REGRESI KUADRAT TERKECIL UNTUK KALIBRASI BANGUNAN UKUR DEBIT

  

R E G R E S I K U A D R A T T E R K E C I L

U N T U K K A L I B R A S I

B A N G U N A N U K U R D E B I T

  oleh Ir. Djoko Luknanto, M.Sc., Ph.D. Oktober 1992

  

Penjelasan Cara Regresi

Untuk Aplikasi di Lapangan

  P R A K A T A

  Buku kecil yang berjudul “Regresi Kuadrat Terkecil Untuk Kalibrasi Bangunan Ukur Debit” ini berisikan penjelasan singkat mengenai cara regresi untuk bangunan ukur debit. Buku ini tidak menjelaskan secara rinci teori-teori statistik yang mendukung analisis regresi, karena diluar lingkup dari buku ini. Pembaca yang ingin mengetahui analisis regresi diharapkan mencari dari acuan-acuan diluar buku ini.

  Buku ini lebih merupakan petunjuk praktis bagi mahasiswa S1 maupun praktisi di lapangan. Dalam buku ini prinsip umum regresi dijelaskan secara singkat, kemudian aplikasinya untuk bangunan ukur debit dijelaskan. Walaupun penjelasannya hanya untuk bangunan ukur debit, namun konsep regresi ini dapat digunakan untuk setiap permasalahan di lapangan, asalkan variabel tak bebasnya masih tunggal.

  Semoga buku kecil ini berguna, kritik membangun sangatlah diharapkan.

  Yogyakarta, Oktober 1992 Ir. Djoko Luknanto, M.Sc., Ph.D.

  Penyusun

  DAFTAR ISI

  halaman

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  DAFTAR GAMBAR

  halaman

Gambar 1.1. Kurva regresi y = y(x) beserta data yang diwakilinya...............2Gambar 1.2. Visualisasi konsep koefisien korelasi.........................................10

1. TINJAUAN UMUM REGRESI 1.1.

  PENDAHULUAN

  Dalam kalibrasi suatu bangunan ukur debit akan dilakukan pengukuran elevasi muka air dan debit yang melewati bangunan tersebut sebagai data primer. Dari data primer yang terkumpul akan dilakukan suatu analisis korelasi antara debit dengan elevasi muka air. Secara matematis terdapat banyak metode untuk mendapatkan korelasi tersebut, misalnya metode beda terbagi, polinomial interpolasi, polinomial minimum, dan polinomial kuadrat terkecil.

  Didalam suatu pekerjaan di lapangan, seperti kalibrasi bangunan ukur, pemakaian analisis korelasi seharusnya tidak murni dilakukan secara matematis. Analisis korelasi suatu kejadian dilapangan haruslah memperhatikan hukum-hukum fisika yang berlaku pada kejadian itu sendiri. Pada kasus bangunan ukur debit ambang lebar, secara fisika, hubungan antara debit dengan elevasi muka air mempunyai bentuk korelasi yang sudah tertentu. Analisis korelasi yang akan dilakukan haruslah mengacu pada bentuk tersebut.

  Dibawah ini akan dijelaskan secara rinci cara analisis korelasi bangunan ukur debit ambang lebar dengan menggunakan polinomial kuadrat terkecil yang sesuai dengan hukum fisika yang mengaturnya. Selanjutnya istilah metoda korelasi menggunakan polinomial kuadrat terkecil akan diganti istilah regresi kuadrat terkecil.

1.2. REGRESI KUADRAT TERKECIL

  Pada prinsipnya analisis regresi adalah pencarian suatu kurva yang mewakili hubungan satu set data. Regresi kuadrat terkecil adalah suatu regresi dengan konstrainnya adalah jumlah kuadrat jarak vertikal setiap titik dalam data dengan kurva regresi menjadi minimum.

