Barisan bilangan adalah urutan bilangan dengan aturan tertentu
www.matematika-pas.blogspot.com
E-learning matematika, GRATIS
1
Penyusun : Tenang Indriyani, S.Pd. ; Taufiq Rahman, S.Pd.
Editor : Drs. Keto Susanto, M.Si. M.T. ; Istijab, S.H. M.Hum.
Imam Indra Gunawan, S.Si.
1. Pengertian Barisan dan Deret
• Barisan bilangan adalah urutan bilangan dengan aturan tertentu
• Setiap bilangan itu disebut suku-suku barisan
• Secara umum barisan dapat ditulis dengan :
U1, U2, U3, …, Un-1, Un = {Un}
Contoh:
a. 2,5,8,11, …, 3n – 1 = {3n – 1}
U1 = 2; U2 = 5; U3 = 8; U4 = 11; …Un = 3n – 1
b. Un = 2n + 1 adalah suku ke-n dari suatu barisan, dimana n ∈ N = {1,2,3, ….}
Barisan itu adalah {2n + 1} = 3,5,7, …
• Deret adalah jumlah yang diperoleh dari penjumlahan suku-suku suatu barisan.
• Secara umum deret dapat ditulis dengan :
n
U1 + U2 + U3 + … + Un-1 + Un =
∑ Uk
k =1
Contoh :
n
a. 3 + 5 + 7 + … + 2n – 1 =
∑ (2k + 1)
k =1
n
b. 1 + 3 + 9 + 27 + … + 3n-1 = ∑ (3k -1 )
k =1
2. Barisan dan Deret Aritmatika
2.1 Barisan Aritmatika
• Barisan Aritmatika (barisan hitung) adalah barisan yang selisih setiap suku
dengan suku sebelumnya selalu sama (U2 – U1 = U3 – U2 = … = Un – Un-1
• Selisih itu disebut beda (b)
• Rumus suku ke-n barisan aritmatika :
U1 , U2 , U3
, U4 , ......, Un
a , a+b , a+2b , a+3b, ......, a+(n-1)b
Un = a + (n – 1)b
Dengan b = Un – Un-1
Contoh 1
Tentukan suku ke-15 dari barisan 10,8,6,4, ….
Jawab :
Barisan tersebut adalah barisan aritmatika
a = 10, b = U2 – U1 = 8 – 10 = -2
Un = a + (n – 1)b
U15 = 10 + (15 – 1) (-2) = 10 + 14 (-2) = 10 – 28 = – 18
MGMP Matematika SMK kota Pasuruan
www.matematika-pas.blogspot.com
E-learning matematika, GRATIS
•
•
2
Contoh 2
Jika suatu barisan aritmatika mempunyai suku ke-4 sama dengan 12 dan
suku ke-10 sama dengan 30. Tentukan beda barisan tersebut serta suku ke15!
Jawab :
U4 = 12 Æ a + 3b = 12
U10 = 30 Æ a + 9b = 30 -6b = -18 Æ b = 3
Untuk b = 3 Æ a = 3
Un = a + (n – 1)b
U15 = 3 + (15 – 1) (3) = 3 + 14 (3) = 45
Ciri-ciri barisan aritmatika :
1. Merupakan urutan bilangan yang teratur
2. Mempunyai beda (selisih) yang sama
3. Tidak disertai tanda operasi bilangan seperti penjumlahan dan
pengurangan
Rumus suku tengah
Jika banyaknya suku ganjil, maka suku tengah :
Ut = ½ (U1 + Un) = ½ (U2 + Un-1) = ½ (U3 + Un-3) = … dst
Contoh 3
Suku tengah barisan aritmatika adalah 41. Jika beda adalah 5 dan suku ke-7
adalah 36. Tentukan suku terakhir!
