Kajian Masalah Transshipment Tidak Seimbang Menggunakan Metode Least Cost - Stepping Stone dan Metode Least Cost - MODI
BAB 2
LANDASAN TEORI
2.1 Riset Operasi
Masalah Riset Operasi (Operation Research) pertama kali muncul di Inggris
selama Perang Dunia II. Inggris mula-mula tertarik menggunakan metode
kuantitatif dalam pemakaian radar selama perang. Mereka menamakan
pendekatan itu sebagai Operation Research karena mereka menggunakan
ilmuwan (scientist) untuk meneliti (research) masalah-masalah operasional
selama perang. Ternyata pendekatan tersebut sangat berhasil dalam memecahkan
masalah operasi konvoi, operasi anti kapal selam, strategi pengeboman, dan
operasi pertambangan. Aplikasi ini menyebabkan Riset Operasi didefinisikan
sebagai: “Seni memenangkan perang tanpa berperang” (Jong Jek Siang, 2014).
Setelah Perang Dunia II berakhir, Riset Operasi yang lahir di Inggris ini
kemudian berkembang pesat di Amerika karena keberhasilan tim Riset Operasi
dalam bidang militer ini telah menarik perhatian orang-orang industri. Sedemikian
pesat perkembangannya sehingga kini Riset Operasi telah digunakan dalam
hampir seluruh bidang (Dimyati dan Dimyati, 2004:1).
Secara harfiah kata operation dapat didefinisikan sebagai tindakantindakan yang diterapkan pada beberapa masalah atau hipotesa. Sementara kata
research adalah suatu proses yang terorganisasi dalam mencari kebenaran akan
masalah atau hipotesa tadi. Kenyatannya, sangat sulit mendefinisikan OR,
terutama karena batas-batasnya tidak jelas. OR memiliki bermacam-macam
penjelasan, namun hanya beberapa yang biasa digunakan dan diterima secara
umum (Mulyono, 2004:2).
Menurut Operation Research Society of Great Britain, operation research
adalah penerapan metode-metode ilmiah dalam masalah yang kompleks dan suatu
Universitas Sumatera Utara
7
pengolahan manajemen yang besar, baik yang menyangkut manusia, mesin,
bahan, dan uang dalam industri, bisnis, pemerintahaan, dan pertahanan.
Pendekatan ini menggabungkan dan menerapkan metode ilmiah yang sangat
kompleks dalam suatu pengelolaan manajemen dengan menggunakan faktorfaktor produksi yang ada dan digunakan secara efisien dan efektif untuk
membantu pengambilan keputusan dalam kebijakan perusahaan. Definisi lain
menurut Operational Research Society of America (ORSA), operation research
berkaitan dengan pengambilan keputusan secara ilmiah dan bagaimana membuat
suatu model yang baik dalam merancang dan menjalankan sistem yang melalui
alokasi sumber daya yang terbatas. Inti dari beberapa kesimpulan di atas adalah
bagaimana proses pengambilan keputusan yan optimal dengan menggunakan alat
analisis yang ada dan adanya keterbatasan sumber daya (Andi Wijaya, 2013).
Riset Operasi
adalah penerapan metode-metode
ilmiah terhadap
masalah- masalah yang muncul dalam pengarahan dan pengelolaan dari suatu
sistem besar manusia, mesin, bahan dan uang industri, bisnis, pemerintahan
dan pertahanan. Pendekatan khusus ini bertujuan untuk membentuk suatu
model ilmiah dari sistem, mengabungkan ukuran-ukuran faktor-faktor seperti
kesempatan resiko, untuk meramalkan dan membandingkan hasil-hasil dari
beberapa keputusan, strategi atau pengawasan. Tujuannya adalah membantu
pengambilan
keputusan menentukan kebijaksanaan dan
tindakannya secara
ilmiah (Operational Research Society of Great Britian) (Mulyono, 2004:2).
Dalam riset operasional, masalah optimasi dalam pengambilan keputusan
diperoleh dengan menerapkan teknik matematika dan statistika. Model
matematika
yang
menyederhanakan
digunakan
masalah
dalam
dan
metode
membatasi
riset
operasional
faktor-faktor
yang
bersifat
mungkin
berpengaruh terhadap suatu masalah. Jika riset operasi akan digunakan untuk
memecahkan suatu permasalahan, maka harus dilakukan lima langkah sebagai
berikut:
1. Memformulasikan persoalan.
2. Mengobservasi sistem.
Universitas Sumatera Utara
8
3. Memformulasikan model matematis dari persoalan yang dihadapi.
4. Mengevaluasi model dan menggunakannya untuk prediksi.
5. Mengimplementasikan hasil studi. (Dimyati dan Dimyati, 2004:4)
2.2 Program Linier
Program linear (Linear Programming yang disingkat LP) merupakan salah satu
teknik OR yang digunakan paling luas dan diketahui dengan baik. LP merupakan
metode matematik dalam mengalokasikan sumber daya yang langka untuk
mencapai
tujuan
tunggal
seperti
memaksimumkan
keuntungan
atau
meminimumkan biaya. LP banyak diterapkan dalam membantu menyelesaikan
masalah ekonomi, industri, militer, sosial dan lain-lain. LP berkaitan dengan
penjelasan suatu dunia nyata sebagai suatu model matematik yang terdiri atas
sebuah fungsi tujuan linear dan sistem kendala linear (Mulyono, 2004: 13).
Program linear yang diterjemahkan dari Linear Programming (LP) adalah
suatu cara untuk menyelesaikan persoalan pengalokasian sumber-sumber yang
terbatas diantara aktifitas yang bersaing, dengan cara yang terbaik yang mungkin
dilakukan (Dimyati dan Dimyati, 2004:17).
George B. Dantzig diakui umum sebagai pioner LP, karena jasanya dalam
menemukan metode mencari solusi masalah LP dengan banyak variable
keputusan. Dantzig bekerja pada penelitian teknik matematik untuk memecahkan
masalah logistic militer ketika ia dipekerjakan oleh angkatan udara Amerika
Serikat selama Perang Dunia II. Penelitiannya didukung oleh ahli-ahli lain seperti:
J. Von Neumann, L. Hurwicz dan T. C. Koopmans, yang bekerja pada subyek
yang sama (Mulyono, 2004:14).
Menurut Frederick S. Hiller dan Gerald J. Lieberman, linier programming
merupakan suatu model matematis untuk menggambarkan masalah yang dihadapi.
Linier berarti bahwa semua fungsi matematis dalam model ini merupakan fungsi-
Universitas Sumatera Utara
9
fungsi linier. Pemrograman merupakan sinonim untuk kata perencanaan . Dengan
demikian membuat rencana kegiatan-kegiatan untuk memperoleh hasil yang
optimal, ialah suatu hasil untuk mencapai tujuan yang ditentukan dengan cara
yang paling baik (sesuai dengan model matematis) diantara semua alternatif yang
mungkin.
