Interpolasi Polinom Materi Kuliah Matematika II (Terapan) | Blog Mas'ud Effendi

Interpolasi Polinom
Matematika II (Terapan)
FTP – UB

Interpolasi
• Metode untuk menentukan nilai di antara dua
nilai yang telah ditentukan, dimana suatu
interpolasi itu menghubungkan data-data
yang sudah ada.
• Ekstrapolasi
– Metode prediksi terhadap titik-titik yang akan
muncul dimana adanya perluasan data di luar data
yang tersedia, tetapi tetap mengikuti pola dari
data yang tersedia

Perbedaan Interpolasi dan Ekstrapolasi

Interpolasi Linier

f(x)
L(x)

x0

x1

x

Interpolasi Kuadratik

L(x)

f(x)

x0

h

x1

h

x2

x

Interpolasi Kubik

L(x)

x0

h

f(x)

x1

h

x2

h

x3

x

Interpolasi Newton

Interpolasi Linear
Diketahui: Dua titik(x1, y1), (x2, y2)
Ditanya :Garis yang melewati 2 titik tersebut

f 1  x   f x 0  

f x1   f x 0 
x  x 0 
x1  x 0

Contoh: f(x) = ln x

ln 2 = 0.6931472

x1 = 1 dan x2 = 6:
f1(2) = 0.3583519
x1 = 1 dan x2 = 4
f1(2) = 0.4620981

Semakin kecil intervalnya semakin baik hasil interpolasi!

8

Interpolasi Kuadratik
Diketahui: Tiga titik(x1, y1), (x2, y2), (x3,y3)
Ditanya: kuadratik f2(x) = a0 + a1x + a2x2 yang melewati ke-3 titik di atas

f 2 x   b0  b1 x  x0   b2 x  x0 x  x1 
b0  f x 0 

b1 

f x1   f x 0 
x1  x 0

f x 2   f x1  f x1   f x 0 

x 2  x1
x1  x 0
b2 
x 2  x0

Contoh: f(x) = ln x
ln 2 = 0.6931472

Titik data: (1, 0), (4, 1.386294), (6, 1.791759)
b0 = 0
b1 = (1.386294 – 0)/(4 – 1) = 0.4620981

b2 = [(1.791759 – 1.386294)/(6-4) – 0.4620981]/(6-1)
= -0.0518731

f2(2) = 0.5658444

9

Interpolasi Polinomial Newton
Diketahui: n titik (x1, y1), (x2, y2), …, (xn, yn)

(yi = f(xi), i=1,2,…,n)

Ditanya: fn(x) = a0 + a1x + a2x2 + … + anxn yang melewati n titik tersebut.
f n x  b0  b1 x  x0   b2 x  x0 x  x1   ... bn x  x0 x  x1 x  x n1 
b0  f  x 0 

b1  f x1 , x 0 


bn  f x n , x n 1 , x1 , x 0 
dengan





f xi , x j 

 

f x i   f x j

f xi , x j , xk  

xi  x j

f xi , x j   f x j , xk 
xi  xk

f xn , xn 1 ,..., x1 , x0  

f xn , xn 1,..., x1   f xn 1 , xn 2 ,..., x0 
xn  x0

Rekursif!

10

Contoh Interpolasi Polinomial Newton
Diketahui: (1, 0), (4, 1.386294), (6, 1.791759), (5, 1.609438) (dari fungsi ln x)
Ditanya:

Perkirakan ln 2 dengan interpolasi Newton orde ke-3

f n  x   b0  b1  x  x0   b2  x  x0  x  x1   b3  x  x0  x  x1  x  x2 

f x1 , x0  

1.386294  0
 0.462
4 1

f x 2 , x1 , x 0  

f x2 , x1  

1.791759  1.386294
 0.203
64

0.203  0.462
 0.052
6 1

f x3 , x 2 , x1 , x 0  

f x3 , x 2 , x1  

f x3 , x2  

1.609438  1.791759
 0.182
56

0.182  0.203
 0.020
54

0.020  (0.052)
 0.008
5 1

f3(2) = 0.629

11

Contoh Interpolasi Polinomial Newton

x0

x1

12

x2
x3

Perkiraan Error Polinomial Newton
f n x  b0  b1 x  x0   b2 x  x0 x  x1   ... bn x  x0 x  x1 x  x n1 

Jika f(x) dinyatakan oleh deret Taylor , error setelah terms ke-n adalah:
f n1  
xi 1  xi n1
Rn 
n  1!

Untuk suatu polinomial Newton orde ke-n, Hubungan untuk error scr analogi:
f n1  
x  x0 x  x1 x  x 2  x  x n 
Rn 
n  1!

Tapi kita tidak tahu apakah itu f(x)! Sebagai suatu perkiraan untuk error, bisa kita
gunakan
Rn  f x n1 , x n , x n1 , , x0 x  x0 x  x1 x  x 2 x  x n 
(Ingat: fn+1(x) = fn(x) + Rn)

13