Zona Fisika | Blogger Lampung Tengah

Peluruhan Pion Berdasarkan Teori Perturbasi
Chiral

Skripsi
Diajukan sebagai salah satu syarat untuk meraih gelar Sarjana Sains

Nofirwan
0398020493

Departemen Fisika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Indonesia
Depok
2004

Lembar Persetujuan

Judul Skripsi

:

Peluruhan Pion Berdasarkan Teori Perturbasi Chiral

Nama

:

Nofirwan

NPM

:

0398020493

Skripsi ini telah diperiksa dan disetujui
Depok, 7 Juni 2004
Mengesahkan

Pembimbing I

Pembimbing II

Dr. Terry Mart

Penguji I

Penguji II

Dr. L.T. Handoko

Dr. Anto Sulaksono

Gambar 1: Foto Tunangan
iii

Kata Pengantar
Alhamdulillah, puji syukur ke hadirat Allah SWT, atas selesainya penyusunan skripsi ini sebagai syarat untuk meraih gelar Sarjana Sains.
Skripsi ini merupakan rangkaian terakhir dari sekian banyak tugas yang penulis
harus jalani ketika menempuh pendidikan di Departemen Fisika UI. Topik penelitian
yang penulis angkat pada kesempatan kali ini adalah mengenai neutrino. Topik ini

cukup menarik karena beberapa tahun belakangan ini banyak dibicarakan mengenai
neutrino bermassa yang tentu berlawanan dengan konsep dalam Standard Model.
Pada kesempatan kali ini penulis tak lupa mengucapkan terima kasih kepada Dr.
L. T. Handoko dan Dr. Terry Mart yang telah dengan sabar membimbing penulis
dalam menyelesaikan tugas akhir ini. Penulis menyampaikan apresiasi yang setinggitingginya kepada mereka berdua. Juga kepada penguji penulis, Dr. Na Peng Bo dan
Dr. Muhammad Hikam atas masukannya, dan kepada Dr. Anto Sulaksono dan Dr.
Chairul Bahri untuk diskusi-diskusi yang menarik dan juga untuk bantuan literatur.
Penulis menyadari bahwa tidak ada kesuksesan yang diraih tanpa dukungan
dari rekan-rekan penulis. Oleh karena itu penulis tak lupa mengucapkan terima
kasih kepada para kolega penulis di grup fisika nuklir dan partikel dan teman-teman
penulis lainnya di Departemen Fisika UI, khususnya angkatan ’99 untuk saat-saat
menyenangkan selama kuliah.
Pada akhirnya, penulis mengucapkan terima kasih kepada kedua orang tua dan
adik-adik penulis atas dukungan dan doanya selama ini. Semoga Allah SWT membalas kebaikan kalian semua.
Tiada diskusi melainkan pengayaan pemikiran dan perenungan. Terus berpikir
berarti terus hidup. Sedangkan terus berpikir dan berbuat berarti hidup dalam kesejatian.

iii

Nofirwan

iv

Abstrak
Diberikan elemen-elemen utama dan metode-metode dari teori perturbasi chiral
(ChPT), teori medan efektif dari Standard Model menurut skala kerusakan simetri
chiral secara spontan. Dasar teori ini adalah simetri global SU(3)L ×SU(3)R ×U(1)V

dari Lagrangian QCD dalam batas quark u, d, dan s tak bermassa, diasumsikan secara spontan rusak ke SU(3)V ×U(1)V yang menghasilkan delapan boson Goldstone
tak bermassa. Teori medan efektif memperkenalkan Lagrangian efektif dengan orde
terendah yang akan digunakan untuk menerangkan proses pada peluruhan pion.
Kata kunci: chiral.

Abstract
The main elements and methods of chiral perturbation theory, the effective field
theory of the Standard Model below the scale of sponaneous chiral symmetry breaking, are summarized. The basis of ChPT is the global SU(3)L ×SU(3)R ×U(1)V

symmetry of the QCD Lagrangian in the limit of massless u, d, and s quarks, is
assumed to be spontaneously broken down to SU(3)V ×U(1)V giving rise to eight

massless Goldstone bosons. The effective field theory, introducing to the effective
Lagrangian at lowest order is used to describe pion decay processes.
Keywords: chiral.

v

Daftar Isi
Kata Pengantar

iii

Abstrak

v

Daftar Isi

vi

Daftar Tabel

viii

Daftar Gambar

ix

1 Pendahuluan

1

1.1

Latar Belakang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.2

Perumusan Masalah

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.3

Metode Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.4

Tujuan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

2 Tinjauan Pustaka

5

2.1

Quantum Electrodynamics (QED) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

2.2

Quantum Chromodynamics (QCD) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

2.2.1

Beberapa Sifat pada SU(3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

2.2.2

Lagrangian QCD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

2.3

Simetri Chiral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3.1

Medan quark Left-Handed dan Right-Handed . . . . . . . . . . 13

2.3.2

Teorema Noether . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.3.3

Arus Simetri Global dari Sektor Quark Ringan . . . . . . . . . 19

2.3.4

Aljabar Chiral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.3.5

QCD Dalam Kehadiran Medan-medan Eksternal . . . . . . . . 24
vi

3 Kerusakan Simetri Spontan dan Lagrangian Efektif

30

3.1

Kerusakan Simetri Chiral Karena Suku Massa Quark . . . . . . . . . 30

3.2

Kerusakan Spontan Dari Simetri Global, Kontinu, Non-Abelian . . . 33

3.3

Teorema Goldstone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.4

Kerusakan Simetri Spontan Dalam QCD . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.4.1

Spektrum Hadron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.4.2

Condensate Quark skalar hq̄qi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.5

Lagrangian Efektif Orde Terendah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.6

Konstruksi Lagrangian Efektif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

4 Hasil dan Pembahasan
4.1
4.2

57

Peluruhan Pion π + → µ+ νµ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

Pembahasan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

5 Kesimpulan dan Saran

61

A Mekanika Kuantum Relativistik

62

A.1 Notasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
A.2 Aljabar Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
B Transformasi Grup U(1),U(3) dan SU(3)
Daftar Acuan

66
67

vii

Daftar Tabel
2.1

Konstanta struktur anti-simetrik dari SU(3) yang seluruhnya tidak nol.

8

2.2

Simbol d dari simetri SU(3) yang seluruhnya tidak nol. . . . . . . . .

9

2.3

Flavor-flavor quark, muatan dan massa-massanya. Besar mutlak ms
ditentukan menggunakan aturan jumlah QCD. Hasil tersebut diberikan
untuk massa berlari MS pada skala µ = 1 GeV. Massa quark-quark
ringan dihasilkan dari rasio massa yang ditemukan menggunakan teori
perturbasi chiral, menggunakan massa quark strange sebagai masukan. Massa quark-quark berat mc dan mb masing -masing ditentukan oleh massa charmonium dan D, dan massa bottomium dan B. . 10

2.4

Sifat-sifat transformasi dari matriks-matriks Dirac Γ terhadap paritas. 25

2.5

Sifat-sifat transformasi dari matriks-matriks Dirac terhadap konjugasi muatan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.1

Perbandingan kerusakan simetri spontan. . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.2

Sifat-sifat transformasi terhadap grup (G), konjugasi muatan (C),
dan paritas (P ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

viii

Daftar Gambar
1

Foto Tunangan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.1

Potential dua dimensi yang invarian terhadap rotasi: V(x, y) = −(x2 +
y2) +

4.1

(x2 +y 2 )2
.
4

iii

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

Peluruhan Pion π + → µ+ νµ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

ix

Bab 1
Pendahuluan
Sampai sekarang orang masih mencari tahu apa yang menjadi penyusun alam semesta ini. Secara garis besar, partikel yang menyusun alam semesta dibagi menjadi dua
golongan, yaitu quark dan lepton. Quark dibedakan menjadi enam citarasa (flavor) yaitu, u (up), d (down), s (strange), c (charm), t (top), dan b (bottom) yang
datang dengan tiga derajat kebebasan warna (color) dan bertransformasi sebagai
triplet menurut transformasi fundamental SU(3). Lepton terdiri atas elektron (νe , e),
muon (νµ , µ), dan tau (ντ , τ ). Lepton terbagi menjadi dua kelas menurut muatan
listriknya, neutrino netral νe , νµ , ντ dan yang bermuatan negatif e− , µ− , τ − . Selain
lepton ada juga yang dinamakan meson dan baryon. Meson memiliki massa yang
terletak di antara massa lepton dan massa baryon. Partikel-partikel di atas dapat
saling berinteraksi melalui empat interaksi dasar, yaitu interaksi elektromagnetik,
lemah, kuat, dan gravitasi. Meson memiliki spin nol atau satu sedangkan baryon
memiliki spin kelipatan 1/2. Meson dan baryon dapat mengalami interaksi kuat,
karena itu mereka termasuk dalam golongan hadronik. Saat ini hanya interaksi elektromagnetik yang benar-benar dapat dimengerti, yang tercantum dalam Quantum
Electrodynamics (QED). Interaksi elektromagnetik dan interaksi lemah tergabung
dalam interaksi elektro lemah (electroweak). Sedangkan untuk interaksi kuat terdapat dalam Quantum Chromodynamics (QCD). Keseluruhan teori mengenai partikel
dan interaksinya di atas (tidak termasuk gravitasi), merupakan kesatuan teori yang
disebut Standard Model (SM). SM adalah teori yang mampu menjelaskan hampir
sebagian besar fenomena interaksi dalam fisika energi tinggi.

