MEDIA PEMBELAJARAN INTERAKTIF POWER POINT MATEMATIKA SMA matriks

MATRIKS

5 Agustus 2017

1

Setelah menyaksikan
tayangan ini anda dapat
menentukan penyelesaian
persoalan matriks
dengan menggunakan
operasi perkalian matriks
dan invers matriks
beserta sifat-sifatnya.
5 Agustus 2017

2

Perkalian matriks
dengan matriks
Perhatikan ilustrasi berikut:

Randy dan Lya ingin membeli
buku dan pensil. Randy membeli
3 buku dan 1 pensil. Lya membeli 4 buku dan 2 pensil.
5 Agustus 2017

3

Jika harga sebuah buku
Rp500,00 dan
sebuah pensil Rp150,00;
Berapa masing-masing mereka
harus membayar?

5 Agustus 2017

4

Randy
Lya

Jawab:
= 3 x 500 + 1 x 150
= Rp1.650,00
= 4 x 500 + 2 x 150
= Rp2.300,00

Penyelesaian di atas dapat
diselesaikan dengan perkalian
matriks sebagai berikut:
5 Agustus 2017

5

3

4


1 


2 


500


150 
 

(2 x 2)

(2 x 1)

kolom = baris


3 x 500 + 1 x 150
=


4 x 500 + 2 x 150


1650
=

2300
 (2 x 1)
5 Agustus 2017






6

Syarat Perkalian Matriks
Matriks A dapat dikalikan
dengan matriks B

jika
banyak kolom matriks A =
banyak baris matriks B

5 Agustus 2017

7

Jika matriks A berordo m x n
dan matriks B berordo n x p
maka A x B = C
dengan C berordo m x p
Am

5 Agustus 2017

xn

x Bn x p = Cm x p

8

Cara Mengalikan Matriks
misal A x B = C
maka
elemen matriks C
adalah penjumlahan dari hasil kali
elemen baris matriks A
dengan elemen kolom matriks B
yang bersesuaian

5 Agustus 2017

9

Am x n x B n x p = C m x p

Baris 1  x
Baris 2 
… … … 


=



K
ol
o
m
1





K
ol
o
m
2

…
…
…
…
…








Baris 1 x kolom 1

Baris 1 x kolom 2

Baris 1 x…….

Baris 2 x kolom 1

Baris 2 x kolom 2

…………..

……….x kolom1

5 Agustus 2017

……………..

10

Contoh
1:

1
3


2
4

 5
x 6
 

1x5 + 2x6

= 
3x5 + 4x6


5 Agustus 2017

7
8








3x7 + 4x8

1x7 + 2x8

11

=
=

1x5 + 2x6


3x5 + 4x6


17
39


5 Agustus 2017



3x7 + 4x8 

1x7 + 2x8

23


53

12

Contoh
5
7  1
2:

2

3

4

6


=
=
5 Agustus 2017

8

x
 

 

5x1 + 7x3


6x1 + 8x3


26
30


5x2 + 7x4
6x2 + 8x4








38 
44 

13

Contoh
3:

  2 5
 3  1

 dan B = 
A = 
1
8
2
4





Hitunglah: A x B dan B x A

5 Agustus 2017

14

-1 -2 5
3

AxB= 
2 4  1 8



 3 x (-2) + (-1) x 1 3 x 5 + (-1) x 8 

=


 2 x (-2) + 4 x 1
2x5+4x8 
-7 7
= 

0 42
5 Agustus 2017

15

-2 5  3 -1
 

B x A = 
1 8  2 4
(-2) x 3 + 5 x 2 (-2) x (-1) + 5 x 4

= 


1 x 3 + 8 x 2 1 x (-1) + 8 x 4 



4
22
=



19 31 
5 Agustus 2017

16

kesimpulan
AxB BxA
artinya
perkalian matriks
tidak bersifat komutatif

5 Agustus 2017

17

Contoh
4:
Nilai a dari persamaan matriks:
  1 d   4  5   2  1  2c 1 

 + 
 = 
 


  b 3    3 b    4 3   c a 1

adalah….

5 Agustus 2017

18

Bahasan

-1 d   4 -5
 =

 +
-b 3  -3 b 
3
d
5


-b - 3 3 + b


2 -1 2c

 
c
3
-4



1 

a +1


4c + (-c) 2 + (-1)(a + 1)



=



-8c + 3c -4+ 3(a + 1) 


d  5   3c
2 - a -1 
 3

 = 

  b  3 3  b    5c  4  3a  3 
5 Agustus 2017

19

3 = 3c  c = 1
-b – 3 = -5c
-b – 3 = -5
-b = -2  b = 2
3 + b = -1 + 3a
3 + 2 = -1 + 3a
5 = -1 + 3a
6 = 3a
Jadi nilai a = 2
5 Agustus 2017

20

Invers Matriks
Pengertian:
Jika hasil kali dua buah matriks
adalah matriks identitas,
(A x B = B x A = I)
maka
matriks A adalah invers matriks B
atau sebaliknya
matriks B invers matriks A
5 Agustus 2017

