Syarat Agar Suatu Graf Dikatakan Sebagai Graf yang Bukan Ajaib Total.
Syarat Agar Suatu Graf Dikatakan Sebagai Graf yang
Bukan Ajaib Total
SKRIPSI SARJANA MATEMATIKA
OLEH :
MAHADMA PUTRA
BP. 0810433069
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS ANDALAS
PADANG
2014
ABSTRAK
Suatu pelabelan total terhadap suatu graf dengan v titik dan e sisi didefinisikan sebagai pemetaan satu-satu dari himpunan titik dan himpunan sisi suatu graf
ke bilangan bulat 1, 2, ..., v+e. Pelabelan tersebut dikatakan titik ajaib jika jumlah
label titik dan label sisi yang menempel pada titik tersebut adalah sama untuk setiap
titik. Pelabelan tersebut dikatakan sisi ajaib jika jumlah label sisi dan label kedua
titik pada sisi tersebut adalah sama untuk setiap sisi. Pada tugas akhir ini akan dikaji
kembali tentang syarat-syarat agar suatu graf tidak bersifat titik ajaib dan sisi ajaib.
Kata kunci : pelabelan total, pelabelan total sisi ajaib, pelabelan total titik ajaib
v
ABSTRACT
A total labeling of a graph with v vertices and e edges is defined as a oneto-one map taking the vertices and edges onto the integers 1, 2, ..., v+e. Such a
labeling is vertex magic if the sum of the label on a vertex and the labels on its
incident edges is a constant independent of the choice of vertex, and edge magic if
the sum of an edge label and the labels of the endpoints of the edge is constant.
In this paper we examine graphs possessing a labeling that is simultaneously vertex
magic and edge magic. Such graphs appear to be rare.
Keywords : total labeling, edge magic total labeling, vertex magic total labeling
vi
BAB I
PENDAHULUAN
1.1
Latar Belakang
Teori graf pertama kali diperkenalkan oleh Leonhard Euler pada tahun 1736.
Graf merupakan pasangan himpunan titik dan himpunan sisi. Pengaitan titik-titik
pada graf membentuk sisi dan dapat direpresentasikan pada gambar sehingga membentuk pola graf tertentu yang dikelompokkan menjadi kelas-kelas graf.
Suatu graf G = (V, E) adalah pasangan terurut yang terdiri dari himpunan
titik V yang dinotasikan dengan V (G) dan himpunan sisi E yang dinotasikan dengan
E(G), dengan himpunan titik V terbatas. Graf digunakan untuk mempresentasikan
objek-objek tersebut. Untuk memudahkan pengertian suatu graf, diberikan suatu
interpretasi geometri dari suatu graf. Setiap titik dari suatu graf digambarkan sebagai titik pada bidang datar, sedangkan setiap sisi pada graf tersebut digambarkan
sebagai garis yang menghubungkan dua titik pada graf tersebut.
Suatu pelabelan dari graf G = (V, E) adalah suatu pemetaan bijektif dari
V ∪ E ke himpunan bilangan asli. Apabila daerah asal dari pemetaan hanya himpunan titik, maka pelabelan disebut pelabelan titik. Apabila daerah asalnya hanya
himpunan sisi, maka pelabelan disebut pelabelan sisi. Apabila daerah asal merupakan gabungan dari himpunan titik dan sisi, maka pelabelan disebut pelabelan
1
total.
Pelabelan graf merupakan suatu topik dalam teori graf. Pelabelan graf
pertama kali diperkenalkan oleh Sedlacek (1964), kemudian Stewart (1966), Kotzig
dan Rosa (1970). Dalam pelabelan graf diperkenalkan juga pelabelan ajaib, pelabelan anti ajaib, dan pelabelan (a,d)-anti ajaib. Pelabelan ajaib diperkenalkan oleh
Sedlacek (1964) dan pelabelan anti ajaib diperkenalkan oleh Hartsfield dan Ringel
(1989).
