Mengevaluasi Pernyataan dengan Tabel Kebenaran
Mengevaluasi
Pernyataan dengan
Tabel Kebenaran
Oleh Kelompok 2:
Gito Firgono
Eva Fauziah
Husnul Khotimah
Risya Radhianti
Membuat Tabel
Kebenaran
dan
Mengenal Operatoroperatornya
Membuat Tabel
Kebenaran
Empat langkah sederhana dalam membuat tabel
kebenaran :
1. Mengatur baris atas tabel dengan masingmasing konstant
dikiri dan pernytaan disebelah kanan
2. Menentukan baris tambahan sesuai dengan
kebutuhan
pengisian tabel
3. Mengatur kolom konstan dengan setiap
kemungkinan nilai
kebenaran
4. Menggambar baris horisontal diantara baris
dan vertikal
Mengenal Operator
Perangkai/ Operator
Simbol
Dan (and)
Atau (or)
Tidak/ bukan (not)
~
Jika… maka… (if… then….)
→
Jika dan hanya jika (if and only if)
↔
DAN
Bernilai benar (T) jika kedua pernyataannya bersifat benar
(T)
ATAU
Bernilai salah (F) jika kedua pernyataannya bersifat salah
(F)
TIDAK/ BUKAN
Berkebalikan. Contoh :
P
~P
T
F
JIKA ... MAKA
Bernilai salah (F) jika pernyataan pertama bersifat benar
(T) dan pernyataan kedua bersifat salah (F)
P↔Q
P
Q
JIKA DAN HANYA
JIKA
T
T
T
T
F
F
F
T
F
F
F
T
Mengenal Tautologi,
Kontradiksi dan
Kontingen
Tautologi
Suatu tautologi adalah pernyataan yang
selalu benar, terlepas dari nilai-nilai
kebenaran dari konstanta. Sebagai contoh,
Buktikan
: apakah (A v ~A) adalah
tautologi?
Bukti : Abuatlah tabel
kebenarannya
~A
A ~A
F
T
T
T
F
T
Jadi (A ~A) adalah tautologi.
Kontradiksi
Suatu kontradiksi adalah pernyataan yang
selalu salah, terlepas dari nilai-nilai
kebenaran dari konstanta. Sebagai contoh,
Buktikan : apakah (A & ~A ) adalah
kontradiksi?
Bukti: buatlah
tabel
kebenarannya
A
~A
A & ~A
F
T
F
T
F
F
Jadi (A & ~A) adalah kontradiksi.
Kontingen
Sebuah pernyataan kontingen adalah suatu
ekspresi logika yang mempunyai nilai benar
dan salah di dalam tabel kebenarannya.
Sebagai contoh,
Buktikan : ((A & B) → C)→ A
Bukti
: BbuatC tabelA &kebenarannya
A
B
((A & B) → C)
((A & B) → C)→ A
F
F
F
F
T
F
F
F
T
F
T
F
F
T
F
F
T
F
F
T
T
F
T
F
T
F
F
F
T
T
T
F
T
F
T
T
T
T
F
T
F
T
T
T
T
T
T
T
Mengenal Simantik
Kesetaraan, Konsistensi
dan Validitas
Menilai Semantik
Kesetaraan
Penggunaan tabel kebenaran untuk
mengevaluasi pernyataan dalam semua
kemungkinan kombinasi nilai-nilai kebenaran
untuk konstanta.
