. Handoko
Kata Pengantar
Partikel-partikel Subnuklir merupakan kumpulan partikel yang unik. Salah satunya adalah karena beberapa sifat istimewa yang terkait satu sama lain melalui
kesimetrian. Kesimetrian partikel-patrikel ini dapat dipelajari dalam suatu topik
pembelajaran di Fisika yang kerap dikenal sebagai Teori Grup. Sesungguhnya
Teori Grup bukan hanya membahas representasi dan klaksifikasi ”cantik” dari
partikel-partikel subnuklir, namun pada sistem many-body lainnya seperti pada
molekul-molekul dapat dipelajari melalui Teori Grup.
Tepat tanggal 1 juni 2002, Saya ingat pertama kali bertemu Pak Terry di
Salemba untuk membicarakan masalah tugas akhir, karena saya tertarik di bidangnya beliau, Fisika Nuklir-Partikel teoritik. Saya tidak menyangka, karena banyak
masalah dan lain-lain tugas akhir saya terbengkalai sampai bulan maret tahun
ini. Tentu saja topik yang saya bawakan berbeda dengan yang seharusnya saya
dapat kalau saya memulai Skripsi 2 tahun silam. Pemilihan topik ini sangat baik
dilakukan oleh Pak Terry, karena Grup Fisika teoritik di Jurusan kita memang
membutuhkan pengetahuan tersebut, karena ternyata banyak jurnal ilmiah di
bidang nuklir-partikel teoritik ternyata tidak terlepas dengan pembahasan Grup
seperti yang baru saja dilakukan ”Bapak” Nofirwan, S.si pada tugas akhir beliau
semester lalu.
Melalui Kata Pengantar ini, Penulis hendak mengucapkan terima kasih yang
setulusnya kepada pak Terry yang telah dengan sabar dan setia menanti saya
untuk mengerjakan tugas akhir saya, walaupun saya sudah beberapa kali ”bolos”
dari Fisika. Terima kasih juga pada Pak Handoko yang banyak memberi masukan
dan berperan sebagai pembimbing ”tak resmi” saya. Tidak lupa saya ucapkan
terima kasih pada Pak Anto yang sangat mendukung dan memberi semangat
pantang mundur pada para mahasiswa. Selain dosen-dosen di grup kita, Saya
juga hendak mengucapkan terima kasih pada dosen-dosen lainnya yang secara
tidak langsung telah berjasa bagi saya antara lain: Pak Chairul Bahri, yang sangat mendukung mahasiswa grup kita, termasuk saya untuk tetap bekerja keras
iii
di Fisika ; Pak Rachmat W.Adi, yang sangat memberi dukungan moral terhadap
studi saya di jurusan Fisika UI; Pak Herbert P.Simanjuntak, yang sangat mempengaruhi apresiasi saya terhadap Fisika; Pak M.Hikam, yang mempercayai saya
menjadi asisten untuk mata kuliah Fisika statistik; Ibu Rosari Saleh, alias ibu
”Oca”, yang banyak memberikan masukan-masukan mengenai hal-hal lain di luar Fisika selama saya kuliah dengan beliau; dan segenap dosen-dosen lain yang
saking banyaknya tidak bisa saya sebutkan satu-persatu. Dari pihak mahasiswa,
saya tak lupa ucapkan terima kasih kepada, ”Pak” Nofirwan, S.si; Julio, S.si;
Freddy Simanjuntak, S.si; Anton wiranata; Yunita; Nowo Riveli; Ardi mustofa;
dll
Demikian halnya semua yang saya katakan, semoga isi skripsi ini bermanfaat
dan mohon maaf jika ditemukan kesalahan, karena tidak mudah untuk menghindar dari kesalahan.
iv
Daftar Isi
Halaman Persetujuan
ii
Kata Pengantar
iii
Daftar Isi
v
Daftar Gambar
vii
Daftar Tabel
viii
1 Pendahuluan
1
1.1
Latar Belakang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.2
Perumusan Masalah
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.3
1.4
Metode Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Tujuan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
6
2 Tinjauan Pustaka
2.1
2.2
7
Elemen-elemen Teori Grup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
2.1.1
Definisi Grup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
2.1.2
Subgrup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
2.1.3
2.1.4
Isomorfisme dan Homomorfisme . . . . . . . . . . . . . . .
Kelas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
12
2.1.5
Perkalian Langsung Grup . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
Representasi Linier Grup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
2.2.1
2.2.2
Definisi Representasi Grup . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Representasi Matriks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
16
2.2.3
Representasi Ekivalen
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
2.2.4
Representasi Uniter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
2.2.5
Representasi Iredusibel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
2.2.6
Perkalian langsung Representasi . . . . . . . . . . . . . . .
20
v
2.2.7
Perkalian Luar Representasi . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
2.2.8
Perkalian Dalam . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
3 Grup Lie
29
3.1
Transformasi infinitesimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
3.2
3.3
Konstanta Struktur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Generator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
34
3.4
Grup Simpel dan Semi-Simpel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
3.5
Aljabar Simpel dan Semi-simpel . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
3.6
3.7
Beberapa contoh Grup Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Kekompakan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
47
3.8
Penjumlahan langsung dan Semi-langsung dari Aljabar Lie . . . .
48
3.9
Representasi Kontradingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
4 Hasil dan Pembahasan
51
4.1
Sifat umum Grup-grup Uniter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
4.2
4.3
Grup SU(2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Homomorfisme SU(2) dengan R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54
55
4.4
Multiplet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
58
4.5
Grup SU(3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
59
4.5.1
4.5.2
Transformasi Infinitesimal . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Osilator harmonik 3 dimensi . . . . . . . . . . . . . . . . .
59
64
4.5.3
Diagram Bobot untuk representasi fundamental . . . . . .
66
4.5.4
Pelabelan irreps SU(3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
68
4.5.5
Representasi Kompleks Konjugat . . . . . . . . . . . . . .
76
4.5.6
4.5.7
Klaksifikasi Hadron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Klaksifikasi Meson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
79
83
4.5.8
Formula massa Gell-Mann – Okubo . . . . . . . . . . . . .
86
Grup di atas SU(3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
90
4.6.1
90
4.6
Kuark dengan citarasa dan spin . . . . . . . . . . . . . . .
Daftar Acuan
94
vi
Daftar Gambar
4.1
Diagram Bobot Representasi Fundamental SU(3) . . . . . . . . .
68
4.2
4.3
Aksi dari operator tangga pada bidang I3-Y . . . . . . . . . . . .
Diagram Bobot Tipikal suatu representasi SU(3) dengan λ = 6
68
dan µ = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
75
4.4
Kontur dari suatu diagram bobot . . . . . . . . . . . . . . . . . .
76
4.5
Diagram Bobot Tipikal SU(3) untuk (λµ)=(11) λ = 6. Diagram
bobot memiliki multiplisitas 2 yang ditandai titik yang dilingkari
Diagram Bobot Tipikal suatu representasi kompleks konjugat ¯3
77
SU(3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
79
4.6
π
1+
).
2
P
π
. . .
83
4.8 (a)Meson pseudoskalar J = 0− .(b) Meson vektor J P = 1 . . . .
4.9 Plot Chew-Frautschi dari keadaan-keadaan q q¯ yang menunjukkan
85
momentum sudut orbital, L terhadap kuadrat massa . . . . . . .
87
4.7
(a)Oktet Baryon (J =
(b) Dekuplet Baryon (J =
3+
)
2
−
vii
Daftar Tabel
1.1
Beberapa kesimetrian dalam Fisika . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1
Tabel perkalian grup S3
3.1
Sifat matriks yang relevan terhadap definisi bermacam grup kontinu 43
3.2
Macam-macam Grup Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
4.1
Nilai-nilai Konstanta dklm yang didefinisikan menurut dan . . . .
63
4.2
4.3
Kemungkinan nilai-nilai Y dan I untuk . . . . . . . . . . . . . . .
Karakteristik baryon-baryon bermassa rendah . . . . . . . . . . .
73
82
4.4
Dimensi dari irreps SU(N). Partisi yang dilarang ditandai dengan * 91
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
viii
5
10
Bab 1
Pendahuluan
Alam semesta kita ini sangat menarik dan unik. Salah satu ”keajaiban” alam
yaitu terdapatnya kesimetrian. Kesimetrian merupakan atribut alamiah dalam
dunia fisis dan oleh karena itu merupakan titik awal dari segala hukum fisis.
Untuk mempelajari kesimetrian , Kita akan menggunakan Teori Grup, karena
teori grup merupakan cabang matematika yang cocok untuk mempelajari kesimetrian sistem-sistem fisis. Dasarnya adalah Hamiltonian ataupun Lagrangian
dari sistem, karena kesimetrian suatu sistem fisis dinyatakan oleh Lagrangian dan
Hamiltonian sistem tersebut. Teori Grup dapat menjelaskan berbagai keteraturan sifat dan besaran fisis yang teramati dan dapat membantu menyederhanakan
dan menyatukan hukum fisika dari sistem-sistem yang jelas berbeda. Teori grup
merupakan ”alat” yang bermanfaat untuk memahami perilaku sistem dimana terdapat kesimetrian di dalamnya. Berkaitan dengan kesimetrian, dalam skripsi ini
juga akan dibahas mengenai kesimetrian yang dipelajari dalam mekanika kuantum. Mula-mula terdapat kesimetrian permutasi untuk partikel identik, yang
tekait pada grup simetrik. Peran dari grup simetri ini adalah untuk menjamin
bahwa fungsi gelombang partikel dapat mencakup sifat ketidakdapat-terbedakan
secara tepat dan sesuai. Selain itu Kesimetrian juga merupakan sifat alamiah
dari alam , karena beberapa hal cenderung memiliki preferensi yang sama.
1.1
Latar Belakang
Ide awal dari teori grup sebagai cabang dari ilmu matematika berawal pada awal abad 19. Pada akhir abad 19, dan awal abad 20, perkembangan teori grup
secara signifikan dilakukan oleh Frobenius, Schur, Lie, dan Cartan. Peran teori
grup secara esensial baru disadari pada sekitar tahun 1920-an, bersamaan dengan pengembangan teori representasi dari Grup, yang sangat terkait erat dengan
1
mekanika kuantum.
Pada zaman sekarang, dalam perkembangan fisika modern, khususnya pada
bidang fisika energi tinggi, kesimetrian memainkan peran yang sangat penting
dan sangat diperlukan. Saat ini, para fisikawan percaya bahwa semua interaksi
fundamental dapat dideskripsikan melalui teori gauge, yaitu teori yang menjelaskan kesimetrian gauge. Aspek lain yang tak kalah penting adalah perluasan
teori dari grup Lie ke pembahasan kesupersimetrian. Konsep-konsep ini sedang
diaplikasikan ke fisika partikel, teori medan kuantum (Quantum Field Theory),
dan gravitasi dalam bentuk teori string dan superstring. Latar belakang pemilihan topik ini adalah untuk mempelajari topik Teori Grup secara literatur dan
menggunakannya dalam representasi uniter untuk kasus partikel-partikel subnuklir.
1.2
Perumusan Masalah
Dalam mekanika kuantum, terdapat 5 macam kesimetrian . Beberapa diantaranya
dan konsekuensinya diringkas pada tabel 1.1.
1. Kesimetrian permutasi diskret
Dalam mekanika kuantum, nilai ekspektasi besaran-besaran fisika tidak
berubah terhadap permutasi partikel-partikel identik. Transformasi permutasi membentuk sebuah grup yang disebut grup simetrik Sn
2. Kesimetrian ruang-waktu kontinu
(a) Translasi dalam ruang
r′ = r + ρ
(1.1)
Dalam kasus ini kesimetrian terjadi berdasarkan asumsi kehomogenan
ruang. Ini artinya kita dapat memilih sembarang koordinat titik asal,
atau dengan kata lain : Tidak terdapat posisi absolut. Hal ini berlaku
untuk sistem terisolir dan mengakibatkan potensial interaksi antara 2
partikel tidak bergantung pada pemilihan titik asal koordinat sistem.
Konsekuensi dari kesimetrian ini adalah hukum kekekalan momentum
linier.
2
(b) Translasi waktu
t′ = t + t0
(1.2)
Kesimetrian terjadi berdasarkan asumsi kehomogenan waktu. Ini artinya
waktu awal dapat dipilih secara sembarang, suatu fenomena fisis dapat
dilakukan pada sembarang waktu, atau dengan kata lain: Tidak terdapat waktu absolut. Hal ini berlaku untuk sistem yang konservatif,
dimana medan luar tidak bergantung waktu. Lagrangian dan Hamiltonian sistem yang demikian tidak bergantung waktu dan konsekuensi
dari kesimetrian ini adalah hukum kekekalan energi.
(c) Rotasi dalam ruang 3 dimensi
x′ = Rij xj (i, j = 1, 2, 3)
(1.3)
dimana xi adalah komponen-komponen dari suatu vektordan Rij adalah
matriks rotasi. Kesimetrian rotasi berasal dari asumsi keisotropikan
ruang atau ketiadaan preferensi arah. Kesimetrian ini juga menunjukkan bahwa sifat dari suatu sistem tidak bergantung pada orientasi sistem tersebut di dalam ruang. Konsekuensi dari kesimetrian ini
adalah hukum kekekalan momentum angular.
(d) Transformasi Lorentz
x′µ = Λµν xν (µ, ν = 0, 1, 2, 3)
(1.4)
dimana xν merupakan suatu titik di dalam ruang-waktu Minkowski.
Persamaan(1.4) merupakan transformasi Lorentz antara 2 sistem yang
bergerak relatif secara beraturan. Dalam relativitas khusus, Hukumhukum fisis diformulasikan sedemikian sehingga hukum tersebut identik untuk semua kerangka acuan inersial. Dalam batas non relativistik,
hukum fisika invarian terhadap transformasi galileo, yaitu bahwa tidak
terdapat kecepatan absolut. Konsekuensi dari kesimetrian ini adalah
hukum kekekalan yang terkait dengan generator dari grup Lorentz.
3. Kesimetrian ruang-waktu diskret
(a) Pembalikan ruang (pencerminan), P , dimana
P r = r′ = −r
3
(1.5)
Dalam mekanika kuantum, operasi pembalikan ruang didefinisikan oleh
operator uniter yang menghasilkan suatu bilangan kuantum yang disebut paritas, yang selalu kekal pada setiap interaksi alam, kecuali pada
interaksi lemah.
(b) Pembalikan waktu, T , dimana
t → −t
(1.6)
Ini adalah perubahan arah aliran waktu. Diperkenalkan dalam mekanika kuantum oleh Wigner tahun 1932. Hukum-hukum fisika secara
umum simetrik terhadap waktu, kecuali misalnya untuk peluruhan
K0
(c) Transformasi-transformasi simetri dari point groups, yang merupakan
jenis transformasi dimana paling sedikit satu buah titik dari suatu
sistem benda dalam ruang yang tetap pada posisinya, dan titik pada benda tersebut menempati posisi yang sama setelah transformasi.