  Dalam Gambar 1.1 disajikan satu set data hasil pengukuran (x , y )

  i i

  untuk i = 1, 2, …, N, dengan N adalah jumlah data atau jumlah pengukuran. Dalam Gambar 1.1 disajikan pula kurva sembarang y = y(x) yang menggambarkan korelasi teoretis antara x dengan y. Dalam kalibrasi bangunan ukur dapat dibayangkan bahwa y mewakili debit dan x mewakili elevasi muka air.

  x N ,y N y N d x

  

3 ,y

  3

d

  3 N-1 d d

  2 y=y(x i )

N-1 N-1

  x ,y x 2 ,y

  2 d

  1 i i i

  Jarak: d = y(x )- y

  x 1 ,y

  1 x

Gambar 1.1. Kurva regresi y = y(x) beserta data yang diwakilinya

  Definisi: Dari semua kurva pendekatan terhadap satu set data, kurva yang

  2

  2

  2 ... d d d + + + mempunyai sifat bahwa nilai

  1

  2 N adalah minimum, tuk Kalibrasi Baru.doc (222 Kb) n U disebut dengan kurva terbaik yang mewakili data.

  Kurva yang mempunyai sifat itu disebut dengan kurva kuadrat terkecil. Kurva itu sendiri secara teoretis dapat berupa garis, parabola,

  tk Kalibrasi\Regresi atau polinomial berderajad tinggi maupun kurva-kurva jenis yang lain.

  Jadi analisis regresi tidak memberikan petunjuk kurva jenis yang mana

  yang harus dipakai, tetapi analisis ini memberikan untuk satu jenis kurva (misalnya garis lurus) yang terbaik mewakili data.

  1.3. REGRESI GARIS LURUS

  Untuk mengenalkan konsep analisis regresi kuadrat terkecil akan diawali dengan analisis regresi garis lurus. Pada kasus ini diandaikan terdapat satu set data pengukuran (x ,y ), (x ,y ), …, (x ,y ) yang akan

  N N

  1

  1

  

2

  2

  diwakili dengan garis lurus

  y = a + bx (1.1)

  dengan a dan b adalah konstanta yang akan dihitung dengan metode kuadrat terkecil.

  Pertama kali adalah dihitung jarak vertikal setiap datum dengan garis lurus diatas

  d = a + bx – y (1.2) i i i

  Dalam Pers.(1.2) harus diingat bahwa (x , y ) telah diketahui dari data

  i i

  2

  

2

  2 ...

  ∆ = d d d + + +

  pengukuran. Jika disyaratkan agar

  1

  2 N harus minimum,

  maka syarat itu mempunyai makna bahwa

  2

  2

  2

  ∂ ∆ ∂ ...

  = d d d = + + +

  1

  2 ( N )

  ∂ a ∂ a 2 ...

  = d d d ) =

  ( + + +

  1

  2 N N

  2 = ( + a bx − y ) =

  i i ∑ i

  1 = N N

• atau aN b x = y

  (1.3a)

  i i ∑ ∑ i 1 i

  1 = = tuk Kalibrasi Baru.doc (222 Kb) n

  2

  2

  2

  ∂ ∆ ∂

   U ...

  = d d d = + + +

  (

  1

  2 N )

  ∂ b ∂ b 2 ...

  = ( d x d x d x ) = + + +

  1

  1

  2

  2 N N N

  2 = ax bx − x y =

• 2

  ( i i i i ) ∑ tk Kalibrasi\Regresi i =

  1

  N N N

  2

  i i i i ∑ ∑ ∑ i 1 i 1 i

  atau a x b x = x + y (1.3b)

  1 = = =

  Dalam bentuk matrik Pers.(1.3a) dan (1.3b) dapat ditulis sebagai berikut

  N N ⎡ ⎤ ⎧ ⎫

  N x y i i

  ∑ ∑ ⎢ ⎥ a

  ⎧ ⎫ ⎪⎪ ⎪⎪ i 1 i

  1 = = ⎢ ⎥ = (1.3c)

  N N ⎨ ⎬ ⎨ N ⎬

  2 b

  ⎢ ⎥ ⎩ ⎭ ⎪ ⎪ x x x y i i i i

  ∑ ∑ ∑ ⎢ ⎥ ⎪ ⎪ i 1 i 1 i

  1 = = = ⎣ ⎦ ⎩ ⎭

  Dari Pers.(1.3c) dapat dihitung nilai konstanta a dan b, yang dapat dinyatakan sebagai

  N N N N

  2

  ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ y ⎟ ⎜ x ⎟ − ⎜ x ⎟ ⎜ x y ⎟

  i i i i i ∑ ∑ ∑ ∑ i 1 i 1 i 1 i

  ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

  

1

= = = =

  a

  =

  2 N N

  2

  ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

  N x − x

  ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

  i i ∑ ∑ i 1 i

  ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (1.4)

  1 = =

  N N N

  ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

  N x y x y

  ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

  i i i i ∑ ∑ ∑ i 1 i 1 i

  ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

  1 = = =

  b =

  2 N N

  ⎛

  2 ⎞ ⎛ ⎞ N ⎜ x ⎟ − ⎜ x ⎟ i i

  ∑ ∑ i = 1 i =

  1

  ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Setelah koefisien a dan b dihitung berdasarkan Pers.(1.4), maka persamaan regresi garis lurus seperti tercantum dalam Pers.(1.1) dapat ditentukan.

