Deret matematika Deret matematika Deret matematika
2. Baris Hitung
Baris hitung yaitu baris bilangan di mana pola perubahan dari satu suku ke suku berikutnya
besarnya tetap dan pola perubahan tersebut dapat diperoleh dari selisih antara sutu suku ke suku
sebelumnya.
Contoh :
2, 4, 6, 8, 10, 12 , ....................., Sn
S1 (suku pertama) = 2 S1 = a = 2
S2 (suku kedua)
= 4 S2 = a + b = 2 + 2 = 4
S3 (suku ketiga)
= 6 S3 = a + 2b = 2 + (2)2 = 6
S4 (suku keempat) = 8 S4 = a + 3b = 2 + (3)2 = 8
Sn (suku ke n)
Maka untuk suku ke n di peroleh rumus :
Sn = a + ( n – 1 ) b.
Dimana a = suku pertama, b = pembeda dan
n = suku ke n
Contoh soal :
Diberikan suku ke tiga dan suku ke tujuh masing-masing sebesar 150 dan 170. Carilah suku ke
sepuluhnya dari baris hitung tersebut.
Penyelesaian
S3 = a + ( n – 1 ) b =è 150 = a + 2b
S7 = a + (n – 1 ) b =è 170 = a + 6b
- 20 = - 4b
b = -20 / -4 = 5
150 = a + 2b è 150 = a + 2.5 è 150 = a + 10
a = 150 – 10 è a = 140
S10 = a + (n – 1) b
= 140 + (10 -1) 5 è 140 + 45
= 185
3. Deret Hitung
Deret hitung yaitu deretan bilangan yang tersusun dengan aturan dimana suku pertamannya sama
dengan suku pertama baris hitungnya, suku keduanya merupakan penjumlahan dua suku pertama
baris hitungnya, suku ketiganya merupakan penjumlahan tiga suku pertama baris hitungnya, dan
seterusnya.
Contoh : (dari contoh baris hitung di atas)
Baris hitung : 2, 4, 6, 8, 10, 12 , ..., Maka
Deret hitung : 2 + 6 + 12 + 20 + 30 + 42 + ...
D1 = 2,
D2 = 2 + 4 = 6,
D3 = 2 + 4 + 6 = 12
D4 = 2 + 4 + 6 + 8 = 20 Dst
dimana Dn = n/2 ( a + Sn ) atau Dn = n/2 { 2a + ( n – 1 ) b}
Contoh Soal :
Sebuah baris hitung mempunyai suku pertama yang bernilai 140. Beda antar suku 5. Hitunglah
suku ke-10nya ? Berapakah Jumlah lima suku pertamanya ?.
Penyelesaian
a = 140, b = 5
S10 = 140 + ( 10 – 1 ) 5
= 140 + 45 = 185
D5 = 5/2 ( 2.140 + ( 5 – 1 ) 5 )
= 5/2 ( 280 + 20 ) = 5/2 ( 300 ) = 750
4. Baris Ukur
Baris ukur yaitu baris bilangan di mana pola perubahan dari satu suku ke suku berikutnya
besarnya tetap dan pola perubahan tersebut dapat diperoleh dari perbandingan antara satu suku
sengan suku sebelumnya
Contoh :
2, 6, 18, 54, 162, ...... Sn
S1 (suku pertama) = 2
S2 (suku kedua)
= 6
S3 (suku ketiga)
= 18
S4 (suku keempat) = 54
S5 (suku kelima) = 162
Sn (suku ke n)
= dst.
Pola perubahan dari satu suku ke suku berikutnya dilambangkan dengan r (rasio) dan
perbesarannya adalah perbandingan atara dua suku yang berurutan dengan suku berikutnya,
sehingga r = 6/2 = 18/6 = 54/18 = 162/54. maka r = 3.
S1 (suku pertama) = a = 2
S2 (suku kedua)
= ar = 2.3 = 6
S3 (suku ketiga)
= ar2 = 2.32 = 2.9 = 18
S4 (suku keempat) = ar3 = 2.33 = 2.27 = 54
S5 (suku kelima) = ar4 = 2.34 = 2.8 = 162
Sn (suku ke n)
Untuk menentukan suku ke n diperoleh rumus Sn = ar n-1
5. Deret Ukur
Deret Ukur yaitu deretan bilangan yang tersusun dengan aturan di mana suku pertamanya sama
dengan suku pertama baris ukurnya, suku keduanya merupakan penjumlahan dua suku pertama
baris ukurnya, suku ketiganya merupakan penjumlahan tiga suku pertama baris ukurnya, dan
seterusnya.