1

1.1

Latar Belakang

Pada tahun 1950-an, gambaran tentang interaksi kuat dalam kerangka teori medan
kuantum nampaknya gagal karena menimbulkan konstanta kopling yang terlalu besar pada energi tingkat rendah. Spektrum hadron yang kaya bersama dengan ukurannya merupakan petunjuk awal terhadap substruktur dalam unsur-unsur pokok
yang lebih fundamental.
Saat ini, hadron adalah obyek-obyek kompleks yang dibangun dari banyak derajat kebebasan yang fundamental. Banyak hasil-hasil empiris dari fisika medium dan
fisika energi tinggi seperti produksi hadron dalam pemusnahan elektron-positron,
berhasil diterangkan menggunakan metode gangguan dalam kerangka kerja dari
teori gauge SU(3) yang mengacu pada Quantum Chromodynamics (QCD). Masih
belum ada metode analitik yang menjelaskan QCD pada jarak yang jauh, yaitu pada energi-energi rendah. Sebagai contoh, bagaimana hadron-hadron diamati secara
asimtotik, termasuk spektrum resonansinya yang kaya, yang diciptakan oleh QCD
masih belum secukupnya dipahami. Ada tiga masalah QCD pada level kuantum,
yaitu, ”masalah gap”,”quark confinement”, dan ”kerusakan simetri chiral secara
spontan”.
Pada energi sangat rendah (cenderung ke nol), konstanta kopling QCD akan
sangat besar. Namun pada energi tinggi, didapat konstanta kopling yang rendah
dan lebih rendah lagi. Inilah yang biasanya dikenal sebagai asymptotic freedom.
Hanya terhadap masalah asymptotic freedom teori perturbasi dapat dilakukan.
Masih ada usaha lain dalam mengatasi hal ini, yakni dengan teori simetri, yang
terdiri dari simetri chiral SU(3)L × SU(3)R dan realisasinya, yaitu kerusakan simetri

spontan ke SU(3)V pada apa yang dinamakan kerapatan Lagrangian efektif. Hal ini

kemudian ditulis dalam suku-suku dari medan boson Goldstone pseudoskalar yang
diamati secara asimtotik dan menjelaskan sifat energi rendah dari QCD. Sekarang
boleh dilakukan perturbasi non-konvensional, yaitu perturbasi bukan lagi dalam
pangkat konstanta kopling tapi dalam pangkat momentum boson Goldstone eksternal (rendah) dan massa quark (kecil). Metode ini yang dikenal sebagai mesonic
chiral perturbation theory (teori perturbasi chiral sektor meson).

2

1.2

Perumusan Masalah

Pada energi rendah, perturbasi tidak dapat dilakukan karena adanya konstanta kopling yang besar sehingga dibutuhkan suatu teori dimana perturbasi masih dapat
dilakukan. Teori tersebut dikenal sebagai teori perturbasi chiral. Spektrum hadron
yang diamati dalam percobaan masih belum dapat dimengerti. Ternyata derajat
kebebasan hadronik pada energi rendah muncul sebagai keadaan asimtotik yang
dapat diamati. Timbul pertanyaan bagaimana keadaan ini dapat dijelaskan secara
teoritik? Keadaan ini hanya dapat diperiksa melalui teori perturbasi chiral yang
diperkenalkan oleh Gasser dan Leutwyler [16, 17]. Karena dasar teori ini memeriksa
proses-proses interaksi kuat QCD pada tingkat energi rendah atau keadaan dengan
suku massa quark sama dengan nol yang biasa disebut sebagai batas chiral. Pada batas ini, medan quark left- dan right-handed dipisahkan satu sama lain dalam
Lagrangian efektif QCD. Pada tingkat klasik, Lagrangian efektif memperlihatkan
simetri global SU(3)L × SU(3)R . Namun, pada tingkat kuantum arus aksial vektor

singlet mengembangkan suatu anomali [1, 2, 3, 4, 5] sehingga perbedaan bilangan

quark left- dan right-handed bukanlah suatu konstanta gerak. Dengan kata lain,
dalam batas chiral, Hamiltonian QCD mempunyai simetri SU(3)L ×SU(3)R ×U(1)V .

Dengan ini orang dapat mempelajari lebih dalam tentang struktur hadron yang sampai saat ini masih hangat dibicarakan.

1.3

Metode Penelitian

Penelitian yang dilakukan di sini sifatnya hanya teoritik. Karena itu diperlukan
suatu kerangka kerja yang sistematis dalam menerangkan proses-proses fisika yang
terjadi. Kerangka kerja teoritik yang digunakan adalah teori Medan Kuantum Efektif (Effective Quantum Field Theory) yang di dalamnya tercakup teori perturbasi
chiral. Teori ini dikembangkan oleh Gasser dan Leutwyler [16, 17] yang menganalisis
konsekuensi simetri SU(3)L × SU(3)R dari LQCD dengan memperkenalkan kopling

dari sembilan arus vektor dan delapan arus aksial vektor dan juga kerapatan quark
skalar dan pseudoskalar ke dalam Lagrangian QCD dan mempromosikan simetri
global ke simetri lokal.

3

1.4

Tujuan

Pada energi rendah QCD terdapat konstanta kopling yang besar sehingga tidak
memungkinkan untuk dilakukannya teori gangguan. Sementara itu pada energi
tinggi terdapat kopling yang kecil dan makin kecil yang biasa dikenal sebagai asymptotic freedom (kebebasan asimtotik). Hanya pada daerah asimtotik teori perturbasi
(gangguan) dapat dilakukan. Namun, agar teori perturbasi dapat dilakukan pada
energi rendah, maka ekspansi pangkat dalam perturbasi bukan dilakukan terhadap
kopling melainkan terhadap momentum boson Goldstone dan massa quark. Metode
ini yang dikenal sebagai chiral perturbation theory (teori perturbasi chiral). Dengan
teori ini akan dilihat bagaimana menjelaskan dinamika boson Goldstone (termasuk
pion) pada tingkat energi rendah dalam kerangka kerja teori medan efektif.

4

Bab 2
Tinjauan Pustaka
Teori perturbasi chiral memberikan suatu kerangka kerja yang sistematis untuk
memeriksa proses-proses interaksi kuat pada energi rendah. Dasar teori perturbasi
chiral adalah simetri global SU(3)L × SU(3)R × U(1)V dari Lagrangian QCD dalam

batas quark tak bermasa u, d, dan s yang diasumsikan rusak ke SU(3)V × U(1)V se-

cara spontan dan menimbulkan delapan boson Goldstone. Sebelumnya akan diperkenalkan prinsip gauge. Prinsip gauge adalah metode yang amat sukses dalam fisika partikel elementer untuk membangkitkan interaksi antara medan-medan materi
melalui pertukaran boson-boson gauge (tera) tak bermassa.

2.1

Quantum Electrodynamics (QED)

Quantum Electrodynamics (QED) adalah teori gauge yang menerangkan interaksiinteraksi elektromagnetik antar partikel, dihasilkan dari promosi simetri global U(1)
dari Lagrangian yang menggambarkan elektron bebas ke dalam bentuk simetri
lokal.1
Ψ 7→ exp (−iΘ) Ψ : Lfree = Ψ̄ (iγ µ ∂µ − m) Ψ 7→ Lfree ,

(2.1)

Dalam proses ini parameter 0 ≤ Θ ≤ 2π menggambarkan sebuah elemen dari U(1)
yang diperbolehkan untuk bervariasi secara mulus dalam ruang-waktu, Θ → Θ(x),

yang menunjuk kepada menterakan grup U(1). Untuk menjaga keinvarianan Lagrangian menurut transformasi lokal, diperkenalkan potensial-empat Aµ ke dalam

teori yang bertransformasi menurut transformasi gauge Aµ 7→ Aµ − ∂µ Θ/e. Agar
1

Penulis menggunakan representasi matriks-matriks Dirac.