  Pers.(1.3) lebih mudah diingat daripada Pers.(1.4), karena Pers.(1.3) dapat diturunkan dengan mudah dari Pers.(1.1) sebagai berikut:

  N Pers.(1.1) Koefisien dari

  ( × a ) ∑ i =

1 N

  1 ⇒ ( y = a bx ) + × (1.5a) ∑ i =

  1 tuk Kalibrasi Baru.doc (222 Kb) n

  N N U

• ⇒ y = aN b x

  i i ∑ ∑ i = 1 i =

  1

  dan

  tk Kalibrasi\Regresi

  N Pers.(1.1) Koefisien dari

  ( × b ) ∑ i =

1 N

  ⇒ ( y = a bx ) × x + (1.5b) ∑ i

  1 = N N N

  ⇒ x y = a x b x i i i i

• 2

  ∑ ∑ ∑ i 1 i 1 i

  1 = = =

  Pers.(1.5) tidak lain adalah Pers.(1.3). Untuk memudahkan mengingat-ingat, maka cara untuk mendapatkan Pers.(1.5) sangat dianjurkan dibanding dengan cara untuk mendapatkan Pers.(1.3). Untuk memahami prinsip regresi kuadrat terkecil penjabaran Pers.(1.3) harus dimengerti secara rinci.

1.4. REGRESI PARABOLIS

  Sejalan dengan regresi garis lurus, maka regresi parabolis dapat pula dijabarkan dengan dua cara pemahaman diatas. Untuk kepentingan praktis maka disini akan dicantumkan hasilnya saja. Persamaan regresi parabola mempunyai bentuk:

  2 y = a + bx + cx

  (1.6) dengan a, b, dan c adalah konstanta yang nilainya dapat dihitung dengan menyelesaikan tiga sistem persamaan linier yang didapat dari analogi pada regresi garis lurus, Pers.(1.5), sebagai berikut:

  N N N

  

2

y = aN b x c x + + i i i

  ∑ ∑ ∑ i 1 i 1 i

  1 = = = N N N N

  2

  3 x y = a x b x c x + +

  (1.7a)

  i i i i i ∑ ∑ ∑ ∑ i 1 i 1 i 1 i

  1 = = = = N N N N tuk Kalibrasi Baru.doc (222 Kb) n

  2

  2

  

3

  4 U x y = a x b x c x + + i i i i i

  ∑ ∑ ∑ ∑ i 1 i 1 i

1 i

  1 = = = =

  jika diselesaikan akan menghasilkan koefisien sebagai berikut:

  2 )( 1 ) ( )( 2 ) ( )( 3 )

  Sx y D Sxy D Sy D

  −

• tk Kalibrasi\Regresi (

  a =

  7 D

  2 )( 4 ) ( )( 2 ) ( )( 5 )

  Sx D − Sy D N D b =

• (

  7 D ( )( 1 ) ( )( 4 ) ( )( 6 )

  Sy D − Sx D − N D c = (1.7b)

  7 D dengan

  2 1 ( 2 ) ( )( 3 )

  D = Sx − Sx Sx 2 ( 2 )( 3 ) ( )( 4 )

  D = Sx Sx − Sx Sx

  2 3 ( 3 ) ( 2 )( 4 )

  D = Sx − Sx Sx 4 ( 2 )( ) ( )(

2 )

  D = Sx Sxy − Sx Sx y (1.7c) 5 ( 2 )( 3 ) ( 4 )( )

  D = Sx y Sx − Sx Sxy 6 ( 2 )( 2 ) ( 3 )( )