Contoh : (dari contoh baris ukur di atas)
Baris Ukur : 2, 6, 18, 54, 162, ....... maka
Deret Ukur : 2 + 8 + 26 + 80 + 242 + ...
D1 = 2 D2 = 2 + 6 = 8 D3 = 2 + 6 + 18 = 26 Dst.
Dn dapat dirumuskan :
Contoh Soal :
Sebuah baris ukur mempunyai suku pertama yang bernilai 20. Ratio antar sukunya 2. Hitunglah
suku ke-6nya ! Berapa jumlah lima suku pertamanya.
Penyelesaian
a = 20, r = 2
S6 = arn-1 = 20. 26-1 = 20. 25 = 20. 32 = 640
= = 1260
Contoh Soal
Perusahaan keramik menghasilkan 5.000 buah keramik pada bulan pertama produksinya. Dengan
adanya penambahan tenaga kerja, maka jumlah produk yang dihasilkan juga ditingkatkan.
Akibatnya, perusahaan tersebut mampu menambah produksinya sebanyak 300 buah setiap
bulannya. Jika perkembangan produksinya konstan setiap bulan, berapa jumlah keramik yang
dihasilkannya pada bulan ke 12 ?. Berapa buah jumlah keramik yang dihasilkannya selama tahun
pertama produksinya ?
Penyelesaian :
Jumlah keramik yang dihasilkannya pada bulan ke 12.
S12 = a + (n – 1) b
= 5.000 + (12 – 1) 300
= 5.000 + (11) 300
= 5.000 + 3.300
= 8.300
Jadi pada bulan ke 2 perusahaan tersebut dapat menghasilkan 8.300 buah keramik.
Jumlah keraik yang dihasilkan dalam satu tahun pertama.
D12 = n/2 (a + s12)
= 12/2 (5.000 + 8.300)
= 6 (13.300)
= 79.800
3. Pertumbuhan Penduduk
Penerapan deret ukur yang paling konvensional di bidang ekonomi adalah dalam hal perhitungan
pertumbuhan penduduk, sebagaimana pernah dinyatakan oleh Malthus, penduduk dunia tumbuh
mengikuti pola deret ukur. Yang drumuskan :
Pn = P0.( 1 + i )n
Di mana Pn = populasi penduduk pada tahun basis (tahun ke-1)
P0 = populasi penduduk pada tahun ke- n
i = persentase pertumbuhan penduduk per tahun & n = jumlah tahun
Contoh soal :
Penduduk suatu kota berjumlah 100.000 jiwa pada tahun 1995, tingkat pertumbuhannya 4 persen
per tahun. Hitunglah jumlah penduduk kota tersebut pada tahun 2005.
Penyelesaian :
Periode waktu : 2005 -1995 = 10 tahun
Pn = P0.( 1 + i )n = 100.000 ( 1 + 0,04 )10
= 100.000 ( 1,04 )10
= 100.000 ( 1,48024) = 148.024
Latihan Soal
1.
Sebuah baris hitung mempunyai suku pertama bernilai 210. Beda antar suku 15. Hitunglah
suku ke 10 nya ! Berapakah jumlah lima suku pertammanya ?
2.
Jika diketahui suku kedua besarnya 275 dan suku keenam besarnya 375. Berapa suku
pertama baris hitung tersebut ? Berapakah nilai suku kesepuluhnya ? Berapa jumlah sepuluh
suku pertamanya.
3.
Pabrik rokok “Kurang Garam” menghasilkan sejuta bungkus rokok pada tahun pertama
berdirinya, dan 1,6 juta bungkus pada tahun ketujuh.
a) Andaikata perkembangan produksinya konstan, berapa tambahan produksinya per tahun ?
b) Berapa produksinya pada tahun kesebelas ?
c) Pada tahun ke berapa produksinya 2,5 juta bungkus rokok ?
d) Berapa bungkus rokok yang telah ia hasilkan sampai dengan tahun ke – 16 ?.
4.
Pabrik kecap “Nambewan” memproduksi 24.000 botol kecap pada tahun ke-6 operasinya.
Karena persaingan keras dari kecap-kecap merek lain, produksinya terus menurus secara konstan
sehingga pada tahun ke-10 hanya memproduksi 18.000 botol. a) Berapa botol penurunan
produksinya per tahun ?
b) Pada tahun ke berapa pabrik kecap tersebut tidak berproduksi (tutup)
c) Berapa botol kecap yang ia hasilkan selama operasinya ?.
5.