5

diperoleh suku kinetik dalam Aµ harus juga dimasukkan suku interaksi berupa ten-

sor kuat medan Fµν . Oleh karena itu dengan merujuk pada menterakan Lagrangian
yang berkenaan dengan U(1) diperoleh Lagrangian QED:
1
LQED = Ψ̄ [iγ µ (∂µ − ieAµ ) − m] Ψ − Fµν F µν ,
(2.2)
4
dimana Fµν = ∂µ Aν − ∂ν Aµ . Kemudian turunan kovarian ∂µ dari Ψ diganti dengan

Dµ ,

Dµ ≡ (∂µ − ieAµ ) Ψ,
didefinisikan sedemikian hingga menurut transformasi gauge jenis kedua
Ψ(x) 7→ exp [−iΘ(x)] Ψ(x),

Aµ (x) 7→ Aµ (x) − ∂µ Θ(x)/e,

(2.3)

turunan kovarian bertransformasi dengan cara yang sama, yaitu hanya bekerja pada
Ψ sendiri:
′

′

Dµ Ψ(x) 7→ Dµ Ψ (x)
i
h
′
′
= ∂µ − ieAµ (x) exp [−iΘ(x)] Ψ (x)

= [∂µ − ie (Aµ (x) − ∂µ Θ/e)] exp [−iΘ(x)] Ψ(x)
= exp[−iΘ(x)][∂µ − ieA(x)]Ψ(x)

= exp[−iΘ(x)]Dµ Ψ(x)

(2.4)

Suku massa M 2 A2 /2 tidak dimasukkan ke dalam Lagrangian karena suku ini akan

melanggar invarian gauge dan oleh karena itu prinsip gauge membutuhkan boson-

boson gauge tak bermassa.2 Dalam hal ini dikenal Aµ sebagai potensial-empat

elektromagnetik dan Fµν sebagai tensor kuat medan yang mengandung medan listrik

dan medan magnet. Prinsip gauge ini (secara alami) telah mengembangkan interaksi
medan elektromagnetik dengan materi.

2.2
2.2.1

Quantum Chromodynamics (QCD)
Beberapa Sifat pada SU(3)

Grup SU(3) memainkan peranan penting dalam konteks interaksi kuat, karena SU(3)
adalah grup tera (gauge) dari QCD. Pada sisi lain flavor SU(3) kira-kira direalisasikan sebagai simetri global dari spektrum hadron [6, 7, 8], supaya hadron-hadron
2

Massa dari medan-medan gauge dimunculkan melalui kerusakan spontan dari simetri gauge.

6

(massa rendah) yang diamati dapat disusun kira-kira dalam multiplet-multiplet yang
terdegenerasi dengan mencocokkan dimensi dari representasi irredusibel SU(3). Pada akhirnya, hasil kali langsung dari SU(3)L × SU(3)R adalah grup simetri chiral
untuk menghilangkan massa-massa quark u, d dan s. Grup SU(3) ditentukan seba-

gai himpunan matriks unitari, unimodular, 3 × 3 U , yakni U † U = 1 dan det( U )=1.

Dalam hal matematika, SU(3) adalah delapan parameter yang secara sederhana
dihubungkan dengan grup Lie yang compact.
Elemen-elemen SU(3) dapat ditulis dalam bentuk
Ã
!
8
X
λa
U (Θ) = exp −i
,
Θa
2
a=1

(2.5)

dengan Θa bilangan-bilangan riil, dan delapan matriks λa disebut matriks-matriks
Gell-Mann, yang memenuhi
∂U
λa
(0, . . . , 0),
= i
2
∂Θa
λa = λ†a ,

(2.6)
(2.7)

Tr(λa λb ) = 2δab ,

(2.8)

Tr(λa ) = 0.

(2.9)

Representasi eksplisit dari matriks Gell-Mann adalah






1
0 0
0 −i 0
0 1 0
λ3 =  0 −1 0  ,
λ1 =  1 0 0  ,
λ2 =  i 0 0  ,
0 0 0
0 0 0
0
0 0






0 0 0
0 0 −i
0 0 1
λ4 =  0 0 0  ,
λ6 =  0 0 1  ,
λ5 =  0 0 0  ,
i 0 0
1 0 0
0 1 0




0 0 0
1 0
0
1 


0 0 −i ,
0 1
0 
λ8 = √
λ7 =
(2.10)
3
0 i 0
0 0 −2

Himpunan {iλa } merupakan basis aljabar Lie su(3) dari SU(3), yakni, himpunan

semua matriks skew Hermitian 3×3 yang tidak mempunyai trace. Hasil dari grup Lie

kemudian ditentukan dalam suku-suku perkalian matriks biasa sebagai komutator
dua elemen dari su(3). Definisi seperti itu secara alami memenuhi sifat-sifat antikomutatif Lie
[A, B] = −[B, A]
7

(2.11)

abc
fabc

123 147 156 246 257 345 367
1
1
1
1
1
− 12
− 21
2
2
2
2

458
√
3

1
2

678
√
3

1
2

Tabel 2.1: Konstanta struktur anti-simetrik dari SU(3) yang seluruhnya tidak nol.

dan juga identitas Jacobi
[A, [B, C]] + [B, [C, A]] + [C, [A, B]] = 0.

(2.12)

Struktur dari grup Lie diberi kode dalam hubungan komutasi dari matriksmatriks Gell-Mann,

·

¸
λa λb
λc
,
= ifabc ,
2 2
2

(2.13)

dimana fabc adalah konstanta struktur riil yang sepenuhnya anti-simetrik.
[λa , λb ]

=

2ifabc λc

[λa , λb ] λc

=

2ifabc λ2c

Tr ([λa , λb ])

¡ ¢
2ifabc Tr λ2c

(2.8)

=

Tr ([λa , λb ])

=

fabc

=

4ifabc
1
Tr ([λa , λb ] λc )
4i

(2.14)

Lebih jelasnya, konstanta-konstanta stuktur ini adalah sebuah pengukuran nonkomutatif dari grup SU(3). Hubungan anti-komutasi memberikan
4
{λa , λb } = δab + 2dabc λc ,
3

(2.15)

dimana simetri dabc sepenuhnya diberikan oleh
1
dabc = Tr ({λa , λb } λc )
4

(2.16)

Selain itu, ada baiknya memperkenalkan matriks ke-sembilan
r
2
diag(1, 1, 1),
λ0 =
3
agar persamaan (2.7) dan (2.8) masih dipenuhi oleh sembilan matriks λa . Khususnya, kumpulan {iλa |a = 1, · · · , 8} merupakan basis aljabar Lie u(3) dari U(3), yakni,
8

abc
dabc
abc
dabc

118 146 157
√1
3

1
2

1
2

228

247
− 21
558

√1
3

355 366 377
448
1
1
1
− 2 − 2 − 2√1 3 − 2√1 3
2

256

338

344

1
2

√1
3

1
2

668

778

− 2√1 3

− 2√1 3

888
− √13

Tabel 2.2: Simbol d dari simetri SU(3) yang seluruhnya tidak nol.

kumpulan dari semua matriks 3×3 skew Hermitian kompleks. Akhirnya, sebuah
matriks sembarang 3×3 dapat ditulis sebagai
M=

8
X

λ a Ma ,

(2.17)

a=0

dimana Ma adalah bilangan-bilangan kompleks yang diberikan oleh
λb M =
Tr (λb M ) =
Tr (λb M ) =

8
X

a=0
8
X

a=0
8
X

λ b λ a Ma
Tr (λb λa ) Ma
2δba Ma

a=0

Tr (λb M ) = 2Mb
1
Mb =
Tr (λb M )
2
1
Tr (λa M )
Ma =
2

2.2.2

Lagrangian QCD

QCD adalah teori gauge dari interaksi-interaksi kuat [9, 10, 11] dengan color SU(3)
yang mendasari grup gauge. Medan materi QCD adalah quark-quark yang merupakan fermion spin-1/2, dengan enam flavor berbeda untuk tiga warna yang mungkin
(lihat tabel 2.3). Karena quark tidak diamati sebagai keadaan bebas secara asimtotik, pengertian massa quark dan nilai-nilai numeriknya sangat dekat dihubungkan
dengan metode dimana massa quark diekstrak dari sifat-sifat hadronik. Berkenaan dengan apa yang dinamakan nilai-nilai massa current-quark dari quark-quark
ringan, seharusnyalah memandang suku-suku massa quark semata-mata hanya sebagai parameter-parameter symmetry breaking (kerusakan simetri) dengan besar massa
9

flavor
muatan[e]
massa[MeV]
flavor
muatan[e]
massa[GeV]

u
d
s
2/3
−1/3
−1/3
5.1 ± 0.9 9.3 ± 1.4
175 ± 25
c
b
t
2/3
−1/3
2/3
1.15 − 1.35 4.0 − 4.4 174.3 ± 3.2 ± 4.0

