HUKUM OPERASI YANG MESTI DISELESAIKAN DA
HUKUM OPERASI YANG MESTI DISELESAIKAN DAHULU
B
BRACKET
(
)
6 725–(563+918)
D
DIVISION
÷
2 560 + 235 ÷ 5
M
MULTIPLICATION
×
8 291+6×9
A
ADDITION
+
7 203+636-1 999
S
SUBTRACTION
-
8 082–1288+651
Posted by ZANAINAH BI
Definisi 'congak'
Indonesian to Indonesian
adjective
1. men·co·ngak v mengangkat muka (kepala) ke atas;
mendongak: dia ~ memandang kpd saya;
co·ngak-ca·ngit v mendongak dan menundukkan muka berkali-kali;
men·co·ngak·kan v mendongakkan muka (kepala): kerbau ~
kepalanya ketika melihat musuhnya
source: kbbi3
noun
2. taksiran yg dibuat dl kepala saja, tidak ditulis: biaya pembelian
barang baru dibuat dng -- saja;
men·co·ngak v menghitung di luar kepala (dng ingatan saja, yg ditulis
hanya hasilnya)
source: kbbi3
Related Word(s)
congak-cangit, mencongak, mencongakkan, congak,
Visual ArtiKata
Explore congak in SinonimKata.com >
http://artikata.com/arti-323946-congak.html
Congak
Daripada Wikipedia, ensiklopedia bebas.
Pencongakan di sekolah S.Rachinsky oleh Nikolay Bogdanov-Belsky. 1895.
Congak ialah satu kaedah pengiraan yang hanya menggunakan otak manusia,
tanpa bantuan kalkulator, komputer, atau pen dan kertas.
Secara praktikalnya, pencongakan bukan sahaja membantu apabila tiada alat
pengiraan, tetapi ia juga membantu dalam keadaan pengiraan cepat mesti
dilakukan. Apabila sesuatu kaedah dibuat dengan lebih pantas dari kaedah
konvensional (seperti yang diajar di sekolah), ia dipanggil kaedah pendek.
Walaupun tujuan utamanya ialah untuk mempercepatkan pengiraan,
pencongakan juga dipraktikkan dan ditambah dengan helah-helah untuk
menunjukkan kemahiran pengiraan pantas.
Hampir semua kaedah sebegini menggunakan sistem angka perpuluhan.
Pemilihan radiks menentukan kaedah yang sesuai dan pengiraan yang mudah
untuk dilakukan dalam fikiran. Contohnya, mendarab atau membahagi dengan
10 adalah sangat mudah untuk angka perpuluhan (cuma alihkan titik
perpuluhan), sementara mendarab dan membahagi dengan enam belas adalah
sukar; tetapi keadaan berbeza berlaku apabila asas perenambelasan digunakan.
Terdapat banyak teknik berbeza untuk melakukan congakan, kebanyakannya
adalah khusus untuk jenis-jenis masalahnya.
Isi kandungan [sorokkan]
1 Buang sembilan
1.1 Penganggaran
1.2 Faktor-faktor
2 Mengira perbezaan: a − b
2.1 Pengiraan langsung
2.2 Pengiraan tidak langsung
2.3 Kaedah peminjaman lihat ke depan
3 Mengira hasil darab: a × b
3.1 Mendarab dengan 2 atau nombor kecil yang lain
3.2 Mendarab dengan 5
3.3 Mendarab dengan 9
3.3.1 Menggunakan tangan: nombor 1-10 didarab dengan 9
3.4 Mendarab dengan 10 (dan kuasa 10)
3.5 Mendarab dengan 11
3.6 Mendarab 2 nombor antara 11 dan 19
3.7 Mendarab sebarang nombor 2 digit
3.8 Menggunakan tangan: 6–10 didarab dengan nombor 6–10
3.9 Menggunakan nombor kuasa dua
3.10 Mengkuasa duakan nombor
3.10.1 Kuasa dua nombor di bawah 50
3.10.2 Kuasa dua nombor yang berakhir dengan 5
3.10.3 Kuasa dua integer dari 26 hingga 75
3.10.4 Kuasa dua integer dari 76 hingga 99
3.10.5 Kuasa dua untuk sebarang nombor
3.10.6 Kuasa dua sebarang integer 2 digit
4 Mencari punca kuasa
4.1 Menganggarkan punca kuasa dua
4.2 Mengekstrak punca kuasa untuk kuasa-kuasa yang sempurna
4.2.1 Mengekstrak punca kuasa tiga
5 Menganggarkan logaritma umum (logaritma asas 10)
6 Sistem lain
7 Piala Dunia Pengiraan Congak
8 Lihat juga
9 Pautan luar
10 Kumpulan
Buang sembilan[sunting | sunting sumber]
Buang sembilan ialah satu kaedah untuk memastikan yang hasil pengiraan
aritmetik permulaan adalah benar. Dengan melihat pada asas digit input dan
output, prosedur berikut boleh digunakan untuk meningkatkan keyakinan yang
keputusan itu adalah benar.
Tambah digit kendalian pertama; sebarang 9 (atau set digit yang jika ditambah
mendapat hasil 9) dianggap mempunyai nilai 0.
Jika hasil tambah memiliki dua atau lebih digit, tambah digit-digit tersebut
seperti langkah pertama; ulang langkah ini sehingga mendapat hasil satu digit.
Ulang langkah satu dan dua untuk kendalian kedua. Sekarang akan terdapat dua
nombor digit, satu adalah hasil dari kendalian pertama dan satu lagi hasil dari
kendalian kedua. (nombor-nombor digit ini juga merupakan baki jika kendalian
asal dibahagikan dengan 9; dalam bahasa matematik, ia dikenali sebagai
kendalian asal modulo 9.)
Gunakan operasi asal (tambah, tolak, bahagi dan darab) untuk kedua-dua hasil
kendalian, kemudian tambah digit-digit dari hasil operasi tersebut.
Tambah kesemua digit dari hasil pengiraan asal (sebelum buang sembilan
dilakukan) seperti dalam langkah pertama.
Jika hasil dari langkah 4 tidak sama dengan hasil dari langkah 5, jadi jawapan
dari pengiraan asal adalah salah. Jika kedua-dua hasil adalah sama, jawapan asal
mungkin benar, tetapi tidak dijamin.
Contoh
Katakan pengiraan asal 6338 × 79 bersamaan dengan 500702. 6338 ialah
kendalian pertama, 79 ialah kendalian kedua dan operasi asalnya ialah
pendaraban.