Jawab :
Un = a + (n – 1)b Æ U7 = 36
a + 6b = 36 Æ a = 6
Ut = ½ (U1 + Un) Æ 2Ut = U1 + Un
2 x 41 = 6 + Un Æ Un = 82 – 6 = 76
2.2 Deret Aritmatika
• Deret aritmatika adalah jumlah yang diperoleh dari penjumlahan suku-suku
barisan aritmatika
• Jumlah n suku pertama deret aritmatika Sn didapat dari:
Sn = U1 + U2 + U3 + U4 + .....+ Un
Sn = Un + ..... + U4 + U3 + U2+ U1
2 Sn = n (U1 +Un )
Sn =
1
n(a + U n ) atau
2
Sn =
1
n(2a + (n − 1)b )
2
Contoh 4
Seorang anak menabung di suatu Bank dengan selisih kenaikan tabungan
antar bulan tetap. Pada bulan pertama Rp 100.000,-, bulan kedua Rp
110.000,-bulan ketiga Rp 120.000,- dan seterusnya. Berapakah besar
tabungan anak tersebut selama 2 tahun?
MGMP Matematika SMK kota Pasuruan
www.matematika-pas.blogspot.com
E-learning matematika, GRATIS
•
3
Jawab :
a
= 100.000; b = 10.000; 2 tahun = 24 bulan
U24 = a + (n – 1)b Æ U24 =
U24 = 10.000 + (24 – 1) 10.000 = 100.000 + 230.000 = 330.000
Sn = ½ n (a + Un)
= ½ . 24 (100.000 + 330.000) = 5.160.000
Tabungan anak tersebut selama 2 tahun adalah : Rp 5.160.000,Hubungan antara suku ke-n dan jumlah n suku pertama :
Un = Sn – Sn-1
Sn = nUt
Contoh 5
Tiga bilangan merupakan barisan aritmatika jika jumlah ketiga bilangan
tersebut adalah 36 dan hasil kalinya 1536. Tentukan bilangan yang terkecil!
Jawab :
Misalkan ketiga bilangan itu adalah a – b; a; a + b
(a – b) + a + (a + b) = 36 Æ 3a = 36 Æ a = 12
Ketiga bilangan itu adalah 12 – b; 12; 12 + b
(12 – b) . 12 (12 + b) = 1536
(12 – b) (12 + b) = 128
144 – b2 = 128 Æ b2 = 16 Æ b = + 4
b = 4 Æ (12 – 4), 12, (12 + 4) = 8, 12, 16 dan b = 4 Æ 12 – (-4), 12,
12 + (-4) = 16, 12, 8
Jadi bilangan terkecil adalah 8
3. Barisan dan Deret Geometri
3.1 Barisan Geometri
• Barisan geometri (barisan ukur) adalah barisan yang hasil bagi setiap suku
dengan suku sebelumnya tetap.
Misalkan suku-suku barisannya adalah U1, U2, U3, U4, ….., Un-1, Un maka :
U
U2 U3 U4
=
=
= ... = n = r , dimana r disebut pembanding/rasio.
U1 U 2 U 3
U n −1
• Suku ke-n barisan geometri :
Un = a r n-1
dengan
a = suku awal
r = rasio
Contoh 6
Tentukan suku ke-7 barisan ½, 1, 2, 4, …
Jawab :
a = ½, r = 2 Æ U7 = ½ . 27-1 = ½ . 26 = 32
•
Rumus suku ke-n barisan geometri dapat dinyatakan dengan menggunakan
suku ke-k, dengan k < n
Un = Uk . rn-k
Contoh 7
U8 = ar7 = ar4 . r3 = U5 . r3
Bandingkan dengan : U8 = U5 . r8-5 = U5 . r3
MGMP Matematika SMK kota Pasuruan
www.matematika-pas.blogspot.com
E-learning matematika, GRATIS
•
4
Rumus suku tengah :
Jika banyaknya suku ganjil, maka suku tengah :
U1 .U n = U 2 .U n -1 = ...
Ut =
Contoh 8
Suku tengah barisan geometri adalah 16. Jika rasio adalah 2 dan suku ke-7
adalah 64. Tentukan suku terakhir!
Jawab :
U7 = ar7-1 = a . 26 = 64 Æ a = 1
Ut = U1.U n = a.U n
16 = 1.U n
16 = U n Æ Un = 162 = 256
Jadi suku terakhir barisan tersebut adalah 256
3.2 Deret Geometri
• Deret geometri adalah jumlah yang diperoleh dari penjumlahan suku-suku
barisan geometri.