Misal terdapat G = (V, E) dengan |V | = p dan |E| = q. Notasi |V | berarti banyaknya titik pada G, sementara |E| berarti banyaknya sisi pada G. Suatu
pelabelan total sisi ajaib pada graf G = (V, E) adalah pemetaan satu-satu λ1 dari
V (G) ∪ E(G) pada {1, 2, ..., p + q} sedemikian hingga untuk setiap sisi xy di G
berlaku:
λ(x) + λ(xy) + λ(y) = k
untuk suatu bilangan bulat k positif. Suatu pelabelan total titik ajaib pada graf G
adalah pemetaan satu-satu λ2 dari V (G) ∪ E(G) pada {1, 2, ..., p + q} sedemikian
sehingga untuk setiap titik x di G berlaku:
λ(x) +
X
λ(xy) = h
y∈Nx
untuk suatu bilangan bulat h positif, dimana Nx merupakan himpunan semua titik
yang bertetangga dengan x. Pada [1] disimpulkan bahwa terdapat graf yang bersifat
ajaib total untuk graf yang berukuran kecil, yaitu graf K1 , K3 , P3 , dan K1 ∪ P3
.
2
Secara garis besar terdapat empat masalah pokok dalam teori graf yaitu:
1. Masalah Eksistensi : Masalah yang berhubungan dengan apakah ada suatu
graf yang mungkin ?
2. Masalah Konstruksi : Masalah yang berhubungan dengan pembentukan atau
pengkonstruksian.
3. Masalah Enumerasi : Masalah yang berhubungan dengan perhitungan.
4. Masalah Optimasi : Masalah yang berhubungan dengan keputusan yang terbaik.
Tugas akhir ini lebih mengarah kepada masalah eksistensi, yaitu graf mana
yang tidak mungkin ajaib total.
1.2
Perumusan Masalah
Masalah yang akan dibahas dalam tugas akhir ini adalah graf seperti apa
yang bersifat bukan ajaib total.
1.3
Tujuan
Adapun tujuan dalam penulisan tugas akhir ini adalah untuk mengkaji kem-
bali graf mana yang tidak mungkin ajaib total.
3
1.4
Sistematika Penulisan
Penulisan dalam tugas akhir ini dibagi menjadi empat bab. Bab I terdiri
dari latar belakang, perumusan masalah, pembatasan masalah, tujuan dan sistematika penulisan. Pada Bab II dijelaskan mengenai landasan teori tentang konsep
dasar dari teori graf berupa definisi dan terminologi, jenis-jenis graf, pelabelan pada
graf, pelabelan ajaib, dan konfigurasi pengecualian pada graf ajaib total. Sedangkan Bab III memuat pembahasan dan permasalahan. Penulisan ini diakhiri dengan
kesimpulan dari pembahasan masalah.
4
Bukan Ajaib Total
SKRIPSI SARJANA MATEMATIKA
OLEH :
MAHADMA PUTRA
BP. 0810433069
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS ANDALAS
PADANG
2014
ABSTRAK
Suatu pelabelan total terhadap suatu graf dengan v titik dan e sisi didefinisikan sebagai pemetaan satu-satu dari himpunan titik dan himpunan sisi suatu graf
ke bilangan bulat 1, 2, ..., v+e. Pelabelan tersebut dikatakan titik ajaib jika jumlah
label titik dan label sisi yang menempel pada titik tersebut adalah sama untuk setiap
titik. Pelabelan tersebut dikatakan sisi ajaib jika jumlah label sisi dan label kedua
titik pada sisi tersebut adalah sama untuk setiap sisi. Pada tugas akhir ini akan dikaji
kembali tentang syarat-syarat agar suatu graf tidak bersifat titik ajaib dan sisi ajaib.
Kata kunci : pelabelan total, pelabelan total sisi ajaib, pelabelan total titik ajaib
v
ABSTRACT
A total labeling of a graph with v vertices and e edges is defined as a oneto-one map taking the vertices and edges onto the integers 1, 2, ..., v+e. Such a
labeling is vertex magic if the sum of the label on a vertex and the labels on its
incident edges is a constant independent of the choice of vertex, and edge magic if
the sum of an edge label and the labels of the endpoints of the edge is constant.
In this paper we examine graphs possessing a labeling that is simultaneously vertex
magic and edge magic. Such graphs appear to be rare.
Keywords : total labeling, edge magic total labeling, vertex magic total labeling
vi
BAB I
PENDAHULUAN
1.1
Latar Belakang
Teori graf pertama kali diperkenalkan oleh Leonhard Euler pada tahun 1736.
Graf merupakan pasangan himpunan titik dan himpunan sisi. Pengaitan titik-titik
pada graf membentuk sisi dan dapat direpresentasikan pada gambar sehingga membentuk pola graf tertentu yang dikelompokkan menjadi kelas-kelas graf.