Contoh untuk permasalahan yang memaksimumkan adalah masalah
keuntungan, sedangkan contoh untuk permasalahan meminimumkan adalah
masalah biaya, persediaan, dan lain-lain. Kendala-kendala yang sering dijumpai
adalah keterbatasan bahan mentah, tenaga kerja, dan lain sebagainya. Kendala –
kendala ini dapat diekspresikan dalam bentuk sejumlah persamaan atau
pertidaksamaan linear dalam variabel atau peubahnya. Jadi fungsi yang akan
dioptimumkan merupakan suatu penyelesaian atatu solusi layak yang mempunyai
nilai fungsi tujuan yang dikehendaki. Nilai yang dikehendaki dapat berupa nilai
terbesar yaitu fungsi tujuan berupa nilai maksimum sedangkan nilai terkecil yaitu
fungsi tujuan berupa nilai minimum.
2.3 Persoalan Transportasi
Persoalan transportasi pertama kali diformulasikan sebagai suatu prosedur khusus
untuk mendapatkan program biaya minimum dalam mendistribusikan unit yang
homogen dari suatu produk atas sejumlah titik penawaran (sumber) ke sejumlah
titik permintaan (tujuan). Semua ditempatkan pada sumber dan tujuan yang
berbeda secara geografis (Aminudin, 2008).
Adapun menurut Jong Jek Siang, Masalah transportasi merupakan masalah
yang sering dihadapi dalam pendistribusian barang. Misalkan ada
(sumber) yang masing-masing memiliki
1,
Barang-barang tersebut hendak dikirimkan ke
masing membutuhkan
=
1
+
2
+⋯+
1, 2,
…,
2,
…,
buah gudang
buah barang yang sama.
buah toko (tujuan) yang masing -
buah barang. Diasumsikan
1
+
2
+ ⋯+
. Biasanya karena letak geografis atau jarak yang
Universitas Sumatera Utara
10
berbeda, maka biaya pengiriman dari suatu sumber ke suatu tujuan tidaklah sama.
Misalkan,
adalah biaya pengiriman sebuah barang dari sumber
ke tujuan
.
Masalahnya adalah bagaimana menentukan pendistribusian barang dari sumber
sehingga semua kebutuhan tujuan terpenuhi tetapi dengan biaya yang seminimum
mungkin.
Suatu masalah transportasi dikatakan seimbang (balanced program) apabila
jumlah penawaran sama dengan jumlah permintaan. Dapat dituliskan:
=
=1
=1
Suatu masalah transportasi dapat dimodelkan secara matematis, yaitu dengan
membentuk fungsi tujuan. Fungsi tujuan tersebut menunjukkan biaya transportasi
dari sumber
ke tujuan , maka model program linier untuk permasalahan
transportasi dapat diformulasikan sebagai berikut.
Fungsi tujuan :
Dengan kendala :
Keterangan:
�
�
=
=1 =1
=1
� =
; = 1,2, … ,
=1
� =
; = 1, 2, … ,
�
0 untuk semua dan
= biaya transportasi per unit barang dari sumber ke tujuan
� = jumlah barang yang didistribusikan dari sumber ke tujuan
Universitas Sumatera Utara
11
= jumlah barang yang ditawarkan atau kapasitas dari sumber
= jumlah barang yang diminta atau dipesan oleh tujuan
= banyaknya sumber
= banyaknya tujuan
Bentuk umum dari tabel transportasi dapat dilihat pada tabel berikut:
Tabel 2.1. Bentuk Umum Tabel Transportasi
1
1
12
11
�11
21
�12
22
1
...
�1
2
1
1
�1
2
2
...
�
...
1
2
...
�
...
...
1
...
�
�1
...
2
�2
...
...
�2
...
1
...
...
...
...
�1
�2
...
2
...
�22
...
...
�21
1
Demand
...
Supply
...
2
...
...
Sumber
2
Tujuan
...
2
...
�
...
�
=
Langkah-langkah penyelesaian model transportasi ini adalah sebagai berikut:
1. Mencari penyelesaian awal pada variabel dasar.
Ada beberapa metode untuk menentukan solusi awal. Tiga dari metode yang
dikenal yaitu:
a. Metode North West Corner
b. Metode Least Cost
c. Metode Vogel’s Approximation Method (VAM)
3. Mencari penyelesaian optimal.
Universitas Sumatera Utara
12
Setelah didapat penyelesaian awal, maka langkah berikutnya adalah
memeriksa kembali apakah penyelesaian yang didapat sudah optimal atau
belum. Tujuan dari evaluasi ini adalah menentukan ada tidaknya pengiriman
dari sumber ke tujuan yang lebih baik. Terdapat 2 metode yang dapat
digunakan untuk menentukan solusi optimal yaitu:
a. Metode Modified Distribution Method (MODI)
b. Metode Stepping Stone
3. Jika penyelesaian belum optimal maka dilanjutkan dengan langkah iterasi
yaitu menentukan basis feasible yang baru dari variabel dasar yang masuk
dan keluar.
2.4 Persoalan Transshipment
Model Transshipment merupakan perluasan dari masalah transportasi. Dimyati
dan Dimyati (2004:146) mengatakan, Model transshipment adalah model
transportasi yang memungkinkan dilakukannya pengiriman barang (komoditas)
secara tidak langsung, dimana barang dari suatu sumber dapat berada pada sumber
lain atau tujuan lain sebelum mencapai tujuan akhirnya. Pada model
transshipment ini titik perantara dapat berperan sebagai sumber sekaligus sebagai
tujuan. Dengan kata lain, proses pendistribusian barang dari suatu sumber ke
sumber tujuan harus melalui agen terlebih dahulu.
Sumber
Titik Perantara
Tujuan
3
6
4
7
5
8
1
2
Gambar 2.1 Contoh Gambar Sumber, Titik Perantara, dan Tujuan
Universitas Sumatera Utara
13
Pada gambar diatas, titik 1 dan titik 2 merupakan sumber; titik 3, 4, dan 5
merupakan titik perantara dan titik 6, 7, dan 8 merupakan titik tujuan. Dapat
dilihat bahwa titik perantara dapat bertindak sebagai sumber maupun tujuan.Titik
3, 4, dan 5 merupakan titik tujuan untuk titik 1 dan 2. Akan tetapi untuk titik 6, 7,
dan 8 titik 3, 4, dan 5 akan bertindak sebagai sumber.
Adapun model matematika dari masalah transshipment adalah sebagai
berikut:
Fungsi tujuan :
�
Dengan kendala :
=1
=1
�
+
=1
=1
+
=
+
+
+
� −
=1
� =
; = 1,2, … ,
; =
+ 1,
+
� −
=1
� =
, = 1,2, … ,
Keterangan:
�
+ 2, … ,
+
+
0, ≠
= biaya transportasi per unit barang dari sumber ke tujuan
� = jumlah barang yang didistribusikan dari sumber ke tujuan
= jumlah barang yang ditawarkan atau kapasitas dari sumber
= jumlah barang yang diminta atau dipesan oleh tujuan
= banyaknya sumber
= banyaknya tujuan
= sumber ke
= tujuan ke
Universitas Sumatera Utara
14
2.5 Penyelesaian Persoalan Transsshipment
Seperti masalah transportasi, tujuan transshipment adalah mengatur pengiriman
barang agar biaya seminimum mungkin. Penyelesaian dilakukan dengan
mengubah masalah transshipment menjadi masalah transportasi dan kemudian
menyelesaikannya dengan algoritma model transportasi.