  D = Sx Sx y − Sx Sxy

  2 )( 1 ) ( )(

2 ) ( )(

3 ) D = Sx D − Sx D N D

• +

  7 (

  sedangkan

  N N

m

dan , 2 , 3 ,

  ∑ ∑ i 1 i

  4 Sx x Sxm x m = = = i i

  1 = = N N

m

dan , 2 , 3 ,

  4 Sy = y Sym = y m = (1.7d) i i

  ∑ ∑ i 1 i

  1 = = N N

  2 dan

  2 Sxy = x y Sx y = x y i i i i

  ∑ ∑ i 1 i

  

1

= =

  Dalam bentuk matriks Pers.(1.7a)

  N N N N ⎡ 2 ⎤ ⎧ ⎫

  1 x x y i i i

  ∑ ∑ ∑ ∑ ⎢ ⎥ ⎪ ⎪ i 1 i 1 i 1 i

  1 = = = = a

  ⎧ ⎫ ⎢ ⎥ ⎪ ⎪ N N N N

  2

  3 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎢ ⎥ x x x b = x y (1.7e) i i i i i

  ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ∑ ∑ ∑ ∑

  ⎢ ⎥ i 1 i 1 i 1 i

  1 = = = = ⎪ ⎪ ⎪ ⎪

  N N N c N ⎢ ⎥ ⎩ ⎭

  2

  3

  4

  2 ⎪ ⎪ ⎢ ⎥ x x x x y i i i i i

  ∑ ∑ ∑ ∑ ⎪ ⎪ ⎢ i

  1 i 1 i 1 ⎥ i

  1 = = = = ⎣ ⎦ ⎩ ⎭ tuk Kalibrasi Baru.doc (222 Kb) n U 1.5. REGRESI POLINOMIAL

  Untuk polinomial derajad tiga atau lebih persamaan kurvanya adalah

  tk Kalibrasi\Regresi m y = a + a x + … + a x (1.8)

  1 m

• +

  = = = = =
• =

  = =

• +

  = = = = = − = =

  1

  2

  1

  1

  

2

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  N i i N i y x y x y x y a a a a x x x x x x x x x x x x x x x

  N i m i

  N i

m

i

  N i i N i i

  N i m i

  N i

m

i

  N i m i

  N i m i

  N i m i

  1

  1

  N i m i

  2

  Konsep regresi garis lurus dan regresi polinomial dapat dikembangkan untuk mendapatkan regresi multi-variabel. Untuk kemudahan menerangkan konsepnya, maka dipakai contoh regresi dua variabel. Persamaan regresi dua variabel dapat ditulis dalam bentuk:

  (1.9a) Penyelesaian (m+1) sistem persamaan linier, Pers.(1.9), tidak akan dijelaskan disini, karena diluar lingkup pembahasan buku praktis ini. Cara penyelesaian secara rinci dapat dilihat didalam buku-buku analisis numeris ataupun matrik.

  1 M M L L M M M M M L L

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  2

  1

  2

  1

  N i

m

i

  N i m i

  1

  1

  1

  1

  2

  N i m i

  

1

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  2

  1

  1

  N i i N i

m

i m N i i y x x a x a x a y x x a x a x a N y x a x a a

  N i i N i i

  1

  1

  N i i m i N i

m

i m N i m i N i m i N i i i

  untuk i = 0 s/d m adalah konstanta yang dapat dihitung dengan cara yang sama seperti dijelaskan di atas. Secara umum a

  N i

m

i

  N i i i N i i m m

  N i i m i N i i m i

  =

  dengan m adalah derajad polinomialnya dan a

  = − = = −

  i

  i

  1 L M L L

  dapat dihitung dari sistem (m+1) persamaan linier sebagai berikut: (1.9)

  ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑

  ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥

  = ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪

  = = =

  = + + + = + + + = + + +

  Dalam bentuk matriks Pers.(1.9)

  N i m i m

• = =

  −

  = = = −

  ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫

  ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧

  ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤

  ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡

  ∑ ∑ ∑ ∑

  ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑

  = = − =

  =

1.6. REGRESI MULTI-VARIABEL

  tk Kalibrasi\Regresi U n tuk Kalibrasi Baru.doc (222 Kb)