Sebagai contoh:
~P v Q
P→Q
Pertanyaan:
Apakah dua pernyataan diatas setara?
untuk mengevaluasi kebenaran pernyataan di atas kita lihat tabel di bawah ini
P
Q
T
T
F
F
T
F
F
P
T
→
Q
~
P
ν
Q
langkah pertama untuk mengisi tabel
adalah dengan menyalin nilai dari
setiap konstan ke kolom yang tepat:
P
Q
P
→
Q
~
P
ν
Q
T
T
T
T
T
T
T
F
T
F
T
F
F
T
F
T
F
T
F
F
F
F
F
F
kedua, menangani berbagai ~operator yang
berlaku langsung pada yang konstan
P
Q
→
ν
Q
~
P
T
T
F
T
T
T
F
T
F
F
T
F
F
T
F
T
T
F
T
F
F
F
F
T
F
F
T
P
T
Q
ketiga, menyelesaikan evaluasi
pada kedua pernyataan terpisah
P
Q
P
→
Q
~
P
ν
Q
T T
T
T
T
F
T
T
T
T F
T
F
F
F
T
F
F
F T
F
T
T
T
F
T
T
F F
F
T
F
T
F
T
F
Konsistensi
Keadaan konsisten terjadi ketika satu set
pernyataan menghasilkan nilai kebenaran
yang sama, sebagai contoh kalimat
pernyataan di bawah ini:
P v ~Q
P→Q
P ↔ ~Q
untuk mengevaluasi pernyataan di
atas kita lihat tabel kebenaran berikut
P
ν
~
Q
T T T
T
F
T
T F T
T
T
F
F T F
F
F
T
T
T
F
P
Q
F
F
F
P
→
Q
P
↔ ~
Q
— — — — — — —
dan kita lihat pada tabel berikut ini, dengan
pengulangan prosesnya dari dua pernyataan
memberikan hasil sebagai berikut:
P
Q
P
ν
~
Q
P
→
Q
P
↔ ~
Q
T T
T
T
F
T
T
T
T
T
F
T
T F
T
T
T
F
T
F
F
— — — —
F T
F
F
F
T
— — — — — — —
F
F
F
T
T
F
F
F
F
F
F
F
T
F
Jika setiap baris tebel kebenaran setidaknya memiliki satu pernyataan
yang kita lihat sabagai pernyataanya tidak benar (palsu), maka
pernyataanya tidak konsisten. dan jika tabel kebenaranya memiliki satu
pernyataan yang kita lihat pernyataanya tidak konsisten maka hasilnya
konsisten.
Validitas
Argumen yang tidak benar, ketika semua
tabel adalah benar, kesimpulanya pun harus
benar.
Kita lihat contoh di bawah ini:
P & Q
R →~ P
kesimpulannya:
~Q↔R
berikut ini tabel kebenaran yang perlu disiapkan
untuk mengevaluasi pernyataan di atas
P
Q
R
T
T
T
T
T
F
T
F
T
T
F
F
F
T
T
F
T
F
P
Λ
Q
R
→
~
P
~
Q
↔
R
pada bagian “tetap konsisten” kita dapat melihat
pernyataan sebelumnya dan bisa melihat pernyataan
selanjutnya, dan berikut tabel pernyataan pertama
yang telah di tentukan:
R
→
~
P
~
Q
↔
R
F
—
—
—
—
—
—
—
—
F
F
—
—
—
—
—
—
—
—
F
F
T
—
—
—
—
—
—
—
—
F
F
T
—
—
—
—
—
—
—
—
Q
R
P
Λ
Q
T T
T
T
T
T
T T
F
T
T
T
T F
T
T
F
T F
F
T
F T
T
F T
F
P
berikut adalah hasil akhir dari
contoh di atas
P Q R P
Λ
Q
R
→
~
P
~
Q
↔
R
T T T
T
T
T
T
F
F
T
—
—
—
—
T T F
T
T
T
F
T
F
T
F
T
T
F
T F T
T
F
F
—
—
—
—
—
—
—
—
T F F
T
F
F
—
—
—
—
—
—
—
—
F T T
F
F
T
—
—
—
—
—
—
—
—
F T F
F
F
T
—
—
—
—
—
—
—
—
F F T
F
F
F
—
—
—
—
—
—
—
—
F F F
F
F
F
—
—
—
—
—
—
—
—
jika tidak ada baris kebenaran yang pasti
dan mengandung semua premis dalam
kesimpulan yang tidak jelas kebenaranya
(palsu), maka itu argumen berlaku, dan
jika tidak sama dengan argumen maka
pernyataan
tadi
tidak
sah.