Transformasi masalah transshipment ke masalah transportasi meliputi
beberapa bagian, antara lain (Jong Jek Siang, 2014):
1. Menyeimbangkan tabel. Teliti apakah jumlah persediaan barang (node
bertanda +) sama dengan jumlah permintaan (node bertanda −). Jika belum
sama maka tabel harus diseimbangkan dengan menambahkan sumber/tujuan
semu (dummy).
2. Tentukan titik yang merupakan titik sumber, titik tujuan, dan titik perantara.
Titik sumber adalah titik yang hanya bisa mengirimkan barang dan tidak bisa
menerima barang. Sebaliknya, titik tujuan adalah titik yang hanya bisa
menerima barang dan tidak bisa mengirimkan barang. Titik perantara adalah
titik yang bisa mengirimkan sekaligus menerima barang. Sumber dalam
masalah transportasi yang sesuai adalah gabungan dari sumber tujuan dan
titik perantara, sedangkan tujuan merupakan gabungan dari tujuan dan titik
perantara dalam masalah transshipment.
3. Tentukan jumlah persediaan dan permintaan tiap titik.
Misalkan dalam masalah transshipment mula-mula,
dan
adalah persediaan titik
adalah permintaan titik .
=
=
Maka dalam masalah transportasi, titik sumber memiliki persediaan sebesar
′ =
dan titik tujuan memiliki kebutuhan sebesar ′ =
memiliki persediaan sebesar �′ =
4. Tentukan biaya pengiriman dari ke
. Titik perantara
+
(atau permintaan sebesar
ke
.
+ ).
Universitas Sumatera Utara
15
Jika ada jalur langsung dari
=
0
ke
.
Jika = .
M Jika tidak ada jalur langsung dari
ke
.
2.5.1 Penyelesaian Feasible Awal
Penyelesaian feasible awal digunakan untuk menentukan penyelesaian awal dalam
masalah transportasi maupun masalah transshipment yang telah ditransformasikan
ke masalah transportasi. Ada beberapa metode yang biasa digunakan antara lain
metode North West Corner, metode Least Cost dan metode Vogel’s
Approximation (VAM). Namun dalam tulisan ini penulis menggunakan metode
Least Cost dalam mencari penyelesaian feasible awal.
Jika tabel transportasi terdiri dari
awal harus memenuhi
+
baris dan
kolom, maka penyelesaian
− 1 buah variabel basis (sel yang terisi). Jika
penyelesaian awalnya berisi kurang dari
+
− 1 buah variabel basis maka
harus ditambahkan variabel dummy agar proses pengecekan keoptimalan dan
iterasi dapat dilakukan.
2.5.1.1 Metode North West Corner
Metode North West Corner (disingkat metode NWC) dalam bahasa Indonesia
disebut metode sudut barat laut merupakan metode dimana untuk mengisi tabel
awal transportasi dimulai dari sisi barat laut (kiri atas) dengan kuantitas
sebanyak-banyaknya disesuaikan dengan jumlah demand dan supply dari baris
dan kolom sampai semua kapasitas terpenuhi.
Prosedur metode ini adalah sebagai berikut:
1. Membuat tabel transportasi.
Universitas Sumatera Utara
16
2. Dimulai dari sel pada sudut kiri atas yang diisi dengan angka sebanyakbanyaknya yang disesuaikan dengan kapasitas dan permintaan.
3. Lakukan langkah yang sama pada langkah (2) untuk mengisi sel-sel lain yang
disesuaikan dengan kapasitas dan permintaan sampai seluruh kapasitas dan
permintaan terpenuhi.
2.5.1.2 Metode Least Cost
Metode Least Cost (disingkat metode LC) dalam bahasa Indonesia disebut metode
biaya terendah. Menurut Jong Jek Siang (2014), prinsip dasar penyelesaian awal
dengan metode Least Cost tidak jauh berbeda dengan metode North West Corner.
Hanya saja pengisian tidak dilakukan dari sisi barat laut, tetapi dari sel yang biaya
pengirimannya terkecil. Pada sel tersebut diisi barang sebanyak mungkin. Jika ada
beberapa sel yang biaya terkecilnya sama, maka dipilih sembarang.
Metode Least Cost sering juga disebut metode greedy karena sifatnya
yang selalu memulai penyelesaian awal dari biaya yang terkecil tanpa
memperhitungkan efeknya terhadap keseluruhan proses. Meskipun selalu dimulai
dari sel yang biayanya terkecil, namun metode Least Cost belum tentu
menghasilkan penyelesaian optimal. Sehingga untuk melihat ke optimalannya
harus dilakukan uji keoptimalan sehingga didapat biaya yang seminimum
mungkin.
Secara logis, hasil yang diperoleh dengan metode Least Cost akan lebih
baik dibandingkan dengan metode North West Corner karena pengisian dengan
metode North West Corner tidak mempertimbangkan biaya pengiriman pada sel
yang bersangkutan. Akibatnya, total biaya pengiriman akan cenderung tidak
optimal .
Langkah-langkah metode Least Cost adalah sebagai berikut:
1. Membuat tabel transportasi.
Universitas Sumatera Utara
17
2. Alokasi dimulai dengan mengisi sel pada biaya terendah dengan kuantitas
sebanyak-banyaknya yang disesuaikan dengan kapasitas (supply) dan
permintaan (demand).
3. Lakukan langkah yang sama seperti langkah (2) untuk mengisi sel-sel lain
yang disesuaikan dengan kapasitas dan permintaan sampai seluruh kapasitas
terpenuhi.
2.5.1.3 Metode Vogel’s Approximation (VAM)
Perhitungan penyelesaian awal dengan Vogel lebih rumit dibandingkan kedua
metode sebelumnya. Akan tetapi biasanya lebih mendekati penyelesaian optimal.
Algoritma Vogel untuk menentukan penyelesaian feasible awal masalah
transportasi menurut Jong Jek Siang adalah sebagai berikut:
1. Pada tiap baris dan kolom, hitunglah selisih 2 sel dengan biaya yang terkecil.
2. Tentukan baris/kolom hasil langkah (1) yang selisihnya terbesar. Jika terdapat
lebih dari 1, pilihlah sembarang.
3. Pada baris/kolom yang terpilih, isikan barang semaksimum mungkin pada sel
dengan biaya terkecil. Hapuskan baris/kolom yang dihabiskan karena
pengisian tersebut pada perhitungan berikutnya. Jika baris dan kolom
terhapus bersamaan, tambahkan sebuah variabel dummy.
4. Ulangi langkah (1) – (3) hingga semua permintaan/persediaan habis.
2.5.2 Pengujian Optimalitas
Setelah tabel awal transportasi dibuat (dengan sembarang metode), langkah
berikutnya adalah menguji apakah tabel tersebut sudah optimal. Hal ini
dikarenakan solusi awal belum menjamin biaya transportasi telah optimal, untuk
itu diperlukan pengujian lebih lanjut yang dilakukan dengan menggunakan uji
optimal. Jika sudah optimal maka proses dihentikan dan tabel awal menjadi tabel
Universitas Sumatera Utara
18
optimal. Tujuan dari evaluasi ini adalah menentukan ada tidaknya pengiriman dari
sumber ke tujuan yang lebih baik.
Terdapat 2 metode yang dapat digunakan untuk pengujian yaitu metode
Stepping Stone atau metode Modified Distribution Method (MODI). Suatu
pengujian dengan menggunakan Stepping Stone atau metode Modified
Distribution Method (MODI) dikatakan telah optimal apabila sudah tidak ada lagi
penghematan biaya (tanda negatif) pada proses eksekusi menggunakan metodemetode tersebut.
