Kajian Masalah Transshipment Tidak Seimbang Menggunakan Metode Least Cost - Stepping Stone dan Metode Least Cost - MODI

Lampiran 1. Nilai baris ui dan kolom vj untuk setiap tabel iterasi dari metode MODI

Nilai Baris ui dan Kolom vj untuk Tabel 4.28

ui vj

u1=c11−v1=5–14=−9

u2 =c21−v1=0–14=−14

u3 =0

u4 =c44−v4=8−M

u5 =c54−u5=15−M

v1=c31−u3=14–0=14

v2=c32−u3=0−0= 0

v3=c43−u4=0−(8−M)=M−8

v4=c34−u3=M–0=M

v5=c55−u5=0−(15−M)=M−15 Nilai Baris ui dan Kolom vj untuk Tabel 4.29

ui vj

u1=c11−v=5–0 =5

u2=c21−v1=0–0 =0

u3=c31−v1=14–0 =14

u4=c44−v4=8– 4=4

u5=c54−v5=15– 4=11

v1=0

v2=c32−u3=0–14=−14

v3=c43−u4=0–4=−4

v4=c24−u2=4–0=4

v5=c55−u5=0–11=−11

Nilai Baris ui dan Kolom vj untuk Tabel 4.30

ui vj

u1=c11−v1=5−0=5

u2=c21−v1=0−0=0

u3=c31−v1=14−0=14

u4=c44−v4=8−4=4

u5=c54−v5=15−4=11

v1=0

v2=c32−u3=0−14=−14

v3=c43−u4=0−4=−4

v4=c24−u2=4−0=4

v5=c55−u5=0−14=−14

Nilai Baris ui dan Kolom vj untuk Tabel 4.31

ui vj

u1 =c11−v1=5−0=5

u2=c21−v1=0−0=0

u3=c31−v1=14−0=14

u4=c41−v1=3−0=3

u5=c53−v3=6−(−3)=9

v1=0

v2=c32−u3=0−14=−14

v3=c43−u4=0−3=−3

v4=c24−u2=4−0=4

Nilai Baris ui dan Kolom vj untuk Tabel 4.32

ui vj

u1 =c11−v1=5−0=5

u2=c21−v1=0−0=0

u3=c31−v1=14−0=14

u4=c41−v1=3−0=3

u5=c53−v3=6−(−3)=9

v1=0

v2=c32−u3=0−14=−14

v3=c43−u4=0−3=−3

v4=c24−u2=4−0=4

v5=c35−u3=0−14=−14 Nilai Baris ui dan Kolom vj untuk Tabel 4.33

ui vj

u1 =c11−v1=5−0=5

u2=c21−v1=0−0=0

u3=c33−v3=10−(−3)=13

u4=c41−v1=3−0=3

u5=c53−v3=6−(−3)=9

v1=0

v2=c32−u3=0−13=−13

v3=c43−u4=0−3=−3

v4=c24−u2=4−0=4

Lampiran 2. Indeks perbaikan untuk setiap tabel iterasi dari metode MODI

Catatan: Indeks Perbaikan yang berwarna abu-abu pada masing-masing tabel adalah indeks perbaikan terpilih untuk masuk ke iterasi selanjutnya.

Indeks Perbaikan untuk Tabel 4.28 Sel X12 = k12 = c12−u1−v2 = 3+9 = 12

Sel X13 = k13 = c13−u1−v3 = 3+9−M+8 = 20−M Sel X14 = k14 = c14−u1−v4 = M+9−M = 9

Sel X15 = k15 = c15−u1−v5 = 0+9−M+15 =24−M Sel X22 = k22 = c22−u2−v2 = 14+14−0 = 28 Sel X23 = k23 = c23−u2−v3 = 3+14−M+8 = 25−M Sel X24 = k24 = c24−u2−v4= 4+14−M = 18−M

Sel X25 = k25 = c25−u2−v5 = 0+14−M+15 = 29−M Sel X33 = k33 = c33−u3−v3 = 10−0−M+8 = 18−M

Sel X35 = k35 = c35−u3−v5 = 0−0−10 = −10 Sel X41 = k41 = c41−u4−v1 = 3−8+M−14 = M−19 Sel X42 = k42 = c42−u4−v2 = 10−8+M−0 = M+2 Sel X45 = k45 = c45−u4−v5 = 0−8+M−M+15 = 7 Sel X51 = k51 = c51−u5−v1 = M−15+M−14 = 2M−29 Sel X52 = k52 = c52−u5−v2 = M−15+M−0 = 2M−15 Sel X53 = k53 = c53−u5−v3 = 6−15+M−M+8 = −1

Indeks Perbaikan untuk Tabel 4.29 Sel X12 = k12 = c12−u1−v2 = 3−5+14 = 12 Sel X13 = k13 = c13−u1−v3 = 3−5+4 = 2 Sel X14 = k14 = c14−u1−v4 = M−5−4 = M−9 Sel X15 = k15 = c15−u1−v5 = 0−5+11 = 6 Sel X22 = k22 = c22−u2−v2 = 14−0+14 = 28 Sel X23 = k23 = c23−u2−v3 = 3−0+4 = 7 Sel X25 = k25 = c25−u2−v5 = 0−0+11 = 11 Sel X33 = k33 = c33−u3−v3 = 10−14+4 = 0 Sel X34 = k34 = c34−u3−v4 = M−14−4 = M−18 Sel X35 = k35 = c35−u3−v5 = 0−14+11 = −3

Sel X41 = k41 = c41−u4−v1 = 3−4−0 = −1 Sel X42 = k42 = c42−u4−v2 = 10−4+14 = 20 Sel X45 = k45 = c45−u4−v5 = 0−4+11 = 7 Sel X51 = k51 = c51−u5−v1 = M−11−0 = M−11 Sel X52 = k52 = c52−u5−v2 = M−11+14 = M+3 Sel X53 = k53 = c53−u5−v3 = 6−11+4 = −1

Indeks Perbaikan untuk Tabel 4.30 Sel X12 = k12 = c12−u1−v2 = 3−5+14 = 12 Sel X13 = k13 = c13−u1−v3 = 3−5+4 = 2 Sel X14 = k14 = c14−u1−v4 = M−5−4 = M−9 Sel X15 = k15 = c15−u1−v5 = 0−5+14 = 9 Sel X22 = k22 = c22−u2−v2 = 14−0+14 = 28 Sel X23 = k23 = c23−u2−v3 = 3−0+4 = 7 Sel X25 = k25 = c25−u2−v5 = 0−0+14 = 14 Sel X33 = k33 = c33−u3−v3 = 10−14+4 = 0 Sel X34 = k34 = c34−u3−v4= M−14−4 = M−18 Sel X41 = k41 = c41−u4−v1 = 3−4−0 = −1

Sel X42 = k42 = c42−u4−v2 = 10−4+14 = 20 Sel X45 = k45 = c45−u4−v5 = 0−4+14 = 10 Sel X51 = k51 = c51−u5−v1 = M−11−0 = M−11 Sel X52 = k52 = c52−u5−v2 = M−11+14 = M+3 Sel X53 = k53 = c53−u5−v3 = 6−11+4 = −1

Sel X55 = k55 = c55−u5−v5 = 0−11+14 = 3 Indeks Perbaikan untuk Tabel 4.31 Sel X12 = k12 = c12−u1−v2 = 3−5+14 = 12 Sel X13 = k13 = c13−u1−v3 = 3−5+3 = 1 Sel X14 = k14 = c14−u1−v4 = M−5−4 =M−9 Sel X15 = k15 = c15−u1−v5 = 0−5+14 = 9 Sel X22 = k22 = c22−u2−v2 = 14−0+14 = 28 Sel X23 = k23 = c23−u2−v3 = 3−0+3 = 6 Sel X25 = k25 = c25−u2−v5 = 0−0+14 = 14 Sel X33 = k33 = c33−u3−v3 = 10−14+3 = −1 Sel X34 = k34 = c34−u3−v4= M−14−4 = M−18 Sel X42 = k42 = c42−u4−v2 = 10−3+14 = 21 Sel X44 = k44 = c44−u4−v4 = 8−3−4 = 1 Sel X45 = k45 = c45−u4−v5 = 0−11+14 = 3 Sel X51 = k51 = c51−u5−v1 = M−11−0 = M−11 Sel X52 = k52 = c52−u5−v2 = M−11+14 = M+3 Sel X53 = k53 = c53−u5−v3 = 6−11+3 = −2

Indeks Perbaikan untuk Tabel 4.32 Sel X12 = k12 = c12−u1−v2 = 3−5+14 = 12 Sel X13 = k13 = c13−u1−v3 = 3−5+3 = 1 Sel X14 = k14 = c14−u1−v4 = M−5−4 = M−9 Sel X15 = k15 = c15−u1−v5 = 0−5+14 = 9 Sel X22 = k22 = c22−u2−v2 = 14−0+14 = 28 Sel X23 = k23 = c23−u2−v3 = 3−0+3 = 6 Sel X24 = k24 = c24−u2−v4 = 0−0+14 = 14 Sel X33 = k33 = c33−u3−v3 = 10−14+3 = −1

Sel X34 = k34 = c34−u3−v4= M−14−4 = M−18 Sel X42 = k42 = c42−u4−v2 = 10−3+14 = 21 Sel X44 = k44 = c44−u4−v4 = 8−3−4 = 1 Sel X45 = k45 = c45−u4−v5 = 0−3+14 = 11 Sel X51 = k51 = c51−u5−v1 = M−9−0 = M−9 Sel X52 = k52 = c52−u5−v2 = M−9+14 = M+5 Sel X54 = k54 = c54−u5−v4 = 15−9−4 = 2 Sel X55 = k55 = c55−u5−v5 = 0−9+14 = 5

Indeks Perbaikan untuk Tabel 4.33 Sel X12 = k12 = c12−u1−v2 = 3−5+13 = 11 Sel X13 = k13 = c13−u1−v3 = 3−5+3 = 1 Sel X14 = k14 = c14−u1−v4 = M−5−4 = M−9 Sel X15 = k15 = c15−u1−v5 = 0−5+13 = 8 Sel X22 = k22 = c22−u2−v2 = 14−0+13 = 27 Sel X23 = k23 = c23−u2−v3 = 3−0+3 = 6 Sel X25 = k25 = c25−u2−v5 = 0−0+13 = 13 Sel X31 = k31 = c31−u3−v1 = 14−13−0 = 1 Sel X34 = k34 = c34−u3−v4= M−13−4 = M−17 Sel X42 = k42 = c42−u4−v2 = 10−3+13 = 20 Sel X43 = k43 = c43−u4−v3 = 8−3−4 = 1 Sel X44 = k44 = c44−u4−v4 = 0−3+13 = 10 Sel X51 = k51 = c51−u5−v1 = M−9−0 = M−9 Sel X52 = k52 = c52−u5−v2 = M−9+13 = M+4 Sel X54 = k54 = c54−u5−v4 = 15−9−4 = 2 Sel X55 = k55 = c55−u5−v5 = 0−9+13 = 4

Lampiran 3. Tahapan Penyelesaian Fisibel Awal dengan Metode Least Cost Untuk Posisi 2

