Feladatok az egyváltozós függvények témaköréből Értelmezési tartomány

  

Feladatok az egyváltozós függvények témaköréből

Értelmezési tartomány

  Határozzuk meg a következő függvények értelmezési tartományát! √ √

  1) y = 1 + x + 1 − x A négyzetgyök értelmezési tartománya miatt teljesülnie kell az alábbi feltételeknek:

  1 + x ≥ 0 és 1 − x ≥ 0 . Ezek átrendezésével: −1 ≤ x és x ≤ 1 .

  Innen az értelmezési tartomány: D f = [−1,1]. x + 1

  2) y = ₂ x − 3x A tört nevezője nem lehet 0, ami azt jelenti, hogy x 6= 0 és x 6= 3.

  További megszorítás nincs, ezért az értelmezési tartomány: D f ₂ = R \ {0,3}.

  3) y = ln x − 3x + 2

  A logaritmus miatt: ₂ x − 3x + 2 > 0 .

  A bal oldal gyökei x ^{1 = 1 és x 2 = 2. Ábrázolva a logaritmus argumentumában} lévő függvényt: Leolvasható, hogy D f _{r 2} = (−∞,1[ ∪ ]2, ∞). 5x − x

  4) y = ln

  4 A gyökjel alatti kifejezés nemnegatív kell, hogy legyen: ₂ 5x − x ² ≥ 1 =⇒ −x + 5x − 4 ≥ 0 .

  4 A másodfokú egyenlet gyökei x = 1 és x = 4, vagyis az előbbi egyenlőt- _{1 2} lenség 1 ≤ x ≤ 4 esetén teljesül. Vagyis ez épp az értelmezési tartomány D _{f = [1,4].}

  3 _y

  2

  1 x −1 _{1. ábra.}

  1

  2

  3 Az area kotangens hiperbolikusz függvény grafikonja

  3 − 2x 5) y = arc sin

  5 Az arkusz szinusz értelmezési tartománya miatt: 3 − 2x −1 ≤ ≤ 1 .

  5 Innen átrendezéssel: −5 ≤ 3 − 2x ≤ 5

  −8 ≤ −2x ≤ 2 4 ≥ x ≥ −1 . Az értelmezési tartomány tehát: D f _{p 2} = [−1,4]. 6) y = 2arc cos 9 − x

  Egyrészt a négyzetgyök értelmezési tartománya miatt: ₂ 9 − x ≥ 0 , vagyis 3 ≥ x ≥ −3.

  Másrészt az arkusz koszinusz értelmezési tartománya miatt: ₂ 0 ≤ 9 − x ≤ 1 .

  A fenti egyenlőtlenségből – az eddigieken túl – következik, hogy x ² ≥ 8 . Ez alapján x ≥

  √ 8 vagy − √ 8 ≤ x kell, hogy teljesüljön.

  A két feltétel összevetéséből az értelmezési tartomány: D f =

  −3, − √

  8 ∪

  √ 8,3 .

  Értékkészlet

  1) Határozzuk meg a következő függvények értelmezési tartományát, értékkész- letét, és ábrázoljuk a függvényt! a) y = arc sin (x + 3)

  Értelmezési tartomány: az arkusz szinusz argumentuma -1 és 1 közé kell, hogy essen. Emiatt −1 ≤ x + 3 ≤ 1 =⇒ −4 ≤ x ≤ −2. Vagyis D ^{f =} = [−4, −2]. Értékkészlet: nincs külső transzformáció, ezért R ^{f =} − ^π ₂

  , ^π ₂ .

  −4 −3 −2 −1

  1 − ^{π 2 π 2} arc sin x arc sin (x + 3) _{2. ábra.} ^{x y} Függvényábrázolás transzformációval

  b) y = 2arc cos ^x ₂ + 1 Értelmezési tartomány: az arkusz koszinusz argumentuma -1 és 1 közé kell, hogy essen. Emiatt −1 ≤ ^{x 2}

  ≤ 1 =⇒ −2 ≤ x ≤ 2. Vagyis D ^{f =} = [−2,2]. Értékkészlet: a külső transzformáció miatt R f = [1,2π + 1].

  −2 −1

  − π

  6 − ^π ₂ ^{π 2} arc tg x ←− arc tg (x − 3) ←− arc tg ^x−3 _{2 1 2} arc tg ^x−3 ₂ ^{x y} 4. ábra.

  4

  3

  2

  −2

  4 ^h .

  π

  4 ,

  = R. Értékkészlet: a külső transzformáció miatt R f = ⁱ

  1

  2 Értelmezési tartomány: Az arkusz tangens értelmezési tartományát nem szűkíti le ez a belső transzformáció, ezért D f

  − 3

  2 arc tg x

  1

  c) y =

  Függvényábrázolás transzformációval

  1 ^{π 2 π} 2π 2π + 1 arc cos x arc cos ^x ₂ 2arc cos ^x ₂ 2arc cos ^x ₂ + 1 x _{3. ábra.}

^y

  2

  Függvényábrázolás transzformációval d) y = 2sh (x + 1) Értelmezési tartomány: D f = R. Értékkészlet: R f = R.

