Kajian Analitik Persamaan Spinor Foton Dengan Efek Relativistik
BAB II
DASAR TEORI
Sebagaimana telah diketahui dalam kinematika relativistik, persamaanpersamaannya diturunkan dari dua postulat relativitas. Dua kerangka inersia yang
bergerak relatif satu dengan yang lain dengan kecepatan konstan dihubungkan
melalui transformasi Lorentz. Ada suatu cara sederhana untuk memperoleh
persamaan-persamaan yang konsisten secara relativitas khusus (yaitu persamaanpersamaannya tampak sama dari sudut pandang pengamat dalam gerak relatif)
dengan menyatakan persamaan-persamaan tersebut dengan cara invarian Lorentz.
2.1 Teori Relativitas Umum Einstein
Teori relativitas umum Einstein adalah teori yang menyatakan bahwa
gravitasi bukan gaya seperti halnya gaya lain, namun gravitasi merupakan efek
dari kelengkungan ruang-waktu karena adanya penyebaran massa dan energi
didalam ruang waktu tersebut. Teori relativitas umum ini dibangun atas dua asas,
yaitu pertama asas kesetaraan (principle of equivalence) dan kedua, kovariansi
umum (general covariance)
Asas kesetaraan berbunyi,”Tidak ada percobaan yang dapat dilakukan
dalam daerah kecil (local) yang dapat membedakan medan gravitasi dengan
sistem dipercepat yang setara ”. Implikasi asas kesetaraan adalah kesamaan massa
gravitasi dan massa inersia. Sifat ini memungkinkan untuk menghilangkan efek
gravitasi yang muncul dengan menggunakan kerangka acuan yang dipercepat
yang sesuai. Hal ini merupakan konsekuensi dari medan gravitasi yaitu semua
benda yang berada didalamnya akan merasakan percepatan yang sama serta tidak
bergantung pada ukuran maupun massanya. Misalkan sebuah benda yang
bermassa m jatuh didalam medan gravitasi dengan percepatan gravitasi sebesar g.
Menurut mekanika Newton dapat dipilih kerangka acuan inersial (y‟,t‟) untuk
menghilangkan efek gravitasi pada kerangka (y,t). Atau dengan kata lain,
Universitas Sumatera Utara
kerangka (y,t) adalah kerangka yang dipercepat sebesar g terhadap kerangka
inersial (y‟,t‟) pada daerah tanpa medan gravitasi. ωontoh penerapannya adalah
bahwa sistem pengamatan jatuh bebas dalam medan gravitasi bumi seperti
misalnya elevator yang kabel gantungannya putus adalah kerangka inersial lokal.
Seorang pengamat dalam elevator tersebut dapat melepaskan benda dari keadaan
diam (dalam kerangka pengamat) dan akan mendapati bahwa benda tersebut tetap
diam. Kesimpulannya adalah hukum gerak pada kerangka inersial dalam daerah
tanpa medan gravitasi sama dengan hukum gerak pada kerangka jatuh bebas
didalam medan gravitasi. hal ini sesuai pada asas kovariansi umum yang
berbunyi,”hukum alam harus memiliki bentuk yang tetap terhadap sembarang
pemilihan transformasi koordinat”.
2.2 Prinsip Relativitas
Pada intinya, teori relativitas Einstein (baik teori relativitas khusus maupun
teori relativitas umum) adalah teori fisika modern dari ruang dan waktu, yang
telah diganti konsep ruang dan waktu absolut Newton dengan ruang – waktu .
Semula dalam fisika, relativitas berarti penghapusan ruang absolut,suatu
penyelidikan yang telah dikenal sebagaimana yang diinginkan sejak Newton. Dan
ini tentu saja apa yang disempurnakan dua teori Einstein: relativitas khusus, teori
ruang waktu datar, menghapuskan ruang mutlak dalam peranan Maxwell sebagai
„eter‟ yang membawa medan elektromagnetik, dan khususnya gelombang cahaya,
sedangkan relativitas umum, teori ruang – waktu lengkung, menghapuskan ruang
waktu mutlak juga dalam peranan Newtonian – nya mengenai standar ada dimana
– mana dan tidak dapat dipengaruhi dari gerak seragam atau diam. Anehnya , dan
tidak secara terencana tetapi agak sebagai satu hasil sampingan yang tidak dapat
dihindarkan, teori Einstein juga menghapuskan konsep waktu mutlak Newton.
Defenisi yang lebih modern dan positif dari relativitas telah disusun dari
teori relativitas yang sebenarnya. Berdasarkan pandangan ini, relativitas dari
setiap teori fisika menggambarkan dirinya sendiri dalam grup transformasi yang
menentukan hukum teori invariant dan oleh karena itu menggambarkan
kesimetrian, sebagai contoh ruang dan waktu dari teori ini. Maka seperti yang
Universitas Sumatera Utara
akan kita lihat, mekanika Newton memiliki relativitas yang disebut grup galilean,
relativitas
khusus
memiliki
relativitas
dari
grup
Lorentz
(grup
poincare).(Wolfgang Rindler, 2006)
2.3 Teori Relativitas khusus
Teori relativitas khusus yang dikemukakan Einstein pada tahun 1905
merupakan salah satu tulang punggung fisika modern. Sumbangannya terutama
dalam bentuk penataan dan pelurusan konsep – konsep dasar dalam fisika,
khususnya yang berkaitan dengan ruang – waktu , momentum – energi sebagai
aspek kinematika semua gejala alam, yang selanjutnya mengangkat cahaya
sebagai pembawa isyarat berkelakuan maksimum.
Sumbangan teori relativitas khusus adalah mampu menampilkan
persamaan maxwell, yang merupakan persamaan dasar dalam elektrodinamika,
dalam yang bentuk kovarian.Konsekuensi teori relativitas khusus adalah kelajuan
gelombang elektromagnet, tidak ada kerangka istimewa. Dalam kerangka inersial,
kelajuan cahaya sama dengan c, atau dengan kata lain , c merupakan suatu besaran
invarian. Selain itu persamaan maxwell berlaku dalam semua kerangka inersial,
yang oleh karena itu konsep ruang – waktu dan momentum – energi yang mutlak
harus diganti.(Anugraha R,2005)
Teori ini didasarkan pada dua asas, yaitu:
1. Semua hukum fisika memiliki bentuk yang tetap (kovarian) dalam setiap
kerangka acuan inersial
2. Ketidakubahan laju cahaya : laju cahaya memiliki nilai c yang sama dalam
semua sistem inersial.