Contohnya: rotasi terhadap sumbu tetap dan pencerminan terhadap
suatu bidang.. Untuk material yang tak berhingga (tak tercacah),
sepeti kisi kristal, translasi terhadap segmen tertentu juga temasuk
agar diperoleh kesimetrian dasar dalam fisika molekul dan zat padat.
4. kesimetrian besaran internal kontinu
Berkaitan dengan transformasi-transformasi yang bekerja dalam ruang derajat kebebasan intrinsik pada partikel-partikel subnuklir, sebagai contoh,
spin, cita rasa (flavor), color. Flavor F merupakan suatu derajat kebebasan
yang bergantung pada beberapa derajat kebebasan lainnya yaiu: isospin I,
hypercharge Y ,Charm C,Beauty B, dan Topness T . Kesimetrian internal lebih sulit untuk dipelajari karena tidak nyata bila dibandingkan
dengan Grup simetri. Pengalaman menunjukkan bahwa beberapa transformasi yang relevan akan membentuk grup yang uniter. Secara khusus,
Keinvarianan terhadap transformasi-transformasi yang dideskripsikan dengan grup uniter U (1) akan menghasilkan kekekalan bilangan muatan dan
partikel (khusus untuk Lepton, dan Baryon). Kesimetrian isospin dari interaksi kuat, yang dideskripsikan oleh SUI (2), merupakan pengejawantahan
dari (hampir) kedegenerasian massa proton dan neutron. Bentuk alternatif
lainnya adalah kesimetrian SUF (2) yang menjelaskan kedegenerasian massa
kuark up dan down.
4
Asumsi teoritik
Transformasi simetrik
Konsekuensi
Ketidakterbedakan partikel identik
Kehomogenan Ruang
Kehomogenan Waktu
Keisotropikan Ruang
Ketiadaan kecepatan absolut
Permutasi
Translasi Ruang
Translasi Waktu
rotasi 3 dimensi
Transformasi Lorentz
Statistik Fermi-Dirac
Kekekalan Momentum Linier
Kekekalan Energi
Kekekalan Momentum Angular
Kekekalan Generator Grup Lorentz
Tabel 1.1: Beberapa kesimetrian dalam Fisika
5. kesimetrian besaran internal diskret.
(a) Konjugasi muatan, C. Dengan transformasi ini, tanda suatu muatan
listrik berubah dari positif ke negartif dan sebaliknya. Ini merupakan
kesimetrian antara partikel dan antipartikel. Dalam kerangka kerja
persamaan Dirac, konjugasi muatan merupakan operator antiuniter ,
tetapi dalam teori medan merupakan operator uniter. Eksperimeneksperimen yang mengkonfirmasi ketidakkekalan paritas dalam interaksi lemah juga memberi bukti terhadap C-violation atau keasimetrian
partikel dan antipartikel.
(b) Paritas-G. Transformasi yang terkait dengan kesimetrian ini merepresentasikan konjugasi muatan yang dikombinasikan dengan rotasi sebesar π di dalam ruang isospin suatu partikel. Dalam interaksi kuat,
paritas-G terkekalkan.
Dalam skripsi ini, pembahasan masalah akan dititik beratkan kepada jenis kesimetrian besaran intrinsik kontinu yang terkait langsung dengan Grup Lie kompak
yang akan dibahas mendetail pada bab 3. Sedangkan pembahasan utama akan
mengacu pada klaksifikasi Hadron dan Meson menurut representasi uniter
sebagai aplikasi fisis Grup Lie kompak pada partikel-partikel elementer berenergi
tinggi.
5
1.3
Metode Penelitian
Penelitian yang dilakukan di sini sifatnya hanya teoritik. Karena itu diperlukan
suatu kerangka kerja yang sistematis dalam menerangkan proses-proses fisika yang
terjadi. Kerangka kerja teoritik yang digunakan adalah teori grup dengan bersumber pada beberapa literatur utama, dan karena skripsi ini sifatnya studi literatur,
maka akan terdapat banyak landasan teori dan tinjauan pustaka yang menyertai
sebagai pendahuluan yang komplit terhadap pembahasan utama yang singkat
1.4
Tujuan
Tujuan penelitian ini adalah mempelajari kesimetrian besaran-besaran intrinsik
partikel subnuklir yaitu hadron dan meson melalui teori representasi terutama
melalui representasi yang uniter.
6
Bab 2
Tinjauan Pustaka
2.1
Elemen-elemen Teori Grup
Terdapat beberapa definisi dan pemahaman dasar dalam Teori Grup, antara lain
definisi grup itu sendiri, pengertian kelas, subgrup, dan perkalian langsung.
2.1.1
Definisi Grup
Suatu himpunan G yang terdiri dari elemen-elemen transformasi g membentuk
suatu grup jika memenuhi syarat-syarat berikut:
1. Hasil dari penerapan sembarang transformasi secara berturut-turut
g1 ∈ G,
g2 ∈ G
merupakan suatu transformasi baru yang juga terdapat di dalam himpunan
tersebut:
g1 g2 = g ∈ G
(2.1)
Relasi ini disebut produk atau hukum komposisi
2. Hukum komposisi memenuhi sifat asosiatif untuk semua g1 , g2 , g3 ∈ G,
(g1 g2 )g3 = g1 (g2 g3 )
(2.2)
3. Salah satu elemen transformasi merupakan elemen identitas, yaitu bahwa
e ∈ G sedemikian sehingga
ge = eg = g
7
(2.3)
4. Kalau suatu elemen transformasi terdapat dalam himpunan tersebut, maka invers dari transformasi itu juga terdapat dalam himpunan tersebut
sedemikian sehingga:
gg −1 = g −1 g = e
(2.4)
Walaupun sifat asosiatif berlaku untuk semua grup, maka tidak demikian halnya
dengan sifat komutatif. Namun terdapat grup yang memnuhi sifat komutatif,
yang disebut grup abelian. Secara umum, dilihat dari kuantitas elemen dalam
suatu grup, maka grup dapat dibagi menjadi 2 jenis utama, yaitu: (1) Grup
berhingga (finite groups), (2) Grup tak berhingga (infinite groups).
Grup berhingga
Grup berhingga merupakan suatu grup dengan jumlah elemen yang berhingga
N , dengan N menyatakan orde dari grup tersebut. Ada beberapa contoh Grup
berhingga, 2 diantaranya adalah : Grup titik (Point groups) dan Grup simetrik
(Symmetric groups)
1. Grup titik (Point groups)
Grup ini terkait dengan kesimetrian benda dimana minimal satu titik tetap
pada posisi semula setelah proses transformasi terjadi. Transformasi-transformasi
dalam grup ini tidak merubah jark dan dapat dibangun dari 3 jenis transformasi dasar:
(a) Rotasi sudut tertentu terhadap sumbu tertentu
jika sudutnya 2π/n, transformasi tersebut ditandai dengan Cn .
(b) Refleksi terhadap bidang
(c) Translasi
kesimetrian ini terjadi hanya pada benda tak berhingga yang merupakan ekstrapolasi dari benda yang nyata
2. Grup simetrik (Symmetric groups)
Peran Grup simetrik adalah menyediakan fungsi-fungsi gelombang yang
mencakup sifat keidentikan partikel secara tepat dengan memperhitungkan
semua derajat kebebasan sistem. Transformasi yang terdapat dalam Grup
simetrik adalah permutasi, yang menyatakan pertukaran partikel-partikel
8
pembentuk sistem. Semua permutasi yang mungkin dari sekumpulan partikel membentuk Grup simetrik. Sebuah sistem partikel identik dideskripsikan dengan fungsi gelombang yang bersifat simetrik untuk boson dan antisimetrik untuk fermion. Pandang n objek dalam urutan 1,2,..,n. Permutasi
menyatakan transisi dari urutan demikian menjadi urutan lain, a1 , a2 , ..., an .
Notasi untuk transisi ini adalah:
¶
µ
1 2 ... n
Pa =
a1 a2 ... an
(2.5)
Pada persamaan di atas, elemen-elemen dalam suatu kolom dapat saling
dipertukarkan, yang artinya kita dapat mulai dari urutan awal sembarang,
namun kita selalu melakukan pertukaran dari urutan i ke ai . Contoh:
µ
¶
1 2 3 4 5
Pa =
(2.6)
5 3 2 1 4
Jika permutasi di atas ini bekerja pada fungsi gelombang 5-partikel, kita
akan peroleh
Pa ψ(1, 2, 3, 4, 5) = ψ(5, 3, 2, 1, 4)
(2.7)
Permutasidari n objek menghasilkan suatu grup berorde N = n! , dengan
elemen identitas:
Pe =
¶
µ
1 2 ... n
1 2 ... n
µ
a1 a2 ... an
1 2 ... n
(2.8)
Sedangkan invers dari sembarang elemen Pa adalah
Pa−1
=
¶
Jika dalam grup terdapat suatu elemen permutasi lain
µ
¶
a1 a2 ... an
Pb =
b1 b2 ... bn
(2.9)
(2.10)
maka penerapan Pa dan Pb secara berturut-turut, kita akan dapatkan permutasi lain (yang juga merupakan elemen dari grup)
¶
µ
1 2 ... n
Pc = Pb Pa
b1 b2 ... bn
9
(2.11)
e
(12)
(13)
(23)
(123)
(132)
e
(12)
(13)
(23)
(123)
(132)
e
(12)
(13)
(23)
(123)
(132)
(12)
e
(123)
(132)
(13)
(23)
(13)
(132)
e
(123)
(23)
(12)
(23)
(123)
(132)
e
(12)
(13)
(123)
(23)
(12)
(13)
(132)
e
(132)
(13)
(23)
(12)
e
(123)
Tabel 2.1: Tabel perkalian grup S3
Sebagai contoh:
Pc
=
=
=
µ
µ
µ
1 2 3 4 5
4 3 5 1 2
5 3 2 1 4
2 5 3 4 1
1 2 3 4 5
2 5 3 4 1
¶µ
¶µ
1 2 3 4 5
5 3 2 1 4
1 2 3 4 5
5 3 2 1 4
¶
¶
¶
(2.12)
Grup S3 merupakan salah satu contoh grup permutasi yang cukup sederhana
dan baik untuk dipelajari. Ada 3!=6 elemen grup S3 yaitu:
¶
µ
¶
µ
µ
1
1 2 3
1 2 3
, (13) =
, (12) =
e =
3
2 1 3
1 2 3
¶
µ
¶
µ
µ
1 2 3
1 2 3
, (132) =
, (123) =
(23) =
2 3 1
1 3 2
2 3
2 1
¶
1 2 3
3 1 2
¶
(2.13)
Dari grup ini dapat dirancang tabel perkalian grup yang mengatur aturan perkalian
antar elemen grup seperti yang diperlihatkan pada tabel (2.1):
Grup tak berhingga
Terdapat pula grup dengan banyak elemen tak berhingga. Grup semacam ini
terpecah ke dalam 2 kategori
1. Grup Diskrit
memiliki elemen yang dapat dicacah karena dari satu elemen ke elemen lain
terdapat perbedaan yang jelas
2. Grup Kontinu
memiliki elemen yang kontinu sehingga antara satu elemen ke elemen lain,
10
terdapat banyak sekali elemen sehingga perbedaannya tidak jelas (kontinu).
Namun pada skripsi ini, penekanan akan dilakukan pada grup kontinu dengan jumlah parameter berhingga.
2.1.2
Subgrup
Dari elemen-elemen grup kontinu G maupun diskrit, kita dapat memilih suatu
subset H dan menuliskan
H ⊂ G atau G ⊃ H
(2.14)
untuk mengsimbolisasikan bahwa subset H terkandung dalam G. Jika subset H
sendiri membentuk grup, maka H disebut subgrup dari G
Koset
Jika g merupakan salah satu elemen dari G, maka kita dapat membentuk himpunan elemen-elemen gH dengan mengalikan g dengan semua elemen H, maka
terdapat korespondensi satu - satu antara H dan gH. Jika g ∈ H maka gH
sendiri merupakan subgrup. Namun jika g ∈ G dan tidak dikandung oleh h, ma-
ka gH bukan merupakan suatu grup karena tidak mengandung elemen identitas.
gH yang terbentuk ini disebut sebagai koset kiri (lef t coset) dari H. Dengan
cara yang analog, dapat didefinisikan koset kanan (right coset) Hg. Sembarang
elemen G merupakan bagian dari baik H, atau salah satu dari kosetnya. Sebagai
contoh perhatikan kembali tabel (2.1) yang terdiri dari 4 subgrup berikut:
H1 , e, (12)
H2 , e, (13)
(2.15)
H3 , e, (23)
H4 , e, (123), (132)
2.1.3
Isomorfisme dan Homomorfisme
Dua buah grup G dan G′ dikatakan isomorfik jika terdapat korespondensi satusatu antara elemen-elemen mereka, yaitu bahwa untuk setiap g ∈ G, terdapat satu dan hanya satu g ′ ∈ G′ , korespondensi g ↔ g ′ kekal terhadap hukum
perkalian.
Grup-grup isomorpik memiliki struktur yang sama. Berikut contoh grup yang
11
saling isomorfik:
rotasi π terhadap sumbu-x ↔ (12)(34) ↔ a
rotasi π terhadap sumbu-y ↔ (13)(24) ↔ b
rotasi π terhadap sumbu-z ↔ (14)(23) ↔ c
perkalian 3 rotasi di atas ↔ (1)(2)(3)(4) ↔ e
(2.16)
Sedangkan sebuah grup G dikatakan homomorfik dengan G′ , jika untuk sembarang g ∈ G, terdapat korespondensi antara tiap g ′ ∈ G′ dengan minimal satu
g sedemikian sehingga g1′ g2′ = g ′ atau G → G′ . Contoh homomorfisme ada pada
baba 4 pada pembahasan homomorfisme antara SU(2) dengan O(3)
2.1.4
Kelas
Dua elemen a dan b dari grup G dikatakan konjugat satu sama lain jika terdapat
elemen ketiga x0 ∈ G sedemikian sehingga:
b = x0 ax−1
atau a = x−1
0
0 bx0
(2.17)
Jika 2 elemen a dan b konjugat terhadap c, maka ketiganya saling konjugat satu
sama lain.