2.5.2.1 Metode Stepping Stone
Salah satu metode transportasi untuk memperoleh solusi optimal adalah metode
stepping stone atau sering juga disebut metode batu loncatan, yang digunakan
untuk menghasilkan pemecahan layak bagi masalah dengan biaya-biaya operasi
(biaya pabrik dan biaya transportasi), sehingga mendapatkan biaya pendistribusian
relatif minimal. Jumlah rute atau sel yang mendapat alokasi harus sebanyak
+
− 1.
Prosedur penyelesaian adalah:
1. Setelah memperoleh tabel penyelesaian feasible awal dengan sembarang
metode, selanjutnya periksa apakah variabel basis (sel yang terisi) dari tabel
awal sudah memenuhi
+
+
− 1 buah variabel basis, jika berisi kurang dari
− 1 buah variabel basis maka harus ditambahkan variabel dummy agar
proses pengujian keoptimalan dan iterasi dapat dilakukan.
2. Kotak yang terisi disebut kotak basis, nilainya diberi tanda kurung buka dan
tutup seperti (� ), melambangkan baris dan untuk kolom.
3. Kotak yang tidak terisi disebut kotak bukan basis (non-basis cell).
4. Semua kotak memuat biaya angkut per unit barang sebesar
barang diangkut dari sumber
dimana 1 unit
ke tujuan .
Universitas Sumatera Utara
19
5.
= supply atau persediaan barang di sumber
dari tujuan
� jumlah biaya angkut yang harus dibuat minimal.
=
dan
= permintaan barang
, dan
6. Agar tabel tidak rumit, nilai yang menunjukkan biaya angkut tidak
dicantumkan dalam tabel.
7. Dibuat loop tertutup bagi setiap variabel non-basis di mana loop tersebut
berawal dan berakhir pada variabel non-basis, dan setiap titik sudut loop
tersebut harus merupakan titik-titik yang ditempati oleh variabel-variabel
basis dalam tabel transportasi.
8. Dihitung
bergantian.
−
pada loop dengan koefisien (+) dan (−) secara
= jumlah
9. Menentukan variabel yang masuk menjadi basis (entering variable) dengan
−
cara memilih nilai
−
yang terbesar atau Max
.
10. Menentukan variabel yang keluar dari basis dengan cara:
a. Dibuat loop yang memuat
b. Diadakan pengamatan pada
−
yang terbesar.
dalam loop yang mempunyai koefisien
(−).
c. Variabel �
loop.
yang keluar basis jika dan hanya jika � minimal dari jalur
11. Menentukan harga variabel basis (yang berada di dalam loop yang baru) di
mana nilai untuk variabel yang baru masuk basis diambil dari nilai variabel
minimal dalam loop.
12. Untuk variabel-variabel basis yang lain yang juga berada dalam loop yaitu:
a. � baru = � lama – � minimal
b. � baru = � lama + � minimal
13. Untuk variabel-variabel basis yang lain di luar loop harganya tetap dan hitung
kembali nilai
−
untuk variabel non-basis.
14. Diperoleh tabel optimal jika semua
15. Jika masih ada nilai
−
−
0 .
0 , maka dapat ditentukan kembali entering
variable dan leaving (variabel yang masuk dan yang keluar).
Universitas Sumatera Utara
20
2.5.2.2 Metode Modified Distribution Method (MODI)
Metode MODI merupakan perkembangan dari metode Stepping Stone, karena
penentuan segi empat kosong yang bisa menghemat biaya dilakukan dengan
prosedur yang lebih pasti dan tepat serta metode ini dapat mencapai hasil optimal
lebih cepat (Subagyo, dkk. 2013).
Langkah-langkah pengujian optimalitas dengan metode MODI menurut Jong Jek
Siang adalah sebagai berikut:
( = 1,2,3, … ,
1. Pada penyelesaian feasible awal, tambahkan kolom
baris
( = 1,2,3, … , )
2. Isi salah satu baris
atau kolom
) dan
dengan 0 (biasanya baris/kolom yang
dipilih adalah baris/kolom yang memuat variabel basis paling banyak).
3. Isi baris
dan kolom
lainnya dengan aturan: untuk setiap sel basis
+
berlakulah persamaan
=
−
4. Isi sel-sel sisanya (bukan basis) dengan kuantitas
dengan nilai
−
−
−
. Jika ada sel
< 0 maka tabel tersebut belum optimal.
Tabel optimal jika untuk setiap sel bukan basis, nilai
ada salah satu sel saja yang nilai
dan perlu ditingkatkan optimalitasnya.
−
−
−
−
0. Jika
negatif, maka tabel tidak optimal
Untuk merevisi tabel, digunakan loop, yaitu barisan sel basis dengan sifat:
1. Setiap pasangan sel yang berurutan terletak pada baris/kolom yang sama.
2. Tidak ada 3 (atau lebih) sel berurutan yang terletak pada baris/kolom yang
sama.
3. Sel pertama dan terakhir barisan terletak pada baris/kolom yang sama.
4. Tidak ada sel yang muncul lebih dari satu kali dalam barisan.
Universitas Sumatera Utara
21
Algoritma untuk merevisi tabel adalah sebagai berikut:
1. Pilih variabel bukan basis (sel kosong) dengan nilai
paling minimum.
−
−
< 0 yang
2. Isi sel tersebut dengan kuantitas sebanyak mungkin.
3. Sesuaikan kuantitas � pada sel-sel lain dalam loop.
4. Cek apakah penyelesaian baru sudah optimal. Jika belum, lakukan langkah
(1) – (4) kembali.
2.6 Degenerasi dan Redundansi
Sebelum menguji optimalitas tabel, terlebih dahulu menghitung jumlah variabel
(
= jumlah baris dan
−1
+
basis yang ada pada tabel penyelesaian awal yakni harus memenuhi
= jumlah kolom buah variabel basis (sel yang terisi))
agar proses pengujian keoptimalan dan iterasi capat dilakukan. Akan tetapi dalam
menghitung variabel basis ada kondisi dimana variabel basis yang ada tidak dapat
memenuhi
+
− 1 buah variabel basis. Hal ini terjadi karena adanya
degenerasi dan redundansi. Pada degenarasi sel yang terisi kurang dari
+
−
1 buah variabel basis, sedangkan pada redundansi sel yang terisi melebihi dari
+
− 1 buah variabel basis. Untuk mengatasi degenerasi, dapat dilakukan
penambahan sel terisi dengan cara memasukkan nilai 0 (sebanyak yang
dibutuhkan) ke dalam sel sehingga jumlah sel terisi sama dengan
+
− 1.
2.7 Loop
Menurut Richard Bronson, sebuah loop adalah suatu barisan sel-sel yang
sedemikian rupa sehingga: (i) tiap-tiap pasangan sel yang berurutan terletak dalam
baris yang sama atau kolom yang sama. (ii) tidak ada tiga sel berturutan yang
terletak dalam baris atau kolom yang sama. (iii) sel pertama dan yang terakhir dari
barisan sel ini terletak dalam baris atau kolom yang sama. (iv) tidak ada sel yang
muncul lebih dari sekali dalam barisan sel ini.