Seperti yang telah kita lihat, satu-satunya
baris dalam tabel sebelumnya yang
memiliki semua premis kebenaran maka
memiliki
kesimpulan
yang
benar,
sehingga
argumen
ini
valid.
Menghubungkan
Tautologi dan
Kontradiksi
Suatu pernyataan tautologi dapat di ubah
menjadi kadaan kontradiksi atau sebaliknya
(kontradiksi menjadi tautologi) dengan
mudah, yaitu dengan menggunakan operator
~ (negasi).
Oleh karenanya tautologi dan kontradiksi
memiliki hubungan yang erat.
Sebagai contoh lihat pernyataan di bawah ini:
P → (~Q → (P & ~Q)), merupakan tautologi.
Kemudian kita rubah kedalam bentuk
kontradiksi
untuk mengevaluasi pernyataan
tersebut kita gunakan tabel dibawah
ini:
P
Q
~
(P
→
(~
Q
→
(P
Λ
~Q)
))
T
T
F
T
T
T
T
T
T
T
T
F
F
T
T
T
T
T
F
T
F
T
F
F
T
F
F
F
F
F
F
F
F
F
T
T
T
F
F
T
Menghubungkan
Simantik Kesetaraan
dengan Tautologi
Dua simantik setara dapatdirubah menjadi
tautologi dengan menghubungkannya
menggunakan operator ↔ .
Misal terdepat dua pernyataan dalam simantik
setara
P→Q
~P → v Q
Kemudian dihubungkan dengan mengunakan
operator ↔, maka menjadi
(P → Q) ↔ (~P vQ)
Hasilnya adalah tautologi
untuk mengevaluasinya kita lihat
tabel berikut :
Q
(P
→
Q)
↔
(~
P
ν
Q)
T T
T
T
T
T
F
T
T
T
T F
T
F
F
T
F
T
F
F
F T
F
T
T
T
T
F
T
T
F F
F
T
F
T
T
F
T
F
P
Menghubungkan
Inkonsisitensi dengan
Kontradiksi
Ketika menghubungkan pernyataan yang tidak
konsisten dalm suatu keadaan dengan menggunakan
operator berulang &, maka pernyataan yang di hasilkan
adalah kontradiksi.
Contoh: Terdapat 3 pernyataan yang tidak konsisten
Pv~Q
P→ Q
P↔~Q
Kemudian di hubungkan dengan operator &, maka
menjadi :
((P v ~ Q) & (P → Q) & (P ↔ ~ Q))
yang merupakan kontradiksi
untuk mengevaluasi pernyataan di
atas kita lihat tabel di bawah ini :
P
Q
((
P
ν
~
Q)
Λ
(P
→
Q)
)
Λ
(P
↔
~
Q)
T T
T
T
F
T
T
T
T
T
F
T
F
F
T
T F
T
T
T
F
F
T
F
F
F
T
T
T
F
F T
F
F
F
T
F
F
T
T
F
F
T
F
T
F
F
F
T
T
F
T
F
T
F
F
F
F
T
F
Mengubungkan Validitas dan
Kontradiksi
Misal terdapat sebuah permasalahan
P→ Q
Q→R
Dengan kesimpulan :
P→R
Karena pernyataan ini valid, maka tidak
mungkin keduanya adalah benar dan
kesimpulannya salah
untuk mengevaluasi pernytaan di
atas, lihatlah tabel di bawah ini :
P→ Q
Q→R
P→ R
T
T
F
jika kesimpulan tersebut dinegasi,
maka tidak satupun dari tabel
kebenaran terlihat seperti ini :
P→ Q
Q→R
~(P→R)
T
T
T
Maka pernyataan diatas tak
satupun yang konsisten.
Anda dapat juga mengubah set
pernyataan tersebut menjadi
kontradiksi yang dihubungkan
dengan menggunakan operator &.