21

Contoh 1
  5  3
3
 1

 dan B = 
A = 
 2 1
  2  5
3    5  3
 1
A x B = 
 

  2  5  2 1 
-5+6 -3+3
=
10-10 6-5 



 1 0
 = I
= 
 0 1
5 Agustus 2017

22

Contoh 2
  5  3
3
 1

 dan B = 
A = 
 2 1
  2  5
3
  5  3  1
 

B x A = 
 2 1    2  5
-5+6 -15+15

=
2-2

6-5


 1 0
 = I
= 
 0 1
5 Agustus 2017

23

karena A x B = B x A = I
berarti
B = invers A, atau A = invers B.
Jika B = invers A dan di tulis A-1
maka
A. A-1 = A-1. A = I

5 Agustus 2017

24

Invers Matriks (2 x 2)
a
Jika A = 
c

b

d

maka invers matriks A
 d -b 
1




ad - bc -c a 

adalah A-1 =
ad – bc = determinan matriks A
5 Agustus 2017

25

Jika
ad – bc = 0
berarti
matriks tsb tidak mempunyai invers.

Sebuah matriks yang tidak
mempunyai invers disebut
matriks singular
5 Agustus 2017

26

Conto
h  2 1

Jika A = 


 5 3

maka invers matriks A
adalah….

5 Agustus 2017

27

Bahasan
1  d  b


A 
ad - bc   c a 
1

2
A 
5

1
3 -1
1
1
  A 


3
2.3 - 1.5 -5 2
1  3  1



6 - 5  5 2 
 3  1


 5 2 

5 Agustus 2017

28

Sifat-sifat Invers Matriks:

1.

A.A-1 = A-1.A = I

2.

(A. B)-1 = B-1. A-1

3.

(A-1 )-1 = A

5 Agustus 2017

29

Contoh
1
1

2
Diketahui A =  3 4 


 2 0 
dan B =  3  1



maka (AB)-1 adalah….

5 Agustus 2017

30

Bahasan
1 2   2 0 
 

AB = 
 3 4   3  1
-2 + 6

-6 + 12

 4  2


 6  4
5 Agustus 2017

0 - 2


0-4


31

 4  2

AB 
 6  4
-4 2
1
1


(AB) 
 16  ( 12) -6 4
1   4 2



 4   6 4

1
-1
Jadi (AB)  1
1 2
5 Agustus 2017

 12 

 1
32

Contoh
2

 3 1

Jika invers matriks A = 
 4 2

maka matriks A adalah….

5 Agustus 2017

33

Bahasan
A = (A-1 )-1
 3 1

A 
 4 2
2 -1
1
1 1


(A ) 
3.2  1.4 -4 3
1  2  1

 
2  4 3 
1

5 Agustus 2017

34

1  2  1

(A ) A  
2  4 3 
1 1

 1  12 

Jadi matriks A 
3 

2
2 


5 Agustus 2017

35

Penyelesian
Persamaan Matriks
Jika A, B dan M adalah
matriks ordo (2x2)
dan A bukan matriks singular
maka
penyelesaian persamaan matriks
☻AM = B adalah M = A-1.B
☺MA = B adalah M = B.A-1
5 Agustus 2017

36

Contoh
 5 13 

  2 1
Jika A = 
 dan B = 

 2 1
 5 0

Tentukan matriks M berordo (2x2)
yang memenuhi: a. AM = B
b. MA = B
5 Agustus 2017

37

Bahasan
 5 3

A 
 2 1

1  1  3


A 
5.1 - 3.2   2 5 
1

1  1  3   1 3 
 

 
-1   2 5   2  5 
5 Agustus 2017

38

a.Jika AM = B
maka M = A-1.B

  1 3    2 1
 x


 2  5  5 0

 ( 1)x( 2)  3x5 ( 1)x1  3x0 


 2x(  2)  ( 5)x5 2x1  ( 5)x0 
 1
 17

Jadi M 
  29 2 
5 Agustus 2017

39

b. Jika MA = B
maka M = B.A-1

  2 1   -1 3 
 x


 5 0  2 5

 2  2 ( 6)  ( 5) 


15  0 
 ( 5)  0

 4  11 

Jadi M 
  5 15 
5 Agustus 2017

40

Contoh 2
Diketahui hasil kali matriks
 4 3  a

 x 
 1 2  c

b  16 3 
 

d   9 7

Nilai a + b + c + d sama
dengan….

5 Agustus 2017

41

Bahasan
 4 3   a b  16 3 

 x 
 

 1 2  c d   9 7
a b
1  2  3 16 3 

 



 c d  8  3   1 4  9 7 

a

c

5 Agustus 2017

b  1  32  27
6  21 
  

d  5   16  36  3  28 
1  5  15 

 
5  20 25 
42

a

c

b  1  5  15 
  

d  5  20 25 

a

c

b   1  3
 

d  4 5 

diperoleh
a = 1, b = -3, c = 4 dan d = 5
berarti
a+b+c+d=1–3+4+5=7
5 Agustus 2017

43