Kelas konjugasi (ataus kelas) merupakan sehimpunan elemen yang konjugat terhadap suatu elemen tertentu melalui seluruh elemen grup. Dari pembahasan di
atas, dapat disimpulkan bahwa semua elemen dalam sautu kelas saling konjugat
satu sama lain. Elemen-elemen suatu grup dibagi-bagi menjadi kelas-kelas yang
berbeda. Jika kita tandai kelas-kelas dari suatu grup G dengan Ci (i = 1, 2, ..., K),
maka grup tersebut dapat ditulis sebagai gabungan kelas-kelas nya
G = C1 ∪ C2 ∪ ... ∪ CK
(2.18)
dimana K ≤ N untuk suatu grup berhingga berorde N . Sebagai contoh, ki-
ta pandang kembali grup S3 , kita pilih elemen (123) dan dengan menggunakan
tabel (2.1) untuk menentukan salah satu kelas S3 yang mengandung (123) sebagai
12
berikut:
e(123)e = (123)
(12)(123)(12)−1 = (12)(13) = (132)
(13)(123)(13)−1 = (13)(23) = (132)
(2.19)
(23)(123)(23)−1 = (23)(12) = (132)
(123)(23)(123)−1 = (123)
(132)(123)(132)−1 = (123)
Dengan proses yang serupa dengan di atas, kita dapatkan ternyata untuk S3
terdapat 3 buah kelas C1 , C2 , C3 dengan anggota-anggota sebagai berikut: C1 =
{e}, C2 = {(12), (13), (23)}, C3 = {(123), (132)}
Partisi
Permutasi dapat ditulis sebagai produk dari siklus tertutup tanpa elemen yang
sama. Anggap dalam suatu permutasi dari n objek, siklus yang panjangnya i
muncul sebanyak ki kali, maka haruslah
k1 + 2k2 + 3k3 + ... + nkn = n
(2.20)
dimana ki ≥ 0. Setiap struktur siklik merepresentasi kelas, sehingga tiap set
bilangan bulat ki yang memenuhi (2.20) berkorespon dengan suatu kelas dari
grup Sn . Kita dapat perkenalkan lagi bilangan bulat
λ1 = k1 + k2 + ... + kn
λ2 = +k2 + ... + kn
.
.
λn =
kn
(2.21)
sehingga persamaan (2.20) menjadi:
λ1 + λ2 + ... + λn = n
dimana, λ1 ≥ λ2 ≥ ... ≥ λn ≥ 0
(2.22)
Himpunan λ = [λ1 , λ2 , ..., λn ] dikatakan partisi. Kita dapat menyatakan ki dalam
13
suku λi
k1 = λ1 − λ2
k2 = λ2 − λ3
.
(2.23)
.
kn = λn
Dengan kata lain, terdaapt korespondensi satu-satu antara himpunan [k1 , k2 , ..., kn ]
dan [λ1 , λ2 , ...λn ]. Artinya terdapat korespondensi satu-satu antara suatu partisi
λ dengan suatu struktur siklik atau kelas, dan banyaknya partisi n sama dengan
banyaknya kelas dari Sn
2.1.5
Perkalian Langsung Grup
Kita dapat definisikan suatu grup G sebagai perkalian langsung antara 2 grup
lain H1 dan H2 jika
1. semua elemen H1 commute dengan semua elemen H2
2. H1 dan H2 hanya memiliki satu elemen yang sama yaitu elemen identitas
3. Suatu elemen G dapat secara unik ditulis sebagai perkalian h1 ∈ H1 dan
h2 ∈ H2 :
g = h1 h2 = h2 h1
(2.24)
Dalam definisi yang lebih luas,G merupakan perkalian langsung jika ia isomopfik
terhadap H1 × H2 . Perkalian langsung dapat diperumum ke lebih dari 2 faktor
asalkan semua Hi (i = 1, 2, ..., n) kommut antar mereka. Semua grup ini harus
berbeda dan satu-satunya elemen yang sama hanya elemen identitas. Suatu sifat
penting adalah bahwa tiap Hi merupakan subgrup invarian dari G
Suatu grup G merupakan produk semi langsung jika grup ini memiliki subgrup
H1 dan H2 sedemikian sehingga
1. H1 merupakan subgrup invarian dari G
2. H1 dan H2 hanya memiliki elemen identitas sebagai satu-satunya elemen
yang sama
3. sembarang elemen G dapat ditulis sebagai perkalian h1 ∈ H1 dan h2 ∈ H2 .
14
2.2
Representasi Linier Grup
Dalam mekanika kuantum, kita tertarik pada sifat-sifat keadaan eigen terhadap
bermacam transformasi. Teori Grup menawarkan suatu cara sistematik untuk
menemukan sifat-sifat ini dari kesimetrian Hamiltonian. Keadaan eigen membentukruang vektor linier yang menyediakan representasi matriks dari grup transformasi G. Coba kita tandai represntasi yang demikian itu dengan D(g) dimana g
merupakan salah satu elemen dari G
Kasus yang sederhana secara trivial dari suatu representasi diperoleh untuk grup
pembalikan (inversi) dimana matriks berukuran 1 × 1. Dua elemen dari grup
adalah elemen identitas e(x → x) dan P (x → −x). Untuk sembarang keadaan
dengan paritas genap, π = +1, representasinya adalah
D(e) = 1
D(P ) = 1
(2.25)
Keadaan dengan paritas ganjil, π = −1, memberikan representasi
D(e) = 1
D(P ) = −1
(2.26)
Suatu representasi dibentuk dari matriks-matriks sebanyak jumlah elemen dalam
grup.
2.2.1
Definisi Representasi Grup
Suatu grup Γ dari operator-operator linier didefinisikan dalam ruang vektor berdimensi berhingga L dikatakan suatu representasi linier dari suatu sembarang grup
G jika G homomorfik terhadap Γ. Coba kita sebut operator yang berkaitan dengan g ∈ G dengan S(g). Maka kita peroleh
S(g1 )S(g2 ) = S(g1 g2 )
(2.27)
S(e) = e
(2.28)
S(g − 1) = S −1 (g)
(2.29)
Relasi ketiga berasal dari fakta bahwa operator S(g) haruslah non-singular, yaitu
bahwa ia memiliki invers S −1 (g) agar dapat memenuhi aksioma suatu grup. Sehingga dapat kita tuliskan
S(g)S −1 (g) = e
(2.30)
Padahal gg −1 = e mengakibatkan
S(g)S(g 1 ) = S(e) = e
Dengan membandingkan (2.30) dan (2.31) kita peroleh (2.29)
15
(2.31)
2.2.2
Representasi Matriks
Jika dimensi L adalah n maka suatu representasi memilii derajat n atau dengan
kata lain representasi tersebut berdimensi-n. Malahan,operator-operator S(g)
menghasilkan matriks-matriks berukuran n × n yang bekerja pada vektor basis
|1 >, |2 >, ..., |n > dari L
S(g)|k >=
X
µ
Dik
(g)|i >
(2.32)
Matriks-matriks Dµ (g) membentuk representasi matriks dari grup G. Biasanya
matriks ini diberikan indeks superskrip µ yang berkaitan dengan dimensi dari
representasi. Notasi yang umum untuk suatu representasi matriks adalah Γ atau
D.
Coba kita ambil suatu set fungsi ψ1 , ψ2 , ...ψn yang berkorespon dengan nilai eigen
yang sama dari suatu hamiltonian H. Misalnya H invarian terhadap grup transformasi Γ yaitu
[H, S(g)] = 0
(2.33)
maka sembarang fungsi baru S(g)ψi berkorespon dengan nilai eigen yang sama.
Matriks transformasi dari ψi ke S(g)ψi merupakan suatu representasi linier dari
G. Ini merupakan suatu kasus khusus dari apa yang sering disebut sebagai subspace invarian dalam teori grup. Dalam suatu ruang linier L, sangatlah mungkin
untuk menemukan suatu subspace L′ dengan vektor basis ψi memiliki sifat bahwa
suatu vektor yang telah ditransformasi S(g)ψi juga merupakan elemen dari L′ .
Maka L′ dikatakan subspace invarian jika sifat ini dimiliki oleh semua transformasi S(g) dari transformasi Γ
2.2.3
Representasi Ekivalen
Ambil 2 buah representasi S(g) dan S ′ (g) berturut-turut dalam L dan L′ . Jika L
dan L′ memiliki dimensi yang sama dan dapat dicari operator linier non-singular
M yang mengubah L dan L′ ke satu sama lain sedemikian sehingga
M S(g) = S ′ (g)M
(2.34)
untuk tiap g maka 2 representasi tersebut dikatakan ekivalen. Dengan kata lain,
jika kita mengubah basis di dalam ruang L dengan matriks M representasi tersebut akan menjadi
S ′ (g) = M S(g)M −1
16
(2.35)
Sembarang transformasi dari suatu matriks yang memiliki bentuk (2.35) dikatakan
transformasi keserupaan
2.2.4
Representasi Uniter
Dalam mekanika kuantum, fungsi gelombang merupakan vektor keadaan atau
kombinasi linier dari vektor-vektor keadaan, yaitu keadaan eigen ψi dari hamiltonian. ψi membentuk ruang Hilbert, yang mana dalam produk skalar didefinisikan
dengan
< ψi |ψj >=< ψj |ψi >∗
(2.36)
Vektor basis ψi dapa dipilih yang ortonormal yaitu memenuhi:
< ψi |ψj > δij
(2.37)
Suatu operatr U dikatakan unitary jika
< U φ, U ψ >=< φ, ψ >
(2.38)
Untuk basis ortonormal, hal ini mengimplikasikan
< U ψi |U ψj >=< ψi |ψj >= δij untuk semuai, j
(2.39)
Matriks yang berasosiasi dengan U dalam basis ortonormal merupakan matriks
unitary
U U † = U †U = 1
(2.40)
Jika operator-operator dari suatu representasi S(g) dari suatu grup G bersifat
uniter, maka representasinya disebut representasi uniter. Kebanyakan grup yang
menarik di Fisika memiliki representasi uniter atau representasi yang dapat diubah menjadi transformasi uniter.
Dalam subbab ini ada suatu teori penting: Setiap representasi ekivalen terhadap
suatu representasi uniter untuk grup Lie kompak yang berhingga.
Bukti: Untuk grup berhingga ada suatu pembuktian yang baku seperti yang akan
dijabarkan di bawah ini.
Kita perkenalkan suatu operator penjumlahan invarian berikut
H2 =
1 X †
S (h)S(h)
N h∈G
(2.41)
dimana N merupakan orde dari grup dan penjumlahannya dilakukan terhadap
seluruh elemen h dari G. Ini adalah matriks hermit dan kita dapat buktikan
17
bahwa nilai eigennya real dan positif. Maka adalah sah jika kita definisikan suatu
akar dari operator H berikut:
1
H = (H 2 ) 2
(2.42)
Operator H memberikan representasi ekivalen
S ′ (g) = HS(g)H −1
(2.43)
yang akan kita buktikan bersifat uniter. Mula-mula kita tunjukkan dahulu bahwa
S†(g)H 2 S(g)
1 X †
S (g)S † S(h)S(g)
N h∈G
1 X †
S (hg)S(hg)
N h∈G
1 X † ′
S (h )S(h′ )
N h′ ∈G
=
=
=
(2.44)
H2
=
dimana h′ = hg juga dijumlahkan terhadap seluruh elemen G, disusun ulang
dengan perkalian di sisi kanan, dengan elemen tetap g. Mengalikan (2.44) dengan
H −1 di sebelah kiri dan S −1 H −1 di sebelah kanan, kita peroleh
H −1 S † (g)H = HS −1 H −1
(2.45)
atau secara alternatif, dengan menggunakan fakta bahwa H bersifat hermitian,
¡
HS(g)H −1
¢†
¡
¢−1
= HS(g)H −1
(2.46)
atau dengan menggunakan definisi (2.43)
S ′† (g) = S ′−1 (g)
(2.47)
yang membuktikan bahwa representasi ekivalen S ′ bersifat uniter. Bukti ini dapat
diperumum untuk grup Lie kompak melalui penggunaan integrasi invarian terhadap elemen-elemen grup alih-alih menggunakan penjumlahan invarian (2.41).
2.2.5
Representasi Iredusibel
Iredusibilitas merupakan sifat yang sangat penting dari suatu grup. Dalam Fisika,
kita menggunakan grup-grup simetris terutama melalui representasi iredusibel.
Keadaan-keadaan terdegenerasi dari suatu hamiltonian dapat menyediakan fungsi
18
basis untuk representasi iredusibel.
Jika dalam ruang vektor linier L, kita dapat menemukan suatu basis dimana
matriks-matriks D(g) dari representasi berdimensi-n dapat secara simultan ditulis
dalam bentuk:
¯
¯ 1
¯ D (g) C(g) ¯
¯
(2.48)
D(g) = ¯¯
0
D2 (g) ¯
untuk semua elemen g dari grup G, representasi D(g) dikatakan redusibel. Blok
matriks di sini adalah 2 matriks persegi D1 dan D2 berdimensi n1 dan n2 dan 2
matriks segiempat, dimana salah satunya memiliki semua elemen sama dengan
nol yaitu pada matriks yang terletak pada sebelah kiri bawah. Bentuk yang
demikian menunjukkan
keberadaan subspace invarian L1 berdimensi n1 . Coba
µ 1 ¶
X
vektor-vektor yang merupakan bagian dari L1 saja. Maka
kita sebut
0
kita tuliskan
µ 1
¶µ 1 ¶ µ 1 1 ¶
D C
X
D X
=
(2.49)
2
0 D
0
0
yaitu bahwa vektor yang telah bertransformasi
juga merupakan bagian dari L1 .
¶
µ
0
yang merupakan milik/bagian dari L2 ,
Coba sekarang kita ambil vektor
X2
maka hasilnya
¶
¶ µ
¶µ
CX 2
0
D1 C
(2.50)
=
D2 X 2
X2
0 D2
yaitu suatu vektor yang menjadi bagian dari keseluruhan ruang. Maka, agar
2
L menjadi subspace invarian, kita harus mengambil C = 0. Jika matriks C
µ
nol, representasi D dikatakan f ully redusibel. Maka, terdapat suatu subspace
invarian kedua L2 berdimensi n2 dan keseluruhan ruang L dapat ditulis sebagai
penjumlahan langsung
L = L1 + L2
(2.51)
dan representasi D merupakan penjumlahan
D = D1 + D2
(2.52)
Jika untuk representasi tertentu D, tidak ada transformasi keserupaan yang membawa matriks-matriks D(g) ke dalam bentuk diagonal secara simultan untuk semua g ∈ G maka representasi tersebut dikatakan iredusibel atau disingkat irreps.
Dalam kasus representasi f ully redusibel, matriks D1 dan D2 dapat direduksi
lebih jauh lagi menjadi penjumlahan matriks-matriks berdimensi lebih kecil lagi
yang iredusibel. Notasi untuk penjumlahan yang didefinisikan menurut () adalah
D = D1 ⊕ D2 ⊕ D3 ⊕ ........ ⊕ DK
19
(2.53)
Untuk representasi uniter, redusibilitas secara langsung berarti f ully redusibel.