2.3.1 Transformasi Lorentz
Transformasi Galileo mengenai koordinat, waktu, dan kecepatan tidak taat
dengan kedua postulat Einstein. Meskipun transformasi Galileo sesuai dengan
“akal sehat” , itu tidaklah memberi hasil yang sesuai dengan berbagai percobaan
pada laju tinggi. Oleh karena itu, diperlukan seperangkat persamaan transformasi
Universitas Sumatera Utara
baru yang dapat meramalkan berbagai efek relativistik seperti penyusutan
panjang,pemuluran waktu dan efek dopler relativistik. Karena juga diketahui
bahwa transformasi Galileo berlaku baik pada laju rendah, transformasi baru ini
haruslah memberikan hasil yang sama seperti transformasi Galileo, apabila laju
relatifnya rendah.(Krane K.,2006)
Transformasi yang memenuhi semua persyaratan ini dikenal dengan
Transformasi Lorentz dan, seperti halnya dengan transformasi Galileo ia
mengaitkan koordinat dari suatu peristiwa (x,y,z,t) sebagaimana diamati dari
kerangka S dengan koordinat peristiwa yang sama (x‟,y‟,z‟,t‟) yang diamati dari
kerangka acuan S‟ yang sedang bergerak dengan kecepatan v terhadap S. dengan
menganggap bahwa gerak relatifnya adalah sepanjang arah x positif.
Gambar (2.3.1) Kerangka S’ Bergerak Dengan Kecepatan Konstan
Terhadap Kerangka S
Bentuk persamaan Transformasi Lorentz ini adalah sebagai berikut
………………………………………………………...(2.1)
…………………………………………………………(2.2)
…………………………………………………………(2.3)
Universitas Sumatera Utara
………………………………………………………..(2.4)
Sekarang anggap suatu jam standar ω‟ yang ditempatkan dalam keadaan
diam dalam S‟ pada suatu titik di sumbu x‟. Ketika jam ω‟ merekam waktu
, jam standar di S pada saat itu akan direkam waktu t1 yang diberikan oleh
transformasi Lorentz,
………………………………(2.5)
Dengan :
……………………………………….(2.6)
Selanjutnya, ketika ω‟ direkam waktu‟ =
, ini juga serupa dengan jam lain
dalam S yang direkam waktu
……………………………….(2.7)
Dengan mengurangkan persamaan ini diperoleh
……………….(2.8)
Maka disimpulkan bahwa periode jam ketika diamati bergerak
lebih besar dari
periode dalam keadaan diamnya. Dengan kata lain: jam yang bergerak lebih
lambat daripada jam yang berada dalam keadaan diam. Hal ini disebut pemuluran
waktu relativistik.(Gron O.,Hervik S.,2007)
Pada kasus pengukuran panjang, kondisinya agak lebih rumit, karena
persamaan transformasi mengandung y dan z dalam cara yang berbeda daripada x,
dalam arah gerak relatifnya. Suatu skala yang tegak lurus terhadap arah gerak
relatif mempunyai panjang yang sama dalam sistem koordinat lain. Dianggap
pertama suatu batang tegar yang dihubungkan dengan S‟, titik – titik ujung
mempunyai koordinat
dan
. Panjang batang dalam sistem ini
(dimana batang relatif dalam keadaan diam terhadap sistem S‟ ini) adalah
……………………………….(2.λ)
Universitas Sumatera Utara
Suatu pengamat yang dihubungkan dengan S akan menganggap panjang batang
dengan perbedaan koordinat (x2 –x1) dari titik-titik ujungnya pada waktu yang
sama yaitu t. Koordinat
dan
dihubungkan ke x2 , x1 dan t dengan persamaan
transformasi
Lorentz, menghasilkan
……………………………………….(2.10)
……………………………………….(2.11)
Oleh karena itu perbedaan koordinatnya adalah
……………………………………….(2.12)
Dengan memisalkan panjang (x2 –x1) dengan l, maka diperoleh
……………………………….(2.13)
Batang yang kelihatan dikontraksi dengan faktor
. Efek ini disebut
dengan kontraksi Lorentz. (Peter G.Bergman,1961)
2.3.2 Massa dan Momentum Relativistik
Ada empat hukum kekekalan dalam mekanika klasik, tiga menggambarkan
tiga komponen momentum dari suatu sistem terisolasi dan satu lagi menunjukkan
energinya. Terhadap transformasi ruang, hukum kekekalan tiga momentum
bertransformasi bersama sebagai komponen – komponen dari tiga vektor
dimensional, sedangkan hukum kekekalan energi invarian.
Dengan transformasi Galilean, hukum momentum adalah invarian,
sedangkan hukum energi berlaku dalam sistem yang pertama. Hukum kekekalan
klasik tidak kovarian terhadap transformasi Lorentz yang mana melibatkan
waktu.Oleh karena itu, hukum ini harus dimodifikasi sehingga mereka kovarian
Lorentz, tetapi juga mendekati hukum klasik untuk kecepatan rendah.
Hukum Transformasi klasik akan mempunyai sifat transformasi yang sama
terhadap transformasi koordinat ruang seperti hukum klasik, dengan kata lain ,
Universitas Sumatera Utara
akan ada lagi hukum vektor (dengan tiga komponen) dan hukum skalar. Hal ini
akan menentukan pencapaian besar bentuk hukum relativistik. Momentum
relativistik didefenisikan sebagai:
………………………………………(2.14)
Einstein meyakinkan bahwa hukum kekekalan momentum harus berlaku, dia
membantunya dengan hipotesis yang berani: massa dari suatu objek harus
bergantung pada kecepatannya. Dalam teori tumbukan partikel dapat ditentukan
bahwa berlaku hubungan
……………………………………....(2.15)
Sehingga persamaan (2.14) menjadi
………………………………………(2.16)
Dengan m0 disebut massa diam yaitu massa yang diukur terhadap kerangka acuan
yang terhadapnya benda diam. Dalam kerangka acuan lainnya, massa relativistik
m akan lebih besar dari m0. Dalam defenisi baru kita tentang massa relativistik
diatas telah memungkinkan untuk dipertahankan berlakunya hukum kekekalan
momentum dalam semua kerangka acuan inersial.(Michael Fowler,2008)
2.3.3 Energi Kinetik
Energi kinetik dalam fisika klasik didefenisikan sebagai usaha sebuah gaya
luar yang mengubah laju sebuah objek. Defenisi yang sama tetap dipertahankan
berlaku dalam mekanika relativistik (dengan membatasi bahasan pada satu
dimensi). Perubahan energi kinetik ΔK = Kf – Ki adalah ΔK = W=⎰ F dx
Jika benda bergerak dari keadaan diam , Ki= 0, maka energi kinetik akhir K
adalah:
………………………………(2.17)
Perbedaan antara besaran mc2 bagi sebuah partikel yang bergerak dengan laju v,
dengan besaran m0c2 bagi sebuah partikel yang diam,tidak lain adalah energi
kinetiknya. Besaran m0c2 disebut energi diam partikel dan dinyatakan dengan E0.
Universitas Sumatera Utara
Jadi sebuah partikel yang bergerak, memiliki energi E0 dan tambahan energi K,
sehingga dengan demikian energi relativistik total E partikel adalah:
………………(2.18)
Persamaan ini merupakan hasil temuan terkenal Einstein yang menyatakan bahwa
energi sebuah benda merupakan ukuran lain dari massanya, energi dan massa
adalah setara, dan bahwa perolehan atau kehilangan energi sebuah benda dapat
dipandang pula sebagai perolehan atau kehilangan massanya.