Seorang nasabah merencanakan mendepositokan uangnya di Bank sebanyak Rp. 10 juta
dalam jangka waktu 5 tahun. Pembungaan depositonya dengan tingkat bunga yang diasumsikan
konstan sebesar 11% per-tahun Berapa jumlah uang yang diterimanya pada akhir tahun kelima
jika didepositokan dengan pembungaan tiap 6 bulan sekali ? dan Berapa jumlah uang yang
diterimanya jika didepositokan dengan pembungaan tiap tiga bulan.
6.
Penduduk suatu kota metropolitan tercatat 3,25 juta jiwa pada tahun 2008, diperkirakan
menjadi 4,5 jiwa pada tahun 2013. Jika tahun 2008 dianggap tahun dasar, berapa persen
pertumbuhannya ? Berapa Jumlah penduduknya pada tahun 2015 ?
Jawaban latihan soal.
5. Jawab jumlah uang dengan pembungaan tiap 6 bulan sekali
Pn = P0 (1 + r/m)n.m
= 10.000.000 (1 + 0,11/2)5.2
= 10.000.000 (1 + 0,055)10
= 10.000.000 (1,708144)
= 17.081.444,58
Jadi dalam waktu lima tahun uang nasabah tersebut yang dibungakan setiap enam bulan sekali
menjadi Rp. 17.081.444,58.
Jawab jumlah uang dengan pembungaan tiap 6 bulan sekali
Pn = P0 (1 + r/m)n.m
= 10.000.000 (1 + 0,11/4)5.4
= 10.000.000 (1 + 0,0275)20
= 10.000.000 (1,720428431)
= 17.204.284,31
Jadi dalam waktu lima tahun uang nasabah tersebut yang dibungakan setiap enam bulan sekali
menjadi Rp. 17.204.284,3.
6. Jawab persentase pertumbuhan penduduk :
Pn
= P0 (1 + i)n
4,5
= 3,25 (1 + i)2013-2008
4,5
= 3,25 (1 + i)5
4,5/3,25 = (1 + i)5
1,3846
= (1 + i)5
1,38461/5 = 1 + i
i
= 1,38461/5 - 1
i
= 0,0673
i
= 6,73 %
Jadi persentase pertumbuhan penduduknya 6,73 %
Jumlah penduduk pada tahun 2015.
P2015 = P2008 (1 + i)2015-2008
= 3,25 (1 + 6,73%)7
= 3,25 (1,577632)
= 5,13
Jadi jumlah penduduk kota metropolitan pada tahun 205 sebanyak 5,13 juta.
Baris hitung yaitu baris bilangan di mana pola perubahan dari satu suku ke suku berikutnya
besarnya tetap dan pola perubahan tersebut dapat diperoleh dari selisih antara sutu suku ke suku
sebelumnya.
Contoh :
2, 4, 6, 8, 10, 12 , ....................., Sn
S1 (suku pertama) = 2 S1 = a = 2
S2 (suku kedua)
= 4 S2 = a + b = 2 + 2 = 4
S3 (suku ketiga)
= 6 S3 = a + 2b = 2 + (2)2 = 6
S4 (suku keempat) = 8 S4 = a + 3b = 2 + (3)2 = 8
Sn (suku ke n)
Maka untuk suku ke n di peroleh rumus :
Sn = a + ( n – 1 ) b.
Dimana a = suku pertama, b = pembeda dan
n = suku ke n
Contoh soal :
Diberikan suku ke tiga dan suku ke tujuh masing-masing sebesar 150 dan 170. Carilah suku ke
sepuluhnya dari baris hitung tersebut.
Penyelesaian
S3 = a + ( n – 1 ) b =è 150 = a + 2b
S7 = a + (n – 1 ) b =è 170 = a + 6b
- 20 = - 4b
b = -20 / -4 = 5
150 = a + 2b è 150 = a + 2.5 è 150 = a + 10
a = 150 – 10 è a = 140
S10 = a + (n – 1) b
= 140 + (10 -1) 5 è 140 + 45
= 185
3. Deret Hitung
Deret hitung yaitu deretan bilangan yang tersusun dengan aturan dimana suku pertamannya sama
dengan suku pertama baris hitungnya, suku keduanya merupakan penjumlahan dua suku pertama
baris hitungnya, suku ketiganya merupakan penjumlahan tiga suku pertama baris hitungnya, dan
seterusnya.
Contoh : (dari contoh baris hitung di atas)
Baris hitung : 2, 4, 6, 8, 10, 12 , ..., Maka
Deret hitung : 2 + 6 + 12 + 20 + 30 + 42 + ...
