Zona Fisika | Blogger Lampung Tengah
Dinamika Magnetofluida Abelian dan
non-Abelian dengan
Lagrangian Gauge
Tugas Akhir
Diajukan sebagai salah satu syarat untuk meraih gelar Sarjana Sains
Andrias Fajarudin
0304027021
Departemen Fisika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Indonesia
Depok
2008
Lembar Persetujuan
Judul Skripsi
:
Dinamika Magnetofluida dengan Lagrangian Gauge
Nama
:
Andrias Fajarudin
NPM
:
0304027021
Skripsi ini telah diperiksa dan disetujui
Depok, Februari 2008
Mengesahkan
Pembimbing I
Pembimbing II
Dr. L. T. Handoko
Dr. Terry Mart
Penguji I
Penguji II
Dr. Imam Fachruddin
Dr. Agus Salam
Mengetahui,
Ketua Program Peminatan Fisika Nuklir dan Partikel
Dr. Terry Mart
Untuk keluargaku :
Abah, Mamah, Lia
’Semua akan menjadi lebih baik bila kita tetap bersama....’
i
Kata Pengantar
Teori Gauge pada fisika partikel merupakan formalisme matematik yang digunakan untuk menjelaskan unifikasi antar medan. Teori yang telah ada adalah
model standar yang mengunifikasi elektromagnetisme, gaya lemah, dan gaya kuat. Untuk menjelaskan unifikasi ketiga gaya fundamental ini digunakan simetri
grup SU(3) ⊗ SU(2) ⊗ U(1). Ide unifikasi medan-medan melalui teori gauge
ini memotivasi saya untuk menyusun model magnetofluida standar seperti pada
magnetohidrodinamika.
Hasil eksperimen pada BNL ( Brookhaven National Laboratory ) dengan menggunakan RHIC ( Relativistic Heavy Ion Collider ) menunjukkan bahwa gluon
dan quark tidak membentuk materi hadron pada temperatur yang sangat tinggi,
tetapi membentuk fase baru yaitu plasma quark-gluon[2, 5]. Hasil yang diamati menunjukkan bahwa plasma Quark-gluon memiliki kerapatan tinggi, tetapi
mengalir dengan nilai viskositas yang sangat kecil seperti fluida ideal, sehingga
memenuhi hukum dasar Hidrodinamika. Untuk itulah model magnetofluida yang
saya susun akan diperluas untuk kasus medan fluida non-Abelian sehingga relevan
untuk sistem quark-gluon plasma. Terdapat model lain yang menjelaskan sistem
QGP, yaitu dengan model hybridmagnetofluid unification[2]. Model yang saya
buat ini sekaligus mengkoreksi model yang telah ada ini dalam hal suku kinetik
pada lagrangian. Penulis secara khusus mengucapkan terima kasih kepada semua
pihak yang telah membantu penyelesaian tugas akhir ini baik secara langsung
maupun tidak langsung, antara lain:
1. Allah.SWT sang pemilik semesta atas segala rahmat, rejeki, dan karuniaNYA.
2. Abah, mamah, dan lia yang menjadi sumber semangat saya untuk terus
ii
berjuang. Terimakasih untuk Abah dan mamah atas pelajaran hidupnya
selama ini, saya yakin suatu saat nanti keadaan kita akan lebih baik seperti
dulu lagi...
3. Special thanks, Terimakasih sebesar-besarnya kepada Dewi Kusumaningrum,
saya tidak akan sampai di tahap ini tanpa semua bantuan, semangat, motivasi, dan perhatian dari kamu.
4. Herman Saheruddin selaku kakak, thanks telah menularkan kecanduan fisika pada saya.
5. Dr. L.T. Handoko selaku pembimbing I yang telah membimbing penulis
mulai dari awal diskusi hingga penyelesaian tugas akhir ini serta atas ide-ide
yang brilian dan motivasi hidup yang membuat saya menjadi lebih optimis
dan yakin untuk tetap dalam bidang fisika partikel.
6. Dr. Terry Mart selaku pembimbing II dan ketua peminatan Fisika Nuklir
dan Partikel atas bimbingan dan dukungan yang diberikan baik itu selama
kuliah maupun pengerjaan tugas akhir ini.
7. Dr. Imam Fachrudin, Dr. Agus Salam dan Dr. Budhy Kurniawan selaku
penguji I,II dan ketua sidang.
8. Rekan-rekan di Lab Teori : Sandi ( Mr. Jomblo ) thanks atas kebaikannya selama ini, Andhika Oxalion, Ryky, Beriya, Popo, Hans, Pak Ayung (
thanks atas cerita pengalaman hidupnya), Pak Sulaiman .
9. Teman-teman fisika angkatan 2004 dan teman-teman di salemba group.
Saya menyadari bahwa karya tulis ini masih jauh dari sempurna karena keterbatasan pengetahuan saya, maka dari itu saya mengharapkan kritik dan saran dari
para pembaca demi perkembangan riset di Fisika UI.
Depok, Februari 2008
Andrias Fajarudin
iii
Abstrak
Dibangun Sebuah lagrangian untuk menyatukan interaksi elektromagnetik dan
dinamika fluida. Lagrangian ini memiliki simetri terhadap transformasi gauge
lokal U(1)F D ⊗ U(1)G dan G(n)F D ⊗ G(n)G . Dari lagrangian ini kita akan menurunkan seluruh persamaan gerak untuk seluruh medan dan rapat energi sistem
magnetofluida yang akan diaplikasikan untuk plasma quark-gluon.
Kata kunci: Transformasi gauge lokal, Plasma quark-gluon
viii+32 hlm.; lamp.
Daftar Acuan: 10(1945-2008)
Abstract
A lagrangian for unifies elektromagnetic interaction and fluid dynamics is developed. The lagrangian have a symmetry under local gauge transformation
U(1)F D ⊗ U(1)EM and G(n)F D ⊗ G(n)G . From this lagrangian we will derive all
the equation of motion of field and the energy density of magnetofluid system
which will be applied for quark-gluon plasma.
Keywords: Local gauge transformation, Quark-gluon plasma
viii+32 pp.; appendices.
References: 13(1945-2008)
Daftar Isi
Kata Pengantar
ii
Abstrak
iv
Daftar Isi
v
Daftar Gambar
vii
1 Pendahuluan
1
1.1 Latar Belakang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.2 Perumusan Masalah
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.3 Metode Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.4 Tujuan Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
2 Magnetohidrodinamika
4
2.1 Persamaan Gerak Plasma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
2.2 Quark dan Plasma Quark-Gluon
5
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 Unifikasi Magnetofluida dengan prinsip Gauge
3.1 Unifikasi Magnetofluida dengan TeoriGauge Abelian
9
. . . . . . .
9
3.2 Persamaan Maxwell Magnetofluida . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
3.3 Persamaan Gerak Magnetofluida untuk limit non-Relativistik . . .
16
3.4 Model Magnetofluida dengan medan gauge non-Abelian . . . . . .
17
3.5 Persamaan Gerak Magnetofluida non-Abelian untuk limit nonRelatisvistik
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
3.6 Aplikasi Unifikasi Magnetofluida non-Abelian pada Plasma QuarkGluon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
v
22
4 Perhitungan Energi Magnetofluida berbasis Teori Gauge
25
4.1 Energi Plasma non-Abelian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
4.2 Energi density QGP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
5 Hasil dan Pembahasan
30
6 Kesimpulan
34
A Mekanika Kuantum Relativistik
35
A.1 Aljabar Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
A.2 Natural Units . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
B Analisis Tensor
39
B.1 Transformasi Koordinat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
B.2 Vektor-Vektor Kontravarian dan Kovarian . . . . . . . . . . . . .
39
B.3 Tensor-Tensor Kontravarian, Kovarian dan Tensor campuran . . .
40
B.4 Tensor Simetrik dan Asimetrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
Daftar Acuan
42
vi
Daftar Gambar
2.1 Quark dan Gluon pada Hadron. Quark terikat bersama dengan
quark lainnya (confined) dengan kondisi colour-netral membentuk
hadron
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
2.2 Quark dan Gluon pada plasma Quark-Gluon. Quark tidak berikatan membentuk hadron tetapi bergerak bebas pada fireball (deconfined). Fireball terbentuk pada temperatur diatas 100 MeV,
atau sekitar 1013 K . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
5.1 H= rapat energi QGP, Hg= rapat energi gluon, ρq = 1, Jq =
1, αs = 1, φ = 0.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
vii
33
Bab 1
Pendahuluan
1.1
Latar Belakang
Hasil eksperimen tumbukan relativistik antara ion-ion berat pada energi tinggi dengan RHIC pada BNL menunjukkan bahwa pada temperatur yang sangat
tinggi quark tidak lagi berikatan membentuk materi hadron tetapi membentuk
fase baru dari materi yaitu plasma. Plasma yang terbentuk berupa fireball yang
terdiri dari gluon dan quark yang memiliki muatan non-Abelian yaitu warna (colour ). Hal ini lah yang memotivasi saya untuk menyusun teori magnetofluida
non-Abelian (diawali dengan teori magnetofluida dengan muatan abelian) yang
ekuivalen dengan model standar yaitu Magnetohydrodynamics . Terdapat model
yang mendeskripsikan fluida relativistik bertemperatur tinggi dengan menghibridisasi medan elektromagnet dan medan fluida. Unifikasi kedua medan dinyatakan
dengan effective field strength tensor, Mµν ≡ Fµν + m/qSµν dimana Fµν dan Sµν
merupakan tensor kuat medan dari medan elektromagnetik dan medan fluida.
Metode ini telah dikembangkan untuk kasus non-Abelian. Pada skripsi ini saya
bertujuan membuat model yang sama tapi dengan metode yang berbeda yaitu
dengan pendekatan Lagrangian yang memiliki simetri gauge. Metode ini mengkoreksi model unifikasi yang telah ada[2, 5] pada aspek:
• Dari sudut pandang teori medan, fluida dan medan gauge lainnya merupakan medan yang berbeda, sehingga harus memiliki suku kinetik yang
berbeda pada lagrangian. Sedangkan pada model hybridmagnetofluid unification, akan terdapat suku kinetik pada lagrangian yaitu Mµν M µν yang
di dalamnya mengandung dua medan berbeda.
1
1.2
Perumusan Masalah
Terdapat suatu model yang menjelaskan sistem magnetofluida, model ini menggabungkan 2 medan yang berbeda melalui effective strength tensor. Kelemahan
model ini adalah menggabungkan dua medan yang berbeda ( medan fluida dan
medan gauge ) dalam suku kinetik yang sama pada lagrangian. Padahal pada
segi pandang teori medan hal ini tidak boleh terjadi. Untuk itu dibuat model
lain yang menggunakan pendekatan lagrangian dengan menyertakan simetri gauge. Simetri gauge dikerjakan pada setiap medan fluida dan medan gauge lain
yang berinteraksi dengan medan fluida. Analog dengan teori unifikasi pada fisika
partikel maka model unifikasi magnetofluida disusun berdasarkan :
• Fluida Abelian berinteraksi dengan medan elektromagnetik dengan simetri
U(1)F ⊗ U(1)G .
• Fluida non-Abelian berinteraksi kuat dengan medan gauge non-Abelian dengan simetri G(n)F ⊗ G(n)G
• Fluida non-Abelian berinteraksi dengan medan elektromagnetik dengan simetri G(n)F ⊗ U(1)G
Dengan simetri gauge ini maka akan didapatkan lagrangian total yang sukusukunya menjelaskan interaksi antara materi, medan fluida dan medan gauge
yang lain. Dari lagrangian ini akan diturunkan persamaan gerak untuk materi dan medan fluida yang berinteraksi dengan medan gauge. Pada limit nonrelativistik maka akan didapatkan persamaan gerak klasik untuk medan fluida.
Selanjutnya akan dikaji konsekuensi-konsekuensi fisis dari model ini.
1.3
Metode Penelitian
Penelitian ini bersifat teoritik. Teori yang digunakan ialah teori unifikasi dengan
pendekatan lagrangian. Dengan mengerjakan simetri gauge pada masing-masing
medan maka akan didapatkan lagrangian total dengan suku-suku interaksi antara
medan fluida dan medan gauge. Dengan lagrangian ini akan disusun persamaan
2
gerak medan fluida relativistik dan untuk limit non-relativistik . Setelah itu dapat
dihitung besaran-besaran fisis yang merupakan konsekuensi dari model ini.
1.4
Tujuan Penelitian
Penelitian ini bertujuan untuk menyusun teori magnetofluida sekaligus mengkoreksi teori yang sudah ada. Dengan model ini maka akan diturunkan persamaan
gerak medan fluida relativistik dan non-relativistik. Besaran fisis seperti energi,
entropi, fungsi partisi, tekanan, dan besaran-besaran lainnya juga akan dikaji.
3
Bab 2
Magnetohidrodinamika
Pada bab ini akan dibahas secara umum persamaan gerak dari plasma yang
dinyatakan oleh persamaan momen dan secara singkat tentang quark dan plasma
quark-gluon.
2.1
Persamaan Gerak Plasma
Plasma didefinisikan sebagai gas yang terdiri dari partikel-partikel bermuatan listrik yang bergerak bebas yaitu elektron dan ion. Plasma terbentuk pada temperatur tinggi ketika elektron-elektron terpisah dari atom netral. Plasma merupakan
fase keempat dari materi karena memiliki sifat yang berbeda dengan zat padat,
dan fluida ( zat cair dan gas ). Magnetohidrodinamika merupakan cabang ilmu
fisika yang mempelajari interaksi antara plasma dengan medan elektromagnetik.
Persamaan magnetohidrodinamika dinyatakan dengan persamaan momen yang
diturunkan dari persamaan Boltzmann-Vlasov [10]. Untuk plasma yang terdiri
dari satu spesies persamaan momennya didefinisikan :
∂n
+ ∇ · (~un) = 0
∂t
dan
ρ
3
X
∂~u
∂pij
~
~
~
+ (~u · ∇)~u = ρq E + j × B −
∂t
∂xj
j=1
(2.1)
(2.2)
dimana n, ρ, dan ρq adalah rapat partikel, rapat massa, dan rapat muatan. ~u
~ dan B
~ adalah
adalah kecepatan fluida rata-rata dan ~j adalah rapat arus. E
medan elektromagnetik total yaitu dari sumber luar dan dari sumber ρq dan
4
~j. Suku terakhir pada persamaan kedua adalah tensor gradien tekanan, dimana
untuk kasus fluida homogen dan isotropik [9] berbentuk :
−
3
X
∂pij
j=1
∂xj
=
−∂p η ∂∇ · ~u
+
+ η∇2 ui
∂xi
3 ∂i
(2.3)
dimana p adalah tekanan skalar, ~u adalah kecepatan medan dan η adalah koefisien
viskositas. Dengan menganggap fluida inkompresibel maka ∇ · ~u = 0 sehingga
persamaan gerak fluidanya menjadi :
∂~u
1 ~ ~ ~
ρq E + j × B − ∇p − η∇2~u
+ (~u · ∇)~u =
∂t
ρ
(2.4)
Untuk plasma yang terdiri dari dua spesies, misalkan ion dan elektron maka
persamaan momen dinyatakan dengan :
∂ne
+ ∇ · (ne u~e ) = 0
∂t
(2.5)
∂nI
+ ∇ · (nI u~I ) = 0
∂t
(2.6)
yang merupakan persamaan kekekalan jumlah partikel, dimana elektron bermuatan -q bermassa m dan ion bermuatan q bermassa M. Dengan mengabaikan
koefisien viskositas maka persamaan gerak masing-masing fluida dapat dituliskan
:
∂ u~e
1
~ − qne u~e × B
~ − ∇pe
−qne E
(2.7)
+ (u~e · ∇)u~e =
∂t
mne
1
∂ u~I
~ + qnI u~I × B
~ − ∇pI
qnI E
(2.8)
+ (u~I · ∇)u~I =
∂t
MnI
~ dan B
~ ditentukan dari persamaan maxwell dengan
medan elektromagnetik E
rapat muatan ρq dan rapat arus ~j diyatakan dengan :
ρq = q(nI − ne )
~j = q(nI u~I − ne u~e )
2.2
(2.9)
(2.10)
Quark dan Plasma Quark-Gluon
Quark
Quark merupakan partikel fundamental penyusun materi. Di alam, quark tidak
5
pernah teramati sebagai partikel bebas tetapi selalu terikat bersama dengan quark yang lain atau dengan antiquark melalui suatu potensial pengikat membentuk
suatu materi yang disebut Hadron. Terdapat dua kombinasi quark yaitu Baryon
dengan kombinasi 3 quark QQQ yaitu proton, netron dan Meson dengan kombi¯ yaitu meson. Terdapat 6 jenis quark yaitu u (up), d (down), c (charm),
nasi QQ
s (strange), t (top), dan b (bottom). Untuk mematuhi larangan pauli [3], maka
harus terdapat bilangan kuantum tambahan yaitu warna.
