Buku Guru Matematika SMP Penilaian (0035100250) Bab 4
Sumber:
www.shutterstockcom
Persamaan dan Pertidaksamaan
Linear Satu Variabel
Kompetensi Dasar
• Menjelaskan persamaan dan pertidaksamaan linear satu
variabel dan penyelesaiannya.
• Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan persamaan dan
pertidaksamaan linear satu variabel.
Pengalaman Belajar
• mengenal persamaan linear satu variabel (PLSV) dan
pertidaksamaan linear satu variabel (PtLSV) dalam beberapa
bentuk dan variabel,
• menentukan bentuk yang setara (ekuivalen) dari PLSV dan
PtLSV dengan cara kedua ruas ditambah, dikurang, dikali, atau
dibagi dengan bilangan yang sama,
• menentukan akar atau penyelesaian dari PLSV dan PtLSV
dengan cara kedua ruas ditambah, dikurang, dikali, atau dibagi
dengan bilangan yang sama,
• menentukan akar atau penyelesaian dari PLSV dan PtLSV
bentuk pecahan,
• menentukan model matematika dari masalah matematika dan
kejadian sehari-hari terkait dengan persamaan dan
pertidaksamaan linear satu variabel,
• menggunakan konsep persamaan dan pertidaksamaan linear
satu variabel untuk menyelesaikan masalah yang berkaitan
Sumber : uroburos, pixabay.com
Paris mempunyai menara
Eiffel yang dirancang oleh
Alexandre Eiffel untuk
Pekan Raya Dunia tahun
1889. Menara Eiffel dengan
tinggi 300 meter tersebut
pernah menjadi bangunan
tertinggi di dunia selama
beberapa tahun. Jakarta
juga mempunyai menara,
yaitu Monumen Nasional
(Monas), yang dibangun
pada masa pemerintahan
Presiden Soekarno. Jika
tinggi Monumen Nasional
dikalikan dua dan ditambah
36 meter maka tingginya
akan sama dengan menara
4.1 KALIMAT BENAR, KALIMAT SALAH,
DAN KALIMAT TERBUKA
4.1.1 Kalimat Benar dan Kalimat Salah
1. Rudy Hartono Kurniawan adalah maestro bulu tangkis
dunia.Kalimat tersebut sepakat kita katakan benar.
2. Semua benda akan memuai bila dipanaskan. Kalimat
tersebut salah, sebab terdapat benda yang tidak
memuai bila dipanaskan, misalnya kayu.
3. Pluto adalah salah satu planet dalam galaksi Bima
Sakti.Kalimat tersebut salah, karena menurut Persatuan
Astronomi Internasional (International Astronomical
Union), Pluto bukan merupakan planet.
4.1.1 KALIMAT BENAR DAN
KALIMAT SALAH
Contoh:
1. Bilangan prima selalu bilangan ganjil. Kalimat
tersebut adalah kalimat yang salah, sebab
bilangan prima ada juga yang genap, yaitu 2.
2. Hasil penjumlahan 9 dan 17 adalah 26. Kalimat
tersebut benar, sebab 9 + 17 = 26.
3. Hasil perkalian bilangan ganjil dengan bilangan
genap adalah bilangan ganjil. Kalimat tersebut
salah, sebab perkalian bilangan ganjil dengan
bilangan genap akan selalu menghasilkan bilangan
genap.
4.1.2
KALIMAT TERBUKA
a. Pengertian Kalimat Terbuka
Perhatikan kalimat-kalimat berikut!
1. ❍ adalah faktor dari 4. 3. 2 + 9 < 7.
2. 12 adalah kelipatan 3. 4. x + 7 = 15.
Dari contoh-contoh kalimat di atas didapat hal-hal berikut.
• Contoh 2 merupakan kalimat benar dan contoh 3
merupakan kalimat salah.
• Contoh 1 dan 4, yaitu “❍ adalah faktor dari 4” dan “ x + 7 =
15” merupakan kalimatkalimat yang belum dapat ditentukan
benar atau salahnya. Kalimat-kalimat seperti ini disebut
kalimat terbuka.
A. PENGERTIAN KALIMAT
TERBUKA
• Kalimat yang memuat variabel sehingga
belum diketahui nilai kebenarannya(benar
atau salah) disebut kalimat terbuka.
• Variabel atau peubah adalah lambang
(simbol) yang dapat diganti oleh bilanganbilangan yang ditentukan.