Universitas Sumatera Utara
LANDASAN TEORI
2.1 Riset Operasi
Masalah Riset Operasi (Operation Research) pertama kali muncul di Inggris
selama Perang Dunia II. Inggris mula-mula tertarik menggunakan metode
kuantitatif dalam pemakaian radar selama perang. Mereka menamakan
pendekatan itu sebagai Operation Research karena mereka menggunakan
ilmuwan (scientist) untuk meneliti (research) masalah-masalah operasional
selama perang. Ternyata pendekatan tersebut sangat berhasil dalam memecahkan
masalah operasi konvoi, operasi anti kapal selam, strategi pengeboman, dan
operasi pertambangan. Aplikasi ini menyebabkan Riset Operasi didefinisikan
sebagai: “Seni memenangkan perang tanpa berperang” (Jong Jek Siang, 2014).
Setelah Perang Dunia II berakhir, Riset Operasi yang lahir di Inggris ini
kemudian berkembang pesat di Amerika karena keberhasilan tim Riset Operasi
dalam bidang militer ini telah menarik perhatian orang-orang industri. Sedemikian
pesat perkembangannya sehingga kini Riset Operasi telah digunakan dalam
hampir seluruh bidang (Dimyati dan Dimyati, 2004:1).
Secara harfiah kata operation dapat didefinisikan sebagai tindakantindakan yang diterapkan pada beberapa masalah atau hipotesa. Sementara kata
research adalah suatu proses yang terorganisasi dalam mencari kebenaran akan
masalah atau hipotesa tadi. Kenyatannya, sangat sulit mendefinisikan OR,
terutama karena batas-batasnya tidak jelas. OR memiliki bermacam-macam
penjelasan, namun hanya beberapa yang biasa digunakan dan diterima secara
umum (Mulyono, 2004:2).
Menurut Operation Research Society of Great Britain, operation research
adalah penerapan metode-metode ilmiah dalam masalah yang kompleks dan suatu
Universitas Sumatera Utara
7
pengolahan manajemen yang besar, baik yang menyangkut manusia, mesin,
bahan, dan uang dalam industri, bisnis, pemerintahaan, dan pertahanan.
Pendekatan ini menggabungkan dan menerapkan metode ilmiah yang sangat
kompleks dalam suatu pengelolaan manajemen dengan menggunakan faktorfaktor produksi yang ada dan digunakan secara efisien dan efektif untuk
membantu pengambilan keputusan dalam kebijakan perusahaan. Definisi lain
menurut Operational Research Society of America (ORSA), operation research
berkaitan dengan pengambilan keputusan secara ilmiah dan bagaimana membuat
suatu model yang baik dalam merancang dan menjalankan sistem yang melalui
alokasi sumber daya yang terbatas. Inti dari beberapa kesimpulan di atas adalah
bagaimana proses pengambilan keputusan yan optimal dengan menggunakan alat
analisis yang ada dan adanya keterbatasan sumber daya (Andi Wijaya, 2013).
Riset Operasi
adalah penerapan metode-metode
ilmiah terhadap
masalah- masalah yang muncul dalam pengarahan dan pengelolaan dari suatu
sistem besar manusia, mesin, bahan dan uang industri, bisnis, pemerintahan
dan pertahanan. Pendekatan khusus ini bertujuan untuk membentuk suatu
model ilmiah dari sistem, mengabungkan ukuran-ukuran faktor-faktor seperti
kesempatan resiko, untuk meramalkan dan membandingkan hasil-hasil dari
beberapa keputusan, strategi atau pengawasan. Tujuannya adalah membantu
pengambilan
keputusan menentukan kebijaksanaan dan
tindakannya secara
ilmiah (Operational Research Society of Great Britian) (Mulyono, 2004:2).
Dalam riset operasional, masalah optimasi dalam pengambilan keputusan
diperoleh dengan menerapkan teknik matematika dan statistika. Model
matematika
yang
menyederhanakan
digunakan
masalah
dalam
dan
metode
membatasi
riset
operasional
faktor-faktor
yang
bersifat
mungkin
berpengaruh terhadap suatu masalah. Jika riset operasi akan digunakan untuk
memecahkan suatu permasalahan, maka harus dilakukan lima langkah sebagai
berikut:
1. Memformulasikan persoalan.
2. Mengobservasi sistem.
Universitas Sumatera Utara
8
3. Memformulasikan model matematis dari persoalan yang dihadapi.
4. Mengevaluasi model dan menggunakannya untuk prediksi.
5. Mengimplementasikan hasil studi. (Dimyati dan Dimyati, 2004:4)
2.2 Program Linier
Program linear (Linear Programming yang disingkat LP) merupakan salah satu
teknik OR yang digunakan paling luas dan diketahui dengan baik. LP merupakan
metode matematik dalam mengalokasikan sumber daya yang langka untuk
mencapai
tujuan
tunggal
seperti
memaksimumkan
keuntungan
atau
meminimumkan biaya. LP banyak diterapkan dalam membantu menyelesaikan
masalah ekonomi, industri, militer, sosial dan lain-lain. LP berkaitan dengan
penjelasan suatu dunia nyata sebagai suatu model matematik yang terdiri atas
sebuah fungsi tujuan linear dan sistem kendala linear (Mulyono, 2004: 13).
Program linear yang diterjemahkan dari Linear Programming (LP) adalah
suatu cara untuk menyelesaikan persoalan pengalokasian sumber-sumber yang
terbatas diantara aktifitas yang bersaing, dengan cara yang terbaik yang mungkin
dilakukan (Dimyati dan Dimyati, 2004:17).
George B. Dantzig diakui umum sebagai pioner LP, karena jasanya dalam
menemukan metode mencari solusi masalah LP dengan banyak variable
keputusan. Dantzig bekerja pada penelitian teknik matematik untuk memecahkan
masalah logistic militer ketika ia dipekerjakan oleh angkatan udara Amerika
Serikat selama Perang Dunia II. Penelitiannya didukung oleh ahli-ahli lain seperti:
J. Von Neumann, L. Hurwicz dan T. C. Koopmans, yang bekerja pada subyek
yang sama (Mulyono, 2004:14).
Menurut Frederick S. Hiller dan Gerald J. Lieberman, linier programming
merupakan suatu model matematis untuk menggambarkan masalah yang dihadapi.
Linier berarti bahwa semua fungsi matematis dalam model ini merupakan fungsi-
Universitas Sumatera Utara
9
fungsi linier. Pemrograman merupakan sinonim untuk kata perencanaan . Dengan
demikian membuat rencana kegiatan-kegiatan untuk memperoleh hasil yang
optimal, ialah suatu hasil untuk mencapai tujuan yang ditentukan dengan cara
yang paling baik (sesuai dengan model matematis) diantara semua alternatif yang
mungkin.
Contoh untuk permasalahan yang memaksimumkan adalah masalah
keuntungan, sedangkan contoh untuk permasalahan meminimumkan adalah
masalah biaya, persediaan, dan lain-lain. Kendala-kendala yang sering dijumpai
adalah keterbatasan bahan mentah, tenaga kerja, dan lain sebagainya. Kendala –
kendala ini dapat diekspresikan dalam bentuk sejumlah persamaan atau
pertidaksamaan linear dalam variabel atau peubahnya. Jadi fungsi yang akan
dioptimumkan merupakan suatu penyelesaian atatu solusi layak yang mempunyai
nilai fungsi tujuan yang dikehendaki. Nilai yang dikehendaki dapat berupa nilai
terbesar yaitu fungsi tujuan berupa nilai maksimum sedangkan nilai terkecil yaitu
fungsi tujuan berupa nilai minimum.