Contoh 9
Misalkan diketahui barisan geometri :
1, 3 , 9, 27, 81 maka 1 + 3 + 9 + 27 + 81 disebut deret geometri
• Jumlah n suku pertama deret geometri
S n=
a (r n − 1)
, jika r > 1 atau r < - 1
r −1
S n=
a (1 − r n )
, jika - 1 < r < 1
1− r
Contoh 10
Tentukan jumlah 6 suku pertama deret geometri : 4 , 8, 16, ….
jawab:
U
8
a = 4 dan r = 2 = = 2 , 2 > 1
U1
4
S n=
a (r n − 1)
r −1
S6 =
4(2 6 − 1)
= 4 . 63 = 252
2 −1
3.3 Deret Geometri Tak Berhingga
• Deret geometri tak berhingga adalah penjumlahan dari U1, U2, U3 + …. Atau
∞
dituliskan sebagai :
∑ U n ; dimana –1 < r < 1
n =1
•
Jumlah deret geometri tak berhingga :
a
S∞ =
1− r
MGMP Matematika SMK kota Pasuruan
www.matematika-pas.blogspot.com
E-learning matematika, GRATIS
•
Deret geometri tak berhingga akan konvergen untuk –1 < r < 1 dan deret
geometri tak berhingga akan divergen untuk r > 1 atau r < - 1.
Contoh 11
1 1 1
Tentukan jumkah deret dari : 1 + + + + ...
2 4 8
Jawab :
1
U2 2 1
a = 1 dan r =
= =
U1 1 2
a
S∞ =
1− r
1
1
= =2
=
1 1
1−
2 2
Contoh 12
Diketahui deret geometri tak berhingga :
1 + 2log(x – 2) + 2log2(x – 2) + 2log2(x – 2) + …
Tentukan batas nilai x agar deret konvergen !
Jawab :
a = 1 dan r = 2log(x – 2)
Deret konvergen jika :
–1 < r < 1 Æ -1 < 2log(x – 2) < 1
i. -1 < 2log(x – 2)
2
log2-1 < 2log(x – 2)
2-1 < x – 2
1
2
E-learning matematika, GRATIS
1
Penyusun : Tenang Indriyani, S.Pd. ; Taufiq Rahman, S.Pd.
Editor : Drs. Keto Susanto, M.Si. M.T. ; Istijab, S.H. M.Hum.
Imam Indra Gunawan, S.Si.
1. Pengertian Barisan dan Deret
• Barisan bilangan adalah urutan bilangan dengan aturan tertentu
• Setiap bilangan itu disebut suku-suku barisan
• Secara umum barisan dapat ditulis dengan :
U1, U2, U3, …, Un-1, Un = {Un}
Contoh:
a. 2,5,8,11, …, 3n – 1 = {3n – 1}
U1 = 2; U2 = 5; U3 = 8; U4 = 11; …Un = 3n – 1
b. Un = 2n + 1 adalah suku ke-n dari suatu barisan, dimana n ∈ N = {1,2,3, ….}
Barisan itu adalah {2n + 1} = 3,5,7, …
• Deret adalah jumlah yang diperoleh dari penjumlahan suku-suku suatu barisan.
• Secara umum deret dapat ditulis dengan :
n
U1 + U2 + U3 + … + Un-1 + Un =
∑ Uk
k =1
Contoh :
n
a. 3 + 5 + 7 + … + 2n – 1 =
∑ (2k + 1)
k =1
n
b. 1 + 3 + 9 + 27 + … + 3n-1 = ∑ (3k -1 )
k =1
2. Barisan dan Deret Aritmatika
2.1 Barisan Aritmatika
• Barisan Aritmatika (barisan hitung) adalah barisan yang selisih setiap suku
dengan suku sebelumnya selalu sama (U2 – U1 = U3 – U2 = … = Un – Un-1
• Selisih itu disebut beda (b)
• Rumus suku ke-n barisan aritmatika :
U1 , U2 , U3
, U4 , ......, Un
a , a+b , a+2b , a+3b, ......, a+(n-1)b
Un = a + (n – 1)b
Dengan b = Un – Un-1
Contoh 1
Tentukan suku ke-15 dari barisan 10,8,6,4, ….
