Matematika Teknik 2 – Bab 5 – Persamaan Diferensial Non Homogen

MATEMATIKA LANJUT

  ^{PERSAMAAN DIFERENSIAL}

PERSAMAAN DIFERENSIAL

LINIER NON HOMOGEN

Cont oh PD linier non homogen orde 2.

  Bent uk umum persamaan PD Linier Non Homogen Orde 2, adalah sebagai berikut : y” + f (x) y’ + g(x) y = r(x) ( 2- 35) Solusi umum y(x) akan didapat kan bila solusi umum y (x) dari PD homogen diket ahui. h

  PD homogen : y” + f (x) y’ + g(x) y = 0 (2-36) Kemudian y(x) dibent uk dengan penambahan

  y

  y (x) sembarang solusi t ermasuk konst ant a h t ak t et apnya.

  Sehingga y(x) = y (x) + (x) y (2-37) h

MATEMATIKA LANJUT

  Theorema 1 : f (x), g(x) dan r(x) merupakan f ungsi kont inyu pada int erval I. y(x) merupakan solusi dari PD di at as yang berisikan konst ant a yang t et ap. y(x) dibent uk oleh dua konst ant a. Konst ant a pert ama, berubah-ubah, t erdapat pada solusi umum (homogen) y (x). Konst ant a kedua, h

  y

  t et ap, t erdapat pada f ungsi (x), yait u sembarang solusi PD pada int erval I.

  Theorema 2 : Solusi umum dari PD sepert i di at as adalah penj umlahan solusi persamaan homogen y (x) h dengan solusi part ikular yang t et ap (t ak ber- ubah-ubah) y (x).

  P Sehingga y(x) = y (x) + y (x) (2-38) h P

MATEMATIKA LANJUT

  1. Bent uk Persamaan Umum : y” + ay’ + by = r(x) ( 2-39 )

  ⊕ Fungsi r(x) yang merupakan bent uk solusi

  part ikular y (x) diperoleh dng cara P menebak, sepert i misalnya : f ungsi cos, f ungsi sin, f ungsi exponensial at au j umlah dari beberapa f ungsi.

  ⊕ r(x) berisikan koef isien t ak t ent u. ⊕

  Turunkan y sesuai persamaan umum (2-39) P di at as.

  

⊕ Subst it usikan y dan seluruh t urunannya ke

  P dalam persamaan (2-39).

  

Tabel 2-1. Met ode koef isien t ak t ent u

Bent uk r(x) Pilihan unt uk y P px px ke Ce p n n n-1 . . . . . kx K x + k x + k x + k + (n=0, 1. . . . ) n n-1

  1 k cos qx iq K cos x + M sin x k sin qx iq

MATEMATIKA LANJUT

  At uran :

  ⊕ Bila r(x) merupakan salah sat u f ungsi

  sepert i dalam t abel, maka pilih bent uk y P yang sesuai dan merupakan kombinasi linier dengan konst ant a t ak t ent u. Turunan r(x) harus bebas linier pula.

  ⊕ Bila r(x) merupakan penj umlahan, maka

  pilih y P yang merupakan penj umlahan f ungsi yang sesuai.

  ⊕

  Bila r(x) adalah solusi dari persamaan homogen, maka pilihan dapat dimodif ikasi sepert i berikut

  At uran Modif ikasi Kalikan pilihan pada kolom 2 dengan x at au x

  2 t ergant ung dari apakah pada kolom 3 berupa akar t unggal at au akar-akar ganda dari persamaan homogen.

MATEMATIKA LANJUT

  Cont oh-cont oh Soal

  1. Selesaikan persamaan berikut :

• 2x

  y” – 4y’ + 3y = 10e Jawab : Jawab part ikular y

  P

• 2x -2x

  Turunan e adalah ke

• 2x

  maka y = ke P

• 2x -2x

  y ’ = -2ke dan y ” = 4 ke P P

• 2x -2x -2x -2x

  4ke -4(-2ke ) + 3ke = 10e ; k= 2/ 3

• 2x

  y = (2/ 3)e P

  Jawab homogen y h

  2

  λ - 4 λ + 3 = 0 ; λ = 3 dan λ = 1

  1

  2

  

λ 1x λ 2x 3x x

  y = k e + k e = k e + k e h

  1

  2

  1

  2 Solusi Umum y = y + y h P

  3x x -2x y = k e + k e + (2/ 3)e

  1

  2

MATEMATIKA LANJUT

  2

  2. Selesaikan y” + 4y = 8x Jawab :

  2 Jawab homogen : λ + 4 = 0

  λ λ

  = p + j q = +j 2 ; = p – j q = -j 2 ; p= 0

  1

  2 Solusi umum PD homogen unt uk D < 0 : px y = e [ A cos qx + B sin qx] h y = [ A cos 2x + B sin 2x] h

  Jawab part ikular :

  2 Misal 1 : y = kx ; y” = 2k

  2

  2 2k + 4 kx = 8x ; 2k = 0 ; 4k = 8 Gagal, t idak konsist en.