B. PENYELESAIAN KALIMAT
TERBUKA
Pengganti variabel (peubah) sehingga kalimat terbuka
menjadi
kalimat benar disebut penyelesaian.
Contoh:
1. x + 6 = 25.
Pengganti x yang benar adalah 19.
Jadi, penyelesaiannya adalah x = 19.
2. x adalah bilangan ganjil dan x adalah variabel pada bilangan
3, 6, 9, 12, dan 15.
Pengganti x yang benar adalah 3, 9, dan 15.
Jadi, penyelesaiannya adalah x = 3, 9, dan 15.
Catatan:
Jika tidak ada pengganti variabel yang membuat kalimat terbuka
menjadi kalimat benar, maka kalimat terbuka tersebut tidak
mempunyai penyelesaian.
Kamu bisa menguji
pemahaman dengan
mengerjakan soal
Latihan 1 pada
halaman 105
4.2 PENGERTIAN PERSAMAAN LINEAR
SATU VARIABEL (PLSV)
Persamaan linear satu variabel adalah kalimat
terbuka dengan satu variabel yang memiliki
hubungan sama dengan, dan variabelnya
hanya berpangkat satu.
4.2.1 AKAR ATAU PENYELESAIAN
Pengganti dari variabel (peubah) sehingga suatu
persamaan menjadi kalimat benar disebut akar atau
penyelesaian dari persamaan tersebut.
Perhatikan persamaan 3n – 7 = 20!
• Jika n diganti dengan 9 atau n = 9, maka dari persamaan
tersebut dapat ditulis menjadi 3 × 9 – 7 = 20 yang merupakan
kalimat benar, di mana n = 9 disebut akar atau penyelesaian
dari persamaan tersebut.
• Jika n diganti dengan bilangan yang bukan 9, misalnya n = 10,
maka persamaan tersebut menjadi 3 × 10 – 7 = 20 yang
merupakan kalimat salah, sehingga n = 10 bukan
penyelesaian dari persamaan tersebut.
4.2.2 PERSAMAAN YANG
EKUIVALEN
Dua persamaan atau lebih dikatakan ekuivalen jika
mempunyai penyelesaian atau akar yang sama.Notasi
untuk ekuivalen pada persamaan adalah ⇔.
Dari persamaan-persamaan di atas, dapat dinyatakan
pasangan-pasangan persamaan
yang ekuivalen dalam bentuk berikut:
i) x + 5 = 12 ⇔ 2x + 10 = 24.
ii) x + 5 = 12 ⇔ 2x + 15 = 29.
iii) 2x + 10 = 24 ⇔ 2x + 15 = 29.
Kamu bisa menguji
pemahaman dengan
mengerjakan soal
Latihan 2 pada
halaman 107
4.3 MENYELESAIKAN PERSAMAAN
LINEAR SATU VARIABEL (PLSV)
4.3.1 Menyelesaikan Persamaan dengan
Cara Substitusi
Menyelesaikan persamaan dengan cara substitusi
artinya menyelesaikan persamaan dengan cara
mengganti variabel dengan bilangan-bilangan yang
telah ditentukan, sehingga persamaan
tersebut menjadi kalimat benar.
1. Tentukan penyelesaian dari persamaan 2x – 1 = 5, x adalah
variabel pada bilangan asli!
Jawab: Untuk x = 1, maka 2 × 1 – 1 = 5 (merupakan kalimat
salah).
Untuk x = 2, maka 2 × 2 – 1 = 5 (merupakan kalimat salah).
Untuk x = 3, maka 2 × 3 – 1 = 5 (merupakan kalimat benar).
Untuk x = 4, maka 2 × 4 – 1 = 5 (merupakan kalimat salah).
Jadi, penyelesaiannya adalah x = 3.
Adapun 1, 2, dan 4 bukan penyelesaian dari persamaan 2x – 1
= 5.
2. Apakah y = –4 merupakan akar dari persamaan 8 – 3y = 6?
Jawab:
Pada persamaan 8 – 3y = 6, kita substitusikan nilai y dengan –
4, diperoleh:
8 – 3y = 8 – 3(–4)
= 8 + 12
= 20 (salah, karena bukan 6).
Karena hasilnya bukan 6, maka y = –4 bukan akar dari
persamaan 8 – 3y = 6.
4.3.2 MENAMBAH ATAU MENGURANG
KEDUA RUAS DENGAN BILANGAN
YANG SAMA
Setiap persamaan tetap ekuivalen jika kedua
ruas persamaan ditambah atau dikurang
dengan bilangan yang sama.