  −2 −1

  1

  2 −4 −2

  2

  4 sh x ← sh (x + 1) 2 sh (x + 1) _x

^y

5. ábra.

  Függvényábrázolás transzformációval Paritás

  Állapítsuk meg az alábbi függvényekről, hogy párosak, vagy páratlanok, vagy nincs értelme a paritásnak! 1) y = x ³ + x Páratlan függvény, hiszen két páratlan függvény összege. 2) y = x ⁴

  − x ² Páros függvény, hiszen két páros függvény különbsége.

  3) y = 3x ² −

  2x ² x ⁶

• 1 Páros függvény, hiszen páros függvényekből áll elő. (Figyelem, y = 1 függvény is páros!)

  4) y = sin x − x ⁶ Nincs paritása, hiszen egy páros és egy páratlan függvény különbsége.

  3

  5) y = x cos x Páratlan függvény; páros és páratlan függvény szorzata páratlan. Legyen ugyanis h (x) = f (x) · g (x) a szorzatfüggvény, és f (x) páros, g (x) páratlan függvények. Ekkor: h

  (−x) = f (−x) · g (−x) = f (x) · [−g (x)] = −f (x) · g (x) = −h (x) , vagyis a h (x) függvény tényleg páratlan. _{2 6} x

• x 6) y =

  3x Páratlan függvény, mert páros és páratlan függvények hányadosa. sin 5x

  7) y = 6x Páros függvény, mert két páratlan függvény hányadosa. _{2 2}

  8) y = x sin x Páros függvény, mert páros függvények szorzata.

  Inverz függvény

  Képezzük a következő függvények inverzeit: ₃ √ ₂ x

  1) y = + 1 Látható, hogy a függvényérték mindig pozitív. Átrendezés után: _{3 2 3 2 2 3} √ ₃ x = py = y = x x

• 1 =⇒ x + 1 =⇒ y − 1 =⇒ y = − 1 .

  √ ₃ Az inverz függvény: y = x − 1.

  √ 2) y = ln 2x + 5

  √ √ _{x 2 x 1 2 x} x = ln = e .

  2y + 5 =⇒ e 2y + 5 =⇒ e = 2y + 5 =⇒ y = − 5 ₂ Az inverz függvény: _{1 2 x} y e = . ₂ − 5 √ ³ _{4 x}

  3) y = 1 + e (Nyilvánvaló, hogy a függvényérték bármely x valós szám esetén 1-nél na-

  √ ³ _{4 y 3 4 y 3} gyobb.) x = 1 + e = 4y =⇒ x − 1 = e =⇒ ln x − 1

  1 ₃ Az inverz függvény: y = ln x .

  − 1

  4 x − 5

  4) y = 6x y

  − 5 x = =⇒ 6xy = y − 5 =⇒ y (6x − 1) = −5

  6y

  5 Az inverz függvény: y = . _{2 x+3} 1 − 6x 5) y = 5 _{2 y+3} − 6 _{2 y+5} x = 5 (x + 6) = 2y + 3

  − 6 =⇒ x + 6 = 5 =⇒ log ⁵

  1 Az inverz függvény: y = [log _{5 (x + 6) − 3] .}

2 Polárkoordinátás ábrázolás

  Ábrázoljuk polárkoordináta-rendszerben az alábbi függvényeket: (Megjegyez- zük, hogy bár az alábbi ábrákon a körvonal beosztásánál megjelölt értékek fo- kokat mutatnak, ezek csak a könnyebb szemléltethetőséget szolgálják.) 1) r (ϕ) = a · ϕ _{120 90 6 8 60}

  150 ₂ ^{4 30} 180

210 330

_{240 300}

_{r = t}

_{6. ábra.}

270

_ϕ Archimédeszi spirál

  2) r (ϕ) = e 3) r (ϕ) = a (1 + cos ϕ) 4) r (ϕ) = a · cos ϕ

  200 ^{400 600 30} 210 ⁶⁰ ₂₄₀

⁹⁰

270

_{7. ábra.} ^{180 150 120 300 330}

^{r = exp(t)}

Logaritmikus spirál

  5) Írjuk fel a polártengellyel párhuzamos, és tőle 2 egységre haladó egyenes egyenletét polárkoordinátás megadásban: Az ábráról látható, hogy 2 r

  = = sin ϕ, ahonnan átrendezéssel az egyenes egyenlete : r =

  2 sin ϕ .

  6) A derékszögű koordináta-rendszer és a polár koordináta-rendszer közötti kap- csolat segítségével írjuk fel az archimédeszi spirális és a logaritmikus spirális paraméteres egyenletrendszerét!

• – Archimédeszi spirális: polárkoordinátákban r = aϕ. Ebből a megoldás: x = aϕ cos ϕ y

  = aϕ sin ϕ .