Coba kita ambil suatu basis ortonormal e1i ∈ L1 , e2i ∈ L2 :
(e1i , e1j ) = (e2i , e2j ) = δij
(e1i , e2j ) = 0
(2.54)
Keinvarianan subspace L1 berarti bahwa
S(g)e1i
=
n1
X
1 1
Dji
ej
(2.55)
j=1
sedangkan, untuk suatu vektor dalam L2 , kita punya
S(g)e2j =
n1
X
Clj1 e1l +
n2
X
2 2
Dkj
ek
(2.56)
k=1
l=1
Relasi ortogonalitas (2.54) memberikan
Cij = (e1i , S(g)e2j )
(2.57)
Namun secara definisi S merupakan operator uniter yang menghasilkan
Cij =< S −1 (g)e1i , e2j >=< S(g −1 )e1i , e2j >= 0
(2.58)
jadi matriks C dalam persamaan (2.50) memiliki semua elemen sama dengan nol.
Maka L2 juga merupakan subspace invarian. Representasi redusibel dapat dipecah lagi dan lagi menjadi blok-blok matriks sepanjang diagonalnya sampai hanya
mengandung representasi iredusibel. Dalam mekanika kuantum, mereduksi suatu representasi berkaitan erat dengan eliminasi kedegenerasian atau melengkapi
pelabelan fungsi gelombang. Hal ini terjadi karena jika suatu representasi iredusibel untuk keseluruhan grup, bisa jadi representasi tersebut redusibel bagi
subgrupnya.
2.2.6
Perkalian langsung Representasi
Dari 2 representasi matriks, Dµ1 (g) dan Dµ2 (g) berdimesni n1 , dan n2 , kita dapat
mengkonstruksi suatu representasi Dµ (g) sebagai suatu produk /perkalian langsung atau kronecker dari 2 matriks . Ini merupakan matriks berukuran n1 × n2
dengan elemen-elemen yang dilabeli 2 indeks
µ
µ1
µ2
Dik,jl
(g) = Dij
(g)Dkl
(g)
(2.59)
Matriks Dµ mendeskripsikan sifat transformasi dari produk fungsi ψj1 ψl2 , jika
kita melakukan transformasi g yang sama secara simultan pada koordinat ψ 1
20
dan ψ 2 . Fungsi fungsi ini dapat mendeskripkan 2 partikel-partikel yang berbeda
atau bagian-bagian yang independen dari sistem yang sama. Secara terpisah kita
peroleh
S(g)ψj1 =
X
µ1 1
Dij
ψi ;
S(g)ψl2 =
dan untuk sistem gabungan kita peroleh
S(g)ψj1 ψl2
=
=
X
X
X
µ2 2
Dkl
ψk
µ1 µ2 1 2
Dij
Dkl ψi ψk
µ
Dik,jl
ψi1 ψk2
Perkalian langsung menawarkan suatu cara untuk menghasilkan representasirepresentasi baru dari representasi lama. Jika Dµ1 dan Dµ2 iredusibel, maka
secara umum matriks Dµ bersifat redusibel. Orang tertarik untuk menemukan
irreps yang mana yang terjadi dalam Dµ . Masalah matematis ini memiliki implikasi yang penting dalam fisika. Misalnya, dalam kopling 2 momentum sudut
j1 dan j2 yang menghasilkan |j1 − j2 | ≤ j ≤ j1 + j2 , terkait dengan irreps grup
rotasi yang diperoleh dari perkalian langsung 2 irreps yang berkorespon dengan
µ1 = j1 dan µ2 = j2
2.2.7
Perkalian Luar Representasi
Untuk grup simetrik, orang biasanya memperkenalkan 2 jenis perkalian (produk) representasi.Yang pertama adalah perkalian langsung /perkalian dalam yang
terkait dengan produk fungsi dari partikel yang sama. Sedangkan perkalian luar
terkait dengan produk fungsi-fungsi dari partikel-partikel berbeda.
Dalam Fisika, orang biasanya mempunyai 2 sistem partikel 1,2,...,m dan m +
1, m+2, ...n yang dideskripsikan oleh fungsi gelombang ψ [f1 ] (1, 2, ..., m) dan ψ [f2 ] (m+
1, m + 2, ..., n) dari kesimetrian tertentu [f1 ], [f2 ] berturut-turut terhadap permutasi partikel. Dengan kata lain, ψ [f1 ] merupakan bagian dari subspace invarian
dari irreps [f1 ] dan ψ [f2 ] merupakan bagian dari subspace invarian dari irreps
[f2 ]. Sekarang kita hendak mengkonstruksi keadaan-keadaan produk dari sistem
terkombinasi ψ [f1 ] (1, 2, ..., m)ψ [f2 ] (m + 1, m + 2, ..., n). Masalahnya adalah mencari kesimetrian permutasi [f ] yang mungkin dari total fungsi ψ [f ] (1, 2, ..., m, m +
1, m + 2, ..., n). Nilai dari [f ] diberikan oleh perkalian luar. Jadi, melakukan
perkalian luar dari 2 irreps [f1 ] dari Sn1 dan [f2 ] dari Sn2 , berarti mendekomposisi
matriks yang merupakan representasi redusibel dari Sn1 +n2 ke dalam suku-suku
irreps [f ] dari Sn1 +n2 dan menetukan multisiplistasnya m[f ] . Secara simbolik kita
21
dapat tuliskan
[f1 ] ⊗ [f2 ] = [f2 ] ⊗ [f1 ] =
X
m[f ] [f ]
(2.60)
[f ]
Mula-mula pandang kasus paling sederhana dimana salah satu dari sistem dibentuk oleh satu partikel saja, yaitu ambil [f2 ] = [1]. Untuk sistem lain ambil misalnya irreps [f1 ] = [321] dari S6 . Hasilnya harus merupakan suatu penjumlahan
dari irreps dari S7
a
a
⊗ a =
+
+
a
+ a
(2.61)
Diagram pada sisi kanan diperoleh dari [321] dengan menempelkan kotak tambahan a dengan semua cara yang mungkin sedemikian sehingga diperoleh diagram
young yang benar. Jika pada akhirnya kita memilih Young tableau dideskripsikan
dengan simbol Yamanuchi Y1 =(312211) kita dapat menuliskan (2.61) dalam bentuk eksplisit
1 2 5
1 2 5
1 2 5 7
1 2 5
1 2 5
3 4
2 4
3 4
3 4 7
3 4
6
6
7
6
6
6
7
⊗
=
+
+
+ 7
(2.62)
Namun jika [f1 ] dan [f2 ] mengandung lebih dari satu kotak alias n1 6= 1 dan
n2 6= 1, cara yang diterapkan adalah meletakkan kotak label-label awal (sesuai
urutan) pada diagram young yang hendak dikalikan untuk memperoleh diagram
young yang tepat (pertimbangkan semua kemungkinan). Lalu ulang prosedur
ini untuk label-label berikut dengan syarat tambahan bahwa simbol yang ditambahkan ketika dibaca dari kanan ke kiri baris perbaris adalah sedemikian sehingga
pada tiap ”tahap”, banyaknya simbol a ≥ banyaknya simbol b ≥ banyaknya sim-
bol c dan seterusnya. Yang dimaksud dengan ”tahap” di sini adalah: b yang
pertama harus didahului a yang pertama, b yang kedua harus didahului a yang
kedua, c yang pertama harus didahului a dan b yang pertama dan seterusnya.
Untuk contoh di atas, hasil yang diperoleh ditampilkan berikut ini merupakan
22
penjumlahan irreps [f ] dari S8
a a
a a
b
c
⊗
= c
a a
b
a
b
a
+c
a a
b
c
+
a
b
c
+
a
a
b
a
b
c
+
a b
+ c
+ a c
(2.63)
Dalam suku-suku partisi, diagram young di atas dapat ditulis
[22 ] ⊗ [212 ] = [431] + [4212 ] + [23 12 ] + [32 12 ] + [32 2] + [322 1] + [3213 ]
(2.64)
Dalam contoh in, tiap representasi [f ] dari S8 muncul dengan multisiplitas lebih
dari satu. Sangatlah mungkin mengetes validitas dari hasil reduksi dengan menggunakan argumen dimensionalitas. Dimensi-dimensi dari partisi yang terhubung
melalui perkalian luar memenuhi persamaan yang merupakan konsekuensi dari
persamaan (2.60) berikut:
d[f1 ] × d[f2 ] ×
(n1 + n2 )! X
=
m[f ] d[f ]
n1 !n2 !
(2.65)
[f ]
Dengan menggunakan argumen yang berdasar pada dimensi suatu irreps, suatu
uji coba alternatif dapat dicapai dengan mempertimbangkan bahwa semua diagram young yang muncul pada sisi kiri dan kanan persamaan (2.60) berasosiasi
dengan irreps yang sama dari SU(N). Untuk SU(N) maka persamaan dimensi
yang harus dipenuhi adalah:
SU (N )
d[f1 ]
SU (N )
× d[f2 ]
=
X
SU (N )
m[f ] d[f ]
(2.66)
[f ]
dimana dimesi dari SU(N) sendiri menurut representasi [f ] adalah
SU (N )
d[f ]
N
Y
fi − fj + j − i
=
j−i
i didefinisikan sebagai jumlah dari perkalian
|[f ′ ]Y ′ > dan |[f ′′ ]Y ′′ > melalui
X
|[f ]Y >=
S([f ′ ]Y ′ [f ′′ ]Y ′′ |[f ′ ]Y ′ )|[f ′ ]Y ′ > |[f ′′ ]Y ′′ >
(2.69)
Y ′ ,Y ′′
Koefisien-koefisien S([f ′ ]Y ′ [f ′′ ]Y ′′ |[f ]Y ) merupakan koefisien Clebsch − Gordan
dari Sn . Mereka membentuk suatu matriks ortogonal yang memberikan trans24
formasi antara basis-basis |[f ]Y > dan |[f ′ ]Y ′ > |[f ′′ ]Y ′′ >. Dengan menggunakan sifat ortogonalitas dari matriks ini, kita dapat mengubah relasi (2.69)
untuk menghasilkan
|[f ′ ]Y ′ > |[f ′′ ]Y ′′ >=
X
[f ]Y
S([f ′ ]Y ′ [f ′′ ]Y ′′ |[f ]Y )|[f ]Y >
(2.70)
Sekarang, kita akan pelajari perkalian S3 .
Ruang spin dan isospin suatu nukleon dapat menghasilkan ruang berdimensi-4
dengan perkalian langsung. Sembarang vektor x dalam ruang ini dapat ditulis
sebagai
u↑
u↓
x=
d↑
d↓
(2.71)
dan kita dapat memperkenalkan aksi dari grup
SU (4) ⊃ SUS (2) × SUI (2)
dimana sisi kanan persamaan merupakan perkalian langsung dari SUS (2) yang
bekerja pada ruang spin dan SUI (2) bekerja pada ruang isospin. Dimensi dari [2]
dan [11] sebagai irreps SU(4) dapat dihitung menggunakan formula (2.67) dan
menghasilkan
SU (4)
d[2]
SU (4)
= 10 d[11]
=6
(2.72)
Representasi-representasi [2] dan [11] dari SU(4) dapat didekomposisikan dengan
cara berikut:
SU (4) =
SU (4) =
SU (2) ×
SU (2) ×
SU (2) +
SU (2) +
SU (2) ×
SU (2) ×
SU (2)(2.73)
SU (2) (2.74)
Dari persamaan di atas dapat dicek bahwa ternyata dimensi dari masing-masing
representasi juga memenuhi persamaan tersebut.
Untuk S3 , perkalian dalam dapat diperoleh sebagai perluasan dari teknik yang
dijelaskan di atas. Coba kita anggap bahwa masing-masing dari 3 objek-objek
ini adalah suatu partikel, yang mana merupakan vektor SU(4). Mula-mula kita
kerjakan perkalian luar [2] dari S2 dan [1] dari S1 :
SU (4) ×
SU (4) =
SU (4) +
25
SU (4)
(2.75)
Ini juga merupakan perkalian langsung dari 2 irreps SU(4) yang diindikasikan
oleh diagram young dan dimensi mereka. Pada sisi lain, pada sisi kiri persamaan
di atas, kita dapat gunakan relasi (2.73) dan
SU (4) =
SU (2) ×
SU (2)
(2.76)
untuk memperoleh
⊗
=
³
⊗
=
´
=
+
=
×
×
³
×
⊗
+
´
⊗
×
+
×
×
+2
×
´
×
×
⊗
⊗
+
+
+
³
×
+
×
(2.77)
Sekarang, kita dapat identifikasi 2 suku pada sisi kanan persamaan (2.75) sebagai
SU (4) =
SU (2) ×
SU (2) +
SU (2) ×
SU (2)
(2.78)
dan
SU (4) =
SU (2) ×
SU (2) +
SU (2) ×
+
SU (2) ×
SU (2)
SU (2)
(2.79)
Ini adalah dekomposisi dari irreps SU(4) ke dalam irreps SU(2)×SU(2). Suku pertama pada sisi kanan persamaan (2.78) harusnya kita antispiasi karena perkalian
dari 2 keadaan simetrik menghasilkan keadaan simetrik.
Berikutnya pandang perkalian luar berikut
SU (4) ⊗
SU (4) =
26
SU (4) +
SU (4)
(2.80)
dan dengan menggunakan relasi (2.74) dan (??) pada sisi kiri persamaan, kita
dapatkan
³
´
⊗
SU (4) ⊗
=
×
+
×
×
=
³
=
⊗
´
+
×
⊗
+
×
⊗
+
×
³
×
+
Dengan memperhitungkan (2.79) kita dapaka identitas
SU (4) =
SU (2) ×
⊗
SU (2)
´
(2.81)
(2.82)
Dari sudut pandang S3 , kita dapat menggunakan relasi (2.78),(2.79),(2.82) untuk memperoleh deret Clebsch − Gordan. Misalnya, jika kita mencari perkalian
dalam [21] × [21], ternyata itu muncul sekali masing-masing pada persamaan
(2.78),(2.79),(2.82), sehingga dapat kita tuliskan
[21] × [21] = [3] + [21] + [13 ]
(2.83)
dengan analogi, kitapun bisa dapatkan
[3] × [3] = [3]
(2.84)
[3] × [21] = [21] × [3] = [21]
(2.85)
Untuk kelengkapan kita dapat tambahkan deret-deret Clebsch − Gordan berikut
[3] × [13 ] = [13 ]
[13 ] × [13 ] = [3]
(2.86)
(2.87)
Yang pertama menyatakan
Representasi Uniter pada Sistem Partikel
Elementer
Mulyadi
NPM : 0399020527
Departemen Fisika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Indonesia
Depok 2004
Halaman Persetujuan
Skripsi : Klaksifikasi Hadron dan Meson sebagai Representasi Uniter pada
Sistem Partikel Elementer
Nama : Mulyadi
NPM : 0399020527
Skripsi ini telah diperiksa dan disetujui
Pembimbing
Dr.Terry Mart
Penguji I
Penguji II
Dr. Anto Sulaksono
Dr. L.T. Handoko
Kata Pengantar
Partikel-partikel Subnuklir merupakan kumpulan partikel yang unik. Salah satunya adalah karena beberapa sifat istimewa yang terkait satu sama lain melalui
kesimetrian. Kesimetrian partikel-patrikel ini dapat dipelajari dalam suatu topik
pembelajaran di Fisika yang kerap dikenal sebagai Teori Grup. Sesungguhnya
Teori Grup bukan hanya membahas representasi dan klaksifikasi ”cantik” dari
partikel-partikel subnuklir, namun pada sistem many-body lainnya seperti pada
molekul-molekul dapat dipelajari melalui Teori Grup.