Iterasi Ke 1 Tujuan Persediaan

TB TC TD TF TG

S u m b er SB

0 14 3 4 0

70

SA 5 3 3 M 0 20

0 SC

14 0 10 M ₁₅ 0

90 SD

3 10 0 8 0

0

70 70

SE

M M 6 15 0

0 30

Permintaan 95 70 70 35 10

Iterasi Ke 2 Tujuan Persediaan

TB TC TD TF TG

S u m b er SB

0 14 3 4 0

70 SA

5 3 3 M 0

20 0

SC

14 0 10 M ₁₅ 0

90 70

SD

3 10 0 8 0

0

70 70

SE

M M 6 15 0

0 30

Permintaan 95 70 70 35 10

Iterasi Ke 3 Tujuan Persediaan

TB TC TD TF TG

S u m b er SB 0 70

14 3 4 0

70

SA 5 3 3 M 0 20

0 SC

14 0 10 M ₁₅ 0

90 70

SD

3 10 0 8

0 0

70 70

SE

M M 6 15 0

0 30

Iterasi Ke 4 Tujuan Persediaan

TB TC TD TF TG

S u m b er SB 0 70

14 3 4 0

70

SA 5 3 3 M 0

10 20

0 SC

14 0 10 M ₁₅ 0

90 70

SD

3 10 0 8

0 0

70 70

SE

M M 6 15 0

0 30

Permintaan 95 70 70 35 10

Iterasi Ke 5 Tujuan Persediaan

TB TC TD TF TG

S u m b er SB 0 70

14 3 4 0

70

SA 5 3 3 M 0

10 20

10 SC

14 0 10 M ₁₅ 0

90 70

SD

3 10 0 8

0 0

70 70

SE

M M 6 15 0

0 30

Permintaan 95 70 70 35 10

Iterasi Ke 6 Tujuan Persediaan

TB TC TD TF TG

S u m b er SB 0 70

14 3 4 0

70 SA

5 3 3 M 0

10 20

10 SC

14 0 10 M ₁₅ 0

90 15 ₇₀

SD

3 10 0 8

0 0

70 70

SE

M M 6 15 0

0 30

Iterasi Ke 7 Tujuan Persediaan

TB TC TD TF TG

S u m b er SB 0 70

14 3 4 0

70

SA 5 3 3 M 0

10 20

10 SC

14 0 10 M

5 0

90 15 ₇₀

SD

3 10 0 8

0 0

70 70

SE

M M 6 15

30 0

30

Permintaan 95 70 70 35 10

Iterasi Ke 8 Tujuan Persediaan

TB TC TD TF TG

S u m b er SB 0 70

14 3 4 0

70

SA 5 3 3 M 0

10 20

10 SC

14 0 10 M

5 0

90 15 ₇₀

SD

3 10 0 8

0 0

70 70

SE

M M 6 15

30 0

30

Lampiran 4. Tahapan Uji Optimalitas dengan Metode Stepping Stone Untuk Posisi 2

Iterasi Ke 0 Tujuan Persediaan

TB TC TD TF TG

S u m b er SB 0 70

14 3 4 0

70

SA 5 3 3 M 0

10 20

10 SC

14 0 10 M

5 0

90 15 ₇₀

SD

3 10 0 8

0 0

70 70

SE

M M 6 15

30 0

30

Permintaan 95 70 70 35 10

Indeks Perbaikan Iterasi Ke 0

Sel X12= 14−0+14−0 = 28 Sel X35= 0−14+5−0 = −9

Sel X13 = 3−0+8−M+14−0 = 25−M Sel X41= 3−14+M−8 = M−19

Sel X14= 4−M+14−0 = 18−M Sel X42= 10−0+M−8 = M+2

Sel X15= 0−0+5−0 = 5 Sel X45= 0−8+M−14+5−0 = M−17

Sel X22= 3−0+14−5 = 12 Sel X51= M−14+M−15 = 2M−29

Sel X23= 3−0+8−M+14−5 = 20−M Sel X52= M−0+M−15 = 2M−15

Sel X24= M−M+14−5 = 9 Sel X53= 6−0+8−15 = −1

Sel X33= 10−M+8−0 = 18−M Sel X55= 0−15+M−14+5−0 = M−24

(1) (2)

Loop Terpilih Pada Sel �33 (1) dan Hasil Perbaikan Sel �33 (2) 10 _�

33 M �34

(−)

5 (+)

0 � 43

70

8 � 44 (+)0 (−) 10 5 M 0 65 8 5

Iterasi Ke 1 Tujuan Persediaan

TB TC TD TF TG

S

u

m

b

er

SB 0

70

14 3 4 0

70

SA 5 3 3 M 0

10 20

10 SC

14 0 10 M 0

90 15 _{70 5}

SD

3 10 0 8

5 0

70 65

SE

M M 6 15

30 0

30

Permintaan 95 70 70 35 10

Indeks Perbaikan Iterasi Ke 1

Sel X12= 14−0+14−0 = 28 Sel X35 = 0−14+5−0 = −9

Sel X13 = 3−10+14−0 = 7 Sel X41= 3−14+10−0 = −1

Sel X14= 4−8+0−10+14−0 = 0 Sel X42= 10−0+10−0 = 20

Sel X15= 0−0+5−0 = 5 Sel X45= 0−0+10−14+5−0=1

Sel X22= 3−0+14−5 = 12 Sel X51= M−14+10−0+8−15 = M−11

Sel X23= 3−10+14−5 = 2 Sel X52= M−0+10−0+8−15 = M+3

Sel X24= M−8+0−10+14−5 = M−9 Sel X53= 6−0+8−15 = −1

Sel X34 = M−8+0−10 = M−8 Sel X55 = 0−15+8−0+10−14+5−0 = −6

(1)

(2)

Loop Terpilih Pada Sel X35 (1) dan Hasil Perbaikan Sel X35 (2) 5 �₂₁

10

3 �₂₂ 3 �₂₃ M �₂₄ 0 �₂₅

(+) (−) 10

14 �₃₁ 15

0 �₃₂ 10 �₃₃ M �₃₄ 0 �₃₅

(−) 70 5 (+)

5 20

3 3 M 0

14 5

0 70

10 M 0

Iterasi Ke 2 Tujuan Persediaan

TB TC TD TF TG

S

u

m

b

er

SB 0

70

14 3 4 0

70

SA 5 3 3 M 0

10 20

20 SC

14 0 10 M 0

90 5 _{70 5}

SD

3 10 0 8

5 0

70 65

SE

M M 6 15

30 0

30

Permintaan 95 70 70 35 10

Indeks Perbaikan Iterasi Ke 2

Sel X12= 14−0+14−0 = 28 Sel X34= M−8+0−10 = M−8

Sel X13 = 3−10+14−0 = 7 Sel X41= 3−14+10−0 = −1

Sel X14= 4−8+0−10+14−0 = 0 Sel X42= 10−0+10−0 = 20

Sel X15= 0−0+14−0 = 14 Sel X45= 0−0+10−0=10

Sel X22= 3−0+14−5 = 12 Sel X51= M−14+10−0+8−15 = M−11

Sel X23= 3−10+14−5 = 2 Sel X52= M−0+10−0+8−15 = M+3

Sel X24= M−8+0−10+14−5 = M−9 Sel X53= 6−0+8−15 = −1

Sel X25 = 0−0+14−5 = 9 Sel X55 = 0−15+8−0+10−0 = 3

(1) (2)

Loop Terpilih Pada Sel �53 (1)dan Hasil Perbaikan Sel �53 (2) 0 �

43

65

8 � 44 (+)

5 (−)

6 _�

53 15 �54 (−)30 (+)

0 35

8 35 6

30 15

Iterasi Ke 3 Tujuan Persediaan

TB TC TD TF TG

S

u

m

b

er

SB 0

70

14 3 4 0

70

SA 5 3 3 M 0 20

20 SC

14 0 10 M 0

10 90

5 _{70 5} SD

3 10 0 8

35 0

70 35

SE

M M 6 15 0

30 30

Permintaan 95 70 70 35 10

Indeks Perbaikan Iterasi Ke 3

Sel X12= 14−0+14−0 = 28 Sel X34= M−8+0−10 = M−8

Sel X13 = 3−10+14−0 = 7 Sel X41= 3−14+10−0 = −1

Sel X14= 4−8+0−10+14−0 = 0 Sel X42= 10−0+10−0 = 20

Sel X15= 0−0+14−0 = 14 Sel X45= 0−0+10−0=10

Sel X22= 3−0+14−5 = 12 Sel X51= M−14+10−6 = M−10

Sel X23= 3−10+14−5 = 2 Sel X52= M−0+10−6 = M+4

Sel X24= M−8+0−10+14−5 = M−9 Sel X54= 15−6+0−8 = 1

Sel X25 = 0−0+14−5 = 9 Sel X55 = 0−6+10−0 = 4

(1)

(2)

Loop Terpilih Pada Sel X41 (1) dan Hasil Perbaikan Sel X41 (2) 14 �₃₁

5

0 �₃₂ 10 �₃₃

(−) 70 (+) 5

3 �₄₁ 10 �₄₂ 0 �₄₃

(+) (−) 35

14 0 70

10 10 3

5

10 0

Iterasi Ke 4 Tujuan Persediaan

TB TC TD TF TG

S u m b er SB 0 70

14 3 4 0

70

SA 5 3 3 M 0 20

20 SC

14 0 10 M 0

10 90

70 10 SD

3 10 0 8

35 0

70

5 30

SE

M M 6 15 0

30 30

Permintaan 95 70 70 35 10

Indeks Perbaikan Iterasi Ke 4

Sel X12= 14−0+10−0+3−0 = 27 Sel X31= 14−10+0−3 = 1

Sel X13 = 3−0+3−0 = 6 Sel X34= M−8+0−10 = M−8

Sel X14 = 4−8+3−0 = −1 Sel X42= 10−0+10−0 = 20

Sel X15= 0−0+10−0+3−3 = 13 Sel X45= 0−0+10−0=10

Sel X22= 3−0+10−0+3−5 = 11 Sel X51= M−3+0−6 = M−9

Sel X23= 3−0+3−5 = 1 Sel X52= M−0+10−6 = M+4

Sel X24= M−8+3−5 = M−10 Sel X54= 15−6+0−8 = 1

Sel X25= 0−0+10−0+3−5 = 8 Sel X55= 0−6+10−0 = 4

(1) (2)

Loop Terpilih Pada Sel X14 (1)dan Hasil Perbaikan Sel X14 (2) 0 �₁₁

70

14 �₁₂ M �₁₃ 0 �₁₄

(−) (+)

5 �₂₁ 20

3 �₂₂ M �₂₃ 0 �₂₄

14 _�

31 0 �32 70

10 _� 33 10

M _� 34

3 10 0 8

5 (+) �

31 �31

30 �

31 35 (−) �

31

0 35

3 3 M

35 5

20

0 10 M

14 0 70

10 M

10

3 10 0 8

Iterasi Ke 5 Tujuan Persediaan

TB TC TD TF TG

S

u

m

b

er

SB 0

70

14 3 4 0

70

SA 5 3 3 M 0 20

20 SC

14 0 10 M 0

10 90

70 10 SD

3 10 0 8

35 0

70

5 30

SE

M M 6 15 0

30 30

Permintaan 95 70 70 35 10

Indeks Perbaikan Iterasi Ke 5

Sel X12= 14−0+10−0+3−0 = 27 Sel X34= M−10+0−3+0−4 = M−17

Sel X13 = 3−0+3−0 = 6 Sel X42= 10−0+10−0 = 20

Sel X15= 0−0+10−0+3−3 = 13 Sel X44= 8−3+0−4 = 1

Sel X22= 3−0+10−0+3−5 = 11 Sel X45= 0−0+10−0=10

Sel X23= 3−0+3−5 = 1 Sel X51= M−3+0−6 = M−9

Sel X24= M−5+0−4 = M−9 Sel X52= M−0+10−6 = M+4

Sel X25= 0−0+10−0+3−5 = 8 Sel X54= 15−6+0−3+0−4 = 2

Lampiran 5. Tahapan Penyelesaian Fisibel Awal dengan Metode Least Cost Untuk Posisi 3