Contoh :
1. Tentukan penyelesaian atau akar persamaan x – 5 = 9, jika x
adalah variabel pada bilangan cacah!
Jawab:
x–5=9
⇔
x – 5 + 5 = 9 + 5 kedua ruas ditambah 5 agar ruas kiri tidak
memuat –5
⇔
x = 14
Sebagai ilustrasi proses penyelesaian persamaan di atas,
perhatikan gambar berikut!
Jadi, supaya tetap seimbang, beban sebelah kiri maupun sebelah
kanan harus ditambah atau dikurang dengan beban yang sama.
Hal seperti ini juga berlaku untuk persamaan.
2. Tentukan penyelesaian persamaan x + 7 = –8, jika x
variabel pada bilangan bulat!
Jawab:
x + 7 = –8
⇔
x + 7 – 7 = –8 – 7 kedua ruas dikurang 7 agar ruas kiri
tidakmemuat 7
⇔
x = –15 Penyelesaiannya adalah x = –15.
Perhatikan! Menambah atau mengurangi kedua ruas
persamaan dengan bilangan yang sama dapat juga
dilakukan tanpa menuliskannya (cukup dalam pikiran saja),
seperti contoh soal berikut!
Kamu bisa menguji
pemahaman dengan
mengerjakan soal
Latihan 3 pada
halaman 110
4.3.3 MENGALI ATAU MEMBAGI KEDUA
RUAS DENGAN BILANGAN YANG
SAMA
KEGIATAN SISWA
HALAMAN 110
Catatan:
Untuk menentukan pengali atau pembagi, yang
harus diperhatikan
adalah koefisien dari variabel sehingga koefisiennya
menjadi 1.
4.3.4 GRAFIK PENYELESAIAN
PERSAMAAN DENGAN SATU
VARIABEL
Penyelesaian dari suatu persamaan dapat ditunjukkan
pada garis bilangan yang disebut grafik
penyelesaian. Pada garis bilangan, grafik
penyelesaian dari suatu persamaan dinyatakan
dengan noktah (titik tebal). Untuk membuat grafik
penyelesaian dari suatu persamaan, terlebih dahulu
harus kita tentukan penyelesaiannya, baru kemudian
dibuat grafik penyelesaiannya.
Buatlah grafik penyelesaian dari persamaanpersamaan berikut!
1. x + 12 = 9, x ∈ bilangan bulat
2. 2x – 3 = 7, x ∈ bilangan cacah
Jawab:
1.
2x – 3 = 7, x ∈ bilangan cacah.
⇔
2x = 7 + 3
⇔
2x = 10
⇔
x=5
Penyelesaiannya adalah x = 5.
Grafik penyelesaian dari persamaan di atas adalah:
4.3.5 MENYELESAIKAN PERSAMAAN
BENTUK PECAHAN
Untuk menyelesaikan persamaan bentuk pecahan
dengan cara yang lebih mudah, ubahlah persamaan
tersebut menjadi persamaan lain yang ekuivalen
tetapi tidak lagi memuat pecahan. Hal ini dapat
dilakukan dengan cara mengalikan kedua ruas
persamaan dengan Kelipatan Persekutuan Terkecil
(KPK) dari penyebut-penyebutnya.
Kamu bisa menguji
pemahaman dengan
mengerjakan soal
Latihan 4 dan 5 pada
halaman 112 dan 113
4.4 MODEL MATEMATIKA DAN
PENERAPAN PERSAMAAN PADA SOAL
CERITA
4.4.1 Model Matematika
Untuk menyelesaikan soal cerita dengan kondisi
seperti di atas, terlebih dahulu perlu dibuat kalimat
matematika berdasarkan pada informasi yang
terdapat pada soal tersebut, yang disebut dengan
model matematika. Model matematika dapat
diperoleh dengan cara memisalkan besaran yang
belum diketahui dengan sebuah variabel, misalnya x.
Contoh:
1. Jumlah dua bilangan genap berurutan adalah 54.
Buatlah model matematikanya!
Jawab:
Misal bilangan genap I = x, maka:
bilangan genap II = x + 2. Bilangan genap
berurutan berbeda 2
Bilangan I + bilangan II = 54
x + (x + 2) = 54
2x + 2 = 54.
Jadi, model matematikanya adalah 2x + 2 = 54.
2. Harga sebuah spidol lebih murah Rp3.500 dari harga sebuah
pensil (mekanik).