2.3 Persoalan Transportasi
Persoalan transportasi pertama kali diformulasikan sebagai suatu prosedur khusus
untuk mendapatkan program biaya minimum dalam mendistribusikan unit yang
homogen dari suatu produk atas sejumlah titik penawaran (sumber) ke sejumlah
titik permintaan (tujuan). Semua ditempatkan pada sumber dan tujuan yang
berbeda secara geografis (Aminudin, 2008).
Adapun menurut Jong Jek Siang, Masalah transportasi merupakan masalah
yang sering dihadapi dalam pendistribusian barang. Misalkan ada
(sumber) yang masing-masing memiliki
1,
Barang-barang tersebut hendak dikirimkan ke
masing membutuhkan
=
1
+
2
+⋯+
1, 2,
…,
2,
…,
buah gudang
buah barang yang sama.
buah toko (tujuan) yang masing -
buah barang. Diasumsikan
1
+
2
+ ⋯+
. Biasanya karena letak geografis atau jarak yang
Universitas Sumatera Utara
10
berbeda, maka biaya pengiriman dari suatu sumber ke suatu tujuan tidaklah sama.
Misalkan,
adalah biaya pengiriman sebuah barang dari sumber
ke tujuan
.
Masalahnya adalah bagaimana menentukan pendistribusian barang dari sumber
sehingga semua kebutuhan tujuan terpenuhi tetapi dengan biaya yang seminimum
mungkin.
Suatu masalah transportasi dikatakan seimbang (balanced program) apabila
jumlah penawaran sama dengan jumlah permintaan. Dapat dituliskan:
=
=1
=1
Suatu masalah transportasi dapat dimodelkan secara matematis, yaitu dengan
membentuk fungsi tujuan. Fungsi tujuan tersebut menunjukkan biaya transportasi
dari sumber
ke tujuan , maka model program linier untuk permasalahan
transportasi dapat diformulasikan sebagai berikut.
Fungsi tujuan :
Dengan kendala :
Keterangan:
�
�
=
=1 =1
=1
� =
; = 1,2, … ,
=1
� =
; = 1, 2, … ,
�
0 untuk semua dan
= biaya transportasi per unit barang dari sumber ke tujuan
� = jumlah barang yang didistribusikan dari sumber ke tujuan
Universitas Sumatera Utara
11
= jumlah barang yang ditawarkan atau kapasitas dari sumber
= jumlah barang yang diminta atau dipesan oleh tujuan
= banyaknya sumber
= banyaknya tujuan
Bentuk umum dari tabel transportasi dapat dilihat pada tabel berikut:
Tabel 2.1. Bentuk Umum Tabel Transportasi
1
1
12
11
�11
21
�12
22
1
...
�1
2
1
1
�1
2
2
...
�
...
1
2
...
�
...
...
1
...
�
�1
...
2
�2
...
...
�2
...
1
...
...
...
...
�1
�2
...
2
...
�22
...
...
�21
1
Demand
...
Supply
...
2
...
...
Sumber
2
Tujuan
...
2
...
�
...
�
=
Langkah-langkah penyelesaian model transportasi ini adalah sebagai berikut:
1. Mencari penyelesaian awal pada variabel dasar.
Ada beberapa metode untuk menentukan solusi awal. Tiga dari metode yang
dikenal yaitu:
a. Metode North West Corner
b. Metode Least Cost
c. Metode Vogel’s Approximation Method (VAM)
3. Mencari penyelesaian optimal.
Universitas Sumatera Utara
12
Setelah didapat penyelesaian awal, maka langkah berikutnya adalah
memeriksa kembali apakah penyelesaian yang didapat sudah optimal atau
belum. Tujuan dari evaluasi ini adalah menentukan ada tidaknya pengiriman
dari sumber ke tujuan yang lebih baik. Terdapat 2 metode yang dapat
digunakan untuk menentukan solusi optimal yaitu:
a. Metode Modified Distribution Method (MODI)
b. Metode Stepping Stone
3. Jika penyelesaian belum optimal maka dilanjutkan dengan langkah iterasi
yaitu menentukan basis feasible yang baru dari variabel dasar yang masuk
dan keluar.
2.4 Persoalan Transshipment
Model Transshipment merupakan perluasan dari masalah transportasi. Dimyati
dan Dimyati (2004:146) mengatakan, Model transshipment adalah model
transportasi yang memungkinkan dilakukannya pengiriman barang (komoditas)
secara tidak langsung, dimana barang dari suatu sumber dapat berada pada sumber
lain atau tujuan lain sebelum mencapai tujuan akhirnya. Pada model
transshipment ini titik perantara dapat berperan sebagai sumber sekaligus sebagai
tujuan. Dengan kata lain, proses pendistribusian barang dari suatu sumber ke
sumber tujuan harus melalui agen terlebih dahulu.
Sumber
Titik Perantara
Tujuan
3
6
4
7
5
8
1
2
Gambar 2.1 Contoh Gambar Sumber, Titik Perantara, dan Tujuan
Universitas Sumatera Utara
13
Pada gambar diatas, titik 1 dan titik 2 merupakan sumber; titik 3, 4, dan 5
merupakan titik perantara dan titik 6, 7, dan 8 merupakan titik tujuan. Dapat
dilihat bahwa titik perantara dapat bertindak sebagai sumber maupun tujuan.Titik
3, 4, dan 5 merupakan titik tujuan untuk titik 1 dan 2. Akan tetapi untuk titik 6, 7,
dan 8 titik 3, 4, dan 5 akan bertindak sebagai sumber.
Adapun model matematika dari masalah transshipment adalah sebagai
berikut:
Fungsi tujuan :
�
Dengan kendala :
=1
=1
�
+
=1
=1
+
=
+
+
+
� −
=1
� =
; = 1,2, … ,
; =
+ 1,
+
� −
=1
� =
, = 1,2, … ,
Keterangan:
�
+ 2, … ,
+
+
0, ≠
= biaya transportasi per unit barang dari sumber ke tujuan
� = jumlah barang yang didistribusikan dari sumber ke tujuan
= jumlah barang yang ditawarkan atau kapasitas dari sumber
= jumlah barang yang diminta atau dipesan oleh tujuan
= banyaknya sumber
= banyaknya tujuan
= sumber ke
= tujuan ke
Universitas Sumatera Utara
14
2.5 Penyelesaian Persoalan Transsshipment
Seperti masalah transportasi, tujuan transshipment adalah mengatur pengiriman
barang agar biaya seminimum mungkin. Penyelesaian dilakukan dengan
mengubah masalah transshipment menjadi masalah transportasi dan kemudian
menyelesaikannya dengan algoritma model transportasi.
Transformasi masalah transshipment ke masalah transportasi meliputi
beberapa bagian, antara lain (Jong Jek Siang, 2014):
1. Menyeimbangkan tabel. Teliti apakah jumlah persediaan barang (node
bertanda +) sama dengan jumlah permintaan (node bertanda −). Jika belum
sama maka tabel harus diseimbangkan dengan menambahkan sumber/tujuan
semu (dummy).