Iterasi Ke 1 Tujuan Persediaan

TC TB TD TF TG

S u m b er SA

3 5 3 M 0

20

SB 14 0 3 4 0 70

0 SC

0 14 10 M ₁₅ 0

10 90

SD

10 3 0 8 0

70 0

SE

M M 6 15 0

0 30

Permintaan 70 95 70 35 10

Iterasi Ke 2 Tujuan Persediaan

TC TB TD TF TG

S u m b er SA

3 5 3 M 0

20

SB 14 0 3 4 0 70

0 SC

0 14 10 M ₁₅ 0

10 90

SD

10 3 0 8

0 0

70 70

SE

M M 6 15 0

0 30

Permintaan 70 95 70 35 10

Iterasi Ke 3 Tujuan Persediaan

TC TB TD TF TG

S u m b er SA

3 5 3 M 0

20 SB

14 0 3 4 0

70 70

SC

0 14 10 M ₁₅ 0

10 90

SD

10 3 0 8

0 0

70 70

SE

M M 6 15 0

0 30

Iterasi Ke 4 Tujuan Persediaan

TC TB TD TF TG

S u m b er SA

3 5 3 M 0

20

SB 14 0 3 4 0 70

70 SC

0 14 10 M ₁₅ 0

10 90

70 SD

10 3 0 8

0 0

70 70

SE

M M 6 15 0

0 30

Permintaan 70 95 70 35 10

Iterasi Ke 5 Tujuan Persediaan

TC TB TD TF TG

S u m b er SA

3 5 20

3 M 0

20 SB

14 0 3 4 0

70 70

SC

0 14 10 M ₁₅ 0

10 90

70 SD

10 3 0 8

0 0

70 70

SE

M M 6 15 0

0 30

Permintaan 70 95 70 35 10

Iterasi Ke 6 Tujuan Persediaan

TC TB TD TF TG

S u m b er SA

3 5 20

3 M 0

20

SB 14 0 3 4 0 70

70 SC

0 14 10 M ₁₅ 0

10 90

70 ₅

SD

10 3 0 8

0 0

70 70

SE

M M 6 15 0

0 30

Iterasi Ke 7 Tujuan Persediaan

TC TB TD TF TG

S u m b er SA

3 5 20

3 M 0

20

SB 14 0 3 4 0 70

70 SC

0 14 10 M ₁₅ 0

10 90

70 ₅

SD

10 3 0 8

0 0

70 70

SE

M M 6 15

30 0

0 30

Permintaan 70 95 70 35 10

Iterasi Ke 8 Tujuan Persediaan

TC TB TD TF TG

S u m b er SA

3 5 20

3 M 0

20 SB

14 0 3 4 0

70 70

SC

0 14 10 M

5 0

10 90

70 ₅

SD

10 3 0 8

0 0

70 70

SE

M M 6 15

30 0

0 30

Lampiran 6. Tahapan Uji Optimalitas dengan Metode Stepping Stone Untuk Posisi 3

Iterasi Ke 0 Tujuan Persediaan

TC TB TD TF TG

S u m b er SA

3 5 20

3 M 0

20

SB 14 0 3 4 0 70

0 70

SC

0 14 10 M

5 0

10 90

70 ₅

SD

10 3 0 8

0 0

0 70

0 ₇₀

SE

M M 6 15

30 0

0 30

Permintaan 70 95 70 35 10

Indeks Perbaikan Iterasi Ke 0

Sel X11= 3−5+14−0 = 12 Sel X33= 10−M+8−0 = 18−M

Sel X13 = 3−0+8−M+14−5 = 20−M Sel X41= 10−0+M−8 = M+2

Sel X14= M−M+14−5 = 9 Sel X42= 3−14+M−8 = M−9

Sel X15= 0−0+14−5 = 9 Sel X45= 0−8+M−0 = M−8

Sel X21= 14−0+14−0 = 28 Sel X51= M−0+M−15 = 2M−15

Sel X23= 3−0+8−M+14−0 = 25−M Sel X52 = M−14+M−15 = 2M−29

Sel X24= 4−M+14−0 = 18−M Sel X53= 6−0+8−15 = −1

Sel X25= 0−0+14−0 = 14 Sel X55= 0−15+M−0 = M−15

(1) (2)

Loop Terpilih Pada Sel �24 (1)dan Hasil Perbaikan Sel �24 (2) 0 �

22

70

3 �

23 4 �24

(−) (+)

14 � 32

5

10 �

33 M �34

(+) (−)₅

0 65

3 4

5 14 10 10 5 M

Iterasi Ke 1 Tujuan Persediaan

TC TB TD TF TG

S u m b er SA

3 5 20

3 M 0

20

SB 14 0 3 4

5 0

70

0 65

SC

0 14 10 M 0

10 90

70 ₁₀ SD

10 3 0 8

0 0

0 70

0 ₇₀

SE

M M 6 15

30 0

0 30

Permintaan 70 95 70 35 10

Indeks Perbaikan Iterasi Ke 1

Sel X11= 3−5+14−0 = 12 Sel X34 = M−14+0−4 = M−18

Sel X13 = 3−0+8−4+0−5 = 2 Sel X41= 10−0+14−0+4−8 = 20

Sel X14= M−4+0−5 = M−9 Sel X42 = 3−0+4−8 = −1

Sel X15= 0−0+14−5 = 9 Sel X45= 0−0+14−0+4−8 = 10

Sel X21= 14−0+14−0 = 28 Sel X51 = M−0+14−0+4−15 = M+3

Sel X23= 3−4+8−0 = 7 Sel X52 = M−0+14−15 =2M−11

Sel X25= 0−0+14−0 = 14 Sel X53 = 6−0+8−15 = −1

Sel X33 = 10−14+0−4+8−0 = 0 Sel X55= 0−0+14−0+4−15 = 3

(1) (2)

Loop Terpilih Pada Sel �53 (1) dan Hasil Perbaikan Sel �53 (2) 0 _�

43

70

8 _� 44 (+)

0 (−)

6 �

53 15 �54 (−)30 (+) 0 40 8 30 6 30 15

Iterasi Ke 2 Tujuan Persediaan

TC TB TD TF TG

S u m b er SA

3 5 20

3 M 0

20

SB 14 0 3 4

5 0

70

0 65

SC

0 14 10 M 0

10 90

70 ₁₀ SD

10 3 0 8

30 0

0 70

0 ₄₀

SE

M M 6 15 0

0 30

30

Permintaan 70 95 70 35 10

Indeks Perbaikan Iterasi Ke 2

Sel X11= 3−5+14−0 = 12 Sel X34 = M−14+0−4 = M−18

Sel X13 = 3−0+8−4+0−5 = 2 Sel X41= 10−0+14−0+4−8 = 20

Sel X14= M−4+0−5 = M−9 Sel X42 = 3−0+4−8 = −1

Sel X15= 0−0+14−5 = 9 Sel X45= 0−0+4−0+14−8 = 10

Sel X21= 14−0+14−0 = 28 Sel X51 = M−0+14−0+4−15−8+0−6 = M+4

Sel X23= 3−4+8−0 = 7 Sel X52 = M−0+4−8+0−6 = M−10

Sel X25= 0−0+14−0 = 14 Sel X53= 15−6+0−8 = 1

Sel X33 = 10−14+0−4+8−0 = 0 Sel X55= 0−0+14−0+4−8+0−6 = 4

(1) (2)

Loop Terpilih Pada Sel X42 (1)dan Hasil Perbaikan Sel X42 (2) 0 �₂₂

65

3 �₂₃ 4 �₂₄

(−) (+) 5

14 �₃₂ 10

10 �₃₃ M �₃₄

3 _�

42 0 �43 40

8 _� 44 30

(+) (−)

0 35

3 4

35 14

10

10 M

3 30

0 40

Iterasi Ke 3 Tujuan Persediaan

TC TB TD TF TG

S

u

m

b

er

SA

3 5 20

3 M 0

20

SB 14 0 3 4

35 0

70

0 35

SC

0 14 10 M 0

10 90

70 ₁₀ SD

10 3 0 8 0

0 70

0 _{30 40}

SE

M M 6 15 0

0 30

30

Permintaan 70 95 70 35 10

Indeks Perbaikan Iterasi Ke 3

Sel X11= 3−5+14−0 = 12 Sel X34 = M−14+0−4 = M−18

Sel X13 = 3−0+3−5 = 1 Sel X41= 10−0+14−3 = 21

Sel X14= M−4+0−5 = M−9 Sel X44= 8−3+0−4 = 1

Sel X15= 0−0+14−5 = 9 Sel X45= 0−3+14−0 = 11

Sel X21= 14−0+14−0 = 28 Sel X51 = M−0+14−3+0−6 = M+5

Sel X23= 3−0+3−0 = 6 Sel X52 = M−3+0−6 = M−9

Sel X25= 0−0+14−0 = 14 Sel X54= 15−6+0−3+0−4 = 2

Sel X33 = 10−0+3−14 = −1 Sel X55= 0−6+0−3+14−0 = 5

(1) (2)

Loop Terpilih Pada Sel �33 (1) dan Hasil Perbaikan Sel �33 (2) 14 _�

32

10

10 _� 33 (+) (−)

3 � 42

30

0 � 43 (−)40 (+)

14 10 10 3

40 0

Iterasi Ke 4 Tujuan Persediaan

TC TB TD TF TG

S

u

m

b

er

SA

3 5 20

3 M 0

20

SB 14 0 3 4

35 0

70

0 35

SC

0 14 10 M 0

10 90

70 10

SD

10 3 0 8 0

0 70

0 _{40 30}

SE

M M 6 15 0

0 30

30

Permintaan 70 95 70 35 10

Indeks Perbaikan Iterasi Ke 4

Sel X11= 3−5+3−0+10−0 = 11 Sel X34 = M−10+0−3+0−4 = M−17

Sel X13 = 3−0+3−5 = 1 Sel X41= 10−0+10−0 = 20

Sel X14= M−4+0−5 = M−9 Sel X44= 8−3+0−4 = 1

Sel X15= 0−0+10−0+3−5 = 8 Sel X45= 0−0+10−0 = 10

Sel X21= 14−0+3−0+10−0 = 27 Sel X51 = M−0+10−6 = M+4

Sel X23= 3−0+3−0 = 6 Sel X52 = M−3+0−6 = M−9

Sel X25= 0−0+10−0+3−0 = 13 Sel X54= 15−6+0−3+0−4 = 2

DAFTAR PUSTAKA

Agustini, D.H. dan Rahmadi, Y.E. 2004. Riset Operasional Konsep-Konsep

Dasar. PT. Rineka Cipta. Jakarta.

Aminudin. 2008. Prinsip-prinsip Riset Operasi. PT Gelora Aksara Pratama. Jakarta: Erlangga.