  2 Misal 2 : y = kx + Lx + m ; y” = 2k P

  2

  2 2k + 4(kx + Lx + M) = 8x

  2

  2 4kx + 4Lx +(2k + 4m) = 8x dengan met ode ident if ikasi : k = 2 ; L = 0 ; m = 1

  2 maka y = 2x + 1

  P Solusi umum y = y + y

  P h

  2 y = A cos 2x + B sin 2x + 2x + 1

MATEMATIKA LANJUT

  λ

  2

  3. Selesaikan y” – y’ – 2y = 10 cos x Jawab : Jawab homogen

• 2 = 0 y
>&lam
• c e

  2x

• c

  = k cos x + m sin x y P

  x

  2x

  P y = ce

  Solusi umum : y = y h

  P = -3 cos x – sin x

  ” = -k cos x – m sin x (-k cos x – m sin x)-(-k sin x + m cos x)- 2(k cos x + m sin x) = 10 cos x (-3k – m) cos x + (k-3m) sin x = 10 cos x

  ’ = -k sin x + m cos x y P

  Jawab part ikular y P

  = c e

  e- x

  2

  1 e

  = c

  y h

  λ 2x

  λ 2x

• 3k – m = 10 ; k – 3m = 0 ; k = -3 ; m = -1 y
• y
• ce-
• 3 cos x – sin x

MATEMATIKA LANJUT

  3x

  4. Selesaikan : y” – 3y’ + 2y = 4x + e Jawab :

  2x x Jawab homogen : y = c e + c e h

  1

  2 Jawab part ikular : 3x y = k x +k + Ce

  3x y ’ = k + 3Ce

  P

  1 3x y ” = 9Ce

  P 3x 3x 3x

  (9Ce )-3(k + 3Ce )+2(k x +k + Ce ) =

  1

  1 3x

  4x + e k = 2 ; k = 3 ; C = (1/ 2)

  1 3x yp = 2x + 3 + (1/ 2) Ce

  Solusi umum : 2x x 3x y = c e + c e + 2x + 3 + (1/ 2) Ce

  1

  2 2 x

  5. Selesaikan : y” – 2y’ + y = (D-1) = e + x Jawab : Jawab homogen x x x y = c e +c xe = (c x + c ) e h

  1

  2

  1

  2

MATEMATIKA LANJUT

  Jawab part ikular : Lihat t abel k x + k

  1 2 x karena akar ganda cx e sehingga yp = k x + k + cx e

  1 Bila disubst it usikan ke dalam persamaan : x yp” – 2yp’ + yp = e + x maka didapat kan : x x

  2ce + k x – 2k + k = e + x

  1

  1 c = ½ ; k = 1 ; k = 2

  1 Solusi umum : x 2 x y = (c x + c ) e + ½ x e + x + 2

  1

  2

MATEMATIKA LANJUT

  SOAL-SOAL LATIHAN 6 Selesaikan PD non homogen berikut ini :

• x

  1. y” + 4y = e

  2. y” + 2y + y = 2x

  2 3. y” + y – 2y = 3e 4. y” + y = 2 sin x 5. y” + y’ – 6y = 52 cos 2x 6. y” ” -5y” + 4y = 10 cos x 7. y” – 2y’ + 2y = 2e x cos x

  8. y” + y = x

  2

• x 9. y” + 5y + 6y = 9x

  4

• – x 10. y” – 2y’ + y = 2x

  2

• – 8x + 4 11. y’ ’ ’ + 2y” – y’ – 2y = 1 – 4x

  3 12. y” – 4 y’ + 9y = 10 e

  2x

• – 12 cos 3x 13. y” + 2y’ + 10y = 4. 5 cos x – sin x 14. y” + 2y’ + 2y = -2 cos 2x – 4 sin 2x 15. y” + 4y’ + 8y = 4 cos x + 7 sin x

MATEMATIKA LANJUT

  

2 . METODE KOMPLEKS UNTUK MENENTUKAN

SOLUSI PARTIKULAR

  Bent uk umumnya sepert i persamaan (2-35) Cont oh : .. .