D1 = 2,
D2 = 2 + 4 = 6,
D3 = 2 + 4 + 6 = 12
D4 = 2 + 4 + 6 + 8 = 20 Dst
dimana Dn = n/2 ( a + Sn ) atau Dn = n/2 { 2a + ( n – 1 ) b}
Contoh Soal :
Sebuah baris hitung mempunyai suku pertama yang bernilai 140. Beda antar suku 5. Hitunglah
suku ke-10nya ? Berapakah Jumlah lima suku pertamanya ?.
Penyelesaian
a = 140, b = 5
S10 = 140 + ( 10 – 1 ) 5
= 140 + 45 = 185
D5 = 5/2 ( 2.140 + ( 5 – 1 ) 5 )
= 5/2 ( 280 + 20 ) = 5/2 ( 300 ) = 750
4. Baris Ukur
Baris ukur yaitu baris bilangan di mana pola perubahan dari satu suku ke suku berikutnya
besarnya tetap dan pola perubahan tersebut dapat diperoleh dari perbandingan antara satu suku
sengan suku sebelumnya
Contoh :
2, 6, 18, 54, 162, ...... Sn
S1 (suku pertama) = 2
S2 (suku kedua)
= 6
S3 (suku ketiga)
= 18
S4 (suku keempat) = 54
S5 (suku kelima) = 162
Sn (suku ke n)
= dst.
Pola perubahan dari satu suku ke suku berikutnya dilambangkan dengan r (rasio) dan
perbesarannya adalah perbandingan atara dua suku yang berurutan dengan suku berikutnya,
sehingga r = 6/2 = 18/6 = 54/18 = 162/54. maka r = 3.
S1 (suku pertama) = a = 2
S2 (suku kedua)
= ar = 2.3 = 6
S3 (suku ketiga)
= ar2 = 2.32 = 2.9 = 18
S4 (suku keempat) = ar3 = 2.33 = 2.27 = 54
S5 (suku kelima) = ar4 = 2.34 = 2.8 = 162
Sn (suku ke n)
Untuk menentukan suku ke n diperoleh rumus Sn = ar n-1
5. Deret Ukur
Deret Ukur yaitu deretan bilangan yang tersusun dengan aturan di mana suku pertamanya sama
dengan suku pertama baris ukurnya, suku keduanya merupakan penjumlahan dua suku pertama
baris ukurnya, suku ketiganya merupakan penjumlahan tiga suku pertama baris ukurnya, dan
seterusnya.
Contoh : (dari contoh baris ukur di atas)
Baris Ukur : 2, 6, 18, 54, 162, ....... maka
Deret Ukur : 2 + 8 + 26 + 80 + 242 + ...
D1 = 2 D2 = 2 + 6 = 8 D3 = 2 + 6 + 18 = 26 Dst.
Dn dapat dirumuskan :
Contoh Soal :
Sebuah baris ukur mempunyai suku pertama yang bernilai 20. Ratio antar sukunya 2. Hitunglah
suku ke-6nya ! Berapa jumlah lima suku pertamanya.
Penyelesaian
a = 20, r = 2
S6 = arn-1 = 20. 26-1 = 20. 25 = 20. 32 = 640
= = 1260
Contoh Soal
Perusahaan keramik menghasilkan 5.000 buah keramik pada bulan pertama produksinya. Dengan
adanya penambahan tenaga kerja, maka jumlah produk yang dihasilkan juga ditingkatkan.
Akibatnya, perusahaan tersebut mampu menambah produksinya sebanyak 300 buah setiap
bulannya. Jika perkembangan produksinya konstan setiap bulan, berapa jumlah keramik yang
dihasilkannya pada bulan ke 12 ?. Berapa buah jumlah keramik yang dihasilkannya selama tahun
pertama produksinya ?
Penyelesaian :
Jumlah keramik yang dihasilkannya pada bulan ke 12.
S12 = a + (n – 1) b
= 5.000 + (12 – 1) 300
= 5.000 + (11) 300
= 5.000 + 3.300
= 8.300
Jadi pada bulan ke 2 perusahaan tersebut dapat menghasilkan 8.300 buah keramik.
Jumlah keraik yang dihasilkan dalam satu tahun pertama.
D12 = n/2 (a + s12)
= 12/2 (5.000 + 8.300)
= 6 (13.300)
= 79.800
3. Pertumbuhan Penduduk
Penerapan deret ukur yang paling konvensional di bidang ekonomi adalah dalam hal perhitungan
pertumbuhan penduduk, sebagaimana pernah dinyatakan oleh Malthus, penduduk dunia tumbuh
mengikuti pola deret ukur. Yang drumuskan :
Pn = P0.( 1 + i )n
Di mana Pn = populasi penduduk pada tahun basis (tahun ke-1)
P0 = populasi penduduk pada tahun ke- n
i = persentase pertumbuhan penduduk per tahun & n = jumlah tahun
Contoh soal :
Penduduk suatu kota berjumlah 100.000 jiwa pada tahun 1995, tingkat pertumbuhannya 4 persen
per tahun. Hitunglah jumlah penduduk kota tersebut pada tahun 2005.