Tambah digit-digit 6338: (6 + 3 = 9, dianggap 0) + 3 + 8 = 11
Ulang jika perlu (untuk dapatkan 1 digit): 1 + 1 = 2
Tambah digit-digit 79: 7 + (9 dikira 0) = 7
Lakukan operasi asal pada kedua-dua hasil kendalian, dan tambah digit-digit dari
hasilnya: 2 × 7 = 14; 1 + 4 = 5
Tambah digit-digit hasil pengiraan asal 500702: 5 + 0 + 0 + (7 + 0 + 2 = 9,
dianggap 0) = 5
5 = 5, jadi terdapat kemungkinan yang hasil pengiraan asal 6338 × 79
bersamaan 500702, adalah benar.
Penganggaran[sunting | sunting sumber]
Apabila memeriksa congakan, ia berguna dengan menggunakan penskalaan.
Contohnya, apabila mengendalikan pengiraan nombor besar seperti 1531 ×
19625, penganggaran boleh dibuat untuk nilai akhir kepada pengiraan ini. 1531
adalah hampir dengan 1500 dan 19625 adalah hampir dengan 20000, jadi hasil
pengiraan ini sepatutnya hampir dengan 20000 × 1500 (30000000), satu nilai
anggaran yang baik untuk jawapan sebenar (30045875). Jadi jika sesuatu
jawapan memiliki lebih bilangan digit dari jumlah digit dalam nilai anggaran,
jawapan itu adalah salah.
Faktor-faktor[sunting | sunting sumber]
Apabila mendarab, perlu diingat yang faktor-faktor kepada kendalian akan kekal.
Contohnya, adalah tidak munasabah jika hasil darab 14 × 15 ialah 211 kerana 15
adalah satu nilai gandaan 5, jadi hasil darabnya sepatutnya gandaan lima juga.
Jawapan yang betul ialah 210.
Mengira perbezaan: a − b[sunting | sunting sumber]
Pengiraan langsung[sunting | sunting sumber]
Apabila digit-digit b adalah semuanya lebih kecil dari digit-digit "a", pengiraan
boleh dibuat secara langsung antara digit dengan digit. Contohnya, pengiraan
872 − 41 dibuat dengan menolak 1 dari 2 di tempat "sa", dan 4 dari 7 di tempat
"puluh", mendapatkan jawapan:831
Pengiraan tidak langsung[sunting | sunting sumber]
Apabila keadaan seperti di atas tidak berlaku, masalah ini kadang-kadang boleh
diubah suai:
Jika hanya satu digit dalam b yang lebih besar dari digit-digit a, kurangkan digit
besar dalam b itu sehingga ia sama dengan digit a yang bertentangan.
Kemudian dapatkan hasil operasi. Akhir sekali, tolakkan jumlah yang dikurangkan
dari digit besar b sebelum ini pada hasil operasi untuk mendapatkan hasil akhir.
Contohnya, untuk mengira 872 − 92, tukarkan masalah ini menjadi 872 − 72 =
800, kemudian tolakkan 20 dari 800 untuk mendapatkan hasil akhir:780.
Jika lebih dari satu digit dalam b yang lebih besar dari digit bertentangan dalam
a, ia akan menjadi mudah jika jumlah yang patut ditambah pada b untuk
mendapatkan a dicari. Contohnya, untuk mengira 8192 − 732, nilai 8 boleh
ditambah pada 732 (menghasilkan 740), kemudian tambah 60 (menghasilkan
800), kemudian 200 (menghasilkan 1000). Selepas itu, tambah 192 untuk
mendapatkan 1192, dan akhir sekali, tambah 7000 untuk mendapatkan 8192.
Jadi, jumlah yang patut ditambah pada b untuk mendapatkan nilai a adalah 7000
+ 192 + 200 + 60 + 8 = 7460. Jadi 8192 − 732 = 7460.
Ia mungkin lebih mudah pengiraan dimulakan dari kiri (nombor besar) dahulu.
Anda boleh meneka apa yang perlu dan kumpulkan semua tekaan anda, tekaan
anda adalah baik selagi ia tidak melangkaui nombor "sasaran".
Kaedah peminjaman lihat ke depan[sunting | sunting sumber]
Kaedah ini boleh digunakan untuk menolak nombor dari kiri ke kanan, dan
penggunaan memori adalah sedikit walaupun untuk menolak nombor dalam apaapa saiz.
Satu tempat dikendalikan pada masa yang sama, kiri ke kanan.
Contoh:
4075
- 1844
-----Ribu: 4 - 1 = 3, lihat ke kanan, 075 < 844, perlu dipinjam.
3 - 1 = 2, disebut "dua ribu"
Ratus: 0 - 8 = nombor negatif tidak dibenarkan di sini,
10 - 8 = 2, 75 > 44, jadi tidak perlu dipinjam,
disebut "dua ratus"
Puluh: 7 - 4 = 3, 5 > 4 jadi tidak perlu dipinjam, disebut "tiga puluh"
Sa: 5 - 4 = 1, disebut "satu"
Mengira hasil darab: a × b[sunting | sunting sumber]
Banyak kaedah ini berhasil disebabkan oleh sifat penaburan.
Mendarab dengan 2 atau nombor kecil yang lain[sunting | sunting sumber]
Apabila satu nombor yang didarab adalah cukup kecil untuk didarab dengan
mudah oleh mana-mana digit tunggal, hasil darabnya boleh dikira dengan
mudah antara digit dengan digit dari kanan ke kiri. Ini khususnya mudah untuk
pendaraban dengan 2 kerana digit bawa tidak boleh lebih dari 1.
Contohnya, untuk mengira 2 × 167: 2x7=14, jadi digit akhirnya ialah 4, dengan
1 dibawa dan ditambah pada 2x6=12 untuk mendapatkan 13, jadi digit
seterusnya ialah 3 dengan 1 dibawa dan ditambah pada 2x1=2 untuk
mendapatkan 3. Jadi hasil darabnya ialah 334.
Mendarab dengan 5[sunting | sunting sumber]
Untuk mendarab satu nombor dengan 5,
1. Pertama, darab nombor tersebut dengan 10, kemudian bahagikan hasilnya
dengan 2.
Algoritma berikut ialah cara pantas untuk menghasilkan keputusan ini:
2. Tambahkan sifar pada bahagian kanan nombor kendalian pertama. (A.)
3. Kemudian, bermula dari angka paling kiri, bahagikan setiap digit dengan 2 (B)
dan gabungkan semua hasilnya menjadi satu nombor baru; (jawapan dengan
titik perpuluhan perlu dibundarkan menjadi nombor bulat).