Tepat tanggal 1 juni 2002, Saya ingat pertama kali bertemu Pak Terry di
Salemba untuk membicarakan masalah tugas akhir, karena saya tertarik di bidangnya beliau, Fisika Nuklir-Partikel teoritik. Saya tidak menyangka, karena banyak
masalah dan lain-lain tugas akhir saya terbengkalai sampai bulan maret tahun
ini. Tentu saja topik yang saya bawakan berbeda dengan yang seharusnya saya
dapat kalau saya memulai Skripsi 2 tahun silam. Pemilihan topik ini sangat baik
dilakukan oleh Pak Terry, karena Grup Fisika teoritik di Jurusan kita memang
membutuhkan pengetahuan tersebut, karena ternyata banyak jurnal ilmiah di
bidang nuklir-partikel teoritik ternyata tidak terlepas dengan pembahasan Grup
seperti yang baru saja dilakukan ”Bapak” Nofirwan, S.si pada tugas akhir beliau
semester lalu.
Melalui Kata Pengantar ini, Penulis hendak mengucapkan terima kasih yang
setulusnya kepada pak Terry yang telah dengan sabar dan setia menanti saya
untuk mengerjakan tugas akhir saya, walaupun saya sudah beberapa kali ”bolos”
dari Fisika. Terima kasih juga pada Pak Handoko yang banyak memberi masukan
dan berperan sebagai pembimbing ”tak resmi” saya. Tidak lupa saya ucapkan
terima kasih pada Pak Anto yang sangat mendukung dan memberi semangat
pantang mundur pada para mahasiswa. Selain dosen-dosen di grup kita, Saya
juga hendak mengucapkan terima kasih pada dosen-dosen lainnya yang secara
tidak langsung telah berjasa bagi saya antara lain: Pak Chairul Bahri, yang sangat mendukung mahasiswa grup kita, termasuk saya untuk tetap bekerja keras
iii
di Fisika ; Pak Rachmat W.Adi, yang sangat memberi dukungan moral terhadap
studi saya di jurusan Fisika UI; Pak Herbert P.Simanjuntak, yang sangat mempengaruhi apresiasi saya terhadap Fisika; Pak M.Hikam, yang mempercayai saya
menjadi asisten untuk mata kuliah Fisika statistik; Ibu Rosari Saleh, alias ibu
”Oca”, yang banyak memberikan masukan-masukan mengenai hal-hal lain di luar Fisika selama saya kuliah dengan beliau; dan segenap dosen-dosen lain yang
saking banyaknya tidak bisa saya sebutkan satu-persatu. Dari pihak mahasiswa,
saya tak lupa ucapkan terima kasih kepada, ”Pak” Nofirwan, S.si; Julio, S.si;
Freddy Simanjuntak, S.si; Anton wiranata; Yunita; Nowo Riveli; Ardi mustofa;
dll
Demikian halnya semua yang saya katakan, semoga isi skripsi ini bermanfaat
dan mohon maaf jika ditemukan kesalahan, karena tidak mudah untuk menghindar dari kesalahan.
iv
Daftar Isi
Halaman Persetujuan
ii
Kata Pengantar
iii
Daftar Isi
v
Daftar Gambar
vii
Daftar Tabel
viii
1 Pendahuluan
1
1.1
Latar Belakang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.2
Perumusan Masalah
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.3
1.4
Metode Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Tujuan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
6
2 Tinjauan Pustaka
2.1
2.2
7
Elemen-elemen Teori Grup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
2.1.1
Definisi Grup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
2.1.2
Subgrup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
2.1.3
2.1.4
Isomorfisme dan Homomorfisme . . . . . . . . . . . . . . .
Kelas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
12
2.1.5
Perkalian Langsung Grup . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
Representasi Linier Grup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
2.2.1
2.2.2
Definisi Representasi Grup . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Representasi Matriks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
16
2.2.3
Representasi Ekivalen
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
2.2.4
Representasi Uniter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
2.2.5
Representasi Iredusibel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
2.2.6
Perkalian langsung Representasi . . . . . . . . . . . . . . .
20
v
2.2.7
Perkalian Luar Representasi . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
2.2.8
Perkalian Dalam . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
3 Grup Lie
29
3.1
Transformasi infinitesimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
3.2
3.3
Konstanta Struktur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Generator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
34
3.4
Grup Simpel dan Semi-Simpel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
3.5
Aljabar Simpel dan Semi-simpel . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
3.6
3.7
Beberapa contoh Grup Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Kekompakan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
47
3.8
Penjumlahan langsung dan Semi-langsung dari Aljabar Lie . . . .
48
3.9
Representasi Kontradingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
4 Hasil dan Pembahasan
51
4.1
Sifat umum Grup-grup Uniter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
4.2
4.3
Grup SU(2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Homomorfisme SU(2) dengan R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54
55
4.4
Multiplet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
58
4.5
Grup SU(3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
59
4.5.1
4.5.2
Transformasi Infinitesimal . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Osilator harmonik 3 dimensi . . . . . . . . . . . . . . . . .
59
64
4.5.3
Diagram Bobot untuk representasi fundamental . . . . . .
66
4.5.4
Pelabelan irreps SU(3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
68
4.5.5
Representasi Kompleks Konjugat . . . . . . . . . . . . . .
76
4.5.6
4.5.7
Klaksifikasi Hadron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Klaksifikasi Meson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
79
83
4.5.8
Formula massa Gell-Mann – Okubo . . . . . . . . . . . . .
86
Grup di atas SU(3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
90
4.6.1
90
4.6
Kuark dengan citarasa dan spin . . . . . . . . . . . . . . .
Daftar Acuan
94
vi
Daftar Gambar
4.1
Diagram Bobot Representasi Fundamental SU(3) . . . . . . . . .
68
4.2
4.3
Aksi dari operator tangga pada bidang I3-Y . . . . . . . . . . . .
Diagram Bobot Tipikal suatu representasi SU(3) dengan λ = 6
68
dan µ = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
75
4.4
Kontur dari suatu diagram bobot . . . . . . . . . . . . . . . . . .
76
4.5
Diagram Bobot Tipikal SU(3) untuk (λµ)=(11) λ = 6. Diagram
bobot memiliki multiplisitas 2 yang ditandai titik yang dilingkari
Diagram Bobot Tipikal suatu representasi kompleks konjugat ¯3
77
SU(3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
79
4.6
π
1+
).
2
P
π
. . .
83
4.8 (a)Meson pseudoskalar J = 0− .(b) Meson vektor J P = 1 . . . .
4.9 Plot Chew-Frautschi dari keadaan-keadaan q q¯ yang menunjukkan
85
momentum sudut orbital, L terhadap kuadrat massa . . . . . . .
87
4.7
(a)Oktet Baryon (J =
(b) Dekuplet Baryon (J =
3+
)
2
−
vii
Daftar Tabel
1.1
Beberapa kesimetrian dalam Fisika . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1
Tabel perkalian grup S3
3.1
Sifat matriks yang relevan terhadap definisi bermacam grup kontinu 43
3.2
Macam-macam Grup Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
4.1
Nilai-nilai Konstanta dklm yang didefinisikan menurut dan . . . .
63
4.2
4.3
Kemungkinan nilai-nilai Y dan I untuk . . . . . . . . . . . . . . .
Karakteristik baryon-baryon bermassa rendah . . . . . . . . . . .
73
82
4.4
Dimensi dari irreps SU(N). Partisi yang dilarang ditandai dengan * 91
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
viii
5
10
Bab 1
Pendahuluan
Alam semesta kita ini sangat menarik dan unik. Salah satu ”keajaiban” alam
yaitu terdapatnya kesimetrian. Kesimetrian merupakan atribut alamiah dalam
dunia fisis dan oleh karena itu merupakan titik awal dari segala hukum fisis.
Untuk mempelajari kesimetrian , Kita akan menggunakan Teori Grup, karena
teori grup merupakan cabang matematika yang cocok untuk mempelajari kesimetrian sistem-sistem fisis. Dasarnya adalah Hamiltonian ataupun Lagrangian
dari sistem, karena kesimetrian suatu sistem fisis dinyatakan oleh Lagrangian dan
Hamiltonian sistem tersebut. Teori Grup dapat menjelaskan berbagai keteraturan sifat dan besaran fisis yang teramati dan dapat membantu menyederhanakan
dan menyatukan hukum fisika dari sistem-sistem yang jelas berbeda. Teori grup
merupakan ”alat” yang bermanfaat untuk memahami perilaku sistem dimana terdapat kesimetrian di dalamnya. Berkaitan dengan kesimetrian, dalam skripsi ini
juga akan dibahas mengenai kesimetrian yang dipelajari dalam mekanika kuantum. Mula-mula terdapat kesimetrian permutasi untuk partikel identik, yang
tekait pada grup simetrik. Peran dari grup simetri ini adalah untuk menjamin
bahwa fungsi gelombang partikel dapat mencakup sifat ketidakdapat-terbedakan
secara tepat dan sesuai. Selain itu Kesimetrian juga merupakan sifat alamiah
dari alam , karena beberapa hal cenderung memiliki preferensi yang sama.
1.1
Latar Belakang
Ide awal dari teori grup sebagai cabang dari ilmu matematika berawal pada awal abad 19. Pada akhir abad 19, dan awal abad 20, perkembangan teori grup
secara signifikan dilakukan oleh Frobenius, Schur, Lie, dan Cartan. Peran teori
grup secara esensial baru disadari pada sekitar tahun 1920-an, bersamaan dengan pengembangan teori representasi dari Grup, yang sangat terkait erat dengan
1
mekanika kuantum.
Pada zaman sekarang, dalam perkembangan fisika modern, khususnya pada
bidang fisika energi tinggi, kesimetrian memainkan peran yang sangat penting
dan sangat diperlukan. Saat ini, para fisikawan percaya bahwa semua interaksi
fundamental dapat dideskripsikan melalui teori gauge, yaitu teori yang menjelaskan kesimetrian gauge. Aspek lain yang tak kalah penting adalah perluasan
teori dari grup Lie ke pembahasan kesupersimetrian. Konsep-konsep ini sedang
diaplikasikan ke fisika partikel, teori medan kuantum (Quantum Field Theory),
dan gravitasi dalam bentuk teori string dan superstring. Latar belakang pemilihan topik ini adalah untuk mempelajari topik Teori Grup secara literatur dan
menggunakannya dalam representasi uniter untuk kasus partikel-partikel subnuklir.
1.2
Perumusan Masalah
Dalam mekanika kuantum, terdapat 5 macam kesimetrian . Beberapa diantaranya
dan konsekuensinya diringkas pada tabel 1.1.
1. Kesimetrian permutasi diskret
Dalam mekanika kuantum, nilai ekspektasi besaran-besaran fisika tidak
berubah terhadap permutasi partikel-partikel identik. Transformasi permutasi membentuk sebuah grup yang disebut grup simetrik Sn
2. Kesimetrian ruang-waktu kontinu
(a) Translasi dalam ruang
r′ = r + ρ
(1.1)
Dalam kasus ini kesimetrian terjadi berdasarkan asumsi kehomogenan
ruang. Ini artinya kita dapat memilih sembarang koordinat titik asal,
atau dengan kata lain : Tidak terdapat posisi absolut. Hal ini berlaku
untuk sistem terisolir dan mengakibatkan potensial interaksi antara 2
partikel tidak bergantung pada pemilihan titik asal koordinat sistem.
Konsekuensi dari kesimetrian ini adalah hukum kekekalan momentum
linier.
2
(b) Translasi waktu
t′ = t + t0
(1.2)
Kesimetrian terjadi berdasarkan asumsi kehomogenan waktu. Ini artinya
waktu awal dapat dipilih secara sembarang, suatu fenomena fisis dapat
dilakukan pada sembarang waktu, atau dengan kata lain: Tidak terdapat waktu absolut. Hal ini berlaku untuk sistem yang konservatif,
dimana medan luar tidak bergantung waktu. Lagrangian dan Hamiltonian sistem yang demikian tidak bergantung waktu dan konsekuensi
dari kesimetrian ini adalah hukum kekekalan energi.
(c) Rotasi dalam ruang 3 dimensi
x′ = Rij xj (i, j = 1, 2, 3)
(1.3)
dimana xi adalah komponen-komponen dari suatu vektordan Rij adalah
matriks rotasi. Kesimetrian rotasi berasal dari asumsi keisotropikan
ruang atau ketiadaan preferensi arah. Kesimetrian ini juga menunjukkan bahwa sifat dari suatu sistem tidak bergantung pada orientasi sistem tersebut di dalam ruang. Konsekuensi dari kesimetrian ini
adalah hukum kekekalan momentum angular.
(d) Transformasi Lorentz
x′µ = Λµν xν (µ, ν = 0, 1, 2, 3)
(1.4)
dimana xν merupakan suatu titik di dalam ruang-waktu Minkowski.
Persamaan(1.4) merupakan transformasi Lorentz antara 2 sistem yang
bergerak relatif secara beraturan. Dalam relativitas khusus, Hukumhukum fisis diformulasikan sedemikian sehingga hukum tersebut identik untuk semua kerangka acuan inersial. Dalam batas non relativistik,
hukum fisika invarian terhadap transformasi galileo, yaitu bahwa tidak
terdapat kecepatan absolut. Konsekuensi dari kesimetrian ini adalah
hukum kekekalan yang terkait dengan generator dari grup Lorentz.
3. Kesimetrian ruang-waktu diskret
(a) Pembalikan ruang (pencerminan), P , dimana
P r = r′ = −r
3
(1.5)
Dalam mekanika kuantum, operasi pembalikan ruang didefinisikan oleh
operator uniter yang menghasilkan suatu bilangan kuantum yang disebut paritas, yang selalu kekal pada setiap interaksi alam, kecuali pada
interaksi lemah.