Suatu graf G = (V, E) adalah pasangan terurut yang terdiri dari himpunan
titik V yang dinotasikan dengan V (G) dan himpunan sisi E yang dinotasikan dengan
E(G), dengan himpunan titik V terbatas. Graf digunakan untuk mempresentasikan
objek-objek tersebut. Untuk memudahkan pengertian suatu graf, diberikan suatu
interpretasi geometri dari suatu graf. Setiap titik dari suatu graf digambarkan sebagai titik pada bidang datar, sedangkan setiap sisi pada graf tersebut digambarkan
sebagai garis yang menghubungkan dua titik pada graf tersebut.
Suatu pelabelan dari graf G = (V, E) adalah suatu pemetaan bijektif dari
V ∪ E ke himpunan bilangan asli. Apabila daerah asal dari pemetaan hanya himpunan titik, maka pelabelan disebut pelabelan titik. Apabila daerah asalnya hanya
himpunan sisi, maka pelabelan disebut pelabelan sisi. Apabila daerah asal merupakan gabungan dari himpunan titik dan sisi, maka pelabelan disebut pelabelan
1
total.
Pelabelan graf merupakan suatu topik dalam teori graf. Pelabelan graf
pertama kali diperkenalkan oleh Sedlacek (1964), kemudian Stewart (1966), Kotzig
dan Rosa (1970). Dalam pelabelan graf diperkenalkan juga pelabelan ajaib, pelabelan anti ajaib, dan pelabelan (a,d)-anti ajaib. Pelabelan ajaib diperkenalkan oleh
Sedlacek (1964) dan pelabelan anti ajaib diperkenalkan oleh Hartsfield dan Ringel
(1989).
Misal terdapat G = (V, E) dengan |V | = p dan |E| = q. Notasi |V | berarti banyaknya titik pada G, sementara |E| berarti banyaknya sisi pada G. Suatu
pelabelan total sisi ajaib pada graf G = (V, E) adalah pemetaan satu-satu λ1 dari
V (G) ∪ E(G) pada {1, 2, ..., p + q} sedemikian hingga untuk setiap sisi xy di G
berlaku:
λ(x) + λ(xy) + λ(y) = k
untuk suatu bilangan bulat k positif. Suatu pelabelan total titik ajaib pada graf G
adalah pemetaan satu-satu λ2 dari V (G) ∪ E(G) pada {1, 2, ..., p + q} sedemikian
sehingga untuk setiap titik x di G berlaku:
λ(x) +
X
λ(xy) = h
y∈Nx
untuk suatu bilangan bulat h positif, dimana Nx merupakan himpunan semua titik
yang bertetangga dengan x. Pada [1] disimpulkan bahwa terdapat graf yang bersifat
ajaib total untuk graf yang berukuran kecil, yaitu graf K1 , K3 , P3 , dan K1 ∪ P3
.
2
Secara garis besar terdapat empat masalah pokok dalam teori graf yaitu:
1. Masalah Eksistensi : Masalah yang berhubungan dengan apakah ada suatu
graf yang mungkin ?
2. Masalah Konstruksi : Masalah yang berhubungan dengan pembentukan atau
pengkonstruksian.
3. Masalah Enumerasi : Masalah yang berhubungan dengan perhitungan.
4. Masalah Optimasi : Masalah yang berhubungan dengan keputusan yang terbaik.
Tugas akhir ini lebih mengarah kepada masalah eksistensi, yaitu graf mana
yang tidak mungkin ajaib total.
1.2
Perumusan Masalah
Masalah yang akan dibahas dalam tugas akhir ini adalah graf seperti apa
yang bersifat bukan ajaib total.
1.3
Tujuan
Adapun tujuan dalam penulisan tugas akhir ini adalah untuk mengkaji kem-
bali graf mana yang tidak mungkin ajaib total.
3
1.4
Sistematika Penulisan
Penulisan dalam tugas akhir ini dibagi menjadi empat bab. Bab I terdiri
dari latar belakang, perumusan masalah, pembatasan masalah, tujuan dan sistematika penulisan. Pada Bab II dijelaskan mengenai landasan teori tentang konsep
dasar dari teori graf berupa definisi dan terminologi, jenis-jenis graf, pelabelan pada
graf, pelabelan ajaib, dan konfigurasi pengecualian pada graf ajaib total. Sedangkan Bab III memuat pembahasan dan permasalahan. Penulisan ini diakhiri dengan
kesimpulan dari pembahasan masalah.
4