CONTOH: Darabkan 176 dengan 5.
A. Tambahkan sifar pada 176 menjadikannya 1760.
B. Bahagikan setiap digit dengan 2 bermula dari kiri.
1. Bahagikan 1 dengan 2 = 0.5, dibundarkan kepada 0.
2. Bahagikan 7 dengan 2 = 3.5, dibundarkan kepada 3.
3. Bahagikan 6 dengan 2 = 3
4. Bahagikan 0 dengan 2 = 0
Gabungan nombor-nombor di atas menghasilkan nombor baru 0330. (Ini
bukanlah jawapan akhir, tetapi satu anggaran pertama yang akan dilaras dalam
langkah berikut:)
C. Tambahkan 5 kepada nombor yang mengikut mana-mana angka tunggal di
dalam nombor baru ini
(yang sebelum ia dibahagikan dengan 2, merupakan nombor ganjil);
CONTOH: 176 (Dalam tempat PERTAMA, KEDUA, KETIGA):
1.Tempat PERTAMA ialah 1, yang merupakan angka ganjil.
Tambahkan 5 kepada nombor selepas tempat pertama dalam nombor baru
(0330) iaitu 3; 3+5=8.
2.Tempat KEDUA ialah 7, juga angka ganjil.
Hasil dari langkah pertama (0830) akan bertambah dengan 5 juga, menjadi
0880.
3.Tempat KETIGA ialah 6, satu angka genap, jadi nombor akhir, 0 tidak akan
berubah.
Jawapan akhir ialah 0880.
Sifar paling kiri boleh dibuang, meninggalkan 880. Jadi 176 didarab 5
bersamaan dengan 880.
Mendarab dengan 9[sunting | sunting sumber]
Oleh kerana 9 = 10 - 1, untuk mendarab dengan 9, darabkan nombor itu dengan
10 dan tolakkan nombor asal dari hasil ini. Contohnya, 9 × 27, ubahkan menjadi
10 × 27 = 270 ; jadi 9 × 27 = (270 - 27) = 243.
Menggunakan tangan: nombor 1-10 didarab dengan 9[sunting | sunting sumber]
Tandakan setiap jari (pada kedua-dua belah tangan) dengan nombor dari 1
hingga 10, dari kiri ke kanan. Simbol "|" dalam rajah berikut mewakili setiap jari
yang diangkat, manakala tanda "-" mewakili jari yang dibengkokkan.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
||||| |||||
tangan kiri tangan kanan
Bengkokkan jari yang mewakili nombor yang akan didarab dengan sembilan
Contoh: 6 didarab dengan 9
||||| -||||
Jari yang keenam dari kiri telah dibengkokkan. Ambil jumlah jari yang masih
diangkat di sebelah kiri jari keenam dan gabungkannya dengan jumlah jari yang
masih diangkat di sebelah kanan jari keenam untuk mendapatkan hasil darab.
Contoh: Terdapat 5 jari yang masih diangkat di sebelah kiri jari ke-6 dan 4 jari
yang masih diangkat di sebelah kanan. Jadi 6 didarab dengan 9 = 54.
5
4
||||| -||||
Mendarab dengan 10 (dan kuasa 10)[sunting | sunting sumber]
Untuk mendarab satu integer dengan 10; cuma tambahkan angka 0 pada hujung
kanan nombor tersebut.
Untuk mendarab satu bukan integer dengan 10, cuma alihkan titik perpuluhan ke
kanan satu digit.
Untuk algoritma asas 10, mendarab dengan 10n (n ialah satu integer), alihkan
titik perpuluhan digit-digit n ke kanan. Jika n ialah nombor negatif, alihkan
perpuluhan digit-digit |n| ke kiri.
Mendarab dengan 11[sunting | sunting sumber]
Untuk nombor digit tunggal, cuma buat pendua untuk nombor tersebut dalam
digit "puluh", contohnya: 1 × 11 = 11, 2 × 11 = 22, sehingga 9 × 11 = 99.
Hasil darab 11 dengan mana-mana integer bukan sifar yang lebih besar boleh
didapati dengan beberapa penambahan pada setiap digit-digitnya dari kanan ke
kiri, dua pada satu masa.
Mulanya ambil digit "sa" pada pendarab dan letakkan pada hasil sementara.
Kemudian, bermula dengan digit sa pada pendarab, tambah setiap digit dengan
digit seterusnya ke kiri. Setiap hasil tambah 10 atau lebih akan membawa digit
"puluh", yang akan sentiasa menjadi 1, dan bawanya ke penambahan
seterusnya. Akhir sekali, salin digit paling kiri pendarab (nilai paling besar) ke
depan (kiri sekali) hasil tersebut, tambah 1 yang dibawa ke hadapan jika perlu,
untuk mendapat hasil darab akhir.
Dalam kes negatif 11, pendarab, atau kedua-duanya, letakkan tanda pada hasil
darab seperti pendaraban biasa kedua-dua nombor.
Contoh langkah pengiraan untuk 759 × 11:
Digit "sa" untuk pendarab, 9, diletakkan pada hasil sementara.
hasil: 9
Tambah 5 + 9 = 14, jadi 4 diletakkan pada bahagian kiri hasil dan membawa
digit "1" ke hadapan.
hasil: 49
Tambah 7 + 5 = 12, kemudian tambah dengan 1 (yang dibawa dari pengiraan
kedua) untuk dapatkan 13. Letakkan 3 di bahagian kiri hasil dan bawa 1 ke
hadapan.
hasil: 349
Tambah 1 yang dibawa ke hadapan pada digit tertinggi dalam pendarab
tersebut, 7+1=8, dan salin pada hasil untuk medapatkan hasil akhir.
Hasil darab akhir untuk 759 × 11: 8349
Contoh lain
−54 × −11 = 5 5+4(9) 4 = 594
999 × 11 = 9+1(10) 9+9+1(9) 9+9(8) 9 = 10989
Pengiraan 9+1 adalah digit paling tinggi nilainya.
−3478 × 11 = 3 3+4+1(8) 4+7+1(2) 7+8(5) 8 = −38258
62473 × 11 = 6 6+2(8) 2+4+1(7) 4+7+1(2) 7+3(0) 3 = 687203
Kaedah lain ialah dengan cuma mendarab dengan nombor 10, dan tambah
nombor asal (pendarab) pada hasil tersebut.