Sangat bermanfaat untuk mempunyai hubungan antara energi total dan
momentum relativistik, yaitu:
………………………………(2.1λ)
2.4 Persamaan Dirac
Dalam menurunkan persamaannya Dirac menggunakan sebuah strategi,
bahwa pada persamaan energi dan momentum empat-vektor kompleks dari sebuah
partikel,
………………(2.20)
Dimana:
adalah notasi momentum 4-Vektor
Dapat difaktorisasi sehingga menghasilkan sebuah persamaan keadaan untuk
partikel spin -1/2. Partikel ini diberikan simbol ψ( spinor empat– komponen ).
Sehingga
………………(2.21)
Disini
dan
adalah koefisien – koefisien yang belum diketahui. Selanjutnya,
ruas kanan persamaan (2.21) diuraikan menjadi:
………(2.22)
Universitas Sumatera Utara
………(2.23)
Koefisien – koefisien
linier dalam
dan
ditentukan oleh suku linier dari
. Jika suku
pada persamaan (2.23) diabaikan maka diperoleh:
………(2.24)
Akibatnya persamaan (2.22) menjadi:
………………………(2.25)
Dengan diuraikan komponen – komponen untuk masing – masing ruas persamaan
(2.25) maka diperoleh:
………………………………………………………(2.26)
Dimana:
adalah
komponen
–
komponen
momentum
kontravarian.Dari persamaan ini dapat dilihat bahwa tidak ada satu himpunan
skalar
hanya dipenuhi jika
yang memenuhi ruas kanan persamaan. Persamaan tersebut
harus merupakan bentuk – bentuk matriks, yang kemudian
dikenal dengan matriks Dirac. Dirac memilih matriks – matriks
yang
merupakan matriks orde empat, sebagai berikut:
(2.27)
Dimana
adalah matriks orde dua yang diberikan oleh matriks-
matriks Pauli sebagai berikut:
…. (2.28)
Dapat diuji hubungan persamaan (2.26) dengan mensubstitusikan matriks –
matriks (2.27). Matriks – matriks Dirac kemudian memenuhi aljabar Clifford:
Universitas Sumatera Utara
………………(2.2λ)
Atau
………………(2.30)
adalah hubungan anti komutator untuk kuantitas A dan
Disini
B dan
adalah matrik Minkowski. Dapat dibuktikan bahwa matriks
dipenuhi
………………………(2.31)
Hubungan energi – momentum relativistik persamaan (2.21) kemudian menjadi :
………(2.32)
Persamaan diatas mengandung dua solusi yaitu:
………(2.33)
Dan ini diijinkan pula dua solusi baik untuk solusi energi positif maupun negatif.
Berikut ini akan dijelaskan solusi (i) seperti dalam penurunan persamaan
Schrodinger dan persamaan Klein – Gordon, momentum relativistik diganti
menjadi operator dalam mekanika kuantum, persamaan operator – operator
diferensial dalam notasi empat- vektor. Dan mengingat kembali bahwa operator
bekerja pada suatu keadaan , ψ, maka persamaan (2.33) untuk solusi (i) menjadi:
(Persamaan Dirac)
………(2.34)
Ini adalah persamaan diferensial orde pertama yang kovarian dan dikenal sebagai
persamaan Dirac dengan
sebagai medan spinor Dirac. Persamaan (2.34) adalah
persamaan matriks orde empat sehingga mudah dipahami bahwa medan spinor
Dirac merupakan sebuah matriks kolom, 4 x 1, dengan empat komponen
Sebagai catatan , meskipun
mengandung empat komponen,
ini bukan
merupakan sebuah empat – vektor .
Universitas Sumatera Utara
2.5 Matriks Dan Aljabar Dirac
Matriks Dirac diberikan oleh
………………………(2.36)
Dengan representasi matriks
………(2.37)
,
Dengan matriks Pauli
dinotasikan :
,
………(2.38)
,
Matriks-matrik tersebut mempunyai hubungan antikomutasi yaitu:
………………(2.3λ)
Dan juga hubungan komutasi yaitu :
………………(2.40)
mempresentasikan bentuk non-kovarian dari tensor anti simetrik Levi-Civita
yang didefenisikan dalam persamaan (2.48).
Matriks Dirac γ memenuhi relasi antikomutasi
………………(2.41)
Dan relasi komutasi:
………(2.42)
Dalam reperentasi ini diperoleh:
dan
………(2.43)
Dan kombinasi lain yang bermanfaat:
…..(2.44)
………(2.45)
………………………………(2.46)
, ………………………(2.47)
Universitas Sumatera Utara
Dengan tensor antisimatriks Levi-Civita yang didefenisikan dengan:
…...(2.48)
Hasil kali skalar antara matriks γ dan momentum – empat ditulis dengan
………………………………(2.4λ)
Spinor Dirac partikel bebas memiliki bentuk:
,
………………………(2.50)
Dan
………………………(2.51)
Dengan
yang ternormalisasi seperti:
………………………(2.52)
………………………(2.53)
dengan
spinor dua – komponen Pauli, dan spinor adjoin Dirac didefenisikan
dengan
,
………………………………(2.54)
,
………………………………(2.55)
dengan memakai persamaan spinor Dirac
dan , persamaan Dirac dapat ditulis
dengan :
, ………………………………(2.56)
, ………………………………(2.57)
Yang dinyatakan spinor adjoin menjadi:
, ……………………………....(2.58)
, ………………………………(2.5λ)
2.6 Spinor
Universitas Sumatera Utara
Dalam teori kelompok orthogonal (seperti rotasi atau kelompok Lorentz)
sebuah spinor merupakan sebuah elemen dari kompleks ruang vektor, tidak seperti
vektor spasial, sebuah spinor hanya mengubah sampai tanda dibawah penuh
kelompok orthogonal. Ini berarti bahwa 360 derajat rotasi mengubah koordinat
numerik spinor kedalam negatif mereka, sehingga dibutuhkan rotasi 720 derajat
untuk mendapatkan kembali nilai –nilai aslinya. Spinors adalah bentuk objek yang
berhubungan dengan ruang vektor dengan bentuk kuadrat (seperti ruang Euclidian
dengan standar metrik atau Minkowski ruang dengan metrik Lorentz), dan
direalisasikan sebagai elemen ruang representasi Clifford Algebras. Spinor seperti
vektor dan tensor dalam definisi mereka termasuk sifat transformasi mereka,
meskipun tidak seperti tensor, ruang spinor tidak dapat dibangun dengan cara
yang unik dan alami dari vektor spasial. Seperti vektor spinor dapat diubah
dibawah sangat kecil transformasi orthogonal. Spinor digunakan untuk
mempelajari sifat – sifat momentum sudut intrinsik dari elektron dan partikel.