Bronson, Richard. 1993. [Teori dan Soal-soal Operations Research][dalam bahasa Indonesia]. G. Hutauruk. PT. Gelora Aksara Pratama. Erlangga Dimyati, T.T. & Dimyati, A. 2004. Operations Research; Model-model

pengambilan keputusan , Bandung Sinar Baru Algensindo.

Hillier, Frederick S. and Gerald J. Lieberman. 2015. Introduction To Operations

Research, Tenth Edition. USA: McGraw-Hill Education.

Mulyono, Sri. 2004. Riset Operasi. Jakarta: Lembaga Penerbit Fakultas Ekonomi UI

Pandian, P. and Natarajan, G. 2010. A new method for finding an optimal solution for transportation problems. International Journal of Mathematical

Sciences and Engineering Applications. 4: 59-65.

Pandian, P. and Rajendran, P. 2012. Solving Fully Interval Transhipment Problems. International Mathematic Forum.7: 2027-2035.

Purba, Erick Doorka. 2014. Metode Vogel’s Approximation (VAM) dan Modified

Distribution (MODI) untuk Menyelesaikan Transshipment Problem.

[Skripsi]. Medan: Universitas Sumatera Utara, Program Sarjana. Siagian, P. 2006. Penelitian Operasional: Teori dan Praktek. Universitas

Indonesia (UI-Press). Jakarta.

Siang, Jong Jek. 2014. Riset Operasi dalam Pendekatan Algoritmis. Yogyakarta: Andi Offset

Simbolon, Lolyta Damora. 2013. Aplikasi Metode Transportasi Dalam Optimasi

Biaya Distribusi Beras Miskin (RASKIN) Pada Perum Bulog Sub Divre Medan. [Skripsi]. Medan : Universitas Sumatera Utara, Program Sarjana

Subagyo, P., Asri, Marwan. dan Handoko, T. Hani. 2013. Dasar-Dasar Operation

Research. BPFE-Yogyakarta. Yogyakarta.

Binarupa Aksara. Jakarta.

Tamin, O.Z. 2000. Perencanaan dan Permodelan Transportasi. Erlangga. Jakarta. Taylor, Bernard W. 2013. Introduction to Management Science, Eleventh Edition.

USA: Prentice Hall.

Wijaya, Andi. 2013. Pengantar Riset Operasi. Jakarta: Mitra Wacana Media. Wijayanti, Devie Kurnia. 2011. Aplikasi Metode Transportasi dengan Program

Solver Dalam Meminimumkan Pengiriman Produk (Studi Kasus: PT. Raja Tunggal). [Skripsi]. Semarang: Universitas Negeri Semarang, Program

BAB 3

METODE PENELITIAN

3.1Kerangka Pemikiran

Gambar 3.1. Kerangka Berpikir Penelitian Optimum

Biaya Distribusi Metode Stepping Stone

Uji Optimalitas Metode LC Penyelesaian

Awal

Metode Transportasi

Masalah Transportasi

Masalah Optimisasi Pendistribusian

Masalah Transshipment

Transshipment Tidak Seimbang

Metode NWC Metode VAM

Metode MODI

Transshipment Seimbang

3.2Gambaran Penelitian

Penelitian ini merupakan penelitian literatur yang bersifat studi kepustakaan untuk menganalisa, mengkaji dan menelaah buku, jurnal, karya ilmiah dan tulisan lainnya mengenai masalah transshipment kemudian memberikan contoh yang relevan tentang permasalahan transshipment tidak seimbang.

Dalam penelitian ini akan dikaji tentang bagaimana menyelesaikan masalah

transshipment tidak seimbang dengan menggunakan metode Least Cost sebagai

penyelesaian awal dan menggunakan metode Stepping Stone untuk pencarian solusi optimal atau uji optimalitas. Selanjutnya Peneliti menggunakan metode

Least Cost sebagai penyelesaian awal dan menggunakan metode MODI untuk

pencarian solusi optimal atau uji optimalitas, yang nantinya bertujuan untuk membandingkan metode Stepping Stone dan metode MODI, sehingga dapat diketahui metode mana yang lebih baik untuk mencari solusi optimal dari sebuah masalah transshipment tidak seimbang.

3.3Metode Penyelesaian

Penelitian ini menggunakan metode Least Cost - Stepping Stone untuk menyelesaikan permasalahan transshipment tidak seimbang serta menggunakan metode Least Cost - MODI untuk perbandingan uji optimalitas. Adapun tahapan penyelesaian dari penelitian ini dapat dilihat pada Gambar 3.2 sebagai berikut:

Tahapan Penyelesaian Masalah Transshipment Tidak Seimbang

Gambar 3.2 Tahapan Penyelesaian Masalah Transshipment Tidak Seimbang dengan Metode Least Cost - Stepping Stone dan Metode Least Cost - MODI

Transformasi Masalah

Transshipment Tidak Seimbang

Pencarian Solusi Awal dengan Metode Least Cost

Hitung Biaya Transportasi Mulai

Selesai Tabel Awal Transportasi

Hasil Awal dengan Metode

Least Cost

Berhenti Uji Optimalitas

dengan Metode

Stepping Stone & MODI

Ya

Revisi Hasil Revisi

BAB 4

HASIL DAN PEMBAHASAN

4.1Masalah Transshipment

Masalah transshipment merupakan masalah transportasi yang sering dihadapi dalam pendistribusian suatu komoditi homogen dari buah sumber ke tujuan, yang pendistribusiannya tidak harus dilakukan secara langsung, tetapi bisa melalui titik transit (gudang) terlebih dahulu, disini titik transit berperan sebagai titik perantara atau dapat dikatakan melewati agen terlebih dahulu sebelum sampai ke tempat tujuan. Hal ini disebabkan adanya permintaan barang pada beberapa tempat yang jaraknya jauh sehingga tidak memungkinkan untuk pendistribusian secara langsung atau biaya pendistribusian secara langsung lebih mahal dibandingkan bila melalui titik transit terlebih dahulu.

Banyak rute yang dapat ditempuh untuk mendistribusikan barang ke tempat-tempat tujuan dan masing-masing rute memiliki biaya pendistribusian yang berbeda. Besarnya biaya pendistribusian dipengaruhi oleh dua variabel, yaitu jumlah barang yang akan diangkut dan biaya angkut per unit. Suatu perusahaan pastinya menginginkan semua permintaan barang dapat terpenuhi dan memperoleh biaya pendistribusian yang seminimum mungkin sehingga diperlukan adanya pengalokasian barang yang tepat.

Dalam masalah transshipment titik-titik perantara dapat berperan sebagai sumber maupun tujuan, misalnya sebuah pabrik yang memproduksi pupuk ingin mengirimkan pupuk ke berbagai distributor di Indonesia akan tetapi sebelum sampai ke distributor harus melalui beberapa gudang terlebih dahulu. Disini pabrik berperan sebagai sumber, dan distributor sebagai tujuan, sedangkan gudang berperan sebagai titik perantara yang dapat sekaligus berperan sebagai sumber maupun tujuan artinya gudang merupakan tujuan dari pabrik dan gudang merupakan sumber dari distributor.

4.2Model Transshipment

Model Transshipment merupakan perluasan dari model transportasi dimana sambungan titik-titik transshipment ditambahkan diantara sumber dan tujuan. Sebuah contoh titik transshipment yakni sebuah pusat distribusi atau gudang yang berlokasi diantara pabrik (sumber) dan toko (tujuan). Dalam masalah

transshipment, barang atau komoditi didistribusikan dari sumber melalui titik transshipment ke titik tujuan, dari satu sumber ke sumber lainnya, dari satu titik transshipment ke titik transshipment lainnya, dari satu tujuan ke tujuan lainnya,

atau langsung dari sumber ke tujuan, atau kombinasi beberapa alternatif tersebut.

Asumsi-asumsi pada masalah transshipment tidak seimbang: 1. Titik perantara dapat bertindak sebagai sumber maupun tujuan.

2. Banyaknya kapasitas persediaan dan permintaan ditentukan sebagai berikut: a. Persediaan pada titik sumber sejati = Persediaan pada sumber itu.

b. Persediaan pada titik perantara = Persediaan di titik itu + jumlah total persediaan/permintaan.

c. Permintaan pada titik tujuan sejati = Permintaan pada tujuan itu.

d. Permintaan pada titik perantara = Permintaan di titik itu + jumlah total persediaan/permintaan.

3. Jika total persediaan lebih besar dari total permintaan perlu di tambahkan kolom dummy pada tabel awal dengan biaya pendistribusian 0.

4. Jika total permintaan lebih besar dari total persediaan perlu di tambahkan baris dummy pada tabel awal dengan biaya pendistribusian 0.

4.3Contoh Masalah Transshipment Tidak Seimbang

Sebuah industri kayu mendapatkan pesanan tiap bulannya dari kota B dan kota F untuk memasok balok kayu jenis tertentu masing-masing sejumlah 25 dan 35 ton. Industri tersebut mempunyai 3 buah gudang yang terletak di kota A, kota C dan kota E dengan kapasitas persediaan masing-masing adalah 20, 20, dan 30 ton balok kayu. Pengusaha industri kayu tersebut ingin membuat alokasi pengiriman barang sehingga diperoleh biaya transportasi seminimum mungkin. Pengiriman bisa dilakukan secara langsung atau melalui titik transit di kota D terlebih dahulu, dengan biaya pengiriman diantara kota terlihat pada tabel 4.1 sebagai berikut:

Tabel 4.1 Biaya Pendistribusian Kayu (dalam ratus ribu rupiah) Dari

Kota

Ke Kota

A B C D E F

A − 5 3 3 − −

B − − 14 3 − 4

C − 14 − 10 − −

D − 3 10 − − 8

E − − − 6 − 15

F − − − − − −

Biaya pengiriman balok kayu dari satu kota ke kota lainnya berbeda-beda, berikut merupakan jalur transportasi barang yang dapat dilihat pada Gambar 4.1 sebagai berikut:

Dalam Gambar 4.1 titik yang bertanda (+) menunjukkan titik sumber dan titik yang bertanda (−) menunjukkan titik tujuan.

+20

3 14

+20 10 14 −25

5

10 3

3 3 4

6 8

15

Sumber: Siang, Jong Jek (2014:231)

+30 −35

Gambar 4.1 Jaringan transportasi untuk rute pengiriman balok kayu

Jumlah persediaan dari masing-masing kota sumber adalah sebagai berikut: Kota A = 20

Kota C = 20 Kota E = 30

+

Total 70 ton

Jumlah permintaan dari masing-masing kota tujuan adalah sebagai berikut: Kota-B = 25

Kota-F = 35

+

Total 60 ton

Terlihat bahwa jumlah persediaan ≠ jumlah permintaan. Berarti masalah belum seimbang, karena terdapat kekurangan permintaan sebesar 70−60 = 10 ton untuk menyeimbangkan tabel transportasi, maka ditambahkan permintaan semu

(dummy) atau kolom dummy (kota G) sebesar 10 ton. Sedangkan apabila terjadi

C

A B

D

kekurangan persediaan, maka ditambahkan persediaan dummy atau baris dummy sebesar jumlah kekurangan.

Dari Gambar 4.1 terlihat bahwa titik yang merupakan sumber adalah titik A dan titik E. Titik sumber adalah titik yang hanya dapat mengirimkan barang dan tidak dapat menerima barang. Dalam Gambar 4.1 titik sumber ditandai dengan adanya panah keluar dari titik tersebut tanpa adanya panah masuk.