Harga 4 buah pensil dan 2 buah spidol adalah Rp50.000.
Tentukan model
matematikanya!
Jawab:
Misal harga 1 pensil = p rupiah, maka:
harga 1 spidol = ( p – 3.500) rupiah.
Harga 4 pensil dan 2 spidol Rp50.000, maka:
4( p) + 2( p – 3.500) = 50.000
4p + 2p – 7.000 = 50.000
6p – 7.000 = 50.000
Jadi, model matematika dari situasi di atas adalah:
6p – 7.000 = 50.000.
4.4.2 PENERAPAN PERSAMAAN LINEAR
SATU VARIABEL (PLSV)
Untuk menyelesaikan soal-soal dalam kehidupan sehari-hari
yang berbentuk
cerita, langkah-langkah berikut dapat membantu
mempermudah penyelesaiannya.
1. Jika memerlukan diagram (sketsa), misalnya untuk soal yang
berhubungan dengan geometri, buatlah diagram (sketsa)
berdasarkan kalimat cerita tersebut.
2. Salah satu besaran yang belum diketahui dimisalkan dengan
sebuah variabel.
3. Menerjemahkan kalimat cerita menjadi model matematika
dalam bentuk persamaan.
4. Menyelesaikan persamaan tersebut, kemudian menjawab
sesuai yang ditanyakan.
Contoh:
1. Jumlah dua bilangan ganjil berurutan adalah 36.
a. Tentukan bilangan kedua, jika bilangan pertama
adalah n!
b. Susunlah persamaan dalam n, kemudian
selesaikan!
c. Tentukan kedua bilangan tersebut!
2. Umur Adik sekarang lebih muda 28 tahun dari umur
Ayah. Empat tahun yang akan datang, jumlah umur
mereka 52 tahun. Berapa tahunkah umur Adik
sekarang?
Kamu bisa menguji
pemahaman dengan
mengerjakan soal
Latihan 6 pada
halaman 116
4.6 MENYELESAIKAN PERTIDAKSAMAAN
LINEAR SATU VARIABEL (PTLSV)
Perhatikan pertidaksamaan berikut!
2n + 5 > 16 dengan n variabel pada bilangan bulat yang kurang
dari 10.
Jika n diganti 6, maka pertidaksamaan menjadi 2 × 6 + 5 > 16
(kalimat benar).
Jika n diganti 7, maka pertidaksamaan menjadi 2 × 7 + 5 > 16
(kalimat benar).
Jika n diganti 8, maka pertidaksamaan menjadi 2 × 8 + 5 > 16
(kalimat benar).
Dari uraian di atas, ternyata jika n diganti dengan 6, 7, 8, dan 9
diperoleh kalimat
Pengganti
darihal
variabel
suatu
pertidaksamaan
Menjadi
benar. Dalam
ini, 6, sehingga
7, 8, dan 9
adalah
penyelesaian dari
kalimat
benar disebut
akar dari
pertidaksamaan
2npenyelesaianatau
+ 5 > 16.
pertidaksamaan
tersebut. Himpunan
yang
memuat semua
Himpunan yang beranggotakan
semua
penyelesaian
disebut
anggota
penyelesaian
disebut himpunan penyelesaian.
himpunan
penyelesaian.
4.6.1 MENAMBAH ATAU
MENGURANG KEDUA RUAS
DENGAN BILANGAN YANG
SAMA
KEGIATAN SISWA
HALAMAN 118
Contoh:
1. Tentukan himpunan penyelesaian dari x + 12 > 16 untuk x ∈
bilangan cacah kurang dari 10!
Jawab:
x + 12 > 16
⇔
x + 12 – 12 > 16 – 12 kedua ruas dikurang 12 agar ruas kiri
tidak lagi memuat 12
⇔
x>4
Penyelesaiannya adalah x = 5, 6, 7, 8, dan 9.
Himpunan penyelesaiannya adalah {5, 6, 7, 8, 9}.
Perhatikan!
Menambah atau mengurang kedua ruas
pertidaksamaan dengan bilangan yang sama dapat
juga dilakukan tanpa menuliskannya (cukup dalam
pikiran saja), seperti pada contoh berikut!
4.7.1 MENAMBAH ATAU MENGURANG KEDUA
RUAS DENGAN BILANGAN YANG SAMA
3. Tentukan himpunan penyelesaian dari 3 < x + 2 < 9 dengan
x ∈ bilangan cacah!