Tabel 2.3: Flavor-flavor quark, muatan dan massa-massanya. Besar mutlak ms
ditentukan menggunakan aturan jumlah QCD. Hasil tersebut diberikan untuk massa
berlari MS pada skala µ = 1 GeV. Massa quark-quark ringan dihasilkan dari rasio
massa yang ditemukan menggunakan teori perturbasi chiral, menggunakan massa
quark strange sebagai masukan. Massa quark-quark berat mc dan mb masing masing ditentukan oleh massa charmonium dan D, dan massa bottomium dan B.

tersebut memberikan pengukuran secara luas untuk simetri chiral yang telah rusak.
Sebagai contoh, rasio dari massa-massa quark ringan dapat diduga dari massa-massa
oktet psudoskalar ringan [12]. Perbandingan antara massa proton, mp = 938 MeV,
dengan jumlah dua massa current-quark up dan down (lihat tabel 2.3)
mp À 2mu + md ,

(2.18)

menunjukkan bahwa interpretasi massa proton dalam suku-suku parameter massa
current-quark harus sangat berbeda dari, katakan saja keadaan atom hidrogen, dimana massa secara esensial diberikan oleh jumlah massa proton dan elektron yang
dikoreksi oleh sejumlah kecil energi ikat.
Lagrangian QCD dihasilkan dari prinsip gauge yaitu [13, 14]
LQCD =

1
q̄f (iD
/ − mf ) qf − Gµν,a Gaµν .
4
u,d,s

X

(2.19)

f = c,b,t

Untuk setiap flavor quark f , medan quark qf terdiri dari triplet warna (indeks bawah
r, g, dan b untuk ”red”, ”green”, dan ”blue”),


qf,r
qf =  qf,g  ,
qf,b

(2.20)

yang bertransformasi menurut transformasi gauge g(x) yang digambarkan oleh him-

10

punan parameter-parameter Θ(x) = [Θ1 (x), · · · , Θ8 (x)] menurut3
"
#
8
X
λC
′
qf 7→ qf = exp −i
Θa (x) a qf = U [g(x)]qf .
2
a=1

(2.21)

Secara teknis, setiap medan quark qf bertransformasi menurut representasi fundamental dari warna SU(3). Karena SU(3) adalah delapan parameter grup, turunan
kovarian persamaan (2.19) mengandung delapan parameter potensial gauge Aµ,a ,






8
qf,r
qf,r
qf,r
C
X
λa
Dµ  qf,g  = ∂µ  qf,g  − ig
Aµ,a  qf,g 
(2.22)
2
a=1
qf,b
qf,b
qf,b

Perlu dicatat bahwa interaksi antara quark dan gluon tidak bergantung pada flavor
quark. Dengan menuntut adanya invarian gauge LQCD , memaksa sifat transformasi

berikut dari medan-medan gauge

λC
i
λC
a
Aµ,a (x) 7→ U [g(x)] a Aµ,a (x)U † [g(x)] − ∂µ U [g(x)]U † [g(x)].
2
2
g

(2.23)

Sekali lagi, dengan syarat ini turunan kovarian Dµ qf bertransformasi pada qf , yakni
′

′

Dµ qf 7→ Dµ qf = U (g)Dµ qf .
D µ qf =

"

=

"

′

′

∂µ − ig

8
X
λC
a

′

Aµ,a qf

2
à 8
X λC

a=1

∂µ − igU

#

a

a=1

2

Aµ,a

!

= (∂µ U )qf + U (∂µ qf ) − igU
= U

Ã

∂µ − ig

= U D µ qf

8
X
a=1

λC
a
2

Aµ,a

!

#

U † − (∂µ U )U † U qf
8
X
λC
a

a=1

2

Aµ,a qf − (∂µ U )qf

qf

Menurut transformasi gauge jenis pertama, yakni transformasi global SU(3), suku
kedua pada sisi sebelah kanan pers. (2.23) akan menghilang dan medan-medan
gauge akan bertransformasi menurut representasi adjoint.
3
Demi kejelasan, matriks-matriks Gell-Mann mengandung indeks atas C yang menjelaskan
bekerja pada ruang warna.

11

Sejauh ini hanya bagian medan materi LQCD yang dipertimbangkan termasuk

interaksinya dengan medan-medan gauge. Persamaan (2.19) juga berisi generalisasi
dari tensor kuat medan untuk kasus non-Abelian,
Gµν,a = ∂µ Aν,a − ∂ν Aµ,a + gfabc Aµ,b Aν,c ,

(2.24)

dengan fabc konstanta struktur SU(3) yang diberikan dalam tabel 2.1. Seperti
pers. (2.23) tensor kuat medan bertransformasi menurut SU(3) sebagai
Gµν ≡

λC
a
Gµν,a 7→ U [g(x)]Gµν U † [g(x)].
2

(2.25)

Dengan menggunakan pers. (2.8) bagian gluonic murni LQCD dapat ditulis
µ C
¶
¢
¡
λa
λC
µν
b
Tr
Gµν,a Gb
= Tr U Gµν U † U G µν U †
2
2
µ C C¶
λa λb
Gµν,a Gbµν Tr
= Tr(Gµν G µν U † U )
2 2
1
Gµν,a δab Gbµν = Tr(Gµν G µν )
2
Gµν,a Gaµν = 2Tr(Gµν G µν )
maka
1
1
− Gµν,a Gaµν = − TrC (Gµν G µν )
4
2
yang diperoleh dengan menggunakan sifat trace, Tr(ABCD)=Tr(BCDA), bersama
dengan U U † = U † U = 1, dengan mudah dapat dilihat Lagrangian QCD invarian
terhadap transformasi pers. (2.25).
Perbedaannya terhadap kasus Abelian QED, tensor kuat medan yang dikuadrati
menimbulkan interaksi diri medan gauge yang melibatkan verteks dengan tiga dan
empat medan gauge masing-masing dengan kekuatan g dan g 2 . Suku-suku interaksi seperti ini merupakan karakteristik dari teori gauge non-Abelian dan suku-suku
tersebut membuat non-Abelian lebih rumit daripada teori Abelian.

12

2.3

Simetri Chiral

Enam flavor quark secara umum dibagi menjadi tiga kuark ringan u, d, dan s, dan
tiga flavor berat c, b, dan t.




mc = (1.15 − 1.35) GeV
mu = 0.005 GeV
 md = 0.009 GeV  ¿ 1 GeV ≤  mb = (4.0 − 4.4) GeV  ,
mt = 174 GeV
ms = 0.175 GeV

(2.26)

dimana skala ΛCSB = 1 GeV dikaitkan dengan massa-massa hadron paling ringan

yang berisi quark-quark ringan, contohnya mρ = 770 MeV, yang bukan merupakan
boson Goldstone yang diakibatkan dari kerusakan simetri spontan. Skala yang
dikaitkan dengan kerusakan simetri spontan, 4πFπ ≈ 1170 MeV, memiliki besar

orde yang sama. Berikutnya, akan diperkirakan Lagrangian QCD lengkap dengan
versi flavor quark ringan, yakni, mengabaikan efek pasangan quark-antiquark berat
hh̄. Secara khusus, persamaan (2.18) memberi kesan bahwa Lagrangian L0QCD hanya
mengandung flavor quark-quark ringan di dalam apa yang dinamakan batas chiral

mu , md , ms → 0, menjadi awal yang baik dalam membicarakan QCD energi-rendah:
L0QCD =

1
q¯l iD
/ql − Gµν,a Gaµν
4
l=u,d,s
X

(2.27)

Turunan kovarian D
/ ql hanya bekerja pada color (warna) dan indeks Dirac, tetapi
tidak bergantung flavor.

2.3.1

Medan quark Left-Handed dan Right-Handed

Agar selengkapnya simetri-simetri global dari persamaan (2.27) terlihat, dipertimbangkanlah suatu matriks chirality γ5 = γ 5 = iγ 0 γ 1 γ 2 γ 3 , {γ µ , γ5 } = 0, γ52 = 1, dan

memperkenalkan operator-operator proyeksi
1
PR = (1 + γ5 ) = PR† ,
2

1
PL = (1 − γ5 ) = PL†
2

(2.28)

dimana indeks R dan L mengacu pada right-handed dan left-handed, seperti akan
menjadi lebih jelas di bawah ini. Nampak jelas bahwa matriks 4×4 PR dan PL
memenuhi hubungan kelengkapan
PR + PL = 1
13

(2.29)

PR2 = PR ,

PL2 = PL

(2.30)

dan hubungan ortogonalitas
1
PR PL = PL PR = (1 − γ52 ) = 0
4

(2.31)

Sifat-sifat gabungan dari persamaan (2.28) - (2.31) menjamin bahwa PR dan PL
sungguh-sungguh operator proyeksi yang memproyeksikan variabel medan Dirac q
ke komponen-komponen chiral-nya qR dan qL .
qR = PR q,

qL = PL q.