Muatan warna pada quark dibedakan menjadi 3 yaitu, r (red ), g (green), dan b
(blue), sedangkan anti-quark membawa anti-warna. Seperti halnya interaksi elektromagnetik, interaksi kuat antar quark juga dimediasi oleh suatu partikel boson,
partikel ini disebut gluon yang masing-masing memiliki warna dan anti-warna.
State yang mungkin dari gluon adalah :
r − b¯b), √16 (r¯
r + b¯b − 2g¯
g ), √13 (r¯
r + g¯
g + b¯b)
r¯b, r¯
g, b¯
g , b¯
r , g¯
r, g¯b, √12 (r¯
Berbeda dengan foton yang tidak memiliki muatan, gluon memiliki muatan warna sehingga dapat berinteraksi secara kuat dengan sesama gluon. Karena adanya
interaksi kuat antar gluon ini maka seperti halnya kombinasi quark pada hadron,
gluon dapat juga membentuk kombinasi colour singlet, GG dan GGG. Gluon dalam kondisi ini disebut Glueball .
Plasma Quark-Gluon
Plasma quark-gluon terbentuk pada tumbukan ultrarelativistik antar ion berat
seperti ion Au atau ion Sn dalam relativistic heavy ion collider di Brokhave national laboratory. Plasma quark-gluon adalah fase dari Quantum Cromodynamics
(QCD) yang muncul pada suhu dan kerapatan yang sangat tinggi (dalam orde
Tc = 170 MeV, atau sekitar 1013 K). Plasma quark-gluon terdiri dari quark dan
gluon seperti halnya pada hadron. Perbedaan kedua fase QCD ini adalah sebagai
berikut : pada hadron setiap quark dalam keadaan terikat dengan quark lain
atau dengan anti-quark (confined). Sedangkan pada plasma quark-gluon quark
dan anti quark tidak terikat membentuk hadron (de-confined) dan bergerak bebas pada suatu volume bersuhu tinggi yang disebut fireball.
Kenapa disebut plasma ?
Telah dijelaskan sebelumnya bahwa plasma adalah fluida yang terdiri dari partikelpartikel bermuatan listrik yang saling berinteraksi satu sama lain dan bergerak
6
bebas di seluruh volume fluida. Pada plasma quark-gluon, quark dan gluon memiliki muatan yaitu warna, dan dapat bergerak bebas di seluruh volume fireball.
Perbedaan keduanya adalah muatan quark merupakan muatan non-Abelian sedangkan muatan listrik merupakan muatan abelian.
7
Gambar 2.1: Quark dan Gluon pada Hadron. Quark terikat bersama dengan
quark lainnya (confined) dengan kondisi colour-netral membentuk hadron
Gambar 2.2: Quark dan Gluon pada plasma Quark-Gluon. Quark tidak berikatan
membentuk hadron tetapi bergerak bebas pada fireball (deconfined). Fireball
terbentuk pada temperatur diatas 100 MeV, atau sekitar 1013 K
.
8
Bab 3
Unifikasi Magnetofluida dengan
prinsip Gauge
Pada bab ini dijelaskan unifikasi antara medan fluida dan elektromagnetik untuk
kasus Abelian dan non-Abelian dengan menggunakan teori gauge. Dari unifikasi ini kita akan menurunkan persamaan gerak medan fluida yang berinteraksi
dengan materi dan medan elektromagnetik dalam limit non-relativistik seperti
persamaan gerak pada plasma. Unifikasi dilakukan pada medan fluida Abelian dan diperluas untuk medan fluida non-Abelian. Prosedur yang dilakukan untuk menyatukan kedua interaksi adalah dengan mengerjakan simetri grup
U(1)F D ⊗ U(1)G dan G(n)F D ⊗ G(n)G pada medan materi (boson dan fermion).
3.1
Unifikasi Magnetofluida dengan TeoriGauge
Abelian
Pada fisika partikel teori unifikasi dilakukan dengan menggunakan prinsip pertama ( first principle) yaitu dengan menggunakan pendekatan Lagrangian. Prosedurnya adalah melakukan transformasi oleh grup tertentu pada medan materi.
Lagrangian dari materi harus invarian terhadap transformasi ini, sebagai konsekuensinya maka pada lagrangian akan muncul suku-suku baru yang menunjukkan
interaksi antara materi dengan medan gauge atau interaksi antara sesama medan
gauge.
9
Lagrangian density Medan boson
Lagrangian density untuk medan boson dinyatakan dengan :
L = ∂µ Φ∂ µ Φ∗ − m2 Φ∗ Φ
(3.1)
Untuk mengunifikasi medan materi dan medan gauge maka dikerjakan transformasi gauge lokal : U(1)F D ⊗ U(1)G : pada medan materi. Lagrangian materi
harus invarian terhadap transformasi ini :
Φ (x) → U (x)F Φ (x)
Φ′ (x) → U (x)EM Φ′ (x)
dimana :
U (x)F = e−iα(x)
U (x)EM = e−iβ(x)
dengan α (x) dan β (x) merupakan sembarang fungsi real . Untuk kasus infinitesimal transformation e−iα(x) ≈ (1−iα (x)). Pada kasus transformasi gauge global
∂ µ Φ (x) ditransformasikan seperti Φ (x) , tetapi bila dikerjakan transformasi gauge lokal maka akan terdapat suku-suku tambahan :
δΦ = −i (α + β) Φ
(3.2)
δΦ∗ = i (α + β) Φ∗
(3.3)
δ∂ µ Φ = −i∂ µ αΦ − i∂ µ βΦ − i (α + β) ∂ µ Φ
(3.4)
δ∂ µ Φ∗ = i∂ µ αΦ∗ + i∂ µ βΦ∗ + i (α + β) ∂ µ Φ∗
(3.5)
Karena terdapat suku tambahan pada bentuk derivatif maka lagrangian L (Φ, ∂µ Φ)
menjadi tidak invarian terhadap transformasi gauge lokal. Untuk mengatasi hal
ini kita harus menyusun bentuk derivatif yang memiliki sifat transformasi seperti
Φ(x).
δL =
∂L
∂L ∗
∂L
∂L
δΦ +
δΦ
+
δ
(∂
Φ)
+
δ (∂ µ Φ∗ )
µ
∂Φ
∂Φ∗
∂ (∂µ Φ)
∂ (∂ µ Φ∗ )
(3.6)
δL = (∂µ α + ∂µ β) i (Φ∗ ∂ µ Φ − Φ∂ µ Φ∗ )
(3.7)
δL = (∂µ α + ∂µ β) J µ
(3.8)
10
dimana J µ adalah vektor arus empat materi.
Untuk membuat lagrangian invarian terhadap transformasi gauge, maka kita harus menambah beberapa suku pada lagrangian density.
• L1 = − (eAµ + gBµ ) J µ
dimana Aµ dan Bµ merupakan medan gauge ( medan elektromagnetik dan
medan fluida ) yang ditransformasikan oleh transformasi gauge sebagai :
1
Aµ (x) −→ Aµ (x) + ∂µ α
e
1
Bµ (x) −→ Bµ (x) + ∂µ β
g
dengan e dan g merupakan konstanta kopling yang menentukan kekuatan
interaksi antara medan materi dengan medan gauge. Dengan tambahan
suku ini maka akan didapatkan :
δL1 = − (∂µ α + ∂µ β) J µ − (eAµ + gBµ ) δJ µ
δL + δL1 = − (eAµ + gBµ ) δJ µ
(3.9)
δJµ = 2Φ∗ Φ (∂ µ α + ∂ µ β)
δL + δL1 = −2Φ∗ Φ (eAµ ∂ µ α + eAµ ∂ µ β + gBµ ∂ µ α + gBµ ∂ µ β)
Suku kedua yang harus ditambahkan adalah :
• L2 = (e2 Aµ Aµ + g 2 Bµ B µ + 2egAµ B µ ) Φ∗ Φ
δL2 = (2eAµ ∂ µ + 2gBµ ∂ µ + 2gBµ ∂ µ + 2eAµ ∂ µ ) Φ∗ Φ
(3.10)
Jadi kita dapatkan : δL + δL1 + δL2 = 0
L = ∂µ Φ∂ µ Φ∗ − m2 Φ∗ Φ − (eAµ + gBµ ) J µ
+ e2 Aµ Aµ + g 2 Bµ B µ + 2egAµ B µ Φ∗ Φ
agar memiliki arti fisis maka harus ditambahkan bentuk yang mengandung kuadratik dari ∂ ν Aµ dan ∂ ν B µ sebagai suku kinetik dari medan gauge. Bentuk skalar
11
yang memenuhi dan invarian terhadap transformasi gauge ataupun Lorentz adalah sebanding dengan F µν Fµν dan S µν Sµν . Dengan :
F µν (x) = ∂ µ Aν − ∂ ν Aµ
(3.11)
S µν (x) = ∂ µ B ν − ∂ ν B µ
(3.12)
merupakan tensor kuat medan (field strength tensor ).
Kita telah mendapatkan Lagrangian density total yang invarian terhadap transformasi gauge lokal :
Ltotal = ∂µ Φ∂ µ Φ∗ − m2 Φ∗ Φ − (eAµ + gBµ ) J µ
+ e2 Aµ Aµ + g 2 Bµ B µ + 2egAµ B µ Φ∗ Φ
1
1
− F µν Fµν − S µν Sµν
4
4
(3.13)
Suku-suku pada lagrangian ini menyatakan interaksi dari masing-masing medan.
Untuk mendapatkan bentuk derivatif yang kovarian terhadap transformasi maka
kita definisikan derivatif kovarian :
Dµ Φ = ∂µ Φ + ieAµ Φ + igBµ Φ
(3.14)
sehingga : Dµ Φ (x) −→ U (x) Dµ Φ (x) dengan derivatif kovarian maka Lagrangian density total dapat dituliskan :
1
1
Ltotal = Dµ ΦD µ Φ∗ − m2 Φ∗ Φ − F µν Fµν − S µν Sµν
4
4
(3.15)
Persamaan Gerak
Berdasarkan prinsip aksi minimum δS = 0, dengan S =
roleh persamaan Euler - Lagrange :
∂µ
R
d4 xL dapat dipe-
∂L
∂L
−
=0
∂ (∂µ Φ) ∂Φ
(3.16)
dengan Φ adalah sembarang medan.
• Persamaan Gerak Medan Boson
dengan subtitusi Lagrangian density total ke persamaan ( 3.16 ) dan Φ = Φ∗
maka akan didapat persamaan gerak :
∂µ ∂ µ + 2ieAµ ∂µ + 2igB µ ∂µ + ie∂µ Aµ + ig∂µ B µ + m2 Φ
− e2 Aµ Aµ + g 2 Bµ B µ + 2egAµ B µ Φ = 0
12
(3.17)
• Persamaan Gerak Medan Elektromagnetik
Persamaan gerak Medan elektromagnetik didapatkan dengan mensubtitusi persamaan ( 3.13 ) ke dalam persamaan ( 3.16 ) dengan Φ = Aν , maka akan didapatkan
:
∂µ F µν = ie (Φ∗ ∂ ν − Φ∂ ν Φ∗ ) − 2e2 Aν + 2egB ν Φ∗ Φ
Dengan menggunakan derivatif kovarian maka bentuk di atas dapat dituliskan :
∂µ F µν = eJ ν
(3.18)
dengan : J = i (Φ∗ D ν Φ − ΦD ν Φ∗ )
Persamaan di atas analog dengan persamaan Maxwell inhomogen pada elektrodinamika klasik. Persamaan diatas juga menjelaskan bahwa medan elektromagnetik digenerasi oleh interaksi kedua partikel yang memiliki muatan e, tanpa
kehadiran partikel maka medan elektromagnetik tidak akan muncul. Karena sifat
F µν yang antisimetrik maka akan diperoleh :
∂µ J µ = 0
(3.19)
yang berarti J merupakan besaran yang kekal bila terdapat medan elektromagnetik.
• Persamaan Gerak Medan Fluida
Dengan cara yang sama kita dapat menurunkan persamaan gerak fluida yang
analog dengan persamaan skalar Maxwell.
∂µ S µν = gJ ν
(3.20)
dan J = (ρ, J) Vektor-vektor yang ekuivalen dengan medan listrik dan medan
magnetik adalah vektor R dan vektor Q.
S io = Qi
(3.21)
S ij = −εijk Rk
(3.22)
dan :
Q = −
~
B
+ ∇B o
∂t
~
R = ∇×B
13
!
(3.23)
(3.24)
Lagrangian density Medan Fermion
Lagrangian untuk medan fermion adalah :
¯ µ ψ − mψψ
¯
L = −i∂µ ψγ
(3.25)
dimana ψ adalah vektor 4 × 1 γ µ adalah matrix 4 × 4 , γ µ = (β, β~
α), matrix α
~
dan β~ didefinisikan :
α
~=
0 ~σ
~σ 0
, β~ =
I 0
0 −I
I adalah matrix satuan 2 × 2 dan σ adalah matriks Pauli :
1 0
0 −i
0 1
, σ~3 =
, σ~2 =
σ~1 =
0 −1
i 0
1 0
(3.26)
(3.27)
Prosedur yang sama kita lakukan seperti pada materi boson yaitu mengerjakan transformasi gauge lokal pada lagrangian density, maka kita akan memperoleh:
δψ = −i (α + β)
δ ψ¯ = i (α + β)
δ∂µ ψ¯ = i (α + β) ∂µ ψ¯ + i (∂µ α + ∂µ β)
δL =
∂L
∂L
∂L
δψ + δ ψ¯ ¯ + δ ∂µ ψ¯
∂ψ
∂ψ
∂ ∂µ ψ¯
(3.28)
Lagrangian ini tidak invarian terhadap transformasi gauge lokal karena ada tam¯ µ ψ merupakan vektor arus
bahan suku δL = (∂µ α + ∂µ β) J µ dimana J µ = ψγ
empat untuk medan fermion. Untuk itu harus ditambahkan suku :
• L1 = − (eAµ + gBµ ) J µ
δL1 = − (∂µ α + ∂µ β) J µ − (eAµ + gBµ ) δJ µ
δL + δL1 = − (eAµ + gBµ ) δJ µ
(3.29)
Karena pada vektor arus empatnya tidak mengandung bentuk derifatif maka
vektor arus empat ini invarian terhadap transformasi gauge lokal, atau δJ µ = 0.
14
Dengan penambahan suku kinetik dari kedua medan gauge maka akan didapatkan
lagrangian density total untuk medan fermion :
¯ µ ψ − mψψ
¯ − (eAµ + gBµ ) ψγ
¯ µ ψ − 1 F µν Fµν − 1 S µν Sµν
L = −i∂µ ψγ
4
4
(3.30)
Derifatif kovariannya dituliskan :
Dµ ψ = (∂µ + ieAµ + igBµ ) ψ
(3.31)
dalam bentuk derifatif kovarian lagrangian totalnya dapat dituliskan :
¯ µ ψ − mψψ
¯ − 1 Fµν F µν − 1 S µν Sµν
L = −iDµ ψγ
4
4
(3.32)
perbedaan utama dengan lagrangian density medan boson adalah tidak adanya
suku interaksi antara medan elektromagnetik dengan medan fluida.
Persamaan Gerak
Dengan mensubtitusi Lagrangian ke persamaan Euler-Lagrange maka kita
akan memperoleh persamaan gerak untuk masing-masing medan adalah:
[i∂
/ − (eA
/ + gB
/) − m]ψ = 0
3.2
(3.33)
∂µ F µν = eJ ν
(3.34)
∂µ S µν = gJ ν
(3.35)
Persamaan Maxwell Magnetofluida
Dari persamaan ( 3.23 ) dan ( 3.24 ) didapatkan :
∇.R = 0
∂R
∇×Q = −
∂t
(3.36)
(3.37)
dari persamaan arus kovarian, j ν = gJ ν dan persamaan gerak magnetofluidanya
ambil ν = 0 akan didapatkan :
∂1 S 10 + ∂2 S 20 + ∂3 S 30 = ρ
sehingga :
∇.Q = ρ
15
(3.38)
bila kita ambil ν = 1 :
∂0 S 01 + ∂2 S 21 + ∂3 S 31 = j 1
∂Q1 ∂R3 ∂R2
−
= j1
+
−
∂t
∂x2
x3
Persamaan Maxwell yang keempat adalah :
∂Q
=j
∇×R−
∂t
3.3
(3.39)
Persamaan Gerak Magnetofluida untuk limit non-Relativistik
Dari persamaan gerak untuk magnetofluida ∂µ S µν = gJ ν dengan arus kovarian
¯ µ ψ untuk fermion,
: J ν = i (Φ∗ D ν Φ − ΦD ν Φ∗ ) untuk materi boson dan J ν = ψγ
akan didapatkan :
∂o S oν + ∂i S iν = gJ ν
untuk ν = j akan diperoleh :
∂o S oj + ∂i S ij = gJ j
∂o S oj + ∂i ∂ i B j − ∂ j B i = gJ j
medan fluida yang digunakan berbentuk :
B i = φU i
(3.40)
φ adalah besaran pelengkap dimensi yang merepresentasikan distribusi fluida pa
~
da sistem dan hanya bergantung oleh temperature , S oj = −Qj = ∂φ∂tU + ∇φγ
dan U i = γv i . Dimana untuk plasma relativistik : φ ≃ 1 +
γ ≃1+
v2
2
5T
2m
[5]. Nilai γ :
. Dalam bentuk vektor persamaan diatas dapat dituliskan :
~ − ∇2 B
~ + ∇ ∇.B
~ = g J~
−∂o Q
Dengan menggunakan identitas vektor : ∇ ×
~ +∇× ∇×B
~
−∂o Q
!