Secara klasik spinor dalam tiga dimensi digunakan untuk menggambarkan spin
elektron tidak relativistik, spin -1/2 partikel dan lainnya. Melalui persamaan
Dirac, Dirac spinor diperlukan dalam deskripsi matematis dari keadaan kuantum
dari relativistik elektron maupun partikel. Spinor dapat digambarkan dalam hal
sederhana, sebagai vektor ruang transformasi yang berhubungan dengan cara
tertentu untuk rotasi dalam ruang fisik. Dengan kata lain spinor
memberikan
representasi linier dari kelompok rotasi dalam ruang dengan sejumlah
masing – masing memiliki spinor 2υ dengan
atau 2υ. ψeberapa contoh
sederhana dari spinor dalam dua dimensi dari aljabar Clifford
dari basis ortonormal dari
dan
dimensi,
dibangun
vektor yang saling orthogonal dengan
dengan aturan produk untuk vektor – vektor basis
……………(2.60)
Aljabar Clifford
orthogonal satuan,
dibangun dari dasar satu unit skalar, 1, dua vektor
dan
dan satu unit pseudoscalar
. Dari definisi
ini jelas bahwa
dan
. ………(2.61)
Universitas Sumatera Utara
Sebuah ruang spinor dapat dibangun secara eksplisit dengan konstruksi kuat atau
tetap dan abstrak. Kesetaraan konstruksi ini adalah konsekuensi dari keunikan
representasi spinor dari Clifford aljabar kompleks. Dalam dimensi 3,
mendefinisikan matriks gamma menjadi sigma matriks pauli menimbulkan akrab
dua spinor komponen yang digunakan dalam non relativistik mekanika kuantum.
Demikian juga dengan menggunakan 4 × 4 matriks gamma Dirac menimbulkan 4
komponen spinor Dirac digunakan dalam 3 relativistik +1 dimensi teori medan
kuantum. (Herman Paris ,1996)
2.7 Persamaan Spinor Relativistik Foton Bebas
Persamaan Dirac berasal faktorisasi hubungan dispersi Einstein dari
persamaan medan orde pertama dalam turunan waktu. Yaitu, dengan
memfaktorkan dispersi hubungan relativistik pada empat matriks;
………(2.62)
Dimana
dan β adalah matriks Dirac untuk sebuah foton, massa m0 = 0,
persamaan (2.62) diperoleh;
………………………(2.63)
maka;
………………………(2.64)
persamaan (2.64) merupakan persamaan kuantisasi kanonikal yang merupakan;
………………………(2.65)
Dimana operator Hamiltonian foton,
………………………...(2.66)
Dan
adalah merupakan fungsi gelombang spinor dari foton. Untuk Lorentz
proper Lp penjelasan yang tidak dapat diperkecil lagi dari foton spin 1 adalah
masing-masing D10, D01, D½½, dan dimensi tersebut sesuai dengan tiga, tiga dan
empat. Dalam hal ini dipilih fungsi gelombang spinor foton sebagai dasar vektor
dari tiga dimensi yang tidak dapat diuraikan lagi, yaitu adalah;
Universitas Sumatera Utara
………………………(2.67)
dan metriks
dinyatakan sebagai;
………(2.68)
Mereka adalah matriks hermitian
………………………………(2.6λ)
dan operator Hamiltonian adalah hermitian
………………………(2.70)
2.8 Operator Spin Foton
Berikut ini, akan dibuktikan pemilihan
matriks wajar , mereka
dinyatakan bahwa persamaan (2.65) adalah persamaan spinor foton spin 1 .
persamaan (2.65) dapat ditulis sebagai;
………………(2.71)
dimana
………………(2.72)
Momentum sudut orbital foton dipenuhi
………………(2.73)
maka
………………(2.74)
Persamaan (2.74) terlihat bahwa momentum sudut orbital foton tidak konservasi ,
tetapi total momentum sudut foton bebas harus konservatif . Jadi , foton harus
memiliki momentum sudut intrinsik,seperti momentum sudut spin ,momentum
sudut total dari foton adalah;
Universitas Sumatera Utara
………………………(2.75)
Dan adalah konservatif
………………………(2.76)
dengan persamaan (2.74) dan (2.76), didapatkan
………(2.77)
yaitu;
….
(2.78)
atau;
………………………(2.7λ)
Dinyatakan ada hubungan komutatif sebagai berikut;
………(2.80)
dapat disimpulkan bahwa;
………………………(2.81)
Dengan persamaan (2.80) , dapat dihitung s matriks , dengan matriks sx adalah;
………………(2.82)
dengan hubungan komutasi
……………….
(2.83)
didapat
………………………(2.84)
ambil matriks sy dengan;
…………………………(2.
85)
dengan hubungan komutasi
Universitas Sumatera Utara
………………………(2.86)
diperoleh
……………………....(2.87)
ambil matriks sz
………………………(2.88)
dengan hubungan komutasi
………………………(2.8λ)
diperoleh
……………………....(2.λ0)
selanjutnya, harus dihitung nilai eigen dari sx, sy,sz.
adalah;
Untuk sx, nilai eigen
……………..(2.9
1)
Oleh karena itu persamaan karakteristiknya adalah;
………………(2.λ2)
yaitu ;
………………(2.λ3)
ketika a=0, akar
1
adalah;
………………………………(2.λ4)
untuk sy, nilai eigen
adalah;
Universitas Sumatera Utara
……………..(2.λ
5)
oleh karena itu persamaan karakteristiknya adalah;
………………(2.λ6)
yaitu ;
………………(2.λ7)
ketika b=0,akar
2 adalah;
………………………………(2.λ8)
untuk sz, nilai eigen
adalah;
………(2.λλ)
Oleh karena itu persamaan karakteristiknya adalah;
………………(2.100)
yaitu ;
………………(2.101)
ketika c=0, akar
3 adalah;
………………………………(2.102)
dengan penjumlahan,diperoleh matriks spin foton seperti;
..(
2.103)
Jelas, matriks ini adalah matriks spin foton , yang menggambarkan spin s = 1 . Di
satu sisi , nilai eigen mereka ±
. Disisi lain , matriks persegi adalah;
Universitas Sumatera Utara
…..
(2.104)
yaitu spin s adalah; s=1
Jika dibandingkan (2.68) dengan (2.103) maka didapatkan
………………(2.105)
2.9 Helisitas pada Foton
Dengan mempelajari helisitas foton, dapat diperoleh foton ruas kiri dan
kanan . Helisitas didefinisikan sebagai proyeksi spin pada arah momentum , itu
adalah;
………………………(2.106)
dan
……..(2.
107)
Untuk
,masalah nilai eigen
………………………...(2.108)
adalah;
……………...(2.
109)
Oleh karena itu persamaan karakteristiknya adalah;
………………(2.110)
yaitu ;
………………………(2.111)
Universitas Sumatera Utara
akar adalah;
………………………(2.112)
dan helisitas h adalah ℏ=+1 dan -1
Jika =+1 foton sesuai kaidah ruas kanan foton,dan jika =-1 foton sesuai kaidah
ruas kiri foton
2.10 Persamaan Kekekalan Probabilitas Foton
Berikut ini, akan diberikan kerapatan dan persamaan kekekalan probabilitas
foton.
Konjugat hermitian pada pers (2.65).
………………(2.113)
Dikalikan dengan
pada pers.(2.112), sehingga,
………………(2.114)
Dikalikan dengan
pada pers (2.65),
………(2.115)
Dengan didiferensialkan maka diperoleh,
…..(2.116)
atau
………………(2.117)
………………………(2.118)
dimana,
………………(2.11λ)
merupakan probabilitas dan kepadatan arus foton masing-masing.