(2.32)

Kita ingat dalam konteks ini variabel (medan) chiral adalah variabel yang terhadap
paritas ditransformasikan menjadi varabel asal maupun variabel negatifnya. Terhadap paritas, medan quark ditransformasikan menjadi konjugate paritasnya,
P : q(t, ~x) 7→ γ0 q(t, −~x),
maka
qR (t, ~x) = PR q(t, ~x) 7→ PR γ0 q(t, −~x) = γ0 PL q(t, −~x) = γ0 qL 6= ±qR (t, −~x),
dan serupa untuk qL .
1
1
(1 + γ5 )γ0 = (γ0 + γ5 γ0 )
2
2
1
1
(γ0 − γ0 γ5 ) = γ0 (1 − γ5 ) = γ0 PL
=
2
2

PR γ0 =

qL (t, ~x) = PL q(t, ~x) 7→ PL γ0 q(t, −~x) = γ0 PR q(t, −~x) = γ0 qR 6= ±qL (t, −~x)
Istilah medan right-handed dan left-handed dengan mudah dapat divisualisasikan di
dalam suku-suku dari solusi untuk persamaan Dirac partikel bebas. Untuk maksud tersebut, akan dipertimbangkan solusi energi-positif relativistik ekstrim dengan
momentum-tiga p~
u(~p, ±) =

4

√

E+M

µ

χ±
~
σ ·~
p
χ
E+M ±

¶

EÀM √
E
→

4

µ

χ±
±χ±

¶

≡ u± (~p ),

Disini penulis mengadopsi normalisasi kovarian dari spinor-spinor, u(α)† (~
p)u(β)† (~
p) = 2Eδαβ ,
dan sebagainya.

14

dimana telah diasumsikan bahwa spin dalam kerangka diam sejajar terhadap yang
lain atau antiparalel terhadap arah momentum
~σ · p~ χ± = ~σ · p̂ |~p| χ± = |~p| ~σ · p̂ χ±
jika momentum diambil arah ~z
¶
1
0
~σ · p̂ = ~σ · k̂ = σz =
0 −1
µ
¶
µ ¶
0
1
χ+ =
, χ−
−1
0
µ

p̂ = k̂,

~σ · k̂ = σz
maka
¶µ ¶ µ ¶
1
1
1
0
= +χ+
=
σz χ+ =
0
0
0 −1
¶
¶µ ¶ µ
µ
0
1
1
0
= −χ−
=
σz χ− =
−1
0
0 −1
µ

∴ (~σ · p̂)χ± = ±χ±
(~σ · p~)χ± = (~σ · p̂)|~p|χ± = |~p|(~σ · p̂)χ± =

√

E 2 − M 2 (±χ± )

dan
¶
µ
¶
√
χ±
χ±
EÀM
√
= E+M
E+M
u(~p, ±) =
7
→
~
σ ·~
p
E 2 −M 2
χ
± χ±
E+M ±
E+M
¶
µ
√
χ±
≡ u± (~p)
E
±χ±
¶
¶
µ
µ
√
√
χ+
χ−
u+ = E
,
u− = E
χ+
−χ−
µ

√

Dalam representasi standar matriks-matriks Dirac kita dapatkan
µ
µ
¶
¶
1
1 12×2 12×2
1
12×2 −12×2
, PL =
PR = (1 + γ5 ) =
12×2
2
2 12×2 12×2
2 −12×2
sehingga
1√
P R u+ =
E
2

µ

1 1
1 1

¶µ

χ+
χ+

¶

1√
=
E
2

15

µ

2χ+
2χ+

¶

=

√

E

µ

χ+
χ+

¶

= u+

¶
¶µ
µ
µ
1√
1√
χ+
1 −1
=
PL u+ =
E
E
χ+
−1
1
2
2
¶
¶µ
µ
µ
1√
1√
χ−
1 1
=
E
E
P R u− =
−χ−
1 1
2
2
1√
E
PL u− =
2

µ

1 −1
−1
1

¶µ

χ−
−χ−

¶

1√
=
E
2

µ

2χ−
−2χ−

¶

0
0
0
0

=

¶
¶
√

=0
=0

E

µ

χ−
−χ−

¶

= u−

Dalam batas relativistik ekstrim (atau lebih baik, dalam batas massa nol), operator
PR dan PL melakukan proyeksi ke keadaan eigen dengan helisitas positif dan negatif,
yaitu dalam batas ini chirality sama dengan helicity.
Di sini tujuannya adalah untuk menganalisis simetri dari lagrangian QCD dengan
mematuhi sifat transformasi global yang independen dari medan left-handed dan
right-handed. Untuk mengkomposisikan 16 bentuk kuadratik menjadi proyeksinya
masing-masing terhadap medan left-handed dan right-handed, dibuatlah menggunakan
q̄Γi q =

½

q̄R Γ1 qR + q̄L Γ1 qL untuk Γ1 ∈ {γ µ , γ µ γ 5 }
,
q̄R Γ2 qL + q̄L Γ2 qR untuk Γ2 ∈ {1, γ5 , σ µν }

(2.33)

dimana
1
1
q̄R = qR† γ0 = (PR q)† γ0 = q † PR† γ0 = q † (1 + γ5 )γ0 = q † γ0 (1 − γ5 ) = q̄PL
2
2
1
1
†
†
q̄L = qL γ0 = (PL q)† γ0 = q † PL γ0 = q † (1 − γ5 )γ0 = q † γ0 (1 + γ5 ) = q̄PR
2
2
dengan

i
σ µν = (γ µ γ ν − γ ν γ µ )
2
Persamaan (2.33) dengan mudah dibuktikan dengan memasukkan hubungan kelengkapan dari persamaan (2.29) sekaligus ke sebelah kiri dan kanan dari Γi ,
q̄Γi q = q̄(PR + PL )Γi (PR + PL )q = (q̄L + q̄L )Γi (q̄R + q̄L )
dan dengan catatan {Γ1 , γ5 } = 0 dan [Γ2 , γ5 ] = 0. Untuk Γ1 = γ µ :
q̄γ µ q = (q̄L + q̄L )γ µ (q̄R + q̄L ) = q̄L γ µ qR + q̄R γ µ qR + q̄L γ µ qL + q̄R γ µ qL
1
1
q̄L γ µ qR = q̄PR γ µ PR q = q̄(1 + γ5 )γ µ (1 + γ5 )q = q̄γ µ (1 − γ5 )(1 + γ5 )q = 0
4
4
1
1
µ
µ
µ
q̄R γ qL = q̄PL γ PL q = q̄(1 − γ5 )γ (1 − γ5 )q = q̄γ µ (1 + γ5 )(1 − γ5 )q = 0
4
4

16

∴ q̄γ µ q = q̄R γ µ qR + q̄L γ µ qL
dengan cara yang sama dapat dibuktikan untuk Γi yang lain. Bersama dengan
hubungan orthogonalitas dari persamaan (2.31) kemudian dihasilkan
PR Γ1 PR =
=
PL Γ1 PL =
=
PR Γ2 PL =
=
PL Γ2 PR =
=

1
1
(1 + γ5 )Γ1 (1 + γ5 ) = (Γ1 + γ5 Γ1 )(1 + γ5 )
4
4
1
Γ1 (1 − γ5 )(1 + γ5 ) = Γ1 PL PR = 0,
4
1
1
(1 − γ5 )Γ1 (1 − γ5 ) = (Γ1 − γ5 Γ1 )(1 − γ5 )
4
4
1
Γ1 (1 + γ5 )(1 − γ5 ) = 0,
4
1
1
(1 + γ5 )Γ2 (1 − γ5 ) = (Γ2 + γ5 Γ2 )(1 + γ5 )
4
4
1
Γ2 (1 + γ5 )(1 + γ5 ) = 0,
4
1
1
(1 − γ5 )Γ2 (1 + γ5 ) = (Γ2 − γ5 Γ2 )(1 + γ5 )
4
4
1
Γ2 (1 − γ5 )(1 + γ5 ) = 0.
4

Sekarang dengan menggunakan persamaan (2.33) untuk suku yang mengandung
kontraksi dari turunan kovarian dengan γ µ , bentuk kuadratik quark ini memisah
menjadi jumlah dua suku yang hanya menghubungkan medan quark left-handed
dan right-handed. Maka lagrangian QCD dapat ditulis dalam batas chiral sebagai
berikut
L0QCD =

1
(q̄R,l iD
/qR,l + q̄L,l iD
/qL,i ) − Gµν,a Gaµν .
4
l=u,d,s
X

Karena flavor tidak saling



uL
 dL  → UL 
sL



uR
 dR  → UR 
sR

(2.34)

bergantung, turunan kovarian invarian terhadap



Ã
!
8
uL
uL
X
λa
L
dL  = exp −i
ΘLa
e−iΘ  dL 
2
a=1
sL
sL



!
Ã
8
uR
uR
X
λa
R


dR  = exp −i
e−iΘ
(2.35)
ΘR
a
|
{z
} dR
2
a=1
sR
sR
{z
} U (1)
|
SU (3)

dimana UL dan UR adalah matriks-matriks unitari 3×3 yang saling bebas.