~
∂ ∂δ U
~
+ ∇φγ + ∇ × R
∂t
∂t
!
~
∂U
∂
φ
+ ∇φγ
∂t
∂t
16
~ = ∇ ∇.B
~ − ∇2 B
~
∇×B
= g J~
= g J~
~
= g J~ − ∇ × R
Untuk kasus non-relativistik nilai γ → 1 dan φ → 1, kecuali pada suku ∇φγ.,
kita akan dapatkan :
v2 5 T
+
∇φγ = ∇
2
2m
2
∂ ∂~v
5T
v
= g J~ − ∇ × ~ω
+∇
+
∂t ∂t
2
2m
dengan ~ω = ∇ × ~v adalah vortisitas.
v2
5T
∂ ∂~v
= g J~ − ∇ × ~ω
+∇ +∇
∂t ∂t
2
2m
Z
v2
5T
∂~v
~
+∇ +∇
=
g J − ∇ × ~ω dt
∂t
2
2m
dengan menggunakan identitas vektor :
1
∇v 2
2
= (~v .∇) + ~v × (∇ × ~v ) kita akan
mendapatkan :
∂~v
5T
+ (~v .∇) ~v + ~v × ~ω + ∇
=
∂t
2m
Z
g J~ − ∇ × ~ω dt
(3.41)
untuk kasus fluida irotasional ∇ × ~v = 0 maka akan diperoleh :
5T
∂~v
+ (~v .∇) ~v + ∇
= g J~˜
∂t
2m
(3.42)
R
dengan : J~˜ = J~dt
Bila dianggap T tetap, maka kita akan mendapatkan 2 persamaan gerak magnetofluida yang ekuivalen dengan persamaan gerak plasma pada persamaan (2.1)
dan (2.2) :
3.4
∂J o
+ ∇J~ = 0
∂t
∂~v
+ (~v .∇) ~v = g J~˜
∂t
(3.43)
(3.44)
Model Magnetofluida dengan medan gauge
non-Abelian
Secara umum lagrangian density dari materi dapat dinyatakan dengan :
1
L = (∂µ Φ)† ∂ µ Φ + mΦ Φ† Φ + iψ¯ (γµ ∂ µ − mψ ) ψ + V (Φ)
2
(3.45)
2
dengan V (Φ) adalah potensial, misalkan pada teori Φ4 , V (Φ) = 41 λ Φ† Φ dan
γµ adalah matriks Dirac.
17
Interaksi antara fluida non-Abelian dengan medan gauge non-Abelian dinyatakan dengan transformasi gauge lokal : G (n)F ⊗ G (n)G . Maka medan materi
akan ditransformasikan sebagai :
Φ → Φ′ = exp [−i (α + β)] Φ
(3.46)
ψ → ψ ′ = exp [−i (α + β)] ψ
(3.47)
dengan : α = αa Ta dan β = βa Ta . Medan materi merupakan multiplet n × 1
dengan jumlah elemen n untuk grup Lie dengan dimensi n seperti SU(n), O(n+1)
dll. Ta adalah generator dari grup Lie yang merupakan matriks Hermitian dan
traceless Ta† = Ta dan T rTa = 0. Generator-generator ini memenuhi relasi komutasi tertutup :
[Ta , Tb ] = iCabc Tc
(3.48)
dengan Cabc adalah konstanta struktur antisimetrik dengan Cabc = −Cbac . Jumlah
generator dan medan gauge ditentukan oleh dimensi dari grup. Untuk grup SU(n)
atau O(n + 1) memiliki generator sebanyak n2 − 1 dan index a = 1, 2, ....n2 −
1. Lagrangian yang invarian terhadap transformasi gauge lokal diatas dapat
diperoleh dengan memasukkan suku yang mengandung medan gauge Aµa dan
medan fluida non-Abelian Bµa dengan sifat transformasi :
1
∂µ αa + Cabc αb Aµc
gG
1
≡ Bµa + ∂µ βa + Cabc βb Bµc
gF
Aµa → A′µa ≡ Aµa +
(3.49)
′
Bµa → Bµa
(3.50)
dengan gF adalah muatan untuk fluida dan gG adalah muatan gauge. Secara
umum lagrangian density materi yang invarian terhadap simetri gauge adalah :
L = Lmateri + Lkinetik + Linteraksi
dengan :
1
1
Lkinetik = − Sµνa Saµν − Fµνa Faµν
4
4
µν
µ ν
ν µ
Sa = ∂ Ba − ∂ Ba + gF Cabc Bbµ Bcν
Faµν = ∂ µ Aνa − ∂ ν Aµa + gG Cabc Aµb Aνc
Sedangkan suku-suku interaksi pada Lagrangian density nya adalah :
18
(3.51)
• untuk Boson :
µ
µ
2 µ
Lint = −gF Bµa JaF
− gG Aµa JaG
+ gG
Aa Aµb Φ† TaG TbG Φ +
gF2 Baµ Bµb Φ† TaF TbF Φ + gF gG Aµa Bµb Φ† (TaG TbF + TbF TaG ) Φ
• untuk fermion :
µ
µ
Lint = −gF Bµa JaF
− gG Aµa JaG
(3.52)
dengan Jaµ adalah arus materi untuk materi boson dan fermion.
dimana untuk boson dan fermion :
µ
Jaboson
= −i ∂µ Φ† TaX Φ − Φ† TaX ∂µ Φ
µ
¯
Jaf
ermion = ψγµ TaX ψ
dengan : X = F, G dan ψ¯ = ψ † γo. Untuk kasus simetri SUF (n) ⊗ SUG (n) atau
OF (n + 1) ⊗ OG (n + 1), maka TF a = TGa contohnya untuk kasus SU(2) ⊗ SU(2)
maka : TF a = TGa =
τa
2
dimana τa adalah matriks pauli, untuk kasus SU(n)F ⊗
U(1)G generator kedua grup adalah : TaG = 1, TaF =
τa
2
dengan τa adalah matriks
pauli dan a = 1, 2, 3 untuk n = 2 atau untuk n = 3, TaF =
λa
2
dengan λa adalah
matriks Gellman dan a = 1, 2....8. Lagrangian density untuk materi dapat juga
ditulis dalam bentuk derifatif kovarian sebagai :
1
1
L = (D µ Φ)† Dµ Φ + ψ¯ (iγ µ Dµ − m) ψ − Sµνa Saµν − Fµνa Faµν + V (Φ) (3.53)
4
4
derifatif kovariannya adalah :
Dµ Φ = ∂µ Φ + igG Aµb TbG Φ + igF Bµb TbF Φ
(3.54)
Dengan Lagrangian density total ini maka kita akan dapat mempelajari dinamika
fluida non-Abelian beserta interaksinya dengan medan gauge non-Abelian.
Persamaan Gerak Magnetofluida
Persamaan gerak medan magnetofluida dapat diperoleh dari persamaan EulerLagrange dalam bentuk medan Bνa :
∂µ
∂L
∂L
−
=0
∂ (∂µ Bνa ) ∂Bνa
19
Dengan mensubtitusi Lagrangian density total ke persamaan Euler-Lagrange
di atas maka akan didapatkan persamaan gerak :
Dµ S µν = gF JFν
(3.55)
dengan : S µν = Saµν Ta dan JFν = JFν Ta
Dµ adalah derifatif kovarian non-Abelian diperumum yang dapat dinyatakan dengan representasi adjoint :
Dµ = ∂µ + igG [Aµ , ..] + igF [Bµ , ..]
(3.56)
Arus kovarian dari materi boson dan fermion didefinisikan sebagai :
3.5
Jaν = −i[(D ν Φ)† TaF Φ − Φ† TaF D ν Φ]
(3.57)
¯ ν TaF ψ
Jaν = ψγ
(3.58)
Persamaan Gerak Magnetofluida non-Abelian
untuk limit non-Relatisvistik
Dari persamaan (3.55) dan dengan menggunakan kovarian derifatif (3.56), dan
untuk ν = j maka akan didapatkan :
∂µ Saµν − gG Cabc Aµb Scµν − gF Cabc Bµb Scµν = gF Jaν
(3.59)
gG
gG
oj
ij
j
ij
oj
oj
ij
∂o Sa +∂i Sa = gF Ja + Cabc Bob Sc + Cabc Bib Sa + Cabc Aob Sc + Cabc Aib Sc
gF
gF
~ a dan R
~a :
didefinisikan medan Q
Qk = S ko
1
Rk = − εkij S ij
2
S ij = εijk Rk
(3.60)
(3.61)
(3.62)
~ :
dalam bentuk B µ = B o , B
~
~ a = −∇B o − ∂ Ba − gF Cabc B
~ bBo
Q
a
c
∂t
~b × B
~c
~a = ∇ × B
~ a + 1 gF Cabc B
R
2
20
(3.63)
(3.64)
medan fluida didefinisikan sebagai :
~a
Baµ = φγa , φU
(3.65)
Uai adalah kecepatan relativistik dari medan fluida (Uai = γa vai ) dan γa ≡ (1 −
1
va2 )− 2 adalah faktor relativistik, sedangkan ~va adalah kecepatan spasial. Besaran
φ adalah medan tambahan berdimensi 1 yang ditambahkan untuk melengkapi
dimensi dan merepresentasikan distribusi dari fluida pada sistem, dan hanya bergantung pada temperatur [5]. Indeks a,b,c menunjukkan aliran fluida pada ruang
internal. Model fluida yang dibuat dinyatakan oleh suku kinematik dan fungsi
distribusi yang terpisah.
dalam bentuk vektor persamaan geraknya dapat dituliskan :
−
~a
∂Q
~ c + gG Cabc A
~ b ×R
~ c)
~ a = gF (J~a −Cabc Bob Q
~ c +Cabc B
~ b ×R
~ c − gG Cabc Aob Q
+∇×R
∂t
gF
gF
~ dan R
~ :
dengan mensubtitusi medan Q
~a
∂ ∂B
~ b B o ) + ∇ × (∇ × B
~ a + 1 gF Cabc B
~b × B
~ c ) = (3.66)
(
+ ∇Bao + gF Cabc B
c
∂t ∂t
2
~c
∂B
~ lBo ) +
+ gF Cclm B
gF (J~a + Cabc Bob (∇Bco +
m
∂t
~ b × (∇ × B
~ c + 1 gF Cclm B
~l × B
~ m ) + gG Cabc Aob (∇B o +
Cabc B
c
2
gF
~c
∂B
~ b × (∇ × B
~ c + 1 gF Cclm B
~ l B o ) + gG Cabc A
~l × B
~ m ))
+ gF Cclm B
m
∂t
gF
2
Dengan mensubtitusi medan fluida pada ( 3.65 ) dan pada limit non-relativistik
i
h 2
va
nilai γ → 1, φ → 1, kecuali pada suku :∇φγa = ∇ 2 + φ maka kita akan dapatkan bentuk vektor dari persamaan gerak non-relativistik Magnetofluida nonAbelian :
∂ ∂~va ∇va2
1
+
+ ∇φ + gF Cabc~vb + ∇ × (∇ × ~va + gF Cabc~vb × ~vc ) =
∂t ∂t
2
2
2
∂~vc
∇v
+ gF Cclm~vl ) +
gF (J~a + Cabc ( c + ∇φ +
2
∂t
1
∇v 2
gG
Cabc~vb × (∇ × ~vc + gF Cclm~vl × ~vm ) + Cabc Aob ( c + ∇φ +
2
gF
2
gG
∂~vc
~ b × (∇ × ~vc + 1 gF Cclm~vl × ~vm ))
+ gF Cclm~vl ) + Cabc A
∂t
gF
2
21
dengan identitas vector : 12 ∇va2 = (~va .∇) ~va +~va ×(∇ × ~va ) kita akan dapatkan
:
∂
∂t
∂~va
+ (~va · ∇)~va + ~va × ~ωa + ∇φ + gF Cabc~vb +
∂t
h
i
∇ × ~ωa = gF J~a + F~a
(3.67)
dengan vektor F~a adalah :
∂~vc
gF Cclm~vl ) + ~vb × (~ωc +
F~a = Cabc [((~vc · ∇)~vc + ~vc × ωc + ∇φ +
∂t
1
∂~vc
gG
gF Cclm~vl × ~vm ) + Aob ((~vc · ∇)~vc + ~vc × ωc + ∇φ +
+
2
gF
∂t
1
1
gG ~
ωc + gF Cclm~vl × ~vm − ∇ × (~vb × ~v c))]
gF Cclm~vl ) + A
b × (~
gF
2
2
dimana : ~ωa = ∇ × ~va adalah vortisitas. Untuk fluida irotasional ~ωa = 0, ~ωc = 0
, sehingga persamaan gerak magnetofluida non-Abelian menjadi :
Z
h
i
∂~va
~
~
+ (~va · ∇)~va + ∇φ + gF Cabc~vb = gF dt J + Fa |irotasional
(3.68)
∂t
Persamaan (3.68) yang telah kita dapatkan adalah persamaan umum untuk
fluida relativistik tak berotasi. Arus J~a muncul akibat adanya materi yang dikelilingi dan berinteraksi dengan fluida, sedangkan F~a merupakan kontribusi dari
interaksi antar medan fluida atau interaksi medan fluida dengan medan gauge
(Aµa ). Jadi lagrangian pada persamaan (3.53) dengan medan fluida yang memiliki bentuk seperti persamaan (3.65) dapat mendeskripsikan sistem umum yang
terdiri dari fluida relativistik yang berinteraksi dengan medan gauge dan materi.
Untuk kasus non-Abelian maka semua konstanta struktur bernilai nol, dan
indeks internal a,b,c dapat dihilangkan. Sehingga untuk kasus non-Abelian nilai
F~a = 0 dan persamaan geraknya menjadi :
Z
∂~v
+ (~v .∇) ~v + ∇φ = gF dtJ~
(3.69)
∂t
seperti pada persamaan (3.42) yang telah kita dapatkan.
3.6
Aplikasi Unifikasi Magnetofluida non-Abelian
pada Plasma Quark-Gluon
Plasma quark-gluon terdiri dari quark-dan anti quark yang berinteraksi dengan
gluon-gluon dan medan elektromagnetik. Lagrangian sistem ini dinyatakan de22
ngan simetri gauge SU(3)F ⊗ U(1)G :
¯ f /∂Qf − mf Q
¯ f Qf − 1 S µν Sµνa − 1 F µν Fµν − gF JµaQ B µ − qjµ Aµ (3.70)
L = iQ
a
4 a
4
dimana gG diganti dengan q yang merupakan muatan quark. indeks f menunjukkan index flavor dari quark yaitu u,d,c,s,t,b. Generator TF a merupakan matriks
Gell-Mann yang dinyatakan dengan representasi fundamental
λa
2
(a = 1, 2, 3.....8)
dengan normalisasi :
T r(λa λb ) = 2δab
(3.71)
Persamaan gerak yang diperoleh dari lagrangian QCD di atas adalah :
Dµ F µν = gF JQµ
(3.72)
µ
µ
∂µFaµν = gF JaQ
+ gF JaG
(3.73)
atau dapat dituliskan :
µ
¯ µ λa Q merupakan matrix arus dari materi quark, sedangkan J µ
dengan JaQ
= Qγ
aG
2
adalah arus dari gluon.
µ
JaG
= Cabc Bµb Scµν
(3.74)
¯ µ λa Q dan J µ = Qγ
¯ µ Q.
dengan JFµ a = Qγ
G
2
Bentuk non-linier pada (3.74) dalam persamaan (3.73) menunjukkan bahwa
medan gluon bertindak sebagai sumber, atau dengan kata lain quanta dari medan
gluon membawa muatan warna tersendiri sehingga tanpa adanya materi dapat
menjadi sumber bagi medannya sendiri.