Jawab:
3
www.shutterstockcom
Persamaan dan Pertidaksamaan
Linear Satu Variabel
Kompetensi Dasar
• Menjelaskan persamaan dan pertidaksamaan linear satu
variabel dan penyelesaiannya.
• Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan persamaan dan
pertidaksamaan linear satu variabel.
Pengalaman Belajar
• mengenal persamaan linear satu variabel (PLSV) dan
pertidaksamaan linear satu variabel (PtLSV) dalam beberapa
bentuk dan variabel,
• menentukan bentuk yang setara (ekuivalen) dari PLSV dan
PtLSV dengan cara kedua ruas ditambah, dikurang, dikali, atau
dibagi dengan bilangan yang sama,
• menentukan akar atau penyelesaian dari PLSV dan PtLSV
dengan cara kedua ruas ditambah, dikurang, dikali, atau dibagi
dengan bilangan yang sama,
• menentukan akar atau penyelesaian dari PLSV dan PtLSV
bentuk pecahan,
• menentukan model matematika dari masalah matematika dan
kejadian sehari-hari terkait dengan persamaan dan
pertidaksamaan linear satu variabel,
• menggunakan konsep persamaan dan pertidaksamaan linear
satu variabel untuk menyelesaikan masalah yang berkaitan
Sumber : uroburos, pixabay.com
Paris mempunyai menara
Eiffel yang dirancang oleh
Alexandre Eiffel untuk
Pekan Raya Dunia tahun
1889. Menara Eiffel dengan
tinggi 300 meter tersebut
pernah menjadi bangunan
tertinggi di dunia selama
beberapa tahun. Jakarta
juga mempunyai menara,
yaitu Monumen Nasional
(Monas), yang dibangun
pada masa pemerintahan
Presiden Soekarno. Jika
tinggi Monumen Nasional
dikalikan dua dan ditambah
36 meter maka tingginya
akan sama dengan menara
4.1 KALIMAT BENAR, KALIMAT SALAH,
DAN KALIMAT TERBUKA
4.1.1 Kalimat Benar dan Kalimat Salah
1. Rudy Hartono Kurniawan adalah maestro bulu tangkis
dunia.Kalimat tersebut sepakat kita katakan benar.
2. Semua benda akan memuai bila dipanaskan. Kalimat
tersebut salah, sebab terdapat benda yang tidak
memuai bila dipanaskan, misalnya kayu.
3. Pluto adalah salah satu planet dalam galaksi Bima
Sakti.Kalimat tersebut salah, karena menurut Persatuan
Astronomi Internasional (International Astronomical
Union), Pluto bukan merupakan planet.
4.1.1 KALIMAT BENAR DAN
KALIMAT SALAH
Contoh:
1. Bilangan prima selalu bilangan ganjil. Kalimat
tersebut adalah kalimat yang salah, sebab
bilangan prima ada juga yang genap, yaitu 2.
2. Hasil penjumlahan 9 dan 17 adalah 26. Kalimat
tersebut benar, sebab 9 + 17 = 26.
3. Hasil perkalian bilangan ganjil dengan bilangan
genap adalah bilangan ganjil. Kalimat tersebut
salah, sebab perkalian bilangan ganjil dengan
bilangan genap akan selalu menghasilkan bilangan
genap.
4.1.2
KALIMAT TERBUKA
a. Pengertian Kalimat Terbuka
Perhatikan kalimat-kalimat berikut!
1. ❍ adalah faktor dari 4. 3. 2 + 9 < 7.
2. 12 adalah kelipatan 3. 4. x + 7 = 15.
Dari contoh-contoh kalimat di atas didapat hal-hal berikut.
• Contoh 2 merupakan kalimat benar dan contoh 3
merupakan kalimat salah.
• Contoh 1 dan 4, yaitu “❍ adalah faktor dari 4” dan “ x + 7 =
15” merupakan kalimatkalimat yang belum dapat ditentukan
benar atau salahnya. Kalimat-kalimat seperti ini disebut
kalimat terbuka.
A. PENGERTIAN KALIMAT
TERBUKA
• Kalimat yang memuat variabel sehingga
belum diketahui nilai kebenarannya(benar
atau salah) disebut kalimat terbuka.
• Variabel atau peubah adalah lambang
(simbol) yang dapat diganti oleh bilanganbilangan yang ditentukan.