1 Dalam bentuk matriks Pers.(1.11)

  tk Kalibrasi\Regresi U n tuk Kalibrasi Baru.doc (222 Kb) z = a + a

  N i

i

N i i

1 Untuk regresi multi-variabel penjabarannya adalah sejalan dengan penjabaran di atas, jadi tidak akan diulangi disini.

  1

  1

  N i i N i

z y

z x

z

a a a y y x y y x x x y x

  N i i N i i

  N i i i N i i

  N i i i N i i

  = = = = = = = = = =

  N i

i i

N i

i i

  2

  ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ = =

  ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑

  ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡

  ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤

  ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥

  1

  1

  1

  1

  Y = A + BX (1.12)

  yang dapat diubah menjadi ln(y) = ln(a) + [ln(b)]•x, kemudian dapat ditulis menjadi:

  x

  Kurva exponensial mempunyai bentuk y = ab

  Ada beberapa bentuk kurva yang bentuknya, jika dialihragamkan akan menjadi bentuk-bentuk yang sudah dijelaskan diatas. Bentuk-bentuk kurva ini akan dijelaskan dibawah ini.

  1

  1

  1 x + a

  1

  2

  1

  1

  1

  1

  2

  = ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫

  ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧

  ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪

  = = = = = = = = = = =

  N i i N i i

  N i i N i i

  N i i i N i i i

  N i i i N i i

  N i i i N i i

  = + + = + + = + +

  ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑

  N z y a x a a

  (1.11)

  adalah konstanta yang dicari. Konstanta ini dapat dihitung seperti metode yang sebelumnya dipakai di atas; yaitu dengan menyelesaikan sistem tiga persamaan linier dibawah ini.

  2

  , dan a

  1

  dengan a , a

  2 y (1.10)

  N i i z y y a y x a y a z x y x a x a x a

  1

  (1.11a)

  1

  1

  2

  1

  1

  1

  1

  2

  1

  2

  1

  1

  1

  1

  1

  2

  2

1.7. REGRESI DENGAN BENTUK TENTU

1.7.1. Kurva Exponensial

  dengan Y = ln(y), A = ln(a), B = ln(b), dan X = x. Pers.(1.12) jelas merupakan kurva linier.

  1.7.2. Kurva Geometris b

  Kurva geometris mempunyai bentuk y = ax yang dapat diubah menjadi ln(y) = ln(a) + b ln(x)], kemudian dapat ditulis menjadi:

  Y = A + BX (1.13)

  dengan Y = ln(y), A = ln(a), B = b, dan X = ln(x). Pers.(1.13) jelas merupakan kurva linier.

  1.7.3. Kurva Logaritmis

  Kurva logaritmis mempunyai bentuk y = a + b ln(x) yang dapat ditulis menjadi:

  Y = A + BX (1.14)

  dengan Y = y, A = a, B = b, dan X = ln(x). Pers.(1.13) jelas merupakan kurva linier pula.

  Untuk kurva-kurva yang lain yang tidak dibahas disini, dapat diusahakan untuk diubah menjadi bentuk-bentuk yang sudah dibahas di atas, sehingga penyelesaiannya dapat dilakukan.

1.8. KOEFISIEN KORELASI

  Dalam analisis regresi, tanpa mempertimbangkan korelasi fisika

  tuk Kalibrasi Baru.doc (222 Kb) n yang berlaku pada suatu data, secara matematis dapat dipilih kurva yang U

  mana yang paling sesuai dengan data tersebut. Penentuan kurva yang paling mewakili data tersebut dapat diperoleh dengan menghitung nilai koefisien korelasi untuk setiap kurva regresi yang dicoba. Kurva yang memberikan nilai absolut koefisien korelasi paling tinggi merupakan

  tk Kalibrasi\Regresi kurva yang paling mewakili data yang dianalisis.

  Koefisien korelasi, r, didefinisikan sebagai

1.8.1. Garis Lurus

  ) (

  − =

  ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ = = = = = = =

  2

  1

  1

  2

  2

  1

  1

  2

  

1

  1

  1

  N i i N i i

  ⎟ ⎠ ⎞

  N i i N i i

  N i i N i i

  N i i i

  N y y x x N N y x y x r

  (1.16)

  x x 1 ,y

  1 x 2 ,y

  2 x 3 ,y

  3 x N-1 ,y N-1 y=f(x i ) y y

  N − y f

  N

  −

  y

  ⎜ ⎝ ⎛

  tk Kalibrasi\Regresi U n tuk Kalibrasi Baru.doc (222 Kb)

  ( ) ( ) ∑ ∑

  1

  = =

  − −

  ± =

  N i i N i i y y y f r

  1

  2

  1

  2

  , dengan

  N y y

  N i i

  ∑ =

  =

  (1.15) dengan f

  − ⎟ ⎠ ⎞

  i

  adalah nilai kurva regresi pada titik i, y

  i

  adalah nilai data pada titik i.