Secara makroskopik model ini menggambarkan sistem yang terdiri dari fluida
non-Abelian yang disusun oleh sekumpulan gluon ( gluon cloud ) dengan kerapatan yang besar dan mengelilingi materi ( quark dan anti-quark ) dalam medan
elektromagnetik. Model ini menjelaskan hasil eksperimen dari PHENIX collaboration pada BNL menggunakan RHIC yang menyatakan quark-gluon pada fireball
bersifat seperti fluida. Model ini sangat berbeda dengan model hybridmagnetofluid [2, 5] yang memodelkan QGP sebagai aliran fluida yang disusun oleh quark
dan anti-quark yang berinteraksi dengan medan gluon.
¯ γ λa Q. Dengan persamaan ( 3.73
Komponen spasial arus fermion adalah : J~a = Q~
2
) persamaan gerak relativistik QGP adalah :
∂(φγa~va )
+ ∇(φγa ) + gF Cabc φ2 γb γc~vb = gF
∂t
23
Z
dt[J~ + F~a ]
(3.75)
Nilai gF ditentukan oleh nilai fine structure dari interaksi kuat gF2 = 4παs , dimana nilai αs bergantung dengan skala energi yang dipakai, contohnya pada T=
200 MeV maka nilai αs diantara 0,2 dan 0,5 dengan gF = 1, 5 − 2, 5. Berdasarkan
hasil eksperimen QGP memiliki kerapatan besar dan viskositas kecil seperti fluida
ideal ( ωa = 0 ). Jika kita lihat pada lagrangian QGP, fluida yang disusun oleh
gluon tidak berinteraksi dengan medan elektromagnetik, tetapi quark dan antiquark berinteraksi dengan medan elektromagnetik dinyatakan oleh suku terakhir
pada lagrangian.
Pada persamaan gerak ( 3.75 ), kontribusi medan elektromagnetik terdapat pada
pα
F~a yang dinyatakan dengan faktor gqF ≈
≈ O(10−1), dimana nilai muatαs
pα
an quark ekuivalen dengan muatan listrik e =
. Jadi dapat disimpulkan
4π
kontribusi gaya elektromagnetik sangat kecil sehingga dapat diabaikan.
24
Bab 4
Perhitungan Energi
Magnetofluida berbasis Teori
Gauge
Pada bab ini kita akan menurunkan tensor energi-momentum untuk kasus umum
yaitu dari lagrangian dengan medan non-Abelian. Dengan tensor energi-momentum
tersebut kita dapat memperoleh energi total dan momentum dari sistem magnetofluida.
Tensor energi-momentum dapat diperoleh dari prinsip variasi, yaitu dari variasi
aksi :
δS =
Z
R
Z
∂L
∂L
∂L
∂L
4
v
µ
ν
δΦd x +
− ∂µ
[δΦ + [∂ν ] δx ] −
∂ν − δν Lδx
∂Φ
∂(∂µ Φ)
∂(∂µ Φ)
∂R ∂(∂µ Φ)
Suku pertama pada suku integral permukaan merupakan variasi total dari Φ (δΦ),
sedangkan suku kedua didefinisikan sebagai tensor energi-momentum θνµ :
θνµ =
∂L
∂ν Φ − δνµ L
∂ (∂µ Φ)
(4.1)
θµν =
∂L
∂ ν Φ − g µν L
∂ (∂µ Φ)
(4.2)
atau :
4.1
Energi Plasma non-Abelian
Materi boson
Lagrangian umum dari materi boson dengan interaksi medan gauge dan medan
25
fluida non-Abelian adalah :
1
1
L = (D µ Φ)† Dµ Φ − Sαβa Saαβ − Fαβa Faαβ − V (Φ)
4
4
(4.3)
dengan mensubtitusi lagrangian ini ke (4.3) akan didapatkan :
µ
µ ν k
ν
o o k
θµν = (∂ µ Φ)† ∂ ν Φ+(∂ ν Φ)† ∂ µ Φ−gF Baµ JaF
−gG Aµa JaG
−Sak
∂ Ba −Fak
∂ Aa −g µν L
(4.4)
Energi dari sistem adalah komponen ke-00 :
o
o
o o k
o o k
− gG Aoa JaG
− Sak
∂ Ba − Fak
∂ Aa − L
θoo = (∂ o Φ)† ∂ o Φ + (∂ o Φ)† ∂ o Φ − gF Bao JaF
sehingga :
θoo = (∂ o Φ)† ∂ o Φ + igF Bao ∂ o Φ† Ta Φ − Φ† Ta ∂ o Φ + igG Aoa ∂ o Φ† Ta Φ − Φ† Ta ∂ o Φ + gG Aoa Jao +
2 o
gF Boa Jao − gG
Aa Aob Φ† Ta Tb Φ − gF2 Bao Bob Φ† Ta Tb Φ − gF gG Aao Bob Φ† (Ta Tb + Tb Ta ) Φ +
1
1
(Di Φ)† (Di Φ) + V (Φ) − Fio∂ o Aia − Sio ∂ o Bai + Fαβa Faαβ + Sαβa Saαβ
4
4
dengan :
Di = ∂i − igG Aia TaG − igF Bai TaF
(4.5)
bila suku-sukunya dipisahkan :
oo
θmateri+interaksi
= (∂ o Φ)† ∂ o Φ + igG Aoa ∂o Φ† Ta Φ − igG Aoa Φ† Ta ∂o Φ − igG Aoa ∂o Φ† Ta Φ +
igG Aoa Φ† Ta ∂o Φ + igF Bao ∂o Φ† Ta Φ − igF Bao Φ† Ta ∂o Φ − igF Boa ∂o Φ† Ta Φ +
2 o
igF Boa Φ† Ta ∂o Φ − gG
Aa Aob Φ† Ta Tb Φ − gF2 Bao Bob Φ† Ta Tb Φ −
gF gG Aoa Bob Φ† (Ta Tb + Tb Ta ) Φ + (Di Φ)† (Di Φ) + V (Φ)
dengan menambahkan suku-suku berikut pada persamaan diatas maka bentuk
diatas dapat dituliskan dalam bentuk kovarian derifatif :
2 o
2 o
gG
Aa Aob Φ† Ta Tb Φ − gG
Aa Aob Φ† Ta Tb Φ
+gF2 Bao Bob Φ† Ta Tb Φ − gF2 Bao Bob Φ† Ta Tb Φ
+gF gG Aoa Bob Φ† (Ta Tb + Tb Ta ) Φ − gF gG Aoa Bob Φ† (Ta Tb + Tb Ta ) Φ
oo
maka suku θmateri+interaksi
dapat dituliskan sebagai :
oo
θmateri+interaksi
= D o Φ† D oΦ + igG Aoa Φ† Ta D o Φ − D o Φ† Ta Φ +
igF Boa Φ† Ta D o Φ − D o Φ† Ta Φ + (Di Φ)† (Di Φ)
26
atau :
oo
θmateri+interaksi
= D o Φ† D o Φ + gG Aoa Jao + gF Boa Jao + (Di Φ)† (Di Φ)
(4.6)
suku untuk medan gauge dan fluidanya adalah :
1
1
θgauge+f luida = −Fio ∂ o Aia + Fαβa Faαβ − Sio ∂ o Bai + Sαβa Saαβ
4
4
~
~
∂ Aa 1
~a · ∂ Ba + 1 Ra · Ra − Q
~a · Q
~a
Ba · Ba − E~a · E~a − Q
= −E~a ·
+
∂t
2
∂t
2
dengan Ba adalah medan magnet non-Abelian.
dari persamaan (3.60) :
~
~ a · Qa + ∇Bao + gF Cabc B
~ b Bco
~ a · ∂ Ba = Q
−Q
∂t
o
~a · Q
~a + ∇ · Q
~ aB − ∇ · Q
~ a B o + gF Cabc Q
~a · B
~ b Bo
=Q
a
a
c
komponen-00 dari tensor energi-momentum dapat dinyatakan :
†
1
~
~
~a · E
~a +
θoo = (D o Φ)† D o Φ + DΦ
· DΦ
+
Ba · Ba + E
2
1
~a · Q
~ a + V (Φ) + X
Ra · Ra + Q
2
(4.7)
dengan :
~ a Ao − ∇ · E
~ a Ao + gG Cabc E
~a · A
~ b Ao + ∇ · Q
~ aBo − ∇ · Q
~ a Bo
X =∇· E
a
a
a
c
a
~a · B
~ b B o + gG Aoa J o + gF Boa J o
+gF Cabc Q
c
a
a
dari persamaan gerak :
~ a + gG Cabc A
~b · E
~ c = gG J o
∇·E
a
(4.8)
~ a + gF Cabc B
~b · Q
~ c = gF J o
∇·Q
a
(4.9)
bila kita subtitusi ke dalam X maka suku-sukunya saling meniadakan kecuali suku
berikut :
~ a Ao + ∇ · Q
~ aBo
X =∇· E
a
a
Dengan memilih gauge yang menyatakan Aoa = 0 dan Bao = 0 ketika tidak ada
medan materi, maka integral X terhadap seluruh ruang dapat diabaikan, sehingga
27
kita akan mendapatkan hamiltonian density yang invarian terhadap transformasi
gauge lokal :
H=
dimana :
Z
dV H
1
~ † · (DΦ)
~
~a · E
~ a) +
H = (D o Φ)† D o Φ + (DΦ)
+ (Ba · Ba + E
2
1 ~ ~
~a · Q
~ a ) + V (Φ)
(Ra · Ra + Q
2
(4.10)
~ = ∇ − igG A
~ a TaG − igF B
~ a TaF
Dengan : D
Materi Fermion
Lagrangian density untuk fermion yang berinteraksi dengan medan fluida dan
medan gauge non-Abelian secara umum dapat dinyatakan sebagai :
¯ µ Dµ ψ − mψψ
¯ − 1 F αβ Faαβ − 1 Sαβa S αβ
L = iψγ
a
4 a
4
(4.11)
Energi-momentum tensornya berbentuk :
¯ µ ∂ ν ψ − F µ ∂ ν Ak − S µ ∂ ν B k − g µν L
θµν = iψγ
a
a
ak
ak
(4.12)
komponen ke-00 merupakan Hamiltonian dari sistem dapat dihitung dengan cara
yang sama seperti kasus pada boson, kita akan dapatkan :
¯ α · Dψ
¯ + 1 (Ba · Ba + E
~a · E
~ a ) + 1 (R
~a · R
~a + Q
~a · Q
~ a ) (4.13)
~ + mψψ
H = −iψβ~
2
2
4.2
Energi density QGP
Sistem magnetofluida quark-gluon terdiri dari quark dan anti-quark yang berinteraksi dengan gluon. Secara umum rapat energinya dinyatakan dengan :
H = Hquark + Hinteraksi + Hgluon
(4.14)
dimana energi quark dinyatakan dengan :
~ + mQ QQ
¯ α · ∂Q
¯
Hquark = −iQβ~
Suku energi interaksi dan energi gluon tergantung oleh kecepatan gluon. Pada
kecepatan gluon yang tinggi suku energi quark memiliki kontribusi yang kecil
28
pada energi sistem sehingga dapat diabaikan. Pada kecepatan gluon yang tinggi
akan terbentuk QGP, sehingga rapat energi sistem QGP adalah :
1 ~ ~
~ ~
H = gF Jaµ Bµa + (R
(4.15)
a · Ra + Qa · Qa )
2
R
Energi total QGP adalah H = dV H , dimana V adalah volume dari fireball.
~ a dan Q
~ a didefinisikan :
dengan kondisi ~ωa = 0 , maka R
~ a = 1 gF Cabc φ2 γb γc~vb × ~vc
R
2
~ a = −∇(φγa ) − φγa ∂~va − gF Cabc φ2 γb γc~vb
Q
∂t
suku pertama merupakan energi interaksi antara quark dan gluon sedangkan suku
kedua merupakan energi dari gluon. Jaµ adalah arus empat non-Abelian materi
yang dapat dinyatakan dengan :
¯ µ
Jaµ = Qγ
sehingga :
λa
Q
2
1 ~ ~
~ ~
H = gF φ(ρq − ~va · J~a ) + (R
a · Ra + Qa · Qa )
2
(4.16)
(4.17)
dengan a = 1, ....8. Kita asumsikan quark dan gluon mengalir hanya pada sumbu
z dengan kecepatan konstan pada fireball, ~va = (0, 0, va ) dan J~a = (0, 0, Ja).
~ a , suku pertama, dan suku kedua dari Q
~ a pada suku
Dengan asumsi ini, nilai R
energi gluon dapat diabaikan.
29
Bab 5
Hasil dan Pembahasan
Telah dibuat model yang menerangkan sistem fluida dengan materi di dalamnya dan berinteraksi dengan medan gauge Abelian dan non-Abelian berdasarkan
prisnsip gauge. Prinsip yang digunakan adalah mengerjakan simetri gauge pada
materi ( boson dan fermion ). Untuk simetri gauge Abelian telah didapatkan
lagrangian density yang invarian terhadap transformasi gauge lokal yaitu :
1
1
L = Lboson −(eAµ +gBµ )J µ +(e2 Aµ Aµ +g 2 Bµ B µ +2egAµ B µ )Φ∗ Φ− Fµν F µν − Sµν S µν
4
4
dan
¯ µ ψ − 1 Fµν F µν − 1 Sµν S µν
L = Lf ermion − (eAµ + gBµ )ψγ
4
4
Suku-suku pada lagrangian di atas merepresentasikan interaksi-interaksi yang terjadi antar medan. Pada suku ketiga terlihat bahwa terjadi interaksi antara materi
dengan medan fluida dan medan gauge. Pada suku keempat untuk lagrangian
boson terdapat suku interaksi antara medan fluida 3, medan gauge dan materi
yang dinyatakan dengan 2egAµ B µ Φ∗ Φ. Suku ini tidak muncul pada lagrangian
fermion yang menunjukkan bahwa untuk sistem fluida dengan materi fermion
yang berada dalam medan gauge, interaksi antara medan fluida dan medan gauge tidak terjadi.
Untuk simetri gauge non-Abelian telah diperoleh :
µ
µ
2 µ
L = Lboson − gF Bµa JaF
− gG Aµa JaG
+ gG
Aa Aµb Φ† TaG TbG Φ + gF2 Baµ Bµb Φ† TaF TbF Φ +
1
1
gF gG Aµa Bµb Φ† (TaG TbF + TbF TaG ) Φ − Sµνa Saµν − Fµνa Faµν + V (Φ)
4
4
dan
1
1
µ
µ
L = Lf ermion − gF Bµa JaF
− gG Aµa JaG
− Sµνa Saµν − Fµνa Faµν + V (Φ)
4
4
30
dengan mensubtitusi lagrangian di atas pada persamaan Euler-Lagrange maka
akan diperoleh persamaan gerak untuk masing-masing medan. Dengan persamaan medan fluidanya adalah :
∂µ S µν = gJ ν
Abelian
atau :
Dµ S µν = gF JFν
non-Abelian
bila Bµa dipandang sebagai medan fluida yang mewakili sekumpulan fluida untuk
setiap a, maka kita memiliki sistem multifluida dengan persamaan gerak seperti
di atas. Analog dengan kasus Abelian, interaksi antara medan fluida, materi
dan medan gauge hanya terdapat pada lagrangian medan boson yaitu pada suku
gF gG Aµa Bµb Φ† (TaG TbF + TbF TaG ) Φ.
interaksi antara medan fluida ditunjukkan pada suku pure gauge yaitu :
1
L = − Sµνa Saµν
4
sebab di dalam Saµ terdapat suku −gF Cabc B µb Bµc .
