Matematika Dasar

3.1 Limit Fungsi di Satu Titik

Pengertian limit secara intuisi

Perhatikan fungsi

1

1

)

(

2







x

x

x

f

Fungsi diatas tidak terdefinisi di x=1, karena di titik tersebut f(x) berbentuk 0/0. Tapi masih bisa ditanyakan berapa nilai f(x) jika x mendekati 1

Dengan bantuan kalkulator dapat diperoleh nilai f(x) bila x mendekati 1, seperti pada tabel berikut

x f(x)

0.9 0.99 0.999 0.9999 1 1.0001 1.001 1.01 1.1 ?

1 º 2

x x

f(x)

f(x) Secara grafik

Dari tabel dan grafik disamping terlihat bahwa f(x) mendekati 2 jika x mendekati 1

Secara matematis dapat dituliskan Sebagai berikut

2

1

1

lim

2

1









_x

x

x

Dibaca “ limit dari untuk x mendekati

1 adalah 2 1

1 2



x x

Definisi(limit secara intuisi). Untuk mengatakan bahwa berarti bahwa

L x

f

c

x ( ) 

lim

8 5 3

lim

1  

 x

x Contoh

1.

2. ₂

) 2 )( 1 2 ( lim 2 2 3 2 lim 2 2 2          _x x x x x x x x 5 1 2 lim

2    _ x

x 3 3 3 9 lim 3 9 lim 9 9          _x x x x x x x x 9 ) 3 )( 9 ( lim 9     _ x x x x 6 3 lim

9    _ x

x

3.

4. limsin(1/ )

0 x

x

Ambil nilai x yang mendekati 0, seperti pada tabel berikut x ) / 1 sin( x  /

2 2/2 2/3 2/4 2/5 2/6 2/7 2/8

1 0 -1 0 1 0 -1 0

0 ?

Dari tabel terlihat bahwa bila x menuju 0, sin(1/x) tidak menuju ke satu nilai tertentu sehingga limitnya tidak ada

L x

f

c

x ( ) 

lim 



_0, 



 ₀  ₀  _{| x}_{c |} 



 _{| f (x)}  _L| 



Definisi limit

jika

c º

Untuk setiap





₀

L





c º L





L





L

 

Terdapat sedemikian sehingga   0

c

º L









|

|

0

x c | f(x)  L| 





c c c

º

)

(

lim

f x

c x 

Limit Kiri dan Limit Kanan

c

x

Jika x menuju c dari arah kiri (dari arah

bilangan yang lebih kecil dari c, limit disebut limit kiri,

)

(

lim

f

x

c x 

Jika x menuju c dari arah kanan (dari arah bilangan yang lebih besar dari c, limit disebut limit kanan,

c _x

L

x

f

L

x

f

L

x

f

c x c

x c

x

(

)





lim

 

(

)



dan

lim

 

(

)



lim

Hubungan antara limit dengan limit sepihak(kiri/kanan) notasi

notasi

Jika

lim

f

(

x

)

c x 



)

(

lim

f

x

c x 

maka tidak ada

lim

f

(

x

)

c x

    

 

 

 

1 ,

2

1 0

,

0 ,

) (

2 2

x x

x x

x x

x f

) ( lim

0 f x x

) ( lim

1 f x x

Contoh Diketahui

a. Hitung

) ( lim

2 f x x

d. Gambarkan grafik f(x) Jawab

a. Karena aturan fungsi berubah di x=0, maka perlu dicari limit kiri dan limit kanan di x=0

c. Hitung

b. Hitung) Jika ada

) ( lim

0

x f x 

0 lim 2

0   _ x

x )

( lim

0

x f x 

0 lim

0   _ x

x

0 ) ( lim

0 

 f x

x

b. Karena aturan fungsi berubah di x=1, maka perlu dicari limit kiri dan limit kanan di x=1

)

(

lim

1

x f x 

1 lim

1 

 _ x x

) ( lim

1 f x

x  lim2 3

2

1  

 _ x x



 _

1



1

lim

)

(

lim

x x

x

f lim ( )

1 f x

x

)

(

lim

2 f x

x

lim

2

6

2

2







_ x

x

Karena Tidak ada

c. Karena aturan fungsi tidak berubah di x=2, maka tidak perlu dicari limit kiri dan limit kanan di x=2

d.