B. PENYELESAIAN KALIMAT
TERBUKA
Pengganti variabel (peubah) sehingga kalimat terbuka
menjadi
kalimat benar disebut penyelesaian.
Contoh:
1. x + 6 = 25.
Pengganti x yang benar adalah 19.
Jadi, penyelesaiannya adalah x = 19.
2. x adalah bilangan ganjil dan x adalah variabel pada bilangan
3, 6, 9, 12, dan 15.
Pengganti x yang benar adalah 3, 9, dan 15.
Jadi, penyelesaiannya adalah x = 3, 9, dan 15.
Catatan:
Jika tidak ada pengganti variabel yang membuat kalimat terbuka
menjadi kalimat benar, maka kalimat terbuka tersebut tidak
mempunyai penyelesaian.
Kamu bisa menguji
pemahaman dengan
mengerjakan soal
Latihan 1 pada
halaman 105
4.2 PENGERTIAN PERSAMAAN LINEAR
SATU VARIABEL (PLSV)
Persamaan linear satu variabel adalah kalimat
terbuka dengan satu variabel yang memiliki
hubungan sama dengan, dan variabelnya
hanya berpangkat satu.
4.2.1 AKAR ATAU PENYELESAIAN
Pengganti dari variabel (peubah) sehingga suatu
persamaan menjadi kalimat benar disebut akar atau
penyelesaian dari persamaan tersebut.
Perhatikan persamaan 3n – 7 = 20!
• Jika n diganti dengan 9 atau n = 9, maka dari persamaan
tersebut dapat ditulis menjadi 3 × 9 – 7 = 20 yang merupakan
kalimat benar, di mana n = 9 disebut akar atau penyelesaian
dari persamaan tersebut.
• Jika n diganti dengan bilangan yang bukan 9, misalnya n = 10,
maka persamaan tersebut menjadi 3 × 10 – 7 = 20 yang
merupakan kalimat salah, sehingga n = 10 bukan
penyelesaian dari persamaan tersebut.
4.2.2 PERSAMAAN YANG
EKUIVALEN
Dua persamaan atau lebih dikatakan ekuivalen jika
mempunyai penyelesaian atau akar yang sama.Notasi
untuk ekuivalen pada persamaan adalah ⇔.
Dari persamaan-persamaan di atas, dapat dinyatakan
pasangan-pasangan persamaan
yang ekuivalen dalam bentuk berikut:
i) x + 5 = 12 ⇔ 2x + 10 = 24.
ii) x + 5 = 12 ⇔ 2x + 15 = 29.
iii) 2x + 10 = 24 ⇔ 2x + 15 = 29.
Kamu bisa menguji
pemahaman dengan
mengerjakan soal
Latihan 2 pada
halaman 107
4.3 MENYELESAIKAN PERSAMAAN
LINEAR SATU VARIABEL (PLSV)
4.3.1 Menyelesaikan Persamaan dengan
Cara Substitusi
Menyelesaikan persamaan dengan cara substitusi
artinya menyelesaikan persamaan dengan cara
mengganti variabel dengan bilangan-bilangan yang
telah ditentukan, sehingga persamaan
tersebut menjadi kalimat benar.
1. Tentukan penyelesaian dari persamaan 2x – 1 = 5, x adalah
variabel pada bilangan asli!
Jawab: Untuk x = 1, maka 2 × 1 – 1 = 5 (merupakan kalimat
salah).
Untuk x = 2, maka 2 × 2 – 1 = 5 (merupakan kalimat salah).
Untuk x = 3, maka 2 × 3 – 1 = 5 (merupakan kalimat benar).
Untuk x = 4, maka 2 × 4 – 1 = 5 (merupakan kalimat salah).
Jadi, penyelesaiannya adalah x = 3.
Adapun 1, 2, dan 4 bukan penyelesaian dari persamaan 2x – 1
= 5.
2. Apakah y = –4 merupakan akar dari persamaan 8 – 3y = 6?
Jawab:
Pada persamaan 8 – 3y = 6, kita substitusikan nilai y dengan –
4, diperoleh:
8 – 3y = 8 – 3(–4)
= 8 + 12
= 20 (salah, karena bukan 6).
Karena hasilnya bukan 6, maka y = –4 bukan akar dari
persamaan 8 – 3y = 6.
4.3.2 MENAMBAH ATAU MENGURANG
KEDUA RUAS DENGAN BILANGAN
YANG SAMA
Setiap persamaan tetap ekuivalen jika kedua
ruas persamaan ditambah atau dikurang
dengan bilangan yang sama.