2. Tentukan titik yang merupakan titik sumber, titik tujuan, dan titik perantara.
Titik sumber adalah titik yang hanya bisa mengirimkan barang dan tidak bisa
menerima barang. Sebaliknya, titik tujuan adalah titik yang hanya bisa
menerima barang dan tidak bisa mengirimkan barang. Titik perantara adalah
titik yang bisa mengirimkan sekaligus menerima barang. Sumber dalam
masalah transportasi yang sesuai adalah gabungan dari sumber tujuan dan
titik perantara, sedangkan tujuan merupakan gabungan dari tujuan dan titik
perantara dalam masalah transshipment.
3. Tentukan jumlah persediaan dan permintaan tiap titik.
Misalkan dalam masalah transshipment mula-mula,
dan
adalah persediaan titik
adalah permintaan titik .
=
=
Maka dalam masalah transportasi, titik sumber memiliki persediaan sebesar
′ =
dan titik tujuan memiliki kebutuhan sebesar ′ =
memiliki persediaan sebesar �′ =
4. Tentukan biaya pengiriman dari ke
. Titik perantara
+
(atau permintaan sebesar
ke
.
+ ).
Universitas Sumatera Utara
15
Jika ada jalur langsung dari
=
0
ke
.
Jika = .
M Jika tidak ada jalur langsung dari
ke
.
2.5.1 Penyelesaian Feasible Awal
Penyelesaian feasible awal digunakan untuk menentukan penyelesaian awal dalam
masalah transportasi maupun masalah transshipment yang telah ditransformasikan
ke masalah transportasi. Ada beberapa metode yang biasa digunakan antara lain
metode North West Corner, metode Least Cost dan metode Vogel’s
Approximation (VAM). Namun dalam tulisan ini penulis menggunakan metode
Least Cost dalam mencari penyelesaian feasible awal.
Jika tabel transportasi terdiri dari
awal harus memenuhi
+
baris dan
kolom, maka penyelesaian
− 1 buah variabel basis (sel yang terisi). Jika
penyelesaian awalnya berisi kurang dari
+
− 1 buah variabel basis maka
harus ditambahkan variabel dummy agar proses pengecekan keoptimalan dan
iterasi dapat dilakukan.
2.5.1.1 Metode North West Corner
Metode North West Corner (disingkat metode NWC) dalam bahasa Indonesia
disebut metode sudut barat laut merupakan metode dimana untuk mengisi tabel
awal transportasi dimulai dari sisi barat laut (kiri atas) dengan kuantitas
sebanyak-banyaknya disesuaikan dengan jumlah demand dan supply dari baris
dan kolom sampai semua kapasitas terpenuhi.
Prosedur metode ini adalah sebagai berikut:
1. Membuat tabel transportasi.
Universitas Sumatera Utara
16
2. Dimulai dari sel pada sudut kiri atas yang diisi dengan angka sebanyakbanyaknya yang disesuaikan dengan kapasitas dan permintaan.
3. Lakukan langkah yang sama pada langkah (2) untuk mengisi sel-sel lain yang
disesuaikan dengan kapasitas dan permintaan sampai seluruh kapasitas dan
permintaan terpenuhi.
2.5.1.2 Metode Least Cost
Metode Least Cost (disingkat metode LC) dalam bahasa Indonesia disebut metode
biaya terendah. Menurut Jong Jek Siang (2014), prinsip dasar penyelesaian awal
dengan metode Least Cost tidak jauh berbeda dengan metode North West Corner.
Hanya saja pengisian tidak dilakukan dari sisi barat laut, tetapi dari sel yang biaya
pengirimannya terkecil. Pada sel tersebut diisi barang sebanyak mungkin. Jika ada
beberapa sel yang biaya terkecilnya sama, maka dipilih sembarang.
Metode Least Cost sering juga disebut metode greedy karena sifatnya
yang selalu memulai penyelesaian awal dari biaya yang terkecil tanpa
memperhitungkan efeknya terhadap keseluruhan proses. Meskipun selalu dimulai
dari sel yang biayanya terkecil, namun metode Least Cost belum tentu
menghasilkan penyelesaian optimal. Sehingga untuk melihat ke optimalannya
harus dilakukan uji keoptimalan sehingga didapat biaya yang seminimum
mungkin.
Secara logis, hasil yang diperoleh dengan metode Least Cost akan lebih
baik dibandingkan dengan metode North West Corner karena pengisian dengan
metode North West Corner tidak mempertimbangkan biaya pengiriman pada sel
yang bersangkutan. Akibatnya, total biaya pengiriman akan cenderung tidak
optimal .
Langkah-langkah metode Least Cost adalah sebagai berikut:
1. Membuat tabel transportasi.
Universitas Sumatera Utara
17
2. Alokasi dimulai dengan mengisi sel pada biaya terendah dengan kuantitas
sebanyak-banyaknya yang disesuaikan dengan kapasitas (supply) dan
permintaan (demand).
3. Lakukan langkah yang sama seperti langkah (2) untuk mengisi sel-sel lain
yang disesuaikan dengan kapasitas dan permintaan sampai seluruh kapasitas
terpenuhi.
2.5.1.3 Metode Vogel’s Approximation (VAM)
Perhitungan penyelesaian awal dengan Vogel lebih rumit dibandingkan kedua
metode sebelumnya. Akan tetapi biasanya lebih mendekati penyelesaian optimal.
Algoritma Vogel untuk menentukan penyelesaian feasible awal masalah
transportasi menurut Jong Jek Siang adalah sebagai berikut:
1. Pada tiap baris dan kolom, hitunglah selisih 2 sel dengan biaya yang terkecil.
2. Tentukan baris/kolom hasil langkah (1) yang selisihnya terbesar. Jika terdapat
lebih dari 1, pilihlah sembarang.
3. Pada baris/kolom yang terpilih, isikan barang semaksimum mungkin pada sel
dengan biaya terkecil. Hapuskan baris/kolom yang dihabiskan karena
pengisian tersebut pada perhitungan berikutnya. Jika baris dan kolom
terhapus bersamaan, tambahkan sebuah variabel dummy.
4. Ulangi langkah (1) – (3) hingga semua permintaan/persediaan habis.
2.5.2 Pengujian Optimalitas
Setelah tabel awal transportasi dibuat (dengan sembarang metode), langkah
berikutnya adalah menguji apakah tabel tersebut sudah optimal. Hal ini
dikarenakan solusi awal belum menjamin biaya transportasi telah optimal, untuk
itu diperlukan pengujian lebih lanjut yang dilakukan dengan menggunakan uji
optimal. Jika sudah optimal maka proses dihentikan dan tabel awal menjadi tabel
Universitas Sumatera Utara
18
optimal. Tujuan dari evaluasi ini adalah menentukan ada tidaknya pengiriman dari
sumber ke tujuan yang lebih baik.
Terdapat 2 metode yang dapat digunakan untuk pengujian yaitu metode
Stepping Stone atau metode Modified Distribution Method (MODI). Suatu
pengujian dengan menggunakan Stepping Stone atau metode Modified
Distribution Method (MODI) dikatakan telah optimal apabila sudah tidak ada lagi
penghematan biaya (tanda negatif) pada proses eksekusi menggunakan metodemetode tersebut.