Untuk x 0



2

)

(

x

x

f



Grafik: parabola

Untuk 0<x<1 f(x)=x

Grafik:garis lurus

Untuk 1



2

2 )

(x x f  

Grafik: parabola

1 3

º

di x=1 limit tidak ada

2. Tentukan konstanta c agar fungsi





















1

,

1

,

3

)

(

₂

x c x

x cx x

f

mempunyai limit di x=-1 Jawab

Agar f(x) mempunyai limit di x=-1, maka limit kiri harus sama dengan limit kanan

)

(

lim

1

f

x

x 

c

cx

x









_





3

3

lim

1

)

(

lim

1

x

f

x 



_x

lim

_  x



c



1



c 2

1

Agar limit ada 3+1c=1-c

) ( lim

3 f x

x

)

(

lim

1

f

x

x

) ( lim

1 f x

x

)

(

lim

1

x f x 

) ( lim

1

x f x 

A. Diberikan grafik suatu fungsi f seperti gambar berikut .

Cari limit /nilai fungsi berikut, atau nyatakan bahwa limit /nilai fungsi tidak ada.

f(-3) f(-1) f(1) 1.

2. 3. 4.

5. 6. 7. 8. Soal Latihan

Soal Latihan          1 , 2 1 , 1 ) ( ₂ 2 x x x x x x f ) (

lim

1 x f

x 

x

f x 1

lim ( )

x

f x

1

lim ( )

x

x

x

g

(

)





2



3

x

g x

2

lim

( )

x

g x

 2

lim

( )

x

g x

2

lim

( )

2 2 ) (    x x x f x f x

 2

lim

( )

x

f x

 2

lim

( )

x

f x

2

lim

( )

1. Diketahui :

a.Hitung dan

b. Selidiki apakah ada, jika ada hitung limitnya

2. Diketahui _, hitung ( bila ada ) :

3. Diketahui , hitung ( bila ada )

a. _{b. c.}

a. _{b. c.}

G x

g L

x f

a x a

x ( )  dan lim ( )  lim



f x g x



f x g x L G

a x a

x a

x ( ) ( )  lim ( )lim ( )  

lim

Sifat limit fungsi

Misal

(limit dari f , g ada dan berhingga) maka



f x g x



f x g x LG a

x a

x a

x ( ) ( )  lim ( )lim ( ) 

lim

0 ,

) ( lim

) ( lim )

( ) (

lim   

 

 _G bila G

L x

g x f

x g

x f

a x

a x a

x

2. 3.

4. n

a x n

a

x ( f (x)) (lim f (x))

lim



  ,n bilangan bulat positif

n n

a x n

a

x f (x)  lim f (x)  L

lim

5. bila n genap L harus positif

2 2 2 ) 1 ( 1 1 sin ) 1 ( ) 1 (        x x x x

)

(

)

(

)

(

x g x h x

f





L

x

h

L

x

f

c x c

x

(

)



serta

lim



(

)



lim

L

x

g

c

x

(

)



lim

1

1

sin

)

1

(

lim

2

1





 x _x

x

Prinsip Apit

Misal untuk x disekitar c dan

maka

Contoh Hitung

Karena _{) 1}

1 1 sin( 1     x dan 0 ) 1 ( lim 2

1  

 x x 0 ) 1 ( lim , 2

1  

 x x 0 1 sin ) 1 (

lim 2 

 

x maka

Limit Fungsi Trigonometri

1

sin

lim

.

1

0





_x

x

x

1

cos

lim

.

2

0





x

x

1

tan

lim

.

3

0





_x

x

x Contoh 2 . 2 2 tan 5 4 . 4 4 sin 3 lim 2 tan 5 4 sin 3 lim 0 0 x x x x x x x x x x       2 . 2 2 tan lim 5 4 . 4 4 sin lim 3 0 0 x x x x x x      3 7 2 . 2 2 tan lim 5 4 . 4 4 sin lim 3 0 2 0 4       x x x x x x

Soal Latihan

t t t 1 sin

cos lim

2

0 



t t t

t 2sec

sin cot

lim

0

 

t t t 2

3 tan lim

2

0



t t

t t

t sec

4 3

sin lim

0

 

Hitung 1. 2.

3.

4.

x x x sin2

tan lim

0

 5.