Dari Gambar 4.1 terlihat bahwa titik yang merupakan tujuan adalah titik F dan titik G (dummy). Titik tujuan adalah titik yang hanya dapat menerima barang dan tidak dapat mengirim barang. Dalam Gambar 4.1 titik tujuan ditandai dengan adanya panah masuk dari titik tersebut tanpa adanya panah keluar.

Dari Gambar 4.1 terlihat bahwa titik yang merupakan perantara adalah titik B, titik C, dan titik D. Titik perantara adalah titik yang dapat menerima barang dan dapat mengirim barang. Dalam Gambar 4.1 titik tujuan ditandai dengan adanya panah masuk dan panah keluar dari titik tersebut.

Sumber dalam masalah transportasi yang sesuai adalah gabungan dari titik sumber dan titik perantara, sehingga dalam contoh ini diperoleh 5 buah baris sumber yakni SA, SB, SC, SD, dan SE.

Sedangkan tujuan dalam masalah transportasi yang sesuai adalah gabungan dari titik tujuan dan titik perantara, sehingga dalam contoh ini diperoleh 5 buah kolom tujuan yakni TB, TC, TD, TF dan TG.

Tabel 4.2 Jumlah Persediaan Kayu di Tiap Titik

Jumlah Persediaan Keterangan

SA = 20 Merupakan titik sumber dengan persediaan kayu sebanyak 20 ton.

SB = 0 + 70 = 70 Mulanya tidak ada persediaan kayu pada titik B + 70 ton karena merupakan perantara sehingga perlu ditambahkan total persediaan/permintaan. SC = 20 + 70 = 90 Mulanya ada persediaan barang sebanyak 20

ton pada titik C + 70 ton karena merupakan perantara.

SD = 0 + 70 Mulanya tidak ada persediaan kayu pada titik D + 70 ton karena merupakan perantara.

SE = 30 Merupakan titik sumber dengan persediaan barang sebanyak 30 ton.

Tabel 4.3 Jumlah Permintaan Kayu di Tiap Titik Jumlah

Permintaan

Keterangan

TB = 25 + 70 = 95 Mulanya titik B membutuhkan 25 ton kayu + 70 ton karena merupakan perantara.

TC = 0 + 70 = 70 Mulanya tidak ada permintaan kayu pada titik itu + 70 ton karena merupakan perantara sehingga perlu ditambahkan total persediaan/permintaan. TD = 0 + 70 = 70 Mulanya tidak ada permintaan kayu pada titik D

+ 70 ton karena merupakan perantara.

TF = 35 + 0 = 35 Mulanya titik F membutuhkan 35 ton kayu + 70 ton karena merupakan perantara.

TG = 10 Merupakan titik tujuan semu dengan permintaan sebanyak 10 ton.

Selanjutnya dapat dibuat tabel transportasi yang sesuai untuk contoh masalah transshipment dimana SA, SB, SC, SD, dan SE merupakan sumber dan TB, TC, TD, TF dan TG merupakan tujuan. Biaya transportasi masing-masing sel untuk jalur langsung yang ada misalnya dari SA ke SB biaya transportasinya tertera pada Tabel 4.1. Jika tidak ada jalur langsung (misal dari SA ke SB) maka biaya

transportasinya sebesar M (M = 10000 atau bilangan positif terbesar) artinya biaya transportasi bisa melebihi dari perkiraan, sedangkan biaya transportasi ke titik itu sendiri (misal SA ke SA) dan biaya transportasi ke tujuan atau sumber dummy (misal SA ke SG) adalah 0.

Tabel 4.4 Tabel Awal Transportasi dengan Biaya Transportasinya

Sumber Tujuan Persediaan

TB TC TD TF TG SA

5 3 3 M 0

20 SB

0 14 3 4 0

70 0

SC

14 0 10 M ₁₅ 0

90 SD

3 10 0 8 0

0 70

0 SE

M M 6 15 0

0 30

Permintaan 95 70 70 35 10

4.3.1 Penyelesaian Feasible Awal dengan Metode Least Cost

1. Dari tabel awal transportasi yang sudah disusun, mulai dengan mengisi sel pada biaya transportasi terendah dengan angka sebanyak-banyaknya yang disesuaikan dengan persediaan dan permintaan. Karena biaya terendah adalah 0 dan banyak sel yang mempunyai biaya transportasi 0 maka pengisian bisa dilakukan sembarang. Dipilih sel �55 untuk dialokasikan sebanyak 10 ton, sehingga kolom TG sudah terpenuhi (arsir kolom/baris yang sudah terpenuhi) dan menyisakan baris SE sebanyak 20.

Tabel 4.5 Hasil Tahap 1

Iterasi Ke 1 Tujuan Persediaan

TB TC TD TF TG

S

u

m

b

er

SA

5 3 3 M 0

20

SB 0 14 3 4 0 70

0 SC

14 0 10 M ₁₅ 0

90 SD

3 10 0 8 0

70 0

SE

M M 6 15 0

10 30

Permintaan 95 70 70 35 10

2. Dari sisa sel yang belum terarsir, Sel �43 adalah biaya terkecil berikutnya dengan 43 = 0, jumlah maksimum barang yang diisikan pada sel ini adalah sebanyak �43 = 70 sehingga dengan pengisian ini baris SD akan habis persediaannya dan sekaligus kolom TD terpenuhi. Jika demikian maka nantinya akan terjadi kekurangan variabel basis. Untuk itu ditambahkan variabel basis dummy pada sembarang sel di baris SD atau di kolom TD, misal sel �42 = 0 seperti pada Tabel 4.6 berikut.

Tabel 4.6 Hasil Tahap 2

Iterasi Ke 2 Tujuan Persediaan

TB TC TD TF TG

S

u

m

b

er

SA

5 3 3 M 0

20

SB 0 14 3 4 0 70

0 SC

14 0 10 M ₁₅ 0

90 SD

3 10 0 8 0

70 0 70

SE

M M 6 15 0

10 30

Permintaan 95 70 70 35 10

3. Proses selanjutnya kembali memilih biaya terendah dari sel yang belum terarsir, Sel �32 adalah biaya terendah berikutnya dengan 32 = 0, jumlah

maksimum barang yang diisikan pada sel ini adalah sebanyak �32 = 70 sehingga dengan pengisian ini kolom TC terpenuhi permintaannya sementara baris SC tersisa 20.

Tabel 4.7 Hasil Tahap 3

Iterasi Ke 3 Tujuan Persediaan

TB TC TD TF TG

S

u

m

b

er

SA

5 3 3 M 0

20

SB 0 14 3 4 0 70

0 SC

14 0 10 M ₁₅ 0

90 70

SD

3 10 0 8 0

70 0 70

SE

M M 6 15 0

10 30

Permintaan 95 70 70 35 10

4. Kembali pilih sel dengan biaya terendah yang belum terarsir, Sel �21 adalah biaya terendah berikutnya dengan C21 = 0, jumlah maksimum barang yang diisikan pada sel ini adalah sebanyak �21 = 70 sehingga dengan pengisian ini persediaan barang pada baris SB habis sementara permintaan barang kolom TB kurang 25.

Tabel 4.8 Hasil Tahap 4

Iterasi Ke 4 Tujuan Persediaan

TB TC TD TF TG

S

u

m

b

er

SA

5 3 3 M 0

20

SB 0 14 3 4 0 70

70 SC

14 0 10 M ₁₅ 0

90 70

SD

3 10 0 8 0

70 0 70

SE

M M 6 15 0

10 30

Permintaan 95 70 70 35 10

5. Dengan melihat Tabel 4.8 kembali pilih sel dengan biaya terendah yang belum terarsir, Sel �11 adalah biaya terendah berikutnya dengan 11 = 5, dengan

melihat permintaan dan persediaannya jumlah maksimum barang yang diisikan pada sel ini adalah sebanyak �12 = 20 sehingga dengan pengisian ini persediaan barang pada baris SA habis sementara permintaan barang kolom TB kurang 5.

Tabel 4.9 Hasil Tahap 5

Iterasi Ke 5 Tujuan Persediaan

TB TC TD TF TG

S u m b er SA 5 20

3 3 M 0

20

SB 0 14 3 4 0 70

70 SC

14 0 10 M ₁₅ 0

90 70

SD

3 10 0 8 0

70 0 70

SE

M M 6 15 0

10 30

Permintaan 95 70 70 35 10

6. Dengan melihat Tabel 4.9 pilih sel dengan biaya terendah yang belum terarsir, Sel �31 adalah biaya terendah berikutnya dengan 31 = 14, dengan melihat permintaan dan persediaannya jumlah maksimum barang yang diisikan pada sel ini adalah sebanyak �31 = 5 sehingga dengan pengisian ini permintaan barang pada kolom TB terpenuhi.

Tabel 4.10 Hasil Tahap 6

Iterasi Ke 6 Tujuan Persediaan

TB TC TD TF TG

S u m b er SA 5 20

3 3 M 0

20 SB

0 14 3 4 0

70 70

SC

14 0 10 M ₁₅ 0

90 5 ₇₀

SD

3 10 0 8 0

70 0 70

SE

M M 6 15 0

10 30

7. Dengan melihat Tabel 4.10 pilih sel dengan biaya terendah yang belum terarsir, Sel �54 adalah biaya terendah berikutnya dengan 54 = 15, jumlah maksimum barang yang diisikan pada sel �54 adalah sebanyak �54 = 20 sehingga dengan pengisian ini persediaan barang pada baris SE habis.

Tabel 4.11 Hasil Tahap 7

Iterasi Ke 7 Tujuan Persediaan

TB TC TD TF TG

S u m b er SA 5 20

3 3 M 0

20 SB

0 14 3 4 0

70 70

SC

14 0 10 M ₁₅ 0

90 5 ₇₀

SD

3 10 0 8 0

70 0 70

SE

M M 6 15

20 0

10 30

Permintaan 95 70 70 35 10

8. Tersisa sel �34 yang belum terarsir dengan biaya transportasi 34 = M (bilangan positif terbesar), jumlah maksimum barang yang diisikan pada sel ini adalah sebanyak �34 = 15 sehingga dengan pengisian ini permintaan barang pada kolom TF terpenuhi, sekaligus seluruh permintaan terpenuhi dan diperoleh tabel penyelesaian awal dengan metode Least Cost.

Tabel 4.12 Hasil Tahap 8

Iterasi Ke 8 Tujuan Persediaan

TB TC TD TF TG

S u m b er SA 5 20

3 3 M 0

20 SB

0 14 3 4 0

70 70

SC

14 0 10 M

15 0

90 5 ₇₀

SD

3 10 0 8 0

70 0 70

SE

M M 6 15

20 0

10 30

4.3.2 Uji Optimalitas dengan Metode Stepping Stone

Dengan menggunakan tabel pemecahan awal dilakukan pengujian optimalitas menggunakan metode Stepping Stone untuk meminimumkan biaya transportasi. Sebelum dilakukan pengujian, harus dipastikan tidak terdapat degenerasi dan redundansi dengan syarat sel yang terisi harus ada + −1 ( = banyak sumber dan = banyak tujuan) buah sel basis. Pada Tabel 4.13 terlihat bahwa sel yang terisi sudah ada 9 buah sel basis, sehingga pada kasus ini tidak terjadi degenerasi maupun redundansi oleh karena itu uji optimalitas dapat dilakukan.