Amatilah tabel dibawah ini :
((
P
→
Q)
Λ
(Q
→
R)
)
Λ
T
~
(P
→
R)
Pernyataan dengan
Tabel Kebenaran
Oleh Kelompok 2:
Gito Firgono
Eva Fauziah
Husnul Khotimah
Risya Radhianti
Membuat Tabel
Kebenaran
dan
Mengenal Operatoroperatornya
Membuat Tabel
Kebenaran
Empat langkah sederhana dalam membuat tabel
kebenaran :
1. Mengatur baris atas tabel dengan masingmasing konstant
dikiri dan pernytaan disebelah kanan
2. Menentukan baris tambahan sesuai dengan
kebutuhan
pengisian tabel
3. Mengatur kolom konstan dengan setiap
kemungkinan nilai
kebenaran
4. Menggambar baris horisontal diantara baris
dan vertikal
Mengenal Operator
Perangkai/ Operator
Simbol
Dan (and)
Atau (or)
Tidak/ bukan (not)
~
Jika… maka… (if… then….)
→
Jika dan hanya jika (if and only if)
↔
DAN
Bernilai benar (T) jika kedua pernyataannya bersifat benar
(T)
ATAU
Bernilai salah (F) jika kedua pernyataannya bersifat salah
(F)
TIDAK/ BUKAN
Berkebalikan. Contoh :
P
~P
T
F
JIKA ... MAKA
Bernilai salah (F) jika pernyataan pertama bersifat benar
(T) dan pernyataan kedua bersifat salah (F)
P↔Q
P
Q
JIKA DAN HANYA
JIKA
T
T
T
T
F
F
F
T
F
F
F
T
Mengenal Tautologi,
Kontradiksi dan
Kontingen
Tautologi
Suatu tautologi adalah pernyataan yang
selalu benar, terlepas dari nilai-nilai
kebenaran dari konstanta. Sebagai contoh,
Buktikan
: apakah (A v ~A) adalah
tautologi?
Bukti : Abuatlah tabel
kebenarannya
~A
A ~A
F
T
T
T
F
T
Jadi (A ~A) adalah tautologi.
Kontradiksi
Suatu kontradiksi adalah pernyataan yang
selalu salah, terlepas dari nilai-nilai
kebenaran dari konstanta. Sebagai contoh,
Buktikan : apakah (A & ~A ) adalah
kontradiksi?
Bukti: buatlah
tabel
kebenarannya
A
~A
A & ~A
F
T
F
T
F
F
Jadi (A & ~A) adalah kontradiksi.
Kontingen
Sebuah pernyataan kontingen adalah suatu
ekspresi logika yang mempunyai nilai benar
dan salah di dalam tabel kebenarannya.
Sebagai contoh,
Buktikan : ((A & B) → C)→ A
Bukti
: BbuatC tabelA &kebenarannya
A
B
((A & B) → C)
((A & B) → C)→ A
F
F
F
F
T
F
F
F
T
F
T
F
F
T
F
F
T
F
F
T
T
F
T
F
T
F
F
F
T
T
T
F
T
F
T
T
T
T
F
T
F
T
T
T
T
T
T
T
Mengenal Simantik
Kesetaraan, Konsistensi
dan Validitas
Menilai Semantik
Kesetaraan
Penggunaan tabel kebenaran untuk
mengevaluasi pernyataan dalam semua
kemungkinan kombinasi nilai-nilai kebenaran
untuk konstanta.
Sebagai contoh:
~P v Q
P→Q
Pertanyaan:
Apakah dua pernyataan diatas setara?