Limit Tak Hingga dan Limit di Tak Hingga Limit Tak Hingga

maka

,

0

)

(

lim

dan

0

)

(

lim

Misal









a

f

x

L

x a

g

x

x 

(

)



)

(

lim

x

g

x

f

a x

atas

arah

dari

0

)

(

dan

0

jika

,

)

(

i





L



g

x



bawah

arah

dari

0

)

(

dan

0

jika

,

)

(

ii





L



g

x



bawah

arah

dari

0

)

(

dan

0

jika

,

)

(

iii





L



g

x



atas

arah

dari

0

)

(

dan

0

jika

,

)

(

iv





L



g

x



Ctt : g(x)  0 dari arah atas maksudnya g(x) menuju 0 dari nilai g(x) positif.

g(x)  0 dari arah bawah maksudnya g(x) menuju 0 dari nilai g(x) negatif.

Contoh Hitung

1 1 lim

2 1 





 _x

x

x

a.

1 1 lim ₂

2

1  



  _x

x

x x

x x sin

lim_



b. c.

Jawab

a. lim 2 1 2 0 1   

 x

x ,g(x)=x-1 akan menuju 0 dari arah bawah, karena x  1 dari kiri berarti x lebih kecil dari 1, akibatnya x-1 akan bernilai negatif

Sehingga













₁

1

lim

2 1

x

x

x

b. lim 2 1 2 0

1   



 x

x

akan menuju 0 dari arah atas, karena x  -1 dari kiri berarti x lebih kecil dari -1, tapi

bilangan negatif yang lebih kecil dari -1 jika dikuadrat kan lebih besar dari 1 sehingga bernilai positif

1 )

(x  x2  g

1 2  x

Sehingga







1

lim

2

c.

0

lim  



 x



x dan

f(x)=sinx

 x

Jika x menuju dari arah kanan maka nilai sinx menuju 0 dari arah bawah(arah nilai sinx negatif)









_x

x

x

sin

lim

 sehingga

Karena

Limit di Tak Hingga

L x

f

x ( ) 

lim

a. jika   0  M  0  x  M  | f(x) L|  atau f(x) mendekati L jika x menuju tak hingga

L

x

Contoh Hitung

4 2

5 2

lim ₂

2

 



 _x

x x

x

Jawab

)

2

(

)

1

(

lim

2 2

4 2

5 2

2

x x x

x _x

x









_

4 2

5 2

lim ₂ 2

  



 _x

x x

x

2 2 4 2

5 2

1

lim x x

x

  

L x

f

xlim ( ) 

jika _ _{ 0  M  0  x  M  | f(x)L|} atau f(x) mendekati L jika x menuju minus tak hingga

b.

L

x Contoh Hitung

4 2

5 2

lim ₂

 



 _x

x x

4 2

5 2

lim ₂

 



 _x

x x

Jawab

)

2

(

)

(

lim

2 2

4 2

5 2

2

x x x

x

x

x







_

)

2

(

)

(

lim

2 2

4 5 2

x x x

x





Contoh Hitung

x

x

x

x

lim







3



2

Jawab :

Jika x   , limit diatas adalah bentuk ( )_

x

x

x

x

lim







3



2 ) 3 3 ( 3 lim 2 2 2 x x x x x x x x x

x   

       _ x x x x x x

x   

    _ 3 3 lim 2 2 2 x x x x

x   

  _ 3 3 lim 2 x x x x x x

x   

  _ ) 1 ( ) 1 ( lim 2 3 1 2 3 | | 2 x x 

x

x

x

x x x

x













_ 2 3 1 3

1

)

1

(

lim

2 1 ) 1 1 ( 1 lim 3 1 3         _ x

Soal Latihan

lim

x

x

x

 





3

3

3

lim

x2 x2 

3 4

)

1

(

lim

x

x

x





lim

x

x

x



1



2

1

1

lim

2





  _x

x x

lim

x

x x

x







2

1

.

Hitung 1.

2. 3. 4.

5.

Kekontinuan Fungsi

Fungsi f(x) dikatakan kontinu pada suatu titik x = a jika (i) f(a) ada

ada )

( lim f x

a x (ii)

(iii) _{lim f (x) f (a)} a

x 

Jika paling kurang salah satu syarat diatas tidak dipenuhi maka f dikatakan tidak kontinu di x=a

a (i)

º f(a) tidak ada

a (ii)

1 L

2

L

Karena limit kiri(L1) tidak

sama dengan limit kanan(L2) maka f(x) tidak mempunyai limit di x=a

Fungsi f(x) tidak kontinu di x=a

(iii)

a ● º f(a)

f(a) ada

) ( lim f x

a x

L _ada

Tapi nilai fungsi tidak sama dengan limit fungsi

(iv)

a f(a)

f(a) ada ) ( lim f x

a

x ada

) ( )