• – Logaritmikus spirális: polárkoordinátákban r = e ^ϕ

  . Innen: x = e ^ϕ cos ϕ y = e ^ϕ sin ϕ .

  ₁₂₀

  

90

_{1.5 2 60} 150 _{0.5 1} ³⁰ 180

210 330

_{240 300}

_{8. ábra.}

_{r = 1+cos(t)}

270

  Kardioid

  r ϕ a

  ϕ = 0 _{9. ábra.}

  a sugarú kör ábrázolása polárdiagramon Az r = ₂ Implicit függvénymegadás

  Milyen görbéket határoznak meg az alábbi, implicit módon megadott kifejezé- sek? _{2 2} 1) x + 8y + 4 = 0

  − 4x + y r

  2 ϕ _{10. ábra.} ϕ = 0

  A polártengelytől 2 egységre lévő egyenes

  Az x-et és y-t tartalmazó tagokat teljes négyzetté alakítjuk. Innen: _{2 2}

• (y + 4) = 16, (x − 2) ami egy (2, −4) középpontú, r = 4 sugarú kör egyenlete.
_{2 2}
• 9y

  − 18y = 0 Hasonlóan járunk el, mint a kör esetében. Az átalakítás után: _{2 2} x

  = 9 .

• 9 (y − 1) Mindkét oldalt 9-cel elosztva egy ellipszis egyenletét kapjuk:
_{2 2} x (y − 1)

  = 1. +

  9

  1 Az ellipszis középpontja (0,1), a két fél nagy- és kistengelye a = 3 és b = 1 hosszúságú. _{2 2} 3) 9x = 36

  − 4y Átalakítás után: _{2 2} x y

  = 1 . −

  4

  9 Ez egy hiperbola egyenlete.

  Paraméteres függvénymegadás

  Milyen görbéket határoznak meg az alábbi paraméteresen megadott egyenletek? ₍ x = 5 cos t

  1) y = 3 sin t _{2 2} Látható sin x + cos x = 1 alapján, hogy ezzel ekvivalens : _{2 2} x y = 1, +

  25

  9 ami egy origó középpontú, a = 5 és b = 9 fél nagy- és kistengellyel rendelkező ellipszis egyenlete. ₍ x = 5 (t − sin t)

  2) y = 5 (1 − cos t)

  Ez egy ciklois, vagyis egy olyan görbe, amit egy r = 5 sugarú kör kerületi ₍ pontja ír le, miközben a kör csúszás nélkül gördül az x tengelyen. x

  = 3t − 1 3) y

  = −t + 5 Fejezzük ki a t-t x-szel; az első egyenletből: x

• 1 t = .

  3 Ezt a második egyenletbe visszahelyettesítve: x

• 1

  1

  14 15 − x − 1

• y = x , = 5 − = −

  3 ₁

  3

  3

  3 ₁₄ meredekséggel, és b = tengelymet- ami egy egyenes egyenlete, m = − ^{3 3} szettel.

  Függvényábrázolás

  Ábrázoljuk a következő függvényeket: 1) Racionális törtfüggvény:

  3x y = 2 − x

  Rögtön látható, hogy az x = 2 egyenes aszimptota. Ezen túl érdemes meg- vizsgálni a függvény határértékeit, ezek segítik a törtfüggvény ábrázolását.

  3x lim = _x→∞ = −3 2 − x 3x lim = _x→2− = +∞ 2 − x

  3x lim = _x→2+ = −∞ 2 − x A függvény grafikonja tehát:

  2) Teljes négyzetté alakítás: _{2 2 h i 2 2} y = 4x = 4 − 16x = 4 x − 4x (x − 2) − 4 = 4 (x − 2) − 16 . ₂ A függvény grafikonját az y = x függvényből kiindulva transzformációkkal képezzük:

  −10 −5

  5

  3 √ x

  √

  √ 3x − 6 =

  3) Négyzetgyököt tartalmazó függvény: y =

  Másodfokú függvény transzformációja

  10 _y = x

²

←− y = (x − 2) ² ←− y = 4 (x − 2) ² y = 4 (x − 2) ² − 16 ^{x y} 12. ábra.

  10 −16

  2

  5

  2

  Transzformált reciprokfüggvény grafikonja −10 −5

  10 y = 3x 2 − x _x ^y 11. ábra.

  5

  10 −10 −3

  5

  − 2 y _{y x} √ √ = 3 − 2

  3

  2 _{y x} √ = _{y x} √ = − 2

  1 _{x 13. ábra.}

  2

  4

  6

  9 Gyök függvény transzformációja

  4) Reciprok függvény

  1 y = ₃

  (x − 2)

  4 _y

  2 _y

  1 = ₃ (x − 2) _{x y}

  1 = _{x 3} −2 −4

  2

  4

  6 −2 _{14. ábra.}

  Törtfüggvény transzformációval