Contoh :
1. Tentukan penyelesaian atau akar persamaan x – 5 = 9, jika x
adalah variabel pada bilangan cacah!
Jawab:
x–5=9
⇔
x – 5 + 5 = 9 + 5 kedua ruas ditambah 5 agar ruas kiri tidak
memuat –5
⇔
x = 14
Sebagai ilustrasi proses penyelesaian persamaan di atas,
perhatikan gambar berikut!
Jadi, supaya tetap seimbang, beban sebelah kiri maupun sebelah
kanan harus ditambah atau dikurang dengan beban yang sama.
Hal seperti ini juga berlaku untuk persamaan.
2. Tentukan penyelesaian persamaan x + 7 = –8, jika x
variabel pada bilangan bulat!
Jawab:
x + 7 = –8
⇔
x + 7 – 7 = –8 – 7 kedua ruas dikurang 7 agar ruas kiri
tidakmemuat 7
⇔
x = –15 Penyelesaiannya adalah x = –15.
Perhatikan! Menambah atau mengurangi kedua ruas
persamaan dengan bilangan yang sama dapat juga
dilakukan tanpa menuliskannya (cukup dalam pikiran saja),
seperti contoh soal berikut!
Kamu bisa menguji
pemahaman dengan
mengerjakan soal
Latihan 3 pada
halaman 110
4.3.3 MENGALI ATAU MEMBAGI KEDUA
RUAS DENGAN BILANGAN YANG
SAMA
KEGIATAN SISWA
HALAMAN 110
Catatan:
Untuk menentukan pengali atau pembagi, yang
harus diperhatikan
adalah koefisien dari variabel sehingga koefisiennya
menjadi 1.
4.3.4 GRAFIK PENYELESAIAN
PERSAMAAN DENGAN SATU
VARIABEL
Penyelesaian dari suatu persamaan dapat ditunjukkan
pada garis bilangan yang disebut grafik
penyelesaian. Pada garis bilangan, grafik
penyelesaian dari suatu persamaan dinyatakan
dengan noktah (titik tebal). Untuk membuat grafik
penyelesaian dari suatu persamaan, terlebih dahulu
harus kita tentukan penyelesaiannya, baru kemudian
dibuat grafik penyelesaiannya.
Buatlah grafik penyelesaian dari persamaanpersamaan berikut!
1. x + 12 = 9, x ∈ bilangan bulat
2. 2x – 3 = 7, x ∈ bilangan cacah
Jawab:
1.
2x – 3 = 7, x ∈ bilangan cacah.
⇔
2x = 7 + 3
⇔
2x = 10
⇔
x=5
Penyelesaiannya adalah x = 5.
Grafik penyelesaian dari persamaan di atas adalah:
4.3.5 MENYELESAIKAN PERSAMAAN
BENTUK PECAHAN
Untuk menyelesaikan persamaan bentuk pecahan
dengan cara yang lebih mudah, ubahlah persamaan
tersebut menjadi persamaan lain yang ekuivalen
tetapi tidak lagi memuat pecahan. Hal ini dapat
dilakukan dengan cara mengalikan kedua ruas
persamaan dengan Kelipatan Persekutuan Terkecil
(KPK) dari penyebut-penyebutnya.
Kamu bisa menguji
pemahaman dengan
mengerjakan soal
Latihan 4 dan 5 pada
halaman 112 dan 113
4.4 MODEL MATEMATIKA DAN
PENERAPAN PERSAMAAN PADA SOAL
CERITA
4.4.1 Model Matematika
Untuk menyelesaikan soal cerita dengan kondisi
seperti di atas, terlebih dahulu perlu dibuat kalimat
matematika berdasarkan pada informasi yang
terdapat pada soal tersebut, yang disebut dengan
model matematika. Model matematika dapat
diperoleh dengan cara memisalkan besaran yang
belum diketahui dengan sebuah variabel, misalnya x.
Contoh:
1. Jumlah dua bilangan genap berurutan adalah 54.
Buatlah model matematikanya!
Jawab:
Misal bilangan genap I = x, maka:
bilangan genap II = x + 2. Bilangan genap
berurutan berbeda 2
Bilangan I + bilangan II = 54
x + (x + 2) = 54
2x + 2 = 54.
Jadi, model matematikanya adalah 2x + 2 = 54.
2. Harga sebuah spidol lebih murah Rp3.500 dari harga sebuah
pensil (mekanik).