(b) Pembalikan waktu, T , dimana
t → −t
(1.6)
Ini adalah perubahan arah aliran waktu. Diperkenalkan dalam mekanika kuantum oleh Wigner tahun 1932. Hukum-hukum fisika secara
umum simetrik terhadap waktu, kecuali misalnya untuk peluruhan
K0
(c) Transformasi-transformasi simetri dari point groups, yang merupakan
jenis transformasi dimana paling sedikit satu buah titik dari suatu
sistem benda dalam ruang yang tetap pada posisinya, dan titik pada benda tersebut menempati posisi yang sama setelah transformasi.
Contohnya: rotasi terhadap sumbu tetap dan pencerminan terhadap
suatu bidang.. Untuk material yang tak berhingga (tak tercacah),
sepeti kisi kristal, translasi terhadap segmen tertentu juga temasuk
agar diperoleh kesimetrian dasar dalam fisika molekul dan zat padat.
4. kesimetrian besaran internal kontinu
Berkaitan dengan transformasi-transformasi yang bekerja dalam ruang derajat kebebasan intrinsik pada partikel-partikel subnuklir, sebagai contoh,
spin, cita rasa (flavor), color. Flavor F merupakan suatu derajat kebebasan
yang bergantung pada beberapa derajat kebebasan lainnya yaiu: isospin I,
hypercharge Y ,Charm C,Beauty B, dan Topness T . Kesimetrian internal lebih sulit untuk dipelajari karena tidak nyata bila dibandingkan
dengan Grup simetri. Pengalaman menunjukkan bahwa beberapa transformasi yang relevan akan membentuk grup yang uniter. Secara khusus,
Keinvarianan terhadap transformasi-transformasi yang dideskripsikan dengan grup uniter U (1) akan menghasilkan kekekalan bilangan muatan dan
partikel (khusus untuk Lepton, dan Baryon). Kesimetrian isospin dari interaksi kuat, yang dideskripsikan oleh SUI (2), merupakan pengejawantahan
dari (hampir) kedegenerasian massa proton dan neutron. Bentuk alternatif
lainnya adalah kesimetrian SUF (2) yang menjelaskan kedegenerasian massa
kuark up dan down.
4
Asumsi teoritik
Transformasi simetrik
Konsekuensi
Ketidakterbedakan partikel identik
Kehomogenan Ruang
Kehomogenan Waktu
Keisotropikan Ruang
Ketiadaan kecepatan absolut
Permutasi
Translasi Ruang
Translasi Waktu
rotasi 3 dimensi
Transformasi Lorentz
Statistik Fermi-Dirac
Kekekalan Momentum Linier
Kekekalan Energi
Kekekalan Momentum Angular
Kekekalan Generator Grup Lorentz
Tabel 1.1: Beberapa kesimetrian dalam Fisika
5. kesimetrian besaran internal diskret.
(a) Konjugasi muatan, C. Dengan transformasi ini, tanda suatu muatan
listrik berubah dari positif ke negartif dan sebaliknya. Ini merupakan
kesimetrian antara partikel dan antipartikel. Dalam kerangka kerja
persamaan Dirac, konjugasi muatan merupakan operator antiuniter ,
tetapi dalam teori medan merupakan operator uniter. Eksperimeneksperimen yang mengkonfirmasi ketidakkekalan paritas dalam interaksi lemah juga memberi bukti terhadap C-violation atau keasimetrian
partikel dan antipartikel.
(b) Paritas-G. Transformasi yang terkait dengan kesimetrian ini merepresentasikan konjugasi muatan yang dikombinasikan dengan rotasi sebesar π di dalam ruang isospin suatu partikel. Dalam interaksi kuat,
paritas-G terkekalkan.
Dalam skripsi ini, pembahasan masalah akan dititik beratkan kepada jenis kesimetrian besaran intrinsik kontinu yang terkait langsung dengan Grup Lie kompak
yang akan dibahas mendetail pada bab 3. Sedangkan pembahasan utama akan
mengacu pada klaksifikasi Hadron dan Meson menurut representasi uniter
sebagai aplikasi fisis Grup Lie kompak pada partikel-partikel elementer berenergi
tinggi.
5
1.3
Metode Penelitian
Penelitian yang dilakukan di sini sifatnya hanya teoritik. Karena itu diperlukan
suatu kerangka kerja yang sistematis dalam menerangkan proses-proses fisika yang
terjadi. Kerangka kerja teoritik yang digunakan adalah teori grup dengan bersumber pada beberapa literatur utama, dan karena skripsi ini sifatnya studi literatur,
maka akan terdapat banyak landasan teori dan tinjauan pustaka yang menyertai
sebagai pendahuluan yang komplit terhadap pembahasan utama yang singkat
1.4
Tujuan
Tujuan penelitian ini adalah mempelajari kesimetrian besaran-besaran intrinsik
partikel subnuklir yaitu hadron dan meson melalui teori representasi terutama
melalui representasi yang uniter.
6
Bab 2
Tinjauan Pustaka
2.1
Elemen-elemen Teori Grup
Terdapat beberapa definisi dan pemahaman dasar dalam Teori Grup, antara lain
definisi grup itu sendiri, pengertian kelas, subgrup, dan perkalian langsung.
2.1.1
Definisi Grup
Suatu himpunan G yang terdiri dari elemen-elemen transformasi g membentuk
suatu grup jika memenuhi syarat-syarat berikut:
1. Hasil dari penerapan sembarang transformasi secara berturut-turut
g1 ∈ G,
g2 ∈ G
merupakan suatu transformasi baru yang juga terdapat di dalam himpunan
tersebut:
g1 g2 = g ∈ G
(2.1)
Relasi ini disebut produk atau hukum komposisi
2. Hukum komposisi memenuhi sifat asosiatif untuk semua g1 , g2 , g3 ∈ G,
(g1 g2 )g3 = g1 (g2 g3 )
(2.2)
3. Salah satu elemen transformasi merupakan elemen identitas, yaitu bahwa
e ∈ G sedemikian sehingga
ge = eg = g
7
(2.3)
4. Kalau suatu elemen transformasi terdapat dalam himpunan tersebut, maka invers dari transformasi itu juga terdapat dalam himpunan tersebut
sedemikian sehingga:
gg −1 = g −1 g = e
(2.4)
Walaupun sifat asosiatif berlaku untuk semua grup, maka tidak demikian halnya
dengan sifat komutatif. Namun terdapat grup yang memnuhi sifat komutatif,
yang disebut grup abelian. Secara umum, dilihat dari kuantitas elemen dalam
suatu grup, maka grup dapat dibagi menjadi 2 jenis utama, yaitu: (1) Grup
berhingga (finite groups), (2) Grup tak berhingga (infinite groups).
Grup berhingga
Grup berhingga merupakan suatu grup dengan jumlah elemen yang berhingga
N , dengan N menyatakan orde dari grup tersebut. Ada beberapa contoh Grup
berhingga, 2 diantaranya adalah : Grup titik (Point groups) dan Grup simetrik
(Symmetric groups)
1. Grup titik (Point groups)
Grup ini terkait dengan kesimetrian benda dimana minimal satu titik tetap
pada posisi semula setelah proses transformasi terjadi. Transformasi-transformasi
dalam grup ini tidak merubah jark dan dapat dibangun dari 3 jenis transformasi dasar:
(a) Rotasi sudut tertentu terhadap sumbu tertentu
jika sudutnya 2π/n, transformasi tersebut ditandai dengan Cn .
(b) Refleksi terhadap bidang
(c) Translasi
kesimetrian ini terjadi hanya pada benda tak berhingga yang merupakan ekstrapolasi dari benda yang nyata
2. Grup simetrik (Symmetric groups)
Peran Grup simetrik adalah menyediakan fungsi-fungsi gelombang yang
mencakup sifat keidentikan partikel secara tepat dengan memperhitungkan
semua derajat kebebasan sistem. Transformasi yang terdapat dalam Grup
simetrik adalah permutasi, yang menyatakan pertukaran partikel-partikel
8
pembentuk sistem. Semua permutasi yang mungkin dari sekumpulan partikel membentuk Grup simetrik. Sebuah sistem partikel identik dideskripsikan dengan fungsi gelombang yang bersifat simetrik untuk boson dan antisimetrik untuk fermion. Pandang n objek dalam urutan 1,2,..,n. Permutasi
menyatakan transisi dari urutan demikian menjadi urutan lain, a1 , a2 , ..., an .
Notasi untuk transisi ini adalah:
¶
µ
1 2 ... n
Pa =
a1 a2 ... an
(2.5)
Pada persamaan di atas, elemen-elemen dalam suatu kolom dapat saling
dipertukarkan, yang artinya kita dapat mulai dari urutan awal sembarang,
namun kita selalu melakukan pertukaran dari urutan i ke ai . Contoh:
µ
¶
1 2 3 4 5
Pa =
(2.6)
5 3 2 1 4
Jika permutasi di atas ini bekerja pada fungsi gelombang 5-partikel, kita
akan peroleh
Pa ψ(1, 2, 3, 4, 5) = ψ(5, 3, 2, 1, 4)
(2.7)
Permutasidari n objek menghasilkan suatu grup berorde N = n! , dengan
elemen identitas:
Pe =
¶
µ
1 2 ... n
1 2 ... n
µ
a1 a2 ... an
1 2 ... n
(2.8)
Sedangkan invers dari sembarang elemen Pa adalah
Pa−1
=
¶
Jika dalam grup terdapat suatu elemen permutasi lain
µ
¶
a1 a2 ... an
Pb =
b1 b2 ... bn
(2.9)
(2.10)
maka penerapan Pa dan Pb secara berturut-turut, kita akan dapatkan permutasi lain (yang juga merupakan elemen dari grup)
¶
µ
1 2 ... n
Pc = Pb Pa
b1 b2 ... bn
9
(2.11)
e
(12)
(13)
(23)
(123)
(132)
e
(12)
(13)
(23)
(123)
(132)
e
(12)
(13)
(23)
(123)
(132)
(12)
e
(123)
(132)
(13)
(23)
(13)
(132)
e
(123)
(23)
(12)
(23)
(123)
(132)
e
(12)
(13)
(123)
(23)
(12)
(13)
(132)
e
(132)
(13)
(23)
(12)
e
(123)
Tabel 2.1: Tabel perkalian grup S3
Sebagai contoh:
Pc
=
=
=
µ
µ
µ
1 2 3 4 5
4 3 5 1 2
5 3 2 1 4
2 5 3 4 1
1 2 3 4 5
2 5 3 4 1
¶µ
¶µ
1 2 3 4 5
5 3 2 1 4
1 2 3 4 5
5 3 2 1 4
¶
¶
¶
(2.12)
Grup S3 merupakan salah satu contoh grup permutasi yang cukup sederhana
dan baik untuk dipelajari. Ada 3!=6 elemen grup S3 yaitu:
¶
µ
¶
µ
µ
1
1 2 3
1 2 3
, (13) =
, (12) =
e =
3
2 1 3
1 2 3
¶
µ
¶
µ
µ
1 2 3
1 2 3
, (132) =
, (123) =
(23) =
2 3 1
1 3 2
2 3
2 1
¶
1 2 3
3 1 2
¶
(2.13)
Dari grup ini dapat dirancang tabel perkalian grup yang mengatur aturan perkalian
antar elemen grup seperti yang diperlihatkan pada tabel (2.1):
Grup tak berhingga
Terdapat pula grup dengan banyak elemen tak berhingga. Grup semacam ini
terpecah ke dalam 2 kategori
1. Grup Diskrit
memiliki elemen yang dapat dicacah karena dari satu elemen ke elemen lain
terdapat perbedaan yang jelas
2. Grup Kontinu
memiliki elemen yang kontinu sehingga antara satu elemen ke elemen lain,
10
terdapat banyak sekali elemen sehingga perbedaannya tidak jelas (kontinu).
Namun pada skripsi ini, penekanan akan dilakukan pada grup kontinu dengan jumlah parameter berhingga.
2.1.2
Subgrup
Dari elemen-elemen grup kontinu G maupun diskrit, kita dapat memilih suatu
subset H dan menuliskan
H ⊂ G atau G ⊃ H
(2.14)
untuk mengsimbolisasikan bahwa subset H terkandung dalam G. Jika subset H
sendiri membentuk grup, maka H disebut subgrup dari G
Koset
Jika g merupakan salah satu elemen dari G, maka kita dapat membentuk himpunan elemen-elemen gH dengan mengalikan g dengan semua elemen H, maka
terdapat korespondensi satu - satu antara H dan gH. Jika g ∈ H maka gH
sendiri merupakan subgrup. Namun jika g ∈ G dan tidak dikandung oleh h, ma-
ka gH bukan merupakan suatu grup karena tidak mengandung elemen identitas.
gH yang terbentuk ini disebut sebagai koset kiri (lef t coset) dari H. Dengan
cara yang analog, dapat didefinisikan koset kanan (right coset) Hg. Sembarang
elemen G merupakan bagian dari baik H, atau salah satu dari kosetnya. Sebagai
contoh perhatikan kembali tabel (2.1) yang terdiri dari 4 subgrup berikut:
H1 , e, (12)
H2 , e, (13)
(2.15)
H3 , e, (23)
H4 , e, (123), (132)
2.1.3
Isomorfisme dan Homomorfisme
Dua buah grup G dan G′ dikatakan isomorfik jika terdapat korespondensi satusatu antara elemen-elemen mereka, yaitu bahwa untuk setiap g ∈ G, terdapat satu dan hanya satu g ′ ∈ G′ , korespondensi g ↔ g ′ kekal terhadap hukum
perkalian.
Grup-grup isomorpik memiliki struktur yang sama. Berikut contoh grup yang
11
saling isomorfik:
rotasi π terhadap sumbu-x ↔ (12)(34) ↔ a
rotasi π terhadap sumbu-y ↔ (13)(24) ↔ b
rotasi π terhadap sumbu-z ↔ (14)(23) ↔ c
perkalian 3 rotasi di atas ↔ (1)(2)(3)(4) ↔ e
(2.16)
Sedangkan sebuah grup G dikatakan homomorfik dengan G′ , jika untuk sembarang g ∈ G, terdapat korespondensi antara tiap g ′ ∈ G′ dengan minimal satu
g sedemikian sehingga g1′ g2′ = g ′ atau G → G′ . Contoh homomorfisme ada pada
baba 4 pada pembahasan homomorfisme antara SU(2) dengan O(3)
2.1.4
Kelas
Dua elemen a dan b dari grup G dikatakan konjugat satu sama lain jika terdapat
elemen ketiga x0 ∈ G sedemikian sehingga:
b = x0 ax−1
atau a = x−1
0
0 bx0
(2.17)
Jika 2 elemen a dan b konjugat terhadap c, maka ketiganya saling konjugat satu
sama lain.