Contoh:
17 × 11
17 × 10 = 170 + 17 = 187
17 × 11 = 187
Mendarab 2 nombor antara 11 dan 19[sunting | sunting sumber]
Untuk mendarab dengan mudah 2 nombor antara 11 dan 19 dalam algoritma
ringkas seperti berikut
Rumus:
(10+a) × (10+b)
100 + 10 * (a+b) + a*b
Contoh:
17 * 16
(10+7) × (10+6)
100 + 10(7+6) + (7 × 6)
100 + 10(13) + (42)
=272
Mendarab sebarang nombor 2 digit[sunting | sunting sumber]
Untuk mendarab dengan mudah sebarang nombor 2 digit bersama dengan
menggunakan algoritma ringkas adalah seperti berikut:
(10a+b) \cdot (10c+d)
= 100 (a\cdot c) + 10 (b\cdot c) + 10 (a\cdot d)+ b\cdot d
Contoh
23\cdot 47 =
= [10(2) + 3]*[10(4) + 7]
= 100(2×4) + 10(3×4) + 10(2×7) + (3×7)
= 800 + 120 + 140 + 21 = 1081
Perlu diingat yang ini adalah sama dengan penambahan konvensional hasil
darab separa, cuma ia dinyatakan kembali secara ringkas. Untuk
meminimumkan jumlah elemen yang berada dalam memori, ia mungkin lebih
mudah dengan melakukan penambahan hasil darab dari pendaraban "silang"
dahulu, dan kemudian tambah 2 elemen yang lain:
(a\cdot d+b\cdot c)\cdot 10
+ b\cdot d
+ a\cdot c\cdot 100
i.e., sebagai contoh
[(2 × 7) + (3 × 4)] × 10
(12+14) × 10
26 × 10 = 260 + (b*d = 3 × 7) + (a*c*100 = 2 × 4 × 100)
akan menjadi mudah dengan menambah kemudian 21: 281 dan 800: 1081
Satu kaedah nemonik untuk mengingati pencongakan ini ialah FOIL. F
bermaksud first (pertama), O bermaksud outer (luar), I bermaksud inner (dalam)
dan L bermaksud last (akhir).
Sebagai contoh:
75\cdot 23
dan
ab\cdot cd
7 mewakili a, 5 mewakili b, 2 mewakili c dan 3 mewakili d.
Gunakan persamaan
a\cdot c\cdot 100 + (a\cdot d+b\cdot c)\cdot 10 + b\cdot d
Persamaan ini adalah bersamaan dengan mana-mana nombor dalam asas 10
dengan tempat digit ratus, puluh dan sa. FOIL boleh juga dilihat sebagai satu
nombor, dengan F adalah ratus, OI adalah puluh dan L adalah sa.
a\cdot c adalah hasil darab antara 2 digit pertama (paling kiri) dalam setiap dua
nombor; F.
(a\cdot d+b\cdot c) adalah penambahan hasil darab antara digit luar (digit
paling kiri dan paling kanan) dan digit dalam; OI.
b\cdot d adalah hasil darab digit akhir (paling kiri) untuk kedua-dua nombor; L.
Menggunakan tangan: 6–10 didarab dengan nombor 6–10[sunting | sunting
sumber]
Teknik ini membenarkan nombor dari 6 hingga 10 didarab dengan nombor lain
dari 6 hingga 10.
Tentukan 6 kepada jari kelingking, 7 kepada jari manis, 8 kepada jari tengah, 9
kepada jari telunjuk, dan 10 kepada ibu jari. Sentuh kedua - dua jari yang
mewakili dua nombor yang hendak didarab. Titik sentuh antara dua jari dan
semua jari di bawah berada dalam seksyen "bawah", dan kesemua jari di atas 2
jari yang bersentuhan berada dalam seksyen "atas". Sebagai contoh, 6 × 9 akan
kelihatan seperti ini:
-10---9---8-- (atas)
-10-- --7-====================
--9-- --6-- jari telunjuk kiri dan jari kelingking kanan sedang bersentuhan
--8--
(bawah)
--7---6-(9 × 6)
-10-- -10---9-- --9---8-- --8---7-- --7---6-- --6-Berikut adalah contoh-contohnya:
9×6
atas:
-10---9---8--10-- --7-bawah:
--9-- --6---8---7---6-- 5 jari di bawah mewakili 5 puluh - 4 jari di atas ke kanan (4) - 1 jari di atas ke
kiri (1)
Hasilnya: 9 × 6 = 50 + 4 × 1 = 54
6×8
atas:
-10---9---8-- -10---7-- --9-bawah:
--6-- --8---7---6--
- 4 jari di bawah mewakili 4 puluh - 2 jari di atas ke kanan - 4 jari di atas ke kiri
Hasilnya: 6 × 8 = 40 + 2 × 4 = 48
Bagaimana ia dilakukan: setiap jari mewakili satu nombor (antara 6 dan 10).
Sentuh kedua-dua jari yang mewakili nombor yang hendak didarab (x dan y).
Jari-jari di "bawah" memberikan nombor dalam puluh, iaitu (x − 5) + (y − 5).
Digit di bahagian atas kiri memberikan (10 − x) dan di bahagian atas kanan
memberikan (10 − y), membawa kepada [(x − 5) + (y − 5)] × 10 + (10 − x) ×
(10 − y) = x × y.
Menggunakan nombor kuasa dua[sunting | sunting sumber]
Hasil darab antara nombor-nombor kecil boleh dikira dengan menggunakan
integer kuasa dua; sebagai contoh, untuk mengira 13 × 17, 15 sebagai purata
kepada kedua-dua faktor boleh diambil, dan fikirkannya sebagai (15 − 2) × (15 +
2), atau 15² − 2². Dengan mengetahui 15² adalah 225 dan 2² adalah 4,
penolakan mudah menunjukkan yang 225 − 4 = 221, yang merupakan hasil
darab yang dikehendaki.