Tahap 1

Dari Tabel 4.13 pilih sel-sel yang masih kosong untuk mencari nilai indeks perbaikannya. Nilai indeks perbaikan dicari dengan melakukan loncatan searah jarum jam dengan pijakannya berupa sel basis (sel basis adalah sel yang terisi barang) sehingga terbentuk sebuah loop terdekat yang memungkinkan untuk kembali ke sel semula dengan memuat tanda (+) dan (−) secara bergantian pada setiap sudut sel dari loop tersebut, dimulai dengan tanda (+) pada sel kosong terpilih.

Misalnya, sel X12 dengan loop terdekatnya adalah +�12− �32+�11, indeks perbaikannya didapat dengan menjumlahkan tiap-tiap biaya sel pada loop yang terbentuk. Setelah semua sel-sel bukan basis (kosong) dievaluasi dan didapat nilai indeks perbaikannya selanjunya dilihat apakah masih ada nilai yang < 0. Jika tidak ada, maka pemecahan awal sudah optimal akan tetapi bila masih ada nilai yang negatif pilih sel yang mempunyai nilai negatif terbesar (artinya penurunan biaya terbesar) untuk dilakukan perbaikan jalur.

Tabel 4.13. Pemecahan awal dengan metode Least Cost

Iterasi Ke 0 Tujuan Persediaan

TB TC TD TF TG

S u m b er SA 5 20

3 3 M 0

20

SB 0 14 3 4 0 70

70 SC

14 0 10 M

15 0

90 5 ₇₀

SD

3 10 0 8 0

70 0 70

SE

M M 6 15

20 0

10 30

Permintaan 95 70 70 35 10

Tabel 4.14. Indeks Perbaikan untuk Sel kosong Tabel 4.13 Indeks Perbaikan

Sel X12 = 3−0+14−5 = 12 Sel X33 = 10−0+10−0 = 20

Sel X13 = 3−0+10−0+14−5 = 22 Sel X35= 0−0+15−M = 15−M

Sel X14 = M−M+14−5 = 9 Sel X41 = 3−14+0−10 = −21

Sel X15= 0−0+15−M+14−5 = 24−M Sel X44= 8−10+0−M = −2−M

Sel X22= 14−0+14−0 = 28 Sel X45= 0−10+0−M+15−0 = 5−M

Sel X23 = 3−0+10−0+14−0 = 27 Sel X51 = M−14+M−15 = 2M−29

Sel X24= 4−M+14−0 = 18−M Sel X52= M−0+M−15 = 2M−15

Sel X25= 0−0+15−M+14−0 = 29−M Sel X53= 6−0+10−0+M−15 = M+1

Dari Tabel 4.14 dipilih sel �44 karena memiliki nilai penurunan biaya terbesar (negatif terbesar) untuk dilakukan perubahan alokasi pada sel yang terlibat dalam penghitungan indeks.

(1) (2)

Gambar 4.2. Loop Pada Sel �44 (1) dan Hasil Perbaikan Sel �44 (2)

Perbaikan sel dilakukan dengan cara mengalokasikan jumlah barang terkecil dari isi sel bertanda negatif dan tambahkan terhadap sel bertanda tambah.

0 � 32 70

10 �

33 M �34

(−) 15 (+)

10 _� 42

0

0 � 43 70

8 � 44 (+) (−)

0 70

10 M

15

10 0

70 8

Pada gambar 4.2 (1) terlihat bahwa sel bertanda negatif yang memiliki jumlah barang yang paling kecil adalah sel �42 = 0, maka tambahkan sel �44 dengan 0, kurangkan �42 dengan 0 dan tambahkan �32 dengan 0 sehingga diperoleh alokasi yang baru terlihat pada Gambar 4.2 (2) walaupun tidak ada penurunan harga, akan tetapi terlihat bahwa sel �44 berubah menjadi sel non basis.

Tahap 2

Tabel 4.15. Hasil Perbaikan Tahap 1

Iterasi Ke 1 Tujuan Persediaan

TB TC TD TF TG

S

u

m

b

er

SA 5

20

3 3 M 0

20 SB

0 14 3 4 0

70 70

SC

14 0 10 M

15 0

90 5 ₇₀

SD

3 10 0 8

0 0

70 70

SE

M M 6 15

20 0

10 30

Permintaan 95 70 70 35 10

Sekarang kembali ke langkah evaluasi sel kosong pada Tabel 4.15 untuk melihat apakah hasil perbaikan Tahap 1 sudah memberikan biaya transportasi yang optimal. Lakukan langkah yang sama seperti Tahap 1.

Tabel 4.16. Indeks Perbaikan Sel kosong untuk Tabel 4.15 Indeks Perbaikan

Sel X12 = 3−0+14−5 = 12 Sel X33 = 10−M+8−0 = 18−M

Sel X13= 3−5+14−M+8−0 = 20−M Sel X35= 0−0+15−M = 15−M

Sel X14= M−M+14−5 = 9 Sel X41= 3−14+M−8 = M−19

Sel X15 = 0−0+15−M+14−5 = 24−M Sel X42 = 10−0+M−8 = M+2

Sel X22= 14−0+14−0 = 28 Sel X45= 0−0+15−8 = 7

Sel X23= 3−0+8−M+14−0 = 25−M Sel X51= M−14+M−15 = 2M−29

Sel X24 = 4−M+14−0 = 18−M Sel X52 = M−0+M−15 = 2M−15

Ternyata masih ada sel dengan indeks perbaikan bernilai negatif, maka harus dilakukan perbaikan pada sel dengan indeks perbaikan negatif terbesar yakni sel

�35.

(1) (2)

Gambar 4.3. Loop Pada Sel X35 (1) dan Hasil Perbaikan Sel X35 (2)

Tahap 3

Tabel 4.17. Hasil Perbaikan Tahap 2

Iterasi Ke 2 Tujuan Persediaan

TB TC TD TF TG

S u m b er SA 5 20

3 3 M 0

20

SB 0 14 3 4 0 70

70 SC

14 0 10 M

15 0

10 90

5 ₇₀ SD

3 10 0 8

0 0 70

70 SE

M M 6 15

30 0

30

Permintaan 95 70 70 35 10

Kembali ke langkah evaluasi sel kosong pada Tabel 4.17 untuk melihat apakah hasil perbaikan Tahap 2 sudah memberikan biaya transportasi yang optimal atau belum.

M _� 34 15

0 _� 35

(−) (+)

8 _� 44 0

0 _� 45 15 �

54 20

0 � 55 10 (+) (−) M 5 0 10 8 0 0 15 30 0 0

Tabel 4.18. Indeks Perbaikan Sel kosong untuk Tabel 4.17 Indeks Perbaikan

Sel X12 = 3−0+14−5 = 12 Sel X33= 10−M+8−0 = 18−M

Sel X13 = 3−0+8−M+14−5 = 20−M Sel X41 = 3−14+M−8 = M−19

Sel X14 = M−M+14−5 = 9 Sel X42 = 10−0+M−8 = M+2

Sel X15= 0−0+14−5 = 9 Sel X45= 0−8+M−0 = M−8

Sel X22= 14−0+14−0 = 28 Sel X51= M−14+M−15 = 2M−29

Sel X23= 3−0+8−M+14−0 = 25−M Sel X52= M−0+M−15 = 2M−15

Sel X24= 4−M+15−0 = 19−M Sel X53= 6−0+8−15 = −1

Sel X25= 0−0+14−0 = 14 Sel X55= 0−15+M−0 = M−15

Ternyata masih ada sel dengan indeks perbaikan bernilai negatif, maka harus dilakukan perbaikan pada sel dengan indeks perbaikan negatif terbesar yakni sel �33.

(1) (2)

Gambar 4.4. Loop Pada Sel �33 (1)dan Hasil Perbaikan Sel �33 (2)

Tahap 4

Tabel 4.19. Hasil Perbaikan Tahap 3

Iterasi Ke 3 Tujuan Persediaan

TB TC TD TF TG

S u m b er SA 5 20

3 3 M 0

20

SB 0 14 3 4 0 70

70 SC

14 0 10 M 0

10 90

5 70 5 SD

3 10 0 8

5 0

70 65

SE

M M 6 15

30 0

30

Permintaan 95 70 70 35 10

10 �

33 M �34

(−) 5 (+)

0 _� 43 70

8 _� 44 (+)0 (−) 10 5 M 0 65 8 5

Kembali ke langkah evaluasi sel kosong pada Tabel 4.19 untuk melihat apakah hasil Tahap 3 sudah memberikan biaya transportasi yang optimal atau belum.

Tabel 4.20. Indeks Perbaikan Sel kosong untuk Tabel 4.19 Indeks Perbaikan

Sel X12= 3−0+14−5 = 12 Sel X34= M−8+0−10 = M−18

Sel X13= 3−10+14−5 = 2 Sel X41= 3−14+10−0 = −1

Sel X14= M−8+0−10+14−5 = M−9 Sel X42= 10−0+10−0 = 20

Sel X15= 0−0+14−5 = 9 Sel X45= 0−0+10−0 = 10

Sel X22 = 14−0+14−0 = 28 Sel X51 = M−14+10−0+8−15 = M−11

Sel X23 = 3−10+14−0 =7 Sel X52 = M−0+10−0+8−15 = M+3

Sel X24 = 4−8+0−10+14−0 = 0 Sel X53= 6−0+8−15 = −1

Sel X25 = 0−0+14−0 = 14 Sel X55 = 0−15+8−0+10−0 = 3

Ternyata masih ada sel dengan indeks perbaikan bernilai negatif, maka harus dilakukan perbaikan pada sel dengan indeks perbaikan negatif terbesar. Pada Tabel 4.20 terlihat ada dua buah sel yang punya nilai indeks yang sama, sehingga cukup dengan memilih salah satunya, misalnya dipilih �41.

(1) (2)

Gambar 4.5 Loop Pada Sel �41 (1) dan Hasil Perbaikan Sel �41 (2) 14 �

31 5

0 � 32 70

10 � 33 (+)5 (−)

3 �

41 10 �42 0 �43

(−)65 (+)

14 0 70

10 10 3

5

10 0

Tahap 5

Tabel 4.21. Hasil Perbaikan Tahap 4

Iterasi Ke 4 Tujuan Persediaan

TB TC TD TF TG

S

u

m

b

er

SA 5

20

3 3 M 0

20

SB 0 14 3 4 0 70

70 SC

14 0 10 M 0

10 90

70 10 SD

3 10 0 8

5 0

70

5 60

SE

M M 6 15

30 0

30

Permintaan 95 70 70 35 10

Kembali ke langkah evaluasi sel kosong pada Tabel 4.21 untuk melihat apakah hasil perbaikan Tahap 4 sudah memberikan biaya transportasi yang optimal atau belum.