Dari persamaan gerak fluida Abelian dapat diperoleh persamaan Maxwell untuk
medan fluida yaitu :
~ = 0
∇·R
~
~ = − ∂R
∇×Q
∂t
~ = ρ
∇·Q
~
~ − ∂ Q = ~j
∇×R
∂t
pada persamaan gerak fluida, bila J ν = 0 maka ∂µ S µν = 0, dengan kata lain
∇ · Q = 0 dan ∇ × R −
∂Q
∂t
= 0 yang berarti tidak terdapat sumber untuk
fluida bila tidak terdapat materi. Sedangkan pada kasus non-Abelian , untuk
J ν = 0 ( tanpa adanya materi ) akan didapatkan ∂µ Saµν = gG Cabc Aµb Scµν +
gF Cabc Bµb Scµν yang merepresentasikan Saµν berperan sebagai sumber untuk medan
fluida itu sendiri. Hal ini disebabkan karena pada kasus Abelian medan S µν
tidak membawa ”muatan” sehingga tidak bisa menjadi sumber bagi medannya
sendiri, sedangkan pada kasus non-Abelian medan Saµν memiliki muatan nonAbelian yang dapat berperan sebagai sumber untuk medan fluida itu sendiri
31
sehingga dimungkinkan adanya self interaction antar medan gauge. Hal ini mirip
deng
non-Abelian dengan
Lagrangian Gauge
Tugas Akhir
Diajukan sebagai salah satu syarat untuk meraih gelar Sarjana Sains
Andrias Fajarudin
0304027021
Departemen Fisika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Indonesia
Depok
2008
Lembar Persetujuan
Judul Skripsi
:
Dinamika Magnetofluida dengan Lagrangian Gauge
Nama
:
Andrias Fajarudin
NPM
:
0304027021
Skripsi ini telah diperiksa dan disetujui
Depok, Februari 2008
Mengesahkan
Pembimbing I
Pembimbing II
Dr. L. T. Handoko
Dr. Terry Mart
Penguji I
Penguji II
Dr. Imam Fachruddin
Dr. Agus Salam
Mengetahui,
Ketua Program Peminatan Fisika Nuklir dan Partikel
Dr. Terry Mart
Untuk keluargaku :
Abah, Mamah, Lia
’Semua akan menjadi lebih baik bila kita tetap bersama....’
i
Kata Pengantar
Teori Gauge pada fisika partikel merupakan formalisme matematik yang digunakan untuk menjelaskan unifikasi antar medan. Teori yang telah ada adalah
model standar yang mengunifikasi elektromagnetisme, gaya lemah, dan gaya kuat. Untuk menjelaskan unifikasi ketiga gaya fundamental ini digunakan simetri
grup SU(3) ⊗ SU(2) ⊗ U(1). Ide unifikasi medan-medan melalui teori gauge
ini memotivasi saya untuk menyusun model magnetofluida standar seperti pada
magnetohidrodinamika.
Hasil eksperimen pada BNL ( Brookhaven National Laboratory ) dengan menggunakan RHIC ( Relativistic Heavy Ion Collider ) menunjukkan bahwa gluon
dan quark tidak membentuk materi hadron pada temperatur yang sangat tinggi,
tetapi membentuk fase baru yaitu plasma quark-gluon[2, 5]. Hasil yang diamati menunjukkan bahwa plasma Quark-gluon memiliki kerapatan tinggi, tetapi
mengalir dengan nilai viskositas yang sangat kecil seperti fluida ideal, sehingga
memenuhi hukum dasar Hidrodinamika. Untuk itulah model magnetofluida yang
saya susun akan diperluas untuk kasus medan fluida non-Abelian sehingga relevan
untuk sistem quark-gluon plasma. Terdapat model lain yang menjelaskan sistem
QGP, yaitu dengan model hybridmagnetofluid unification[2]. Model yang saya
buat ini sekaligus mengkoreksi model yang telah ada ini dalam hal suku kinetik
pada lagrangian. Penulis secara khusus mengucapkan terima kasih kepada semua
pihak yang telah membantu penyelesaian tugas akhir ini baik secara langsung
maupun tidak langsung, antara lain:
1. Allah.SWT sang pemilik semesta atas segala rahmat, rejeki, dan karuniaNYA.
2. Abah, mamah, dan lia yang menjadi sumber semangat saya untuk terus
ii
berjuang. Terimakasih untuk Abah dan mamah atas pelajaran hidupnya
selama ini, saya yakin suatu saat nanti keadaan kita akan lebih baik seperti
dulu lagi...
3. Special thanks, Terimakasih sebesar-besarnya kepada Dewi Kusumaningrum,
saya tidak akan sampai di tahap ini tanpa semua bantuan, semangat, motivasi, dan perhatian dari kamu.
4. Herman Saheruddin selaku kakak, thanks telah menularkan kecanduan fisika pada saya.
5. Dr. L.T. Handoko selaku pembimbing I yang telah membimbing penulis
mulai dari awal diskusi hingga penyelesaian tugas akhir ini serta atas ide-ide
yang brilian dan motivasi hidup yang membuat saya menjadi lebih optimis
dan yakin untuk tetap dalam bidang fisika partikel.
6. Dr. Terry Mart selaku pembimbing II dan ketua peminatan Fisika Nuklir
dan Partikel atas bimbingan dan dukungan yang diberikan baik itu selama
kuliah maupun pengerjaan tugas akhir ini.
7. Dr. Imam Fachrudin, Dr. Agus Salam dan Dr. Budhy Kurniawan selaku
penguji I,II dan ketua sidang.
8. Rekan-rekan di Lab Teori : Sandi ( Mr. Jomblo ) thanks atas kebaikannya selama ini, Andhika Oxalion, Ryky, Beriya, Popo, Hans, Pak Ayung (
thanks atas cerita pengalaman hidupnya), Pak Sulaiman .
9. Teman-teman fisika angkatan 2004 dan teman-teman di salemba group.
Saya menyadari bahwa karya tulis ini masih jauh dari sempurna karena keterbatasan pengetahuan saya, maka dari itu saya mengharapkan kritik dan saran dari
para pembaca demi perkembangan riset di Fisika UI.
Depok, Februari 2008
Andrias Fajarudin
iii
Abstrak
Dibangun Sebuah lagrangian untuk menyatukan interaksi elektromagnetik dan
dinamika fluida. Lagrangian ini memiliki simetri terhadap transformasi gauge
lokal U(1)F D ⊗ U(1)G dan G(n)F D ⊗ G(n)G . Dari lagrangian ini kita akan menurunkan seluruh persamaan gerak untuk seluruh medan dan rapat energi sistem
magnetofluida yang akan diaplikasikan untuk plasma quark-gluon.
Kata kunci: Transformasi gauge lokal, Plasma quark-gluon
viii+32 hlm.; lamp.
Daftar Acuan: 10(1945-2008)
Abstract
A lagrangian for unifies elektromagnetic interaction and fluid dynamics is developed. The lagrangian have a symmetry under local gauge transformation
U(1)F D ⊗ U(1)EM and G(n)F D ⊗ G(n)G . From this lagrangian we will derive all
the equation of motion of field and the energy density of magnetofluid system
which will be applied for quark-gluon plasma.
Keywords: Local gauge transformation, Quark-gluon plasma
viii+32 pp.; appendices.
References: 13(1945-2008)
Daftar Isi
Kata Pengantar
ii
Abstrak
iv
Daftar Isi
v
Daftar Gambar
vii
1 Pendahuluan
1
1.1 Latar Belakang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.2 Perumusan Masalah
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.3 Metode Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.4 Tujuan Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
2 Magnetohidrodinamika
4
2.1 Persamaan Gerak Plasma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
2.2 Quark dan Plasma Quark-Gluon
5
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 Unifikasi Magnetofluida dengan prinsip Gauge
3.1 Unifikasi Magnetofluida dengan TeoriGauge Abelian
9
. . . . . . .
9
3.2 Persamaan Maxwell Magnetofluida . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
3.3 Persamaan Gerak Magnetofluida untuk limit non-Relativistik . . .
16
3.4 Model Magnetofluida dengan medan gauge non-Abelian . . . . . .
17
3.5 Persamaan Gerak Magnetofluida non-Abelian untuk limit nonRelatisvistik
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
3.6 Aplikasi Unifikasi Magnetofluida non-Abelian pada Plasma QuarkGluon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
v
22
4 Perhitungan Energi Magnetofluida berbasis Teori Gauge
25
4.1 Energi Plasma non-Abelian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
4.2 Energi density QGP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
5 Hasil dan Pembahasan
30
6 Kesimpulan
34
A Mekanika Kuantum Relativistik
35
A.1 Aljabar Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
A.2 Natural Units . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
B Analisis Tensor
39
B.1 Transformasi Koordinat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
B.2 Vektor-Vektor Kontravarian dan Kovarian . . . . . . . . . . . . .
39
B.3 Tensor-Tensor Kontravarian, Kovarian dan Tensor campuran . . .
40
B.4 Tensor Simetrik dan Asimetrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
Daftar Acuan
42
vi
Daftar Gambar
2.1 Quark dan Gluon pada Hadron. Quark terikat bersama dengan
quark lainnya (confined) dengan kondisi colour-netral membentuk
hadron
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
2.2 Quark dan Gluon pada plasma Quark-Gluon. Quark tidak berikatan membentuk hadron tetapi bergerak bebas pada fireball (deconfined). Fireball terbentuk pada temperatur diatas 100 MeV,
atau sekitar 1013 K . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
5.1 H= rapat energi QGP, Hg= rapat energi gluon, ρq = 1, Jq =
1, αs = 1, φ = 0.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
vii
33
Bab 1
Pendahuluan
1.1
Latar Belakang
Hasil eksperimen tumbukan relativistik antara ion-ion berat pada energi tinggi dengan RHIC pada BNL menunjukkan bahwa pada temperatur yang sangat
tinggi quark tidak lagi berikatan membentuk materi hadron tetapi membentuk
fase baru dari materi yaitu plasma. Plasma yang terbentuk berupa fireball yang
terdiri dari gluon dan quark yang memiliki muatan non-Abelian yaitu warna (colour ). Hal ini lah yang memotivasi saya untuk menyusun teori magnetofluida
non-Abelian (diawali dengan teori magnetofluida dengan muatan abelian) yang
ekuivalen dengan model standar yaitu Magnetohydrodynamics . Terdapat model
yang mendeskripsikan fluida relativistik bertemperatur tinggi dengan menghibridisasi medan elektromagnet dan medan fluida. Unifikasi kedua medan dinyatakan
dengan effective field strength tensor, Mµν ≡ Fµν + m/qSµν dimana Fµν dan Sµν
merupakan tensor kuat medan dari medan elektromagnetik dan medan fluida.
Metode ini telah dikembangkan untuk kasus non-Abelian. Pada skripsi ini saya
bertujuan membuat model yang sama tapi dengan metode yang berbeda yaitu
dengan pendekatan Lagrangian yang memiliki simetri gauge. Metode ini mengkoreksi model unifikasi yang telah ada[2, 5] pada aspek:
• Dari sudut pandang teori medan, fluida dan medan gauge lainnya merupakan medan yang berbeda, sehingga harus memiliki suku kinetik yang
berbeda pada lagrangian. Sedangkan pada model hybridmagnetofluid unification, akan terdapat suku kinetik pada lagrangian yaitu Mµν M µν yang
di dalamnya mengandung dua medan berbeda.
1
1.2
Perumusan Masalah
Terdapat suatu model yang menjelaskan sistem magnetofluida, model ini menggabungkan 2 medan yang berbeda melalui effective strength tensor. Kelemahan
model ini adalah menggabungkan dua medan yang berbeda ( medan fluida dan
medan gauge ) dalam suku kinetik yang sama pada lagrangian. Padahal pada
segi pandang teori medan hal ini tidak boleh terjadi. Untuk itu dibuat model
lain yang menggunakan pendekatan lagrangian dengan menyertakan simetri gauge. Simetri gauge dikerjakan pada setiap medan fluida dan medan gauge lain
yang berinteraksi dengan medan fluida. Analog dengan teori unifikasi pada fisika
partikel maka model unifikasi magnetofluida disusun berdasarkan :
• Fluida Abelian berinteraksi dengan medan elektromagnetik dengan simetri
U(1)F ⊗ U(1)G .
• Fluida non-Abelian berinteraksi kuat dengan medan gauge non-Abelian dengan simetri G(n)F ⊗ G(n)G
• Fluida non-Abelian berinteraksi dengan medan elektromagnetik dengan simetri G(n)F ⊗ U(1)G
Dengan simetri gauge ini maka akan didapatkan lagrangian total yang sukusukunya menjelaskan interaksi antara materi, medan fluida dan medan gauge
yang lain. Dari lagrangian ini akan diturunkan persamaan gerak untuk materi dan medan fluida yang berinteraksi dengan medan gauge. Pada limit nonrelativistik maka akan didapatkan persamaan gerak klasik untuk medan fluida.
Selanjutnya akan dikaji konsekuensi-konsekuensi fisis dari model ini.
1.3
Metode Penelitian
Penelitian ini bersifat teoritik. Teori yang digunakan ialah teori unifikasi dengan
pendekatan lagrangian. Dengan mengerjakan simetri gauge pada masing-masing
medan maka akan didapatkan lagrangian total dengan suku-suku interaksi antara
medan fluida dan medan gauge. Dengan lagrangian ini akan disusun persamaan
2
gerak medan fluida relativistik dan untuk limit non-relativistik . Setelah itu dapat
dihitung besaran-besaran fisis yang merupakan konsekuensi dari model ini.
1.4
Tujuan Penelitian
Penelitian ini bertujuan untuk menyusun teori magnetofluida sekaligus mengkoreksi teori yang sudah ada. Dengan model ini maka akan diturunkan persamaan
gerak medan fluida relativistik dan non-relativistik. Besaran fisis seperti energi,
entropi, fungsi partisi, tekanan, dan besaran-besaran lainnya juga akan dikaji.
3
Bab 2
Magnetohidrodinamika
Pada bab ini akan dibahas secara umum persamaan gerak dari plasma yang
dinyatakan oleh persamaan momen dan secara singkat tentang quark dan plasma
quark-gluon.
2.1
Persamaan Gerak Plasma
Plasma didefinisikan sebagai gas yang terdiri dari partikel-partikel bermuatan listrik yang bergerak bebas yaitu elektron dan ion. Plasma terbentuk pada temperatur tinggi ketika elektron-elektron terpisah dari atom netral. Plasma merupakan
fase keempat dari materi karena memiliki sifat yang berbeda dengan zat padat,
dan fluida ( zat cair dan gas ). Magnetohidrodinamika merupakan cabang ilmu
fisika yang mempelajari interaksi antara plasma dengan medan elektromagnetik.
Persamaan magnetohidrodinamika dinyatakan dengan persamaan momen yang
diturunkan dari persamaan Boltzmann-Vlasov [10]. Untuk plasma yang terdiri
dari satu spesies persamaan momennya didefinisikan :
∂n
+ ∇ · (~un) = 0
∂t
dan
ρ
3
X
∂~u
∂pij
~
~
~
+ (~u · ∇)~u = ρq E + j × B −
∂t
∂xj
j=1
(2.1)
(2.2)
dimana n, ρ, dan ρq adalah rapat partikel, rapat massa, dan rapat muatan. ~u
~ dan B
~ adalah
adalah kecepatan fluida rata-rata dan ~j adalah rapat arus. E
medan elektromagnetik total yaitu dari sumber luar dan dari sumber ρq dan
4
~j. Suku terakhir pada persamaan kedua adalah tensor gradien tekanan, dimana
untuk kasus fluida homogen dan isotropik [9] berbentuk :
−
3
X
∂pij
j=1
∂xj
=
−∂p η ∂∇ · ~u
+
+ η∇2 ui
∂xi
3 ∂i
(2.3)
dimana p adalah tekanan skalar, ~u adalah kecepatan medan dan η adalah koefisien
viskositas. Dengan menganggap fluida inkompresibel maka ∇ · ~u = 0 sehingga
persamaan gerak fluidanya menjadi :
∂~u
1 ~ ~ ~
ρq E + j × B − ∇p − η∇2~u
+ (~u · ∇)~u =
∂t
ρ
(2.4)
Untuk plasma yang terdiri dari dua spesies, misalkan ion dan elektron maka
persamaan momen dinyatakan dengan :
∂ne
+ ∇ · (ne u~e ) = 0
∂t
(2.5)
∂nI
+ ∇ · (nI u~I ) = 0
∂t
(2.6)
yang merupakan persamaan kekekalan jumlah partikel, dimana elektron bermuatan -q bermassa m dan ion bermuatan q bermassa M. Dengan mengabaikan
koefisien viskositas maka persamaan gerak masing-masing fluida dapat dituliskan
:
∂ u~e
1
~ − qne u~e × B
~ − ∇pe
−qne E
(2.7)
+ (u~e · ∇)u~e =
∂t
mne
1
∂ u~I
~ + qnI u~I × B
~ − ∇pI
qnI E
(2.8)
+ (u~I · ∇)u~I =
∂t
MnI
~ dan B
~ ditentukan dari persamaan maxwell dengan
medan elektromagnetik E
rapat muatan ρq dan rapat arus ~j diyatakan dengan :
ρq = q(nI − ne )
~j = q(nI u~I − ne u~e )
2.2
(2.9)
(2.10)
Quark dan Plasma Quark-Gluon
Quark
Quark merupakan partikel fundamental penyusun materi. Di alam, quark tidak
5
pernah teramati sebagai partikel bebas tetapi selalu terikat bersama dengan quark yang lain atau dengan antiquark melalui suatu potensial pengikat membentuk
suatu materi yang disebut Hadron. Terdapat dua kombinasi quark yaitu Baryon
dengan kombinasi 3 quark QQQ yaitu proton, netron dan Meson dengan kombi¯ yaitu meson. Terdapat 6 jenis quark yaitu u (up), d (down), c (charm),
nasi QQ
s (strange), t (top), dan b (bottom). Untuk mematuhi larangan pauli [3], maka
harus terdapat bilangan kuantum tambahan yaitu warna.