Universitas Sumatera Utara
DASAR TEORI
Sebagaimana telah diketahui dalam kinematika relativistik, persamaanpersamaannya diturunkan dari dua postulat relativitas. Dua kerangka inersia yang
bergerak relatif satu dengan yang lain dengan kecepatan konstan dihubungkan
melalui transformasi Lorentz. Ada suatu cara sederhana untuk memperoleh
persamaan-persamaan yang konsisten secara relativitas khusus (yaitu persamaanpersamaannya tampak sama dari sudut pandang pengamat dalam gerak relatif)
dengan menyatakan persamaan-persamaan tersebut dengan cara invarian Lorentz.
2.1 Teori Relativitas Umum Einstein
Teori relativitas umum Einstein adalah teori yang menyatakan bahwa
gravitasi bukan gaya seperti halnya gaya lain, namun gravitasi merupakan efek
dari kelengkungan ruang-waktu karena adanya penyebaran massa dan energi
didalam ruang waktu tersebut. Teori relativitas umum ini dibangun atas dua asas,
yaitu pertama asas kesetaraan (principle of equivalence) dan kedua, kovariansi
umum (general covariance)
Asas kesetaraan berbunyi,”Tidak ada percobaan yang dapat dilakukan
dalam daerah kecil (local) yang dapat membedakan medan gravitasi dengan
sistem dipercepat yang setara ”. Implikasi asas kesetaraan adalah kesamaan massa
gravitasi dan massa inersia. Sifat ini memungkinkan untuk menghilangkan efek
gravitasi yang muncul dengan menggunakan kerangka acuan yang dipercepat
yang sesuai. Hal ini merupakan konsekuensi dari medan gravitasi yaitu semua
benda yang berada didalamnya akan merasakan percepatan yang sama serta tidak
bergantung pada ukuran maupun massanya. Misalkan sebuah benda yang
bermassa m jatuh didalam medan gravitasi dengan percepatan gravitasi sebesar g.
Menurut mekanika Newton dapat dipilih kerangka acuan inersial (y‟,t‟) untuk
menghilangkan efek gravitasi pada kerangka (y,t). Atau dengan kata lain,
Universitas Sumatera Utara
kerangka (y,t) adalah kerangka yang dipercepat sebesar g terhadap kerangka
inersial (y‟,t‟) pada daerah tanpa medan gravitasi. ωontoh penerapannya adalah
bahwa sistem pengamatan jatuh bebas dalam medan gravitasi bumi seperti
misalnya elevator yang kabel gantungannya putus adalah kerangka inersial lokal.
Seorang pengamat dalam elevator tersebut dapat melepaskan benda dari keadaan
diam (dalam kerangka pengamat) dan akan mendapati bahwa benda tersebut tetap
diam. Kesimpulannya adalah hukum gerak pada kerangka inersial dalam daerah
tanpa medan gravitasi sama dengan hukum gerak pada kerangka jatuh bebas
didalam medan gravitasi. hal ini sesuai pada asas kovariansi umum yang
berbunyi,”hukum alam harus memiliki bentuk yang tetap terhadap sembarang
pemilihan transformasi koordinat”.
2.2 Prinsip Relativitas
Pada intinya, teori relativitas Einstein (baik teori relativitas khusus maupun
teori relativitas umum) adalah teori fisika modern dari ruang dan waktu, yang
telah diganti konsep ruang dan waktu absolut Newton dengan ruang – waktu .
Semula dalam fisika, relativitas berarti penghapusan ruang absolut,suatu
penyelidikan yang telah dikenal sebagaimana yang diinginkan sejak Newton. Dan
ini tentu saja apa yang disempurnakan dua teori Einstein: relativitas khusus, teori
ruang waktu datar, menghapuskan ruang mutlak dalam peranan Maxwell sebagai
„eter‟ yang membawa medan elektromagnetik, dan khususnya gelombang cahaya,
sedangkan relativitas umum, teori ruang – waktu lengkung, menghapuskan ruang
waktu mutlak juga dalam peranan Newtonian – nya mengenai standar ada dimana
– mana dan tidak dapat dipengaruhi dari gerak seragam atau diam. Anehnya , dan
tidak secara terencana tetapi agak sebagai satu hasil sampingan yang tidak dapat
dihindarkan, teori Einstein juga menghapuskan konsep waktu mutlak Newton.
Defenisi yang lebih modern dan positif dari relativitas telah disusun dari
teori relativitas yang sebenarnya. Berdasarkan pandangan ini, relativitas dari
setiap teori fisika menggambarkan dirinya sendiri dalam grup transformasi yang
menentukan hukum teori invariant dan oleh karena itu menggambarkan
kesimetrian, sebagai contoh ruang dan waktu dari teori ini. Maka seperti yang
Universitas Sumatera Utara
akan kita lihat, mekanika Newton memiliki relativitas yang disebut grup galilean,
relativitas
khusus
memiliki
relativitas
dari
grup
Lorentz
(grup
poincare).(Wolfgang Rindler, 2006)
2.3 Teori Relativitas khusus
Teori relativitas khusus yang dikemukakan Einstein pada tahun 1905
merupakan salah satu tulang punggung fisika modern. Sumbangannya terutama
dalam bentuk penataan dan pelurusan konsep – konsep dasar dalam fisika,
khususnya yang berkaitan dengan ruang – waktu , momentum – energi sebagai
aspek kinematika semua gejala alam, yang selanjutnya mengangkat cahaya
sebagai pembawa isyarat berkelakuan maksimum.
Sumbangan teori relativitas khusus adalah mampu menampilkan
persamaan maxwell, yang merupakan persamaan dasar dalam elektrodinamika,
dalam yang bentuk kovarian.Konsekuensi teori relativitas khusus adalah kelajuan
gelombang elektromagnet, tidak ada kerangka istimewa. Dalam kerangka inersial,
kelajuan cahaya sama dengan c, atau dengan kata lain , c merupakan suatu besaran
invarian. Selain itu persamaan maxwell berlaku dalam semua kerangka inersial,
yang oleh karena itu konsep ruang – waktu dan momentum – energi yang mutlak
harus diganti.(Anugraha R,2005)
Teori ini didasarkan pada dua asas, yaitu:
1. Semua hukum fisika memiliki bentuk yang tetap (kovarian) dalam setiap
kerangka acuan inersial
2. Ketidakubahan laju cahaya : laju cahaya memiliki nilai c yang sama dalam
semua sistem inersial.