(

lim f x f a

a

x 

f(x) kontinu di x=2

Ketakkontinuan terhapus

Ketakkontinuan kasus (i) bisa dihapus dengan cara mendefinisikan nilai fungsi dititik tersebut = limit fungsi

a º

contoh

Periksa apakah fungsi berikut kontinu di x=2, jika tidak sebutkan alasannya 2 4 ) ( 2   x x x f         2 , 3 2 , 2 4 ) ( 2 x x x x x f a. b.         2 , 1 2 , 1 ) ( ₂ x x x x x f c. Jawab :

a. Fungsi tidak terdefinisi di x=2 (bentuk 0/0) f(x) tidak kontinu di x=2

b. - f(2) = 3

4 2 lim ) 2 ( ) 2 )( 2 ( lim 2 4 lim 2 2 2

2    

 



  

 _x x

x x x x x x x

)

2

(

)

(

lim

2

f

x

f

x



-Karena limit tidak sama dengan nilai fungsi, maka f(x) tidak kontinu di x=2

c. ₍₂₎  ₂2 ₁ ₃ f

--

lim

(

)

lim

1

3

2

2









  f x x x x

3

1

lim

)

(

lim

2

2

2









  f x _x x

x

3

)

(

lim

2



 f x

x

) 2 ( )

( lim

2 f x f

x 

Kontinu kiri dan kontinu kanan

Fungsi f(x) disebut kontinu kiri di x=a jika

) ( )

(

lim f x f a a

x  

Fungsi f(x) disebut kontinu kanan di x=a jika

) ( )

(

lim f x f a a

x  

Fungsi f(x) kontinu di x=a jika kontinu kiri dan kontinu kanan di x=a Contoh : Tentukan konstanta a agar fungsi

  

 

 



2 ,

1

2 ,

)

( ₂

x ax

x a x x

f

Jawab :

Agar f(x) kontinu di x=2, haruslah f kontinu kiri di x=2

)

2

(

)

(

lim

2

f

x

f

x 



a

a

x

x

f

x

x 











2

lim

)

(

lim

2

2

(

2

)

2

1

4

1

2









a

a

f

2 + a = 4a – 1 -3a = -3

a = 1 f kontinu kanan di x=2

)

2

(

)

(

lim

2

f x

f

x 



1

4

1

2

)

2

(



a 2





a



f

1

4

1

lim

)

(

lim

2

2

2











 

f

x

x

ax

a

x

Selalu dipenuhi

1. Diketahui





















1

,

2

2

1

,

1

)

(

2 x x x x x f

selidiki kekontinuan fungsi f(x) di x = -1 Soal Latihan

2. Agar fungsi

           2 , 3 2 1 , 1 , 1 ) ( x x x b ax x x x f

kontinu pada R, maka berapakah a + 2b ? 3. Tentukan a dan b agar fungsi

           2 , 4 2 2 , 2 4 ) ( 2 x x x x bx ax x f

Kekontinuan pada interval



Fungsi

f

(

x

) dikatakan kontinu pada interval buka (

a,b

) bila

f

(

x

) kontinu pada setiap titik di dalam interval tersebut.



Sedangkan

f

(

x

) dikatakan kontinu pada interval tutup [

a,b

]

bila :

1.

f

(

x

) kontinu pada (

a,b

)

2.

f

(

x

) kontinu kanan di

x

=

a

3.

f

(

x

) kontinu kiri di

x

=

b

Bila

f

(

x

) kontinu untuk setiap nilai

x



R

maka dikatakan



Teorema 3.2



Fungsi Polinom kontinu dimana-mana



Fungsi Rasional kontinu pada Domainnya



Misalkan , maka



f

(x) kontinu di setiap titik di

R

jika

n

ganjil



f

(

x

) kontinu di setiap

R

positif jika

n

genap.

Contoh : tentukan selang kekontinuan

Dari teorema diatas diperoleh f(x) kontinu untuk x-4



0 atau x



4.

f(x) kontinu kanan di x=4

Sehingga f(x) kontinu pada [4, )

n x x

f

(

)



4 )

(x  x f

) 4 ( 0

4 lim

) ( lim

4 4

f x

x f

x

x       

f x x x x

( )







2

₃

3

f x x

x

( )  



2 3

4 8

f x x x

( )

| |

 _2

2

9

4

1

)

(

2









x x x

f

2

4

)

(

x

x

x

f





A. Carilah titik diskontinu dari fungsi

B. Tentukan dimana f(x) kontinu Soal Latihan

1.

2.

3.

1.