Muatan warna pada quark dibedakan menjadi 3 yaitu, r (red ), g (green), dan b
(blue), sedangkan anti-quark membawa anti-warna. Seperti halnya interaksi elektromagnetik, interaksi kuat antar quark juga dimediasi oleh suatu partikel boson,
partikel ini disebut gluon yang masing-masing memiliki warna dan anti-warna.
State yang mungkin dari gluon adalah :
r − b¯b), √16 (r¯
r + b¯b − 2g¯
g ), √13 (r¯
r + g¯
g + b¯b)
r¯b, r¯
g, b¯
g , b¯
r , g¯
r, g¯b, √12 (r¯
Berbeda dengan foton yang tidak memiliki muatan, gluon memiliki muatan warna sehingga dapat berinteraksi secara kuat dengan sesama gluon. Karena adanya
interaksi kuat antar gluon ini maka seperti halnya kombinasi quark pada hadron,
gluon dapat juga membentuk kombinasi colour singlet, GG dan GGG. Gluon dalam kondisi ini disebut Glueball .
Plasma Quark-Gluon
Plasma quark-gluon terbentuk pada tumbukan ultrarelativistik antar ion berat
seperti ion Au atau ion Sn dalam relativistic heavy ion collider di Brokhave national laboratory. Plasma quark-gluon adalah fase dari Quantum Cromodynamics
(QCD) yang muncul pada suhu dan kerapatan yang sangat tinggi (dalam orde
Tc = 170 MeV, atau sekitar 1013 K). Plasma quark-gluon terdiri dari quark dan
gluon seperti halnya pada hadron. Perbedaan kedua fase QCD ini adalah sebagai
berikut : pada hadron setiap quark dalam keadaan terikat dengan quark lain
atau dengan anti-quark (confined). Sedangkan pada plasma quark-gluon quark
dan anti quark tidak terikat membentuk hadron (de-confined) dan bergerak bebas pada suatu volume bersuhu tinggi yang disebut fireball.
Kenapa disebut plasma ?
Telah dijelaskan sebelumnya bahwa plasma adalah fluida yang terdiri dari partikelpartikel bermuatan listrik yang saling berinteraksi satu sama lain dan bergerak
6
bebas di seluruh volume fluida. Pada plasma quark-gluon, quark dan gluon memiliki muatan yaitu warna, dan dapat bergerak bebas di seluruh volume fireball.
Perbedaan keduanya adalah muatan quark merupakan muatan non-Abelian sedangkan muatan listrik merupakan muatan abelian.
7
Gambar 2.1: Quark dan Gluon pada Hadron. Quark terikat bersama dengan
quark lainnya (confined) dengan kondisi colour-netral membentuk hadron
Gambar 2.2: Quark dan Gluon pada plasma Quark-Gluon. Quark tidak berikatan
membentuk hadron tetapi bergerak bebas pada fireball (deconfined). Fireball
terbentuk pada temperatur diatas 100 MeV, atau sekitar 1013 K
.
8
Bab 3
Unifikasi Magnetofluida dengan
prinsip Gauge
Pada bab ini dijelaskan unifikasi antara medan fluida dan elektromagnetik untuk
kasus Abelian dan non-Abelian dengan menggunakan teori gauge. Dari unifikasi ini kita akan menurunkan persamaan gerak medan fluida yang berinteraksi
dengan materi dan medan elektromagnetik dalam limit non-relativistik seperti
persamaan gerak pada plasma. Unifikasi dilakukan pada medan fluida Abelian dan diperluas untuk medan fluida non-Abelian. Prosedur yang dilakukan untuk menyatukan kedua interaksi adalah dengan mengerjakan simetri grup
U(1)F D ⊗ U(1)G dan G(n)F D ⊗ G(n)G pada medan materi (boson dan fermion).
3.1
Unifikasi Magnetofluida dengan TeoriGauge
Abelian
Pada fisika partikel teori unifikasi dilakukan dengan menggunakan prinsip pertama ( first principle) yaitu dengan menggunakan pendekatan Lagrangian. Prosedurnya adalah melakukan transformasi oleh grup tertentu pada medan materi.
Lagrangian dari materi harus invarian terhadap transformasi ini, sebagai konsekuensinya maka pada lagrangian akan muncul suku-suku baru yang menunjukkan
interaksi antara materi dengan medan gauge atau interaksi antara sesama medan
gauge.
9
Lagrangian density Medan boson
Lagrangian density untuk medan boson dinyatakan dengan :
L = ∂µ Φ∂ µ Φ∗ − m2 Φ∗ Φ
(3.1)
Untuk mengunifikasi medan materi dan medan gauge maka dikerjakan transformasi gauge lokal : U(1)F D ⊗ U(1)G : pada medan materi. Lagrangian materi
harus invarian terhadap transformasi ini :
Φ (x) → U (x)F Φ (x)
Φ′ (x) → U (x)EM Φ′ (x)
dimana :
U (x)F = e−iα(x)
U (x)EM = e−iβ(x)
dengan α (x) dan β (x) merupakan sembarang fungsi real . Untuk kasus infinitesimal transformation e−iα(x) ≈ (1−iα (x)). Pada kasus transformasi gauge global
∂ µ Φ (x) ditransformasikan seperti Φ (x) , tetapi bila dikerjakan transformasi gauge lokal maka akan terdapat suku-suku tambahan :
δΦ = −i (α + β) Φ
(3.2)
δΦ∗ = i (α + β) Φ∗
(3.3)
δ∂ µ Φ = −i∂ µ αΦ − i∂ µ βΦ − i (α + β) ∂ µ Φ
(3.4)
δ∂ µ Φ∗ = i∂ µ αΦ∗ + i∂ µ βΦ∗ + i (α + β) ∂ µ Φ∗
(3.5)
Karena terdapat suku tambahan pada bentuk derivatif maka lagrangian L (Φ, ∂µ Φ)
menjadi tidak invarian terhadap transformasi gauge lokal. Untuk mengatasi hal
ini kita harus menyusun bentuk derivatif yang memiliki sifat transformasi seperti
Φ(x).
δL =
∂L
∂L ∗
∂L
∂L
δΦ +
δΦ
+
δ
(∂
Φ)
+
δ (∂ µ Φ∗ )
µ
∂Φ
∂Φ∗
∂ (∂µ Φ)
∂ (∂ µ Φ∗ )
(3.6)
δL = (∂µ α + ∂µ β) i (Φ∗ ∂ µ Φ − Φ∂ µ Φ∗ )
(3.7)
δL = (∂µ α + ∂µ β) J µ
(3.8)
10
dimana J µ adalah vektor arus empat materi.
Untuk membuat lagrangian invarian terhadap transformasi gauge, maka kita harus menambah beberapa suku pada lagrangian density.
• L1 = − (eAµ + gBµ ) J µ
dimana Aµ dan Bµ merupakan medan gauge ( medan elektromagnetik dan
medan fluida ) yang ditransformasikan oleh transformasi gauge sebagai :
1
Aµ (x) −→ Aµ (x) + ∂µ α
e
1
Bµ (x) −→ Bµ (x) + ∂µ β
g
dengan e dan g merupakan konstanta kopling yang menentukan kekuatan
interaksi antara medan materi dengan medan gauge. Dengan tambahan
suku ini maka akan didapatkan :
δL1 = − (∂µ α + ∂µ β) J µ − (eAµ + gBµ ) δJ µ
δL + δL1 = − (eAµ + gBµ ) δJ µ
(3.9)
δJµ = 2Φ∗ Φ (∂ µ α + ∂ µ β)
δL + δL1 = −2Φ∗ Φ (eAµ ∂ µ α + eAµ ∂ µ β + gBµ ∂ µ α + gBµ ∂ µ β)
Suku kedua yang harus ditambahkan adalah :
• L2 = (e2 Aµ Aµ + g 2 Bµ B µ + 2egAµ B µ ) Φ∗ Φ
δL2 = (2eAµ ∂ µ + 2gBµ ∂ µ + 2gBµ ∂ µ + 2eAµ ∂ µ ) Φ∗ Φ
(3.10)
Jadi kita dapatkan : δL + δL1 + δL2 = 0
L = ∂µ Φ∂ µ Φ∗ − m2 Φ∗ Φ − (eAµ + gBµ ) J µ
+ e2 Aµ Aµ + g 2 Bµ B µ + 2egAµ B µ Φ∗ Φ
agar memiliki arti fisis maka harus ditambahkan bentuk yang mengandung kuadratik dari ∂ ν Aµ dan ∂ ν B µ sebagai suku kinetik dari medan gauge. Bentuk skalar
11
yang memenuhi dan invarian terhadap transformasi gauge ataupun Lorentz adalah sebanding dengan F µν Fµν dan S µν Sµν . Dengan :
F µν (x) = ∂ µ Aν − ∂ ν Aµ
(3.11)
S µν (x) = ∂ µ B ν − ∂ ν B µ
(3.12)
merupakan tensor kuat medan (field strength tensor ).
Kita telah mendapatkan Lagrangian density total yang invarian terhadap transformasi gauge lokal :
Ltotal = ∂µ Φ∂ µ Φ∗ − m2 Φ∗ Φ − (eAµ + gBµ ) J µ
+ e2 Aµ Aµ + g 2 Bµ B µ + 2egAµ B µ Φ∗ Φ
1
1
− F µν Fµν − S µν Sµν
4
4
(3.13)
Suku-suku pada lagrangian ini menyatakan interaksi dari masing-masing medan.
Untuk mendapatkan bentuk derivatif yang kovarian terhadap transformasi maka
kita definisikan derivatif kovarian :
Dµ Φ = ∂µ Φ + ieAµ Φ + igBµ Φ
(3.14)
sehingga : Dµ Φ (x) −→ U (x) Dµ Φ (x) dengan derivatif kovarian maka Lagrangian density total dapat dituliskan :
1
1
Ltotal = Dµ ΦD µ Φ∗ − m2 Φ∗ Φ − F µν Fµν − S µν Sµν
4
4
(3.15)
Persamaan Gerak
Berdasarkan prinsip aksi minimum δS = 0, dengan S =
roleh persamaan Euler - Lagrange :
∂µ
R
d4 xL dapat dipe-
∂L
∂L
−
=0
∂ (∂µ Φ) ∂Φ
(3.16)
dengan Φ adalah sembarang medan.
• Persamaan Gerak Medan Boson
dengan subtitusi Lagrangian density total ke persamaan ( 3.16 ) dan Φ = Φ∗
maka akan didapat persamaan gerak :
∂µ ∂ µ + 2ieAµ ∂µ + 2igB µ ∂µ + ie∂µ Aµ + ig∂µ B µ + m2 Φ
− e2 Aµ Aµ + g 2 Bµ B µ + 2egAµ B µ Φ = 0
12
(3.17)
• Persamaan Gerak Medan Elektromagnetik
Persamaan gerak Medan elektromagnetik didapatkan dengan mensubtitusi persamaan ( 3.13 ) ke dalam persamaan ( 3.16 ) dengan Φ = Aν , maka akan didapatkan
:
∂µ F µν = ie (Φ∗ ∂ ν − Φ∂ ν Φ∗ ) − 2e2 Aν + 2egB ν Φ∗ Φ
Dengan menggunakan derivatif kovarian maka bentuk di atas dapat dituliskan :
∂µ F µν = eJ ν
(3.18)
dengan : J = i (Φ∗ D ν Φ − ΦD ν Φ∗ )
Persamaan di atas analog dengan persamaan Maxwell inhomogen pada elektrodinamika klasik. Persamaan diatas juga menjelaskan bahwa medan elektromagnetik digenerasi oleh interaksi kedua partikel yang memiliki muatan e, tanpa
kehadiran partikel maka medan elektromagnetik tidak akan muncul. Karena sifat
F µν yang antisimetrik maka akan diperoleh :
∂µ J µ = 0
(3.19)
yang berarti J merupakan besaran yang kekal bila terdapat medan elektromagnetik.
• Persamaan Gerak Medan Fluida
Dengan cara yang sama kita dapat menurunkan persamaan gerak fluida yang
analog dengan persamaan skalar Maxwell.
∂µ S µν = gJ ν
(3.20)
dan J = (ρ, J) Vektor-vektor yang ekuivalen dengan medan listrik dan medan
magnetik adalah vektor R dan vektor Q.
S io = Qi
(3.21)
S ij = −εijk Rk
(3.22)
dan :
Q = −
~
B
+ ∇B o
∂t
~
R = ∇×B
13
!
(3.23)
(3.24)
Lagrangian density Medan Fermion
Lagrangian untuk medan fermion adalah :
¯ µ ψ − mψψ
¯
L = −i∂µ ψγ
(3.25)
dimana ψ adalah vektor 4 × 1 γ µ adalah matrix 4 × 4 , γ µ = (β, β~
α), matrix α
~
dan β~ didefinisikan :
α
~=
0 ~σ
~σ 0
, β~ =
I 0
0 −I
I adalah matrix satuan 2 × 2 dan σ adalah matriks Pauli :
1 0
0 −i
0 1
, σ~3 =
, σ~2 =
σ~1 =
0 −1
i 0
1 0
(3.26)
(3.27)
Prosedur yang sama kita lakukan seperti pada materi boson yaitu mengerjakan transformasi gauge lokal pada lagrangian density, maka kita akan memperoleh:
δψ = −i (α + β)
δ ψ¯ = i (α + β)
δ∂µ ψ¯ = i (α + β) ∂µ ψ¯ + i (∂µ α + ∂µ β)
δL =
∂L
∂L
∂L
δψ + δ ψ¯ ¯ + δ ∂µ ψ¯
∂ψ
∂ψ
∂ ∂µ ψ¯
(3.28)
Lagrangian ini tidak invarian terhadap transformasi gauge lokal karena ada tam¯ µ ψ merupakan vektor arus
bahan suku δL = (∂µ α + ∂µ β) J µ dimana J µ = ψγ
empat untuk medan fermion. Untuk itu harus ditambahkan suku :
• L1 = − (eAµ + gBµ ) J µ
δL1 = − (∂µ α + ∂µ β) J µ − (eAµ + gBµ ) δJ µ
δL + δL1 = − (eAµ + gBµ ) δJ µ
(3.29)
Karena pada vektor arus empatnya tidak mengandung bentuk derifatif maka
vektor arus empat ini invarian terhadap transformasi gauge lokal, atau δJ µ = 0.
14
Dengan penambahan suku kinetik dari kedua medan gauge maka akan didapatkan
lagrangian density total untuk medan fermion :
¯ µ ψ − mψψ
¯ − (eAµ + gBµ ) ψγ
¯ µ ψ − 1 F µν Fµν − 1 S µν Sµν
L = −i∂µ ψγ
4
4
(3.30)
Derifatif kovariannya dituliskan :
Dµ ψ = (∂µ + ieAµ + igBµ ) ψ
(3.31)
dalam bentuk derifatif kovarian lagrangian totalnya dapat dituliskan :
¯ µ ψ − mψψ
¯ − 1 Fµν F µν − 1 S µν Sµν
L = −iDµ ψγ
4
4
(3.32)
perbedaan utama dengan lagrangian density medan boson adalah tidak adanya
suku interaksi antara medan elektromagnetik dengan medan fluida.
Persamaan Gerak
Dengan mensubtitusi Lagrangian ke persamaan Euler-Lagrange maka kita
akan memperoleh persamaan gerak untuk masing-masing medan adalah:
[i∂
/ − (eA
/ + gB
/) − m]ψ = 0
3.2
(3.33)
∂µ F µν = eJ ν
(3.34)
∂µ S µν = gJ ν
(3.35)
Persamaan Maxwell Magnetofluida
Dari persamaan ( 3.23 ) dan ( 3.24 ) didapatkan :
∇.R = 0
∂R
∇×Q = −
∂t
(3.36)
(3.37)
dari persamaan arus kovarian, j ν = gJ ν dan persamaan gerak magnetofluidanya
ambil ν = 0 akan didapatkan :
∂1 S 10 + ∂2 S 20 + ∂3 S 30 = ρ
sehingga :
∇.Q = ρ
15
(3.38)
bila kita ambil ν = 1 :
∂0 S 01 + ∂2 S 21 + ∂3 S 31 = j 1
∂Q1 ∂R3 ∂R2
−
= j1
+
−
∂t
∂x2
x3
Persamaan Maxwell yang keempat adalah :
∂Q
=j
∇×R−
∂t
3.3
(3.39)
Persamaan Gerak Magnetofluida untuk limit non-Relativistik
Dari persamaan gerak untuk magnetofluida ∂µ S µν = gJ ν dengan arus kovarian
¯ µ ψ untuk fermion,
: J ν = i (Φ∗ D ν Φ − ΦD ν Φ∗ ) untuk materi boson dan J ν = ψγ
akan didapatkan :
∂o S oν + ∂i S iν = gJ ν
untuk ν = j akan diperoleh :
∂o S oj + ∂i S ij = gJ j
∂o S oj + ∂i ∂ i B j − ∂ j B i = gJ j
medan fluida yang digunakan berbentuk :
B i = φU i
(3.40)
φ adalah besaran pelengkap dimensi yang merepresentasikan distribusi fluida pa
~
da sistem dan hanya bergantung oleh temperature , S oj = −Qj = ∂φ∂tU + ∇φγ
dan U i = γv i . Dimana untuk plasma relativistik : φ ≃ 1 +
γ ≃1+
v2
2
5T
2m
[5]. Nilai γ :
. Dalam bentuk vektor persamaan diatas dapat dituliskan :
~ − ∇2 B
~ + ∇ ∇.B
~ = g J~
−∂o Q
Dengan menggunakan identitas vektor : ∇ ×
~ +∇× ∇×B
~
−∂o Q
!