2.3.1 Transformasi Lorentz
Transformasi Galileo mengenai koordinat, waktu, dan kecepatan tidak taat
dengan kedua postulat Einstein. Meskipun transformasi Galileo sesuai dengan
“akal sehat” , itu tidaklah memberi hasil yang sesuai dengan berbagai percobaan
pada laju tinggi. Oleh karena itu, diperlukan seperangkat persamaan transformasi
Universitas Sumatera Utara
baru yang dapat meramalkan berbagai efek relativistik seperti penyusutan
panjang,pemuluran waktu dan efek dopler relativistik. Karena juga diketahui
bahwa transformasi Galileo berlaku baik pada laju rendah, transformasi baru ini
haruslah memberikan hasil yang sama seperti transformasi Galileo, apabila laju
relatifnya rendah.(Krane K.,2006)
Transformasi yang memenuhi semua persyaratan ini dikenal dengan
Transformasi Lorentz dan, seperti halnya dengan transformasi Galileo ia
mengaitkan koordinat dari suatu peristiwa (x,y,z,t) sebagaimana diamati dari
kerangka S dengan koordinat peristiwa yang sama (x‟,y‟,z‟,t‟) yang diamati dari
kerangka acuan S‟ yang sedang bergerak dengan kecepatan v terhadap S. dengan
menganggap bahwa gerak relatifnya adalah sepanjang arah x positif.
Gambar (2.3.1) Kerangka S’ Bergerak Dengan Kecepatan Konstan
Terhadap Kerangka S
Bentuk persamaan Transformasi Lorentz ini adalah sebagai berikut
………………………………………………………...(2.1)
…………………………………………………………(2.2)
…………………………………………………………(2.3)
Universitas Sumatera Utara
………………………………………………………..(2.4)
Sekarang anggap suatu jam standar ω‟ yang ditempatkan dalam keadaan
diam dalam S‟ pada suatu titik di sumbu x‟. Ketika jam ω‟ merekam waktu
, jam standar di S pada saat itu akan direkam waktu t1 yang diberikan oleh
transformasi Lorentz,
………………………………(2.5)
Dengan :
……………………………………….(2.6)
Selanjutnya, ketika ω‟ direkam waktu‟ =
, ini juga serupa dengan jam lain
dalam S yang direkam waktu
……………………………….(2.7)
Dengan mengurangkan persamaan ini diperoleh
……………….(2.8)
Maka disimpulkan bahwa periode jam ketika diamati bergerak
lebih besar dari
periode dalam keadaan diamnya. Dengan kata lain: jam yang bergerak lebih
lambat daripada jam yang berada dalam keadaan diam. Hal ini disebut pemuluran
waktu relativistik.(Gron O.,Hervik S.,2007)
Pada kasus pengukuran panjang, kondisinya agak lebih rumit, karena
persamaan transformasi mengandung y dan z dalam cara yang berbeda daripada x,
dalam arah gerak relatifnya. Suatu skala yang tegak lurus terhadap arah gerak
relatif mempunyai panjang yang sama dalam sistem koordinat lain. Dianggap
pertama suatu batang tegar yang dihubungkan dengan S‟, titik – titik ujung
mempunyai koordinat
dan
. Panjang batang dalam sistem ini
(dimana batang relatif dalam keadaan diam terhadap sistem S‟ ini) adalah
……………………………….(2.λ)
Universitas Sumatera Utara
Suatu pengamat yang dihubungkan dengan S akan menganggap panjang batang
dengan perbedaan koordinat (x2 –x1) dari titik-titik ujungnya pada waktu yang
sama yaitu t. Koordinat
dan
dihubungkan ke x2 , x1 dan t dengan persamaan
transformasi
Lorentz, menghasilkan
……………………………………….(2.10)
……………………………………….(2.11)
Oleh karena itu perbedaan koordinatnya adalah
……………………………………….(2.12)
Dengan memisalkan panjang (x2 –x1) dengan l, maka diperoleh
……………………………….(2.13)
Batang yang kelihatan dikontraksi dengan faktor
. Efek ini disebut
dengan kontraksi Lorentz. (Peter G.Bergman,1961)
2.3.2 Massa dan Momentum Relativistik
Ada empat hukum kekekalan dalam mekanika klasik, tiga menggambarkan
tiga komponen momentum dari suatu sistem terisolasi dan satu lagi menunjukkan
energinya. Terhadap transformasi ruang, hukum kekekalan tiga momentum
bertransformasi bersama sebagai komponen – komponen dari tiga vektor
dimensional, sedangkan hukum kekekalan energi invarian.
Dengan transformasi Galilean, hukum momentum adalah invarian,
sedangkan hukum energi berlaku dalam sistem yang pertama. Hukum kekekalan
klasik tidak kovarian terhadap transformasi Lorentz yang mana melibatkan
waktu.Oleh karena itu, hukum ini harus dimodifikasi sehingga mereka kovarian
Lorentz, tetapi juga mendekati hukum klasik untuk kecepatan rendah.
Hukum Transformasi klasik akan mempunyai sifat transformasi yang sama
terhadap transformasi koordinat ruang seperti hukum klasik, dengan kata lain ,
Universitas Sumatera Utara
akan ada lagi hukum vektor (dengan tiga komponen) dan hukum skalar. Hal ini
akan menentukan pencapaian besar bentuk hukum relativistik. Momentum
relativistik didefenisikan sebagai:
………………………………………(2.14)
Einstein meyakinkan bahwa hukum kekekalan momentum harus berlaku, dia
membantunya dengan hipotesis yang berani: massa dari suatu objek harus
bergantung pada kecepatannya. Dalam teori tumbukan partikel dapat ditentukan
bahwa berlaku hubungan
……………………………………....(2.15)
Sehingga persamaan (2.14) menjadi
………………………………………(2.16)
Dengan m0 disebut massa diam yaitu massa yang diukur terhadap kerangka acuan
yang terhadapnya benda diam. Dalam kerangka acuan lainnya, massa relativistik
m akan lebih besar dari m0. Dalam defenisi baru kita tentang massa relativistik
diatas telah memungkinkan untuk dipertahankan berlakunya hukum kekekalan
momentum dalam semua kerangka acuan inersial.(Michael Fowler,2008)
2.3.3 Energi Kinetik
Energi kinetik dalam fisika klasik didefenisikan sebagai usaha sebuah gaya
luar yang mengubah laju sebuah objek. Defenisi yang sama tetap dipertahankan
berlaku dalam mekanika relativistik (dengan membatasi bahasan pada satu
dimensi). Perubahan energi kinetik ΔK = Kf – Ki adalah ΔK = W=⎰ F dx
Jika benda bergerak dari keadaan diam , Ki= 0, maka energi kinetik akhir K
adalah:
………………………………(2.17)
Perbedaan antara besaran mc2 bagi sebuah partikel yang bergerak dengan laju v,
dengan besaran m0c2 bagi sebuah partikel yang diam,tidak lain adalah energi
kinetiknya. Besaran m0c2 disebut energi diam partikel dan dinyatakan dengan E0.
Universitas Sumatera Utara
Jadi sebuah partikel yang bergerak, memiliki energi E0 dan tambahan energi K,
sehingga dengan demikian energi relativistik total E partikel adalah:
………………(2.18)
Persamaan ini merupakan hasil temuan terkenal Einstein yang menyatakan bahwa
energi sebuah benda merupakan ukuran lain dari massanya, energi dan massa
adalah setara, dan bahwa perolehan atau kehilangan energi sebuah benda dapat
dipandang pula sebagai perolehan atau kehilangan massanya.