Harga 4 buah pensil dan 2 buah spidol adalah Rp50.000.
Tentukan model
matematikanya!
Jawab:
Misal harga 1 pensil = p rupiah, maka:
harga 1 spidol = ( p – 3.500) rupiah.
Harga 4 pensil dan 2 spidol Rp50.000, maka:
4( p) + 2( p – 3.500) = 50.000
4p + 2p – 7.000 = 50.000
6p – 7.000 = 50.000
Jadi, model matematika dari situasi di atas adalah:
6p – 7.000 = 50.000.
4.4.2 PENERAPAN PERSAMAAN LINEAR
SATU VARIABEL (PLSV)
Untuk menyelesaikan soal-soal dalam kehidupan sehari-hari
yang berbentuk
cerita, langkah-langkah berikut dapat membantu
mempermudah penyelesaiannya.
1. Jika memerlukan diagram (sketsa), misalnya untuk soal yang
berhubungan dengan geometri, buatlah diagram (sketsa)
berdasarkan kalimat cerita tersebut.
2. Salah satu besaran yang belum diketahui dimisalkan dengan
sebuah variabel.
3. Menerjemahkan kalimat cerita menjadi model matematika
dalam bentuk persamaan.
4. Menyelesaikan persamaan tersebut, kemudian menjawab
sesuai yang ditanyakan.
Contoh:
1. Jumlah dua bilangan ganjil berurutan adalah 36.
a. Tentukan bilangan kedua, jika bilangan pertama
adalah n!
b. Susunlah persamaan dalam n, kemudian
selesaikan!
c. Tentukan kedua bilangan tersebut!
2. Umur Adik sekarang lebih muda 28 tahun dari umur
Ayah. Empat tahun yang akan datang, jumlah umur
mereka 52 tahun. Berapa tahunkah umur Adik
sekarang?
Kamu bisa menguji
pemahaman dengan
mengerjakan soal
Latihan 6 pada
halaman 116
4.6 MENYELESAIKAN PERTIDAKSAMAAN
LINEAR SATU VARIABEL (PTLSV)
Perhatikan pertidaksamaan berikut!
2n + 5 > 16 dengan n variabel pada bilangan bulat yang kurang
dari 10.
Jika n diganti 6, maka pertidaksamaan menjadi 2 × 6 + 5 > 16
(kalimat benar).
Jika n diganti 7, maka pertidaksamaan menjadi 2 × 7 + 5 > 16
(kalimat benar).
Jika n diganti 8, maka pertidaksamaan menjadi 2 × 8 + 5 > 16
(kalimat benar).
Dari uraian di atas, ternyata jika n diganti dengan 6, 7, 8, dan 9
diperoleh kalimat
Pengganti
darihal
variabel
suatu
pertidaksamaan
Menjadi
benar. Dalam
ini, 6, sehingga
7, 8, dan 9
adalah
penyelesaian dari
kalimat
benar disebut
akar dari
pertidaksamaan
2npenyelesaianatau
+ 5 > 16.
pertidaksamaan
tersebut. Himpunan
yang
memuat semua
Himpunan yang beranggotakan
semua
penyelesaian
disebut
anggota
penyelesaian
disebut himpunan penyelesaian.
himpunan
penyelesaian.
4.6.1 MENAMBAH ATAU
MENGURANG KEDUA RUAS
DENGAN BILANGAN YANG
SAMA
KEGIATAN SISWA
HALAMAN 118
Contoh:
1. Tentukan himpunan penyelesaian dari x + 12 > 16 untuk x ∈
bilangan cacah kurang dari 10!
Jawab:
x + 12 > 16
⇔
x + 12 – 12 > 16 – 12 kedua ruas dikurang 12 agar ruas kiri
tidak lagi memuat 12
⇔
x>4
Penyelesaiannya adalah x = 5, 6, 7, 8, dan 9.
Himpunan penyelesaiannya adalah {5, 6, 7, 8, 9}.
Perhatikan!
Menambah atau mengurang kedua ruas
pertidaksamaan dengan bilangan yang sama dapat
juga dilakukan tanpa menuliskannya (cukup dalam
pikiran saja), seperti pada contoh berikut!
4.7.1 MENAMBAH ATAU MENGURANG KEDUA
RUAS DENGAN BILANGAN YANG SAMA
3. Tentukan himpunan penyelesaian dari 3 < x + 2 < 9 dengan
x ∈ bilangan cacah!
Jawab:
3