  I + I + 2I = 6 cos t (2-40)

  Dengan met ode koef isien t ak t ent u akan diperoleh : I (t ) = 3 cos t + 3 sin t

  P Menurut hukum Euler, ruas kanan pers (2- 40), 6 cos t , adalah komponen nyat a (riel), karena : it

  6 e = 6 (cos t + i sin t ) Sehingga persamaan (2-40) dapat dit ulis dengan :

  .. . it

  ( 2-41)

  I + I + 2I = 6 e

MATEMATIKA LANJUT

  Solusi part ikular kompleks dapat dibuat dalam bent uk : it

  Ip*(t ) = ke (2-42) . .. it it dan * = ike * = -ke

  p P

  I I

  Bila disubst it usikan ke dalam pers (2-41) : it it

  (-1 + I +2) ke = 6 e

  6 k =

  = 3 – i 3

  1 + i

  Sehingga solusi umum pers. (2-41) adalah : I *(t ) =(3-i3)eit = (3-i3)(cos t + i sin t )

  P dan komponen nyat anya adalah :

  I (t ) = 3 cos t + 3 sin t P

MATEMATIKA LANJUT

  Bent uk umum PD non homogen y” + f (x)y’ + g(x)y = r(x) (2-43) f , g dan r kont inyu pada int erval t erbuka

  I Sedangkan bent uk umum PD homogen :

  y” + f (x)y’ + g(x)y = 0 (2-44) maka solusi umumnya y (x) pada int erval h t erbuka

  I berbent uk :

  Y (x) = c y (x) + c y (x) h

  1

  1

  2

  2 Bila c dan c digant i dengan u(x) dan v(x)

  1

  2 maka diperoleh solusi part ikular pada int erval t erbuka

  I , sbb :

  y (x) = u(x) y (x) + v(x) y (x) (2-45) P

  1

  2

MATEMATIKA LANJUT

  Jika pers. (2-45) dit urunkan, hasilnya : y ’ = u’ y + uy ‘ + v’ y + vy ’ P

  1

  1

  2

  2 Karena u(x) dan v(x) adalah penggant i c

  1 dan c , maka :

  2 u’ y + v’ y = 0 (2-46)

  1

  2 Sehingga y ’ menj adi : P y ’ = uy ’ + vy ’ (2-47)

  P

  1

  2 Bila pers. (2-43) dit urunkan, hasilnya : y ” = u’ y ’ + uy ” + v’ y ’ + vy ” (2-48)

  P

  1

  1

  2

  2 Pers. (2-45), (2-47) dan (2-48) disubst it usi- kan ke dalam pers. (2-43), dan mengumpul- kan komponen yang mengandung u dan v :

MATEMATIKA LANJUT

  u(y ” + f y ’ + gy ) + v(y ” + f y ’ + gy ) +

  1

  1

  1

  2

  2

  2 u’ y ’ +v’ y ’ = r

  1

  2 Bila y dan y merupakan solusi homogen

  1

  2 dari pers. (2-44), sehingga t erj adi penyederhanaan persamaan, menj adi ; u’ y ’ +v’ y ’ = r

  1

  2 Pers. (2-46) : u’ y + v’ y = 0

  1

  2 Sebuah sist em dari 2 persamaan alj abar linier dengan 2 f ungsi u’ dan v’ yang t ak diket ahui. Penyelesaian selanj ut nya dengan memakai at uran Cramer, sehingga :

  y r y r

  2

  1

  u' = -

  dan (2-49)

  v' = - W W

  dengan W = y y ’ – y ’ y ; W ≠ 0.

  1

  2

  1

  2 W = Bilangan Wronskian dari y dan y

  1

  2

MATEMATIKA LANJUT

  Dengan int egrasi diperoleh :

  y r y r

  2

  1 dan

  u = - dx v = - dx ∫ ∫

  W W

  subst it usikan hasil ini ke dalam pers(2-45), sehingga didapat kan :

  y r y r

  1

  y (x) = -y dx y dx

• +

  2

  (2-50) p

  1

  2

  ∫ ∫ W W

  Cont oh : Selesaikan PD berikut ini : y” + y = sec x Jawab : misalkan y = cos x dan y = sin x

  1

  2 Solusi homogen : Bilangan Wronskian :

  W(y , y ) = cos x cos x –(-sin x) sinx =1

  1

  2 Solusi part ikular : Dari pers. (2-50),

  y = -cos x sin x sec x dx + sinx cos x sec x dx

  p

  

∫ ∫

MATEMATIKA LANJUT

  y = cos x ln| cos x| + x sin x P maka solusi umumnya adalah : y = y + y h P y = [ c + ln| cos x| ] cos x + (c + x) x sin x

  1

  2 SOAL-SOAL LATIHAN 7 Selesaikan PD non homogen berikut ini : 1. y” + y = cosec x + x 2. y” + 9y = sec 3 x

  2x 3. y” – 4y’ + 4y = [ e ] / x

• x

  4. y” + 2y’ + y = e ln x

• 3x

  2 5. y” + 6y’ – 9y = [ e ] / [ x + 1]

• x

  6. y” + 2y’ + y = e cos x

  2

  2 7. x y” – 5xy’ + 9 = 3x

  2

  2 8. x y” – 4xy’ + 6y = 1/ [ x ]

  2

  2

  2 9. x y” – (1-2x)y’ + (6-4x )y = x cos x

  2 3 x 10. 2x y” – xy’ – 2y = x e