Kaedah ini memerlukan pengetahuan beberapa nombor kuasa dua:
12 = 1
22 = 4
32 = 9
42 = 16
52 = 25
62 = 36
72 = 49
82 = 64
92 = 81
102 = 100
112 = 121
122 = 144
132 = 169
142 = 196
152 = 225
162 = 256
172 = 289
182 = 324
192 = 361
202 = 400
212 = 441
222 = 484
232 = 529
242 = 576
252 = 625
262 = 676
272 = 729
282 = 784
292 = 841
302 = 900
http://ms.wikipedia.org/wiki/Congak
B
BRACKET
(
)
6 725–(563+918)
D
DIVISION
÷
2 560 + 235 ÷ 5
M
MULTIPLICATION
×
8 291+6×9
A
ADDITION
+
7 203+636-1 999
S
SUBTRACTION
-
8 082–1288+651
Posted by ZANAINAH BI
Definisi 'congak'
Indonesian to Indonesian
adjective
1. men·co·ngak v mengangkat muka (kepala) ke atas;
mendongak: dia ~ memandang kpd saya;
co·ngak-ca·ngit v mendongak dan menundukkan muka berkali-kali;
men·co·ngak·kan v mendongakkan muka (kepala): kerbau ~
kepalanya ketika melihat musuhnya
source: kbbi3
noun
2. taksiran yg dibuat dl kepala saja, tidak ditulis: biaya pembelian
barang baru dibuat dng -- saja;
men·co·ngak v menghitung di luar kepala (dng ingatan saja, yg ditulis
hanya hasilnya)
source: kbbi3
Related Word(s)
congak-cangit, mencongak, mencongakkan, congak,
Visual ArtiKata
Explore congak in SinonimKata.com >
http://artikata.com/arti-323946-congak.html
Congak
Daripada Wikipedia, ensiklopedia bebas.
Pencongakan di sekolah S.Rachinsky oleh Nikolay Bogdanov-Belsky. 1895.
Congak ialah satu kaedah pengiraan yang hanya menggunakan otak manusia,
tanpa bantuan kalkulator, komputer, atau pen dan kertas.
Secara praktikalnya, pencongakan bukan sahaja membantu apabila tiada alat
pengiraan, tetapi ia juga membantu dalam keadaan pengiraan cepat mesti
dilakukan. Apabila sesuatu kaedah dibuat dengan lebih pantas dari kaedah
konvensional (seperti yang diajar di sekolah), ia dipanggil kaedah pendek.
Walaupun tujuan utamanya ialah untuk mempercepatkan pengiraan,
pencongakan juga dipraktikkan dan ditambah dengan helah-helah untuk
menunjukkan kemahiran pengiraan pantas.
Hampir semua kaedah sebegini menggunakan sistem angka perpuluhan.
Pemilihan radiks menentukan kaedah yang sesuai dan pengiraan yang mudah
untuk dilakukan dalam fikiran. Contohnya, mendarab atau membahagi dengan
10 adalah sangat mudah untuk angka perpuluhan (cuma alihkan titik
perpuluhan), sementara mendarab dan membahagi dengan enam belas adalah
sukar; tetapi keadaan berbeza berlaku apabila asas perenambelasan digunakan.
Terdapat banyak teknik berbeza untuk melakukan congakan, kebanyakannya
adalah khusus untuk jenis-jenis masalahnya.
Isi kandungan [sorokkan]
1 Buang sembilan
1.1 Penganggaran
1.2 Faktor-faktor
2 Mengira perbezaan: a − b
2.1 Pengiraan langsung
2.2 Pengiraan tidak langsung
2.3 Kaedah peminjaman lihat ke depan
3 Mengira hasil darab: a × b
3.1 Mendarab dengan 2 atau nombor kecil yang lain
3.2 Mendarab dengan 5
3.3 Mendarab dengan 9
3.3.1 Menggunakan tangan: nombor 1-10 didarab dengan 9
3.4 Mendarab dengan 10 (dan kuasa 10)
3.5 Mendarab dengan 11
3.6 Mendarab 2 nombor antara 11 dan 19
3.7 Mendarab sebarang nombor 2 digit
3.8 Menggunakan tangan: 6–10 didarab dengan nombor 6–10
3.9 Menggunakan nombor kuasa dua
3.10 Mengkuasa duakan nombor
3.10.1 Kuasa dua nombor di bawah 50
3.10.2 Kuasa dua nombor yang berakhir dengan 5
3.10.3 Kuasa dua integer dari 26 hingga 75
3.10.4 Kuasa dua integer dari 76 hingga 99
3.10.5 Kuasa dua untuk sebarang nombor
3.10.6 Kuasa dua sebarang integer 2 digit
4 Mencari punca kuasa
4.1 Menganggarkan punca kuasa dua
4.2 Mengekstrak punca kuasa untuk kuasa-kuasa yang sempurna
4.2.1 Mengekstrak punca kuasa tiga
5 Menganggarkan logaritma umum (logaritma asas 10)
6 Sistem lain
7 Piala Dunia Pengiraan Congak
8 Lihat juga
9 Pautan luar
10 Kumpulan
Buang sembilan[sunting | sunting sumber]
Buang sembilan ialah satu kaedah untuk memastikan yang hasil pengiraan
aritmetik permulaan adalah benar. Dengan melihat pada asas digit input dan
output, prosedur berikut boleh digunakan untuk meningkatkan keyakinan yang
keputusan itu adalah benar.
Tambah digit kendalian pertama; sebarang 9 (atau set digit yang jika ditambah
mendapat hasil 9) dianggap mempunyai nilai 0.
Jika hasil tambah memiliki dua atau lebih digit, tambah digit-digit tersebut
seperti langkah pertama; ulang langkah ini sehingga mendapat hasil satu digit.
Ulang langkah satu dan dua untuk kendalian kedua. Sekarang akan terdapat dua
nombor digit, satu adalah hasil dari kendalian pertama dan satu lagi hasil dari
kendalian kedua. (nombor-nombor digit ini juga merupakan baki jika kendalian
asal dibahagikan dengan 9; dalam bahasa matematik, ia dikenali sebagai
kendalian asal modulo 9.)
Gunakan operasi asal (tambah, tolak, bahagi dan darab) untuk kedua-dua hasil
kendalian, kemudian tambah digit-digit dari hasil operasi tersebut.
Tambah kesemua digit dari hasil pengiraan asal (sebelum buang sembilan
dilakukan) seperti dalam langkah pertama.
Jika hasil dari langkah 4 tidak sama dengan hasil dari langkah 5, jadi jawapan
dari pengiraan asal adalah salah. Jika kedua-dua hasil adalah sama, jawapan asal
mungkin benar, tetapi tidak dijamin.
Contoh
Katakan pengiraan asal 6338 × 79 bersamaan dengan 500702. 6338 ialah
kendalian pertama, 79 ialah kendalian kedua dan operasi asalnya ialah
pendaraban.