~
∂ ∂δ U
~
+ ∇φγ + ∇ × R
∂t
∂t
!
~
∂U
∂
φ
+ ∇φγ
∂t
∂t
16
~ = ∇ ∇.B
~ − ∇2 B
~
∇×B
= g J~
= g J~
~
= g J~ − ∇ × R
Untuk kasus non-relativistik nilai γ → 1 dan φ → 1, kecuali pada suku ∇φγ.,
kita akan dapatkan :
v2 5 T
+
∇φγ = ∇
2
2m
2
∂ ∂~v
5T
v
= g J~ − ∇ × ~ω
+∇
+
∂t ∂t
2
2m
dengan ~ω = ∇ × ~v adalah vortisitas.
v2
5T
∂ ∂~v
= g J~ − ∇ × ~ω
+∇ +∇
∂t ∂t
2
2m
Z
v2
5T
∂~v
~
+∇ +∇
=
g J − ∇ × ~ω dt
∂t
2
2m
dengan menggunakan identitas vektor :
1
∇v 2
2
= (~v .∇) + ~v × (∇ × ~v ) kita akan
mendapatkan :
∂~v
5T
+ (~v .∇) ~v + ~v × ~ω + ∇
=
∂t
2m
Z
g J~ − ∇ × ~ω dt
(3.41)
untuk kasus fluida irotasional ∇ × ~v = 0 maka akan diperoleh :
5T
∂~v
+ (~v .∇) ~v + ∇
= g J~˜
∂t
2m
(3.42)
R
dengan : J~˜ = J~dt
Bila dianggap T tetap, maka kita akan mendapatkan 2 persamaan gerak magnetofluida yang ekuivalen dengan persamaan gerak plasma pada persamaan (2.1)
dan (2.2) :
3.4
∂J o
+ ∇J~ = 0
∂t
∂~v
+ (~v .∇) ~v = g J~˜
∂t
(3.43)
(3.44)
Model Magnetofluida dengan medan gauge
non-Abelian
Secara umum lagrangian density dari materi dapat dinyatakan dengan :
1
L = (∂µ Φ)† ∂ µ Φ + mΦ Φ† Φ + iψ¯ (γµ ∂ µ − mψ ) ψ + V (Φ)
2
(3.45)
2
dengan V (Φ) adalah potensial, misalkan pada teori Φ4 , V (Φ) = 41 λ Φ† Φ dan
γµ adalah matriks Dirac.
17
Interaksi antara fluida non-Abelian dengan medan gauge non-Abelian dinyatakan dengan transformasi gauge lokal : G (n)F ⊗ G (n)G . Maka medan materi
akan ditransformasikan sebagai :
Φ → Φ′ = exp [−i (α + β)] Φ
(3.46)
ψ → ψ ′ = exp [−i (α + β)] ψ
(3.47)
dengan : α = αa Ta dan β = βa Ta . Medan materi merupakan multiplet n × 1
dengan jumlah elemen n untuk grup Lie dengan dimensi n seperti SU(n), O(n+1)
dll. Ta adalah generator dari grup Lie yang merupakan matriks Hermitian dan
traceless Ta† = Ta dan T rTa = 0. Generator-generator ini memenuhi relasi komutasi tertutup :
[Ta , Tb ] = iCabc Tc
(3.48)
dengan Cabc adalah konstanta struktur antisimetrik dengan Cabc = −Cbac . Jumlah
generator dan medan gauge ditentukan oleh dimensi dari grup. Untuk grup SU(n)
atau O(n + 1) memiliki generator sebanyak n2 − 1 dan index a = 1, 2, ....n2 −
1. Lagrangian yang invarian terhadap transformasi gauge lokal diatas dapat
diperoleh dengan memasukkan suku yang mengandung medan gauge Aµa dan
medan fluida non-Abelian Bµa dengan sifat transformasi :
1
∂µ αa + Cabc αb Aµc
gG
1
≡ Bµa + ∂µ βa + Cabc βb Bµc
gF
Aµa → A′µa ≡ Aµa +
(3.49)
′
Bµa → Bµa
(3.50)
dengan gF adalah muatan untuk fluida dan gG adalah muatan gauge. Secara
umum lagrangian density materi yang invarian terhadap simetri gauge adalah :
L = Lmateri + Lkinetik + Linteraksi
dengan :
1
1
Lkinetik = − Sµνa Saµν − Fµνa Faµν
4
4
µν
µ ν
ν µ
Sa = ∂ Ba − ∂ Ba + gF Cabc Bbµ Bcν
Faµν = ∂ µ Aνa − ∂ ν Aµa + gG Cabc Aµb Aνc
Sedangkan suku-suku interaksi pada Lagrangian density nya adalah :
18
(3.51)
• untuk Boson :
µ
µ
2 µ
Lint = −gF Bµa JaF
− gG Aµa JaG
+ gG
Aa Aµb Φ† TaG TbG Φ +
gF2 Baµ Bµb Φ† TaF TbF Φ + gF gG Aµa Bµb Φ† (TaG TbF + TbF TaG ) Φ
• untuk fermion :
µ
µ
Lint = −gF Bµa JaF
− gG Aµa JaG
(3.52)
dengan Jaµ adalah arus materi untuk materi boson dan fermion.
dimana untuk boson dan fermion :
µ
Jaboson
= −i ∂µ Φ† TaX Φ − Φ† TaX ∂µ Φ
µ
¯
Jaf
ermion = ψγµ TaX ψ
dengan : X = F, G dan ψ¯ = ψ † γo. Untuk kasus simetri SUF (n) ⊗ SUG (n) atau
OF (n + 1) ⊗ OG (n + 1), maka TF a = TGa contohnya untuk kasus SU(2) ⊗ SU(2)
maka : TF a = TGa =
τa
2
dimana τa adalah matriks pauli, untuk kasus SU(n)F ⊗
U(1)G generator kedua grup adalah : TaG = 1, TaF =
τa
2
dengan τa adalah matriks
pauli dan a = 1, 2, 3 untuk n = 2 atau untuk n = 3, TaF =
λa
2
dengan λa adalah
matriks Gellman dan a = 1, 2....8. Lagrangian density untuk materi dapat juga
ditulis dalam bentuk derifatif kovarian sebagai :
1
1
L = (D µ Φ)† Dµ Φ + ψ¯ (iγ µ Dµ − m) ψ − Sµνa Saµν − Fµνa Faµν + V (Φ) (3.53)
4
4
derifatif kovariannya adalah :
Dµ Φ = ∂µ Φ + igG Aµb TbG Φ + igF Bµb TbF Φ
(3.54)
Dengan Lagrangian density total ini maka kita akan dapat mempelajari dinamika
fluida non-Abelian beserta interaksinya dengan medan gauge non-Abelian.
Persamaan Gerak Magnetofluida
Persamaan gerak medan magnetofluida dapat diperoleh dari persamaan EulerLagrange dalam bentuk medan Bνa :
∂µ
∂L
∂L
−
=0
∂ (∂µ Bνa ) ∂Bνa
19
Dengan mensubtitusi Lagrangian density total ke persamaan Euler-Lagrange
di atas maka akan didapatkan persamaan gerak :
Dµ S µν = gF JFν
(3.55)
dengan : S µν = Saµν Ta dan JFν = JFν Ta
Dµ adalah derifatif kovarian non-Abelian diperumum yang dapat dinyatakan dengan representasi adjoint :
Dµ = ∂µ + igG [Aµ , ..] + igF [Bµ , ..]
(3.56)
Arus kovarian dari materi boson dan fermion didefinisikan sebagai :
3.5
Jaν = −i[(D ν Φ)† TaF Φ − Φ† TaF D ν Φ]
(3.57)
¯ ν TaF ψ
Jaν = ψγ
(3.58)
Persamaan Gerak Magnetofluida non-Abelian
untuk limit non-Relatisvistik
Dari persamaan (3.55) dan dengan menggunakan kovarian derifatif (3.56), dan
untuk ν = j maka akan didapatkan :
∂µ Saµν − gG Cabc Aµb Scµν − gF Cabc Bµb Scµν = gF Jaν
(3.59)
gG
gG
oj
ij
j
ij
oj
oj
ij
∂o Sa +∂i Sa = gF Ja + Cabc Bob Sc + Cabc Bib Sa + Cabc Aob Sc + Cabc Aib Sc
gF
gF
~ a dan R
~a :
didefinisikan medan Q
Qk = S ko
1
Rk = − εkij S ij
2
S ij = εijk Rk
(3.60)
(3.61)
(3.62)
~ :
dalam bentuk B µ = B o , B
~
~ a = −∇B o − ∂ Ba − gF Cabc B
~ bBo
Q
a
c
∂t
~b × B
~c
~a = ∇ × B
~ a + 1 gF Cabc B
R
2
20
(3.63)
(3.64)
medan fluida didefinisikan sebagai :
~a
Baµ = φγa , φU
(3.65)
Uai adalah kecepatan relativistik dari medan fluida (Uai = γa vai ) dan γa ≡ (1 −
1
va2 )− 2 adalah faktor relativistik, sedangkan ~va adalah kecepatan spasial. Besaran
φ adalah medan tambahan berdimensi 1 yang ditambahkan untuk melengkapi
dimensi dan merepresentasikan distribusi dari fluida pada sistem, dan hanya bergantung pada temperatur [5]. Indeks a,b,c menunjukkan aliran fluida pada ruang
internal. Model fluida yang dibuat dinyatakan oleh suku kinematik dan fungsi
distribusi yang terpisah.
dalam bentuk vektor persamaan geraknya dapat dituliskan :
−
~a
∂Q
~ c + gG Cabc A
~ b ×R
~ c)
~ a = gF (J~a −Cabc Bob Q
~ c +Cabc B
~ b ×R
~ c − gG Cabc Aob Q
+∇×R
∂t
gF
gF
~ dan R
~ :
dengan mensubtitusi medan Q
~a
∂ ∂B
~ b B o ) + ∇ × (∇ × B
~ a + 1 gF Cabc B
~b × B
~ c ) = (3.66)
(
+ ∇Bao + gF Cabc B
c
∂t ∂t
2
~c
∂B
~ lBo ) +
+ gF Cclm B
gF (J~a + Cabc Bob (∇Bco +
m
∂t
~ b × (∇ × B
~ c + 1 gF Cclm B
~l × B
~ m ) + gG Cabc Aob (∇B o +
Cabc B
c
2
gF
~c
∂B
~ b × (∇ × B
~ c + 1 gF Cclm B
~ l B o ) + gG Cabc A
~l × B
~ m ))
+ gF Cclm B
m
∂t
gF
2
Dengan mensubtitusi medan fluida pada ( 3.65 ) dan pada limit non-relativistik
i
h 2
va
nilai γ → 1, φ → 1, kecuali pada suku :∇φγa = ∇ 2 + φ maka kita akan dapatkan bentuk vektor dari persamaan gerak non-relativistik Magnetofluida nonAbelian :
∂ ∂~va ∇va2
1
+
+ ∇φ + gF Cabc~vb + ∇ × (∇ × ~va + gF Cabc~vb × ~vc ) =
∂t ∂t
2
2
2
∂~vc
∇v
+ gF Cclm~vl ) +
gF (J~a + Cabc ( c + ∇φ +
2
∂t
1
∇v 2
gG
Cabc~vb × (∇ × ~vc + gF Cclm~vl × ~vm ) + Cabc Aob ( c + ∇φ +
2
gF
2
gG
∂~vc
~ b × (∇ × ~vc + 1 gF Cclm~vl × ~vm ))
+ gF Cclm~vl ) + Cabc A
∂t
gF
2
21
dengan identitas vector : 12 ∇va2 = (~va .∇) ~va +~va ×(∇ × ~va ) kita akan dapatkan
:
∂
∂t
∂~va
+ (~va · ∇)~va + ~va × ~ωa + ∇φ + gF Cabc~vb +
∂t
h
i
∇ × ~ωa = gF J~a + F~a
(3.67)
dengan vektor F~a adalah :
∂~vc
gF Cclm~vl ) + ~vb × (~ωc +
F~a = Cabc [((~vc · ∇)~vc + ~vc × ωc + ∇φ +
∂t
1
∂~vc
gG
gF Cclm~vl × ~vm ) + Aob ((~vc · ∇)~vc + ~vc × ωc + ∇φ +
+
2
gF
∂t
1
1
gG ~
ωc + gF Cclm~vl × ~vm − ∇ × (~vb × ~v c))]
gF Cclm~vl ) + A
b × (~
gF
2
2
dimana : ~ωa = ∇ × ~va adalah vortisitas. Untuk fluida irotasional ~ωa = 0, ~ωc = 0
, sehingga persamaan gerak magnetofluida non-Abelian menjadi :
Z
h
i
∂~va
~
~
+ (~va · ∇)~va + ∇φ + gF Cabc~vb = gF dt J + Fa |irotasional
(3.68)
∂t
Persamaan (3.68) yang telah kita dapatkan adalah persamaan umum untuk
fluida relativistik tak berotasi. Arus J~a muncul akibat adanya materi yang dikelilingi dan berinteraksi dengan fluida, sedangkan F~a merupakan kontribusi dari
interaksi antar medan fluida atau interaksi medan fluida dengan medan gauge
(Aµa ). Jadi lagrangian pada persamaan (3.53) dengan medan fluida yang memiliki bentuk seperti persamaan (3.65) dapat mendeskripsikan sistem umum yang
terdiri dari fluida relativistik yang berinteraksi dengan medan gauge dan materi.
Untuk kasus non-Abelian maka semua konstanta struktur bernilai nol, dan
indeks internal a,b,c dapat dihilangkan. Sehingga untuk kasus non-Abelian nilai
F~a = 0 dan persamaan geraknya menjadi :
Z
∂~v
+ (~v .∇) ~v + ∇φ = gF dtJ~
(3.69)
∂t
seperti pada persamaan (3.42) yang telah kita dapatkan.
3.6
Aplikasi Unifikasi Magnetofluida non-Abelian
pada Plasma Quark-Gluon
Plasma quark-gluon terdiri dari quark-dan anti quark yang berinteraksi dengan
gluon-gluon dan medan elektromagnetik. Lagrangian sistem ini dinyatakan de22
ngan simetri gauge SU(3)F ⊗ U(1)G :
¯ f /∂Qf − mf Q
¯ f Qf − 1 S µν Sµνa − 1 F µν Fµν − gF JµaQ B µ − qjµ Aµ (3.70)
L = iQ
a
4 a
4
dimana gG diganti dengan q yang merupakan muatan quark. indeks f menunjukkan index flavor dari quark yaitu u,d,c,s,t,b. Generator TF a merupakan matriks
Gell-Mann yang dinyatakan dengan representasi fundamental
λa
2
(a = 1, 2, 3.....8)
dengan normalisasi :
T r(λa λb ) = 2δab
(3.71)
Persamaan gerak yang diperoleh dari lagrangian QCD di atas adalah :
Dµ F µν = gF JQµ
(3.72)
µ
µ
∂µFaµν = gF JaQ
+ gF JaG
(3.73)
atau dapat dituliskan :
µ
¯ µ λa Q merupakan matrix arus dari materi quark, sedangkan J µ
dengan JaQ
= Qγ
aG
2
adalah arus dari gluon.
µ
JaG
= Cabc Bµb Scµν
(3.74)
¯ µ λa Q dan J µ = Qγ
¯ µ Q.
dengan JFµ a = Qγ
G
2
Bentuk non-linier pada (3.74) dalam persamaan (3.73) menunjukkan bahwa
medan gluon bertindak sebagai sumber, atau dengan kata lain quanta dari medan
gluon membawa muatan warna tersendiri sehingga tanpa adanya materi dapat
menjadi sumber bagi medannya sendiri.