17

L0QCD mempunyai simetri global klasik U(3)L ×U(3)R . Dengan mempergunakan

teorema Noether dari invarian semacam itu, diharapkan seluruhnya ada 2×(8+1) =
18 arus yang kekal.

2.3.2

Teorema Noether

Teorema Noether : Simetri-simetri kontinu ⇔ Kuantitas-kuantitas yang kekal.
Teorema Noether menentukan hubungan antara simetri-simetri kontinu dari sistem yang dinamis dan kuantitas-kuantitas yang kekal (konstanta gerak). Untuk
memeriksa kekekalan arus yang diasosiasikan dengan invarian di atas, digunakan
metode dari acuan [15] dan mempertimbangkan variasi dari pers. (2.34). Agar
lebih sederhana hanya dipertimbangkan simetri-simetri internal dimulai dengan sebuah lagrangian L yang bergantung pada n medan bebas Φi dan turunan-turunan

parsial pertamanya,

L = L(Φi , ∂µ Φi ),

(2.36)

dimana akan dihasilkan n persamaan gerak
∂L
∂L
− ∂µ
= 0,
∂Φi
∂∂µ Φi

i = 1, · · · , n.

(2.37)

Andaikata dipertimbangkan transformasi yang bergantung pada r parameterparameter lokal yang riil ²a (x). Untuk masing-masing r generator dari transformasi infinitesimal yang merepresentasikan dasar grup simetri, dipertimbangkan suatu transformasi infinitesimal lokal dari medan.
Φi (x) 7→ Φ′i (x) = Φi (x) + δΦi (x) = Φi (x) − i²a (x)Fia [Φj (x)],

(2.38)

dan dengan mengabaikan suku kedua (orde ²2 ), kita menghasilkan variasi lagrangian
δL = L(Φ′i , ∂µ Φ′i ) − L(Φi , ∂µ Φi )
∂L
∂L
δΦi +
∂µ δΦi
=
∂φi
∂∂µ Φi
µ
¶
µ
¶
∂L a
∂L
∂L
a
a
= ²a (x) −i
F −i
∂µ Fi + ∂µ ²a (x) −i
F
∂Φi i
∂∂µ Φi
∂∂µ Φi i
≡ ²a (x)∂µ J µ,a + ∂µ ²a (x)J µ,a .
(2.39)
18

Teorema Noether: Untuk setiap transformasi simetri global kontinu, yang
memberikan Lagrangian dan persamaan gerak invarian akan menimbulkan
suatu kekekalan arus J µ,a dan suatu konstanta gerak Qa .

Di sini didefinisikan kerapatan arus-empat
J µ,a = −i

∂L
F a.
∂∂µ Φi i

(2.40)

Dengan menghitung divergensi ∂µ J µ,a dari persamaan (2.40)
µ
¶
∂L
∂L
µ,a
∂µ J
= −i ∂µ
Fia − i
∂µ Fia
∂∂µ Φi
∂∂µ Φi
∂L a
∂L
Fi − i
∂µ Fia ,
= −i
∂Φi
∂∂µ Φi
dimana telah digunakan persamaan gerak (2.37). Dari persamaan (2.39) dihasilkan
persamaan arus-empat dan divergensinya sebagai berikut
∂δL
,
∂∂µ ²a
∂δL
=
.
∂²a

J µ,a =
∂µ J µ,a

Untuk arus yang kekal, ∂µ J µ,a = 0, muatan
Z
a
Q (t) =
d3 xJ0a (t, ~x)

(2.41)
(2.42)

(2.43)

dan

dQa (t)
=0
dt
adalah tidak bergantung waktu, artinya sebuah konstanta gerak.

2.3.3

Arus Simetri Global dari Sektor Quark Ringan

Metode acuan [15] sekarang dapat dengan mudah dipergunakan pada Lagrangian
QCD untuk menghitung variasi menurut bentuk lokal yang infinitesimal. Lagrangian
dari persamaan (2.34) dapat ditulis
1
L0QCD = q̄R iγ µ (∂µ − igAµ )qR + q̄L iγ µ (∂µ − igAµ )qL − Gµν,a Gaµν .
4
19

Bentuk lokal infinitesimal persamaan (2.35)
"
!#
#
"
à 8
8
X
X
λ
λ
′
′
a
a
qL = 1 − i(
ΘLa
+ ΘL ) qL , q̄L = q̄L 1 + i
+ ΘL
ΘLa
2
2
a=1
a=1
"
à 8
!#
!#
"
à 8
X
X
λ
λ
′
′
a
a
ΘR
qR , q̄R = q̄R 1 + i
+ ΘR
+ ΘR
ΘR
qR = 1 − i
a
a
2
2
a=1
a=1
Untuk medan quark right-handed
R
δL0QCD

∂L0QCD
∂L0QCD
∂L0QCD
∂L0QCD
=
δqR +
∂µ δqR + δ q̄R
+ ∂µ δ q̄R
∂qR
∂∂µ qR
∂ q̄R
∂∂ q̄
{z µ R}
|
0
!#
" Ã 8
X
λa
qR
+ ΘR
ΘR
= q̄R iγ µ (−igAµ ) −i
a
2
a=1
" Ã 8
!#
X
λ
a
ΘR
+q̄R iγ µ ∂µ −i
qR
+ ΘR
a
2
a=1
!#
" Ã 8
X
λ
a
iγ µ (∂µ − igAµ ) qR
+ ΘR
+q̄R i
ΘR
a
2
a=1
à 8
!
!
à 8
X
X
λ
λ
a
a
∂µ ΘR
+ ΘR qR + q̄R γ µ
+ ∂µ ΘR qR
ΘR
= −iq̄R γ µ gAµ
a
a
2
2
a=1
a=1
!
!
à 8
à 8
X
X
λ
λ
a
a
ΘR
+ ΘR ∂µ qR − q̄R
+ ΘR γ µ ∂µ qR
ΘR
+q̄R γ µ
a
a
2
2
a=1
a=1
à 8
!
X
λa
+iq̄R
ΘR
+ ΘR γ µ gAµ qR
a
2
a=1
à 8
!
X
λ
a
= q̄R iγ µ
ΘR
+ ΘR qR
a
2
a=1

dengan cara yang sama untuk medan quark left-handed
!
à 8
X
λ
a
L
+ ΘL qL
δL0QCD
= q̄L iγ µ
ΘLa
2
a=1
Maka diperoleh
R
L
δL0QCD = δL0QCD
+ δL0QCD
à 8
à 8
!
!
X
X
R λa
µ
L λa
µ
R
L
Θa
= q̄R iγ
Θa
qR + q̄L iγ
+Θ
+ Θ qL (2.44)
2
2
a=1
a=1

20

dari sini dengan memakai sifat persamaan (2.41) dan (2.42) akan dihasilkan arusarus yang dikaitkan dengan transformasi quark left-handed dan right-handed
∂δL0QCD
λa
= q̄L γ µ qL , ∂µ Lµ,a = 0,
L
∂∂µ Θa
2
0
∂δLQCD
λa
= q̄R γ µ qR , ∂µ Rµ,a = 0
=
R
∂∂µ Θa
2

Lµ,a =
Rµ,a

(2.45)

Delapan arus Lµ,a bertransformasi menurut SU(3)L ×SU(3)R sebagai multiplet

(8,1), yaitu masing-masing sebagai oktet dan singlet menurut transformasi medan
left-handed dan right-handed. Hal yang sama, arus right-handed bertransformasi
sebagai multiplet (1,8) menurut SU(3)L ×SU(3)R . Sebagai pengganti arus chiral
lebih sering digunakan kombinasi linear,