Sangat bermanfaat untuk mempunyai hubungan antara energi total dan
momentum relativistik, yaitu:
………………………………(2.1λ)
2.4 Persamaan Dirac
Dalam menurunkan persamaannya Dirac menggunakan sebuah strategi,
bahwa pada persamaan energi dan momentum empat-vektor kompleks dari sebuah
partikel,
………………(2.20)
Dimana:
adalah notasi momentum 4-Vektor
Dapat difaktorisasi sehingga menghasilkan sebuah persamaan keadaan untuk
partikel spin -1/2. Partikel ini diberikan simbol ψ( spinor empat– komponen ).
Sehingga
………………(2.21)
Disini
dan
adalah koefisien – koefisien yang belum diketahui. Selanjutnya,
ruas kanan persamaan (2.21) diuraikan menjadi:
………(2.22)
Universitas Sumatera Utara
………(2.23)
Koefisien – koefisien
linier dalam
dan
ditentukan oleh suku linier dari
. Jika suku
pada persamaan (2.23) diabaikan maka diperoleh:
………(2.24)
Akibatnya persamaan (2.22) menjadi:
………………………(2.25)
Dengan diuraikan komponen – komponen untuk masing – masing ruas persamaan
(2.25) maka diperoleh:
………………………………………………………(2.26)
Dimana:
adalah
komponen
–
komponen
momentum
kontravarian.Dari persamaan ini dapat dilihat bahwa tidak ada satu himpunan
skalar
hanya dipenuhi jika
yang memenuhi ruas kanan persamaan. Persamaan tersebut
harus merupakan bentuk – bentuk matriks, yang kemudian
dikenal dengan matriks Dirac. Dirac memilih matriks – matriks
yang
merupakan matriks orde empat, sebagai berikut:
(2.27)
Dimana
adalah matriks orde dua yang diberikan oleh matriks-
matriks Pauli sebagai berikut:
…. (2.28)
Dapat diuji hubungan persamaan (2.26) dengan mensubstitusikan matriks –
matriks (2.27). Matriks – matriks Dirac kemudian memenuhi aljabar Clifford:
Universitas Sumatera Utara
………………(2.2λ)
Atau
………………(2.30)
adalah hubungan anti komutator untuk kuantitas A dan
Disini
B dan
adalah matrik Minkowski. Dapat dibuktikan bahwa matriks
dipenuhi
………………………(2.31)
Hubungan energi – momentum relativistik persamaan (2.21) kemudian menjadi :
………(2.32)
Persamaan diatas mengandung dua solusi yaitu:
………(2.33)
Dan ini diijinkan pula dua solusi baik untuk solusi energi positif maupun negatif.
Berikut ini akan dijelaskan solusi (i) seperti dalam penurunan persamaan
Schrodinger dan persamaan Klein – Gordon, momentum relativistik diganti
menjadi operator dalam mekanika kuantum, persamaan operator – operator
diferensial dalam notasi empat- vektor. Dan mengingat kembali bahwa operator
bekerja pada suatu keadaan , ψ, maka persamaan (2.33) untuk solusi (i) menjadi:
(Persamaan Dirac)
………(2.34)
Ini adalah persamaan diferensial orde pertama yang kovarian dan dikenal sebagai
persamaan Dirac dengan
sebagai medan spinor Dirac. Persamaan (2.34) adalah
persamaan matriks orde empat sehingga mudah dipahami bahwa medan spinor
Dirac merupakan sebuah matriks kolom, 4 x 1, dengan empat komponen
Sebagai catatan , meskipun
mengandung empat komponen,
ini bukan
merupakan sebuah empat – vektor .
Universitas Sumatera Utara
2.5 Matriks Dan Aljabar Dirac
Matriks Dirac diberikan oleh
………………………(2.36)
Dengan representasi matriks
………(2.37)
,
Dengan matriks Pauli
dinotasikan :
,
………(2.38)
,
Matriks-matrik tersebut mempunyai hubungan antikomutasi yaitu:
………………(2.3λ)
Dan juga hubungan komutasi yaitu :
………………(2.40)
mempresentasikan bentuk non-kovarian dari tensor anti simetrik Levi-Civita
yang didefenisikan dalam persamaan (2.48).
Matriks Dirac γ memenuhi relasi antikomutasi
………………(2.41)
Dan relasi komutasi:
………(2.42)
Dalam reperentasi ini diperoleh:
dan
………(2.43)
Dan kombinasi lain yang bermanfaat:
…..(2.44)
………(2.45)
………………………………(2.46)
, ………………………(2.47)
Universitas Sumatera Utara
Dengan tensor antisimatriks Levi-Civita yang didefenisikan dengan:
…...(2.48)
Hasil kali skalar antara matriks γ dan momentum – empat ditulis dengan
………………………………(2.4λ)
Spinor Dirac partikel bebas memiliki bentuk:
,
………………………(2.50)
Dan
………………………(2.51)
Dengan
yang ternormalisasi seperti:
………………………(2.52)
………………………(2.53)
dengan
spinor dua – komponen Pauli, dan spinor adjoin Dirac didefenisikan
dengan
,
………………………………(2.54)
,
………………………………(2.55)
dengan memakai persamaan spinor Dirac
dan , persamaan Dirac dapat ditulis
dengan :
, ………………………………(2.56)
, ………………………………(2.57)
Yang dinyatakan spinor adjoin menjadi:
, ……………………………....(2.58)
, ………………………………(2.5λ)
2.6 Spinor
Universitas Sumatera Utara
Dalam teori kelompok orthogonal (seperti rotasi atau kelompok Lorentz)
sebuah spinor merupakan sebuah elemen dari kompleks ruang vektor, tidak seperti
vektor spasial, sebuah spinor hanya mengubah sampai tanda dibawah penuh
kelompok orthogonal. Ini berarti bahwa 360 derajat rotasi mengubah koordinat
numerik spinor kedalam negatif mereka, sehingga dibutuhkan rotasi 720 derajat
untuk mendapatkan kembali nilai –nilai aslinya. Spinors adalah bentuk objek yang
berhubungan dengan ruang vektor dengan bentuk kuadrat (seperti ruang Euclidian
dengan standar metrik atau Minkowski ruang dengan metrik Lorentz), dan
direalisasikan sebagai elemen ruang representasi Clifford Algebras. Spinor seperti
vektor dan tensor dalam definisi mereka termasuk sifat transformasi mereka,
meskipun tidak seperti tensor, ruang spinor tidak dapat dibangun dengan cara
yang unik dan alami dari vektor spasial. Seperti vektor spinor dapat diubah
dibawah sangat kecil transformasi orthogonal. Spinor digunakan untuk
mempelajari sifat – sifat momentum sudut intrinsik dari elektron dan partikel.