Tabel 4.22. Indeks Perbaikan Sel kosong untuk Tabel 4.21 Indeks Perbaikan

Sel X12= 3−0+10−0+3−5 = 11 Sel X31= 14−10+0−3 = 1

Sel X13 = 3−0+3−5 = 1 Sel X34 = M−8+0−10 = M−18

Sel X14= M−8+3−5 = M−10 Sel X42= 10−0+10−0 = 20

Sel X15= 0−0+10−0+3−5 = 8 Sel X45= 0−0+10−0 = 10

Sel X22 = 14−0+10−0 +3−0= 27 Sel X51 = M−3+8−15 = M−10

Sel X23= 3−0+3−0 =6 Sel X52= M−0+10−0+8−15 = M+3

Sel X24= 4−8+3−0 = −1 Sel X53= 6−0+8−15 = −1

Sel X25 = 0−0+10−0+3−0 = 13 Sel X55 = 0−15+8−0+10−0 = 3

Ternyata masih ada sel dengan indeks perbaikan bernilai negatif, maka harus dilakukan perbaikan pada sel dengan indeks perbaikan negatif terbesar. Pada Tabel 4.22 terlihat ada dua buah sel yang punya nilai indeks yang sama, sehingga cukup dengan memilih salah satunya, misalnya dipilih �24.

(1) (2)

Gambar 4.6. Loop Pada Sel �24 (1)dan Hasil Perbaikan Sel �24 (2)

Tahap 6

Tabel 4.23. Hasil Perbaikan Tahap 5

Iterasi Ke 4 Tujuan Persediaan

TB TC TD TF TG

S

u

m

b

er

SA 5

20

3 3 M 0

20 SB

0 14 3 4

5 0

70 65

SC

14 0 10 M 0

10 90

70 10 SD

3 10 0 8 0

70

10 60

SE

M M 6 15

30 0

30

Permintaan 95 70 70 35 10

Evaluasi kembali sel kosong pada Tabel 4.23 untuk melihat apakah hasil perbaikan Tahap 5 sudah memberikan biaya transportasi yang optimal atau belum.

0 �₂₁ 14 �₂₂ 3 �₂₃ 4 �₂₄ (+)

(−) 70

14 �₃₁ 0 �₃₂ 10 �₃₃ M �₃₄

70 10

3 �₄₁ 10 �₄₂ 0 �₄₃ 8 �₄₄ 5

(+) 5 60 (−)

0 14 3 4

5 65

14 0 10 M

70 10

3 10 0 8

Tabel 4.24. Indeks Perbaikan Sel kosong untuk Tabel 4.23 Indeks Perbaikan

Sel X12 = 3−0+10−0+3−5 = 11 Sel X34 = M−4+0−3+0−10 = M−17

Sel X13= 3−0+3−5 = 1 Sel X42= 10−0+10−0 = 20

Sel X14= M−4+0−5 = M−9 Sel X44= 8−3+0−4 = 1

Sel X15 = 0−0+10−0+3−5 = 8 Sel X45 = 0−0+10−0 = 10

Sel X22= 14−0+10−0 +3−0= 27 Sel X51= M−0+4−15 = M−11

Sel X23= 3−0+3−0 =6 Sel X52= M−0+10−0+3−0+4−15 = M+2

Sel X25= 0−0+10−0+3−0 = 13 Sel X53= 6−0+3−0+4−15 = −2

Sel X31= 14−10+0−3 = 1 Sel X55= 0−0+10−0+3−0+4−15 = 2

Pada abel 4.24 terlihat masih ada sel dengan indeks perbaikan bernilai negatif yakni sel �53, maka harus dilakukan perbaikan pada loop sel tersebut sebagai berikut:

0 �₂₁ 14 �₂₂ 3 �₂₃ 4 �₂₄

(−) 65 (+)5

14 �₃₁ 0 �₃₂ 10 �₃₃ M �₃₄

70 10

3 �₄₁ 10 �₄₂ 0 �₄₃ 8 �₄₄ (+)10 (−) 60

6 �₅₃ 15 �₅₄

(+) (−)30

(1) (2)

Gambar 4.7. Loop Pada Sel �53 (1)dan Hasil Perbaikan Sel �53 (2)

0 14 3 4

35 35

14 0 10 M

70 10

3 10 0 8

40 30

6 15

Tahap 7

Tabel 4.25. Hasil Perbaikan Tahap 6

Iterasi Ke 6 Tujuan Persediaan

TB TC TD TF TG

S

u

m

b

er

SA 5

20

3 3 M 0

20

SB 0 14 3 4

35 0

70 35

SC

14 0 10 M 0

10 90

70 10 SD

3 10 0 8 0

70

40 30

SE

M M 6 15 0

30 30

Permintaan 95 70 70 35 10

Evaluasi kembali sel kosong pada Tabel 4.25 untuk melihat apakah hasil perbaikan Tahap 6 sudah memberikan biaya transportasi yang optimal atau belum.

Tabel 4.26. Indeks Perbaikan Sel Kosong untuk Tabel 4.25 Indeks Perbaikan

Sel X12= 3−0+10−0+3−5 = 11 Sel X34= M−4+0−3+0−10 = M−17

Sel X13 = 3−0+3−5 = 1 Sel X42 = 10−0+10−0 = 20

Sel X14 = M−4+0−5 = M−9 Sel X44 = 8−3+0−4 = 1

Sel X15= 0−0+10−0+3−5 = 8 Sel X45= 0−0+10−0 = 10

Sel X22= 14−0+10−0 +3−0= 27 Sel X51= M−3+0−6 = M−9

Sel X23= 3−0+3−0 =6 Sel X52= M−0+10−6 = M+4

Sel X25 = 0−0+10−0+3−0 = 13 Sel X54 = 15−6+0−3+0−4 = 2

Sel X31 = 14−10+0−3 = 1 Sel X55 = 0−6+10−0 = 2

Perhitungan indeks perbaikan sel kosong pada Tabel 4.25 menunjukkan bahwa tidak ada lagi yang bernilai negatif. Artinya sudah diperoleh biaya transportasi yang minimum untuk permasalahan ini, sehingga iterasi berhenti dan dapat dihitung biaya transportasinya sebagai berikut:

Tabel 4.27. Alokasi dan Total Biaya Transportasi dengan Metode Least Cost

-Stepping Stone

Sel Basis

Terpilih Dari Ke

Jumlah yang dikirim

Biaya Per Unit

(Rp) Biaya (Rp)

X11 Kota A Kota B 20 Rp 500.000,- Rp 10.000.000,-

X24 Kota B Kota F 35 Rp 400.000,- Rp 14.000.000,-

X33 Kota C Kota D 10 Rp 1000.000,- Rp 10.000.000,-

X41 Kota D Kota B 40 Rp 300.000,- Rp 12.000.000,-

X53 Kota E Kota D 30 Rp 600.000,- Rp 18.000.000,-

Total Biaya Transportasi Rp 64.000.000,-

Setelah dicari penyelesaiaan optimalnya, maka diperoleh biaya pendistribusian balok kayu yang minimum yaitu sebesar Rp 64.000.000,- dimana distribusi pengiriman dimulai dengan mengirimkan 20 Ton balok kayu dari Kota A ke Kota B, kemudian dari Kota C dan Kota D masing-masing mengirimkan 10 dan 30 Ton balok kayu ke kota transit yakni Kota D, dari Kota D dikirimkan 40 Ton tadi ke Kota B. Terakhir barang yang sudah terkumpul dari Kota A dan Kota D yakni sebanyak 60 Ton, sebanyak 35 dikirimkan ke Kota F. Berikut gambaran jalur distribusi balok kayu untuk mendapatkan biaya transportasi yang minimum:

+20

(10)

+20 10 −25

(20) 5

3 (35)

(40) 4

6

(30)

+30 −35

Gambar 4.8. Jaringan Transportasi untuk Rute Pengiriman Balok Kayu yang Optimal

Jika dikembalikan ke masalah semula, maka didapatkan distribusi pengiriman balok kayu seperti pada Gambar 4.8 Di Kota C barang tersisa 10 Ton dikirim ke tujuan dummy (Kota G).

4.3.3 Perbandingan Uji Optimalitas Dengan Metode MODI (Modified

Distribution Method)

Dengan menggunakan tabel pemecahan awal LC pada Tabel 4.13 dilakukan pengujian optimalitas menggunakan metode MODI untuk meminimumkan biaya transportasi.

A B

C

D

Tahap 1

1. Pada penyelesaian awal, tambahkan kolom dan baris .

2. Mengecek apakah Tabel 4.13 merupakan tabel optimal. Misalkan diambil 3 = 0 seperti tanda panah pada Tabel 4.28 (biasanya baris/kolom yang dipilih adalah baris/kolom yang memuat variabel basis paling banyak).

3. Isi baris dan kolom dengan aturan untuk setiap sel basis berlaku persamaan + = . Perhatikan bahwa pada Tabel 4.28 ada 9 variabel basis masing-masing �11,�21,�31,�32,�34,�43,�44,�54,�55. Misalnya untuk mencari 1 Karena �31 merupakan variabel basis maka berlaku persamaan 3 + 1 = 31. Karenadan 3 = 0 dan 31 = 14, maka didapat 1 = 14 (proses mencari nilai kolom dan baris untuk Tabel 4.28 dan tabel iterasi selanjutnya ada pada Lampiran 1).

4. Isi sel-sel sisanya (bukan basis) dengan kuantitas = − − . Misalnya untuk mencari 12 = 12− 1− 2. Karena 12 = 3, 1 = 9 dan 1 = 0 maka didapat 12 = 12 (proses mencari indeks sel-sel non basis untuk Tabel 4.28 dan tabel iterasi selanjutnya ada pada Lampiran 2) Jika ada sel dengan = − − < 0 maka berarti tabel tersebut belum optimal.

Tabel 4.28 Uji Optimalitas Tahap 1 Iterasi

Ke 0

Tujuan

Persediaan

TB TC TD TF TG

S

u

m

b

er

SA 5

20

3 12 3 20−M M 9 0 24−M

20 −9

SB 0 14

28 ₃ 25−M ₄ 18−M ₀ 29−M

70 −14

70

SC 14 0 10 18−M M ₁₅ 0 −10 90 0

5 70

SD 3 M−19 10 M+2 0 8 0 0 7 70 8−M

70 SE M 2M−29 M

2M−15 ₆ −1 ₁₅

20 0 10 30 15−M

Permintaan 95 70 70 35 10

Berdasarkan Tabel 4.28 terlihat bahwa masih ada sel dengan yang bernilai

< 0 sehingga perlu dilakukan perbaikan pada sel yang memiliki nilai negatif terbesar. Dari Tabel 4.28 sel terpilih adalah sel �24 dan sel �33 , karena mempunyai nilai yang sama cukup memilih salah satunya, misal dipilih sel �24. Sama seperti metode Stepping Stone cari loop terdekat untuk sel �24 untuk melakukan perbaikan alokasi barang pada loop tersebut. Loop untuk sel �24 yakni +�₂₄− �₃₄ +�₃₁− �₂₁ kemudian lakukan penjumlahan isi sel dengan jumlah barang terkecil pada sel bertanda negatif. Dari gambar 4.9 (1) terlihat bahwa sel bertanda negatif yang memiliki jumlah barang terkecil adalah sel �34 yakni 15, maka jumlahkan �24 dengan 15, kurangkan �34 dengan 15, tambahkan �31 dengan 15 dan terakhir kurangkan �21 dengan 15. Sehingga diperoleh hasil perbaikan untuk loop �24 seperti pada Gambar 4.9 (2) berikut:

(1) (2)

Gambar 4.9. Loop Pada Sel �24 (1)dan Hasil Perbaikan Sel �24 (2)

Tahap 2

1. Pada Tabel 4.29 tambahkan kolom dan baris .

2. Sama seperti Tahap 1 cek kembali hasil uji optimalitas Tahap 1 pada Tabel 4.29 apakah merupakan tabel optimal atau bukan. Misalkan diambil 1 = 0. 3. Isi baris dan kolom sama seperti Tahap 1 dengan aturan untuk setiap sel

basis berlaku persamaan + = .