Gambar 1.2. Visualisasi konsep koefisien korelasi

  x N ,y N y

  Untuk kurva regresi garis lurus dengan persamaan y = a + bx, maka koefisien korelasinya dapat ditulis sebagai ⎥ ⎥ ⎦ ⎤

  ⎢ ⎢ ⎣ ⎡

  ⎟ ⎠ ⎞

  ⎜ ⎝ ⎛

  − ⎥ ⎥ ⎦ ⎤

  ⎢ ⎢ ⎣ ⎡

  ⎟ ⎠ ⎞

  ⎜ ⎝ ⎛

  ⎜ ⎝ ⎛

1.8.2. Kurva Parabolis

2 Sx c b Sx c N C

  ) )( ) 2 ( )( (

  Untuk kurva regresi garis lurus dengan persamaan y = a + bx + cx

  2

  , maka koefisien korelasinya dapat ditulis sebagai

  [ ] [ ] [ ]

• = −

  ) )( ) 4 ( )(

  ) 3 ( )( ( ) )(

  ) 3 ( )( ) 2 ( )( (

  ) ( 2 )( ) (

  2

  Sx c b Sx b N B Sx c b Sx A Sy N Sy D B A r

  − − =

  (1.17) dengan simbol-simbol sama dengan Pers.(1.7).

• =
• =

1.8.3. Kurva Polinomial dan Multi-Variabel

  Untuk kurva polinomial berderajad tiga keatas serta kurva multi- variabel koefisien korelasi, r, lebih mudah kalau dihitung langsung dengan Pers.(1.15).

  tk Kalibrasi\Regresi U n tuk Kalibrasi Baru.doc (222 Kb)

  2. REGRESI UNTUK BANGUNAN UKUR AMBANG LEBAR

  Untuk bangunan ukur debit dimana formulasi debitnya sudah tertentu, analisis regresi harus dilakukan sesuai dengan formulasi itu. Untuk bentuk formulasi yang telah tentu, analisis regresi dipakai untuk mencari koefisien-koefisien yang diperlukan sehingga formulasi debit mendekati atau sesuai dengan data pengukuran.

  Dibawah ini akan dijelaskan secara rinci cara analisis regresi untuk bangunan ukur debit ambang lebar baik untuk aliran bebas maupun menyelam.

2.1. UNTUK ALIRAN BEBAS

  Bentuk umum formulasi debit pada bangunan ukur debit ambang lebar aliran bebas adalah ⎛ ⎞

  2 2 n

  Q = g C Bh

  (1.18a)

  d u

  ⎜⎜ ⎟⎟

  3

  3 ⎝ ⎠ atau dapat ditulis dalam bentuk yang lebih umum

  n Q = C h

  (1.18b)

  r u

  dengan Q adalah debit aliran, h adalah tinggi muka air disebelah hulu

  u

  mercu bangunan ukur (diukur dari mercu bangunan), dan C , n adalah

  r konstanta regresi yang dicari.

  Pers.(1.18b) sesuai dengan kurva geometris, sehingga dapat diubah sesuai dengan bentuk Pers.(1.13) yaitu ln(Q) = ln(C ) + (n) ln(h ) (1.18b)

  r u

  atau

  Y = a + bX

  (1.18c) dengan konstanta a dan b dihitung dengan Pers.(1.4) yang ditulis lagi seperti dibawah ini:

  N N N N

  ⎛ ⎞ ⎛

  2 ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

  ⎜ Y ⎟ ⎜

  X ⎟ − ⎜ X ⎟ ⎜

  X Y ⎟ i i i i i

  ∑ ∑ ∑ ∑

  1

  1

  1

  

1

i = i = i = i =

  ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

  a =

  

2

N N

  2

  ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

  N ⎜ X ⎟ − ⎜ X ⎟ i i

  ∑ ∑ i 1 i

  ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (1.4)

  1 = =

  N N N

  ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

  N ⎜

  X Y ⎟ − ⎜ X ⎟ ⎜ Y ⎟ i i i i

  ∑ ∑ ∑ i 1 i 1 i

  ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

  1 = = =

  b

  =

  2 N N

  ⎛

  2 ⎞ ⎛ ⎞ N X −

  X

  ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

  i i ∑ ∑ i 1 i

  ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ dengan nilai x diganti dengan ln(h ) dan nilai y diganti dengan ln(Q ).