Jawab :
Barisan tersebut adalah barisan aritmatika
a = 10, b = U2 – U1 = 8 – 10 = -2
Un = a + (n – 1)b
U15 = 10 + (15 – 1) (-2) = 10 + 14 (-2) = 10 – 28 = – 18
MGMP Matematika SMK kota Pasuruan
www.matematika-pas.blogspot.com
E-learning matematika, GRATIS
•
•
2
Contoh 2
Jika suatu barisan aritmatika mempunyai suku ke-4 sama dengan 12 dan
suku ke-10 sama dengan 30. Tentukan beda barisan tersebut serta suku ke15!
Jawab :
U4 = 12 Æ a + 3b = 12
U10 = 30 Æ a + 9b = 30 -6b = -18 Æ b = 3
Untuk b = 3 Æ a = 3
Un = a + (n – 1)b
U15 = 3 + (15 – 1) (3) = 3 + 14 (3) = 45
Ciri-ciri barisan aritmatika :
1. Merupakan urutan bilangan yang teratur
2. Mempunyai beda (selisih) yang sama
3. Tidak disertai tanda operasi bilangan seperti penjumlahan dan
pengurangan
Rumus suku tengah
Jika banyaknya suku ganjil, maka suku tengah :
Ut = ½ (U1 + Un) = ½ (U2 + Un-1) = ½ (U3 + Un-3) = … dst
Contoh 3
Suku tengah barisan aritmatika adalah 41. Jika beda adalah 5 dan suku ke-7
adalah 36. Tentukan suku terakhir!
Jawab :
Un = a + (n – 1)b Æ U7 = 36
a + 6b = 36 Æ a = 6
Ut = ½ (U1 + Un) Æ 2Ut = U1 + Un
2 x 41 = 6 + Un Æ Un = 82 – 6 = 76
2.2 Deret Aritmatika
• Deret aritmatika adalah jumlah yang diperoleh dari penjumlahan suku-suku
barisan aritmatika
• Jumlah n suku pertama deret aritmatika Sn didapat dari:
Sn = U1 + U2 + U3 + U4 + .....+ Un
Sn = Un + ..... + U4 + U3 + U2+ U1
2 Sn = n (U1 +Un )
Sn =
1
n(a + U n ) atau
2
Sn =
1
n(2a + (n − 1)b )
2
Contoh 4
Seorang anak menabung di suatu Bank dengan selisih kenaikan tabungan
antar bulan tetap. Pada bulan pertama Rp 100.000,-, bulan kedua Rp
110.000,-bulan ketiga Rp 120.000,- dan seterusnya. Berapakah besar
tabungan anak tersebut selama 2 tahun?
MGMP Matematika SMK kota Pasuruan
www.matematika-pas.blogspot.com
E-learning matematika, GRATIS
•
3
Jawab :
a
= 100.000; b = 10.000; 2 tahun = 24 bulan
U24 = a + (n – 1)b Æ U24 =
U24 = 10.000 + (24 – 1) 10.000 = 100.000 + 230.000 = 330.000
Sn = ½ n (a + Un)
= ½ . 24 (100.000 + 330.000) = 5.160.000
Tabungan anak tersebut selama 2 tahun adalah : Rp 5.160.000,Hubungan antara suku ke-n dan jumlah n suku pertama :
Un = Sn – Sn-1
Sn = nUt
Contoh 5
Tiga bilangan merupakan barisan aritmatika jika jumlah ketiga bilangan
tersebut adalah 36 dan hasil kalinya 1536. Tentukan bilangan yang terkecil!
Jawab :
Misalkan ketiga bilangan itu adalah a – b; a; a + b
(a – b) + a + (a + b) = 36 Æ 3a = 36 Æ a = 12
Ketiga bilangan itu adalah 12 – b; 12; 12 + b
(12 – b) . 12 (12 + b) = 1536
(12 – b) (12 + b) = 128
144 – b2 = 128 Æ b2 = 16 Æ b = + 4
b = 4 Æ (12 – 4), 12, (12 + 4) = 8, 12, 16 dan b = 4 Æ 12 – (-4), 12,
12 + (-4) = 16, 12, 8
Jadi bilangan terkecil adalah 8
3. Barisan dan Deret Geometri
3.1 Barisan Geometri
• Barisan geometri (barisan ukur) adalah barisan yang hasil bagi setiap suku
dengan suku sebelumnya tetap.