Kelas konjugasi (ataus kelas) merupakan sehimpunan elemen yang konjugat terhadap suatu elemen tertentu melalui seluruh elemen grup. Dari pembahasan di
atas, dapat disimpulkan bahwa semua elemen dalam sautu kelas saling konjugat
satu sama lain. Elemen-elemen suatu grup dibagi-bagi menjadi kelas-kelas yang
berbeda. Jika kita tandai kelas-kelas dari suatu grup G dengan Ci (i = 1, 2, ..., K),
maka grup tersebut dapat ditulis sebagai gabungan kelas-kelas nya
G = C1 ∪ C2 ∪ ... ∪ CK
(2.18)
dimana K ≤ N untuk suatu grup berhingga berorde N . Sebagai contoh, ki-
ta pandang kembali grup S3 , kita pilih elemen (123) dan dengan menggunakan
tabel (2.1) untuk menentukan salah satu kelas S3 yang mengandung (123) sebagai
12
berikut:
e(123)e = (123)
(12)(123)(12)−1 = (12)(13) = (132)
(13)(123)(13)−1 = (13)(23) = (132)
(2.19)
(23)(123)(23)−1 = (23)(12) = (132)
(123)(23)(123)−1 = (123)
(132)(123)(132)−1 = (123)
Dengan proses yang serupa dengan di atas, kita dapatkan ternyata untuk S3
terdapat 3 buah kelas C1 , C2 , C3 dengan anggota-anggota sebagai berikut: C1 =
{e}, C2 = {(12), (13), (23)}, C3 = {(123), (132)}
Partisi
Permutasi dapat ditulis sebagai produk dari siklus tertutup tanpa elemen yang
sama. Anggap dalam suatu permutasi dari n objek, siklus yang panjangnya i
muncul sebanyak ki kali, maka haruslah
k1 + 2k2 + 3k3 + ... + nkn = n
(2.20)
dimana ki ≥ 0. Setiap struktur siklik merepresentasi kelas, sehingga tiap set
bilangan bulat ki yang memenuhi (2.20) berkorespon dengan suatu kelas dari
grup Sn . Kita dapat perkenalkan lagi bilangan bulat
λ1 = k1 + k2 + ... + kn
λ2 = +k2 + ... + kn
.
.
λn =
kn
(2.21)
sehingga persamaan (2.20) menjadi:
λ1 + λ2 + ... + λn = n
dimana, λ1 ≥ λ2 ≥ ... ≥ λn ≥ 0
(2.22)
Himpunan λ = [λ1 , λ2 , ..., λn ] dikatakan partisi. Kita dapat menyatakan ki dalam
13
suku λi
k1 = λ1 − λ2
k2 = λ2 − λ3
.
(2.23)
.
kn = λn
Dengan kata lain, terdaapt korespondensi satu-satu antara himpunan [k1 , k2 , ..., kn ]
dan [λ1 , λ2 , ...λn ]. Artinya terdapat korespondensi satu-satu antara suatu partisi
λ dengan suatu struktur siklik atau kelas, dan banyaknya partisi n sama dengan
banyaknya kelas dari Sn
2.1.5
Perkalian Langsung Grup
Kita dapat definisikan suatu grup G sebagai perkalian langsung antara 2 grup
lain H1 dan H2 jika
1. semua elemen H1 commute dengan semua elemen H2
2. H1 dan H2 hanya memiliki satu elemen yang sama yaitu elemen identitas
3. Suatu elemen G dapat secara unik ditulis sebagai perkalian h1 ∈ H1 dan
h2 ∈ H2 :
g = h1 h2 = h2 h1
(2.24)
Dalam definisi yang lebih luas,G merupakan perkalian langsung jika ia isomopfik
terhadap H1 × H2 . Perkalian langsung dapat diperumum ke lebih dari 2 faktor
asalkan semua Hi (i = 1, 2, ..., n) kommut antar mereka. Semua grup ini harus
berbeda dan satu-satunya elemen yang sama hanya elemen identitas. Suatu sifat
penting adalah bahwa tiap Hi merupakan subgrup invarian dari G
Suatu grup G merupakan produk semi langsung jika grup ini memiliki subgrup
H1 dan H2 sedemikian sehingga
1. H1 merupakan subgrup invarian dari G
2. H1 dan H2 hanya memiliki elemen identitas sebagai satu-satunya elemen
yang sama
3. sembarang elemen G dapat ditulis sebagai perkalian h1 ∈ H1 dan h2 ∈ H2 .
14
2.2
Representasi Linier Grup
Dalam mekanika kuantum, kita tertarik pada sifat-sifat keadaan eigen terhadap
bermacam transformasi. Teori Grup menawarkan suatu cara sistematik untuk
menemukan sifat-sifat ini dari kesimetrian Hamiltonian. Keadaan eigen membentukruang vektor linier yang menyediakan representasi matriks dari grup transformasi G. Coba kita tandai represntasi yang demikian itu dengan D(g) dimana g
merupakan salah satu elemen dari G
Kasus yang sederhana secara trivial dari suatu representasi diperoleh untuk grup
pembalikan (inversi) dimana matriks berukuran 1 × 1. Dua elemen dari grup
adalah elemen identitas e(x → x) dan P (x → −x). Untuk sembarang keadaan
dengan paritas genap, π = +1, representasinya adalah
D(e) = 1
D(P ) = 1
(2.25)
Keadaan dengan paritas ganjil, π = −1, memberikan representasi
D(e) = 1
D(P ) = −1
(2.26)
Suatu representasi dibentuk dari matriks-matriks sebanyak jumlah elemen dalam
grup.
2.2.1
Definisi Representasi Grup
Suatu grup Γ dari operator-operator linier didefinisikan dalam ruang vektor berdimensi berhingga L dikatakan suatu representasi linier dari suatu sembarang grup
G jika G homomorfik terhadap Γ. Coba kita sebut operator yang berkaitan dengan g ∈ G dengan S(g). Maka kita peroleh
S(g1 )S(g2 ) = S(g1 g2 )
(2.27)
S(e) = e
(2.28)
S(g − 1) = S −1 (g)
(2.29)
Relasi ketiga berasal dari fakta bahwa operator S(g) haruslah non-singular, yaitu
bahwa ia memiliki invers S −1 (g) agar dapat memenuhi aksioma suatu grup. Sehingga dapat kita tuliskan
S(g)S −1 (g) = e
(2.30)
Padahal gg −1 = e mengakibatkan
S(g)S(g 1 ) = S(e) = e
Dengan membandingkan (2.30) dan (2.31) kita peroleh (2.29)
15
(2.31)
2.2.2
Representasi Matriks
Jika dimensi L adalah n maka suatu representasi memilii derajat n atau dengan
kata lain representasi tersebut berdimensi-n. Malahan,operator-operator S(g)
menghasilkan matriks-matriks berukuran n × n yang bekerja pada vektor basis
|1 >, |2 >, ..., |n > dari L
S(g)|k >=
X
µ
Dik
(g)|i >
(2.32)
Matriks-matriks Dµ (g) membentuk representasi matriks dari grup G. Biasanya
matriks ini diberikan indeks superskrip µ yang berkaitan dengan dimensi dari
representasi. Notasi yang umum untuk suatu representasi matriks adalah Γ atau
D.
Coba kita ambil suatu set fungsi ψ1 , ψ2 , ...ψn yang berkorespon dengan nilai eigen
yang sama dari suatu hamiltonian H. Misalnya H invarian terhadap grup transformasi Γ yaitu
[H, S(g)] = 0
(2.33)
maka sembarang fungsi baru S(g)ψi berkorespon dengan nilai eigen yang sama.
Matriks transformasi dari ψi ke S(g)ψi merupakan suatu representasi linier dari
G. Ini merupakan suatu kasus khusus dari apa yang sering disebut sebagai subspace invarian dalam teori grup. Dalam suatu ruang linier L, sangatlah mungkin
untuk menemukan suatu subspace L′ dengan vektor basis ψi memiliki sifat bahwa
suatu vektor yang telah ditransformasi S(g)ψi juga merupakan elemen dari L′ .
Maka L′ dikatakan subspace invarian jika sifat ini dimiliki oleh semua transformasi S(g) dari transformasi Γ
2.2.3
Representasi Ekivalen
Ambil 2 buah representasi S(g) dan S ′ (g) berturut-turut dalam L dan L′ . Jika L
dan L′ memiliki dimensi yang sama dan dapat dicari operator linier non-singular
M yang mengubah L dan L′ ke satu sama lain sedemikian sehingga
M S(g) = S ′ (g)M
(2.34)
untuk tiap g maka 2 representasi tersebut dikatakan ekivalen. Dengan kata lain,
jika kita mengubah basis di dalam ruang L dengan matriks M representasi tersebut akan menjadi
S ′ (g) = M S(g)M −1
16
(2.35)
Sembarang transformasi dari suatu matriks yang memiliki bentuk (2.35) dikatakan
transformasi keserupaan
2.2.4
Representasi Uniter
Dalam mekanika kuantum, fungsi gelombang merupakan vektor keadaan atau
kombinasi linier dari vektor-vektor keadaan, yaitu keadaan eigen ψi dari hamiltonian. ψi membentuk ruang Hilbert, yang mana dalam produk skalar didefinisikan
dengan
< ψi |ψj >=< ψj |ψi >∗
(2.36)
Vektor basis ψi dapa dipilih yang ortonormal yaitu memenuhi:
< ψi |ψj > δij
(2.37)
Suatu operatr U dikatakan unitary jika
< U φ, U ψ >=< φ, ψ >
(2.38)
Untuk basis ortonormal, hal ini mengimplikasikan
< U ψi |U ψj >=< ψi |ψj >= δij untuk semuai, j
(2.39)
Matriks yang berasosiasi dengan U dalam basis ortonormal merupakan matriks
unitary
U U † = U †U = 1
(2.40)
Jika operator-operator dari suatu representasi S(g) dari suatu grup G bersifat
uniter, maka representasinya disebut representasi uniter. Kebanyakan grup yang
menarik di Fisika memiliki representasi uniter atau representasi yang dapat diubah menjadi transformasi uniter.
Dalam subbab ini ada suatu teori penting: Setiap representasi ekivalen terhadap
suatu representasi uniter untuk grup Lie kompak yang berhingga.
Bukti: Untuk grup berhingga ada suatu pembuktian yang baku seperti yang akan
dijabarkan di bawah ini.
Kita perkenalkan suatu operator penjumlahan invarian berikut
H2 =
1 X †
S (h)S(h)
N h∈G
(2.41)
dimana N merupakan orde dari grup dan penjumlahannya dilakukan terhadap
seluruh elemen h dari G. Ini adalah matriks hermit dan kita dapat buktikan
17
bahwa nilai eigennya real dan positif. Maka adalah sah jika kita definisikan suatu
akar dari operator H berikut:
1
H = (H 2 ) 2
(2.42)
Operator H memberikan representasi ekivalen
S ′ (g) = HS(g)H −1
(2.43)
yang akan kita buktikan bersifat uniter. Mula-mula kita tunjukkan dahulu bahwa
S†(g)H 2 S(g)
1 X †
S (g)S † S(h)S(g)
N h∈G
1 X †
S (hg)S(hg)
N h∈G
1 X † ′
S (h )S(h′ )
N h′ ∈G
=
=
=
(2.44)
H2
=
dimana h′ = hg juga dijumlahkan terhadap seluruh elemen G, disusun ulang
dengan perkalian di sisi kanan, dengan elemen tetap g. Mengalikan (2.44) dengan
H −1 di sebelah kiri dan S −1 H −1 di sebelah kanan, kita peroleh
H −1 S † (g)H = HS −1 H −1
(2.45)
atau secara alternatif, dengan menggunakan fakta bahwa H bersifat hermitian,
¡
HS(g)H −1
¢†
¡
¢−1
= HS(g)H −1
(2.46)
atau dengan menggunakan definisi (2.43)
S ′† (g) = S ′−1 (g)
(2.47)
yang membuktikan bahwa representasi ekivalen S ′ bersifat uniter. Bukti ini dapat
diperumum untuk grup Lie kompak melalui penggunaan integrasi invarian terhadap elemen-elemen grup alih-alih menggunakan penjumlahan invarian (2.41).
2.2.5
Representasi Iredusibel
Iredusibilitas merupakan sifat yang sangat penting dari suatu grup. Dalam Fisika,
kita menggunakan grup-grup simetris terutama melalui representasi iredusibel.
Keadaan-keadaan terdegenerasi dari suatu hamiltonian dapat menyediakan fungsi
18
basis untuk representasi iredusibel.
Jika dalam ruang vektor linier L, kita dapat menemukan suatu basis dimana
matriks-matriks D(g) dari representasi berdimensi-n dapat secara simultan ditulis
dalam bentuk:
¯
¯ 1
¯ D (g) C(g) ¯
¯
(2.48)
D(g) = ¯¯
0
D2 (g) ¯
untuk semua elemen g dari grup G, representasi D(g) dikatakan redusibel. Blok
matriks di sini adalah 2 matriks persegi D1 dan D2 berdimensi n1 dan n2 dan 2
matriks segiempat, dimana salah satunya memiliki semua elemen sama dengan
nol yaitu pada matriks yang terletak pada sebelah kiri bawah. Bentuk yang
demikian menunjukkan
keberadaan subspace invarian L1 berdimensi n1 . Coba
µ 1 ¶
X
vektor-vektor yang merupakan bagian dari L1 saja. Maka
kita sebut
0
kita tuliskan
µ 1
¶µ 1 ¶ µ 1 1 ¶
D C
X
D X
=
(2.49)
2
0 D
0
0
yaitu bahwa vektor yang telah bertransformasi
juga merupakan bagian dari L1 .
¶
µ
0
yang merupakan milik/bagian dari L2 ,
Coba sekarang kita ambil vektor
X2
maka hasilnya
¶
¶ µ
¶µ
CX 2
0
D1 C
(2.50)
=
D2 X 2
X2
0 D2
yaitu suatu vektor yang menjadi bagian dari keseluruhan ruang. Maka, agar
2
L menjadi subspace invarian, kita harus mengambil C = 0. Jika matriks C
µ
nol, representasi D dikatakan f ully redusibel. Maka, terdapat suatu subspace
invarian kedua L2 berdimensi n2 dan keseluruhan ruang L dapat ditulis sebagai
penjumlahan langsung
L = L1 + L2
(2.51)
dan representasi D merupakan penjumlahan
D = D1 + D2
(2.52)
Jika untuk representasi tertentu D, tidak ada transformasi keserupaan yang membawa matriks-matriks D(g) ke dalam bentuk diagonal secara simultan untuk semua g ∈ G maka representasi tersebut dikatakan iredusibel atau disingkat irreps.
