Handout GNR105 Himpunan

Himpunan (Set)

Dasar Logika Matematika
Objective
• Mahasiswa dapat menjelaskan himpunan (set)

Pertemuan 4:

• Mahasiswa dapat memodelkan himpunan dengan menggunakan diagram
venn

Himpunan (Set) |

Definisi Himpunan
• Apa itu himpunan?

Penyajian Himpunan
1. Setiap anggota himpunan harus dituliskan secara rinci

• Himpunan (set) adalah kumpulan objek yang memiliki
anggota yang berbeda satu dengan lainnya.

Contoh.

• Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau
anggota.

• C = {TIF, KOM, PSI, DKV, MGT}

• B = {2, 4, 6, 8, 10}.
• {2, 4, 6, 8, 10} dan {TIF, KOM, PSI, DKV, MGT} merupakan anggota
dari himpunan B dan C.

Contoh.
HIMA adalah contoh sebuah himpunan, di dalamnya
berisi anggota berupa mahasiswa. Tiap mahasiswa
berbeda satu sama lain.

2

• Keanggotaan sebuah himpunan dapat disimbolkan dengan  (elemen)

dan  (bukan elemen).

Georg Cantor
(1845-1918)

Himpunan (Set) |

3

Himpunan (Set) |

4

Penyajian Himpunan

3. Penyajian himpunan dapat juga direpresentasikan dalam bentuk
notasi pembentukan himpunan. Format { x  syarat yang harus
dipenuhi oleh x}.

2. Himpunan dapat juga dituliskan menggunakan simbol-simbol

baku, sebagai berikut.
•
•
•
•
•
•
•

Penyajian Himpunan

P = himpunan bilangan bulat positif = { 1, 2, 3, ... }
N = himpunan bilangan asli atau alami (natural) = { 1, 2, ... }
Z = himpunan bilangan bulat integer = { ..., -2, -1, 0, 1, 2, ... }
Q = himpunan bilangan rasional
R = himpunan bilangan riil
C = himpunan bilangan kompleks
U = semesta (universal)

Contoh.

A adalah himpunan bilangan bulat positif kecil dari 5
Jawab :
A = { 1, 2, 3, 4}, jika dituliskan dengan notasi himpunan, maka penulisannya
sebagai berikut,
A = { x | x bilangan bulat positif lebih kecil dari 5} atau A = { x | x P , x < 5 }
Himpunan (Set) |

5

Himpunan (Set) |

Penyajian Himpunan

Relasi Himpunan (Set)
Relasi Himpunan (Set)

4. Diagram Venn.

• Relasi himpunan dapat dinyatakan sebagai:

Diagram venn digunakan untuk menggambarkan
relasi antar satu hmpunan dengan himpunan
lainnya.

– Subset (himpunan bagian)
– Disjoint (himpunan saling lepas)

Contoh.
Misalkan
U = {1, 2, …, 7, 8},
A = {1, 2, 3, 5}, dan
B = {2, 5, 6, 8}.

6

– Overlapping (himpunan yang memiliki elemen yang sama)

John Venn
(4 Ags 1834 - 4 Apr 1923)
Himpunan (Set) |

7

Himpunan (Set) |

8

Relasi Himpunan (Set)

Relasi Himpunan (Set)

Subset

Disjoint

• Sebuah himpunan dikatakan subset dari himpunan lainnya jika dan
hanya jika setiap elemen himpunan tersebut merupakan elemen
dari himpunan lainnya (  ).

• 2 buah himpunan dikatakan disjoint apabila kedua himpunan tidak

memiliki elemen yang sama.

Contoh.

Contoh.
A = {1, 3, 5} dan B = {2, 4, 6, 8}, maka A
disjoint B atau A // B.

A = {1, 3, 5} dan B = {1, 2, 3, 4, 5}, maka A
dikatakan subset dari B atau A  B. Sedangkan
B merupakan superset dari A (B  A).
Himpunan (Set) |

9

Himpunan (Set) |

Relasi Himpunan (Set)

10

Relasi Himpunan (Set)

Overlapping

Latihan.

• Dua buah himpunan dikatakan overlapping jika keduanya
memiliki elemen yang sama setidaknya satu elemen.

Jelaskan dan gambarkan relasi menggunakan diagram venn:
1. Menteri dan DPR
2. Pemenang Oscar dan pemenang Golden Globe
3. Atlet dan Mahasiswa.

Contoh.
A = {2, 3, 5, 7, 9} dan B = {1, 2, 3, 4, 5},
maka {2, 3, 5} dapat dikatakan sebagai
intersection/irisan A dan B atau dapat
dinotasikan dengan A  B = {x | x  A dan x 

B}
Himpunan (Set) |

11

Himpunan (Set) |

12

Kardinalitas
• Menunjukkan banyaknya elemen dalam sebuah himpunan.

Himpunan Kosong (Null Set)
• Himpunan yag memiliki nilai kardinalitas 0.
• Dinotasikan dengan  atau { }.

• Dinotasikan dengan n(simbol himpunan) atau | simbol himpunan |
Contoh.

Contoh.

i. B = { x | x merupakan bilangan prima lebih kecil dari 20 }, atau B = {2,
3, 5, 7, 11, 13, 17, 19} maka B = 8

i. E = {x | x < x}, maka n(E) = 0

ii. T = {kucing, a, Amir, 10, paku, pena}, maka T = 5

ii. P = {orang Indonesia yang pernah ke bulan}, maka n(P) = 0
iii. A = {x | x adalah bilangan prima < 2}, n(A) = 0
himpunan {{ }} dapat juga ditulis sebagai {}

Himpunan (Set) |

13

Himpunan (Set) |

Himpunan yang Sama
• Dua buah himpunan dikatakan sama jika dan hanya jika setiap

elemen yang satu merupakan elemen lainnya atau sebaliknya.