Misalkan suku-suku barisannya adalah U1, U2, U3, U4, ….., Un-1, Un maka :
U
U2 U3 U4
=
=
= ... = n = r , dimana r disebut pembanding/rasio.
U1 U 2 U 3
U n −1
• Suku ke-n barisan geometri :
Un = a r n-1
dengan
a = suku awal
r = rasio
Contoh 6
Tentukan suku ke-7 barisan ½, 1, 2, 4, …
Jawab :
a = ½, r = 2 Æ U7 = ½ . 27-1 = ½ . 26 = 32
•
Rumus suku ke-n barisan geometri dapat dinyatakan dengan menggunakan
suku ke-k, dengan k < n
Un = Uk . rn-k
Contoh 7
U8 = ar7 = ar4 . r3 = U5 . r3
Bandingkan dengan : U8 = U5 . r8-5 = U5 . r3
MGMP Matematika SMK kota Pasuruan
www.matematika-pas.blogspot.com
E-learning matematika, GRATIS
•
4
Rumus suku tengah :
Jika banyaknya suku ganjil, maka suku tengah :
U1 .U n = U 2 .U n -1 = ...
Ut =
Contoh 8
Suku tengah barisan geometri adalah 16. Jika rasio adalah 2 dan suku ke-7
adalah 64. Tentukan suku terakhir!
Jawab :
U7 = ar7-1 = a . 26 = 64 Æ a = 1
Ut = U1.U n = a.U n
16 = 1.U n
16 = U n Æ Un = 162 = 256
Jadi suku terakhir barisan tersebut adalah 256
3.2 Deret Geometri
• Deret geometri adalah jumlah yang diperoleh dari penjumlahan suku-suku
barisan geometri.
Contoh 9
Misalkan diketahui barisan geometri :
1, 3 , 9, 27, 81 maka 1 + 3 + 9 + 27 + 81 disebut deret geometri
• Jumlah n suku pertama deret geometri
S n=
a (r n − 1)
, jika r > 1 atau r < - 1
r −1
S n=
a (1 − r n )
, jika - 1 < r < 1
1− r
Contoh 10
Tentukan jumlah 6 suku pertama deret geometri : 4 , 8, 16, ….
jawab:
U
8
a = 4 dan r = 2 = = 2 , 2 > 1
U1
4
S n=
a (r n − 1)
r −1
S6 =
4(2 6 − 1)
= 4 . 63 = 252
2 −1
3.3 Deret Geometri Tak Berhingga
• Deret geometri tak berhingga adalah penjumlahan dari U1, U2, U3 + …. Atau
∞
dituliskan sebagai :
∑ U n ; dimana –1 < r < 1
n =1
•
Jumlah deret geometri tak berhingga :
a
S∞ =
1− r
MGMP Matematika SMK kota Pasuruan
www.matematika-pas.blogspot.com
E-learning matematika, GRATIS
•
Deret geometri tak berhingga akan konvergen untuk –1 < r < 1 dan deret
geometri tak berhingga akan divergen untuk r > 1 atau r < - 1.
Contoh 11
1 1 1
Tentukan jumkah deret dari : 1 + + + + ...
2 4 8
Jawab :
1
U2 2 1
a = 1 dan r =
= =
U1 1 2
a
S∞ =
1− r
1
1
= =2
=
1 1
1−
2 2
Contoh 12
Diketahui deret geometri tak berhingga :
1 + 2log(x – 2) + 2log2(x – 2) + 2log2(x – 2) + …
Tentukan batas nilai x agar deret konvergen !
Jawab :
a = 1 dan r = 2log(x – 2)
Deret konvergen jika :
–1 < r < 1 Æ -1 < 2log(x – 2) < 1
i. -1 < 2log(x – 2)
2
log2-1 < 2log(x – 2)
2-1 < x – 2
1
2