2.5.2.1 Metode Stepping Stone
Salah satu metode transportasi untuk memperoleh solusi optimal adalah metode
stepping stone atau sering juga disebut metode batu loncatan, yang digunakan
untuk menghasilkan pemecahan layak bagi masalah dengan biaya-biaya operasi
(biaya pabrik dan biaya transportasi), sehingga mendapatkan biaya pendistribusian
relatif minimal. Jumlah rute atau sel yang mendapat alokasi harus sebanyak
+
− 1.
Prosedur penyelesaian adalah:
1. Setelah memperoleh tabel penyelesaian feasible awal dengan sembarang
metode, selanjutnya periksa apakah variabel basis (sel yang terisi) dari tabel
awal sudah memenuhi
+
+
− 1 buah variabel basis, jika berisi kurang dari
− 1 buah variabel basis maka harus ditambahkan variabel dummy agar
proses pengujian keoptimalan dan iterasi dapat dilakukan.
2. Kotak yang terisi disebut kotak basis, nilainya diberi tanda kurung buka dan
tutup seperti (� ), melambangkan baris dan untuk kolom.
3. Kotak yang tidak terisi disebut kotak bukan basis (non-basis cell).
4. Semua kotak memuat biaya angkut per unit barang sebesar
barang diangkut dari sumber
dimana 1 unit
ke tujuan .
Universitas Sumatera Utara
19
5.
= supply atau persediaan barang di sumber
dari tujuan
� jumlah biaya angkut yang harus dibuat minimal.
=
dan
= permintaan barang
, dan
6. Agar tabel tidak rumit, nilai yang menunjukkan biaya angkut tidak
dicantumkan dalam tabel.
7. Dibuat loop tertutup bagi setiap variabel non-basis di mana loop tersebut
berawal dan berakhir pada variabel non-basis, dan setiap titik sudut loop
tersebut harus merupakan titik-titik yang ditempati oleh variabel-variabel
basis dalam tabel transportasi.
8. Dihitung
bergantian.
−
pada loop dengan koefisien (+) dan (−) secara
= jumlah
9. Menentukan variabel yang masuk menjadi basis (entering variable) dengan
−
cara memilih nilai
−
yang terbesar atau Max
.
10. Menentukan variabel yang keluar dari basis dengan cara:
a. Dibuat loop yang memuat
b. Diadakan pengamatan pada
−
yang terbesar.
dalam loop yang mempunyai koefisien
(−).
c. Variabel �
loop.
yang keluar basis jika dan hanya jika � minimal dari jalur
11. Menentukan harga variabel basis (yang berada di dalam loop yang baru) di
mana nilai untuk variabel yang baru masuk basis diambil dari nilai variabel
minimal dalam loop.
12. Untuk variabel-variabel basis yang lain yang juga berada dalam loop yaitu:
a. � baru = � lama – � minimal
b. � baru = � lama + � minimal
13. Untuk variabel-variabel basis yang lain di luar loop harganya tetap dan hitung
kembali nilai
−
untuk variabel non-basis.
14. Diperoleh tabel optimal jika semua
15. Jika masih ada nilai
−
−
0 .
0 , maka dapat ditentukan kembali entering
variable dan leaving (variabel yang masuk dan yang keluar).
Universitas Sumatera Utara
20
2.5.2.2 Metode Modified Distribution Method (MODI)
Metode MODI merupakan perkembangan dari metode Stepping Stone, karena
penentuan segi empat kosong yang bisa menghemat biaya dilakukan dengan
prosedur yang lebih pasti dan tepat serta metode ini dapat mencapai hasil optimal
lebih cepat (Subagyo, dkk. 2013).
Langkah-langkah pengujian optimalitas dengan metode MODI menurut Jong Jek
Siang adalah sebagai berikut:
( = 1,2,3, … ,
1. Pada penyelesaian feasible awal, tambahkan kolom
baris
( = 1,2,3, … , )
2. Isi salah satu baris
atau kolom
) dan
dengan 0 (biasanya baris/kolom yang
dipilih adalah baris/kolom yang memuat variabel basis paling banyak).
3. Isi baris
dan kolom
lainnya dengan aturan: untuk setiap sel basis
+
berlakulah persamaan
=
−
4. Isi sel-sel sisanya (bukan basis) dengan kuantitas
dengan nilai
−
−
−
. Jika ada sel
< 0 maka tabel tersebut belum optimal.
Tabel optimal jika untuk setiap sel bukan basis, nilai
ada salah satu sel saja yang nilai
dan perlu ditingkatkan optimalitasnya.
−
−
−
−
0. Jika
negatif, maka tabel tidak optimal
Untuk merevisi tabel, digunakan loop, yaitu barisan sel basis dengan sifat:
1. Setiap pasangan sel yang berurutan terletak pada baris/kolom yang sama.
2. Tidak ada 3 (atau lebih) sel berurutan yang terletak pada baris/kolom yang
sama.
3. Sel pertama dan terakhir barisan terletak pada baris/kolom yang sama.
4. Tidak ada sel yang muncul lebih dari satu kali dalam barisan.
Universitas Sumatera Utara
21
Algoritma untuk merevisi tabel adalah sebagai berikut:
1. Pilih variabel bukan basis (sel kosong) dengan nilai
paling minimum.
−
−
< 0 yang
2. Isi sel tersebut dengan kuantitas sebanyak mungkin.
3. Sesuaikan kuantitas � pada sel-sel lain dalam loop.
4. Cek apakah penyelesaian baru sudah optimal. Jika belum, lakukan langkah
(1) – (4) kembali.
2.6 Degenerasi dan Redundansi
Sebelum menguji optimalitas tabel, terlebih dahulu menghitung jumlah variabel
(
= jumlah baris dan
−1
+
basis yang ada pada tabel penyelesaian awal yakni harus memenuhi
= jumlah kolom buah variabel basis (sel yang terisi))
agar proses pengujian keoptimalan dan iterasi capat dilakukan. Akan tetapi dalam
menghitung variabel basis ada kondisi dimana variabel basis yang ada tidak dapat
memenuhi
+
− 1 buah variabel basis. Hal ini terjadi karena adanya
degenerasi dan redundansi. Pada degenarasi sel yang terisi kurang dari
+
−
1 buah variabel basis, sedangkan pada redundansi sel yang terisi melebihi dari
+
− 1 buah variabel basis. Untuk mengatasi degenerasi, dapat dilakukan
penambahan sel terisi dengan cara memasukkan nilai 0 (sebanyak yang
dibutuhkan) ke dalam sel sehingga jumlah sel terisi sama dengan
+
− 1.
2.7 Loop
Menurut Richard Bronson, sebuah loop adalah suatu barisan sel-sel yang
sedemikian rupa sehingga: (i) tiap-tiap pasangan sel yang berurutan terletak dalam
baris yang sama atau kolom yang sama. (ii) tidak ada tiga sel berturutan yang
terletak dalam baris atau kolom yang sama. (iii) sel pertama dan yang terakhir dari
barisan sel ini terletak dalam baris atau kolom yang sama. (iv) tidak ada sel yang
muncul lebih dari sekali dalam barisan sel ini.
Universitas Sumatera Utara