V µ,a = Rµ,a + Lµ,a
λa
λa
= q̄R γ µ qR + q̄L γ µ qL
2
2
λ
a
= q̄γ µ (PR + PL ) q
2
λ
a
= q̄γ µ q
2

(2.46)

dan
Aµ,a = Rµ,a − Lµ,a
λa
λa
= q̄R γ µ qR − q̄L γ µ qL
2
2
λ
a
= q̄γ µ (PR − PL ) q
2
λ
a
= q̄γ µ γ5 q
2

(2.47)

masing-masing bertransformasi terhadap paritas sebagai kerapatan arus vektor dan
kerapatan arus aksial-vektor,
P : V µ,a (t, ~x) 7→ Vµa (t, −~x),

(2.48)

P : Aµ,a (t, ~x) 7→ −Aaµ (t, −~x)

(2.49)

Dari persamaan (2.41) dan (2.42) juga diperoleh arus vektor singlet yang diakibatkan oleh transformasi semua medan quark left-handed dan right-handed dengan
21

fase yang sama,
∂δL
= q̄L γ µ qL
L
∂∂µ Θ
∂δL
Rµ =
= q̄R γ µ qR
∂∂µ ΘR
Lµ =

V µ = R µ + Lµ
= q̄R γ µ qR + q̄L γ µ qL
= q̄γ µ (PR + PL )q
= q̄γ µ q,
karena
∂µ R µ =

∂µ V µ = ∂µ Rµ + ∂µ Lµ = 0.

∂δL
= 0,
∂ΘR

∂ µ Lµ =

(2.50)

∂δL
=0
∂ΘL

Arus aksial-vektor singlet,
Aµ = Rµ − Lµ
= q̄R γ µ qR − q̄L γ µ qL
= q̄γ µ (PR − PL )q
= q̄γ µ γ5 q

(2.51)

berasal dari transformasi semua medan quark left-handed dengan fase sama dan
semua medan right-handed dengan fase berlawanan.

Bagaimanapun juga, arus

aksial-vektor singlet hanya kekal pada tingkatan klasik. Simetri ini tidak dipertahankan oleh kuantisasi dan akan ada suku-suku ekstra, yang merujuk pada keanehan
(anomali), yang menghasilkan
∂µ Aµ =

3g 2
²µνρσ Gaµν Gaρσ ,
32π 2

²0123 = 1,

(2.52)

dimana faktor 3 berasal dari jumlah flavor.

2.3.4

Aljabar Chiral

0
Invarian LQCD
menurut transformasi global SU(3)L ×SU(3)R ×U(1)V juga menya-

0
takan secara tidak langsung bahwa operator Hamilton QCD, HQCD
, dalam batas

chiral, memperlihatkan simetri global SU(3)L ×SU(3)R ×U(1)V . Seperti biasanya,
22

”operator-operator muatan” didefinisikan sebagai integral ruang dari kerapatan muatan,
QaL (t)

=

Z

3

d xL

0,a

=

Z

3

d x q̄L γ

0 λa

qL =

Z

d3 x qL† γ 0 γ 0

λa
qL
2

2
λ
a
=
d3 x qL† (t, ~x) qL (t, ~x), a = 1, · · · , 8,
(2.53)
2
Z
Z
Z
λa
a
3
0,a
3
0 λa
qR = d3 x qR† γ 0 γ 0 qR
QR (t) =
d x R = d x q̄R γ
2
2
Z
λa
=
d3 x qR† (t, ~x) qR (t, ~x), a = 1, · · · , 8,
(2.54)
2
Z
Z
Z
QV (t) =
d3 x V 0 = d3 x q̄R γ 0 qR + q̄L γ 0 qL = d3 x qR† γ 0 γ 0 qR + qL† γ 0 γ 0 qL
Z
=
d3 x qR† (t, ~x)qR (t, ~x) + qL† (t, ~x)qL (t, ~x).
(2.55)
Z

untuk arus simetri yang kekal, operator-operator ini tidak bergantung waktu, yaitu
operator-operator tersebut komutatif dengan Hamiltonian,
0
0
0
[QaL , HQCD
] = [QaR , HQCD
] = [QV , HQCD
] = 0.

(2.56)

Hubungan komutasi dari operator muatan dengan yang lainnya dihasilkan dengan
menggunakan hubungan komutasi kesamaan waktu (equal-time) dari medan-medan
quark dalam gambaran Heisenberg,
†
{qα,r (~x, t), qβ,s
(~y , t)} = δ 3 (~x − ~y )δαβ δrs ,

(2.57)

{qα,r (~x, t), qβ,s (~y , t)} = 0,

(2.58)

†
†
{qα,r
(~x, t), qβ,s
(~y , t)} = 0,

(2.59)

dimana α dan β adalah indeks-indeks Dirac dan r dan s indeks-indeks flavor. Komutator equal-time dari dua bentuk quark berbentuk
[q † (~x, t)Γ1 F1 q(~x, t), q † (~y , t)Γ2 F2 q(~y , t)] =
†
†
Γ1,αβ Γ2,γδ F1,rs F2,tu [qα,r
(~x, t)qβ,s (~x, t), qγ,t
(~y , t)qδ,u (~y , t)],

(2.60)

dimana Γi dan Fi berturut-turut adalah matriks-matriks Dirac 4 × 4 dan matriks-

matriks flavor 3 × 3. Dengan memakai

[ab, cd] = a{b, c}d − ac{b, d} + {a, c}db − c{a, d}b,
23

(2.61)

ekspresi komutator dari medan-medan Fermi dalam suku-suku anti-komutator dan
dengan memakai hubungan komutasi pers. (2.57)-(2.59) menjadi
†
†
[qα,r
(~x, t)qβ,s (~x, t), qγ,t
(~y , t)qδ,u (~y , t)] =
†
†
qα,r
(~x, t)qδ,u (~y , t)δ 3 (~x − ~y )δβγ δst − qγ,t
(~y , t)qβ,s (~x, t)δ 3 (~x − ~y )δαδ δru .

Dengan hasil ini pers. (2.60)
[q † (~x, t)Γ1 F1 q(~x, t), q † (~y , t)Γ2 F2 q(~y , t)] =
£
¤
δ 3 (~x − ~y ) q † (~x, t)Γ1 Γ2 F1 F2 q(~y , t) − q † (~y , t)Γ2 Γ1 F2 F1 q(~x, t) .

(2.62)

Setelah memasukkan proyektor-proyektor yang cocok PL/R , pers.(2.62) dengan mudah dipergunakan untuk operator-operator dari pers.(2.53), (2.54), dan (2.55), menunjukkan bahwa operator-operator ini sungguh-sungguh memenuhi hubungan komutasi yang berkorenpondensi dengan aljabar Lie dari SU(3)L × SU(3)R × U(1)V ,
£ a b¤
QL , QL = ifabc QcL ,
(2.63)
£ a b¤
(2.64)
QR , QR = ifabc QcR ,
£ a b¤
(2.65)
QL , QR = 0,
[QaL , QV ] = [QaR , QV ] = 0.

(2.66)

Bukti (ingat PL† = PL dan PL2 = PL )
¸
·
Z
£ a b¤
† λb
† λa
3
3
d xd y qL qL , qL qL
QL , QL =
2
2
¸
·
Z
† λb
3
3
† λa
PL q, (PL q) PL q
=
d xd y (PL q)
2
2
·
¸
Z
† λa
† λb
3
3
†
†
=
d xd y q (t, ~x)PL PL q(t, ~x), q (t, ~y )PL PL q(t, ~y )
2
2
c
= ifabc QL .