Tambah digit-digit 6338: (6 + 3 = 9, dianggap 0) + 3 + 8 = 11
Ulang jika perlu (untuk dapatkan 1 digit): 1 + 1 = 2
Tambah digit-digit 79: 7 + (9 dikira 0) = 7
Lakukan operasi asal pada kedua-dua hasil kendalian, dan tambah digit-digit dari
hasilnya: 2 × 7 = 14; 1 + 4 = 5
Tambah digit-digit hasil pengiraan asal 500702: 5 + 0 + 0 + (7 + 0 + 2 = 9,
dianggap 0) = 5
5 = 5, jadi terdapat kemungkinan yang hasil pengiraan asal 6338 × 79
bersamaan 500702, adalah benar.
Penganggaran[sunting | sunting sumber]
Apabila memeriksa congakan, ia berguna dengan menggunakan penskalaan.
Contohnya, apabila mengendalikan pengiraan nombor besar seperti 1531 ×
19625, penganggaran boleh dibuat untuk nilai akhir kepada pengiraan ini. 1531
adalah hampir dengan 1500 dan 19625 adalah hampir dengan 20000, jadi hasil
pengiraan ini sepatutnya hampir dengan 20000 × 1500 (30000000), satu nilai
anggaran yang baik untuk jawapan sebenar (30045875). Jadi jika sesuatu
jawapan memiliki lebih bilangan digit dari jumlah digit dalam nilai anggaran,
jawapan itu adalah salah.
Faktor-faktor[sunting | sunting sumber]
Apabila mendarab, perlu diingat yang faktor-faktor kepada kendalian akan kekal.
Contohnya, adalah tidak munasabah jika hasil darab 14 × 15 ialah 211 kerana 15
adalah satu nilai gandaan 5, jadi hasil darabnya sepatutnya gandaan lima juga.
Jawapan yang betul ialah 210.
Mengira perbezaan: a − b[sunting | sunting sumber]
Pengiraan langsung[sunting | sunting sumber]
Apabila digit-digit b adalah semuanya lebih kecil dari digit-digit "a", pengiraan
boleh dibuat secara langsung antara digit dengan digit. Contohnya, pengiraan
872 − 41 dibuat dengan menolak 1 dari 2 di tempat "sa", dan 4 dari 7 di tempat
"puluh", mendapatkan jawapan:831
Pengiraan tidak langsung[sunting | sunting sumber]
Apabila keadaan seperti di atas tidak berlaku, masalah ini kadang-kadang boleh
diubah suai:
Jika hanya satu digit dalam b yang lebih besar dari digit-digit a, kurangkan digit
besar dalam b itu sehingga ia sama dengan digit a yang bertentangan.
Kemudian dapatkan hasil operasi. Akhir sekali, tolakkan jumlah yang dikurangkan
dari digit besar b sebelum ini pada hasil operasi untuk mendapatkan hasil akhir.
Contohnya, untuk mengira 872 − 92, tukarkan masalah ini menjadi 872 − 72 =
800, kemudian tolakkan 20 dari 800 untuk mendapatkan hasil akhir:780.
Jika lebih dari satu digit dalam b yang lebih besar dari digit bertentangan dalam
a, ia akan menjadi mudah jika jumlah yang patut ditambah pada b untuk
mendapatkan a dicari. Contohnya, untuk mengira 8192 − 732, nilai 8 boleh
ditambah pada 732 (menghasilkan 740), kemudian tambah 60 (menghasilkan
800), kemudian 200 (menghasilkan 1000). Selepas itu, tambah 192 untuk
mendapatkan 1192, dan akhir sekali, tambah 7000 untuk mendapatkan 8192.
Jadi, jumlah yang patut ditambah pada b untuk mendapatkan nilai a adalah 7000
+ 192 + 200 + 60 + 8 = 7460. Jadi 8192 − 732 = 7460.
Ia mungkin lebih mudah pengiraan dimulakan dari kiri (nombor besar) dahulu.
Anda boleh meneka apa yang perlu dan kumpulkan semua tekaan anda, tekaan
anda adalah baik selagi ia tidak melangkaui nombor "sasaran".
Kaedah peminjaman lihat ke depan[sunting | sunting sumber]
Kaedah ini boleh digunakan untuk menolak nombor dari kiri ke kanan, dan
penggunaan memori adalah sedikit walaupun untuk menolak nombor dalam apaapa saiz.
Satu tempat dikendalikan pada masa yang sama, kiri ke kanan.
Contoh:
4075
- 1844
-----Ribu: 4 - 1 = 3, lihat ke kanan, 075 < 844, perlu dipinjam.
3 - 1 = 2, disebut "dua ribu"
Ratus: 0 - 8 = nombor negatif tidak dibenarkan di sini,
10 - 8 = 2, 75 > 44, jadi tidak perlu dipinjam,
disebut "dua ratus"
Puluh: 7 - 4 = 3, 5 > 4 jadi tidak perlu dipinjam, disebut "tiga puluh"
Sa: 5 - 4 = 1, disebut "satu"
Mengira hasil darab: a × b[sunting | sunting sumber]
Banyak kaedah ini berhasil disebabkan oleh sifat penaburan.
Mendarab dengan 2 atau nombor kecil yang lain[sunting | sunting sumber]
Apabila satu nombor yang didarab adalah cukup kecil untuk didarab dengan
mudah oleh mana-mana digit tunggal, hasil darabnya boleh dikira dengan
mudah antara digit dengan digit dari kanan ke kiri. Ini khususnya mudah untuk
pendaraban dengan 2 kerana digit bawa tidak boleh lebih dari 1.
Contohnya, untuk mengira 2 × 167: 2x7=14, jadi digit akhirnya ialah 4, dengan
1 dibawa dan ditambah pada 2x6=12 untuk mendapatkan 13, jadi digit
seterusnya ialah 3 dengan 1 dibawa dan ditambah pada 2x1=2 untuk
mendapatkan 3. Jadi hasil darabnya ialah 334.
Mendarab dengan 5[sunting | sunting sumber]
Untuk mendarab satu nombor dengan 5,
1. Pertama, darab nombor tersebut dengan 10, kemudian bahagikan hasilnya
dengan 2.
Algoritma berikut ialah cara pantas untuk menghasilkan keputusan ini:
2. Tambahkan sifar pada bahagian kanan nombor kendalian pertama. (A.)
3. Kemudian, bermula dari angka paling kiri, bahagikan setiap digit dengan 2 (B)
dan gabungkan semua hasilnya menjadi satu nombor baru; (jawapan dengan
titik perpuluhan perlu dibundarkan menjadi nombor bulat).