Secara klasik spinor dalam tiga dimensi digunakan untuk menggambarkan spin
elektron tidak relativistik, spin -1/2 partikel dan lainnya. Melalui persamaan
Dirac, Dirac spinor diperlukan dalam deskripsi matematis dari keadaan kuantum
dari relativistik elektron maupun partikel. Spinor dapat digambarkan dalam hal
sederhana, sebagai vektor ruang transformasi yang berhubungan dengan cara
tertentu untuk rotasi dalam ruang fisik. Dengan kata lain spinor
memberikan
representasi linier dari kelompok rotasi dalam ruang dengan sejumlah
masing – masing memiliki spinor 2υ dengan
atau 2υ. ψeberapa contoh
sederhana dari spinor dalam dua dimensi dari aljabar Clifford
dari basis ortonormal dari
dan
dimensi,
dibangun
vektor yang saling orthogonal dengan
dengan aturan produk untuk vektor – vektor basis
……………(2.60)
Aljabar Clifford
orthogonal satuan,
dibangun dari dasar satu unit skalar, 1, dua vektor
dan
dan satu unit pseudoscalar
. Dari definisi
ini jelas bahwa
dan
. ………(2.61)
Universitas Sumatera Utara
Sebuah ruang spinor dapat dibangun secara eksplisit dengan konstruksi kuat atau
tetap dan abstrak. Kesetaraan konstruksi ini adalah konsekuensi dari keunikan
representasi spinor dari Clifford aljabar kompleks. Dalam dimensi 3,
mendefinisikan matriks gamma menjadi sigma matriks pauli menimbulkan akrab
dua spinor komponen yang digunakan dalam non relativistik mekanika kuantum.
Demikian juga dengan menggunakan 4 × 4 matriks gamma Dirac menimbulkan 4
komponen spinor Dirac digunakan dalam 3 relativistik +1 dimensi teori medan
kuantum. (Herman Paris ,1996)
2.7 Persamaan Spinor Relativistik Foton Bebas
Persamaan Dirac berasal faktorisasi hubungan dispersi Einstein dari
persamaan medan orde pertama dalam turunan waktu. Yaitu, dengan
memfaktorkan dispersi hubungan relativistik pada empat matriks;
………(2.62)
Dimana
dan β adalah matriks Dirac untuk sebuah foton, massa m0 = 0,
persamaan (2.62) diperoleh;
………………………(2.63)
maka;
………………………(2.64)
persamaan (2.64) merupakan persamaan kuantisasi kanonikal yang merupakan;
………………………(2.65)
Dimana operator Hamiltonian foton,
………………………...(2.66)
Dan
adalah merupakan fungsi gelombang spinor dari foton. Untuk Lorentz
proper Lp penjelasan yang tidak dapat diperkecil lagi dari foton spin 1 adalah
masing-masing D10, D01, D½½, dan dimensi tersebut sesuai dengan tiga, tiga dan
empat. Dalam hal ini dipilih fungsi gelombang spinor foton sebagai dasar vektor
dari tiga dimensi yang tidak dapat diuraikan lagi, yaitu adalah;
Universitas Sumatera Utara
………………………(2.67)
dan metriks
dinyatakan sebagai;
………(2.68)
Mereka adalah matriks hermitian
………………………………(2.6λ)
dan operator Hamiltonian adalah hermitian
………………………(2.70)
2.8 Operator Spin Foton
Berikut ini, akan dibuktikan pemilihan
matriks wajar , mereka
dinyatakan bahwa persamaan (2.65) adalah persamaan spinor foton spin 1 .
persamaan (2.65) dapat ditulis sebagai;
………………(2.71)
dimana
………………(2.72)
Momentum sudut orbital foton dipenuhi
………………(2.73)
maka
………………(2.74)
Persamaan (2.74) terlihat bahwa momentum sudut orbital foton tidak konservasi ,
tetapi total momentum sudut foton bebas harus konservatif . Jadi , foton harus
memiliki momentum sudut intrinsik,seperti momentum sudut spin ,momentum
sudut total dari foton adalah;
Universitas Sumatera Utara
………………………(2.75)
Dan adalah konservatif
………………………(2.76)
dengan persamaan (2.74) dan (2.76), didapatkan
………(2.77)
yaitu;
….
(2.78)
atau;
………………………(2.7λ)
Dinyatakan ada hubungan komutatif sebagai berikut;
………(2.80)
dapat disimpulkan bahwa;
………………………(2.81)
Dengan persamaan (2.80) , dapat dihitung s matriks , dengan matriks sx adalah;
………………(2.82)
dengan hubungan komutasi
……………….
(2.83)
didapat
………………………(2.84)
ambil matriks sy dengan;
…………………………(2.
85)
dengan hubungan komutasi
Universitas Sumatera Utara
………………………(2.86)
diperoleh
……………………....(2.87)
ambil matriks sz
………………………(2.88)
dengan hubungan komutasi
………………………(2.8λ)
diperoleh
……………………....(2.λ0)
selanjutnya, harus dihitung nilai eigen dari sx, sy,sz.
adalah;
Untuk sx, nilai eigen
……………..(2.9
1)
Oleh karena itu persamaan karakteristiknya adalah;
………………(2.λ2)
yaitu ;
………………(2.λ3)
ketika a=0, akar
1
adalah;
………………………………(2.λ4)
untuk sy, nilai eigen
adalah;
Universitas Sumatera Utara
……………..(2.λ
5)
oleh karena itu persamaan karakteristiknya adalah;
………………(2.λ6)
yaitu ;
………………(2.λ7)
ketika b=0,akar
2 adalah;
………………………………(2.λ8)
untuk sz, nilai eigen
adalah;
………(2.λλ)
Oleh karena itu persamaan karakteristiknya adalah;
………………(2.100)
yaitu ;
………………(2.101)
ketika c=0, akar
3 adalah;
………………………………(2.102)
dengan penjumlahan,diperoleh matriks spin foton seperti;
..(
2.103)
Jelas, matriks ini adalah matriks spin foton , yang menggambarkan spin s = 1 . Di
satu sisi , nilai eigen mereka ±
. Disisi lain , matriks persegi adalah;
Universitas Sumatera Utara
…..
(2.104)
yaitu spin s adalah; s=1
Jika dibandingkan (2.68) dengan (2.103) maka didapatkan
………………(2.105)
2.9 Helisitas pada Foton
Dengan mempelajari helisitas foton, dapat diperoleh foton ruas kiri dan
kanan . Helisitas didefinisikan sebagai proyeksi spin pada arah momentum , itu
adalah;
………………………(2.106)
dan
……..(2.
107)
Untuk
,masalah nilai eigen
………………………...(2.108)
adalah;
……………...(2.
109)
Oleh karena itu persamaan karakteristiknya adalah;
………………(2.110)
yaitu ;
………………………(2.111)
Universitas Sumatera Utara
akar adalah;
………………………(2.112)
dan helisitas h adalah ℏ=+1 dan -1
Jika =+1 foton sesuai kaidah ruas kanan foton,dan jika =-1 foton sesuai kaidah
ruas kiri foton
2.10 Persamaan Kekekalan Probabilitas Foton
Berikut ini, akan diberikan kerapatan dan persamaan kekekalan probabilitas
foton.
Konjugat hermitian pada pers (2.65).
………………(2.113)
Dikalikan dengan
pada pers.(2.112), sehingga,
………………(2.114)
Dikalikan dengan
pada pers (2.65),
………(2.115)
Dengan didiferensialkan maka diperoleh,
…..(2.116)
atau
………………(2.117)
………………………(2.118)
dimana,
………………(2.11λ)
merupakan probabilitas dan kepadatan arus foton masing-masing.
Universitas Sumatera Utara