Limit dan Kekontinuan Fungsi Komposisi



Teorema Limit Fungsi Komposisi:

Jika dan

f

(

x

) kontinu di

L

, maka



Teorema kekontinuan fungsi komposisi:

Jika

g

(

x

) kontinu di

a

,

f

(

x

) kontinu di

g

(

a

), maka fungsi

kontinu di

a.

Bukti

karena f kontinu di g(a)

= f(g(a)) karena g kontinu di a

= (fog)(a)

L

x

g

a

x

(

)



lim



lim

(

)



(

)

))

(

(

lim

f

g

x

f

g

x

f

L

a x a

x







) )( ( f  g x

))

(

(

lim

)

)(

(

lim

f

g

x

f

g

x

a

x a

x







))

(

lim

(

g

x

f

a x



  



   

4 3

1 3

cos )

( ₂

4

x x

x x

x f

)

)(

(

)

(

x g h x

f





4 3

1 3

)

( ₂

4

   

x x

x x

x

h

_dan

_g

₍

_x

_{) = cos}

_x

Contoh Tentukan dimana fungsi

kontinu Jawab :

Fungsi f(x) dapat dituliskan sebagai komposisi dua fungsi atau

dengan

Karena h(x) kontinu di R-{-4,1} dan g(x) kontinu dimana-mana maka fungsi f(x) kontinu di R-{-4,1}

1. Diketahui           1 , 2 2 1 , 1 ) ( 2 x x x x x f

selidiki kekontinuan fungsi f(x) di x = -1 Soal Latihan

2. Agar fungsi

           2 , 3 2 1 , 1 , 1 ) ( x x x b ax x x x f

kontinu pada R, maka berapakah a + 2b ? 3. Tentukan a dan b agar fungsi

           2 , 4 2 2 , 2 4 ) ( 2 x x x x bx ax x f

Kekontinuan pada interval

 Fungsi f(x) dikatakan kontinu pada interval buka ( a,b ) bila f(x) kontinu pada setiap titik di dalam interval tersebut.

 Sedangkan f(x) dikatakan kontinu pada interval tutup [ a,b ] bila :

1. f(x) kontinu pada ( a,b ) 2. f(x) kontinu kanan di x = a 3. f(x) kontinu kiri di x = b

 Teorema 3.2

 Fungsi Polinom kontinu dimana-mana

 Fungsi Rasional kontinu pada Domainnya  Misalkan , maka

 f(x) kontinu di setiap titik di R jika n ganjil  f(x) kontinu di setiap R positif jika n genap. Contoh : tentukan selang kekontinuan

Dari teorema diatas diperoleh f(x) kontinu untuk x-40 atau x4. f(x) kontinu kanan di x=4 Sehingga f(x) kontinu pada [4, )

n

x x

f ( ) 

4 )

(x  x f

) 4 ( 0

4 lim

) ( lim

4 4

f x

x f

x

x       

f x x x x

( )   

2 ₃

3 f x x

x

( )  



2 3

4 8

f x x x

( )

| |

 _2

2

9 4

1 )

(

2 

  

x x x

f

2 4

)

(x x x

f  

A. Carilah titik diskontinu dari fungsi

B. Tentukan dimana f(x) kontinu Soal Latihan

1.

2.

3.

1.

Limit dan Kekontinuan Fungsi Komposisi

 Teorema Limit Fungsi Komposisi:

Jika dan f(x) kontinu di L, maka

 Teorema kekontinuan fungsi komposisi:

Jika g(x) kontinu di a, f(x) kontinu di g(a), maka fungsi kontinu di a.

Bukti

karena f kontinu di g(a) = f(g(a)) karena g kontinu di a = (fog)(a)

L x

g

a

x ( ) 

lim



lim ( )



( ) ))

( (

lim f g x f g x f L

a x a

x   

) )( ( f  g x

)) ( ( lim )

)( (

lim f g x f g x

a x a

x   

)) ( lim

( g x

f

a x

  



   

4 3

1 3

cos )

( ₂

4

x x

x x

x f

) )( (

)

(x g h x f  

4 3

1 3

)

( ₂

4

   

x x

x x

x

h _{dan g(x) = cos x}

Contoh Tentukan dimana fungsi

kontinu Jawab :

Fungsi f(x) dapat dituliskan sebagai komposisi dua fungsi atau

dengan

Karena h(x) kontinu di R-{-4,1} dan g(x) kontinu dimana-mana maka fungsi f(x) kontinu di R-{-4,1}