2.3.5

QCD Dalam Kehadiran Medan-medan Eksternal

Mengikuti prosedur dari Gasser dan Leutwyler [16, 17], diperkenalkan ke dalam
Lagrangian QCD kopling dari sembilan arus vektor dan delapan arus aksial-vektor
dan juga kerapatan quark skalar dan pseudoskalar untuk medan-medan eksternal
µ
bilangan kompleks v µ (x), v(s)
, aµ (x), s(x), dan p(x),
µ
¶
1 µ
0
0
µ
µ
L = LQCD + Lext = LQCD + q̄γµ v + v(s) + γ5 a q − q̄(s − iγ5 p)q.
3

24

(2.67)

Γ
γ0 Γγ0

1 γµ
1 γµ

σ µν
σµν

γ5
−γ5

γ µ γ5
−γµ γ5

Tabel 2.4: Sifat-sifat transformasi dari matriks-matriks Dirac Γ terhadap paritas.
Medan-medan eksternal adalah color-netral, matriks Hermitian 3 × 3, dimana
µ

v =

8
X
λa
a=1

2

vaµ ,

µ

a =

8
X
λa
a=1

2

aµa ,

s=

8
X

λ a sa ,

p=

a=1

8
X

λa pa ,

(2.68)

a=1

µ
Biasanya tiga flavor lagrangian QCD diperoleh dengan memasang v µ = v(s)
= aµ =

p = 0 dan s = diag(mu , md , ms ) di dalam pers. (2.67).
Lagrangian yang dibutuhkan dari pers. (2.67) adalah Hermitian dan invarian terhadap P, C, dan T yang menimbulkan batasan-batasan pada sifat transformasi dari medan-medan eksternal. Kenyataannya, keadaan ini hanya cukup dengan
memikirkan P dan C karena T kemudian secara otomatis memperlihatkan penggabungan ke teorema CP T .
Terhadap paritas, medan-medan quark bertransformasi sebagai
P
qf (t, ~x) 7→ γ 0 qf (t, −~x),

(2.69)

P
L(t, ~x) 7→ L(t, −~x),

(2.70)

dan syarat kekekalan paritas

dengan memakai hasil-hasil dari tabel 2.4, medan-medan eksternal bertransformasi
terhadap paritas seperti
P
v µ 7→ vµ ,

µ P
v(s)
7→ vµ(s) ,

P
aµ 7→ −aµ ,

P
s 7→ s,

P
p 7→ −p.

(2.71)

Pada pers.(2.71) tersebut, dipahami bahwa argumen-argumen berubah dari (t, ~x) ke
(t, −~x). Hal yang sama, terhadap konjugasi muatan medan-medan quark bertrans-

formasi sebagai

C
qα,f 7→ Cαβ q̄β,f ,

C
−1
,
q̄α,f 7→ −qβ,f Cβα

dimana indeks bawah α dan β adalah indeks-indeks spinor Dirac,
¶µ
µ
¶
¶
µ
0 −σ 2
1
0
0 σ2
2 0
C = iγ γ = i
=i
0 −1
−σ 2
0
−σ 2 0
25

(2.72)

Γ
−CΓT C

1
1

γµ
−γ µ

σ µν
−σ µν

γ5
γ5

γ µ γ5
γ µ γ5

Tabel 2.5: Sifat-sifat transformasi dari matriks-matriks Dirac terhadap konjugasi
muatan.

0 0 0 −1
 0 0 1 0 
−1
†
T

= 
 0 −1 0 0  = −C = −C = −C
1 0 0 0


adalah matriks konjugasi muatan dan f merujuk pada flavor. Dengan menggunakan
q̄ΓF q

=

q̄α,f Γαβ Ff f ′ qβ,f ′

C
7→

−1
−qγ,f Cγα
Γαβ Ff f ′ q̄δ,f ′

Statistik Fermi
−1
Γαβ Cβδ qγ,f
=
q̄δ,f ′ Ff f ′ Cγα
|{z} | {z }
FT

ff

′

(C −1 ΓC)T
δγ

q̄F T (C −1 ΓC)T q
| {z }

=

C T ΓT C −1T
T
T

=

−q̄CΓ CF q

dengan kombinasi dalam tabel 2.5 secara langsung ditunjukkan bahwa invarian dari
Lext terhadap konjugasi muatan membutuhkan sifat-sifat transformasi
C

vµ → −vµT ,

C

vµ(s) → −vµ(s)T ,

C

aµ → aTµ ,

C

s, p → sT , pT ,

(2.73)

Akhirnya, pers. (2.67) dapat ditulis dalam suku-suku medan quark left-handed
dan right-handed. Disamping sifat-sifat dari pers. (2.29) - (2.31) dan, menggunakan
formula pembantu
γ5 PR = PR γ5 = PR ,

γ5 PL = PL γ5 = −PL

dan
γ µ PR = PL γ µ ,

γ µ PL = PR γ µ

untuk menghasilkan
1
q̄γ (vµ + vµ(s) + γ5 aµ )q = q̄γ µ
3
µ

µ

¶
vµ + aµ + vµ − aµ 1 (s)
+ vµ + γ5 aµ q,
2
3

26

dan juga memisalkan
rµ = vµ + aµ ,

lµ = vµ − aµ

1
⇔ vµ = (rµ + lµ ),
2

1
aµ = (rµ − lµ ).
2

(2.74)

sehingga
¸
·
1 µ
2 (s)
1 (s)
q̄γ rµ + lµ + vµ + γ5 (rµ − lµ ) q
q̄γ (vµ + vµ + γ5 aµ )q =
3
2
3
¸
·
1
2 (s)
2 (s)
µ
=
(q̄L + q̄R )γ 2rµ qR + vµ qR + 2lµ qL + vµ qL
2
3
3
µ
¶
¶
µ
1
1
= q̄R γ µ rµ + vµ(s) qR + q̄L γ µ lµ + vµ(s) qL .
3
3
µ

Hal yang sama, dapat ditulis kembali bagian kedua yang berisi medan skalar dan
pseudoskalar eksternal,
q̄(s − iγ5 p)q = q̄(PR + PL )(s − iγ5 p)(PR + PL )q
= q̄L sqR + q̄R sqL − iq̄L pqR + iq̄R pqL
= q̄L (s − ip)qR + q̄R (s + ip)qL ,
yang Lagrangian (2.67) menjadi
¶
µ
1 (s)
QCD
µ
L = L0
+ q̄γ vµ + vµ + γ5 aµ q − q̄(s − iγ5 p)q
3
µ
¶
¶
µ
1 (s)
1 (s)
µ
0
µ
= LQCD + q̄L γ lµ + vµ qL + q̄R γ rµ + vµ qR
3
3
−q̄R (s + ip)qL − q̄L (s − ip)qR .
Persamaan (2.75) tetap invarian terhadap transformasi lokal
µ
¶
Θ(x)
qR 7→ exp −i
VR (x)qR ,
3
¶
µ
Θ(x)
VL (x)qL ,
qL 7→ exp −i
3

(2.75)

(2.76)

dimana VR (x) and VL (x) adalah matriks-matriks SU(3) yang bergantung ruangwaktu yang bebas, asalkan medan-medan eksternal tunduk pada transformasi
rµ 7→ VR rµ VR† + iVR ∂µ VR† ,
lµ 7→ VL lµ VL† + iVL ∂µ VL† ,
vµ(s) 7→ vµ(s) − ∂µ Θ,
s + ip 7→ VR (s + ip)VL† ,
s − ip 7→ VL (s − ip)VR† .
27

(2.77)

Suku-suku turunan di dalam pers. (2.77) menyajikan maksud yang sama seperti
dalam konstruksi teori gauge, yaitu, suku-suku tersebut membatalkan suku-suku
analog yang berasal dari bagian kinetik dari Lagrangian quark.
Pada penggambaran interaksi-interaksi semileptonik seperti π − → µ− ν̄µ , π − →

π 0 e− ν̄e , atau peluruhan neutron n → pe− ν̄e , diperlukan interaksi quark dengan
√
boson lemah bermuatan dan massive Wµ± = (W1µ ∓ iW2µ )/ 2,
rµ = 0,

g
lµ = − √ (Wµ+ T+ + h.c.),
2

(2.78)

dimana h.c. mengacu pada konjugat Hermitian dan


0 Vud Vus
0
0 .
T+ =  0
0
0
0

Disini, Vij merupakan elemen-elemen matriks quark-mixing Cabibbo-KobayashiMaskawa (CKM) yang menggambarkan transformasi antara keadaan eigen QCD
dan keadaan eigen lemah
|Vud | = 0.9735 ± 0.0008,

|Vus | = 0.2196 ± 0.0023.

Pada orde paling rendah dalam teori perturbasi, konstanta Fermi dihubungkan ke
kopling gauge g dan massa W sebagai
√ g2
= 1.16639(1) × 10−5 GeV−2 .
GF = 2
2
8MW
Dengan menggunakan
q̄L γ µ Wµ+ T+ qL = q̄PR γ µ Wµ+ T+ PL q

  
u
0 Vud Vus
0
0  PL  d 
= Wµ+ (ū d¯ s̄) PR γ µ  0
| {z }
s
0
0
0
γ µ PL


Vud d + Vus s
1

0
= Wµ+ (ū d¯ s̄)γ µ (1 − γ5 ) 
2
0
1 +
=
W [Vud ūγ µ (1 − γ5 )d + Vus ūγ µ (1 − γ5 )s],
2 µ


dengan memasukkan pers. (2.78) ke dalam pers. (2.75) menimbulkan interaksi
lemah arus muatan standar dalam sektor quark ringan,
¶
¶
µ
µ
1 (s)
1 (s)
µ
µ
Lext = q̄L γ lµ + vµ qL + q̄R γ rµ + vµ