Dalam kasus representasi f ully redusibel, matriks D1 dan D2 dapat direduksi
lebih jauh lagi menjadi penjumlahan matriks-matriks berdimensi lebih kecil lagi
yang iredusibel. Notasi untuk penjumlahan yang didefinisikan menurut () adalah
D = D1 ⊕ D2 ⊕ D3 ⊕ ........ ⊕ DK
19
(2.53)
Untuk representasi uniter, redusibilitas secara langsung berarti f ully redusibel.
Coba kita ambil suatu basis ortonormal e1i ∈ L1 , e2i ∈ L2 :
(e1i , e1j ) = (e2i , e2j ) = δij
(e1i , e2j ) = 0
(2.54)
Keinvarianan subspace L1 berarti bahwa
S(g)e1i
=
n1
X
1 1
Dji
ej
(2.55)
j=1
sedangkan, untuk suatu vektor dalam L2 , kita punya
S(g)e2j =
n1
X
Clj1 e1l +
n2
X
2 2
Dkj
ek
(2.56)
k=1
l=1
Relasi ortogonalitas (2.54) memberikan
Cij = (e1i , S(g)e2j )
(2.57)
Namun secara definisi S merupakan operator uniter yang menghasilkan
Cij =< S −1 (g)e1i , e2j >=< S(g −1 )e1i , e2j >= 0
(2.58)
jadi matriks C dalam persamaan (2.50) memiliki semua elemen sama dengan nol.
Maka L2 juga merupakan subspace invarian. Representasi redusibel dapat dipecah lagi dan lagi menjadi blok-blok matriks sepanjang diagonalnya sampai hanya
mengandung representasi iredusibel. Dalam mekanika kuantum, mereduksi suatu representasi berkaitan erat dengan eliminasi kedegenerasian atau melengkapi
pelabelan fungsi gelombang. Hal ini terjadi karena jika suatu representasi iredusibel untuk keseluruhan grup, bisa jadi representasi tersebut redusibel bagi
subgrupnya.
2.2.6
Perkalian langsung Representasi
Dari 2 representasi matriks, Dµ1 (g) dan Dµ2 (g) berdimesni n1 , dan n2 , kita dapat
mengkonstruksi suatu representasi Dµ (g) sebagai suatu produk /perkalian langsung atau kronecker dari 2 matriks . Ini merupakan matriks berukuran n1 × n2
dengan elemen-elemen yang dilabeli 2 indeks
µ
µ1
µ2
Dik,jl
(g) = Dij
(g)Dkl
(g)
(2.59)
Matriks Dµ mendeskripsikan sifat transformasi dari produk fungsi ψj1 ψl2 , jika
kita melakukan transformasi g yang sama secara simultan pada koordinat ψ 1
20
dan ψ 2 . Fungsi fungsi ini dapat mendeskripkan 2 partikel-partikel yang berbeda
atau bagian-bagian yang independen dari sistem yang sama. Secara terpisah kita
peroleh
S(g)ψj1 =
X
µ1 1
Dij
ψi ;
S(g)ψl2 =
dan untuk sistem gabungan kita peroleh
S(g)ψj1 ψl2
=
=
X
X
X
µ2 2
Dkl
ψk
µ1 µ2 1 2
Dij
Dkl ψi ψk
µ
Dik,jl
ψi1 ψk2
Perkalian langsung menawarkan suatu cara untuk menghasilkan representasirepresentasi baru dari representasi lama. Jika Dµ1 dan Dµ2 iredusibel, maka
secara umum matriks Dµ bersifat redusibel. Orang tertarik untuk menemukan
irreps yang mana yang terjadi dalam Dµ . Masalah matematis ini memiliki implikasi yang penting dalam fisika. Misalnya, dalam kopling 2 momentum sudut
j1 dan j2 yang menghasilkan |j1 − j2 | ≤ j ≤ j1 + j2 , terkait dengan irreps grup
rotasi yang diperoleh dari perkalian langsung 2 irreps yang berkorespon dengan
µ1 = j1 dan µ2 = j2
2.2.7
Perkalian Luar Representasi
Untuk grup simetrik, orang biasanya memperkenalkan 2 jenis perkalian (produk) representasi.Yang pertama adalah perkalian langsung /perkalian dalam yang
terkait dengan produk fungsi dari partikel yang sama. Sedangkan perkalian luar
terkait dengan produk fungsi-fungsi dari partikel-partikel berbeda.
Dalam Fisika, orang biasanya mempunyai 2 sistem partikel 1,2,...,m dan m +
1, m+2, ...n yang dideskripsikan oleh fungsi gelombang ψ [f1 ] (1, 2, ..., m) dan ψ [f2 ] (m+
1, m + 2, ..., n) dari kesimetrian tertentu [f1 ], [f2 ] berturut-turut terhadap permutasi partikel. Dengan kata lain, ψ [f1 ] merupakan bagian dari subspace invarian
dari irreps [f1 ] dan ψ [f2 ] merupakan bagian dari subspace invarian dari irreps
[f2 ]. Sekarang kita hendak mengkonstruksi keadaan-keadaan produk dari sistem
terkombinasi ψ [f1 ] (1, 2, ..., m)ψ [f2 ] (m + 1, m + 2, ..., n). Masalahnya adalah mencari kesimetrian permutasi [f ] yang mungkin dari total fungsi ψ [f ] (1, 2, ..., m, m +
1, m + 2, ..., n). Nilai dari [f ] diberikan oleh perkalian luar. Jadi, melakukan
perkalian luar dari 2 irreps [f1 ] dari Sn1 dan [f2 ] dari Sn2 , berarti mendekomposisi
matriks yang merupakan representasi redusibel dari Sn1 +n2 ke dalam suku-suku
irreps [f ] dari Sn1 +n2 dan menetukan multisiplistasnya m[f ] . Secara simbolik kita
21
dapat tuliskan
[f1 ] ⊗ [f2 ] = [f2 ] ⊗ [f1 ] =
X
m[f ] [f ]
(2.60)
[f ]
Mula-mula pandang kasus paling sederhana dimana salah satu dari sistem dibentuk oleh satu partikel saja, yaitu ambil [f2 ] = [1]. Untuk sistem lain ambil misalnya irreps [f1 ] = [321] dari S6 . Hasilnya harus merupakan suatu penjumlahan
dari irreps dari S7
a
a
⊗ a =
+
+
a
+ a
(2.61)
Diagram pada sisi kanan diperoleh dari [321] dengan menempelkan kotak tambahan a dengan semua cara yang mungkin sedemikian sehingga diperoleh diagram
young yang benar. Jika pada akhirnya kita memilih Young tableau dideskripsikan
dengan simbol Yamanuchi Y1 =(312211) kita dapat menuliskan (2.61) dalam bentuk eksplisit
1 2 5
1 2 5
1 2 5 7
1 2 5
1 2 5
3 4
2 4
3 4
3 4 7
3 4
6
6
7
6
6
6
7
⊗
=
+
+
+ 7
(2.62)
Namun jika [f1 ] dan [f2 ] mengandung lebih dari satu kotak alias n1 6= 1 dan
n2 6= 1, cara yang diterapkan adalah meletakkan kotak label-label awal (sesuai
urutan) pada diagram young yang hendak dikalikan untuk memperoleh diagram
young yang tepat (pertimbangkan semua kemungkinan). Lalu ulang prosedur
ini untuk label-label berikut dengan syarat tambahan bahwa simbol yang ditambahkan ketika dibaca dari kanan ke kiri baris perbaris adalah sedemikian sehingga
pada tiap ”tahap”, banyaknya simbol a ≥ banyaknya simbol b ≥ banyaknya sim-
bol c dan seterusnya. Yang dimaksud dengan ”tahap” di sini adalah: b yang
pertama harus didahului a yang pertama, b yang kedua harus didahului a yang
kedua, c yang pertama harus didahului a dan b yang pertama dan seterusnya.
Untuk contoh di atas, hasil yang diperoleh ditampilkan berikut ini merupakan
22
penjumlahan irreps [f ] dari S8
a a
a a
b
c
⊗
= c
a a
b
a
b
a
+c
a a
b
c
+
a
b
c
+
a
a
b
a
b
c
+
a b
+ c
+ a c
(2.63)
Dalam suku-suku partisi, diagram young di atas dapat ditulis
[22 ] ⊗ [212 ] = [431] + [4212 ] + [23 12 ] + [32 12 ] + [32 2] + [322 1] + [3213 ]
(2.64)
Dalam contoh in, tiap representasi [f ] dari S8 muncul dengan multisiplitas lebih
dari satu. Sangatlah mungkin mengetes validitas dari hasil reduksi dengan menggunakan argumen dimensionalitas. Dimensi-dimensi dari partisi yang terhubung
melalui perkalian luar memenuhi persamaan yang merupakan konsekuensi dari
persamaan (2.60) berikut:
d[f1 ] × d[f2 ] ×
(n1 + n2 )! X
=
m[f ] d[f ]
n1 !n2 !
(2.65)
[f ]
Dengan menggunakan argumen yang berdasar pada dimensi suatu irreps, suatu
uji coba alternatif dapat dicapai dengan mempertimbangkan bahwa semua diagram young yang muncul pada sisi kiri dan kanan persamaan (2.60) berasosiasi
dengan irreps yang sama dari SU(N). Untuk SU(N) maka persamaan dimensi
yang harus dipenuhi adalah:
SU (N )
d[f1 ]
SU (N )
× d[f2 ]
=
X
SU (N )
m[f ] d[f ]
(2.66)
[f ]
dimana dimesi dari SU(N) sendiri menurut representasi [f ] adalah
SU (N )
d[f ]
N
Y
fi − fj + j − i
=
j−i
i didefinisikan sebagai jumlah dari perkalian
|[f ′ ]Y ′ > dan |[f ′′ ]Y ′′ > melalui
X
|[f ]Y >=
S([f ′ ]Y ′ [f ′′ ]Y ′′ |[f ′ ]Y ′ )|[f ′ ]Y ′ > |[f ′′ ]Y ′′ >
(2.69)
Y ′ ,Y ′′
Koefisien-koefisien S([f ′ ]Y ′ [f ′′ ]Y ′′ |[f ]Y ) merupakan koefisien Clebsch − Gordan
dari Sn . Mereka membentuk suatu matriks ortogonal yang memberikan trans24
formasi antara basis-basis |[f ]Y > dan |[f ′ ]Y ′ > |[f ′′ ]Y ′′ >. Dengan menggunakan sifat ortogonalitas dari matriks ini, kita dapat mengubah relasi (2.69)
untuk menghasilkan
|[f ′ ]Y ′ > |[f ′′ ]Y ′′ >=
X
[f ]Y
S([f ′ ]Y ′ [f ′′ ]Y ′′ |[f ]Y )|[f ]Y >
(2.70)
Sekarang, kita akan pelajari perkalian S3 .
Ruang spin dan isospin suatu nukleon dapat menghasilkan ruang berdimensi-4
dengan perkalian langsung. Sembarang vektor x dalam ruang ini dapat ditulis
sebagai
u↑
u↓
x=
d↑
d↓
(2.71)
dan kita dapat memperkenalkan aksi dari grup
SU (4) ⊃ SUS (2) × SUI (2)
dimana sisi kanan persamaan merupakan perkalian langsung dari SUS (2) yang
bekerja pada ruang spin dan SUI (2) bekerja pada ruang isospin. Dimensi dari [2]
dan [11] sebagai irreps SU(4) dapat dihitung menggunakan formula (2.67) dan
menghasilkan
SU (4)
d[2]
SU (4)
= 10 d[11]
=6
(2.72)
Representasi-representasi [2] dan [11] dari SU(4) dapat didekomposisikan dengan
cara berikut:
SU (4) =
SU (4) =
SU (2) ×
SU (2) ×
SU (2) +
SU (2) +
SU (2) ×
SU (2) ×
SU (2)(2.73)
SU (2) (2.74)
Dari persamaan di atas dapat dicek bahwa ternyata dimensi dari masing-masing
representasi juga memenuhi persamaan tersebut.
Untuk S3 , perkalian dalam dapat diperoleh sebagai perluasan dari teknik yang
dijelaskan di atas. Coba kita anggap bahwa masing-masing dari 3 objek-objek
ini adalah suatu partikel, yang mana merupakan vektor SU(4). Mula-mula kita
kerjakan perkalian luar [2] dari S2 dan [1] dari S1 :
SU (4) ×
SU (4) =
SU (4) +
25
SU (4)
(2.75)
Ini juga merupakan perkalian langsung dari 2 irreps SU(4) yang diindikasikan
oleh diagram young dan dimensi mereka. Pada sisi lain, pada sisi kiri persamaan
di atas, kita dapat gunakan relasi (2.73) dan
SU (4) =
SU (2) ×
SU (2)
(2.76)
untuk memperoleh
⊗
=
³
⊗
=
´
=
+
=
×
×
³
×
⊗
+
´
⊗
×
+
×
×
+2
×
´
×
×
⊗
⊗
+
+
+
³
×
+
×
(2.77)
Sekarang, kita dapat identifikasi 2 suku pada sisi kanan persamaan (2.75) sebagai
SU (4) =
SU (2) ×
SU (2) +
SU (2) ×
SU (2)
(2.78)
dan
SU (4) =
SU (2) ×
SU (2) +
SU (2) ×
+
SU (2) ×
SU (2)
SU (2)
(2.79)
Ini adalah dekomposisi dari irreps SU(4) ke dalam irreps SU(2)×SU(2). Suku pertama pada sisi kanan persamaan (2.78) harusnya kita antispiasi karena perkalian
dari 2 keadaan simetrik menghasilkan keadaan simetrik.
Berikutnya pandang perkalian luar berikut
SU (4) ⊗
SU (4) =
26
SU (4) +
SU (4)
(2.80)
dan dengan menggunakan relasi (2.74) dan (??) pada sisi kiri persamaan, kita
dapatkan
³
´
⊗
SU (4) ⊗
=
×
+
×
×
=
³
=
⊗
´
+
×
⊗
+
×
⊗
+
×
³
×
+
Dengan memperhitungkan (2.79) kita dapaka identitas
SU (4) =
SU (2) ×
⊗
SU (2)
´
(2.81)
(2.82)
Dari sudut pandang S3 , kita dapat menggunakan relasi (2.78),(2.79),(2.82) untuk memperoleh deret Clebsch − Gordan. Misalnya, jika kita mencari perkalian
dalam [21] × [21], ternyata itu muncul sekali masing-masing pada persamaan
(2.78),(2.79),(2.82), sehingga dapat kita tuliskan
[21] × [21] = [3] + [21] + [13 ]
(2.83)
dengan analogi, kitapun bisa dapatkan
[3] × [3] = [3]
(2.84)
[3] × [21] = [21] × [3] = [21]
(2.85)
Untuk kelengkapan kita dapat tambahkan deret-deret Clebsch − Gordan berikut
[3] × [13 ] = [13 ]
[13 ] × [13 ] = [3]
(2.86)
(2.87)
Yang pertama menyatakan