untuk mengevaluasi kebenaran pernyataan di atas kita lihat tabel di bawah ini
P
Q
T
T
F
F
T
F
F
P
T
→
Q
~
P
ν
Q
langkah pertama untuk mengisi tabel
adalah dengan menyalin nilai dari
setiap konstan ke kolom yang tepat:
P
Q
P
→
Q
~
P
ν
Q
T
T
T
T
T
T
T
F
T
F
T
F
F
T
F
T
F
T
F
F
F
F
F
F
kedua, menangani berbagai ~operator yang
berlaku langsung pada yang konstan
P
Q
→
ν
Q
~
P
T
T
F
T
T
T
F
T
F
F
T
F
F
T
F
T
T
F
T
F
F
F
F
T
F
F
T
P
T
Q
ketiga, menyelesaikan evaluasi
pada kedua pernyataan terpisah
P
Q
P
→
Q
~
P
ν
Q
T T
T
T
T
F
T
T
T
T F
T
F
F
F
T
F
F
F T
F
T
T
T
F
T
T
F F
F
T
F
T
F
T
F
Konsistensi
Keadaan konsisten terjadi ketika satu set
pernyataan menghasilkan nilai kebenaran
yang sama, sebagai contoh kalimat
pernyataan di bawah ini:
P v ~Q
P→Q
P ↔ ~Q
untuk mengevaluasi pernyataan di
atas kita lihat tabel kebenaran berikut
P
ν
~
Q
T T T
T
F
T
T F T
T
T
F
F T F
F
F
T
T
T
F
P
Q
F
F
F
P
→
Q
P
↔ ~
Q
— — — — — — —
dan kita lihat pada tabel berikut ini, dengan
pengulangan prosesnya dari dua pernyataan
memberikan hasil sebagai berikut:
P
Q
P
ν
~
Q
P
→
Q
P
↔ ~
Q
T T
T
T
F
T
T
T
T
T
F
T
T F
T
T
T
F
T
F
F
— — — —
F T
F
F
F
T
— — — — — — —
F
F
F
T
T
F
F
F
F
F
F
F
T
F
Jika setiap baris tebel kebenaran setidaknya memiliki satu pernyataan
yang kita lihat sabagai pernyataanya tidak benar (palsu), maka
pernyataanya tidak konsisten. dan jika tabel kebenaranya memiliki satu
pernyataan yang kita lihat pernyataanya tidak konsisten maka hasilnya
konsisten.
Validitas
Argumen yang tidak benar, ketika semua
tabel adalah benar, kesimpulanya pun harus
benar.
Kita lihat contoh di bawah ini:
P & Q
R →~ P
kesimpulannya:
~Q↔R
berikut ini tabel kebenaran yang perlu disiapkan
untuk mengevaluasi pernyataan di atas
P
Q
R
T
T
T
T
T
F
T
F
T
T
F
F
F
T
T
F
T
F
P
Λ
Q
R
→
~
P
~
Q
↔
R
pada bagian “tetap konsisten” kita dapat melihat
pernyataan sebelumnya dan bisa melihat pernyataan
selanjutnya, dan berikut tabel pernyataan pertama
yang telah di tentukan:
R
→
~
P
~
Q
↔
R
F
—
—
—
—
—
—
—
—
F
F
—
—
—
—
—
—
—
—
F
F
T
—
—
—
—
—
—
—
—
F
F
T
—
—
—
—
—
—
—
—
Q
R
P
Λ
Q
T T
T
T
T
T
T T
F
T
T
T
T F
T
T
F
T F
F
T
F T
T
F T
F
P
berikut adalah hasil akhir dari
contoh di atas
P Q R P
Λ
Q
R
→
~
P
~
Q
↔
R
T T T
T
T
T
T
F
F
T
—
—
—
—
T T F
T
T
T
F
T
F
T
F
T
T
F
T F T
T
F
F
—
—
—
—
—
—
—
—
T F F
T
F
F
—
—
—
—
—
—
—
—
F T T
F
F
T
—
—
—
—
—
—
—
—
F T F
F
F
T
—
—
—
—
—
—
—
—
F F T
F
F
F
—
—
—
—
—
—
—
—
F F F
F
F
F
—
—
—
—
—
—
—
—
jika tidak ada baris kebenaran yang pasti
dan mengandung semua premis dalam
kesimpulan yang tidak jelas kebenaranya
(palsu), maka itu argumen berlaku, dan
jika tidak sama dengan argumen maka
pernyataan
tadi
tidak
sah.