Penyelesaian :
Periode waktu : 2005 -1995 = 10 tahun
Pn = P0.( 1 + i )n = 100.000 ( 1 + 0,04 )10
= 100.000 ( 1,04 )10
= 100.000 ( 1,48024) = 148.024
Latihan Soal
1.
Sebuah baris hitung mempunyai suku pertama bernilai 210. Beda antar suku 15. Hitunglah
suku ke 10 nya ! Berapakah jumlah lima suku pertammanya ?
2.
Jika diketahui suku kedua besarnya 275 dan suku keenam besarnya 375. Berapa suku
pertama baris hitung tersebut ? Berapakah nilai suku kesepuluhnya ? Berapa jumlah sepuluh
suku pertamanya.
3.
Pabrik rokok “Kurang Garam” menghasilkan sejuta bungkus rokok pada tahun pertama
berdirinya, dan 1,6 juta bungkus pada tahun ketujuh.
a) Andaikata perkembangan produksinya konstan, berapa tambahan produksinya per tahun ?
b) Berapa produksinya pada tahun kesebelas ?
c) Pada tahun ke berapa produksinya 2,5 juta bungkus rokok ?
d) Berapa bungkus rokok yang telah ia hasilkan sampai dengan tahun ke – 16 ?.
4.
Pabrik kecap “Nambewan” memproduksi 24.000 botol kecap pada tahun ke-6 operasinya.
Karena persaingan keras dari kecap-kecap merek lain, produksinya terus menurus secara konstan
sehingga pada tahun ke-10 hanya memproduksi 18.000 botol. a) Berapa botol penurunan
produksinya per tahun ?
b) Pada tahun ke berapa pabrik kecap tersebut tidak berproduksi (tutup)
c) Berapa botol kecap yang ia hasilkan selama operasinya ?.
5.
Seorang nasabah merencanakan mendepositokan uangnya di Bank sebanyak Rp. 10 juta
dalam jangka waktu 5 tahun. Pembungaan depositonya dengan tingkat bunga yang diasumsikan
konstan sebesar 11% per-tahun Berapa jumlah uang yang diterimanya pada akhir tahun kelima
jika didepositokan dengan pembungaan tiap 6 bulan sekali ? dan Berapa jumlah uang yang
diterimanya jika didepositokan dengan pembungaan tiap tiga bulan.
6.
Penduduk suatu kota metropolitan tercatat 3,25 juta jiwa pada tahun 2008, diperkirakan
menjadi 4,5 jiwa pada tahun 2013. Jika tahun 2008 dianggap tahun dasar, berapa persen
pertumbuhannya ? Berapa Jumlah penduduknya pada tahun 2015 ?
Jawaban latihan soal.
5. Jawab jumlah uang dengan pembungaan tiap 6 bulan sekali
Pn = P0 (1 + r/m)n.m
= 10.000.000 (1 + 0,11/2)5.2
= 10.000.000 (1 + 0,055)10
= 10.000.000 (1,708144)
= 17.081.444,58
Jadi dalam waktu lima tahun uang nasabah tersebut yang dibungakan setiap enam bulan sekali
menjadi Rp. 17.081.444,58.
Jawab jumlah uang dengan pembungaan tiap 6 bulan sekali
Pn = P0 (1 + r/m)n.m
= 10.000.000 (1 + 0,11/4)5.4
= 10.000.000 (1 + 0,0275)20
= 10.000.000 (1,720428431)
= 17.204.284,31
Jadi dalam waktu lima tahun uang nasabah tersebut yang dibungakan setiap enam bulan sekali
menjadi Rp. 17.204.284,3.
6. Jawab persentase pertumbuhan penduduk :
Pn
= P0 (1 + i)n
4,5
= 3,25 (1 + i)2013-2008
4,5
= 3,25 (1 + i)5
4,5/3,25 = (1 + i)5
1,3846
= (1 + i)5
1,38461/5 = 1 + i
i
= 1,38461/5 - 1
i
= 0,0673
i
= 6,73 %
Jadi persentase pertumbuhan penduduknya 6,73 %
Jumlah penduduk pada tahun 2015.
P2015 = P2008 (1 + i)2015-2008
= 3,25 (1 + 6,73%)7
= 3,25 (1,577632)
= 5,13
Jadi jumlah penduduk kota metropolitan pada tahun 205 sebanyak 5,13 juta.