  1 = =

  i u i i

  Setelah nilai a dan b dihitung dari Pers.(1.4), maka nilai n dan C dihitung

  r

  sebagai berikut:

  n = b dan C = Exp(a) (1.19) r 2.2.

UNTUK ALIRAN MENYELAM

  Bentuk umum formulasi debit pada bangunan ukur debit ambang lebar aliran menyelam adalah

  n 2 ( )

  Q = C BH g h − h (1.20a) d i u i

  atau dapat ditulis dalam bentuk yang lebih umum

  tuk Kalibrasi Baru.doc (222 Kb) n n

   U

  ∆h

  Q = C r h i (1.20b)

  dengan Q adalah debit aliran, h adalah tinggi muka air di sebelah hilir

  i

  mercu bangunan ukur (diukur dari mercu bangunan), ∆h adalah selisih muka air dihulu dan dihilir mercu bangunan (h –h ), dan C , n adalah

  tk Kalibrasi\Regresi u i r konstanta regresi yang dicari.

  Pers.(1.20b) dapat diubah menjadi bentuk umum polinomial dengan dua variabel sebagai berikut: ln(Q) = ln(C ) + ln(h ) + (n) ln(∆h) (1.20c)

  r i

  atau

  

Z = a + X + b Y (1.20d)

  dengan a dan b adalah konstanta yang harus dicari dengan analisis regresi sebagai berikut:

  N N N

• aN x b y = z

  i i i ∑ ∑ ∑ i 1 i 1 i

  1 = = =

  (1.21a)

  N N N N

  2 a y x y b y = y z

  i i i i i i ∑ ∑ ∑ ∑ i 1 i 1 i 1 i

  1 = = = =

  atau

  N N N

• aN b y = z − x

  i i i ∑ ∑ ∑ i = 1 i = 1 i =

  1

  (1.21b)

  N N N N

  a y b y = y z − x y i i i i i i

• 2

  ∑ ∑ ∑ ∑ i 1 i 1 i 1 i

  1 = = = =

  Jika disimbolkan sebagai sistem dua persamaan linier:

  p = q a + r b dan p = q a + r b (1.21c)

  1

  1

  1

  2

  2

  

2

  maka a dan b dapat dihitung dengan rumus

  p r − r p q p − p q

  1

  2

  1

  2

  1

  2

  1

  2 dan a = b =

  (1.22a)

  q r r q q r r q − −

  1

  2

  1

  2

  1

  2

  

1

  2

  dengan

  N N

  ( ) , ,

  p z x q N r q y

  = − = = =

  1 i i i

  1 2 i ∑ ∑ i 1 i

  1 = =

  (1.22b)

  N N

  2 tuk Kalibrasi Baru.doc (222 Kb)

  ( ) ,

  p y z x r y n = [ − ] =

  2 i i i 2 i ∑ ∑

   U i 1 i

  1 = =

  Persamaan kurva regresi yang dipakai adalah Pers.(1.20b) dengan konstanta regresinya dihitung dengan rumus

  tk Kalibrasi\Regresi n = b dan C = Exp(a) (1.23) r

DAFTAR PUSTAKA

  Carnahan, Brice, H.A. Luther, James O. Wilkes, Applied Numerical Methods, John Wiley & Sons, New York, 1969. Spiegel, R. Murray, Theory and Problems of Statistics, Schaum’s Outline

  Series, McGraw-Hill International Book Company, Singapore, 1981. Al-Khafaji, Amir Wahdi, John R.Tooley, Numerical Methods in

  Engineering Practice, Holt, Rinehart and Winston, Inc., New York, 1986. Anonim, fx–7000G Owner’s Manual, CASIO® Atkinson, Kendall E., An Introduction to Numerical Analysis, John Wiley & Sons, New York, 1989. James, M.L., G.M. Smith, J.C. Wolford, Applied Numerical Methods for

  Digital Computation with Fortran and CSMP, 2

  nd

  Edition, Harper International Edition, New York, 1977.