PEMBAHASAN UJIAN MATA KULIAH FISIKA MATE

PEMBAHASAN UJIAN MATA KULIAH FISIKA MATEMATIKA
KELAS INTERNASIONAL
PROGRAM STUDI FISIKA
FKIP UNIVERSITAS JEMBER

1. Tentukan deret konvergen ataukah divergen deret berikut:

6

7
13
1
 ....
3
27

Pembahasan :

5  2 

n

Deret tersebut bila dinyatakan dalam suku ke-n a n




sehingga notasi deretnya adalah

n 0

dengan n = 0,1,2,3,4,5,6,7,8.......

5  2  . Langkah pertama kita uji awal dulu sebagai berikut :
3n

n

3n

 5 2n  5

5  2n
1
5  2n







0
lim
karena
lim
 0 maka deret ini ada kemungkinan
n 
n    3n
n 
3n
3n   1,5

3n


lim

konvergen. Selanjutnya kita gunakan uji lain misalnya pakai uji integral. Memilih pakai uji integral
karena selalu berlaku a n 1  a n untuk n  0 .

5  2n
5
2
0 3n dn  0 3n dn  0  3  dn






n



2n
 5 
 n



n

 3 ln 3  0  3 ln 2  ln 3 0




1 
5
1

  5  

 0  


  0 
 ln 1,5  ln 3 ln 1,5
 ln 3   


5  2n
Karena  n dn hasilnya berhingga, maka deret
3
0





n 0

5  2  adalah konvergen.

n

3n

Selain menggunakan uji integral kita bisa menggunakan uji banding, dengan mengambil

2


penbandingnya adalah deret

n 0

1
n

yang telah kita buktikan pada pertemuan sebelumnya adalah

konvergen.

2. Tentukan konvergensi deret bolak balik berikut : 2 

2 3 25 2 7
 
 .....
3! 5! 7!

Pembahasan :

2 2 n 1
dengan n = 0,1,2,3.....
Deret tersebut bila dinyatakan dalam suku ke-n adalah a n   1
2n  1!
n

  1n


Sehingga notasi deret tak tetap positipnya adalah

n 0

2 2 n 1
. Langkah pertama adalah
2n  1!

menguji apakah deret bolak balik di atas konvergen atau divergen sebagai berikut :
a.

2 2 n 1
2 2 n 3
dan a n 1 
syarat pertama telah terpenuhi bahwa untuk a n 1  a n
an 
2n  1!
2n  3!

By Mas Wawan Hermanto (Mbah Cokro)

lembaran 1

b. Selanjutnya kita hitung lim a n sebagai berikut :
n 

2
2
2.4 n
2 2 n 1
 lim
 lim

0
n  2n  1!
n  2n ! 2n  1
n  2n  1
 1

lim

  1 2n  1!



Karena syarat a dan b telah terpenuhi, maka deret bolak balik

 an = 

Selanjutnya kita uji deret positipnya





n 0

n 0

n

2 2 n 1

n 0

adalah konvergen.

2 2 n 1
konvergen ataukah divergen. Disini kita
2n  1!

gunakan uji rasio atau nisbah, karena uji banding terlalu mudah, sementara uji integral sudah kita
a n 1
a
2 2 n 3 2n  1!
4
 lim
 0 karena lim n 1  0 (kurang dari 1) maka
 lim
n
2
1

n  a
n  2n  3!
n  2n  2 2n  3
n  a
2
n
n

gunakan. Nanti silahkan di uji sendiri pakai uji yang lain.
lim

a


n 0

2 2 n 1
adalah konvergen. Deret   1
dan
2n  1!
n 0


n

n

 2n  1!
2 2 n 1



n 0

maka dapat disimpulkan

bahwa deret bolak balik pada soal nomor 2 ini konvergen mutlak.
3. Uraikan f x  x2  1 dalam uraian Taylor!
Pembahasan :

Misalkan kita uraikan menuju x = c. maka f c   c 2  1
f c  

; f c  

c





1

c2  1
c2  1 c2  1
dan seterusnya yo...............
x2  1  c 2  1 

cx  c 
c2  1



x  c 2

; f c  

2c 2  1 c 2  1



c

 3c

2

 1

2

 3cx  c 

6c 2  1

2

3

c2  1

c2  1

 .........

Untuk uraian Taylor menuju nol atau disekitar x = 0 maka deret maclaurin dari fungsi di atas adalah
sebagai berikut :
f  x 

x2  1  1  0 

3x4
45 x6
x2
0
0
 ........
2
4!
6!
x 2 x 4 3x6


 .........
x2  1  1 
2
8
48

binomial 1  y  1  px 
p

f x  x2  1 dapat menggunakan deret

p p  1 2 p p  1 p  2 3
y 
y  ..... dengan p = ½ dan y = x2.
2!
3!

Atau untuk mendapatkan uraian maclaurin fungsi

x2 n
adalah...

n
n 0 2 n  1


4. Tentukan selang konvergensi deret
Pembahasan :




n 0

an  


x2 n
dan
n
n 0 2 n  1




n 0

x2 n 2
x2 n  1
maka
diperoleh
rasio
r

n 1
n  2
2n  2
n 0 2

a n 1  


By Mas Wawan Hermanto (Mbah Cokro)

lembaran 2

Sehingga lim r  lim
n 

1 2
x 1 
2
x2  2  0

n 

x2 n  1 1 2
 x mari kita selesaikan pertidaksamaanya sebagai berikut :
2n  2 2

x2  2
0
2

x  2 x  2   0

jadi selang konvergensinya adalah  2  x  2
5. Tentukan nilai dari :
3

a.

 27 
b. ln  
 29 

7

Pembahasan :
a. Untuk ngerjain soal ini kita harus bisa menyatakan bentuk
dalam bentuk x  1 dengan -1 < x