4. Isi sel-sel sisanya (bukan basis) dengan kuantitas = − − . 0 �21 4

�24

(−)70 (+)

14 �31 M �34 (+)5 ₍₋₎₁₅

0 55

4 15 14

20 M

Tabel 4.29. Hasil Uji Optimalitas Tahap 1 Iterasi

Ke 1

Tujuan

Persediaan

TB TC TD TF TG

Su

m

b

er

SA 5 ₂₀ 3 12 3 2 M M−9 0 6 20 5

SB 0 14 28 3 7 4 ₁₅ 0 11 70 0

55

SC 14 0 10 0 M M−18 0 −3 90 14

20 70

SD

3 −1 10 20 0 8

0

0 7

70 4

70 SE

M M−11 M M+3 6 −1 15 20

0

10 30 11

Permintaan 95 70 70 35 10

0 −14 −4 4 −11

Berdasarkan Tabel 4.29 terlihat bahwa masih ada sel dengan yang bernilai < 0 sehingga perlu dilakukan perbaikan pada sel yang memiliki nilai negatif terbesar. Dari Tabel 4.29 sel terpilih adalah sel �35. Sama seperti metode Stepping Stone cari loop terdekat untuk sel �35 untuk melakukan perbaikan alokasi barang pada loop tersebut. Loop untuk sel �35 yakni +�35− �55+�54− �24+�21 − �31 kemudian lakukan penjumlahan isi sel dengan jumlah barang terkecil pada sel bertanda negatif. Pada Gambar 4.10 (1) terlihat sel bertanda negatif yang memiliki jumlah barang terkecil adalah �55 = 10. Lakukan penjumlahan tiap sel dengan 10 sesuai tanda (+) atau (–). Jika bertanda (–) kurangkan sel dengan 10, jika bertanda (+) jumlahkan sel dengan 10. Sehingga diperoleh hasil perbaikan untuk loop sel �35 seperti pada Gambar 4.10 (2) sebagai berikut:

(1) 0 _�

21 55

14 3 4 _�

24 15

0

(+) (−)

14 � 31 20

0 10 M 0 �

35

(−) (+)

8 0

15 � 54 20

0 � 55 10 (+) (−)

(2)

Gambar 4.10. Loop Pada Sel �35 (1)dan Hasil Perbaikan Sel �35 (2)

Tahap 3

1. Pada Tabel 4.30 tambahkan kolom dan baris .

2. Sama seperti tahap-tahap sebelumnya cek kembali hasil uji optimalitas Tahap 2 pada Tabel 4.30 apakah merupakan tabel optimal atau bukan. Misalkan diambil 1 = 0.

3. Isi baris dan kolom sama seperti tahap sebelumnya dengan aturan untuk setiap sel basis berlaku persamaan + = .

4. Isi sel-sel sisanya (bukan basis) dengan kuantitas = − − . Tabel 4.30. Hasil Uji Optimalitas Tahap 2

Iterasi Ke 2

Tujuan

Persediaan

TB TC TD TF TG

S

u

m

b

er

SA 5 ₂₀ 3 12 3 2 M M−9 0 9 20 5

SB 0 14 28 3 7 4 ₅ 0 14 70 0

65

SC 14 0 10 0 M M−18 0 ₁₀ 90 14

10 70

SD 3 −1 10 20 0 8 ₀ 0 10 70 4

70 SE

M M−11 M M+3 6 −1 15 30

0 3

30 11

Permintaan 95 70 70 35 10

0 −14 −4 4 −14

Berdasarkan Tabel 4.30 terlihat bahwa masih ada sel dengan yang bernilai

< 0 sehingga perlu dilakukan perbaikan pada sel yang memiliki nilai negatif 0

65 14 3 4 5 0

14 10

0 10 M 0

10

8 0

15 30

0

vi DAFTAR ISI

Halaman

Persetujuan i

Pernyataan ii

Penghargaan iii

Abstrak iv

Abstract v

Daftar Isi vi

Daftar Tabel viii

Daftar Gambar x

Daftar Lampiran xi

Bab 1.Pendahuluan

1.1. Latar Belakang 1

1.2. Perumusan Masalah 3

1.3. Batasan Masalah 4

1.4. Tujuan Penelitian 4

1.5. Manfaat Penelitian 4

1.6. Metodologi Penelitian 5

Bab 2.Landasan Teori

2.1. Riset Operasi 6

2.2. Program Linier 8

2.3. Persoalan Transportasi 9

2.4. Persoalan Transshipment 12

2.5. Penyelesaian Persoalan Transshipment 14

2.5.1. Penyelesaian Feasible Awal 15 2.5.1.1. Metode North West Corner 15

2.5.1.2. Metode Least Cost 16

2.5.1.3. Metode Vogel’s Approximation (VAM) 17

2.5.2. Uji Optimalitas 17

2.5.2.1. Metode Stepping Stone 18 2.5.2.2. Metode Modified Distribution Method (MODI) 20

2.6. Degenerasi dan Redundansi 21

2.7. Loop 21

Bab 3.Metode Penelitian

3.1. Kerangka Pemikiran 22

3.2. Gambaran Penyelesaian 23

3.3. Metode Penyelesaian 23

Bab 4.Hasil dan Pembahasan

vii

4.2. Model Trasnsshipment 26

4.3. Contoh Masalah Transshipment Tidak Seimbang 27 4.3.1. Penyelesaian Feasible Awal dengan Metode Least Cost 31 4.3.2. Uji Optimalitas dengan Metode Stepping Stone 36 4.3.3. Perbandingan Uji Optimalitas dengan Metode MODI 47 4.4. Pengaruh Perubahan Posisi Penempatan Biaya Terhadap Hasil 57 Perhitungan

4.5. Pembahasan 63

Bab 5.Kesimpulan dan Saran

5.1. Kesimpulan 65

5.2. Saran 66

Daftar Pustaka 67

viii

DAFTAR TABEL

Nomor Judul Halaman

Tabel

2.1. Bentuk Umum Tabel Transportasi 11

4.1. Biaya Pendisrubusian Kayu 27

4.2. Jumlah Persediaan Kayu di Tiap Kota 30

4.3. Jumlah Permintaan Kayu di Tiap Kota 30

4.4. Tabel Awal Transportasi dan Biaya Transportasinya 31

4.5. Hasil Tahap 1 32

4.6. Hasil Tahap 2 32

4.7. Hasil Tahap 3 33

4.8. Hasil Tahap 4 33

4.9. Hasil Tahap 5 34

4.10. Hasil Tahap 6 34

4.11. Hasil Tahap 7 35

4.12. Hasil Tahap 8 35

4.13. Pemecahan Awal dengan Metode Least Cost 37

4.14. Indeks Perbaikan Sel Kosong untuk Tabel 4.13 37

4.15. Hasil Perbaikan Tahap 1 38

4.16. Indeks Perbaikan Sel Kosong untuk Tabel 4.15 38

4.17. Hasil Perbaikan Tahap 39

4.18. Indeks Perbaikan Sel Kosong untuk Tabel 4.17 40

4.19. Hasil Perbaikan Tahap 3 40

4.20. Indeks Perbaikan Sel Kosong untuk Tabel 4.19 41

4.21. Hasil Perbaikan Tahap 4 42

4.22. Indeks Perbaikan Sel Kosong untuk Tabel 4.21 42

4.23. Hasil Perbaikan Tahap 5 43

4.24. Indeks Perbaikan Sel Kosong untuk Tabel 4.23 44

4.25. Hasil Perbaikan Tahap 6 45

4.26. Indeks Perbaikan Sel Kosong untuk Tabel 4.25 45 4.27. Alokasi dan Total Biaya Transportasi dengan LC - Stepping Stone 46

4.28. Uji Optimalitas Tahap 1 48

4.29. Hasil Uji Optimalitas Tahap 1 50

4.30. Hasil Uji Optimalitas Tahap 2 51

4.31. Hasil Uji Optimalitas Tahap 3 53

4.32. Hasil Uji Optimalitas Tahap 4 55

4.33. Hasil Uji Optimalitas Tahap 5 56

4.34. Alokasi dan Total Biaya Transportasi dengan LC - MODI 57

4.35. Tabel Awal Transportasi 57

4.36. Hasil Awal dengan Metode Least Cost Posisi 1 58 4.37. Hasil Optimal dengan Metode Stepping Stone Posisi 1 58

4.38. Tabel Transportasi Posisi 2 59

4.39. Hasil Awal dengan Metode Least Cost Posisi 2 60 4.40. Hasil Optimal dengan Metode Stepping Stone Posisi 2 60

ix

4.41. Tabel Transportasi Posisi 3 61

4.42. Hasil Awal dengan Metode Least Cost Posisi 3 61 4.43. Hasil Optimal dengan Metode Stepping Stone Posisi 3 62 4.44. Biaya Transportasi untuk Posisi 1, 2 dan 3 62

x

DAFTAR GAMBAR

Nomor Judul Halaman

Gambar

2.1. Contoh Gambar Sumber, Titik Transshipment, dan Tujuan 12

3.1. Kerangka Berpikir Penelitian 22

3.2. Tahapan Penyelesaian Masalah Transshipment Tidak Seimbang 24 4.1. Jaringan Transportasi untuk Pengiriman Balok Kayu 28

4.2. Loop Pada Sel �44 (1)dan Hasil Perbaikan Sel �44 (2) 37

4.3. Loop Pada Sel �35 (1)dan Hasil Perbaikan Sel �35 (2) 39

4.4. Loop Pada Sel �33 (1)dan Hasil Perbaikan Sel �33 (2) 40

4.5. Loop Pada Sel �41 (1)dan Hasil Perbaikan Sel �41 (2) 41

4.6. Loop Pada Sel �24 (1)dan Hasil Perbaikan Sel �24 (2) 43

4.7. Loop Pada Sel �53 (1)dan Hasil Perbaikan Sel �53 (2) 44

4.8. Jaringan Transportasi untuk Pengiriman Balok Kayu yang Optimal 47

4.9. Loop Pada Sel �24 (1)dan Hasil Perbaikan Sel �24 (2) 49

4.10. Loop Pada Sel �35 (1)dan Hasil Perbaikan Sel �35 (2) 51

4.11. Loop Pada Sel �41 (1)dan Hasil Perbaikan Sel �41 (2) 52

4.12. Loop Pada Sel �53 (1)dan Hasil Perbaikan Sel �53 (2) 54

xi

DAFTAR LAMPIRAN

Nomor Judul Halaman

Lamp

1. Nilai Baris dan Kolom untuk Setiap Tabel Iterasi dari Metode 69

MODI

2. Indeks Perbaikan untuk Setiap Tabel Iterasi dari Metode MODI 71 3. Tahapan Penyelesaian Feasible Awal dengan Metode Least Cost 74

untuk Posisi 2

4. Tahapan Uji Optimalitas dengan Metode Stepping Stone untuk 77 Posisi 2

5. Tahapan Penyelesaian Feasible Awal dengan Metode Least Cost 83 untuk Posisi 3

6. Tahapan Uji Optimalitas dengan Metode Stepping Stone untuk 86 Posisi 3