Secara makroskopik model ini menggambarkan sistem yang terdiri dari fluida
non-Abelian yang disusun oleh sekumpulan gluon ( gluon cloud ) dengan kerapatan yang besar dan mengelilingi materi ( quark dan anti-quark ) dalam medan
elektromagnetik. Model ini menjelaskan hasil eksperimen dari PHENIX collaboration pada BNL menggunakan RHIC yang menyatakan quark-gluon pada fireball
bersifat seperti fluida. Model ini sangat berbeda dengan model hybridmagnetofluid [2, 5] yang memodelkan QGP sebagai aliran fluida yang disusun oleh quark
dan anti-quark yang berinteraksi dengan medan gluon.
¯ γ λa Q. Dengan persamaan ( 3.73
Komponen spasial arus fermion adalah : J~a = Q~
2
) persamaan gerak relativistik QGP adalah :
∂(φγa~va )
+ ∇(φγa ) + gF Cabc φ2 γb γc~vb = gF
∂t
23
Z
dt[J~ + F~a ]
(3.75)
Nilai gF ditentukan oleh nilai fine structure dari interaksi kuat gF2 = 4παs , dimana nilai αs bergantung dengan skala energi yang dipakai, contohnya pada T=
200 MeV maka nilai αs diantara 0,2 dan 0,5 dengan gF = 1, 5 − 2, 5. Berdasarkan
hasil eksperimen QGP memiliki kerapatan besar dan viskositas kecil seperti fluida
ideal ( ωa = 0 ). Jika kita lihat pada lagrangian QGP, fluida yang disusun oleh
gluon tidak berinteraksi dengan medan elektromagnetik, tetapi quark dan antiquark berinteraksi dengan medan elektromagnetik dinyatakan oleh suku terakhir
pada lagrangian.
Pada persamaan gerak ( 3.75 ), kontribusi medan elektromagnetik terdapat pada
pα
F~a yang dinyatakan dengan faktor gqF ≈
≈ O(10−1), dimana nilai muatαs
pα
an quark ekuivalen dengan muatan listrik e =
. Jadi dapat disimpulkan
4π
kontribusi gaya elektromagnetik sangat kecil sehingga dapat diabaikan.
24
Bab 4
Perhitungan Energi
Magnetofluida berbasis Teori
Gauge
Pada bab ini kita akan menurunkan tensor energi-momentum untuk kasus umum
yaitu dari lagrangian dengan medan non-Abelian. Dengan tensor energi-momentum
tersebut kita dapat memperoleh energi total dan momentum dari sistem magnetofluida.
Tensor energi-momentum dapat diperoleh dari prinsip variasi, yaitu dari variasi
aksi :
δS =
Z
R
Z
∂L
∂L
∂L
∂L
4
v
µ
ν
δΦd x +
− ∂µ
[δΦ + [∂ν ] δx ] −
∂ν − δν Lδx
∂Φ
∂(∂µ Φ)
∂(∂µ Φ)
∂R ∂(∂µ Φ)
Suku pertama pada suku integral permukaan merupakan variasi total dari Φ (δΦ),
sedangkan suku kedua didefinisikan sebagai tensor energi-momentum θνµ :
θνµ =
∂L
∂ν Φ − δνµ L
∂ (∂µ Φ)
(4.1)
θµν =
∂L
∂ ν Φ − g µν L
∂ (∂µ Φ)
(4.2)
atau :
4.1
Energi Plasma non-Abelian
Materi boson
Lagrangian umum dari materi boson dengan interaksi medan gauge dan medan
25
fluida non-Abelian adalah :
1
1
L = (D µ Φ)† Dµ Φ − Sαβa Saαβ − Fαβa Faαβ − V (Φ)
4
4
(4.3)
dengan mensubtitusi lagrangian ini ke (4.3) akan didapatkan :
µ
µ ν k
ν
o o k
θµν = (∂ µ Φ)† ∂ ν Φ+(∂ ν Φ)† ∂ µ Φ−gF Baµ JaF
−gG Aµa JaG
−Sak
∂ Ba −Fak
∂ Aa −g µν L
(4.4)
Energi dari sistem adalah komponen ke-00 :
o
o
o o k
o o k
− gG Aoa JaG
− Sak
∂ Ba − Fak
∂ Aa − L
θoo = (∂ o Φ)† ∂ o Φ + (∂ o Φ)† ∂ o Φ − gF Bao JaF
sehingga :
θoo = (∂ o Φ)† ∂ o Φ + igF Bao ∂ o Φ† Ta Φ − Φ† Ta ∂ o Φ + igG Aoa ∂ o Φ† Ta Φ − Φ† Ta ∂ o Φ + gG Aoa Jao +
2 o
gF Boa Jao − gG
Aa Aob Φ† Ta Tb Φ − gF2 Bao Bob Φ† Ta Tb Φ − gF gG Aao Bob Φ† (Ta Tb + Tb Ta ) Φ +
1
1
(Di Φ)† (Di Φ) + V (Φ) − Fio∂ o Aia − Sio ∂ o Bai + Fαβa Faαβ + Sαβa Saαβ
4
4
dengan :
Di = ∂i − igG Aia TaG − igF Bai TaF
(4.5)
bila suku-sukunya dipisahkan :
oo
θmateri+interaksi
= (∂ o Φ)† ∂ o Φ + igG Aoa ∂o Φ† Ta Φ − igG Aoa Φ† Ta ∂o Φ − igG Aoa ∂o Φ† Ta Φ +
igG Aoa Φ† Ta ∂o Φ + igF Bao ∂o Φ† Ta Φ − igF Bao Φ† Ta ∂o Φ − igF Boa ∂o Φ† Ta Φ +
2 o
igF Boa Φ† Ta ∂o Φ − gG
Aa Aob Φ† Ta Tb Φ − gF2 Bao Bob Φ† Ta Tb Φ −
gF gG Aoa Bob Φ† (Ta Tb + Tb Ta ) Φ + (Di Φ)† (Di Φ) + V (Φ)
dengan menambahkan suku-suku berikut pada persamaan diatas maka bentuk
diatas dapat dituliskan dalam bentuk kovarian derifatif :
2 o
2 o
gG
Aa Aob Φ† Ta Tb Φ − gG
Aa Aob Φ† Ta Tb Φ
+gF2 Bao Bob Φ† Ta Tb Φ − gF2 Bao Bob Φ† Ta Tb Φ
+gF gG Aoa Bob Φ† (Ta Tb + Tb Ta ) Φ − gF gG Aoa Bob Φ† (Ta Tb + Tb Ta ) Φ
oo
maka suku θmateri+interaksi
dapat dituliskan sebagai :
oo
θmateri+interaksi
= D o Φ† D oΦ + igG Aoa Φ† Ta D o Φ − D o Φ† Ta Φ +
igF Boa Φ† Ta D o Φ − D o Φ† Ta Φ + (Di Φ)† (Di Φ)
26
atau :
oo
θmateri+interaksi
= D o Φ† D o Φ + gG Aoa Jao + gF Boa Jao + (Di Φ)† (Di Φ)
(4.6)
suku untuk medan gauge dan fluidanya adalah :
1
1
θgauge+f luida = −Fio ∂ o Aia + Fαβa Faαβ − Sio ∂ o Bai + Sαβa Saαβ
4
4
~
~
∂ Aa 1
~a · ∂ Ba + 1 Ra · Ra − Q
~a · Q
~a
Ba · Ba − E~a · E~a − Q
= −E~a ·
+
∂t
2
∂t
2
dengan Ba adalah medan magnet non-Abelian.
dari persamaan (3.60) :
~
~ a · Qa + ∇Bao + gF Cabc B
~ b Bco
~ a · ∂ Ba = Q
−Q
∂t
o
~a · Q
~a + ∇ · Q
~ aB − ∇ · Q
~ a B o + gF Cabc Q
~a · B
~ b Bo
=Q
a
a
c
komponen-00 dari tensor energi-momentum dapat dinyatakan :
†
1
~
~
~a · E
~a +
θoo = (D o Φ)† D o Φ + DΦ
· DΦ
+
Ba · Ba + E
2
1
~a · Q
~ a + V (Φ) + X
Ra · Ra + Q
2
(4.7)
dengan :
~ a Ao − ∇ · E
~ a Ao + gG Cabc E
~a · A
~ b Ao + ∇ · Q
~ aBo − ∇ · Q
~ a Bo
X =∇· E
a
a
a
c
a
~a · B
~ b B o + gG Aoa J o + gF Boa J o
+gF Cabc Q
c
a
a
dari persamaan gerak :
~ a + gG Cabc A
~b · E
~ c = gG J o
∇·E
a
(4.8)
~ a + gF Cabc B
~b · Q
~ c = gF J o
∇·Q
a
(4.9)
bila kita subtitusi ke dalam X maka suku-sukunya saling meniadakan kecuali suku
berikut :
~ a Ao + ∇ · Q
~ aBo
X =∇· E
a
a
Dengan memilih gauge yang menyatakan Aoa = 0 dan Bao = 0 ketika tidak ada
medan materi, maka integral X terhadap seluruh ruang dapat diabaikan, sehingga
27
kita akan mendapatkan hamiltonian density yang invarian terhadap transformasi
gauge lokal :
H=
dimana :
Z
dV H
1
~ † · (DΦ)
~
~a · E
~ a) +
H = (D o Φ)† D o Φ + (DΦ)
+ (Ba · Ba + E
2
1 ~ ~
~a · Q
~ a ) + V (Φ)
(Ra · Ra + Q
2
(4.10)
~ = ∇ − igG A
~ a TaG − igF B
~ a TaF
Dengan : D
Materi Fermion
Lagrangian density untuk fermion yang berinteraksi dengan medan fluida dan
medan gauge non-Abelian secara umum dapat dinyatakan sebagai :
¯ µ Dµ ψ − mψψ
¯ − 1 F αβ Faαβ − 1 Sαβa S αβ
L = iψγ
a
4 a
4
(4.11)
Energi-momentum tensornya berbentuk :
¯ µ ∂ ν ψ − F µ ∂ ν Ak − S µ ∂ ν B k − g µν L
θµν = iψγ
a
a
ak
ak
(4.12)
komponen ke-00 merupakan Hamiltonian dari sistem dapat dihitung dengan cara
yang sama seperti kasus pada boson, kita akan dapatkan :
¯ α · Dψ
¯ + 1 (Ba · Ba + E
~a · E
~ a ) + 1 (R
~a · R
~a + Q
~a · Q
~ a ) (4.13)
~ + mψψ
H = −iψβ~
2
2
4.2
Energi density QGP
Sistem magnetofluida quark-gluon terdiri dari quark dan anti-quark yang berinteraksi dengan gluon. Secara umum rapat energinya dinyatakan dengan :
H = Hquark + Hinteraksi + Hgluon
(4.14)
dimana energi quark dinyatakan dengan :
~ + mQ QQ
¯ α · ∂Q
¯
Hquark = −iQβ~
Suku energi interaksi dan energi gluon tergantung oleh kecepatan gluon. Pada
kecepatan gluon yang tinggi suku energi quark memiliki kontribusi yang kecil
28
pada energi sistem sehingga dapat diabaikan. Pada kecepatan gluon yang tinggi
akan terbentuk QGP, sehingga rapat energi sistem QGP adalah :
1 ~ ~
~ ~
H = gF Jaµ Bµa + (R
(4.15)
a · Ra + Qa · Qa )
2
R
Energi total QGP adalah H = dV H , dimana V adalah volume dari fireball.
~ a dan Q
~ a didefinisikan :
dengan kondisi ~ωa = 0 , maka R
~ a = 1 gF Cabc φ2 γb γc~vb × ~vc
R
2
~ a = −∇(φγa ) − φγa ∂~va − gF Cabc φ2 γb γc~vb
Q
∂t
suku pertama merupakan energi interaksi antara quark dan gluon sedangkan suku
kedua merupakan energi dari gluon. Jaµ adalah arus empat non-Abelian materi
yang dapat dinyatakan dengan :
¯ µ
Jaµ = Qγ
sehingga :
λa
Q
2
1 ~ ~
~ ~
H = gF φ(ρq − ~va · J~a ) + (R
a · Ra + Qa · Qa )
2
(4.16)
(4.17)
dengan a = 1, ....8. Kita asumsikan quark dan gluon mengalir hanya pada sumbu
z dengan kecepatan konstan pada fireball, ~va = (0, 0, va ) dan J~a = (0, 0, Ja).
~ a , suku pertama, dan suku kedua dari Q
~ a pada suku
Dengan asumsi ini, nilai R
energi gluon dapat diabaikan.
29
Bab 5
Hasil dan Pembahasan
Telah dibuat model yang menerangkan sistem fluida dengan materi di dalamnya dan berinteraksi dengan medan gauge Abelian dan non-Abelian berdasarkan
prisnsip gauge. Prinsip yang digunakan adalah mengerjakan simetri gauge pada
materi ( boson dan fermion ). Untuk simetri gauge Abelian telah didapatkan
lagrangian density yang invarian terhadap transformasi gauge lokal yaitu :
1
1
L = Lboson −(eAµ +gBµ )J µ +(e2 Aµ Aµ +g 2 Bµ B µ +2egAµ B µ )Φ∗ Φ− Fµν F µν − Sµν S µν
4
4
dan
¯ µ ψ − 1 Fµν F µν − 1 Sµν S µν
L = Lf ermion − (eAµ + gBµ )ψγ
4
4
Suku-suku pada lagrangian di atas merepresentasikan interaksi-interaksi yang terjadi antar medan. Pada suku ketiga terlihat bahwa terjadi interaksi antara materi
dengan medan fluida dan medan gauge. Pada suku keempat untuk lagrangian
boson terdapat suku interaksi antara medan fluida 3, medan gauge dan materi
yang dinyatakan dengan 2egAµ B µ Φ∗ Φ. Suku ini tidak muncul pada lagrangian
fermion yang menunjukkan bahwa untuk sistem fluida dengan materi fermion
yang berada dalam medan gauge, interaksi antara medan fluida dan medan gauge tidak terjadi.
Untuk simetri gauge non-Abelian telah diperoleh :
µ
µ
2 µ
L = Lboson − gF Bµa JaF
− gG Aµa JaG
+ gG
Aa Aµb Φ† TaG TbG Φ + gF2 Baµ Bµb Φ† TaF TbF Φ +
1
1
gF gG Aµa Bµb Φ† (TaG TbF + TbF TaG ) Φ − Sµνa Saµν − Fµνa Faµν + V (Φ)
4
4
dan
1
1
µ
µ
L = Lf ermion − gF Bµa JaF
− gG Aµa JaG
− Sµνa Saµν − Fµνa Faµν + V (Φ)
4
4
30
dengan mensubtitusi lagrangian di atas pada persamaan Euler-Lagrange maka
akan diperoleh persamaan gerak untuk masing-masing medan. Dengan persamaan medan fluidanya adalah :
∂µ S µν = gJ ν
Abelian
atau :
Dµ S µν = gF JFν
non-Abelian
bila Bµa dipandang sebagai medan fluida yang mewakili sekumpulan fluida untuk
setiap a, maka kita memiliki sistem multifluida dengan persamaan gerak seperti
di atas. Analog dengan kasus Abelian, interaksi antara medan fluida, materi
dan medan gauge hanya terdapat pada lagrangian medan boson yaitu pada suku
gF gG Aµa Bµb Φ† (TaG TbF + TbF TaG ) Φ.
interaksi antara medan fluida ditunjukkan pada suku pure gauge yaitu :
1
L = − Sµνa Saµν
4
sebab di dalam Saµ terdapat suku −gF Cabc B µb Bµc .
Dari persamaan gerak fluida Abelian dapat diperoleh persamaan Maxwell untuk
medan fluida yaitu :
~ = 0
∇·R
~
~ = − ∂R
∇×Q
∂t
~ = ρ
∇·Q
~
~ − ∂ Q = ~j
∇×R
∂t
pada persamaan gerak fluida, bila J ν = 0 maka ∂µ S µν = 0, dengan kata lain
∇ · Q = 0 dan ∇ × R −
∂Q
∂t
= 0 yang berarti tidak terdapat sumber untuk
fluida bila tidak terdapat materi. Sedangkan pada kasus non-Abelian , untuk
J ν = 0 ( tanpa adanya materi ) akan didapatkan ∂µ Saµν = gG Cabc Aµb Scµν +
gF Cabc Bµb Scµν yang merepresentasikan Saµν berperan sebagai sumber untuk medan
fluida itu sendiri. Hal ini disebabkan karena pada kasus Abelian medan S µν
tidak membawa ”muatan” sehingga tidak bisa menjadi sumber bagi medannya
sendiri, sedangkan pada kasus non-Abelian medan Saµν memiliki muatan nonAbelian yang dapat berperan sebagai sumber untuk medan fluida itu sendiri
31
sehingga dimungkinkan adanya self interaction antar medan gauge. Hal ini mirip
deng