CONTOH: Darabkan 176 dengan 5.
A. Tambahkan sifar pada 176 menjadikannya 1760.
B. Bahagikan setiap digit dengan 2 bermula dari kiri.
1. Bahagikan 1 dengan 2 = 0.5, dibundarkan kepada 0.
2. Bahagikan 7 dengan 2 = 3.5, dibundarkan kepada 3.
3. Bahagikan 6 dengan 2 = 3
4. Bahagikan 0 dengan 2 = 0
Gabungan nombor-nombor di atas menghasilkan nombor baru 0330. (Ini
bukanlah jawapan akhir, tetapi satu anggaran pertama yang akan dilaras dalam
langkah berikut:)
C. Tambahkan 5 kepada nombor yang mengikut mana-mana angka tunggal di
dalam nombor baru ini
(yang sebelum ia dibahagikan dengan 2, merupakan nombor ganjil);
CONTOH: 176 (Dalam tempat PERTAMA, KEDUA, KETIGA):
1.Tempat PERTAMA ialah 1, yang merupakan angka ganjil.
Tambahkan 5 kepada nombor selepas tempat pertama dalam nombor baru
(0330) iaitu 3; 3+5=8.
2.Tempat KEDUA ialah 7, juga angka ganjil.
Hasil dari langkah pertama (0830) akan bertambah dengan 5 juga, menjadi
0880.
3.Tempat KETIGA ialah 6, satu angka genap, jadi nombor akhir, 0 tidak akan
berubah.
Jawapan akhir ialah 0880.
Sifar paling kiri boleh dibuang, meninggalkan 880. Jadi 176 didarab 5
bersamaan dengan 880.
Mendarab dengan 9[sunting | sunting sumber]
Oleh kerana 9 = 10 - 1, untuk mendarab dengan 9, darabkan nombor itu dengan
10 dan tolakkan nombor asal dari hasil ini. Contohnya, 9 × 27, ubahkan menjadi
10 × 27 = 270 ; jadi 9 × 27 = (270 - 27) = 243.
Menggunakan tangan: nombor 1-10 didarab dengan 9[sunting | sunting sumber]
Tandakan setiap jari (pada kedua-dua belah tangan) dengan nombor dari 1
hingga 10, dari kiri ke kanan. Simbol "|" dalam rajah berikut mewakili setiap jari
yang diangkat, manakala tanda "-" mewakili jari yang dibengkokkan.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
||||| |||||
tangan kiri tangan kanan
Bengkokkan jari yang mewakili nombor yang akan didarab dengan sembilan
Contoh: 6 didarab dengan 9
||||| -||||
Jari yang keenam dari kiri telah dibengkokkan. Ambil jumlah jari yang masih
diangkat di sebelah kiri jari keenam dan gabungkannya dengan jumlah jari yang
masih diangkat di sebelah kanan jari keenam untuk mendapatkan hasil darab.
Contoh: Terdapat 5 jari yang masih diangkat di sebelah kiri jari ke-6 dan 4 jari
yang masih diangkat di sebelah kanan. Jadi 6 didarab dengan 9 = 54.
5
4
||||| -||||
Mendarab dengan 10 (dan kuasa 10)[sunting | sunting sumber]
Untuk mendarab satu integer dengan 10; cuma tambahkan angka 0 pada hujung
kanan nombor tersebut.
Untuk mendarab satu bukan integer dengan 10, cuma alihkan titik perpuluhan ke
kanan satu digit.
Untuk algoritma asas 10, mendarab dengan 10n (n ialah satu integer), alihkan
titik perpuluhan digit-digit n ke kanan. Jika n ialah nombor negatif, alihkan
perpuluhan digit-digit |n| ke kiri.
Mendarab dengan 11[sunting | sunting sumber]
Untuk nombor digit tunggal, cuma buat pendua untuk nombor tersebut dalam
digit "puluh", contohnya: 1 × 11 = 11, 2 × 11 = 22, sehingga 9 × 11 = 99.
Hasil darab 11 dengan mana-mana integer bukan sifar yang lebih besar boleh
didapati dengan beberapa penambahan pada setiap digit-digitnya dari kanan ke
kiri, dua pada satu masa.
Mulanya ambil digit "sa" pada pendarab dan letakkan pada hasil sementara.
Kemudian, bermula dengan digit sa pada pendarab, tambah setiap digit dengan
digit seterusnya ke kiri. Setiap hasil tambah 10 atau lebih akan membawa digit
"puluh", yang akan sentiasa menjadi 1, dan bawanya ke penambahan
seterusnya. Akhir sekali, salin digit paling kiri pendarab (nilai paling besar) ke
depan (kiri sekali) hasil tersebut, tambah 1 yang dibawa ke hadapan jika perlu,
untuk mendapat hasil darab akhir.
Dalam kes negatif 11, pendarab, atau kedua-duanya, letakkan tanda pada hasil
darab seperti pendaraban biasa kedua-dua nombor.
Contoh langkah pengiraan untuk 759 × 11:
Digit "sa" untuk pendarab, 9, diletakkan pada hasil sementara.
hasil: 9
Tambah 5 + 9 = 14, jadi 4 diletakkan pada bahagian kiri hasil dan membawa
digit "1" ke hadapan.
hasil: 49
Tambah 7 + 5 = 12, kemudian tambah dengan 1 (yang dibawa dari pengiraan
kedua) untuk dapatkan 13. Letakkan 3 di bahagian kiri hasil dan bawa 1 ke
hadapan.
hasil: 349
Tambah 1 yang dibawa ke hadapan pada digit tertinggi dalam pendarab
tersebut, 7+1=8, dan salin pada hasil untuk medapatkan hasil akhir.
Hasil darab akhir untuk 759 × 11: 8349
Contoh lain
−54 × −11 = 5 5+4(9) 4 = 594
999 × 11 = 9+1(10) 9+9+1(9) 9+9(8) 9 = 10989
Pengiraan 9+1 adalah digit paling tinggi nilainya.
−3478 × 11 = 3 3+4+1(8) 4+7+1(2) 7+8(5) 8 = −38258
62473 × 11 = 6 6+2(8) 2+4+1(7) 4+7+1(2) 7+3(0) 3 = 687203
Kaedah lain ialah dengan cuma mendarab dengan nombor 10, dan tambah
nombor asal (pendarab) pada hasil tersebut.