14

Himpunan yang Sama
Contoh.
• Jika A = { 3, 5, 8 } dan B = {5, 3, 8 }, maka A = B
• Jika A = { 3, 5, 8} dan B = {3, 8}, maka A  B

• Atau Dua buah himpunan dikatakan sama jika himpunan satu
merupakan bagian dari himpunan lainnya dan sebaliknya.
• Notasi:

A = B  A  B dan B  A.

Untuk tiga buah himpunan, A, B, dan C berlaku aksioma berikut:
– A = A, B = B, dan C = C

Himpunan (Set) |

15

–

jika A = B, maka B = A

–

jika A = B dan B = C, maka A = C
Himpunan (Set) |

16

Himpunan yang Ekivalen
• Dua buah himpunan dikatakan ekivalen jika dan hanya jika nilai
kardinalitas elemen yang satu sama dengan nilai kardinalitasb
himpunan lainnya.

1. Intersection (Irisan).

Notasi: A  B = {x | x  A dan x  B}

• Notasi: A ~ B  |A| = |B|.
Contoh.

Misalkan A = {1, 3, 5, 7} dan B = {a, b, c, d}, maka A ~ B sebab A =
B = 4

Himpunan (Set) |

Operasi Himpunan

Contoh.
• Jika A = {2, 4, 6, 8, 10} dan B = {4, 10, 14, 18}, maka A  B = {4, 10}
• Jika A = { 3, 5, 9 } dan B = { -2, 6 }, maka A  B = . Artinya: A // B
• A = {amir, budi, ani} dan B={budi, ali, toni} maka A  B = {budi}
17

Himpunan (Set) |

Operasi Himpunan
2. Union (Gabungan).

18

Operasi Himpunan
3. Complement (Komplemen).

Notasi: A  B = {x | x  A atau x  B}

Notasi: Ā = {x | x  U, x  A}

Contoh.
Misalkan U = {1, 2, 3, ..., 9}

Contoh.

• Jika A = {2, 5, 8} dan B = {7, 5, 22}, maka A  B = {2, 5, 7, 8, 22}

• Jika A = {1, 3, 7, 9}, maka Ā = {2, 4, 6, 8}

• Jika A = {x | x/2  P, x < 9}, maka Ā = {1, 3, 5, 7, 9}

• A=A

Himpunan (Set) |

19

Himpunan (Set) |

20

Operasi Himpunan

Dasar Logika Matematika
Contoh.
Misalkan:

Pertemuan 4:

A = Himpunan semua mobil buatan dalam negeri
B = Himpunan semua mobil impor
C = Himpunan semua mobil yang dibuat sebelum tahun 1990
D = Himpunan semua mobil yang nilai jualnya kurang dari Rp 100 juta
E = Himpunan semua mobil milik mahasiswa universitas tertentu

Himpunan (Set) |

Operasi Himpunan

Latihan
1. Sebuah kelas terdiri 40 siswa ,diantaranya 18 siswa suka IPA, 23 suka
IPS, 8 siswa suka keduanya dan sejumlah siswa tidak suka keduanya,
tentukan:
a. Jumlah siswa yang tidak suka keduanya
b. Gambarkan diagram venn

Tentukan operasi terhadap himpunan jika memiliki kondisi berikut:
1. Mobil mahasiswa di universitas ini produksi dalam negeri atau diimpor dari
luar negeri.  E  A  E  B atau E  (A  B)
2. Semua mobil produksi dalam negeri yang dibuat sebelum tahun 1990 yang
nilai jualnya kurang dari Rp 100 juta.  A  C  D
3. Semua mobil impor buatan setelah tahun 1990 mempunyai nilai jual lebih
dari Rp 100 juta.

Himpunan (Set) |

22

2. Suatu kelompok belajar berjumlah 21 siswa, diantaranya 10 siswa
belajar bahasa inggris, dan 15 siswa belajar matematika. Tentukan:
a. Jumlah siswa yang belajar keduanya,
b. Gambarkan diagram venn
23

Himpunan (Set) |

24

Latihan
3. Perhatikan diagram Venn di
samping ini kemudian
tentukan anggota himpunan
A, B, M, dan N berikut notasi
yang memenuhi diagram
Venn tersebut jika U adalah
bilangan asli!

Latihan
4. Jika diketahui A adalah himpunan siswa yang aktif pada OSIS, B
adalah himpunan siswa yang aktif pada Fotographi, C adalah
himpunan siswa yang aktif pada Sains, D adalah himpunan siswa yang
aktif pada Modern Dance sedangkan U adalah himpunan Semesta dan
anggota-anggotanya adalah sebagai berikut:
A = {Agus, Rina, Riska, Bonny, David, Abraham, Fely, Vita, Fania}
B = {Lucky, Fathur, Vita, Fanny, Budi, Firman, David}
C = {Aldo, Adnan, Benny, Monik, Fawazz, Thomas, David, Vita}
D = {Natasha, Firda, Denny, Febri, Yanuar}

Himpunan (Set) |

25

Latihan
• Gambarlah sebuah diagram Venn yang merepresentasikan situasi
tersebut!
• Beberapa voucher gratis masuk sebuah Taman Rekreasi akan diberikan
kepada beberapa siswa dengan ketentuan seleksi adalah V = (A  B 
C)  D. Tentukanlah, siapakah siswa-siswa yang memperoleh
voucher?

Himpunan (Set) |

27

Himpunan (Set) |

Dasar Logika Matematika
Pertemuan 4:

26