Seperti yang telah kita lihat, satu-satunya
baris dalam tabel sebelumnya yang
memiliki semua premis kebenaran maka
memiliki
kesimpulan
yang
benar,
sehingga
argumen
ini
valid.
Menghubungkan
Tautologi dan
Kontradiksi
Suatu pernyataan tautologi dapat di ubah
menjadi kadaan kontradiksi atau sebaliknya
(kontradiksi menjadi tautologi) dengan
mudah, yaitu dengan menggunakan operator
~ (negasi).
Oleh karenanya tautologi dan kontradiksi
memiliki hubungan yang erat.
Sebagai contoh lihat pernyataan di bawah ini:
P → (~Q → (P & ~Q)), merupakan tautologi.
Kemudian kita rubah kedalam bentuk
kontradiksi
untuk mengevaluasi pernyataan
tersebut kita gunakan tabel dibawah
ini:
P
Q
~
(P
→
(~
Q
→
(P
Λ
~Q)
))
T
T
F
T
T
T
T
T
T
T
T
F
F
T
T
T
T
T
F
T
F
T
F
F
T
F
F
F
F
F
F
F
F
F
T
T
T
F
F
T
Menghubungkan
Simantik Kesetaraan
dengan Tautologi
Dua simantik setara dapatdirubah menjadi
tautologi dengan menghubungkannya
menggunakan operator ↔ .
Misal terdepat dua pernyataan dalam simantik
setara
P→Q
~P → v Q
Kemudian dihubungkan dengan mengunakan
operator ↔, maka menjadi
(P → Q) ↔ (~P vQ)
Hasilnya adalah tautologi
untuk mengevaluasinya kita lihat
tabel berikut :
Q
(P
→
Q)
↔
(~
P
ν
Q)
T T
T
T
T
T
F
T
T
T
T F
T
F
F
T
F
T
F
F
F T
F
T
T
T
T
F
T
T
F F
F
T
F
T
T
F
T
F
P
Menghubungkan
Inkonsisitensi dengan
Kontradiksi
Ketika menghubungkan pernyataan yang tidak
konsisten dalm suatu keadaan dengan menggunakan
operator berulang &, maka pernyataan yang di hasilkan
adalah kontradiksi.
Contoh: Terdapat 3 pernyataan yang tidak konsisten
Pv~Q
P→ Q
P↔~Q
Kemudian di hubungkan dengan operator &, maka
menjadi :
((P v ~ Q) & (P → Q) & (P ↔ ~ Q))
yang merupakan kontradiksi
untuk mengevaluasi pernyataan di
atas kita lihat tabel di bawah ini :
P
Q
((
P
ν
~
Q)
Λ
(P
→
Q)
)
Λ
(P
↔
~
Q)
T T
T
T
F
T
T
T
T
T
F
T
F
F
T
T F
T
T
T
F
F
T
F
F
F
T
T
T
F
F T
F
F
F
T
F
F
T
T
F
F
T
F
T
F
F
F
T
T
F
T
F
T
F
F
F
F
T
F
Mengubungkan Validitas dan
Kontradiksi
Misal terdapat sebuah permasalahan
P→ Q
Q→R
Dengan kesimpulan :
P→R
Karena pernyataan ini valid, maka tidak
mungkin keduanya adalah benar dan
kesimpulannya salah
untuk mengevaluasi pernytaan di
atas, lihatlah tabel di bawah ini :
P→ Q
Q→R
P→ R
T
T
F
jika kesimpulan tersebut dinegasi,
maka tidak satupun dari tabel
kebenaran terlihat seperti ini :
P→ Q
Q→R
~(P→R)
T
T
T
Maka pernyataan diatas tak
satupun yang konsisten.
Anda dapat juga mengubah set
pernyataan tersebut menjadi
kontradiksi yang dihubungkan
dengan menggunakan operator &.
Amatilah tabel dibawah ini :
((
P
→
Q)
Λ
(Q
→
R)
)
Λ
T
~
(P
→
R)