Contoh:
17 × 11
17 × 10 = 170 + 17 = 187
17 × 11 = 187
Mendarab 2 nombor antara 11 dan 19[sunting | sunting sumber]
Untuk mendarab dengan mudah 2 nombor antara 11 dan 19 dalam algoritma
ringkas seperti berikut
Rumus:
(10+a) × (10+b)
100 + 10 * (a+b) + a*b
Contoh:
17 * 16
(10+7) × (10+6)
100 + 10(7+6) + (7 × 6)
100 + 10(13) + (42)
=272
Mendarab sebarang nombor 2 digit[sunting | sunting sumber]
Untuk mendarab dengan mudah sebarang nombor 2 digit bersama dengan
menggunakan algoritma ringkas adalah seperti berikut:
(10a+b) \cdot (10c+d)
= 100 (a\cdot c) + 10 (b\cdot c) + 10 (a\cdot d)+ b\cdot d
Contoh
23\cdot 47 =
= [10(2) + 3]*[10(4) + 7]
= 100(2×4) + 10(3×4) + 10(2×7) + (3×7)
= 800 + 120 + 140 + 21 = 1081
Perlu diingat yang ini adalah sama dengan penambahan konvensional hasil
darab separa, cuma ia dinyatakan kembali secara ringkas. Untuk
meminimumkan jumlah elemen yang berada dalam memori, ia mungkin lebih
mudah dengan melakukan penambahan hasil darab dari pendaraban "silang"
dahulu, dan kemudian tambah 2 elemen yang lain:
(a\cdot d+b\cdot c)\cdot 10
+ b\cdot d
+ a\cdot c\cdot 100
i.e., sebagai contoh
[(2 × 7) + (3 × 4)] × 10
(12+14) × 10
26 × 10 = 260 + (b*d = 3 × 7) + (a*c*100 = 2 × 4 × 100)
akan menjadi mudah dengan menambah kemudian 21: 281 dan 800: 1081
Satu kaedah nemonik untuk mengingati pencongakan ini ialah FOIL. F
bermaksud first (pertama), O bermaksud outer (luar), I bermaksud inner (dalam)
dan L bermaksud last (akhir).
Sebagai contoh:
75\cdot 23
dan
ab\cdot cd
7 mewakili a, 5 mewakili b, 2 mewakili c dan 3 mewakili d.
Gunakan persamaan
a\cdot c\cdot 100 + (a\cdot d+b\cdot c)\cdot 10 + b\cdot d
Persamaan ini adalah bersamaan dengan mana-mana nombor dalam asas 10
dengan tempat digit ratus, puluh dan sa. FOIL boleh juga dilihat sebagai satu
nombor, dengan F adalah ratus, OI adalah puluh dan L adalah sa.
a\cdot c adalah hasil darab antara 2 digit pertama (paling kiri) dalam setiap dua
nombor; F.
(a\cdot d+b\cdot c) adalah penambahan hasil darab antara digit luar (digit
paling kiri dan paling kanan) dan digit dalam; OI.
b\cdot d adalah hasil darab digit akhir (paling kiri) untuk kedua-dua nombor; L.
Menggunakan tangan: 6–10 didarab dengan nombor 6–10[sunting | sunting
sumber]
Teknik ini membenarkan nombor dari 6 hingga 10 didarab dengan nombor lain
dari 6 hingga 10.
Tentukan 6 kepada jari kelingking, 7 kepada jari manis, 8 kepada jari tengah, 9
kepada jari telunjuk, dan 10 kepada ibu jari. Sentuh kedua - dua jari yang
mewakili dua nombor yang hendak didarab. Titik sentuh antara dua jari dan
semua jari di bawah berada dalam seksyen "bawah", dan kesemua jari di atas 2
jari yang bersentuhan berada dalam seksyen "atas". Sebagai contoh, 6 × 9 akan
kelihatan seperti ini:
-10---9---8-- (atas)
-10-- --7-====================
--9-- --6-- jari telunjuk kiri dan jari kelingking kanan sedang bersentuhan
--8--
(bawah)
--7---6-(9 × 6)
-10-- -10---9-- --9---8-- --8---7-- --7---6-- --6-Berikut adalah contoh-contohnya:
9×6
atas:
-10---9---8--10-- --7-bawah:
--9-- --6---8---7---6-- 5 jari di bawah mewakili 5 puluh - 4 jari di atas ke kanan (4) - 1 jari di atas ke
kiri (1)
Hasilnya: 9 × 6 = 50 + 4 × 1 = 54
6×8
atas:
-10---9---8-- -10---7-- --9-bawah:
--6-- --8---7---6--
- 4 jari di bawah mewakili 4 puluh - 2 jari di atas ke kanan - 4 jari di atas ke kiri
Hasilnya: 6 × 8 = 40 + 2 × 4 = 48
Bagaimana ia dilakukan: setiap jari mewakili satu nombor (antara 6 dan 10).
Sentuh kedua-dua jari yang mewakili nombor yang hendak didarab (x dan y).
Jari-jari di "bawah" memberikan nombor dalam puluh, iaitu (x − 5) + (y − 5).
Digit di bahagian atas kiri memberikan (10 − x) dan di bahagian atas kanan
memberikan (10 − y), membawa kepada [(x − 5) + (y − 5)] × 10 + (10 − x) ×
(10 − y) = x × y.
Menggunakan nombor kuasa dua[sunting | sunting sumber]
Hasil darab antara nombor-nombor kecil boleh dikira dengan menggunakan
integer kuasa dua; sebagai contoh, untuk mengira 13 × 17, 15 sebagai purata
kepada kedua-dua faktor boleh diambil, dan fikirkannya sebagai (15 − 2) × (15 +
2), atau 15² − 2². Dengan mengetahui 15² adalah 225 dan 2² adalah 4,
penolakan mudah menunjukkan yang 225 − 4 = 221, yang merupakan hasil
darab yang dikehendaki.
Kaedah ini memerlukan pengetahuan beberapa nombor kuasa dua:
12 = 1
22 = 4
32 = 9
42 = 16
52 = 25
62 = 36
72 = 49
82 = 64
92 = 81
102 = 100
112 = 121
122 = 144
132 = 169
142 = 196
152 = 225
162 = 256
172 = 289
182 = 324
192 = 361
202 = 400
212 = 441
222 = 484
232 = 529
242 = 576
252 = 625
262 = 676
272 = 729
282 = 784
292 = 841
302 = 900
http://ms.wikipedia.org/wiki/Congak